Bac matematică M2 științe ale naturii 2016, sesiunea a II-a varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați al doilea termen al progresiei geometrice (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\geq 1}, știind că b1=4\displaystyle b_1=4 și rația q=2\displaystyle q=2.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie geometrică, fiecare termen se obține din termenul precedent înmulțit cu rația q\displaystyle q. Deci b2=b1⋅q\displaystyle b_2=b_1\cdot q.
    b2=b1⋅q\displaystyle b_2=b_1\cdot q
  2. Înlocuim b1=4\displaystyle b_1=4 și q=2\displaystyle q=2 în formulă.
    b2=4⋅2\displaystyle b_2=4\cdot 2
  3. Efectuăm înmulțirea: 4⋅2=8\displaystyle 4\cdot 2=8. Al doilea termen al progresiei este b2=8\displaystyle b_2=8.
    b2=8\displaystyle b_2=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x\displaystyle f(x)=x^2-2x.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x2−2x\displaystyle f(x)=x^{2}-2x este de forma ax2+bx+c\displaystyle ax^{2}+bx+c, deci a=1\displaystyle a=1, b=−2\displaystyle b=-2, c=0\displaystyle c=0.
    a=1\displaystyle a=1, b=−2\displaystyle \ b=-2, c=0\displaystyle \ c=0
  2. Abscisa vârfului este xV=−b2a=−−22⋅1\displaystyle x_V=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-2}{2\cdot 1}.
    xV=−−22⋅1=1\displaystyle x_V=-\dfrac{-2}{2\cdot 1}=1
  3. Ordonata vârfului este yV=f(xV)=f(1)=12−2⋅1\displaystyle y_V=f(x_V)=f(1)=1^{2}-2\cdot 1.
    yV=1−2=−1\displaystyle y_V=1-2=-1
  4. Verificăm cu formula yV=−Δ4a\displaystyle y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}, unde Δ=b2−4ac=4\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=4, deci yV=−44=−1\displaystyle y_V=-\dfrac{4}{4}=-1. Vârful parabolei are coordonatele (1,−1)\displaystyle (1,-1).
    V(1,−1)\displaystyle V(1,-1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(2x+1)=log⁡35\displaystyle \log_3(2x+1)=\log_3 5.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, adică 2x+1>0\displaystyle 2x+1>0, deci x>−12\displaystyle x>-\dfrac{1}{2}. Argumentul din dreapta, 5\displaystyle 5, este pozitiv.
    x>−12\displaystyle x>-\dfrac{1}{2}
  2. Logaritmul în baza 3\displaystyle 3 este injectiv, deci doi logaritmi egali au argumentele egale. Egalăm argumentele: 2x+1=5\displaystyle 2x+1=5.
    2x+1=5\displaystyle 2x+1=5
  3. Trecem 1\displaystyle 1 în membrul drept și obținem 2x=5−1=4\displaystyle 2x=5-1=4.
    2x+1=5⇒2x=4\displaystyle 2x+1=5\Rightarrow 2x=4
  4. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem x=2\displaystyle x=2. Verificăm: 2>−12\displaystyle 2>-\dfrac{1}{2}, deci condiția de existență este îndeplinită. Într-adevăr, log⁡3(2⋅2+1)=log⁡35\displaystyle \log_3(2\cdot 2+1)=\log_3 5.
    x=2, care verifica˘ ecuația\displaystyle x=2\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii {0,1,2,3,4}\displaystyle \{0,1,2,3,4\}.
Vezi rezolvarea
  1. Submulțimile sunt determinate doar de elementele lor, nu și de ordinea lor. Mulțimea {0,1,2,3,4}\displaystyle \{0,1,2,3,4\} are 5\displaystyle 5 elemente, deci numărul submulțimilor cu două elemente este C52\displaystyle C_5^2.
    C52\displaystyle C_5^2
  2. Aplicăm formula Cnk=n!k!⋅(n−k)!\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!} pentru n=5\displaystyle n=5 și k=2\displaystyle k=2.
    C52=5!2!⋅3!\displaystyle C_5^2=\frac{5!}{2!\cdot 3!}
  3. Scriem 5!=5⋅4⋅3!\displaystyle 5!=5\cdot 4\cdot 3!, deci 3!\displaystyle 3! se simplifică. Rămâne 5⋅42!=202\displaystyle \dfrac{5\cdot 4}{2!}=\dfrac{20}{2}.
