Bac matematică M2 științe ale naturii 2010, sesiunea a II-a varianta 06: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați

\displaystyle x\in\mathbb{Z}

pentru care

\displaystyle -1\le \frac{x+1}{3}\le 1

.

Vezi rezolvarea

Avem dubla inegalitate $\displaystyle -1\le \dfrac{x+1}{3}\le 1$ . Pentru a scăpa de numitor, înmulțim toate cele trei părți cu $\displaystyle 3$ , care este pozitiv, deci sensul inegalităților se păstrează.
$\displaystyle -3\le x+1\le 3$
Scădem $\displaystyle 1$ din toate cele trei părți ale dublei inegalități, ca să rămână $\displaystyle x$ singur la mijloc: $\displaystyle -3-1\le x\le 3-1$ .
$\displaystyle -4\le x\le 2$
Mulțimea soluțiilor reale este intervalul închis $\displaystyle [-4,2]$ .
$\displaystyle x\in[-4,2]$
Cerința cere $\displaystyle x\in\mathbb{Z}$ , deci reținem din interval doar numerele întregi, de la $\displaystyle -4$ până la $\displaystyle 2$ , inclusiv capetele.
$\displaystyle x\in\{-4,-3,-2,-1,0,1,2\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați funcția de gradul al doilea al cărei grafic conține punctele

\displaystyle A(0,0)

,

\displaystyle B(2,2)

,

\displaystyle C(-1,2)

.

Vezi rezolvarea

Funcția de gradul al doilea are forma $\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c$ , cu $\displaystyle a\neq 0$ . Trebuie să aflăm numerele $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ .
$\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c$ , $\displaystyle \ a\neq 0$
Punctul aparține graficului dacă ordonata sa este valoarea funcției în abscisă: $\displaystyle f(0)=0$ , $\displaystyle f(2)=2$ , $\displaystyle f(-1)=2$ . Înlocuim $\displaystyle x$ în $\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c$ și obținem sistemul de mai jos.
$\displaystyle \begin{cases} c=0\\ 4a+2b+c=2\\ a-b+c=2\end{cases}$
Din prima ecuație avem $\displaystyle c=0$ . Înlocuind în celelalte două ecuații obținem $\displaystyle 4a+2b=2$ și $\displaystyle a-b=2$ . Împărțind prima ecuație la 2 obținem $\displaystyle 2a+b=1$ .
$\displaystyle \begin{cases} 2a+b=1\\ a-b=2\end{cases}$
Adunăm ecuațiile membru cu membru: $\displaystyle (2a+b)+(a-b)=1+2$ , adică $\displaystyle 3a=3$ , deci $\displaystyle a=1$ .
$\displaystyle 3a=3\Rightarrow a=1$
Din $\displaystyle a-b=2$ obținem $\displaystyle 1-b=2$ , deci $\displaystyle b=-1$ . Funcția este $\displaystyle f(x)=x^{2}-x$ . Verificare: $\displaystyle f(2)=4-2=2$ și $\displaystyle f(-1)=1+1=2$ , iar $\displaystyle f(0)=0$ .
$\displaystyle c=0$ , $\displaystyle \ a=1$ , $\displaystyle \ b=-1\Rightarrow f(x)=x^{2}-x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \log_2(x+3)-\log_2 x=2

.

Vezi rezolvarea

Punem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive, deci $\displaystyle x+3>0$ și $\displaystyle x>0$ .
$\displaystyle \begin{cases} x+3>0\\ x>0\end{cases}$
Din $\displaystyle x>-3$ și $\displaystyle x>0$ rezultă că $\displaystyle x\in(0,+\infty)$ .
$\displaystyle x\in(0,+\infty)$
Folosim formula diferenței de logaritmi în aceeași bază: $\displaystyle \log_2 a-\log_2 b=\log_2\dfrac{a}{b}$ . Ecuația devine $\displaystyle \log_2\dfrac{x+3}{x}=2$ .
$\displaystyle \log_2\frac{x+3}{x}=2$
Trecem de la logaritm la argument: din $\displaystyle \log_2\dfrac{x+3}{x}=2$ rezultă $\displaystyle \dfrac{x+3}{x}=2^{2}=4$ .
$\displaystyle \frac{x+3}{x}=4$
Înmulțim cu $\displaystyle x$ , care este nenul, și obținem $\displaystyle x+3=4x$ , deci $\displaystyle 3x=3$ .
$\displaystyle x+3=4x\Rightarrow 3x=3$
Rezultă $\displaystyle x=1$ . Această valoare aparține intervalului $\displaystyle (0,+\infty)$ , deci verifică condițiile de existență și este soluția ecuației.
$\displaystyle x=1\in(0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un element

\displaystyle n

din mulțimea

\displaystyle \{1,2,3,4\}

, acesta să verifice inegalitatea

\displaystyle 2^n\ge n^2

.

