Bac matematică M2 științe ale naturii 2019, sesiunea a II-a varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}, dacă a1=2\displaystyle a_1=2 și rația r=2\displaystyle r=2.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică an+1=an+r\displaystyle a_{n+1}=a_n+r. Al doilea termen este a2=a1+r=2+2\displaystyle a_2=a_1+r=2+2.
    a2=4\displaystyle a_2=4
  2. Al treilea termen este a3=a2+r=4+2\displaystyle a_3=a_2+r=4+2.
    a3=6\displaystyle a_3=6
  3. Adunăm primii trei termeni: a1+a2+a3=2+4+6\displaystyle a_1+a_2+a_3=2+4+6.
    a1+a2+a3=2+4+6=12\displaystyle a_1+a_2+a_3=2+4+6=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−10x+9\displaystyle f(x)=x^2-10x+9 cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox au ordonata zero, deci punem condiția f(x)=0\displaystyle f(x)=0.
    f(x)=0⇔x2−10x+9=0\displaystyle f(x)=0\Leftrightarrow x^{2}-10x+9=0
  2. Calculăm discriminantul ecuației de gradul al doilea, cu a=1\displaystyle a=1, b=−10\displaystyle b=-10, c=9\displaystyle c=9: Δ=b2−4ac\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac.
    Δ=(−10)2−4⋅1⋅9=100−36=64\displaystyle \Delta=(-10)^{2}-4\cdot 1\cdot 9=100-36=64
  3. Aplicăm formula rădăcinilor x1,2=−b±Δ2a\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, cu 64=8\displaystyle \sqrt{64}=8.
    x1,2=10±82\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{10\pm 8}{2}
  4. Obținem x1=10−82=1\displaystyle x_1=\dfrac{10-8}{2}=1 și x2=10+82=9\displaystyle x_2=\dfrac{10+8}{2}=9. Acestea sunt abscisele punctelor de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox.
    x=1 și x=9\displaystyle x=1\text{ și }x=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x+1−3⋅5x=2\displaystyle 5^{x+1}-3\cdot 5^x=2.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea puterilor: 5x+1=5x⋅5\displaystyle 5^{x+1}=5^x\cdot 5. Rescriem ecuația: 5⋅5x−3⋅5x=2\displaystyle 5\cdot 5^x-3\cdot 5^x=2.
    5⋅5x−3⋅5x=2\displaystyle 5\cdot 5^x-3\cdot 5^x=2
  2. Dăm factor comun 5x\displaystyle 5^x și calculăm paranteza: 5x(5−3)=2\displaystyle 5^x(5-3)=2, adică 5x⋅2=2\displaystyle 5^x\cdot 2=2.
    5x(5−3)=2⇔5x⋅2=2\displaystyle 5^x(5-3)=2\Leftrightarrow 5^x\cdot 2=2
  3. Împărțim ecuația la 2\displaystyle 2 și obținem 5x=1\displaystyle 5^x=1.
    5x=1\displaystyle 5^x=1
  4. Scriem 1=50\displaystyle 1=5^0, deci 5x=50\displaystyle 5^x=5^0. Funcția exponențială cu baza 5\displaystyle 5 este injectivă, deci x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr x\displaystyle x din mulțimea A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\displaystyle A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, acesta să fie soluție a ecuației x2−4x+4=0\displaystyle x^2-4x+4=0.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul cazurilor posibile este numărul elementelor mulțimii A\displaystyle A. Cum A={0,1,2,…,9}\displaystyle A=\{0,1,2,\ldots,9\}, avem 10\displaystyle 10 cazuri posibile.
    nr. cazuri posibile=10\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=10
  2. Rezolvăm ecuația x2−4x+4=0\displaystyle x^{2}-4x+4=0. Observăm că membrul stâng este un pătrat perfect: x2−4x+4=(x−2)2\displaystyle x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
    (x−2)2=0\displaystyle (x-2)^{2}=0
  3. Din (x−2)2=0\displaystyle (x-2)^{2}=0 rezultă x=2\displaystyle x=2, unica soluție. Deoarece 2∈A\displaystyle 2\in A, avem un singur caz favorabil.
    x=2∈A⇒nr. cazuri favorabile=1\displaystyle x=2\in A\Rightarrow \text{nr. cazuri favorabile}=1
  4. Aplicăm formula probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=110\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{1}{10}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=110\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{1}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați lungimea vectorului AB→+AC→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}, știind că triunghiul ABC\displaystyle ABC este echilateral și AB=2\displaystyle AB=2.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu M\displaystyle M mijlocul laturii BC\displaystyle BC. Deoarece AB→=AM→+MB→\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB} și AC→=AM→+MC→\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}, iar MB→+MC→=0→\displaystyle \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}, obținem suma de mai jos.