    5⋅4⋅3!2⋅3!=202=10\displaystyle \frac{5\cdot 4\cdot 3!}{2\cdot 3!}=\frac{20}{2}=10
  4. Mulțimea are 10\displaystyle 10 submulțimi cu două elemente.
    10\displaystyle 10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că punctul M(1,0)\displaystyle M(1,0) aparține dreptei de ecuație y=mx−2\displaystyle y=mx-2.
Vezi rezolvarea
  1. Un punct aparține unei drepte dacă coordonatele lui verifică ecuația dreptei. Punctul M(1,0)\displaystyle M(1,0) are abscisa 1\displaystyle 1 și ordonata 0\displaystyle 0, deci înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=0\displaystyle y=0 în ecuația y=mx−2\displaystyle y=mx-2.
    0=m⋅1−2\displaystyle 0=m\cdot 1-2
  2. Simplificăm egalitatea: m⋅1=m\displaystyle m\cdot 1=m, deci obținem 0=m−2\displaystyle 0=m-2.
    0=m−2\displaystyle 0=m-2
  3. Mutăm pe 2\displaystyle 2 în cealaltă parte și obținem m=2\displaystyle m=2. Verificare: dreapta y=2x−2\displaystyle y=2x-2 trece prin M(1,0)\displaystyle M(1,0), deoarece 2⋅1−2=0\displaystyle 2\cdot 1-2=0.
    m=2\displaystyle m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC\displaystyle ABC, în care AB=2\displaystyle AB=\sqrt{2} și C=π4\displaystyle C=\frac{\pi}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem teorema sinusurilor în triunghiul ABC\displaystyle ABC: raportul dintre latura AB\displaystyle AB și sinusul unghiului opus C\displaystyle C este egal cu dublul razei cercului circumscris, adică ABsin⁡C=2R\displaystyle \dfrac{AB}{\sin C}=2R.
    ABsin⁡C=2R\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=2R
  2. Din relația anterioară scoatem raza: R=AB2sin⁡C\displaystyle R=\dfrac{AB}{2\sin C}.
    R=AB2sin⁡C\displaystyle R=\frac{AB}{2\sin C}
  3. Înlocuim AB=2\displaystyle AB=\sqrt{2} și sin⁡π4=22\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} în formula razei.
    R=22⋅22\displaystyle R=\frac{\sqrt{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}
  4. Simplificăm: la numitor 2⋅22=2\displaystyle 2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}, deci R=22=1\displaystyle R=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1.
    R=22=1\displaystyle R=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2−a112−a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2-a & 1\\ 1 & 2-a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=−1\displaystyle \det(A(2))=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=2\displaystyle a=2 în matricea A(a)\displaystyle A(a). Pe diagonala principală avem 2−2=0\displaystyle 2-2=0, iar celelalte elemente rămân 1\displaystyle 1.
    A(2)=(0110)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}
  2. Scriem det⁡(A(2))\displaystyle \det(A(2)) și folosim formula ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc, adică produsul de pe diagonala principală minus produsul de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(2))=∣0110∣=0⋅0−1⋅1\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{vmatrix}=0\cdot 0-1\cdot 1
  3. Calculăm: 0⋅0=0\displaystyle 0\cdot 0=0 și 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1, deci det⁡(A(2))=0−1=−1\displaystyle \det(A(2))=0-1=-1, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡(A(2))=0−1=−1\displaystyle \det(A(2))=0-1=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2−a112−a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2-a & 1\\ 1 & 2-a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că A(a)+A(−a)=2A(0)\displaystyle A(a)+A(-a)=2A(0), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(−a)\displaystyle A(-a), înlocuind pe a\displaystyle a cu −a\displaystyle -a în formula lui A(a)\displaystyle A(a). Elementele de pe diagonală devin 2−(−a)=2+a\displaystyle 2-(-a)=2+a.
    A(−a)=(2+a112+a)\displaystyle A(-a)=\begin{pmatrix}2+a & 1\\ 1 & 2+a\end{pmatrix}
  2. Adunăm cele două matrice element cu element. Pe diagonală obținem (2−a)+(2+a)=4\displaystyle (2-a)+(2+a)=4, iar în rest 1+1=2\displaystyle 1+1=2.
