Bac matematică M2 științe ale naturii 2026, sesiunea a II-a rezervă varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că i(6−i)+3(3−2i)=10\displaystyle i(6-i)+3(3-2i)=10, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem prima paranteză, înmulțind pe i\displaystyle i cu fiecare termen: i⋅6=6i\displaystyle i\cdot 6=6i, iar i⋅(−i)=−i2\displaystyle i\cdot(-i)=-i^{2}.
    i(6−i)=6i−i2\displaystyle i(6-i)=6i-i^{2}
  2. Desfacem a doua paranteză, înmulțind pe 3\displaystyle 3 cu fiecare termen: 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9, iar 3⋅(−2i)=−6i\displaystyle 3\cdot(-2i)=-6i.
    3(3−2i)=9−6i\displaystyle 3(3-2i)=9-6i
  3. Adunăm cele două rezultate și obținem expresia cu parantezele desfăcute.
    i(6−i)+3(3−2i)=6i−i2+9−6i\displaystyle i(6-i)+3(3-2i)=6i-i^{2}+9-6i
  4. Reducem termenii cu i\displaystyle i: 6i−6i=0\displaystyle 6i-6i=0. Rămâne −i2+9\displaystyle -i^{2}+9.
    6i−6i−i2+9=−i2+9\displaystyle 6i-6i-i^{2}+9=-i^{2}+9
  5. Folosim i2=−1\displaystyle i^{2}=-1, deci −i2=1\displaystyle -i^{2}=1. Adunăm cu 9\displaystyle 9 și obținem 10\displaystyle 10, adică exact valoarea cerută.
    −i2+9=1+9=10\displaystyle -i^{2}+9=1+9=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4x\displaystyle f(x)=x^2-4x. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f\displaystyle f cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele de intersecție ale graficului cu axa Ox\displaystyle Ox sunt cele în care ordonata este zero, deci rezolvăm ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0.
    f(x)=0\displaystyle f(x)=0
  2. Înlocuim expresia lui f(x)\displaystyle f(x) și obținem ecuația de gradul al doilea x2−4x=0\displaystyle x^{2}-4x=0.
    x2−4x=0\displaystyle x^{2}-4x=0
  3. Scoatem factorul comun x\displaystyle x în fața parantezei: x(x−4)=0\displaystyle x(x-4)=0.
    x(x−4)=0\displaystyle x(x-4)=0
  4. Un produs este nul atunci când cel puțin un factor este nul, deci x=0\displaystyle x=0 sau x−4=0\displaystyle x-4=0, adică x=4\displaystyle x=4.
    x=0 sau x=4\displaystyle x=0\text{ sau }x=4
  5. Abscisele punctelor de intersecție ale graficului cu axa Ox\displaystyle Ox sunt 0\displaystyle 0 și 4\displaystyle 4.
    0 și 4\displaystyle 0\text{ și }4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 73x−2=7−x⋅49\displaystyle 7^{3x-2}=7^{-x}\cdot 49.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem pe 49\displaystyle 49 ca putere a lui 7\displaystyle 7: 49=72\displaystyle 49=7^{2}.
    49=72\displaystyle 49=7^{2}
  2. Înlocuim în ecuație și folosim regula de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, adică se adună exponenții: 7−x⋅72=7−x+2\displaystyle 7^{-x}\cdot 7^{2}=7^{-x+2}.
    73x−2=7−x+2\displaystyle 7^{3x-2}=7^{-x+2}
  3. Puterile au aceeași bază 7\displaystyle 7, pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1, deci funcția exponențială este injectivă și exponenții sunt egali.
    3x−2=−x+2\displaystyle 3x-2=-x+2
  4. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: 3x+x=2+2\displaystyle 3x+x=2+2, adică 4x=4\displaystyle 4x=4.
    4x=4\displaystyle 4x=4
  5. Împărțim la 4\displaystyle 4 și obținem soluția ecuației: x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea A={2,3,4,5,8,9}\displaystyle A=\{2,3,4,5,8,9\}.
Vezi rezolvarea
  1. Un număr este impar dacă ultima cifră (cifra unităților) este impară. În mulțimea A={2,3,4,5,8,9}\displaystyle A=\{2,3,4,5,8,9\} cifrele impare sunt 3\displaystyle 3, 5\displaystyle 5 și 9\displaystyle 9, deci cifra unităților se poate alege în 3\displaystyle 3 moduri.