    AB→+AC→=2AM→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}
  2. Trecem la lungimi: ∣AB→+AC→∣=2⋅AM\displaystyle \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2\cdot AM.
    ∣AB→+AC→∣=2⋅AM\displaystyle \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2\cdot AM
  3. Într-un triunghi echilateral mediana AM\displaystyle AM este și înălțime, deci triunghiul AMB\displaystyle AMB este dreptunghic în M\displaystyle M, cu AB=2\displaystyle AB=2 și BM=BC2=1\displaystyle BM=\dfrac{BC}{2}=1.
    BM=1\displaystyle BM=1, AB=2\displaystyle \ AB=2
  4. Din teorema lui Pitagora în triunghiul AMB\displaystyle AMB: AM2=AB2−BM2=4−1=3\displaystyle AM^{2}=AB^{2}-BM^{2}=4-1=3, deci AM=3\displaystyle AM=\sqrt{3}.
    AM=3\displaystyle AM=\sqrt{3}
  5. Atunci ∣AB→+AC→∣=2⋅AM=23\displaystyle \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2\cdot AM=2\sqrt{3}.
    ∣AB→+AC→∣=23\displaystyle \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡2(π2−x)+sin⁡2(x+π)=1\displaystyle \sin^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\sin^2(x+\pi)=1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Reducem primul argument cu formula de reducere pentru unghiuri complementare: sin⁡(π2−x)=cos⁡x\displaystyle \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x.
    sin⁡(π2−x)=cos⁡x\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x
  2. Reducem al doilea argument: adăugarea lui π\displaystyle \pi schimbă semnul sinusului, deci sin⁡(x+π)=−sin⁡x\displaystyle \sin(x+\pi)=-\sin x.
    sin⁡(x+π)=−sin⁡x\displaystyle \sin(x+\pi)=-\sin x
  3. Înlocuim în expresie: sin⁡2(π2−x)+sin⁡2(x+π)=cos⁡2x+(−sin⁡x)2\displaystyle \sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+\sin^2(x+\pi)=\cos^2 x+(-\sin x)^2. Pătratul elimină semnul minus, deci obținem cos⁡2x+sin⁡2x\displaystyle \cos^2 x+\sin^2 x.
    cos⁡2x+(−sin⁡x)2=cos⁡2x+sin⁡2x\displaystyle \cos^2 x+(-\sin x)^2=\cos^2 x+\sin^2 x
  4. Aplicăm identitatea fundamentală sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1, valabilă pentru orice x\displaystyle x real. Deci egalitatea cerută este adevărată pentru orice număr real x\displaystyle x.
    sin⁡2(π2−x)+sin⁡2(x+π)=cos⁡2x+sin⁡2x=1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \sin^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\sin^2(x+\pi)=\cos^2 x+\sin^2 x=1\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1+4a−6a2a1−3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1+4a & -6a\\ 2a & 1-3a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=2\displaystyle \det(A(1))=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a): 1+4a=1+4⋅1=5\displaystyle 1+4a=1+4\cdot 1=5, −6a=−6\displaystyle -6a=-6, 2a=2\displaystyle 2a=2, iar 1−3a=1−3=−2\displaystyle 1-3a=1-3=-2.
    A(1)=(5−62−2)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}5 & -6\\ 2 & -2\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul de ordinul doi ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(1))=5⋅(−2)−2⋅(−6)\displaystyle \det(A(1))=5\cdot(-2)-2\cdot(-6).
    det⁡(A(1))=5⋅(−2)−2⋅(−6)\displaystyle \det(A(1))=5\cdot(-2)-2\cdot(-6)
  3. Calculăm produsele: 5⋅(−2)=−10\displaystyle 5\cdot(-2)=-10 și 2⋅(−6)=−12\displaystyle 2\cdot(-6)=-12, deci −10−(−12)=−10+12\displaystyle -10-(-12)=-10+12. Obținem 2\displaystyle 2, ceea ce trebuia demonstrat.
    det⁡(A(1))=−10+12=2\displaystyle \det(A(1))=-10+12=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1+4a−6a2a1−3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1+4a & -6a\\ 2a & 1-3a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că A(a)A(b)=A(a+b+ab)\displaystyle A(a)A(b)=A(a+b+ab), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A(a)A(b)\displaystyle A(a)A(b) și îl calculăm element cu element, prin înmulțirea liniilor primei matrice cu coloanele celei de-a doua.