    A(a)+A(−a)=(2−a112−a)+(2+a112+a)=(4224)\displaystyle A(a)+A(-a)=\begin{pmatrix}2-a & 1\\ 1 & 2-a\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2+a & 1\\ 1 & 2+a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 2\\ 2 & 4\end{pmatrix}
  3. Calculăm A(0)\displaystyle A(0), înlocuind a\displaystyle a cu 0\displaystyle 0, apoi scoatem factor comun 2\displaystyle 2 din suma obținută și o comparăm cu 2A(0)\displaystyle 2A(0). Cele două matrice coincid pentru orice număr real a\displaystyle a.
    (4224)=2(2112)=2A(0), pentru orice numa˘r real a\displaystyle \begin{pmatrix}4 & 2\\ 2 & 4\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}=2A(0)\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2−a112−a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2-a & 1\\ 1 & 2-a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x, știind că A(x)A(x)=2A(1)\displaystyle A(x)A(x)=2A(1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu x\displaystyle x în matricea dată și obținem A(x)=(2−x112−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2-x & 1\\ 1 & 2-x\end{pmatrix}.
    A(x)=(2−x112−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2-x & 1\\ 1 & 2-x\end{pmatrix}
  2. Elementul de pe poziția (1,1)\displaystyle (1,1) se obține înmulțind prima linie cu prima coloană: (2−x)(2−x)+1⋅1=x2−4x+4+1\displaystyle (2-x)(2-x)+1\cdot 1=x^{2}-4x+4+1.
    (2−x)2+1=x2−4x+5\displaystyle (2-x)^2+1=x^2-4x+5
  3. Elementul de pe poziția (1,2)\displaystyle (1,2) este (2−x)⋅1+1⋅(2−x)=2(2−x)=4−2x\displaystyle (2-x)\cdot 1+1\cdot(2-x)=2(2-x)=4-2x. Același calcul dă 4−2x\displaystyle 4-2x pe poziția (2,1)\displaystyle (2,1), iar pe poziția (2,2)\displaystyle (2,2) obținem 1⋅1+(2−x)2=x2−4x+5\displaystyle 1\cdot 1+(2-x)^{2}=x^{2}-4x+5.
    A(x)A(x)=(x2−4x+54−2x4−2xx2−4x+5)\displaystyle A(x)A(x)=\begin{pmatrix}x^2-4x+5 & 4-2x\\ 4-2x & x^2-4x+5\end{pmatrix}
  4. Pentru a=1\displaystyle a=1 avem A(1)=(1111)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}, deci 2A(1)=(2222)\displaystyle 2A(1)=\begin{pmatrix}2 & 2\\ 2 & 2\end{pmatrix}.
    A(x)A(x)=(x2−4x+54−2x4−2xx2−4x+5)\displaystyle A(x)A(x)=\begin{pmatrix}x^2-4x+5 & 4-2x\\ 4-2x & x^2-4x+5\end{pmatrix}, 2A(1)=(2222)\displaystyle \ 2A(1)=\begin{pmatrix}2 & 2\\ 2 & 2\end{pmatrix}
  5. Din egalitatea A(x)A(x)=2A(1)\displaystyle A(x)A(x)=2A(1), elementele corespunzătoare trebuie să fie egale: x2−4x+5=2\displaystyle x^{2}-4x+5=2 și 4−2x=2\displaystyle 4-2x=2.
    {x2−4x+5=24−2x=2\displaystyle \begin{cases}x^2-4x+5=2\\ 4-2x=2\end{cases}
  6. Din 4−2x=2\displaystyle 4-2x=2 obținem 2x=2\displaystyle 2x=2, deci x=1\displaystyle x=1. Verificăm în prima ecuație: 1−4+5=2\displaystyle 1-4+5=2, adevărat. Ecuația x2−4x+3=0\displaystyle x^{2}-4x+3=0 are rădăcinile 1\displaystyle 1 și 3\displaystyle 3, iar comună cu cealaltă este doar x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−4X2+mX+4\displaystyle f=X^3-4X^2+mX+4, unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că f(−1)+f(1)=0\displaystyle f(-1)+f(1)=0, pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu −1\displaystyle -1 în f=X3−4X2+mX+4\displaystyle f=X^3-4X^2+mX+4 și obținem f(−1)=(−1)3−4⋅(−1)2+m⋅(−1)+4\displaystyle f(-1)=(-1)^3-4\cdot(-1)^2+m\cdot(-1)+4.