    3\displaystyle 3
  2. Cifrele numărului trebuie să fie distincte, deci cifra zecilor trebuie să fie diferită de cifra unităților. Din cele 6\displaystyle 6 cifre ale mulțimii A\displaystyle A rămân 6−1=5\displaystyle 6-1=5 posibilități pentru cifra zecilor. Cifra zecilor nu poate fi 0\displaystyle 0, dar 0∉A\displaystyle 0\notin A, deci nu apare nicio restricție suplimentară.
    6−1=5\displaystyle 6-1=5
  3. Aplicăm regula produsului: înmulțim numărul de alegeri pentru cifra unităților cu numărul de alegeri pentru cifra zecilor. Obținem 3⋅5=15\displaystyle 3\cdot 5=15 numere.
    3⋅5=15\displaystyle 3\cdot 5=15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(5,2)\displaystyle A(5,2), B(7,4)\displaystyle B(7,4) și C\displaystyle C, astfel încât A\displaystyle A este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC. Determinați lungimea segmentului OC\displaystyle OC.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm coordonatele punctului C\displaystyle C cu (xC,yC)\displaystyle (x_C, y_C). Deoarece A\displaystyle A este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC, coordonatele lui A\displaystyle A sunt media aritmetică a coordonatelor lui B\displaystyle B și C\displaystyle C: xA=xB+xC2\displaystyle x_A=\dfrac{x_B+x_C}{2} și yA=yB+yC2\displaystyle y_A=\dfrac{y_B+y_C}{2}.
    xA=xB+xC2\displaystyle x_A=\dfrac{x_B+x_C}{2}, yA=yB+yC2\displaystyle \ y_A=\dfrac{y_B+y_C}{2}
  2. Înlocuim coordonatele cunoscute A(5,2)\displaystyle A(5,2) și B(7,4)\displaystyle B(7,4) și obținem două ecuații.
    7+xC2=5\displaystyle \dfrac{7+x_C}{2}=5, 4+yC2=2\displaystyle \ \dfrac{4+y_C}{2}=2
  3. Înmulțim fiecare ecuație cu 2\displaystyle 2: 7+xC=10\displaystyle 7+x_C=10 și 4+yC=4\displaystyle 4+y_C=4. Deci xC=3\displaystyle x_C=3 și yC=0\displaystyle y_C=0, adică C(3,0)\displaystyle C(3,0).
    xC=3\displaystyle x_C=3, yC=0\displaystyle \ y_C=0
  4. Calculăm distanța de la O(0,0)\displaystyle O(0,0) la C(3,0)\displaystyle C(3,0): OC=(3−0)2+(0−0)2=9=3\displaystyle OC=\sqrt{(3-0)^{2}+(0-0)^{2}}=\sqrt{9}=3.
    OC=32+02=3\displaystyle OC=\sqrt{3^{2}+0^{2}}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AB=2\displaystyle AB=2 și BC=4\displaystyle BC=4. Arătați că AD=3\displaystyle AD=\sqrt{3}, unde AD\displaystyle AD este înălțime a triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC\displaystyle BC. Aplicăm teorema lui Pitagora: BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}.
    BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}
  2. Înlocuim AB=2\displaystyle AB=2 și BC=4\displaystyle BC=4: 16=4+AC2\displaystyle 16=4+AC^{2}, deci AC2=12\displaystyle AC^{2}=12. Cum AC>0\displaystyle AC>0, obținem AC=12=23\displaystyle AC=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.
    AC2=16−4=12⇒AC=23\displaystyle AC^{2}=16-4=12\Rightarrow AC=2\sqrt{3}
  3. Aria triunghiului dreptunghic se poate scrie ca semiprodusul catetelor: A=AB⋅AC2=2⋅232\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{2\cdot 2\sqrt{3}}{2}.
    A=2⋅232\displaystyle \mathcal{A}=\frac{2\cdot 2\sqrt{3}}{2}
  4. Aceeași arie se poate scrie ca semiprodusul dintre ipotenuza BC\displaystyle BC și înălțimea AD\displaystyle AD, adică AD⋅BC2=AD⋅42\displaystyle \dfrac{AD\cdot BC}{2}=\dfrac{AD\cdot 4}{2}. Egalăm cele două expresii ale ariei.
    2⋅232=AD⋅42\displaystyle \frac{2\cdot 2\sqrt{3}}{2}=\frac{AD\cdot 4}{2}
  5. Înmulțim ambii membri cu 2\displaystyle 2 și obținem 2⋅23=AD⋅4\displaystyle 2\cdot 2\sqrt{3}=AD\cdot 4, apoi împărțim la 4\displaystyle 4. Rezultă AD=2⋅234=434\displaystyle AD=\dfrac{2\cdot 2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{4\sqrt{3}}{4}, deci AD=3\displaystyle AD=\sqrt{3}, ceea ce trebuia arătat.