    A(a)A(b)=(1+4a−6a2a1−3a)(1+4b−6b2b1−3b)\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix}1+4a & -6a\\ 2a & 1-3a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1+4b & -6b\\ 2b & 1-3b\end{pmatrix}
  2. Elementul din linia 1, coloana 1: înmulțim linia 1 din A(a)\displaystyle A(a) cu coloana 1 din A(b)\displaystyle A(b), apoi reducem termenii asemenea.
    (1+4a)(1+4b)+(−6a)(2b)=1+4a+4b+16ab−12ab=1+4a+4b+4ab\displaystyle (1+4a)(1+4b)+(-6a)(2b)=1+4a+4b+16ab-12ab=1+4a+4b+4ab
  3. Elementul din linia 1, coloana 2: înmulțim linia 1 din A(a)\displaystyle A(a) cu coloana 2 din A(b)\displaystyle A(b).
    (1+4a)(−6b)+(−6a)(1−3b)=−6b−24ab−6a+18ab=−6a−6b−6ab\displaystyle (1+4a)(-6b)+(-6a)(1-3b)=-6b-24ab-6a+18ab=-6a-6b-6ab
  4. Elementul din linia 2, coloana 1: înmulțim linia 2 din A(a)\displaystyle A(a) cu coloana 1 din A(b)\displaystyle A(b).
    2a(1+4b)+(1−3a)⋅2b=2a+8ab+2b−6ab=2a+2b+2ab\displaystyle 2a(1+4b)+(1-3a)\cdot 2b=2a+8ab+2b-6ab=2a+2b+2ab
  5. Elementul din linia 2, coloana 2: înmulțim linia 2 din A(a)\displaystyle A(a) cu coloana 2 din A(b)\displaystyle A(b).
    2a(−6b)+(1−3a)(1−3b)=−12ab+1−3a−3b+9ab=1−3a−3b−3ab\displaystyle 2a(-6b)+(1-3a)(1-3b)=-12ab+1-3a-3b+9ab=1-3a-3b-3ab
  6. Adunăm cele patru elemente calculate și obținem matricea produs.
    A(a)A(b)=(1+4a+4b+4ab−6b−6ab−6a2a+2ab+2b1−3a−3b−3ab)\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix}1+4a+4b+4ab & -6b-6ab-6a\\ 2a+2ab+2b & 1-3a-3b-3ab\end{pmatrix}
  7. Dăm factor comun în fiecare element, astfel încât să apară expresia a+b+ab\displaystyle a+b+ab: 4a+4b+4ab=4(a+b+ab)\displaystyle 4a+4b+4ab=4(a+b+ab), −6(a+b+ab)\displaystyle -6(a+b+ab), 2(a+b+ab)\displaystyle 2(a+b+ab) și −3(a+b+ab)\displaystyle -3(a+b+ab). Matricea obținută are exact forma lui A(a+b+ab)\displaystyle A(a+b+ab), adică înlocuim parametrul a\displaystyle a cu a+b+ab\displaystyle a+b+ab în definiția lui A\displaystyle A.
    A(a)A(b)=(1+4(a+b+ab)−6(a+b+ab)2(a+b+ab)1−3(a+b+ab))=A(a+b+ab)\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix}1+4(a+b+ab) & -6(a+b+ab)\\ 2(a+b+ab) & 1-3(a+b+ab)\end{pmatrix}=A(a+b+ab)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1+4a−6a2a1−3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1+4a & -6a\\ 2a & 1-3a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați perechile de numere naturale m\displaystyle m și n\displaystyle n pentru care A(m)A(n)=A(2)\displaystyle A(m)A(n)=A(2).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem A(a)=I2+aB\displaystyle A(a)=I_2+aB, unde B=(4−62−3)\displaystyle B=\begin{pmatrix}4 & -6\\ 2 & -3\end{pmatrix}.