Vezi rezolvarea

Folosim definiția clasică a probabilității: $\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$ .
$\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$
Mulțimea $\displaystyle \{1,2,3,4\}$ are patru elemente, deci numărul cazurilor posibile este $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=4$
Pentru $\displaystyle n=1$ : $\displaystyle 2^1=2$ și $\displaystyle 1^2=1$ , iar $\displaystyle 2\ge 1$ , deci $\displaystyle n=1$ convine.
$\displaystyle 2^1=2\ge 1=1^2$
Pentru $\displaystyle n=2$ : $\displaystyle 2^2=4$ și $\displaystyle 2^2=4$ , iar $\displaystyle 4\ge 4$ , deci $\displaystyle n=2$ convine.
$\displaystyle 2^2=4\ge 4=2^2$
Pentru $\displaystyle n=3$ : $\displaystyle 2^3=8$ și $\displaystyle 3^2=9$ , iar $\displaystyle 8<9$ , deci $\displaystyle n=3$ nu convine.
$\displaystyle 2^3=8<9=3^2$
Pentru $\displaystyle n=4$ : $\displaystyle 2^4=16$ și $\displaystyle 4^2=16$ , iar $\displaystyle 16\ge 16$ , deci $\displaystyle n=4$ convine.
$\displaystyle 2^4=16\ge 16=4^2$
Convin valorile $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 2$ și $\displaystyle 4$ , deci numărul cazurilor favorabile este $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=3$
Înlocuim în formulă: $\displaystyle p=\dfrac{3}{4}$ .
$\displaystyle p=\dfrac{3}{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În sistemul de coordonate

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(2,0)

,

\displaystyle B(1,-1)

,

\displaystyle O(0,0)

. Determinați coordonatele punctului

\displaystyle C

pentru care

\displaystyle \overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}

.

Vezi rezolvarea

Scriem vectorii de poziție ai punctelor $\displaystyle A$ și $\displaystyle B$ cu ajutorul versorilor. Deoarece $\displaystyle O$ este originea, vectorul $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ are coordonatele lui $\displaystyle A$ , iar $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ are coordonatele lui $\displaystyle B$ , deci $\displaystyle \overrightarrow{OB}=\vec{i}-\vec{j}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{OA}=2\vec{i}$
Înmulțim vectorul $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ cu $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle 2\overrightarrow{OA}=4\vec{i}$
Adunăm vectorii: grupăm separat componentele pe $\displaystyle \vec{i}$ și pe $\displaystyle \vec{j}$ .
$\displaystyle 2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=4\vec{i}+\vec{i}-\vec{j}=5\vec{i}-\vec{j}$
Cum $\displaystyle \overrightarrow{OC}=5\vec{i}-\vec{j}$ și $\displaystyle O$ este originea, coordonatele punctului $\displaystyle C$ sunt coeficienții lui $\displaystyle \vec{i}$ și $\displaystyle \vec{j}$ .
$\displaystyle C(5,-1)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului

\displaystyle ABC

în care

\displaystyle AB=6

și

\displaystyle m(\measuredangle ACB)=30^\circ

.

Vezi rezolvarea

Scriem teorema sinusurilor în triunghiul $\displaystyle ABC$ : raportul dintre latura $\displaystyle AB$ și sinusul unghiului opus $\displaystyle C$ este egal cu dublul razei cercului circumscris, adică $\displaystyle \dfrac{AB}{\sin C}=2R$ .
$\displaystyle \dfrac{AB}{\sin C}=2R$
Exprimăm raza $\displaystyle R$ din relația de mai sus, împărțind la 2: $\displaystyle R=\dfrac{AB}{2\sin C}$ .
$\displaystyle R=\dfrac{AB}{2\sin C}$
Înlocuim datele: $\displaystyle AB=6$ și $\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}$ , deci $\displaystyle R=\dfrac{6}{2\cdot\frac{1}{2}}$ .
$\displaystyle R=\dfrac{6}{2\cdot\frac{1}{2}}$
Calculăm: la numitor $\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}=1$ , deci $\displaystyle R=\dfrac{6}{1}=6$ .
$\displaystyle R=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}

.