    AD=2⋅234=3\displaystyle AD=\frac{2\cdot 2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x−2−1−x3xx+4)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x-2&-1-x\\3x&x+4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=18\displaystyle \det(A(2))=18.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în fiecare element al matricei A(x)\displaystyle A(x): pe prima linie obținem 2−2\displaystyle 2-2 și −1−2\displaystyle -1-2, iar pe a doua linie 3⋅2\displaystyle 3\cdot 2 și 2+4\displaystyle 2+4.
    A(2)=(2−2−1−23⋅22+4)=(0−366)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2-2&-1-2\\3\cdot 2&2+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-3\\6&6\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul de ordin doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(2))=∣0−366∣=0⋅6−(−3)⋅6\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}0&-3\\6&6\end{vmatrix}=0\cdot 6-(-3)\cdot 6
  3. Calculăm produsele: 0⋅6=0\displaystyle 0\cdot 6=0, iar (−3)⋅6=−18\displaystyle (-3)\cdot 6=-18, deci scăzând obținem 0+18=18\displaystyle 0+18=18, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡(A(2))=0+18=18\displaystyle \det(A(2))=0+18=18
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x−2−1−x3xx+4)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x-2&-1-x\\3x&x+4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că matricea B=4I2−A(1)\displaystyle B=4I_2-A(1) este inversa matricei A(1)\displaystyle A(1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în A(x)\displaystyle A(x): x−2=−1\displaystyle x-2=-1, −1−x=−2\displaystyle -1-x=-2, 3x=3\displaystyle 3x=3, x+4=5\displaystyle x+4=5.
    A(1)=(−1−235)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}-1&-2\\3&5\end{pmatrix}
  2. Avem 4I2=(4004)\displaystyle 4I_2=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}, deci B=4I2−A(1)=(4−(−1)0−(−2)0−34−5)\displaystyle B=4I_2-A(1)=\begin{pmatrix}4-(-1)&0-(-2)\\0-3&4-5\end{pmatrix}.
    A(1)=(−1−235)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}-1&-2\\3&5\end{pmatrix}, B=(52−3−1)\displaystyle \ B=\begin{pmatrix}5&2\\-3&-1\end{pmatrix}
  3. Calculăm A(1)⋅B\displaystyle A(1)\cdot B: elementele sunt (−1)⋅5+(−2)⋅(−3)=1\displaystyle (-1)\cdot5+(-2)\cdot(-3)=1, (−1)⋅2+(−2)⋅(−1)=0\displaystyle (-1)\cdot2+(-2)\cdot(-1)=0, 3⋅5+5⋅(−3)=0\displaystyle 3\cdot5+5\cdot(-3)=0, 3⋅2+5⋅(−1)=1\displaystyle 3\cdot2+5\cdot(-1)=1.
    A(1)⋅B=(1001)=I2\displaystyle A(1)\cdot B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
  4. Calculăm B⋅A(1)\displaystyle B\cdot A(1): elementele sunt 5⋅(−1)+2⋅3=1\displaystyle 5\cdot(-1)+2\cdot3=1, 5⋅(−2)+2⋅5=0\displaystyle 5\cdot(-2)+2\cdot5=0, −3⋅(−1)+(−1)⋅3=0\displaystyle -3\cdot(-1)+(-1)\cdot3=0, −3⋅(−2)+(−1)⋅5=1\displaystyle -3\cdot(-2)+(-1)\cdot5=1. Cum produsul în ambele ordini este I2\displaystyle I_2, matricea B\displaystyle B este inversa lui A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)⋅B=B⋅A(1)=I2, deci matricea B este inversa matricei A(1)\displaystyle A(1)\cdot B=B\cdot A(1)=I_2\text{, deci matricea }B\text{ este inversa matricei }A(1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x−2−1−x3xx+4)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x-2&-1-x\\3x&x+4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care 12X−3A(1)⋅X=A(5)\displaystyle 12X-3A(1)\cdot X=A(5).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem 12X=12I2⋅X\displaystyle 12X=12I_2\cdot X și scoatem pe X\displaystyle X factor comun la dreapta: 12I2⋅X−3A(1)⋅X=3(4I2−A(1))⋅X\displaystyle 12I_2\cdot X-3A(1)\cdot X=3\left(4I_2-A(1)\right)\cdot X. Ecuația devine 3(4I2−A(1))⋅X=A(5)\displaystyle 3\left(4I_2-A(1)\right)\cdot X=A(5).