    A(a)=I2+aB\displaystyle A(a)=I_2+aB,B=(4−62−3)\displaystyle \quad B=\begin{pmatrix}4 & -6\\ 2 & -3\end{pmatrix}
  2. Calculăm B2=(16−12−24+188−6−12+9)\displaystyle B^2=\begin{pmatrix}16-12 & -24+18\\ 8-6 & -12+9\end{pmatrix} și observăm că B2=B\displaystyle B^2=B.
    B2=(4−62−3)=B\displaystyle B^2=\begin{pmatrix}4 & -6\\ 2 & -3\end{pmatrix}=B
  3. Avem A(m)A(n)=(I2+mB)(I2+nB)=I2+(m+n)B+mnB2=I2+(m+n+mn)B\displaystyle A(m)A(n)=(I_2+mB)(I_2+nB)=I_2+(m+n)B+mnB^2=I_2+(m+n+mn)B.
    A(m)A(n)=A(m+n+mn)\displaystyle A(m)A(n)=A(m+n+mn)
  4. Egalitatea A(m)A(n)=A(2)\displaystyle A(m)A(n)=A(2) devine A(m+n+mn)=A(2)\displaystyle A(m+n+mn)=A(2). Cum B≠O2\displaystyle B\neq O_2, din A(x)=A(y)\displaystyle A(x)=A(y) rezultă x=y\displaystyle x=y. Deci m+n+mn=2\displaystyle m+n+mn=2.
    m+n+mn=2\displaystyle m+n+mn=2
  5. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri: mn+m+n+1=3\displaystyle mn+m+n+1=3. Grupăm termenii: m(n+1)+(n+1)=3\displaystyle m(n+1)+(n+1)=3.
    (m+1)(n+1)=3\displaystyle (m+1)(n+1)=3
  6. Numerele m+1\displaystyle m+1 și n+1\displaystyle n+1 sunt naturale nenule cu produsul 3\displaystyle 3, deci (m+1,n+1)∈{(1,3),(3,1)}\displaystyle (m+1,n+1)\in\{(1,3),(3,1)\}. Obținem m=0, n=2\displaystyle m=0,\ n=2 sau m=2, n=0\displaystyle m=2,\ n=0.
    m=2\displaystyle m=2, n=0 sau m=0\displaystyle \ n=0\text{ sau }m=0, n=2\displaystyle \ n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x\circ y=2xy-2x-2y+3.

Arătați că x∘y=2(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=2(x-1)(y-1)+1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∘y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x\circ y=2xy-2x-2y+3.
    x∘y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x\circ y=2xy-2x-2y+3
  2. Descompunem termenul liber 3\displaystyle 3 ca 2+1\displaystyle 2+1, pentru a pregăti gruparea termenilor.
    x∘y=2xy−2x−2y+2+1\displaystyle x\circ y=2xy-2x-2y+2+1
  3. Grupăm primii doi termeni și dăm factor comun 2x\displaystyle 2x, apoi grupăm termenii −2y+2\displaystyle -2y+2 și dăm factor comun −2\displaystyle -2. Se obține 2x(y−1)−2(y−1)+1\displaystyle 2x(y-1)-2(y-1)+1.
    x∘y=2x(y−1)−2(y−1)+1\displaystyle x\circ y=2x(y-1)-2(y-1)+1
  4. Dăm factor comun (y−1)\displaystyle (y-1) și obținem forma factorizată, adică exact egalitatea cerută, valabilă pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    x∘y=2(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=2(x-1)(y-1)+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x\circ y=2xy-2x-2y+3.

