Bac matematică M2 științe ale naturii 2015, sesiunea a II-a rezervă varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numerele complexe z1=3+i\displaystyle z_1 = 3+i și z2=3−i\displaystyle z_2 = 3-i. Arătați că numărul z1z2\displaystyle z_1 z_2 este real.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul z1z2=(3+i)(3−i)\displaystyle z_1 z_2=(3+i)(3-i). Observăm că z2=z1‾\displaystyle z_2=\overline{z_1}, deci avem o formă de tipul (a+b)(a−b)\displaystyle (a+b)(a-b).
    z1z2=(3+i)(3−i)\displaystyle z_1z_2=(3+i)(3-i)
  2. Aplicăm formula (a+b)(a−b)=a2−b2\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} cu a=3\displaystyle a=3 și b=i\displaystyle b=i.
    z1z2=32−i2=9−i2\displaystyle z_1z_2=3^{2}-i^{2}=9-i^{2}
  3. Folosim i2=−1\displaystyle i^{2}=-1, deci 9−i2=9−(−1)=9+1\displaystyle 9-i^{2}=9-(-1)=9+1.
    9−(−1)=10\displaystyle 9-(-1)=10
  4. Obținem z1z2=10\displaystyle z_1z_2=10, iar 10∈R\displaystyle 10\in\mathbb{R}, deci numărul z1z2\displaystyle z_1z_2 este real.
    z1z2=10, care este numa˘r real\displaystyle z_1z_2=10\text{, care este număr real}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctul A(1,1)\displaystyle A(1,1) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+a\displaystyle f(x)=x+a.
Vezi rezolvarea
  1. Un punct aparține graficului unei funcții dacă ordonata lui este egală cu valoarea funcției în abscisa punctului. Punctul A(1,1)\displaystyle A(1,1) are abscisa 1\displaystyle 1 și ordonata 1\displaystyle 1, deci f(1)=1\displaystyle f(1)=1.
    f(1)=1\displaystyle f(1)=1
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în formula f(x)=x+a\displaystyle f(x)=x+a și obținem ecuația în a\displaystyle a.
    f(1)=1⇔1+a=1\displaystyle f(1)=1\Leftrightarrow 1+a=1
  3. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri ai ecuației 1+a=1\displaystyle 1+a=1 și obținem valoarea lui a\displaystyle a.
    a=0\displaystyle a=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x3+2x−43=x\displaystyle \sqrt[3]{x^3+2x-4}=x.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul de ordin 3 este definit pentru orice număr real, deci nu avem condiții de existență. Ridicăm ambii membri ai ecuației x3+2x−43=x\displaystyle \sqrt[3]{x^3+2x-4}=x la puterea a treia; operația este echivalentă, deoarece funcția t↦t3\displaystyle t\mapsto t^3 este injectivă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    x3+2x−4=x3\displaystyle x^3+2x-4=x^3
  2. Scădem x3\displaystyle x^3 din ambii membri, iar termenii cubici se reduc. Rămâne o ecuație de gradul întâi.
    x3+2x−4=x3⇔2x−4=0\displaystyle x^3+2x-4=x^3\Leftrightarrow 2x-4=0
  3. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: 2x=4\displaystyle 2x=4, deci x=2\displaystyle x=2. Verificare: pentru x=2\displaystyle x=2, sub radical avem 8+4−4=8\displaystyle 8+4-4=8, iar 83=2\displaystyle \sqrt[3]{8}=2, egal cu x\displaystyle x.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,…,80}\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,80\}, acesta să fie divizibil cu 7\displaystyle 7.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul cazurilor posibile este numărul de elemente ale mulțimii A={1,2,3,…,80}\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,80\}, adică numerele naturale de la 1\displaystyle 1 la 80\displaystyle 80.
    nr. cazuri posibile=80\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=80
  2. Cazurile favorabile sunt multiplii lui 7\displaystyle 7 din mulțime, adică numerele de forma 7k\displaystyle 7k, cu 7k≤80\displaystyle 7k\le 80. Aceasta înseamnă k≤807≈11,43\displaystyle k\le \dfrac{80}{7}\approx 11{,}43.