    3(4I2−A(1))⋅X=A(5)\displaystyle 3\left(4I_2-A(1)\right)\cdot X=A(5)
  2. Pentru x=1\displaystyle x=1 obținem A(1)=(−1−235)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}-1&-2\\3&5\end{pmatrix}. Pentru x=5\displaystyle x=5 obținem A(5)=(3−6159)\displaystyle A(5)=\begin{pmatrix}3&-6\\15&9\end{pmatrix}.
    A(1)=(−1−235)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}-1&-2\\3&5\end{pmatrix}, A(5)=(3−6159)\displaystyle \ A(5)=\begin{pmatrix}3&-6\\15&9\end{pmatrix}
  3. Avem 4I2=(4004)\displaystyle 4I_2=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}, deci 4I2−A(1)=(4+10+20−34−5)\displaystyle 4I_2-A(1)=\begin{pmatrix}4+1&0+2\\0-3&4-5\end{pmatrix}.
    4I2−A(1)=(52−3−1)\displaystyle 4I_2-A(1)=\begin{pmatrix}5&2\\-3&-1\end{pmatrix}
  4. Determinantul este det⁡(4I2−A(1))=5⋅(−1)−2⋅(−3)=−5+6=1≠0\displaystyle \det\left(4I_2-A(1)\right)=5\cdot(-1)-2\cdot(-3)=-5+6=1\neq 0. Inversa se obține schimbând locurile elementelor de pe diagonala principală și schimbând semnele celor de pe diagonala secundară: (4I2−A(1))−1=(−1−235)=A(1)\displaystyle \left(4I_2-A(1)\right)^{-1}=\begin{pmatrix}-1&-2\\3&5\end{pmatrix}=A(1).
    (4I2−A(1))−1=A(1)\displaystyle \left(4I_2-A(1)\right)^{-1}=A(1)
  5. Din 3(4I2−A(1))⋅X=A(5)\displaystyle 3\left(4I_2-A(1)\right)\cdot X=A(5), înmulțind la stânga cu (4I2−A(1))−1=A(1)\displaystyle \left(4I_2-A(1)\right)^{-1}=A(1), obținem 3X=A(1)⋅A(5)\displaystyle 3X=A(1)\cdot A(5), deci X=13A(1)⋅A(5)\displaystyle X=\dfrac{1}{3}A(1)\cdot A(5).
    X=13A(1)⋅A(5)\displaystyle X=\frac{1}{3}A(1)\cdot A(5)
  6. Avem A(1)⋅A(5)=(−1⋅3+(−2)⋅15−1⋅(−6)+(−2)⋅93⋅3+5⋅153⋅(−6)+5⋅9)=(−33−128427)\displaystyle A(1)\cdot A(5)=\begin{pmatrix}-1\cdot3+(-2)\cdot15&-1\cdot(-6)+(-2)\cdot9\\3\cdot3+5\cdot15&3\cdot(-6)+5\cdot9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-33&-12\\84&27\end{pmatrix}. Înmulțind cu 13\displaystyle \dfrac{1}{3} obținem matricea X\displaystyle X.
    X=13(−33−128427)=(−11−4289)\displaystyle X=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-33&-12\\84&27\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-11&-4\\28&9\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+2X2+mX+4\displaystyle f=X^3+2X^2+mX+4, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=2\displaystyle m=2, arătați că f(−2)=0\displaystyle f(-2)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=2\displaystyle m=2, polinomul devine f=X3+2X2+2X+4\displaystyle f=X^3+2X^2+2X+4.
    f=X3+2X2+2X+4\displaystyle f=X^3+2X^2+2X+4
  2. Înlocuim X=−2\displaystyle X=-2 în polinom: f(−2)=(−2)3+2⋅(−2)2+2⋅(−2)+4\displaystyle f(-2)=(-2)^3+2\cdot(-2)^2+2\cdot(-2)+4.
    f(−2)=(−2)3+2(−2)2+2⋅(−2)+4\displaystyle f(-2)=(-2)^3+2(-2)^2+2\cdot(-2)+4
  3. Calculăm puterile: (−2)3=−8\displaystyle (-2)^3=-8, (−2)2=4\displaystyle (-2)^2=4, deci 2⋅4=8\displaystyle 2\cdot 4=8, iar 2⋅(−2)=−4\displaystyle 2\cdot(-2)=-4.