Calculați determinantul matricei

\displaystyle A

.

Vezi rezolvarea

Scriem determinantul matricei $\displaystyle A$ , adică determinantul de ordin 3 format cu liniile matricei: $\displaystyle \det(A)=\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{vmatrix}$ .
$\displaystyle \det(A)=\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{vmatrix}$
Observăm că matricea este inferior triunghiulară, deoarece toate elementele de deasupra diagonalei principale sunt nule. Dezvoltăm după prima linie, care are un singur element nenul, $\displaystyle 1$ pe poziția $\displaystyle (1,1)$ : $\displaystyle \det(A)=1\cdot\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}$ .
$\displaystyle \det(A)=1\cdot\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}$
Calculăm determinantul de ordin 2: $\displaystyle 1\cdot 1-0\cdot 0=1$ . Rezultă $\displaystyle \det(A)=1\cdot 1=1$ , adică produsul elementelor de pe diagonala principală.
$\displaystyle \det(A)=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}

.

Verificați dacă

\displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle A^{-1}

este inversa matricei

\displaystyle A

.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}$ matricea dată. $\displaystyle B$ este inversa lui $\displaystyle A$ dacă $\displaystyle A\cdot B=I_3$ și $\displaystyle B\cdot A=I_3$ .
$\displaystyle A\cdot B=I_3\text{ și }B\cdot A=I_3$
Calculăm $\displaystyle A\cdot B$ . Prima linie a lui $\displaystyle A$ este $\displaystyle (1\ 0\ 0)$ , deci prima linie a produsului este $\displaystyle (1\ 0\ 0)$ . A doua linie $\displaystyle (0\ 1\ 0)$ dă $\displaystyle (0\ 1\ 0)$ . A treia linie $\displaystyle (1\ 0\ 1)$ dă prima linie a lui $\displaystyle B$ plus a treia linie a lui $\displaystyle B$ : $\displaystyle (1\ 0\ 0)+(-1\ 0\ 1)=(0\ 0\ 1)$ .
$\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle B\cdot A$ . Primele două linii ale lui $\displaystyle B$ sunt $\displaystyle (1\ 0\ 0)$ și $\displaystyle (0\ 1\ 0)$ , deci produsul are primele două linii $\displaystyle (1\ 0\ 0)$ și $\displaystyle (0\ 1\ 0)$ . A treia linie $\displaystyle (-1\ 0\ 1)$ dă minus prima linie a lui $\displaystyle A$ plus a treia linie a lui $\displaystyle A$ : $\displaystyle (-1\ 0\ 0)+(1\ 0\ 1)=(0\ 0\ 1)$ .
$\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
Deoarece $\displaystyle A\cdot B=B\cdot A=I_3$ , matricea $\displaystyle B$ este inversa lui $\displaystyle A$ . Deci afirmația este adevărată.
$\displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}

. Rezolvați ecuația

\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&2\\3&3&3\end{pmatrix}

,

\displaystyle X\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})

.

Vezi rezolvarea

Calculăm determinantul matricei $\displaystyle A$ . Matricea este inferior triunghiulară, cu $\displaystyle 1$ pe diagonală, deci $\displaystyle \det A=1\neq 0$ și $\displaystyle A$ este inversabilă.
$\displaystyle \det A=1\cdot 1\cdot 1=1\neq 0$
Determinăm inversa matricei $\displaystyle A$ . Observăm că $\displaystyle A$ este matricea unitate la care s-a adăugat $\displaystyle 1$ în poziția $\displaystyle (3,1)$ . Verificăm că matricea cu $\displaystyle -1$ în poziția $\displaystyle (3,1)$ este inversa: $\displaystyle A\cdot A^{-1}=I_3$ .
$\displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}$
Înmulțim ecuația la stânga cu $\displaystyle A^{-1}$ . Deoarece $\displaystyle A^{-1}\cdot A=I_3$ , obținem $\displaystyle X$ ca produs între $\displaystyle A^{-1}$ și matricea din membrul drept.
$\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&2\\3&3&3\end{pmatrix}$
Efectuăm produsul. Primele două linii rămân neschimbate, iar linia a treia este $\displaystyle -1\cdot(\text{linia întâi})+1\cdot(\text{linia a treia})$ , adică $\displaystyle -1+3=2$ pe fiecare coloană.
$\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&2\\2&2&2\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Fie polinomul