    k≤807≈11,43\displaystyle k\le \dfrac{80}{7}\approx 11{,}43
  3. Cum k\displaystyle k este număr natural nenul, k∈{1,2,…,11}\displaystyle k\in\{1,2,\ldots,11\}. Multiplii lui 7\displaystyle 7 din mulțime sunt 7,14,21,…,77\displaystyle 7,14,21,\ldots,77, deci sunt 11\displaystyle 11 cazuri favorabile.
    nr. cazuri favorabile=11\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=11
  4. Aplicăm definiția clasică a probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=1180\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{11}{80}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele O(0,0)\displaystyle O(0,0), A(1,2)\displaystyle A(1,2) și B(2,a)\displaystyle B(2,a). Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctele O\displaystyle O, A\displaystyle A și B\displaystyle B sunt coliniare.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele O\displaystyle O, A\displaystyle A și B\displaystyle B sunt coliniare dacă dreptele OA\displaystyle OA și OB\displaystyle OB au aceeași pantă. Calculăm panta dreptei OA\displaystyle OA cu formula m=yA−yOxA−xO\displaystyle m=\dfrac{y_A-y_O}{x_A-x_O}, pornind de la O(0,0)\displaystyle O(0,0) și A(1,2)\displaystyle A(1,2).
    mOA=2−01−0=2\displaystyle m_{OA}=\dfrac{2-0}{1-0}=2
  2. Calculăm panta dreptei OB\displaystyle OB, cu O(0,0)\displaystyle O(0,0) și B(2,a)\displaystyle B(2,a): mOB=a−02−0\displaystyle m_{OB}=\dfrac{a-0}{2-0}.
    mOA=2 și mOB=a2\displaystyle m_{OA}=2\text{ și }m_{OB}=\dfrac{a}{2}
  3. Impunem condiția de coliniaritate mOA=mOB\displaystyle m_{OA}=m_{OB}, adică 2=a2\displaystyle 2=\dfrac{a}{2}. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 ambii membri și obținem a=4\displaystyle a=4.
    mOA=mOB⇔2=a2⇔a=4\displaystyle m_{OA}=m_{OB}\Leftrightarrow 2=\dfrac{a}{2}\Leftrightarrow a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră E(x)=cos⁡x2+sin⁡x\displaystyle E(x)=\cos\frac{x}{2}+\sin x, unde x\displaystyle x este număr real. Arătați că E(π3)=3\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu π3\displaystyle \dfrac{\pi}{3} în E(x)=cos⁡x2+sin⁡x\displaystyle E(x)=\cos\dfrac{x}{2}+\sin x. Argumentul cosinusului devine π3:2=π6\displaystyle \dfrac{\pi}{3}:2=\dfrac{\pi}{6}.
    E(π3)=cos⁡π6+sin⁡π3\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{3}
  2. Folosim valorile unghiurilor remarcabile: cos⁡π6=32\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} și sin⁡π3=32\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    cos⁡π6=32\displaystyle \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},sin⁡π3=32\displaystyle \quad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}
  3. Adunăm cele două fracții cu același numitor: 32+32=232=3\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}. Deci E(π3)=3\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}.
    E(π3)=32+32=3\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(2xx2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2 & x\\ x & 2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=4\displaystyle \det(A(0))=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în matricea A(x)\displaystyle A(x) și obținem matricea A(0)\displaystyle A(0), care are 2\displaystyle 2 pe diagonala principală și 0\displaystyle 0 în rest.
    A(0)=(2002)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul de ordin 2\displaystyle 2 al matricei A(0)\displaystyle A(0) cu formula ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(0))=∣2002∣=2⋅2−0⋅0\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}2&0\\0&2\end{vmatrix}=2\cdot 2-0\cdot 0
  3. Calculăm produsele: 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4, iar 0⋅0=0\displaystyle 0\cdot 0=0. Scăzând, obținem 4−0=4\displaystyle 4-0=4, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    det⁡(A(0))=4−0=4\displaystyle \det(A(0))=4-0=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(2xx2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2 & x\\ x & 2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că A(1)+A(3)=a A(2)\displaystyle A(1)+A(3)=a\,A(2).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în A(x)=(2xx2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2 & x\\ x & 2\end{pmatrix} și obținem A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(2112)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}
  2. Analog, pentru x=3\displaystyle x=3 și pentru x=2\displaystyle x=2 obținem A(3)\displaystyle A(3) și A(2)\displaystyle A(2).