    −8+8−4+4\displaystyle -8+8-4+4
  4. Adunăm termenii: −8+8=0\displaystyle -8+8=0 și −4+4=0\displaystyle -4+4=0. Rezultă f(−2)=0\displaystyle f(-2)=0, ceea ce trebuia arătat.
    f(−2)=0\displaystyle f(-2)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+2X2+mX+4\displaystyle f=X^3+2X^2+mX+4, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=1\displaystyle m=1, determinați restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la polinomul g=X+1\displaystyle g=X+1.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=1\displaystyle m=1 polinomul devine f=X3+2X2+X+4\displaystyle f=X^3+2X^2+X+4.
    f=X3+2X2+X+4\displaystyle f=X^3+2X^2+X+4
  2. Din teorema restului, restul împărțirii lui f\displaystyle f la X+1=X−(−1)\displaystyle X+1=X-(-1) este f(−1)\displaystyle f(-1).
    r=f(−1)\displaystyle r=f(-1)
  3. Înlocuim X\displaystyle X cu −1\displaystyle -1: f(−1)=(−1)3+2⋅(−1)2+(−1)+4\displaystyle f(-1)=(-1)^3+2\cdot(-1)^2+(-1)+4.
    f(−1)=(−1)3+2⋅(−1)2+(−1)+4\displaystyle f(-1)=(-1)^3+2\cdot(-1)^2+(-1)+4
  4. Calculăm: (−1)3=−1\displaystyle (-1)^3=-1 și (−1)2=1\displaystyle (-1)^2=1, deci f(−1)=−1+2−1+4=4\displaystyle f(-1)=-1+2-1+4=4. Restul împărțirii lui f\displaystyle f la g\displaystyle g este 4\displaystyle 4.
    −1+2−1+4=4, deci restul este 4\displaystyle -1+2-1+4=4\text{, deci restul este }4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+2X2+mX+4\displaystyle f=X^3+2X^2+mX+4, unde m\displaystyle m este număr real.\ Determinați rădăcinile polinomului f\displaystyle f, știind că produsul a două dintre acestea este egal cu 1\displaystyle 1.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm rădăcinile cu x1,x2,x3\displaystyle x_1, x_2, x_3 și scriem relațiile lui Viète pentru f=X3+2X2+mX+4\displaystyle f=X^3+2X^2+mX+4: x1+x2+x3=−2\displaystyle x_1+x_2+x_3=-2 și x1x2x3=−4\displaystyle x_1x_2x_3=-4.
    x1+x2+x3=−2 și x1x2x3=−4\displaystyle x_1+x_2+x_3=-2\text{ și }x_1x_2x_3=-4
  2. Presupunem că x1x2=1\displaystyle x_1x_2=1. Înlocuim în x1x2x3=−4\displaystyle x_1x_2x_3=-4, deci 1⋅x3=−4\displaystyle 1\cdot x_3=-4, de unde x3=−4\displaystyle x_3=-4.
    x3=−4\displaystyle x_3=-4
  3. Din x1+x2+x3=−2\displaystyle x_1+x_2+x_3=-2 și x3=−4\displaystyle x_3=-4 obținem x1+x2−4=−2\displaystyle x_1+x_2-4=-2, deci x1+x2=2\displaystyle x_1+x_2=2.
    x1+x2=2\displaystyle x_1+x_2=2
  4. Numerele x1\displaystyle x_1 și x2\displaystyle x_2 au suma 2\displaystyle 2 și produsul 1\displaystyle 1, deci sunt rădăcinile ecuației t2−2t+1=0\displaystyle t^2-2t+1=0, adică (t−1)2=0\displaystyle (t-1)^2=0. Rezultă x1=x2=1\displaystyle x_1=x_2=1. Rădăcinile polinomului sunt 1\displaystyle 1, 1\displaystyle 1 și −4\displaystyle -4.
    x1=x2=1 și x3=−4\displaystyle x_1=x_2=1\text{ și }x_3=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+3x+1x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+3x+1}{x+1}.