\displaystyle f\in\mathbb{Z}_3[X]

,

\displaystyle f=X^3+\hat{2}X^2

și mulțimea

\displaystyle G=\{g=aX^3+bX^2+cX+d\mid a,b,c,d\in\mathbb{Z}_3\}

.

Calculați

\displaystyle f(\hat{1})

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle X$ cu $\displaystyle \hat{1}$ în $\displaystyle f=X^3+\hat{2}X^2$ și obținem $\displaystyle f(\hat{1})=\hat{1}^3+\hat{2}\cdot\hat{1}^2$ .
$\displaystyle f(\hat{1})=\hat{1}^3+\hat{2}\cdot\hat{1}^2$
Calculăm puterile: $\displaystyle \hat{1}^3=\hat{1}$ și $\displaystyle \hat{1}^2=\hat{1}$ , deci $\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{1}^2=\hat{2}\cdot\hat{1}=\hat{2}$ .
$\displaystyle f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{2}$
Adunăm în $\displaystyle \mathbb{Z}_3$ : $\displaystyle \hat{1}+\hat{2}=\hat{3}=\hat{0}$ , pentru că $\displaystyle 3$ dă restul $\displaystyle 0$ la împărțirea la $\displaystyle 3$ . Deci $\displaystyle f(\hat{1})=\hat{0}$ .
$\displaystyle f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{2}=\hat{0}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Fie polinomul

\displaystyle f\in\mathbb{Z}_3[X]

,

\displaystyle f=X^3+\hat{2}X^2

și mulțimea

\displaystyle G=\{g=aX^3+bX^2+cX+d\mid a,b,c,d\in\mathbb{Z}_3\}

.

Determinați rădăcinile polinomului

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Avem $\displaystyle f=X^{3}+\hat{2}X^{2}$ . Ambii termeni conțin factorul $\displaystyle X^{2}$ , pe care îl dăm factor comun.
$\displaystyle f=X^{2}\cdot X+X^{2}\cdot\hat{2}$
Dând factor comun $\displaystyle X^{2}$ , obținem forma factorizată a lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f=X^{2}(X+\hat{2})$
Rădăcinile lui $\displaystyle f$ se obțin egalând cu zero fiecare factor. Din $\displaystyle X^{2}=\hat{0}$ rezultă $\displaystyle X=\hat{0}$ , rădăcină dublă.
$\displaystyle X^{2}=\hat{0}\Rightarrow X=\hat{0}\text{ (rădăcină dublă)}$
Din $\displaystyle X+\hat{2}=\hat{0}$ în $\displaystyle \mathbb{Z}_3$ rezultă $\displaystyle X=-\hat{2}=\hat{1}$ , deoarece $\displaystyle -2\equiv 1 \pmod 3$ .
$\displaystyle X+\hat{2}=\hat{0}\Rightarrow X=-\hat{2}=\hat{1}$
Rădăcinile polinomului $\displaystyle f$ sunt $\displaystyle \hat{0}$ (de două ori) și $\displaystyle \hat{1}$ .
$\displaystyle \hat{0}$ , $\displaystyle \ \hat{0}\text{ și }\hat{1}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Fie polinomul

\displaystyle f\in\mathbb{Z}_3[X]

,

\displaystyle f=X^3+\hat{2}X^2

și mulțimea

\displaystyle G=\{g=aX^3+bX^2+cX+d\mid a,b,c,d\in\mathbb{Z}_3\}

.

Determinați numărul elementelor mulțimii

\displaystyle G

.