Determinați valorile reale ale lui x\displaystyle x pentru care x∘x≤9\displaystyle x\circ x\le 9.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem x∘x\displaystyle x\circ x folosind definiția legii, cu y=x\displaystyle y=x: x∘x=2x⋅x−2x−2x+3\displaystyle x\circ x=2x\cdot x-2x-2x+3.
    x∘x=2x2−4x+3\displaystyle x\circ x=2x^{2}-4x+3
  2. Scriem expresia sub formă de pătrat perfect: dăm factor comun 2\displaystyle 2 din primii doi termeni și completăm pătratul. Obținem x∘x=2(x−1)2+1\displaystyle x\circ x=2(x-1)^{2}+1.
    x∘x=2(x2−2x+1)−2+3=2(x−1)2+1\displaystyle x\circ x=2(x^{2}-2x+1)-2+3=2(x-1)^{2}+1
  3. Înlocuim în inegalitatea x∘x≤9\displaystyle x\circ x\le 9: 2(x−1)2+1≤9\displaystyle 2(x-1)^{2}+1\le 9, deci 2(x−1)2≤8\displaystyle 2(x-1)^{2}\le 8, de unde (x−1)2≤4\displaystyle (x-1)^{2}\le 4.
    2(x−1)2+1≤9⇒(x−1)2≤4\displaystyle 2(x-1)^{2}+1\le 9\Rightarrow (x-1)^{2}\le 4
  4. Inegalitatea (x−1)2≤4\displaystyle (x-1)^{2}\le 4 este echivalentă cu ∣x−1∣≤2\displaystyle |x-1|\le 2, adică −2≤x−1≤2\displaystyle -2\le x-1\le 2.
    −2≤x−1≤2\displaystyle -2\le x-1\le 2
  5. Adunăm 1\displaystyle 1 în toți membrii și obținem −1≤x≤3\displaystyle -1\le x\le 3. Deci x\displaystyle x aparține intervalului [−1,3]\displaystyle [-1,3].
    x∈[−1,3]\displaystyle x\in[-1,3]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x\circ y=2xy-2x-2y+3.

Calculați 1n∘2n∘3n∘…∘2019n\displaystyle 1^n\circ 2^n\circ 3^n\circ\ldots\circ 2019^n, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 1n=1\displaystyle 1^n=1 pentru orice n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^*. Deci expresia este 1∘2n∘3n∘…∘2019n\displaystyle 1\circ 2^n\circ 3^n\circ\ldots\circ 2019^n.
    1n=1\displaystyle 1^n=1
  2. Pentru x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem 1∘x=2⋅1⋅x−2⋅1−2x+3\displaystyle 1\circ x=2\cdot 1\cdot x-2\cdot 1-2x+3.
    1∘x=2x−2−2x+3\displaystyle 1\circ x=2x-2-2x+3
  3. Termenii 2x\displaystyle 2x și −2x\displaystyle -2x se reduc, iar −2+3=1\displaystyle -2+3=1. Deci 1∘x=1\displaystyle 1\circ x=1 pentru orice x\displaystyle x real.
    1∘x=1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle 1\circ x=1\text{, pentru orice număr real }x
  4. Legea este asociativă, deci putem grupa factorii: 1n∘2n∘…∘2019n=1∘(2n∘3n∘…∘2019n)\displaystyle 1^n\circ 2^n\circ\ldots\circ 2019^n=1\circ\left(2^n\circ 3^n\circ\ldots\circ 2019^n\right). Paranteza este un număr real x\displaystyle x.
    1n∘2n∘3n∘…∘2019n=1∘(2n∘3n∘…∘2019n)\displaystyle 1^n\circ 2^n\circ 3^n\circ\ldots\circ 2019^n=1\circ\left(2^n\circ 3^n\circ\ldots\circ 2019^n\right)
  5. Aplicăm 1∘x=1\displaystyle 1\circ x=1 cu x=2n∘3n∘…∘2019n\displaystyle x=2^n\circ 3^n\circ\ldots\circ 2019^n. Rezultatul este 1\displaystyle 1, pentru orice n\displaystyle n natural nenul.
    1n∘2n∘3n∘…∘2019n=1, pentru orice numa˘r \displaystyle 1^n\circ 2^n\circ 3^n\circ\ldots\circ 2019^n=1\text{, pentru orice număr }natural nenul n\displaystyle \text{natural nenul }n
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡xe\displaystyle f(x)=x-\ln x^e.