Arătați că f′(x)=x2+2x+2(x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^2+2x+2}{(x+1)^2}, x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât de două funcții, deci folosim formula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, unde u(x)=x2+3x+1\displaystyle u(x)=x^2+3x+1 și v(x)=x+1\displaystyle v(x)=x+1.
    f′(x)=(x2+3x+1)′(x+1)−(x2+3x+1)(x+1)′(x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x^2+3x+1)'(x+1)-(x^2+3x+1)(x+1)'}{(x+1)^2}
  2. Calculăm derivatele: (x2+3x+1)′=2x+3\displaystyle (x^2+3x+1)'=2x+3 și (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1. Le înlocuim în formulă.
    f′(x)=(2x+3)(x+1)−(x2+3x+1)⋅1(x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x+3)(x+1)-(x^2+3x+1)\cdot 1}{(x+1)^2}
  3. Efectuăm înmulțirea de la numărător: (2x+3)(x+1)=2x2+2x+3x+3=2x2+5x+3\displaystyle (2x+3)(x+1)=2x^2+2x+3x+3=2x^2+5x+3.
    f′(x)=2x2+5x+3−x2−3x−1(x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^2+5x+3-x^2-3x-1}{(x+1)^2}
  4. Reducem termenii asemenea la numărător: 2x2−x2=x2\displaystyle 2x^2-x^2=x^2, 5x−3x=2x\displaystyle 5x-3x=2x și 3−1=2\displaystyle 3-1=2. Obținem exact expresia cerută, pentru x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty).
    f′(x)=x2+2x+2(x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^2+2x+2}{(x+1)^2}, x∈(−1,+∞)\displaystyle \ x\in(-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+3x+1x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+3x+1}{x+1}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula tangentei la graficul lui f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=0\displaystyle x_0=0. Avem nevoie de f(0)\displaystyle f(0) și de f′(0)\displaystyle f'(0).
    y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)
  2. Calculăm f(0)\displaystyle f(0) înlocuind x=0\displaystyle x=0 în expresia funcției.
    f(0)=02+3⋅0+10+1=1\displaystyle f(0)=\dfrac{0^2+3\cdot 0+1}{0+1}=1
  3. Derivăm funcția cu formula derivatei unui cât: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, cu u=x2+3x+1\displaystyle u=x^2+3x+1 și v=x+1\displaystyle v=x+1.
    f′(x)=(2x+3)(x+1)−(x2+3x+1)⋅1(x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x+3)(x+1)-(x^2+3x+1)\cdot 1}{(x+1)^2}
  4. Efectuăm calculele de la numărător: 2x2+5x+3−x2−3x−1=x2+2x+2\displaystyle 2x^2+5x+3-x^2-3x-1=x^2+2x+2.
    f′(x)=x2+2x+2(x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^2+2x+2}{(x+1)^2}
  5. Calculăm f′(0)\displaystyle f'(0) și reținem, împreună cu f(0)=1\displaystyle f(0)=1, valorile necesare tangentei.
    f′(0)=0+0+212=2\displaystyle f'(0)=\dfrac{0+0+2}{1^2}=2,f(0)=1\displaystyle \quad f(0)=1
  6. Înlocuim în formula tangentei: y−1=2(x−0)\displaystyle y-1=2(x-0). Rezultă ecuația tangentei.
    y−f(0)=f′(0)(x−0), adica˘ y=2x+1\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)\text{, adică }y=2x+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+3x+1x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+3x+1}{x+1}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este concavă.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim numărătorul la x+1\displaystyle x+1: x2+3x+1=(x+1)(x+2)−1\displaystyle x^2+3x+1=(x+1)(x+2)-1. Deci f(x)=x+2−1x+1\displaystyle f(x)=x+2-\dfrac{1}{x+1}.
    f(x)=x+2−1x+1\displaystyle f(x)=x+2-\dfrac{1}{x+1}
  2. Derivăm funcția: (x+2)′=1\displaystyle (x+2)'=1, iar (−1x+1)′=1(x+1)2\displaystyle \left(-\dfrac{1}{x+1}\right)'=\dfrac{1}{(x+1)^2}. Aducem la același numitor și obținem derivata întâi.
    f′(x)=1+1(x+1)2=x2+2x+2(x+1)2\displaystyle f'(x)=1+\dfrac{1}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x+2}{(x+1)^2}
  3. Derivăm încă o dată. Scriem f′(x)=1+(x+1)−2\displaystyle f'(x)=1+(x+1)^{-2}, iar ((x+1)−2)′=−2(x+1)−3\displaystyle \left((x+1)^{-2}\right)'=-2(x+1)^{-3}.
    f′′(x)=−2(x+1)3\displaystyle f''(x)=-\dfrac{2}{(x+1)^3}, x∈(−1,+∞)\displaystyle \ x\in(-1,+\infty)
  4. Pentru x>−1\displaystyle x>-1 avem x+1>0\displaystyle x+1>0, deci (x+1)3>0\displaystyle (x+1)^3>0, iar fracția −2(x+1)3\displaystyle -\dfrac{2}{(x+1)^3} este negativă. Așadar f′′(x)≤0\displaystyle f''(x)\le 0 pe tot intervalul, deci funcția f\displaystyle f este concavă.
    f′′(x)≤0, pentru orice x∈(−1,+∞), de unde rezulta˘ ca˘ f este concava˘\displaystyle f''(x)\le 0\text{, pentru orice }x\in(-1,+\infty)\text{, de unde rezultă că }f\text{ este concavă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+4+ex\displaystyle f(x)=3x^2+4+e^x.

Arătați că ∫01(f(x)−3x2)dx=e+3\displaystyle \int_0^1 \left(f(x)-3x^2\right)dx=e+3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=3x2+4+ex\displaystyle f(x)=3x^2+4+e^x în integrand: f(x)−3x2=3x2+4+ex−3x2\displaystyle f(x)-3x^2=3x^2+4+e^x-3x^2. Termenii 3x2\displaystyle 3x^2 se reduc, deci rămâne 4+ex\displaystyle 4+e^x.
    f(x)−3x2=4+ex\displaystyle f(x)-3x^{2}=4+e^{x}
  2. Integrala devine ∫01(4+ex)dx\displaystyle \int_0^1 \left(4+e^x\right)dx. O descompunem în suma a două integrale, iar primitivele sunt 4x\displaystyle 4x pentru 4\displaystyle 4 și ex\displaystyle e^x pentru ex\displaystyle e^x.
    ∫01(f(x)−3x2)dx=∫01(4+ex)dx=4x∣01+ex∣01\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-3x^{2}\right)dx=\int_0^1\left(4+e^{x}\right)dx=4x\Big|_0^1+e^{x}\Big|_0^1
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea în 1\displaystyle 1 minus valoarea în 0\displaystyle 0. Pentru 4x\displaystyle 4x obținem 4⋅1−4⋅0=4\displaystyle 4\cdot 1-4\cdot 0=4, iar pentru ex\displaystyle e^x obținem e1−e0=e−1\displaystyle e^1-e^0=e-1.
    4x∣01+ex∣01=(4−0)+(e−1)\displaystyle 4x\Big|_0^1+e^{x}\Big|_0^1=(4-0)+(e-1)
  4. Adunăm rezultatele: 4+e−1=e+3\displaystyle 4+e-1=e+3, adică exact egalitatea cerută.
    4+e−1=e+3\displaystyle 4+e-1=e+3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+4+ex\displaystyle f(x)=3x^2+4+e^x.

Arătați că ∫02xf(x)−exdx=ln⁡23\displaystyle \int_0^2 \dfrac{x}{f(x)-e^x}dx=\dfrac{\ln 2}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm diferența din numitor: din f(x)=3x2+4+ex\displaystyle f(x)=3x^2+4+e^x scădem ex\displaystyle e^x și obținem f(x)−ex=3x2+4\displaystyle f(x)-e^x=3x^2+4.
    f(x)−ex=3x2+4\displaystyle f(x)-e^x=3x^2+4
  2. Înlocuim în integrală. Numitorul 3x2+4\displaystyle 3x^2+4 este strict pozitiv, deci integrala este bine definită pe intervalul [0,2]\displaystyle [0,2].
    ∫02xf(x)−exdx=∫02x3x2+4dx\displaystyle \int_0^2\frac{x}{f(x)-e^x}dx=\int_0^2\frac{x}{3x^2+4}dx
  3. Derivata numitorului este (3x2+4)′=6x\displaystyle (3x^2+4)'=6x. Scriem x=16⋅6x\displaystyle x=\dfrac{1}{6}\cdot 6x, ca să apară la numărător exact derivata numitorului.
    ∫02x3x2+4dx=16∫02(3x2+4)′3x2+4dx\displaystyle \int_0^2\frac{x}{3x^2+4}dx=\frac{1}{6}\int_0^2\frac{(3x^2+4)'}{3x^2+4}dx
  4. O integrală de forma ∫u′udx\displaystyle \int\dfrac{u'}{u}dx este ln⁡u\displaystyle \ln u. Cum 3x2+4>0\displaystyle 3x^2+4>0, aplicăm formula Leibniz-Newton.