    A(3)=(2332)\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}2&3\\3&2\end{pmatrix}, A(2)=(2222)\displaystyle \ A(2)=\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}
  3. Calculăm suma A(1)+A(3)\displaystyle A(1)+A(3), adunând elementele de pe aceleași poziții: 2+2=4\displaystyle 2+2=4, 1+3=4\displaystyle 1+3=4.
    A(1)+A(3)=(4444)\displaystyle A(1)+A(3)=\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}
  4. Egalitatea A(1)+A(3)=a A(2)\displaystyle A(1)+A(3)=a\,A(2) devine o egalitate de matrice. Comparând elementele, obținem 4=2a\displaystyle 4=2a, deci a=2\displaystyle a=2.
    (4444)=a(2222)⇔2a=4⇔a=2\displaystyle \begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}\Leftrightarrow 2a=4\Leftrightarrow a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(2xx2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2 & x\\ x & 2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A(x)A(y)=2A(x+y)+xyI2\displaystyle A(x)A(y)=2A(x+y)+xyI_2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele A(x)=(2xx2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2 & x\\ x & 2\end{pmatrix} și A(y)=(2yy2)\displaystyle A(y)=\begin{pmatrix}2 & y\\ y & 2\end{pmatrix} și le înmulțim, linie cu coloană.
    A(x)A(y)=(2⋅2+x⋅y2⋅y+x⋅2x⋅2+2⋅yx⋅y+2⋅2)\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}2\cdot 2+x\cdot y & 2\cdot y+x\cdot 2\\ x\cdot 2+2\cdot y & x\cdot y+2\cdot 2\end{pmatrix}
  2. Reducem termenii din fiecare element și obținem forma simplificată a produsului A(x)A(y)\displaystyle A(x)A(y).
    A(x)A(y)=(4+xy2x+2y2x+2y4+xy)\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}4+xy & 2x+2y\\ 2x+2y & 4+xy\end{pmatrix}
  3. Calculăm A(x+y)\displaystyle A(x+y), înlocuind x\displaystyle x cu x+y\displaystyle x+y în definiția matricei, apoi o înmulțim cu 2\displaystyle 2.
    2A(x+y)=2(2x+yx+y2)=(42(x+y)2(x+y)4)\displaystyle 2A(x+y)=2\begin{pmatrix}2 & x+y\\ x+y & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 2(x+y)\\ 2(x+y) & 4\end{pmatrix}
  4. Calculăm xyI2\displaystyle xyI_2, adică înmulțim matricea unitate cu numărul xy\displaystyle xy.
    xyI2=(xy00xy)\displaystyle xyI_2=\begin{pmatrix}xy & 0\\ 0 & xy\end{pmatrix}
  5. Adunăm cele două matrice și observăm că se obține exact produsul A(x)A(y)\displaystyle A(x)A(y) din primul pas, deci egalitatea este demonstrată pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    2A(x+y)+xyI2=(4+xy2(x+y)2(x+y)4+xy)=A(x)A(y)\displaystyle 2A(x+y)+xyI_2=\begin{pmatrix}4+xy & 2(x+y)\\ 2(x+y) & 4+xy\end{pmatrix}=A(x)A(y)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=3xy+6x+6y+10\displaystyle x*y=3xy+6x+6y+10.

Arătați că 2∗(−2)=−2\displaystyle 2*(-2)=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție x∗y=3xy+6x+6y+10\displaystyle x*y=3xy+6x+6y+10, apoi înlocuim x=2\displaystyle x=2 și y=−2\displaystyle y=-2.
    2∗(−2)=3⋅2⋅(−2)+6⋅2+6⋅(−2)+10\displaystyle 2*(-2)=3\cdot 2\cdot(-2)+6\cdot 2+6\cdot(-2)+10
  2. Calculăm fiecare produs: 3⋅2⋅(−2)=−12\displaystyle 3\cdot 2\cdot(-2)=-12, 6⋅2=12\displaystyle 6\cdot 2=12, iar 6⋅(−2)=−12\displaystyle 6\cdot(-2)=-12.