Vezi rezolvarea

Un polinom $\displaystyle g=aX^3+bX^2+cX+d$ din $\displaystyle G$ este determinat de coeficienții $\displaystyle a,b,c,d$ , iar două polinoame sunt egale exact când au aceiași coeficienți. Deci numărul elementelor lui $\displaystyle G$ este numărul de patru-uple $\displaystyle (a,b,c,d)$ cu $\displaystyle a,b,c,d\in\mathbb{Z}_3$ .
$\displaystyle |G|=\left|\{(a,b,c,d)\mid a,b,c,d\in\mathbb{Z}_3\}\right|$
Mulțimea $\displaystyle \mathbb{Z}_3$ are exact trei elemente: clasele $\displaystyle \hat{0}$ , $\displaystyle \hat{1}$ și $\displaystyle \hat{2}$ . Deci fiecare coeficient poate fi ales în $\displaystyle 3$ moduri.
$\displaystyle \mathbb{Z}_3=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2}\}$ , $\displaystyle \quad |\mathbb{Z}_3|=3$
Cei patru coeficienți se aleg independent unul de altul, deci numărul de alegeri se obține prin înmulțire: $\displaystyle 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^4=81$ . Prin urmare mulțimea $\displaystyle G$ are 81 de elemente.
$\displaystyle |G|=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^4=81$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:[0,1]\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{1+x}

.

Demonstrați că

\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{x}{x+1}

, oricare ar fi

\displaystyle x\in[0,1]

.

Vezi rezolvarea

Funcția este un cât, $\displaystyle f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ , cu $\displaystyle u(x)=e^{x}$ și $\displaystyle v(x)=1+x$ . Derivatele sunt $\displaystyle u'(x)=e^{x}$ și $\displaystyle v'(x)=1$ .
$\displaystyle u'(x)=e^{x}$ , $\displaystyle \ v'(x)=1$
Aplicăm formula $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ și obținem derivata funcției $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f'(x)=\frac{e^{x}(1+x)-e^{x}\cdot 1}{(1+x)^{2}}$
La numărător dăm factor comun $\displaystyle e^{x}$ : $\displaystyle e^{x}(1+x-1)=x\cdot e^{x}$ . Deci derivata este:
$\displaystyle f'(x)=\frac{x\cdot e^{x}}{(x+1)^{2}}$
Pe $\displaystyle [0,1]$ avem $\displaystyle e^{x}>0$ și $\displaystyle 1+x>0$ , deci $\displaystyle f(x)\neq 0$ și raportul are sens. Scriem raportul ca produs cu inversul lui $\displaystyle f(x)$ :
$\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{x\cdot e^{x}}{(x+1)^{2}}\cdot\frac{1+x}{e^{x}}$
Simplificăm $\displaystyle e^{x}$ și un factor $\displaystyle x+1$ (numitorul $\displaystyle (x+1)^{2}$ devine $\displaystyle x+1$ ). Obținem egalitatea cerută, pentru orice $\displaystyle x\in[0,1]$ .
$\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{x}{x+1}$ , $\displaystyle \ \forall x\in[0,1]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:[0,1]\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{1+x}

.

Demonstrați că funcția

\displaystyle f

este crescătoare pe

\displaystyle [0,1]

.

Vezi rezolvarea

Pentru a arăta că funcția este crescătoare, studiem semnul derivatei întâi. Funcția este un cât de două funcții derivabile, iar numitorul $\displaystyle 1+x$ este nenul pe $\displaystyle [0,1]$ . Folosim formula $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , cu $\displaystyle u=e^{x}$ și $\displaystyle v=1+x$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(e^{x})'(1+x)-e^{x}(1+x)'}{(1+x)^{2}}$
Înlocuim derivatele: $\displaystyle (e^{x})'=e^{x}$ și $\displaystyle (1+x)'=1$ . Dăm factor comun $\displaystyle e^{x}$ la numărător și reducem termenii: $\displaystyle 1+x-1=x$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}(1+x)-e^{x}}{(x+1)^{2}}=\dfrac{x\cdot e^{x}}{(x+1)^{2}}$
Stabilim semnul derivatei pe intervalul $\displaystyle [0,1]$ . Pentru $\displaystyle x\in[0,1]$ avem $\displaystyle x\ge 0$ , $\displaystyle e^{x}>0$ și $\displaystyle (x+1)^{2}>0$ . Prin urmare, fracția este mai mare sau egală cu $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x\cdot e^{x}}{(x+1)^{2}}\ge 0$ , $\displaystyle \ \forall x\in[0,1]$
Deoarece $\displaystyle f'(x)\ge 0$ pentru orice $\displaystyle x\in[0,1]$ , funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle [0,1]$ .
$\displaystyle f\text{ este crescătoare pe }[0,1]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:[0,1]\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{1+x}

.