    f(−1)=(−1)3−4⋅(−1)2+m⋅(−1)+4\displaystyle f(-1)=(-1)^3-4\cdot(-1)^2+m\cdot(-1)+4
  2. Avem (−1)3=−1\displaystyle (-1)^3=-1 și (−1)2=1\displaystyle (-1)^2=1, deci f(−1)=−1−4−m+4\displaystyle f(-1)=-1-4-m+4. Reducem termenii constanți: −1−4+4=−1\displaystyle -1-4+4=-1.
    f(−1)=−1−4−m+4=−m−1\displaystyle f(-1)=-1-4-m+4=-m-1
  3. Înlocuim X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în f\displaystyle f și obținem f(1)=13−4⋅12+m⋅1+4\displaystyle f(1)=1^3-4\cdot 1^2+m\cdot 1+4.
    f(1)=13−4⋅12+m⋅1+4\displaystyle f(1)=1^3-4\cdot 1^2+m\cdot 1+4
  4. Cum 13=1\displaystyle 1^3=1 și 12=1\displaystyle 1^2=1, avem f(1)=1−4+m+4\displaystyle f(1)=1-4+m+4. Reducem termenii constanți: 1−4+4=1\displaystyle 1-4+4=1.
    f(1)=1−4+m+4=m+1\displaystyle f(1)=1-4+m+4=m+1
  5. Adunăm: f(−1)+f(1)=(−m−1)+(m+1)=−m−1+m+1\displaystyle f(-1)+f(1)=(-m-1)+(m+1)=-m-1+m+1. Termenii se reduc, deci suma este 0\displaystyle 0 pentru orice m\displaystyle m real.
    f(−1)+f(1)=−m−1+m+1=0\displaystyle f(-1)+f(1)=-m-1+m+1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−4X2+mX+4\displaystyle f=X^3-4X^2+mX+4, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=−1\displaystyle m=-1, arătați că polinomul f\displaystyle f se divide cu polinomul X2−1\displaystyle X^2-1.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=−1\displaystyle m=-1 polinomul devine f=X3−4X2−X+4\displaystyle f=X^3-4X^2-X+4. Observăm că X2−1=(X−1)(X+1)\displaystyle X^2-1=(X-1)(X+1), deci este suficient să arătăm că 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1 sunt rădăcini ale lui f\displaystyle f.
    f=X3−4X2−X+4\displaystyle f=X^3-4X^2-X+4,X2−1=(X−1)(X+1)\displaystyle \quad X^2-1=(X-1)(X+1)
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1.
    f(1)=1−4−1+4=0\displaystyle f(1)=1-4-1+4=0
  3. Calculăm f(−1)\displaystyle f(-1) înlocuind X\displaystyle X cu −1\displaystyle -1.
    f(−1)=−1−4+1+4=0\displaystyle f(-1)=-1-4+1+4=0
  4. Cum f(1)=0\displaystyle f(1)=0, polinomul X−1\displaystyle X-1 divide f\displaystyle f. Cum f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0, polinomul X+1\displaystyle X+1 divide f\displaystyle f. Polinoamele X−1\displaystyle X-1 și X+1\displaystyle X+1 sunt prime între ele, deci produsul lor, X2−1\displaystyle X^2-1, divide f\displaystyle f.
    X−1 divide f și X+1 divide f⇒(X2−1)∣f\displaystyle X-1\text{ divide }f\text{ și }X+1\text{ divide }f\Rightarrow (X^2-1)\mid f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−4X2+mX+4\displaystyle f=X^3-4X^2+mX+4, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că x12+x22+x32−4(1x1+1x2+1x3)=0\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2-4\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)=0, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem relațiile lui Viète pentru polinomul f=X3−4X2+mX+4\displaystyle f=X^3-4X^2+mX+4: x1+x2+x3=−−41=4\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{-4}{1}=4, x1x2+x2x3+x3x1=m\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=m și x1x2x3=−41=−4\displaystyle x_1x_2x_3=-\dfrac{4}{1}=-4.
    x1+x2+x3=4\displaystyle x_1+x_2+x_3=4, x1x2+x2x3+x3x1=m\displaystyle \ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=m, x1x2x3=−4\displaystyle \ x_1x_2x_3=-4
  2. Folosim identitatea x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1) și înlocuim valorile din Viète: 42−2m\displaystyle 4^2-2m.
    x12+x22+x32=16−2m\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=16-2m
  3. Aducem la același numitor: 1x1+1x2+1x3=x1x2+x2x3+x3x1x1x2x3=m−4\displaystyle \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1}{x_1x_2x_3}=\dfrac{m}{-4}.
    1x1+1x2+1x3=−m4\displaystyle \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}=-\dfrac{m}{4}
  4. Înlocuim în expresia din enunț: 16−2m−4⋅(−m4)=16−2m+m\displaystyle 16-2m-4\cdot\left(-\dfrac{m}{4}\right)=16-2m+m.
    16−m\displaystyle 16-m
  5. Condiția din enunț devine 16−m=0\displaystyle 16-m=0, deci m=16\displaystyle m=16.
    m=16\displaystyle m=16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x+1x−1\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}.

Arătați că f′(x)=x(x−2)(x−1)2\displaystyle f'(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}, x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}. Aici u(x)=x2−x+1\displaystyle u(x)=x^{2}-x+1 și v(x)=x−1\displaystyle v(x)=x-1.
    f′(x)=(x2−x+1)′(x−1)−(x2−x+1)(x−1)′(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x^{2}-x+1)'(x-1)-(x^{2}-x+1)(x-1)'}{(x-1)^{2}}
  2. Calculăm derivatele: u′(x)=2x−1\displaystyle u'(x)=2x-1 și v′(x)=1\displaystyle v'(x)=1. Le înlocuim în formulă.
    f′(x)=(2x−1)(x−1)−(x2−x+1)(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x-1)(x-1)-(x^{2}-x+1)}{(x-1)^{2}}
  3. Desfacem parantezele de la numărător: (2x−1)(x−1)=2x2−2x−x+1=2x2−3x+1\displaystyle (2x-1)(x-1)=2x^{2}-2x-x+1=2x^{2}-3x+1. Apoi scădem x2−x+1\displaystyle x^{2}-x+1.
    2x2−3x+1−x2+x−1=x2−2x\displaystyle 2x^{2}-3x+1-x^{2}+x-1=x^{2}-2x
  4. Scoatem x\displaystyle x factor comun la numărător: x2−2x=x(x−2)\displaystyle x^{2}-2x=x(x-2). Obținem forma cerută, pentru x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
    f′(x)=x2−2x(x−1)2=x(x−2)(x−1)2, x∈(1,+∞)\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^{2}}\text{, }x\in(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x+1x−1\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=2\displaystyle x=2, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=2\displaystyle x_0=2: y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)\displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).
    y−f(2)=f′(2)(x−2)\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2)
  2. Calculăm f(2)\displaystyle f(2): numărătorul este 22−2+1=3\displaystyle 2^{2}-2+1=3, iar numitorul este 2−1=1\displaystyle 2-1=1.
    f(2)=22−2+12−1=3\displaystyle f(2)=\dfrac{2^{2}-2+1}{2-1}=3
  3. Derivăm funcția f\displaystyle f folosind formula pentru cât (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=x2−x+1\displaystyle u=x^{2}-x+1 și v=x−1\displaystyle v=x-1, deci u′=2x−1\displaystyle u'=2x-1 și v′=1\displaystyle v'=1.
    f′(x)=(2x−1)(x−1)−(x2−x+1)⋅1(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x-1)(x-1)-(x^{2}-x+1)\cdot 1}{(x-1)^{2}}
  4. Simplificăm numărătorul: (2x−1)(x−1)=2x2−3x+1\displaystyle (2x-1)(x-1)=2x^{2}-3x+1, din care scădem x2−x+1\displaystyle x^{2}-x+1 și obținem x2−2x\displaystyle x^{2}-2x.
    f′(x)=x2−2x(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}
  5. Calculăm f′(2)\displaystyle f'(2): numărătorul este 22−2⋅2=0\displaystyle 2^{2}-2\cdot 2=0, iar numitorul este (2−1)2=1\displaystyle (2-1)^{2}=1. Deci panta tangentei este 0\displaystyle 0.
    f(2)=3\displaystyle f(2)=3, f′(2)=0\displaystyle \ f'(2)=0
  6. Înlocuim în ecuația tangentei: y−3=0⋅(x−2)\displaystyle y-3=0\cdot(x-2), deci y=3\displaystyle y=3. Tangenta este o dreaptă orizontală.
    y−f(2)=f′(2)(x−2), adica˘ y=3\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2)\text{, adică }y=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x+1x−1\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}.

Demonstrați că f(e)<72\displaystyle f(e)<\frac{7}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției cu formula de derivare a câtului, pe intervalul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty). Numărătorul este x2−x+1\displaystyle x^{2}-x+1, iar numitorul este x−1\displaystyle x-1.
    f′(x)=(2x−1)(x−1)−(x2−x+1)⋅1(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x-1)(x-1)-(x^{2}-x+1)\cdot 1}{(x-1)^{2}}
  2. Efectuăm calculele de la numărător: (2x−1)(x−1)=2x2−3x+1\displaystyle (2x-1)(x-1)=2x^{2}-3x+1. Scădem x2−x+1\displaystyle x^{2}-x+1 și obținem x2−2x\displaystyle x^{2}-2x, adică x(x−2)\displaystyle x(x-2).
    f′(x)=x2−2x(x−1)2=x(x−2)(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^{2}}
  3. Pentru x>2\displaystyle x>2 avem x>0\displaystyle x>0, x−2>0\displaystyle x-2>0 și numitorul (x−1)2>0\displaystyle (x-1)^{2}>0. Deci derivata este pozitivă pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty), iar f\displaystyle f este strict crescătoare pe acest interval.
    f′(x)>0, pentru orice x∈(2,+∞)⇒f este strict cresca˘toare \displaystyle f'(x)>0\text{, pentru orice }x\in(2,+\infty)\Rightarrow f\text{ este strict crescătoare }pe (2,+∞)\displaystyle \text{pe }(2,+\infty)
  4. Calculăm valoarea funcției în 3\displaystyle 3: f(3)=9−3+13−1=72\displaystyle f(3)=\dfrac{9-3+1}{3-1}=\dfrac{7}{2}.
    f(3)=72\displaystyle f(3)=\dfrac{7}{2}
  5. Numărul e≈2,718\displaystyle e\approx 2{,}718 se află între 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3. Ambele numere se află în intervalul (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty), unde f\displaystyle f este strict crescătoare, deci f(e)<f(3)=72\displaystyle f(e)<f(3)=\dfrac{7}{2}.
    2<e<3 și f(3)=72⇒f(e)<72\displaystyle 2<e<3\text{ și }f(3)=\dfrac{7}{2}\Rightarrow f(e)<\dfrac{7}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=exx2\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2}.

Arătați că ∫12x2f(x) dx=e(e−1)\displaystyle \int_1^2 x^2 f(x)\,dx=e(e-1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=exx2\displaystyle f(x)=\dfrac{e^{x}}{x^{2}} în integrand: x2f(x)=x2⋅exx2\displaystyle x^{2}f(x)=x^{2}\cdot\dfrac{e^{x}}{x^{2}}.
    x2f(x)=x2⋅exx2\displaystyle x^{2}f(x)=x^{2}\cdot\dfrac{e^{x}}{x^{2}}
  2. Simplificăm x2\displaystyle x^{2}, care este nenul pe [1,2]\displaystyle [1,2], deci integrandul devine ex\displaystyle e^{x}. Integrala este ∫12x2f(x) dx=∫12ex dx\displaystyle \int_1^2 x^2 f(x)\,dx=\int_1^2 e^{x}\,dx.
    ∫12x2f(x) dx=∫12ex dx\displaystyle \int_1^2 x^2 f(x)\,dx=\int_1^2 e^{x}\,dx
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: o primitivă a funcției ex\displaystyle e^{x} este tot ex\displaystyle e^{x}, deci ∫12ex dx=ex∣12\displaystyle \int_1^2 e^{x}\,dx=e^{x}\Big|_1^2.
    ∫12x2f(x) dx=∫12ex dx=ex∣12\displaystyle \int_1^2 x^2 f(x)\,dx=\int_1^2 e^{x}\,dx=e^{x}\Big|_1^2
  4. Calculăm ex∣12=e2−e1=e2−e\displaystyle e^{x}\Big|_1^2=e^{2}-e^{1}=e^{2}-e. Dăm factor comun pe e\displaystyle e: e2−e=e(e−1)\displaystyle e^{2}-e=e(e-1).
    e2−e=e(e−1)\displaystyle e^{2}-e=e(e-1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=exx2\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2}.

Demonstrați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f este convexă pe intervalul [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Fie F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R} o primitivă oarecare a funcției f\displaystyle f. Din definiția primitivei, F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty). Cum f\displaystyle f este derivabilă, F\displaystyle F este de două ori derivabilă și F′′(x)=f′(x)\displaystyle F''(x)=f'(x).
    F′(x)=f(x)=exx2, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle F'(x)=f(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}}\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
  2. Calculăm f′(x)\displaystyle f'(x) cu formula de derivare a câtului (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, unde u=ex\displaystyle u=e^{x} și v=x2\displaystyle v=x^{2}, deci u′=ex\displaystyle u'=e^{x} și v′=2x\displaystyle v'=2x.
    f′(x)=ex⋅x2−ex⋅2xx4\displaystyle f'(x)=\frac{e^{x}\cdot x^{2}-e^{x}\cdot 2x}{x^{4}}
  3. Dăm factor comun ex⋅x\displaystyle e^{x}\cdot x la numărător și simplificăm fracția cu x\displaystyle x.
    f′(x)=exx(x−2)x4=ex(x−2)x3\displaystyle f'(x)=\frac{e^{x}x(x-2)}{x^{4}}=\frac{e^{x}(x-2)}{x^{3}}
  4. Studiem semnul lui F′′\displaystyle F'' pe [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty). Pentru x≥2\displaystyle x\geq 2 avem ex>0\displaystyle e^{x}>0, x−2≥0\displaystyle x-2\geq 0 și x3>0\displaystyle x^{3}>0, deci fracția este pozitivă sau nulă. Cum F′′≥0\displaystyle F''\geq 0 pe [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty), orice primitivă F\displaystyle F este convexă pe acest interval.
    F′′(x)=ex(x−2)x3≥0, pentru orice x∈[2,+∞), deci funcția F este convexa˘ pe [2,+∞)\displaystyle F''(x)=\frac{e^{x}(x-2)}{x^{3}}\geq 0\text{, pentru orice }x\in[2,+\infty)\text{, deci funcția }F\text{ este convexă pe }[2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=exx2\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2}.

Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=1\displaystyle x=1 și x=2\displaystyle x=2 are aria mai mică sau egală cu e(e−1)\displaystyle e(e-1).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este pozitivă pe [1,2]\displaystyle [1,2], deoarece ex>0\displaystyle e^{x}>0 și x2>0\displaystyle x^{2}>0. Deci ∣f(x)∣=f(x)\displaystyle |f(x)|=f(x), iar aria se scrie ca integrala lui f\displaystyle f de la 1\displaystyle 1 la 2\displaystyle 2.
    A=∫12∣f(x)∣ dx=∫12exx2 dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^2|f(x)|\,dx=\int_1^2\frac{e^x}{x^2}\,dx
  2. Pentru x∈[1,2]\displaystyle x\in[1,2] avem x≥1\displaystyle x\geq 1, deci x2≥1\displaystyle x^{2}\geq 1. Rezultă că 1x2≤1\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}\leq 1.
    x≥1⇒x2≥1⇒1x2≤1\displaystyle x\geq 1\Rightarrow x^2\geq 1\Rightarrow\frac{1}{x^2}\leq 1
  3. Înmulțim inegalitatea cu ex>0\displaystyle e^{x}>0, deci sensul se păstrează. Obținem exx2≤ex\displaystyle \dfrac{e^{x}}{x^{2}}\leq e^{x} pentru orice x∈[1,2]\displaystyle x\in[1,2].
    exx2≤ex\displaystyle \frac{e^x}{x^2}\leq e^x, ∀x∈[1,2]\displaystyle \ \forall x\in[1,2]
  4. Integrăm inegalitatea pe [1,2]\displaystyle [1,2], ceea ce păstrează sensul ei. Cum ex\displaystyle e^{x} are primitiva ex\displaystyle e^{x}, avem ∫12ex dx=e2−e=e(e−1)\displaystyle \int_1^2 e^x\,dx=e^{2}-e=e(e-1). Deci aria este mai mică sau egală cu e(e−1)\displaystyle e(e-1).
    A≤∫12ex dx=e2−e=e(e−1)\displaystyle \mathcal{A}\leq\int_1^2 e^x\,dx=e^2-e=e(e-1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.