    3⋅2⋅(−2)=−12\displaystyle 3\cdot 2\cdot(-2)=-12,6⋅2=12\displaystyle \quad 6\cdot 2=12,6⋅(−2)=−12\displaystyle \quad 6\cdot(-2)=-12
  3. Adunăm termenii: −12+12−12+10=−2\displaystyle -12+12-12+10=-2, deci 2∗(−2)=−2\displaystyle 2*(-2)=-2.
    −12+12−12+10=−2  ⇒  2∗(−2)=−2\displaystyle -12+12-12+10=-2\;\Rightarrow\; 2*(-2)=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=3xy+6x+6y+10\displaystyle x*y=3xy+6x+6y+10.

Arătați că x∗y=3(x+2)(y+2)−2\displaystyle x*y=3(x+2)(y+2)-2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y: x∗y=3xy+6x+6y+10\displaystyle x*y=3xy+6x+6y+10.
    x∗y=3xy+6x+6y+10\displaystyle x*y=3xy+6x+6y+10
  2. Scriem 10=12−2\displaystyle 10=12-2, pentru că 12=3⋅2⋅2\displaystyle 12=3\cdot 2\cdot 2 este termenul liber care apare în produsul 3(x+2)(y+2)\displaystyle 3(x+2)(y+2).
    x∗y=3xy+6x+6y+12−2\displaystyle x*y=3xy+6x+6y+12-2
  3. Grupăm 3xy+6x\displaystyle 3xy+6x și 6y+12\displaystyle 6y+12. Dăm factor comun 3x\displaystyle 3x în primul grup și 6\displaystyle 6 în al doilea grup.
    x∗y=3x(y+2)+6(y+2)−2\displaystyle x*y=3x(y+2)+6(y+2)-2
  4. Dăm factor comun y+2\displaystyle y+2, iar 3x+6=3(x+2)\displaystyle 3x+6=3(x+2). Deci egalitatea cerută este adevărată pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=(3x+6)(y+2)−2=3(x+2)(y+2)−2\displaystyle x*y=(3x+6)(y+2)-2=3(x+2)(y+2)-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=3xy+6x+6y+10\displaystyle x*y=3xy+6x+6y+10.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∗x∗x=x\displaystyle x*x*x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție sub forma x∗y=3(x+2)(y+2)−2\displaystyle x*y=3(x+2)(y+2)-2. Verificare: 3(x+2)(y+2)=3xy+6x+6y+12\displaystyle 3(x+2)(y+2)=3xy+6x+6y+12, deci scăzând 2\displaystyle 2 obținem 3xy+6x+6y+10\displaystyle 3xy+6x+6y+10.
    x∗y=3(x+2)(y+2)−2\displaystyle x*y=3(x+2)(y+2)-2
  2. Calculăm x∗x\displaystyle x*x punând y=x\displaystyle y=x în forma obținută.
    x∗x=3(x+2)2−2\displaystyle x*x=3(x+2)^{2}-2
  3. Folosim asociativitatea: x∗x∗x=(x∗x)∗x\displaystyle x*x*x=(x*x)*x. Avem (x∗x)+2=3(x+2)2\displaystyle (x*x)+2=3(x+2)^{2}, deci x∗x∗x=3⋅3(x+2)2⋅(x+2)−2\displaystyle x*x*x=3\cdot 3(x+2)^{2}\cdot(x+2)-2.
    x∗x∗x=9(x+2)3−2\displaystyle x*x*x=9(x+2)^{3}-2
  4. Înlocuim în ecuația x∗x∗x=x\displaystyle x*x*x=x și notăm t=x+2\displaystyle t=x+2, deci x=t−2\displaystyle x=t-2. Ecuația devine 9t3−2=t−2\displaystyle 9t^{3}-2=t-2, adică 9t3−t=0\displaystyle 9t^{3}-t=0.