    16ln⁡(3x2+4)∣02\displaystyle \frac{1}{6}\ln(3x^2+4)\Big|_0^2
  5. Înlocuim limitele: pentru x=2\displaystyle x=2 avem 3⋅4+4=16\displaystyle 3\cdot 4+4=16, iar pentru x=0\displaystyle x=0 avem 4\displaystyle 4.
    ln⁡166−ln⁡46\displaystyle \frac{\ln 16}{6}-\frac{\ln 4}{6}
  6. Folosim ln⁡16−ln⁡4=ln⁡164=ln⁡4=2ln⁡2\displaystyle \ln 16-\ln 4=\ln\dfrac{16}{4}=\ln 4=2\ln 2. Împărțim la 6\displaystyle 6 și obținem rezultatul cerut.
    ln⁡16−ln⁡46=2ln⁡26=ln⁡23\displaystyle \frac{\ln 16-\ln 4}{6}=\frac{2\ln 2}{6}=\frac{\ln 2}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+4+ex\displaystyle f(x)=3x^2+4+e^x.

Se consideră G:R→R\displaystyle G:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, o primitivă a funcției g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=f(x2)−3x4\displaystyle g(x)=f\left(x^2\right)-3x^4. Știind că ∫01G(x)dx=1−e2\displaystyle \int_0^1 G(x)dx=\dfrac{1-e}{2}, arătați că G(1)=2\displaystyle G(1)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm g(x)\displaystyle g(x). Din f(x)=3x2+4+ex\displaystyle f(x)=3x^2+4+e^x obținem f(x2)=3x4+4+ex2\displaystyle f\left(x^2\right)=3x^4+4+e^{x^2}, deci g(x)=f(x2)−3x4\displaystyle g(x)=f\left(x^2\right)-3x^4 devine o expresie mai simplă.
    g(x)=4+ex2\displaystyle g(x)=4+e^{x^{2}}
  2. Scriem ∫01G(x)dx=∫01x′G(x)dx\displaystyle \int_0^1 G(x)dx=\int_0^1 x'G(x)dx și integrăm prin părți, folosind că G′(x)=g(x)\displaystyle G'(x)=g(x).
    ∫01G(x)dx=xG(x)∣01−∫01xg(x)dx\displaystyle \int_0^1 G(x)dx=xG(x)\Big|_0^1-\int_0^1 xg(x)dx
  3. Calculăm xG(x)∣01=1⋅G(1)−0⋅G(0)=G(1)\displaystyle xG(x)\Big|_0^1=1\cdot G(1)-0\cdot G(0)=G(1). Înlocuim g(x)=4+ex2\displaystyle g(x)=4+e^{x^2} în integrala rămasă și obținem xg(x)=4x+xex2\displaystyle xg(x)=4x+xe^{x^2}.
    ∫01G(x)dx=G(1)−∫01(4x+xex2)dx\displaystyle \int_0^1 G(x)dx=G(1)-\int_0^1\left(4x+xe^{x^{2}}\right)dx
  4. Calculăm prima parte: o primitivă a lui 4x\displaystyle 4x este 2x2\displaystyle 2x^2, deci ∫014x dx=2x2∣01=2\displaystyle \int_0^1 4x\,dx=2x^2\Big|_0^1=2.
    ∫014x dx=2\displaystyle \int_0^1 4x\,dx=2
  5. Calculăm a doua parte: o primitivă a lui xex2\displaystyle xe^{x^2} este 12ex2\displaystyle \dfrac{1}{2}e^{x^2}, deoarece (ex2)′=2xex2\displaystyle \left(e^{x^2}\right)'=2xe^{x^2}. Deci ∫01xex2dx=12ex2∣01=e−12\displaystyle \int_0^1 xe^{x^2}dx=\dfrac{1}{2}e^{x^2}\Big|_0^1=\dfrac{e-1}{2}.
    ∫01xex2dx=e−12\displaystyle \int_0^1 xe^{x^{2}}dx=\frac{e-1}{2}
  6. Adunăm cele două valori: 2+e−12=e+32\displaystyle 2+\dfrac{e-1}{2}=\dfrac{e+3}{2}. Deci ∫01G(x)dx=G(1)−e+32\displaystyle \int_0^1 G(x)dx=G(1)-\dfrac{e+3}{2}.
    ∫01G(x)dx=G(1)−e+32\displaystyle \int_0^1 G(x)dx=G(1)-\frac{e+3}{2}
  7. Folosim ∫01G(x)dx=1−e2\displaystyle \int_0^1 G(x)dx=\dfrac{1-e}{2}, deci G(1)−e+32=1−e2\displaystyle G(1)-\dfrac{e+3}{2}=\dfrac{1-e}{2}. Rezultă G(1)=1−e2+e+32=42\displaystyle G(1)=\dfrac{1-e}{2}+\dfrac{e+3}{2}=\dfrac{4}{2}.
    G(1)=2\displaystyle G(1)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.