Demonstrați că

\displaystyle \frac{2}{e}\le\frac{1}{f(x)}\le 1

, oricare ar fi

\displaystyle x\in[0,1]

.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata funcției $\displaystyle f$ pe $\displaystyle [0,1]$ cu formula de derivare a câtului: $\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}(1+x)-e^{x}\cdot 1}{(1+x)^{2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}(1+x)-e^{x}}{(1+x)^{2}}$
Simplificăm numărătorul: $\displaystyle e^{x}(1+x)-e^{x}=x\,e^{x}$ . Deci $\displaystyle f'(x)=\dfrac{x\,e^{x}}{(1+x)^{2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x\,e^{x}}{(1+x)^{2}}$
Pentru $\displaystyle x\in[0,1]$ avem $\displaystyle x\ge 0$ , $\displaystyle e^{x}>0$ și $\displaystyle (1+x)^{2}>0$ , deci $\displaystyle f'(x)\ge 0$ . Funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle [0,1]$ .
$\displaystyle f'(x)\ge 0$ , $\displaystyle \ \forall x\in[0,1]\Rightarrow f\text{ crescătoare pe }[0,1]$
Din $\displaystyle 0\le x\le 1$ și creșterea lui $\displaystyle f$ rezultă $\displaystyle f(0)\le f(x)\le f(1)$ . Calculăm $\displaystyle f(0)=\dfrac{e^{0}}{1+0}=1$ și $\displaystyle f(1)=\dfrac{e}{2}$ .
$\displaystyle f(0)\le f(x)\le f(1)\text{, adică }1\le f(x)\le\dfrac{e}{2}$
Numerele din inegalitate sunt strict pozitive, deci trecem la inverse, iar sensul inegalităților se schimbă. Din $\displaystyle 1\le f(x)\le\dfrac{e}{2}$ obținem $\displaystyle \dfrac{2}{e}\le\dfrac{1}{f(x)}\le 1$ , pentru orice $\displaystyle x\in[0,1]$ .
$\displaystyle \dfrac{2}{e}\le\dfrac{1}{f(x)}\le 1$ , $\displaystyle \ \forall x\in[0,1]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}\sqrt{x^2+3}, & x\ge 1\\ 2x, & x<1\end{cases}

.

Demonstrați că funcția

\displaystyle f

admite primitive pe

\displaystyle \mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Pe $\displaystyle (-\infty,1)$ funcția este $\displaystyle f(x)=2x$ , iar pe $\displaystyle (1,\infty)$ este $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^{2}+3}$ . Ambele sunt funcții elementare, deci continue pe intervalele respective. Rămâne de verificat continuitatea în punctul $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle \text{De verificat }$ $\displaystyle \text{continuitatea în }x=1$
Cum $\displaystyle 1\ge 1$ , folosim ramura $\displaystyle \sqrt{x^{2}+3}$ : $\displaystyle f(1)=\sqrt{1^{2}+3}=\sqrt{4}=2$ .
$\displaystyle f(1)=\sqrt{1+3}=2$
Pentru $\displaystyle x<1$ avem $\displaystyle f(x)=2x$ , deci $\displaystyle l_s(1)=\lim_{x\to 1,\,x<1}2x=2\cdot 1=2$ .
$\displaystyle l_s(1)=\lim_{x\to 1^{-}}2x=2$
Pentru $\displaystyle x>1$ avem $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^{2}+3}$ , deci $\displaystyle l_d(1)=\lim_{x\to 1,\,x>1}\sqrt{x^{2}+3}=\sqrt{4}=2$ . Obținem $\displaystyle l_s(1)=l_d(1)=f(1)=2$ , deci $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle l_s(1)=l_d(1)=f(1)=2\Rightarrow f\text{ continuă în }1$
Funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle (-\infty,1)$ , pe $\displaystyle (1,\infty)$ și în $\displaystyle x=1$ , deci este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ . Orice funcție continuă pe un interval admite primitive pe acel interval, deci $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$ .
$\displaystyle f\text{ continuă pe }\mathbb{R}\Rightarrow f\text{ admite primitive pe }\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}\sqrt{x^2+3}, & x\ge 1\\ 2x, & x<1\end{cases}

.

Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei

\displaystyle Ox

a graficului funcției

\displaystyle g:[1,2]\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=f(x)

.

Vezi rezolvarea

Pe intervalul $\displaystyle [1,2]$ avem $\displaystyle x\ge 1$ , deci $\displaystyle g(x)=f(x)=\sqrt{x^{2}+3}$ . Aplicăm formula volumului corpului de rotație în jurul axei $\displaystyle Ox$ : $\displaystyle V=\pi\int_{1}^{2} g^{2}(x)\,dx$ .
$\displaystyle V=\pi\int_{1}^{2} g^{2}(x)\,dx$
Ridicăm la pătrat: $\displaystyle g^{2}(x)=\left(\sqrt{x^{2}+3}\right)^{2}=x^{2}+3$ , deoarece expresia de sub radical este pozitivă. Înlocuim în integrală.
$\displaystyle V=\pi\int_{1}^{2}(x^{2}+3)\,dx$
Găsim o primitivă a lui $\displaystyle x^{2}+3$ , anume $\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}+3x$ . Scriem integrala cu formula Leibniz-Newton, evaluând primitiva între $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle V=\pi\left(\frac{x^{3}}{3}+3x\right)\Big|_{1}^{2}$
Calculăm valoarea primitivei în $\displaystyle 2$ : $\displaystyle \dfrac{8}{3}+6=\dfrac{26}{3}$ . În $\displaystyle 1$ : $\displaystyle \dfrac{1}{3}+3=\dfrac{10}{3}$ . Diferența este $\displaystyle \dfrac{26}{3}-\dfrac{10}{3}=\dfrac{16}{3}$ .
$\displaystyle \left(\frac{8}{3}+6\right)-\left(\frac{1}{3}+3\right)=\frac{26}{3}-\frac{10}{3}=\frac{16}{3}$
Înmulțim cu $\displaystyle \pi$ și obținem volumul căutat.
$\displaystyle V=\frac{16}{3}\pi$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}\sqrt{x^2+3}, & x\ge 1\\ 2x, & x<1\end{cases}

.

Calculați

\displaystyle \int_1^{\sqrt{6}} x\cdot f(x)\,dx

.

Vezi rezolvarea

Pe intervalul $\displaystyle [1,\sqrt{6}]$ avem $\displaystyle x\ge 1$ , deci $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^{2}+3}$ . Integrala devine o integrală din $\displaystyle x\sqrt{x^{2}+3}$ .
$\displaystyle \int_1^{\sqrt{6}} x\sqrt{x^{2}+3}\,dx$
Facem substituția $\displaystyle t=x^{2}+3$ . Atunci $\displaystyle dt=2x\,dx$ , deci $\displaystyle x\,dx=\dfrac{dt}{2}$ .
$\displaystyle x\,dx=\frac{dt}{2}$
Schimbăm limitele: pentru $\displaystyle x=1$ obținem $\displaystyle t=1+3=4$ , iar pentru $\displaystyle x=\sqrt{6}$ obținem $\displaystyle t=6+3=9$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}\int_4^9\sqrt{t}\,dt$
O primitivă a lui $\displaystyle \sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$ este $\displaystyle \dfrac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}$ . Înmulțind cu $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ , obținem $\displaystyle \dfrac{1}{3}t^{\frac{3}{2}}$ , calculată între 4 și 9.
$\displaystyle \frac{1}{2}\int_4^9\sqrt{t}\,dt=\frac{1}{3}t^{\frac{3}{2}}\Big|_4^9$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle 9^{\frac{3}{2}}=27$ și $\displaystyle 4^{\frac{3}{2}}=8$ . Rezultă $\displaystyle \dfrac{1}{3}(27-8)=\dfrac{19}{3}$ .
$\displaystyle \frac{1}{3}(27-8)=\frac{19}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2010, sesiunea a II-a varianta 06: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani