Bac matematică M2 științe ale naturii 2013, sesiunea a II-a rezervă varianta 04: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul x=3(1−i)+3i\displaystyle x=3(1-i)+3i este real.
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem paranteza prin distributivitate: înmulțim 3\displaystyle 3 cu fiecare termen din paranteza (1−i)\displaystyle (1-i).
    3(1−i)=3⋅1−3⋅i=3−3i\displaystyle 3(1-i)=3\cdot 1-3\cdot i=3-3i
  2. Înlocuim în expresia lui x\displaystyle x rezultatul obținut:
    x=3−3i+3i\displaystyle x=3-3i+3i
  3. Reducem părțile imaginare −3i\displaystyle -3i și 3i\displaystyle 3i, care sunt opuse, deci se anulează. Rămâne doar partea reală, deci x\displaystyle x este număr real.
    x=3+(−3i+3i)=3∈R\displaystyle x=3+(-3i+3i)=3\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+2\displaystyle f(x)=x^2-3x+2 cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox se află rezolvând ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0, adică x2−3x+2=0\displaystyle x^{2}-3x+2=0.
    x2−3x+2=0\displaystyle x^{2}-3x+2=0
  2. Calculăm discriminantul: Δ=(−3)2−4⋅1⋅2=9−8=1\displaystyle \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1.
    Δ=1\displaystyle \Delta=1
  3. Aplicăm formula rădăcinilor: x=3±12\displaystyle x=\dfrac{3\pm 1}{2}, deci rădăcinile sunt x=1\displaystyle x=1 și x=2\displaystyle x=2. Punctele de intersecție sunt A(1,0)\displaystyle A(1,0) și B(2,0)\displaystyle B(2,0).
    x=1 sau x=2\displaystyle x=1\text{ sau }x=2
  4. Ambele puncte sunt pe axa Ox\displaystyle Ox, deci distanța dintre ele este modulul diferenței absciselor: AB=∣2−1∣=1\displaystyle AB=|2-1|=1.
    AB=∣2−1∣=1\displaystyle AB=|2-1|=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 22x+3=8\displaystyle 2^{2x+3}=8.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem membrul drept ca putere a lui 2\displaystyle 2: 8=23\displaystyle 8=2^{3}, deci ecuația devine 22x+3=23\displaystyle 2^{2x+3}=2^{3}.
    22x+3=23\displaystyle 2^{2x+3}=2^{3}
  2. Cele două puteri au aceeași bază, 2\displaystyle 2, care este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1, deci funcția exponențială este injectivă și putem egala exponenții: 2x+3=3\displaystyle 2x+3=3.
    2x+3=3\displaystyle 2x+3=3
  3. Scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri: 2x=0\displaystyle 2x=0, apoi împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem x=0\displaystyle x=0. Valoarea este reală, deci este soluția ecuației.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un element din mulțimea A={1,2,3,…,20}\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,20\}, acesta să fie divizibil cu 4\displaystyle 4.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Elementele lui A\displaystyle A divizibile cu 4\displaystyle 4 sunt multiplii lui 4\displaystyle 4 care nu depășesc 20\displaystyle 20, adică 4⋅1\displaystyle 4\cdot 1, 4⋅2\displaystyle 4\cdot 2, 4⋅3\displaystyle 4\cdot 3, 4⋅4\displaystyle 4\cdot 4, 4⋅5\displaystyle 4\cdot 5. Sunt 5\displaystyle 5 cazuri favorabile.
    4\displaystyle 4,8\displaystyle 8,12\displaystyle 12,16\displaystyle 16,20⇒5 cazuri favorabile\displaystyle 20\Rightarrow 5\text{ cazuri favorabile}
  3. Mulțimea A\displaystyle A are 20\displaystyle 20 de elemente, deci sunt 20\displaystyle 20 de cazuri posibile.
    20 cazuri posibile\displaystyle 20\text{ cazuri posibile}
  4. Înlocuim în formulă: p=520\displaystyle p=\dfrac{5}{20}, iar prin simplificare cu 5\displaystyle 5 obținem p=14\displaystyle p=\dfrac{1}{4}.
    p=520=14\displaystyle p=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−2,3)\displaystyle A(-2,3), B(3,0)\displaystyle B(3,0) și C(2,5)\displaystyle C(2,5). Calculați lungimea medianei din B\displaystyle B a triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Mediana din B\displaystyle B unește vârful B\displaystyle B cu mijlocul M\displaystyle M al laturii opuse AC\displaystyle AC. Coordonatele mijlocului sunt xM=xA+xC2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2} și yM=yA+yC2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}.
    xM=xA+xC2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2},yM=yA+yC2\displaystyle \quad y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}
  2. Înlocuim A(−2,3)\displaystyle A(-2,3) și C(2,5)\displaystyle C(2,5): xM=−2+22=0\displaystyle x_M=\dfrac{-2+2}{2}=0 și yM=3+52=4\displaystyle y_M=\dfrac{3+5}{2}=4. Deci M(0,4)\displaystyle M(0,4).
    M(0,4)\displaystyle M(0,4)
  3. Lungimea medianei este distanța BM=(xM−xB)2+(yM−yB)2\displaystyle BM=\sqrt{(x_M-x_B)^2+(y_M-y_B)^2}. Cu B(3,0)\displaystyle B(3,0) și M(0,4)\displaystyle M(0,4) obținem BM=(0−3)2+(4−0)2\displaystyle BM=\sqrt{(0-3)^2+(4-0)^2}.
    BM=(−3)2+42\displaystyle BM=\sqrt{(-3)^2+4^2}
  4. Calculăm: BM=9+16=25=5\displaystyle BM=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. Lungimea medianei din B\displaystyle B este 5\displaystyle 5.
    BM=(−3)2+42=5\displaystyle BM=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați lungimea laturii AC\displaystyle AC a triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că BC=4\displaystyle BC=4, B=π6\displaystyle B=\frac{\pi}{6} și C=π3\displaystyle C=\frac{\pi}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Suma unghiurilor unui triunghi este π\displaystyle \pi, deci A=π−B−C=π−π6−π3\displaystyle A=\pi-B-C=\pi-\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{3}.
    A=π−π6−π3=π2\displaystyle A=\pi-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}
  2. Cum A=π2\displaystyle A=\dfrac{\pi}{2}, triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, iar BC\displaystyle BC este ipotenuza. Latura AC\displaystyle AC este cateta opusă unghiului B=π6\displaystyle B=\dfrac{\pi}{6}, adică de 30∘\displaystyle 30^\circ.
    △ABC dreptunghic ıˆn A\displaystyle \triangle ABC\text{ dreptunghic în }A, BC ipotenuza˘\displaystyle \ BC\text{ ipotenuză}, AC opusa˘ lui B=30∘\displaystyle \ AC\text{ opusă lui }B=30^\circ
  3. Cateta opusă unghiului de 30∘\displaystyle 30^\circ este jumătate din ipotenuză, deci AC=12⋅BC=12⋅4=2\displaystyle AC=\dfrac{1}{2}\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot 4=2.
    AC=12⋅BC=2\displaystyle AC=\frac{1}{2}\cdot BC=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr real x\displaystyle x se consideră matricea M(x)=(x1−x1−xx)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix} x & 1-x \\ 1-x & x \end{pmatrix}.

Calculați det⁡(M(2))\displaystyle \det(M(2)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în matricea M(x)\displaystyle M(x). Elementele de pe diagonala principală sunt x=2\displaystyle x=2, iar 1−x\displaystyle 1-x devine 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1.
    M(2)=(2−1−12)\displaystyle M(2)=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei M(2)\displaystyle M(2) ca determinant de ordinul doi.
    det⁡(M(2))=∣2−1−12∣\displaystyle \det(M(2))=\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}
  3. Aplicăm formula determinantului de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică 2⋅2−(−1)⋅(−1)\displaystyle 2\cdot 2-(-1)\cdot(-1).
    2⋅2−(−1)⋅(−1)=4−1\displaystyle 2\cdot 2-(-1)\cdot(-1)=4-1
  4. Efectuăm scăderea: 4−1=3\displaystyle 4-1=3. Deci determinantul este 3\displaystyle 3.
    det⁡(M(2))=4−1=3\displaystyle \det(M(2))=4-1=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr real x\displaystyle x se consideră matricea M(x)=(x1−x1−xx)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix} x & 1-x \\ 1-x & x \end{pmatrix}.

Verificați dacă M(x)⋅M(y)=M(2xy−x−y+1)\displaystyle M(x)\cdot M(y)=M(2xy-x-y+1), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul M(x)⋅M(y)\displaystyle M(x)\cdot M(y), înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua: M(x)=(x1−x1−xx)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix} x & 1-x \\ 1-x & x \end{pmatrix} și M(y)=(y1−y1−yy)\displaystyle M(y)=\begin{pmatrix} y & 1-y \\ 1-y & y \end{pmatrix}.
    M(x)⋅M(y)=(x1−x1−xx)(y1−y1−yy)\displaystyle M(x)\cdot M(y)=\begin{pmatrix} x & 1-x \\ 1-x & x \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y & 1-y \\ 1-y & y \end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element al produsului. De exemplu, elementul de pe linia 1, coloana 1 este x⋅y+(1−x)(1−y)\displaystyle x\cdot y+(1-x)(1-y), iar cel de pe linia 1, coloana 2 este x(1−y)+(1−x)y\displaystyle x(1-y)+(1-x)y. Analog pentru linia 2.
    M(x)⋅M(y)=(xy+(1−x)(1−y)x(1−y)+(1−x)y(1−x)y+x(1−y)(1−x)(1−y)+xy)\displaystyle M(x)\cdot M(y)=\begin{pmatrix} xy+(1-x)(1-y) & x(1-y)+(1-x)y \\ (1-x)y+x(1-y) & (1-x)(1-y)+xy \end{pmatrix}
  3. Desfacem parantezele în elementul de pe diagonală: (1−x)(1−y)=1−x−y+xy\displaystyle (1-x)(1-y)=1-x-y+xy, deci xy+(1−x)(1−y)=xy+1−x−y+xy\displaystyle xy+(1-x)(1-y)=xy+1-x-y+xy.
    xy+(1−x)(1−y)=2xy−x−y+1\displaystyle xy+(1-x)(1-y)=2xy-x-y+1
  4. Pentru elementul din afara diagonalei avem x(1−y)+(1−x)y=x−xy+y−xy=x+y−2xy\displaystyle x(1-y)+(1-x)y=x-xy+y-xy=x+y-2xy. Acesta este egal cu 1−(2xy−x−y+1)\displaystyle 1-(2xy-x-y+1).
    x(1−y)+(1−x)y=x+y−2xy=1−(2xy−x−y+1)\displaystyle x(1-y)+(1-x)y=x+y-2xy=1-(2xy-x-y+1)
  5. Elementele de pe a doua linie sunt aceleași (adunarea este comutativă), deci produsul are forma (a1−a1−aa)\displaystyle \begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{pmatrix} cu a=2xy−x−y+1\displaystyle a=2xy-x-y+1. Deci M(x)⋅M(y)=M(2xy−x−y+1)\displaystyle M(x)\cdot M(y)=M(2xy-x-y+1) pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    M(x)⋅M(y)=(2xy−x−y+11−(2xy−x−y+1)1−(2xy−x−y+1)2xy−x−y+1)=M(2xy−x−y+1)\displaystyle M(x)\cdot M(y)=\begin{pmatrix} 2xy-x-y+1 & 1-(2xy-x-y+1) \\ 1-(2xy-x-y+1) & 2xy-x-y+1 \end{pmatrix}=M(2xy-x-y+1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr real x\displaystyle x se consideră matricea M(x)=(x1−x1−xx)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix} x & 1-x \\ 1-x & x \end{pmatrix}.

Determinați numărul real a\displaystyle a astfel încât M(a)⋅M(x)=M(a)\displaystyle M(a)\cdot M(x)=M(a), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul M(a)⋅M(x)\displaystyle M(a)\cdot M(x). Elementul de pe diagonală este ax+(1−a)(1−x)\displaystyle ax+(1-a)(1-x), iar elementul din afara diagonalei este a(1−x)+(1−a)x\displaystyle a(1-x)+(1-a)x. Dezvoltăm: ax+1−x−a+ax=2ax−a−x+1\displaystyle ax+1-x-a+ax=2ax-a-x+1, deci elementele de pe diagonală sunt egale cu 2ax−a−x+1\displaystyle 2ax-a-x+1, iar celelalte două sunt 1−(2ax−a−x+1)\displaystyle 1-(2ax-a-x+1). Rezultă că produsul este M(2ax−a−x+1)\displaystyle M(2ax-a-x+1) (relația de la punctul b).
    M(a)⋅M(x)=M(2ax−a−x+1)\displaystyle M(a)\cdot M(x)=M(2ax-a-x+1)
  2. Egalitatea cerută devine M(2ax−a−x+1)=M(a)\displaystyle M(2ax-a-x+1)=M(a), pentru orice număr real x\displaystyle x.
    M(a)⋅M(x)=M(a)⇔M(2ax−a−x+1)=M(a), pentru orice numa˘r real x\displaystyle M(a)\cdot M(x)=M(a)\Leftrightarrow M(2ax-a-x+1)=M(a)\text{, pentru orice număr real }x
  3. Două matrice M(u)\displaystyle M(u) și M(v)\displaystyle M(v) sunt egale când au același element de pe poziția (1,1)\displaystyle (1,1), adică u=v\displaystyle u=v. Egalăm argumentele: 2ax−a−x+1=a\displaystyle 2ax-a-x+1=a, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    2ax−a−x+1=a, pentru orice numa˘r real x\displaystyle 2ax-a-x+1=a\text{, pentru orice număr real }x
  4. Aducem egalitatea la forma unui polinom în x\displaystyle x: grupăm termenii cu x\displaystyle x și termenii liberi. Obținem (2a−1)x−2a+1=0\displaystyle (2a-1)x-2a+1=0, adică (2a−1)(x−1)=0\displaystyle (2a-1)(x-1)=0, pentru orice x\displaystyle x real.
    (2a−1)(x−1)=0, pentru orice x∈R\displaystyle (2a-1)(x-1)=0\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  5. Egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice x\displaystyle x, deci și pentru x=0\displaystyle x=0, când obținem 1−2a=0\displaystyle 1-2a=0 (factorul x−1\displaystyle x-1 nu poate fi nul pentru orice x\displaystyle x). Rezultă a=12\displaystyle a=\dfrac{1}{2}. Verificare: pentru a=12\displaystyle a=\dfrac{1}{2} factorul 2a−1\displaystyle 2a-1 este 0\displaystyle 0, deci egalitatea are loc pentru orice x\displaystyle x.
    a=12\displaystyle a=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe R\displaystyle \mathbb{R} se definește legea de compoziție asociativă dată de x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2.

Calculați 0∘(−2)\displaystyle 0\circ(-2).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în formula x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2 valorile x=0\displaystyle x=0 și y=−2\displaystyle y=-2.
    0∘(−2)=0⋅(−2)+2⋅0+2⋅(−2)+2\displaystyle 0\circ(-2)=0\cdot(-2)+2\cdot 0+2\cdot(-2)+2
  2. Calculăm termenii: 0⋅(−2)=0\displaystyle 0\cdot(-2)=0, 2⋅0=0\displaystyle 2\cdot 0=0, 2⋅(−2)=−4\displaystyle 2\cdot(-2)=-4.
    0+0−4+2\displaystyle 0+0-4+2
  3. Adunăm termenii: −4+2=−2\displaystyle -4+2=-2, deci 0∘(−2)=−2\displaystyle 0\circ(-2)=-2.
    0∘(−2)=−2\displaystyle 0\circ(-2)=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe R\displaystyle \mathbb{R} se definește legea de compoziție asociativă dată de x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2.

Arătați că x∘y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x\circ y=(x+2)(y+2)-2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii: x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2.
    x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2
  2. Grupăm termenii xy+2x\displaystyle xy+2x și dăm factor comun pe x\displaystyle x: xy+2x=x(y+2)\displaystyle xy+2x=x(y+2).
    xy+2x=x(y+2)\displaystyle xy+2x=x(y+2)
  3. Pentru termenii rămași scriem 2y+2=2y+4−2=2(y+2)−2\displaystyle 2y+2=2y+4-2=2(y+2)-2, deoarece 2(y+2)=2y+4\displaystyle 2(y+2)=2y+4. Astfel apare același factor y+2\displaystyle y+2.
    2y+2=2(y+2)−2\displaystyle 2y+2=2(y+2)-2
  4. Înlocuim cele două grupări în expresia lui x∘y\displaystyle x\circ y și obținem x∘y=x(y+2)+2(y+2)−2\displaystyle x\circ y=x(y+2)+2(y+2)-2.
    x∘y=x(y+2)+2(y+2)−2\displaystyle x\circ y=x(y+2)+2(y+2)-2
  5. Dăm factor comun pe y+2\displaystyle y+2 între primii doi termeni: x(y+2)+2(y+2)=(x+2)(y+2)\displaystyle x(y+2)+2(y+2)=(x+2)(y+2). Rezultă x∘y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x\circ y=(x+2)(y+2)-2, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∘y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x\circ y=(x+2)(y+2)-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe R\displaystyle \mathbb{R} se definește legea de compoziție asociativă dată de x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∘x∘x=6\displaystyle x\circ x\circ x=6.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4\displaystyle (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4. Comparând cu xy+2x+2y+2\displaystyle xy+2x+2y+2, observăm că diferă prin constanta 2\displaystyle 2.
    x∘y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x\circ y=(x+2)(y+2)-2
  2. Punem y=x\displaystyle y=x în forma factorizată: x∘x=(x+2)(x+2)−2\displaystyle x\circ x=(x+2)(x+2)-2.
    x∘x=(x+2)2−2\displaystyle x\circ x=(x+2)^2-2
  3. Avem (x∘x)∘x=((x∘x)+2)(x+2)−2\displaystyle (x\circ x)\circ x=\left((x\circ x)+2\right)(x+2)-2. Cum (x∘x)+2=(x+2)2\displaystyle (x\circ x)+2=(x+2)^2, obținem (x+2)2(x+2)−2\displaystyle (x+2)^2(x+2)-2.
    x∘x∘x=(x+2)3−2\displaystyle x\circ x\circ x=(x+2)^3-2
  4. Ecuația x∘x∘x=6\displaystyle x\circ x\circ x=6 devine (x+2)3−2=6\displaystyle (x+2)^3-2=6, deci (x+2)3=8\displaystyle (x+2)^3=8.
    (x+2)3=8\displaystyle (x+2)^3=8
  5. Cum 8=23\displaystyle 8=2^3 și funcția t↦t3\displaystyle t\mapsto t^3 este injectivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, rezultă x+2=2\displaystyle x+2=2, deci x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x+2x−1\displaystyle f(x)=\frac{x^2-2x+2}{x-1}.

Arătați că f′(x)=x(x−2)(x−1)2\displaystyle f'(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât de două funcții derivabile pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), cu numitorul nenul. Folosim formula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u(x)=x2−2x+2\displaystyle u(x)=x^{2}-2x+2 și v(x)=x−1\displaystyle v(x)=x-1.
    f′(x)=(x2−2x+2)′(x−1)−(x2−2x+2)(x−1)′(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x^{2}-2x+2)'(x-1)-(x^{2}-2x+2)(x-1)'}{(x-1)^{2}}
  2. Calculăm derivatele: u′(x)=2x−2\displaystyle u'(x)=2x-2, iar v′(x)=1\displaystyle v'(x)=1. Le înlocuim în formulă.
    f′(x)=(2x−2)(x−1)−(x2−2x+2)(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x-2)(x-1)-(x^{2}-2x+2)}{(x-1)^{2}}
  3. Desfacem parantezele la numărător: (2x−2)(x−1)=2x2−2x−2x+2=2x2−4x+2\displaystyle (2x-2)(x-1)=2x^{2}-2x-2x+2=2x^{2}-4x+2.
    (2x−2)(x−1)=2x2−4x+2\displaystyle (2x-2)(x-1)=2x^{2}-4x+2
  4. Scădem x2−2x+2\displaystyle x^{2}-2x+2 din acest rezultat: 2x2−4x+2−x2+2x−2=x2−2x\displaystyle 2x^{2}-4x+2-x^{2}+2x-2=x^{2}-2x.
    2x2−4x+2−(x2−2x+2)=x2−2x\displaystyle 2x^{2}-4x+2-(x^{2}-2x+2)=x^{2}-2x
  5. Scoatem x\displaystyle x factor comun la numărător și obținem egalitatea cerută, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
    f′(x)=x2−2x(x−1)2=x(x−2)(x−1)2, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^{2}}\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x+2x−1\displaystyle f(x)=\frac{x^2-2x+2}{x-1}.

Determinați punctele de extrem ale funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este definită pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), unde x−1≠0\displaystyle x-1\neq 0, deci este derivabilă. Calculăm derivata cu formula câtului: (x2−2x+2)′=2x−2\displaystyle (x^2-2x+2)'=2x-2 și (x−1)′=1\displaystyle (x-1)'=1.
    f′(x)=(2x−2)(x−1)−(x2−2x+2)⋅1(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x-2)(x-1)-(x^{2}-2x+2)\cdot 1}{(x-1)^{2}}
  2. Efectuăm calculele de la numărător: (2x−2)(x−1)=2x2−4x+2\displaystyle (2x-2)(x-1)=2x^{2}-4x+2. Scădem x2−2x+2\displaystyle x^{2}-2x+2 și obținem x2−2x=x(x−2)\displaystyle x^{2}-2x=x(x-2).
    f′(x)=x2−2x(x−1)2=x(x−2)(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^{2}}
  3. Anulăm derivata: fracția este zero când numărătorul este zero, iar numitorul (x−1)2\displaystyle (x-1)^2 este nenul pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty). Rezultă x(x−2)=0\displaystyle x(x-2)=0, deci x=0\displaystyle x=0 sau x=2\displaystyle x=2. Doar x=2\displaystyle x=2 aparține intervalului (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty).
    f′(x)=0⇒x(x−2)=0⇒x=2, deoarece x∈(1,+∞)\displaystyle f'(x)=0\Rightarrow x(x-2)=0\Rightarrow x=2\text{, deoarece }x\in(1,+\infty)
  4. Studiem semnul derivatei. Numitorul (x−1)2\displaystyle (x-1)^{2} este pozitiv pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), deci semnul lui f′\displaystyle f' este dat de semnul lui x(x−2)\displaystyle x(x-2). Pentru x∈(1,2)\displaystyle x\in(1,2) avem x>0\displaystyle x>0 și x−2<0\displaystyle x-2<0, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0. Pentru x∈(2,+∞)\displaystyle x\in(2,+\infty) avem x>0\displaystyle x>0 și x−2>0\displaystyle x-2>0, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0.
    f′(2)=0; f′(x)<0, pentru x∈(1,2) și f′(x)>0, pentru x∈(2,+∞)\displaystyle f'(2)=0;\ f'(x)<0\text{, pentru }x\in(1,2)\text{ și }f'(x)>0\text{, pentru }x\in(2,+\infty)
  5. Funcția scade pe (1,2]\displaystyle (1,2] și crește pe [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty), deci f′\displaystyle f' își schimbă semnul din minus în plus în x=2\displaystyle x=2. Așadar x=2\displaystyle x=2 este punct de minim și singurul punct de extrem al funcției.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x+2x−1\displaystyle f(x)=\frac{x^2-2x+2}{x-1}.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=mx+n\displaystyle y=mx+n, unde m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} și n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right).
    y=mx+n\displaystyle y=mx+n,m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle \quad m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x},n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle \quad n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right)
  2. Scriem f(x)x=x2−2x+2x(x−1)=x2−2x+2x2−x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x^{2}-2x+2}{x(x-1)}=\dfrac{x^{2}-2x+2}{x^{2}-x}.
    f(x)x=x2−2x+2x2−x\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{x^{2}-2x+2}{x^{2}-x}
  3. Numărătorul și numitorul au același grad, iar coeficienții dominanți sunt ambii 1\displaystyle 1. Împărțim la x2\displaystyle x^{2} și obținem lim⁡x→+∞1−2x+2x21−1x=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^{2}}}{1-\frac{1}{x}}=1, deci m=1\displaystyle m=1.
    m=lim⁡x→+∞f(x)x=1\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=1
  4. Calculăm f(x)−x=x2−2x+2x−1−x=x2−2x+2−x(x−1)x−1\displaystyle f(x)-x=\dfrac{x^{2}-2x+2}{x-1}-x=\dfrac{x^{2}-2x+2-x(x-1)}{x-1}.
    f(x)−x=x2−2x+2−x2+xx−1\displaystyle f(x)-x=\frac{x^{2}-2x+2-x^{2}+x}{x-1}
  5. Reducem termenii asemenea: x2−x2=0\displaystyle x^{2}-x^{2}=0 și −2x+x=−x\displaystyle -2x+x=-x, deci f(x)−x=−x+2x−1\displaystyle f(x)-x=\dfrac{-x+2}{x-1}.
    f(x)−x=−x+2x−1\displaystyle f(x)-x=\frac{-x+2}{x-1}
  6. Numărătorul și numitorul au gradul 1\displaystyle 1, iar raportul coeficienților dominanți este −11\displaystyle \dfrac{-1}{1}. Deci n=lim⁡x→+∞−x+2x−1=−1\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-x+2}{x-1}=-1.
    n=lim⁡x→+∞(f(x)−x)=−1\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-x\right)=-1
  7. Înlocuim m=1\displaystyle m=1 și n=−1\displaystyle n=-1 în y=mx+n\displaystyle y=mx+n și obținem asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty.
    y=x−1\displaystyle y=x-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xx\displaystyle f(x)=x\sqrt{x}.

Calculați ∫12f(x)x dx\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{\sqrt{x}}\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=xx\displaystyle f(x)=x\sqrt{x} în integrala dată.
    ∫12f(x)x dx=∫12xxx dx\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{\sqrt{x}}\,dx=\int_1^2 \frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx
  2. Simplificăm x\displaystyle \sqrt{x} de la numărător cu cel de la numitor, deoarece x≠0\displaystyle \sqrt{x}\neq 0 pe [1,2]\displaystyle [1,2].
    ∫12f(x)x dx=∫12x dx\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{\sqrt{x}}\,dx=\int_1^2 x\,dx
  3. O primitivă a funcției x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫12x dx=x22∣12\displaystyle \int_1^2 x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_1^2
  4. Calculăm valorile primitivei în 2\displaystyle 2 și în 1\displaystyle 1 și le scădem: 42−12\displaystyle \dfrac{4}{2}-\dfrac{1}{2}.
    x22∣12=42−12=32\displaystyle \frac{x^2}{2}\Big|_1^2=\frac{4}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xx\displaystyle f(x)=x\sqrt{x}.

Arătați că funcția F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=25x2x\displaystyle F(x)=\frac{2}{5}x^2\sqrt{x} este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f, trebuie să verificăm că F\displaystyle F este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) și că F′=f\displaystyle F'=f. Scriem mai întâi F\displaystyle F cu puteri: x2x=x2⋅x12=x52\displaystyle x^{2}\sqrt{x}=x^{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{5}{2}}.
    F(x)=25⋅x52\displaystyle F(x)=\frac{2}{5}\cdot x^{\frac{5}{2}}
  2. Derivăm F\displaystyle F cu formula (xa)′=a⋅xa−1\displaystyle \left(x^{a}\right)'=a\cdot x^{a-1}. Constanta 25\displaystyle \dfrac{2}{5} rămâne în fața derivatei: F′(x)=25⋅52⋅x52−1\displaystyle F'(x)=\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{5}{2}\cdot x^{\frac{5}{2}-1}.
    F′(x)=25⋅52⋅x32\displaystyle F'(x)=\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}}
  3. Simplificăm, deoarece 25⋅52=1\displaystyle \dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{5}{2}=1, și revenim la radical: x32=x⋅x12=xx\displaystyle x^{\frac{3}{2}}=x\cdot x^{\frac{1}{2}}=x\sqrt{x}.
    F′(x)=x32=xx, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle F'(x)=x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
  4. Cum F′(x)=xx=f(x)\displaystyle F'(x)=x\sqrt{x}=f(x) pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), funcția F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x), pentru orice x∈(0,+∞)⇒F este o primitiva˘ a \displaystyle F'(x)=f(x)\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\Rightarrow F\text{ este o primitivă a }funcției f\displaystyle \text{funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xx\displaystyle f(x)=x\sqrt{x}.

Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuație x=1\displaystyle x=1 și x=4\displaystyle x=4.
Vezi rezolvarea
  1. Pe intervalul [1,4]\displaystyle [1,4] avem x>0\displaystyle x>0, deci f(x)=xx>0\displaystyle f(x)=x\sqrt{x}>0 și graficul se află deasupra axei Ox\displaystyle Ox. Prin urmare ∣f(x)∣=f(x)\displaystyle |f(x)|=f(x).
    f(x)=xx>0 pe [1,4]\displaystyle f(x)=x\sqrt{x}>0\text{ pe }[1,4]
  2. Aria se calculează ca integrala funcției pe intervalul dintre dreptele x=1\displaystyle x=1 și x=4\displaystyle x=4.
    A=∫14∣f(x)∣ dx=∫14xx dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^4 |f(x)|\,dx=\int_1^4 x\sqrt{x}\,dx
  3. Scriem funcția ca putere: xx=x32\displaystyle x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}. Primitiva lui x32\displaystyle x^{\frac{3}{2}} este x5252=25x52=25x2x\displaystyle \dfrac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}=\dfrac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}=\dfrac{2}{5}x^{2}\sqrt{x}.
    ∫xx dx=25x2x+C\displaystyle \int x\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{5}x^{2}\sqrt{x}+C
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton și calculăm primitiva în 4\displaystyle 4 și în 1\displaystyle 1. Pentru x=4\displaystyle x=4 avem 424=16⋅2=32\displaystyle 4^{2}\sqrt{4}=16\cdot 2=32, iar pentru x=1\displaystyle x=1 avem 121=1\displaystyle 1^{2}\sqrt{1}=1.
    25⋅x2x∣14=25⋅32−25⋅1\displaystyle \frac{2}{5}\cdot x^2\sqrt{x}\Big|_1^4=\frac{2}{5}\cdot 32-\frac{2}{5}\cdot 1
  5. Scădem fracțiile: 645−25=625\displaystyle \dfrac{64}{5}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{62}{5}. Aceasta este aria căutată.
    A=625\displaystyle \mathcal{A}=\frac{62}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.