    9t3−t=0\displaystyle 9t^{3}-t=0
  5. Dăm factor comun t\displaystyle t, apoi descompunem diferența de pătrate: 9t2−1=(3t−1)(3t+1)\displaystyle 9t^{2}-1=(3t-1)(3t+1).
    t(3t−1)(3t+1)=0⇒t=0 sau t=13 sau t=−13\displaystyle t(3t-1)(3t+1)=0\Rightarrow t=0\text{ sau }t=\frac{1}{3}\text{ sau }t=-\frac{1}{3}
  6. Revenim la x=t−2\displaystyle x=t-2 și obținem cele trei soluții reale.
    x1=−73\displaystyle x_1=-\frac{7}{3}, x2=−2\displaystyle \ x_2=-2, x3=−53\displaystyle \ x_3=-\frac{5}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x+1)ex\displaystyle f(x)=(x+1)e^x.

Arătați că f′(x)=(x+2)ex\displaystyle f'(x)=(x+2)e^x, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că funcția este un produs de două funcții derivabile pe R\displaystyle \mathbb{R}: u(x)=x+1\displaystyle u(x)=x+1 și v(x)=ex\displaystyle v(x)=e^x. Aplicăm formula de derivare a produsului: (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
    f′(x)=(x+1)′⋅ex+(x+1)⋅(ex)′\displaystyle f'(x)=(x+1)'\cdot e^x+(x+1)\cdot(e^x)'
  2. Calculăm derivatele factorilor: (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1, iar (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x.
    (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1, (ex)′=ex\displaystyle \ (e^x)'=e^x
  3. Înlocuim derivatele în formulă și obținem f′(x)=1⋅ex+(x+1)ex\displaystyle f'(x)=1\cdot e^x+(x+1)e^x.
    f′(x)=ex+(x+1)ex\displaystyle f'(x)=e^x+(x+1)e^x
  4. Dăm factor comun ex\displaystyle e^x: ex(1+x+1)=(x+2)ex\displaystyle e^x(1+x+1)=(x+2)e^x, pentru orice x\displaystyle x real. Am obținut egalitatea cerută.
    f′(x)=(x+2)ex\displaystyle f'(x)=(x+2)e^x, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x+1)ex\displaystyle f(x)=(x+1)e^x.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0: y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0).
    y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)
  2. Calculăm f(0)\displaystyle f(0): înlocuim x=0\displaystyle x=0 în f(x)=(x+1)ex\displaystyle f(x)=(x+1)e^x și folosim e0=1\displaystyle e^0=1.
    f(0)=(0+1)e0=1\displaystyle f(0)=(0+1)e^{0}=1
  3. Derivăm funcția folosind formula de derivare a produsului: (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1 și (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x.
    f′(x)=(x+1)′ex+(x+1)(ex)′=ex+(x+1)ex=(x+2)ex\displaystyle f'(x)=(x+1)'e^x+(x+1)(e^x)'=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x
  4. Calculăm f′(0)\displaystyle f'(0), înlocuind x=0\displaystyle x=0 în derivată. Astfel obținem valorile cerute: f(0)=1\displaystyle f(0)=1 și f′(0)=2\displaystyle f'(0)=2.
    f′(0)=(0+2)e0=2\displaystyle f'(0)=(0+2)e^{0}=2,f(0)=1\displaystyle \quad f(0)=1
  5. Înlocuim f(0)=1\displaystyle f(0)=1 și f′(0)=2\displaystyle f'(0)=2 în formula tangentei: y−1=2(x−0)\displaystyle y-1=2(x-0), deci y=2x+1\displaystyle y=2x+1. Aceasta este ecuația tangentei.
    y−1=2(x−0)⇒y=2x+1\displaystyle y-1=2(x-0)\Rightarrow y=2x+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x+1)ex\displaystyle f(x)=(x+1)e^x.

Arătați că funcția f\displaystyle f este convexă pe intervalul [−3,+∞)\displaystyle [-3,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata întâi a funcției f\displaystyle f cu formula de derivare a produsului (u⋅v)′=u′v+uv′\displaystyle (u\cdot v)'=u'v+uv', unde u=x+1\displaystyle u=x+1 și v=ex\displaystyle v=e^x: u′=1\displaystyle u'=1, v′=ex\displaystyle v'=e^x.
    f′(x)=1⋅ex+(x+1)ex\displaystyle f'(x)=1\cdot e^x+(x+1)e^x
  2. Dăm factor comun ex\displaystyle e^x și reducem termenii asemenea: f′(x)=ex(1+x+1)\displaystyle f'(x)=e^x(1+x+1).
    f′(x)=(x+2)ex\displaystyle f'(x)=(x+2)e^x
  3. Derivăm încă o dată f′(x)=(x+2)ex\displaystyle f'(x)=(x+2)e^x, tot cu formula produsului: (x+2)′=1\displaystyle (x+2)'=1 și (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x. Atunci f′′(x)=ex+(x+2)ex=ex(x+3)\displaystyle f''(x)=e^x+(x+2)e^x=e^x(x+3), pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′′(x)=(x+3)ex\displaystyle f''(x)=(x+3)e^x, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  4. Studiem semnul lui f′′\displaystyle f'' pe [−3,+∞)\displaystyle [-3,+\infty). Factorul ex\displaystyle e^x este strict pozitiv pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Pentru x≥−3\displaystyle x\geq -3 avem x+3≥0\displaystyle x+3\geq 0.
    ex>0 și x+3≥0, pentru x∈[−3,+∞)\displaystyle e^x>0\text{ și }x+3\geq 0\text{, pentru }x\in[-3,+\infty)
  5. Produsul dintre ex>0\displaystyle e^x>0 și x+3≥0\displaystyle x+3\geq 0 este mai mare sau egal cu zero, deci f′′(x)≥0\displaystyle f''(x)\geq 0 pentru orice x∈[−3,+∞)\displaystyle x\in[-3,+\infty). Cum derivata a doua este pozitivă sau nulă pe interval, funcția f\displaystyle f este convexă pe [−3,+∞)\displaystyle [-3,+\infty).
    f′′(x)≥0, pentru orice x∈[−3,+∞), deci f este convexa˘ pe \displaystyle f''(x)\geq 0\text{, pentru orice }x\in[-3,+\infty)\text{, deci }f\text{ este convexă pe }intervalul [−3,+∞)\displaystyle \text{intervalul }[-3,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+3xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x^3+3x}{x^2+1}.

Arătați că ∫−11(x2+1)f(x) dx=0\displaystyle \int_{-1}^{1}(x^2+1)f(x)\,dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x3+3xx2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^3+3x}{x^2+1} în integrală. Factorul x2+1\displaystyle x^2+1 se simplifică cu numitorul, care este nenul pentru orice x\displaystyle x real.
    (x2+1)⋅x3+3xx2+1=x3+3x\displaystyle (x^2+1)\cdot\frac{x^3+3x}{x^2+1}=x^3+3x
  2. Integrala devine integrala unui polinom: ∫−11(x3+3x) dx\displaystyle \int_{-1}^{1}(x^3+3x)\,dx. O calculăm cu primitiva termen cu termen: x44\displaystyle \dfrac{x^4}{4} pentru x3\displaystyle x^3 și 3⋅x22\displaystyle 3\cdot\dfrac{x^2}{2} pentru 3x\displaystyle 3x.
    ∫−11(x3+3x) dx=(x44+3⋅x22)∣−11\displaystyle \int_{-1}^{1}(x^3+3x)\,dx=\left(\frac{x^4}{4}+3\cdot\frac{x^2}{2}\right)\Big|_{-1}^{1}
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în 1\displaystyle 1 minus valoarea ei în −1\displaystyle -1. Deoarece (−1)4=14\displaystyle (-1)^4=1^4 și (−1)2=12\displaystyle (-1)^2=1^2, cele două valori sunt egale.
    (14+32)−(14+32)=0\displaystyle \left(\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\right)-\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\right)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+3xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x^3+3x}{x^2+1}.

Arătați că ∫01f(x) dx=12+ln⁡2\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\,dx=\frac{1}{2}+\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim numărătorul la numitor: x3+3x=x(x2+1)+2x\displaystyle x^{3}+3x=x(x^{2}+1)+2x, deci f(x)=x+2xx2+1\displaystyle f(x)=x+\dfrac{2x}{x^{2}+1}.
    f(x)=x+2xx2+1\displaystyle f(x)=x+\frac{2x}{x^{2}+1}
  2. Înlocuim în integrală descompunerea obținută: ∫01x3+3xx2+1 dx=∫01(x+2xx2+1)dx\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x^{3}+3x}{x^{2}+1}\,dx=\int_{0}^{1}\left(x+\frac{2x}{x^{2}+1}\right)dx.
    ∫01x3+3xx2+1 dx=∫01(x+2xx2+1)dx\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x^{3}+3x}{x^{2}+1}\,dx=\int_{0}^{1}\left(x+\frac{2x}{x^{2}+1}\right)dx
  3. Găsim primitiva fiecărui termen. Primitiva lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}. Pentru al doilea termen observăm că (x2+1)′=2x\displaystyle (x^{2}+1)'=2x, deci 2xx2+1\displaystyle \dfrac{2x}{x^{2}+1} are primitiva ln⁡(x2+1)\displaystyle \ln(x^{2}+1), deoarece x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0.
    ∫(x+2xx2+1)dx=x22+ln⁡(x2+1)+C\displaystyle \int\left(x+\frac{2x}{x^{2}+1}\right)dx=\frac{x^{2}}{2}+\ln(x^{2}+1)+C
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm primitiva în 1\displaystyle 1 și în 0\displaystyle 0 și scădem. În 1\displaystyle 1 obținem 12+ln⁡2\displaystyle \dfrac{1}{2}+\ln 2, iar în 0\displaystyle 0 obținem 0+ln⁡1=0\displaystyle 0+\ln 1=0.
    (x22+ln⁡(x2+1))∣01=(12+ln⁡2)−0=12+ln⁡2\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{2}+\ln(x^{2}+1)\right)\Big|_{0}^{1}=\left(\frac{1}{2}+\ln 2\right)-0=\frac{1}{2}+\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+3xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x^3+3x}{x^2+1}.

Determinați numărul real m\displaystyle m, m>0\displaystyle m>0, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)−x\displaystyle g(x)=f(x)-x, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=m\displaystyle x=m, are aria egală cu ln⁡2\displaystyle \ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem g(x)=f(x)−x=x3+3xx2+1−x\displaystyle g(x)=f(x)-x=\dfrac{x^{3}+3x}{x^{2}+1}-x și aducem la același numitor.
    g(x)=x3+3x−x(x2+1)x2+1\displaystyle g(x)=\frac{x^{3}+3x-x(x^{2}+1)}{x^{2}+1}
  2. La numărător, x3\displaystyle x^{3} se reduce, iar 3x−x=2x\displaystyle 3x-x=2x.
    g(x)=2xx2+1\displaystyle g(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}
  3. Pentru x∈[0,m]\displaystyle x\in[0,m] avem 2x≥0\displaystyle 2x\ge 0 și x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0, deci g(x)≥0\displaystyle g(x)\ge 0 și ∣g(x)∣=g(x)\displaystyle |g(x)|=g(x). Aria este integrala lui g\displaystyle g pe [0,m]\displaystyle [0,m].
    A=∫0m∣g(x)∣ dx=∫0m2xx2+1 dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^m |g(x)|\,dx=\int_0^m \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx
  4. Observăm că (x2+1)′=2x\displaystyle (x^{2}+1)'=2x, deci o primitivă a lui g\displaystyle g este ln⁡(x2+1)\displaystyle \ln(x^{2}+1). Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    A=ln⁡(x2+1)∣0m=ln⁡(m2+1)−ln⁡1=ln⁡(m2+1)\displaystyle \mathcal{A}=\ln(x^{2}+1)\Big|_0^m=\ln(m^{2}+1)-\ln 1=\ln(m^{2}+1)
  5. Egalăm aria cu ln⁡2\displaystyle \ln 2: ln⁡(m2+1)=ln⁡2\displaystyle \ln(m^{2}+1)=\ln 2. Funcția ln⁡\displaystyle \ln este injectivă, deci m2+1=2\displaystyle m^{2}+1=2, adică m2=1\displaystyle m^{2}=1.
    m2+1=2⇒m2=1\displaystyle m^{2}+1=2\Rightarrow m^{2}=1
  6. Din m2=1\displaystyle m^{2}=1 obținem m=1\displaystyle m=1 sau m=−1\displaystyle m=-1. Cum m>0\displaystyle m>0, rămâne m=1\displaystyle m=1.
    m=1\displaystyle m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.