Arătați că f′(x)=x−ex\displaystyle f'(x)=\frac{x-e}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm expresia funcției folosind proprietatea logaritmului: ln⁡ab=bln⁡a\displaystyle \ln a^{b}=b\ln a pentru a>0\displaystyle a>0. Cum x>0\displaystyle x>0, avem ln⁡xe=eln⁡x\displaystyle \ln x^{e}=e\ln x.
    f(x)=x−eln⁡x\displaystyle f(x)=x-e\ln x
  2. Derivăm funcția termen cu termen, folosind derivata unei diferențe. Constanta e\displaystyle e iese în fața derivatei: f′(x)=x′−(eln⁡x)′=x′−e⋅(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=x'-(e\ln x)'=x'-e\cdot(\ln x)'.
    f′(x)=x′−(eln⁡x)′\displaystyle f'(x)=x'-(e\ln x)'
  3. Folosim x′=1\displaystyle x'=1 și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}. Obținem f′(x)=1−e⋅1x\displaystyle f'(x)=1-e\cdot\dfrac{1}{x}, apoi aducem la același numitor x\displaystyle x.
    f′(x)=1−e⋅1x=x−ex\displaystyle f'(x)=1-e\cdot\frac{1}{x}=\frac{x-e}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡xe\displaystyle f(x)=x-\ln x^e.

Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției f\displaystyle f, în care tangenta la graficul funcției f\displaystyle f este paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Tangenta la grafic în punctul de abscisă a\displaystyle a este paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox exact când panta ei, adică derivata în punct, este zero. Deci trebuie să avem f′(a)=0\displaystyle f'(a)=0, cu a>0\displaystyle a>0.
    f′(a)=0\displaystyle f'(a)=0
  2. Simplificăm funcția cu proprietatea logaritmului: ln⁡xe=eln⁡x\displaystyle \ln x^{e}=e\ln x. Deci f(x)=x−eln⁡x\displaystyle f(x)=x-e\ln x.
    f(x)=x−eln⁡x\displaystyle f(x)=x-e\ln x
  3. Derivăm funcția: (x)′=1\displaystyle (x)'=1, iar (eln⁡x)′=ex\displaystyle (e\ln x)'=\dfrac{e}{x}. Obținem f′(x)=1−ex\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{e}{x}, pentru x>0\displaystyle x>0.
    f′(x)=1−ex\displaystyle f'(x)=1-\frac{e}{x}
  4. Punem condiția f′(a)=0\displaystyle f'(a)=0, adică 1−ea=0\displaystyle 1-\dfrac{e}{a}=0. Înmulțim cu a>0\displaystyle a>0 și obținem a−e=0\displaystyle a-e=0.
    1−ea=0⇔a−e=0\displaystyle 1-\frac{e}{a}=0\Leftrightarrow a-e=0
  5. Rezultă a=e\displaystyle a=e, valoare pozitivă, deci se află în domeniul funcției. Abscisa punctului este e\displaystyle e.
    a=e\displaystyle a=e
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡xe\displaystyle f(x)=x-\ln x^e.

Demonstrați că ecuația ex=xe\displaystyle e^x=x^e are exact o soluție în (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea logaritmului: pentru x>0\displaystyle x>0 avem ln⁡xe=eln⁡x\displaystyle \ln x^e=e\ln x, deci f(x)=x−eln⁡x\displaystyle f(x)=x-e\ln x. Derivăm: f′(x)=1−ex=x−ex\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{e}{x}=\dfrac{x-e}{x}.
    f′(x)=1−ex=x−ex\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{e}{x}=\dfrac{x-e}{x}
  2. Cum x>0\displaystyle x>0, semnul derivatei este dat de semnul lui x−e\displaystyle x-e. Pentru x<e\displaystyle x<e derivata este negativă, iar pentru x>e\displaystyle x>e este pozitivă.
    f′(x)<0 pe (0,e)\displaystyle f'(x)<0\text{ pe }(0,e), f′(x)>0 pe (e,+∞)\displaystyle \ f'(x)>0\text{ pe }(e,+\infty)
  3. Rezultă că f\displaystyle f este strict descrescătoare pe (0,e]\displaystyle (0,e] și strict crescătoare pe [e,+∞)\displaystyle [e,+\infty), deci x=e\displaystyle x=e este punct de minim global al lui f\displaystyle f.
    f(x)≥f(e) pentru orice x>0\displaystyle f(x)\ge f(e)\text{ pentru orice }x>0
  4. Reducem ecuația la f(x)=0\displaystyle f(x)=0. Ambii membri ai ecuației sunt pozitivi, deci putem logaritma: ex=xe\displaystyle e^x=x^e este echivalentă cu x=ln⁡xe\displaystyle x=\ln x^e, adică cu x−ln⁡xe=0\displaystyle x-\ln x^e=0, adică f(x)=0\displaystyle f(x)=0.
    ex=xe⇔x=ln⁡xe⇔f(x)=0\displaystyle e^x=x^e\Leftrightarrow x=\ln x^e\Leftrightarrow f(x)=0
  5. Calculăm f(e)=e−eln⁡e=e−e=0\displaystyle f(e)=e-e\ln e=e-e=0. Deoarece e\displaystyle e este minimul strict al lui f\displaystyle f, pentru x≠e\displaystyle x\neq e avem f(x)>f(e)=0\displaystyle f(x)>f(e)=0. Deci f(x)=0\displaystyle f(x)=0 doar pentru x=e\displaystyle x=e, iar ecuația ex=xe\displaystyle e^x=x^e are exact o soluție în (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f(e)=0\displaystyle f(e)=0, f(x)>0 pentru x≠e ⇒ x=e este unica soluție\displaystyle \ f(x)>0\text{ pentru }x\neq e\ \Rightarrow\ x=e\text{ este unica soluție}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)(x+1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)(x+1)e^x.

Arătați că ∫03f(x)ex dx=6\displaystyle \int_0^3\frac{f(x)}{e^x}\,dx=6.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=(x−1)(x+1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)(x+1)e^x în fracție: f(x)ex=(x−1)(x+1)exex\displaystyle \dfrac{f(x)}{e^x}=\dfrac{(x-1)(x+1)e^x}{e^x}.
    f(x)ex=(x−1)(x+1)exex\displaystyle \dfrac{f(x)}{e^x}=\dfrac{(x-1)(x+1)e^x}{e^x}
  2. Simplificăm prin ex\displaystyle e^x, care este diferit de zero pentru orice x\displaystyle x real. Rămâne (x−1)(x+1)\displaystyle (x-1)(x+1), deci integrala devine ∫03(x−1)(x+1) dx\displaystyle \int_0^3 (x-1)(x+1)\,dx.
    ∫03f(x)ex dx=∫03(x−1)(x+1) dx\displaystyle \int_0^3\dfrac{f(x)}{e^x}\,dx=\int_0^3(x-1)(x+1)\,dx
  3. Folosim formula diferenței de pătrate: (x−1)(x+1)=x2−1\displaystyle (x-1)(x+1)=x^2-1.
    ∫03(x2−1) dx\displaystyle \int_0^3(x^2-1)\,dx
  4. Determinăm o primitivă a polinomului: primitiva lui x2\displaystyle x^2 este x33\displaystyle \dfrac{x^3}{3}, iar primitiva lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫03(x2−1) dx=(x33−x)∣03\displaystyle \int_0^3(x^2-1)\,dx=\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)\Big|_0^3
  5. Calculăm valoarea primitivei în 3\displaystyle 3: 273−3=9−3\displaystyle \dfrac{27}{3}-3=9-3. Valoarea în 0\displaystyle 0 este 0\displaystyle 0. Diferența este 6\displaystyle 6, deci egalitatea cerută este adevărată.
    (333−3)−0=9−3=6\displaystyle \left(\dfrac{3^3}{3}-3\right)-0=9-3=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)(x+1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)(x+1)e^x.

Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=1\displaystyle x=1 și x=2\displaystyle x=2.
Vezi rezolvarea
  1. Aria cerută este A=∫12∣f(x)∣ dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^2|f(x)|\,dx. Avem (x−1)(x+1)=x2−1\displaystyle (x-1)(x+1)=x^2-1. Pe [1,2]\displaystyle [1,2] avem x2−1≥0\displaystyle x^2-1\ge 0 și ex>0\displaystyle e^x>0, deci f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge 0 și ∣f(x)∣=f(x)\displaystyle |f(x)|=f(x).
    A=∫12(x2−1)ex dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^2 (x^2-1)e^x\,dx
  2. Integrăm prin părți: alegem u=x2−1\displaystyle u=x^2-1 și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=2x dx\displaystyle du=2x\,dx și v=ex\displaystyle v=e^x. Aplicăm formula ∫u dv=uv−∫v du\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.
    A=(x2−1)ex∣12−∫122xex dx\displaystyle \mathcal{A}=(x^2-1)e^x\Big|_1^2-\int_1^2 2xe^x\,dx
  3. Calculăm primul termen la limite: pentru x=2\displaystyle x=2 obținem (4−1)e2=3e2\displaystyle (4-1)e^2=3e^2, iar pentru x=1\displaystyle x=1 obținem (1−1)e=0\displaystyle (1-1)e=0.
    (x2−1)ex∣12=3e2−0=3e2\displaystyle (x^2-1)e^x\Big|_1^2=3e^2-0=3e^2
  4. Pentru a doua integrală folosim o primitivă a lui xex\displaystyle xe^x, anume (x−1)ex\displaystyle (x-1)e^x, pentru că ((x−1)ex)′=ex(x−1+1)=xex\displaystyle \left((x-1)e^x\right)'=e^x(x-1+1)=xe^x. Deci ∫2xex dx=2(x−1)ex\displaystyle \int 2xe^x\,dx=2(x-1)e^x.
    ∫122xex dx=2(x−1)ex∣12=2e2−0=2e2\displaystyle \int_1^2 2xe^x\,dx=2(x-1)e^x\Big|_1^2=2e^2-0=2e^2
  5. Scădem cele două rezultate: A=3e2−2e2\displaystyle \mathcal{A}=3e^2-2e^2. Deci aria este e2\displaystyle e^2.
    A=3e2−2e2=e2\displaystyle \mathcal{A}=3e^2-2e^2=e^2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)(x+1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)(x+1)e^x.

Determinați numărul real a\displaystyle a, a>2\displaystyle a>2, știind că ∫2a2xexf(x) dx=3ln⁡2\displaystyle \int_2^a\frac{2xe^x}{f(x)}\,dx=3\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=(x−1)(x+1)ex=(x2−1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)(x+1)e^x=(x^2-1)e^x în integrand și simplificăm cu ex≠0\displaystyle e^x\neq 0. Pe intervalul [2,a]\displaystyle [2,a] avem x2−1>0\displaystyle x^2-1>0, deci expresia este bine definită.
    2xexf(x)=2xex(x2−1)ex=2xx2−1\displaystyle \frac{2xe^x}{f(x)}=\frac{2xe^x}{(x^2-1)e^x}=\frac{2x}{x^2-1}
  2. Observăm că (x2−1)′=2x\displaystyle (x^2-1)'=2x, deci integrandul are forma u′u\displaystyle \dfrac{u'}{u} cu u(x)=x2−1\displaystyle u(x)=x^2-1. O primitivă este ln⁡∣u(x)∣\displaystyle \ln|u(x)|, iar pentru x≥2\displaystyle x\geq 2 avem u(x)>0\displaystyle u(x)>0.
    ∫2xx2−1 dx=ln⁡(x2−1)+C\displaystyle \int\frac{2x}{x^2-1}\,dx=\ln(x^2-1)+C
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ln⁡(a2−1)−ln⁡(22−1)=ln⁡(a2−1)−ln⁡3\displaystyle \ln(a^2-1)-\ln(2^2-1)=\ln(a^2-1)-\ln 3, iar diferența de logaritmi devine logaritmul câtului.
    ∫2a2xexf(x) dx=ln⁡(x2−1)∣2a=ln⁡a2−13\displaystyle \int_2^a\frac{2xe^x}{f(x)}\,dx=\ln(x^2-1)\Big|_2^a=\ln\frac{a^2-1}{3}
  4. Egalăm rezultatul cu 3ln⁡2\displaystyle 3\ln 2. Cum 3ln⁡2=ln⁡23=ln⁡8\displaystyle 3\ln 2=\ln 2^3=\ln 8, ecuația devine o egalitate de logaritmi.
    ln⁡a2−13=ln⁡8\displaystyle \ln\frac{a^2-1}{3}=\ln 8
  5. Funcția ln⁡\displaystyle \ln este injectivă, deci a2−13=8\displaystyle \dfrac{a^2-1}{3}=8, adică a2−1=24\displaystyle a^2-1=24, de unde a2−25=0\displaystyle a^2-25=0.
    a2−25=0\displaystyle a^2-25=0
  6. Ecuația a2=25\displaystyle a^2=25 are soluțiile a=±5\displaystyle a=\pm 5. Cum a>2\displaystyle a>2, convine doar a=5\displaystyle a=5.
    a=5\displaystyle a=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.