Bac matematică M2 științe ale naturii 2024, sesiunea a II-a varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2−5i+i(5−3i)=5\displaystyle 2-5i+i(5-3i)=5, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia dată în enunț.
    2−5i+i(5−3i)\displaystyle 2-5i+i(5-3i)
  2. Se distribuie i\displaystyle i în paranteză, înmulțind fiecare termen din interior cu i\displaystyle i.
    i(5−3i)=5i−3i2\displaystyle i(5-3i)=5i-3i^2
  3. Se înlocuiește produsul dezvoltat în expresia inițială, obținându-se toți termenii, inclusiv cel cu i\displaystyle i la pătrat.
    2−5i+i(5−3i)=2−5i+5i−3i2\displaystyle 2-5i+i(5-3i)=2-5i+5i-3i^2
  4. Se folosește relația dată în enunț, i2=−1\displaystyle i^2=-1, pentru a înlocui termenul −3i2\displaystyle -3i^2 cu valoarea sa reală.
    −3i2=−3(−1)=3\displaystyle -3i^2=-3(-1)=3
  5. Se grupează termenii reali (2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3, obținut mai sus) și termenii imaginari (−5i\displaystyle -5i și 5i\displaystyle 5i, care se anulează), obținându-se rezultatul final.
    2−5i+5i−3i2=2+3−5i+5i=2+3=5\displaystyle 2-5i+5i-3i^2=2+3-5i+5i=2+3=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=6x+m\displaystyle f(x)=6x+m, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care f(2)=15\displaystyle f(2)=15.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în expresia funcției f(x)=6x+m\displaystyle f(x)=6x+m.
    f(2)=6⋅2+m\displaystyle f(2)=6\cdot 2+m
  2. Se efectuează calculul 6⋅2\displaystyle 6\cdot 2 și se pune condiția ca f(2)\displaystyle f(2) să fie egal cu 15\displaystyle 15.
    f(2)=12+m\displaystyle f(2)=12+m, deci 12+m=15\displaystyle \text{ deci }12+m=15
  3. Se rezolvă ecuația obținută pentru a afla valoarea lui m\displaystyle m.
    m=15−12\displaystyle m=15-12
  4. Se calculează valoarea finală a lui m\displaystyle m.
    m=3\displaystyle m=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 72x+1=7x⋅72\displaystyle 7^{2x+1}=7^x\cdot 7^2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem ecuația dată.
    72x+1=7x⋅72\displaystyle 7^{2x+1}=7^x\cdot 7^2
  2. Aplicăm regula de calcul cu puteri de aceeași bază, am⋅an=am+n\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}, pentru a transforma membrul drept într-o singură putere de bază 7\displaystyle 7.
    7x⋅72=7x+2\displaystyle 7^x\cdot 7^2=7^{x+2}
  3. Înlocuim în ecuație și, deoarece bazele sunt egale (și pozitive, diferite de 1\displaystyle 1), egalăm exponenții.
    72x+1=7x+2\displaystyle 7^{2x+1}=7^{x+2}, de unde obținem 2x+1=x+2\displaystyle \text{ de unde obținem }2x+1=x+2
  4. Rezolvăm ecuația liniară obținută, mutând termenii cu x\displaystyle x în stânga și termenii liberi în dreapta.
    2x−x=2−1\displaystyle 2x-x=2-1
  5. Efectuăm calculele și obținem soluția ecuației.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cel puțin una dintre cifre egală cu 1\displaystyle 1.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică mulțimea numerelor naturale de două cifre: acestea sunt numerele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99.
    10\displaystyle 10,11\displaystyle 11,12\displaystyle 12,…\displaystyle \ldots,99\displaystyle 99
  2. Se numără câte numere naturale de două cifre există (cazurile posibile).
    99−10+1=90 de cazuri posibile\displaystyle 99-10+1=90\text{ de cazuri posibile}
  3. Se identifică numerele de două cifre care au cifra zecilor egală cu 1\displaystyle 1.
    10\displaystyle 10,11\displaystyle 11,12\displaystyle 12,13\displaystyle 13,14\displaystyle 14,15\displaystyle 15,16\displaystyle 16,17\displaystyle 17,18\displaystyle 18,19⇒10 numere\displaystyle 19\Rightarrow 10\text{ numere}
  4. Se identifică numerele de două cifre care au cifra unităților egală cu 1\displaystyle 1, dar cifra zecilor diferită de 1\displaystyle 1 (pentru a nu numberăra de două ori numerele din pasul anterior).
    21\displaystyle 21,31\displaystyle 31,41\displaystyle 41,51\displaystyle 51,61\displaystyle 61,71\displaystyle 71,81\displaystyle 81,91⇒8 numere\displaystyle 91\Rightarrow 8\text{ numere}
  5. Se însumează cele două categorii pentru a obține numărul total de cazuri favorabile (numere care au cel puțin o cifră egală cu 1\displaystyle 1).
    10+8=18 cazuri favorabile\displaystyle 10+8=18\text{ cazuri favorabile}
  6. Se calculează probabilitatea ca raport dintre numărul de cazuri favorabile și numărul de cazuri posibile, apoi se simplifică fracția.
    p=1890=15\displaystyle p=\dfrac{18}{90}=\dfrac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,5)\displaystyle A(2,5) și B(4,2)\displaystyle B(4,2). Determinați distanța dintre punctul A\displaystyle A și mijlocul segmentului OB\displaystyle OB.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică originea O(0,0)\displaystyle O(0,0) și punctul B(4,2)\displaystyle B(4,2), necesare pentru calculul mijlocului segmentului OB\displaystyle OB.
    O(0,0)\displaystyle O(0,0), B(4,2)\displaystyle \ B(4,2)
  2. Se aplică formula punctului de mijloc al unui segment: coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor.
    M(0+42,0+22)\displaystyle M\left(\dfrac{0+4}{2},\dfrac{0+2}{2}\right)
  3. Se efectuează calculele pentru a obține coordonatele mijlocului M\displaystyle M al segmentului OB\displaystyle OB.
    M(2,1) este mijlocul segmentului OB\displaystyle M(2,1)\text{ este mijlocul segmentului }OB
  4. Se aplică formula distanței dintre două puncte A(xA,yA)\displaystyle A(x_A,y_A) și M(xM,yM)\displaystyle M(x_M,y_M) pentru a calcula distanța AM\displaystyle AM.
    AM=(xA−xM)2+(yA−yM)2\displaystyle AM=\sqrt{(x_A-x_M)^2+(y_A-y_M)^2}
  5. Se înlocuiesc coordonatele punctelor A(2,5)\displaystyle A(2,5) și M(2,1)\displaystyle M(2,1) în formula distanței.
    AM=(2−2)2+(5−1)2\displaystyle AM=\sqrt{(2-2)^2+(5-1)^2}
  6. Se efectuează calculele sub radical și se extrage rădăcina pentru a obține distanța finală.
    AM=02+42=16=4\displaystyle AM=\sqrt{0^2+4^2}=\sqrt{16}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AB=5\displaystyle AB=5 și BC=55\displaystyle BC=5\sqrt{5}. Arătați că sin⁡C=55\displaystyle \sin C=\dfrac{\sqrt{5}}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică elementele triunghiului dreptunghic ABC\displaystyle ABC: unghiul drept este în A\displaystyle A, deci BC\displaystyle BC este ipotenuza, iar AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC sunt catete. Pentru unghiul C\displaystyle C, cateta opusă este AB\displaystyle AB (latura care nu conține vârful C\displaystyle C).
    ∠A=90∘\displaystyle \angle A=90^{\circ}, BC=ipotenuza˘\displaystyle \ BC=\text{ipotenuză}, AB=cateta opusa˘ unghiului C\displaystyle \ AB=\text{cateta opusă unghiului }C
  2. Se aplică definiția sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic: raportul dintre cateta opusă unghiului și ipotenuză, apoi se înlocuiesc valorile date.
    sin⁡C=ABBC=555=\displaystyle \sin C=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{5}{5\sqrt{5}}=
  3. Se simplifică fracția prin 5\displaystyle 5, obținând un raport mai simplu.
    555=15\displaystyle \dfrac{5}{5\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}
  4. Se raționalizează numitorul, amplificând fracția cu radical din 5\displaystyle 5, pentru a obține forma finală cerută.
    15=55\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, A=(2−110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix} și B(x)=(xx−33−xx−4)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x & x-3\\ 3-x & x-4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=1\displaystyle \det A=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea A\displaystyle A și se identifică elementele sale, pentru a aplica formula determinantului de ordinul doi: pentru o matrice generală (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}, determinantul este ad−bc\displaystyle ad-bc.
    A=(2−110)⇒a=2\displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\Rightarrow a=2, b=−1\displaystyle \ b=-1, c=1\displaystyle \ c=1, d=0\displaystyle \ d=0
  2. Se aplică formula determinantului de ordin doi pentru matricea A\displaystyle A, înlocuind valorile identificate.
    det⁡A=∣2−110∣=2⋅0−(−1)⋅1=\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2 & -1\\ 1 & 0\end{vmatrix}=2\cdot 0-(-1)\cdot 1=
  3. Se efectuează înmulțirile: 2⋅0=0\displaystyle 2\cdot 0=0 și (−1)⋅1=−1\displaystyle (-1)\cdot 1=-1, deci scăderea devine 0−(−1)\displaystyle 0-(-1).
    0−(−1)=0+1\displaystyle 0-(-1)=0+1
  4. Se efectuează adunarea finală, obținând valoarea determinantului matricei A\displaystyle A.
    =0+1=1\displaystyle =0+1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, A=(2−110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix} și B(x)=(xx−33−xx−4)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x & x-3\\ 3-x & x-4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care B(4)⋅B(4)+I2=aB(4)\displaystyle B(4)\cdot B(4)+I_2=aB(4).
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește x=4\displaystyle x=4 în matricea B(x)\displaystyle B(x) pentru a obține matricea B(4)\displaystyle B(4).
    B(4)=(44−33−44−4)=(41−10)\displaystyle B(4)=\begin{pmatrix}4 & 4-3\\ 3-4 & 4-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}
  2. Se calculează produsul B(4)⋅B(4)\displaystyle B(4)\cdot B(4) folosind regula de înmulțire a matricelor.
    B(4)⋅B(4)=(4⋅4+1⋅(−1)4⋅1+1⋅0−1⋅4+0⋅(−1)−1⋅1+0⋅0)\displaystyle B(4)\cdot B(4)=\begin{pmatrix}4\cdot4+1\cdot(-1) & 4\cdot1+1\cdot0\\ -1\cdot4+0\cdot(-1) & -1\cdot1+0\cdot0\end{pmatrix}
  3. Se efectuează calculele numerice din fiecare element al produsului, obținând matricea finală B(4)⋅B(4)\displaystyle B(4)\cdot B(4).
    B(4)⋅B(4)=(154−4−1)\displaystyle B(4)\cdot B(4)=\begin{pmatrix}15 & 4\\ -4 & -1\end{pmatrix}
  4. Se adună matricea unitate I2\displaystyle I_{2} la produsul obținut anterior.
    B(4)⋅B(4)+I2=(15+14+0−4+0−1+1)=(164−40)\displaystyle B(4)\cdot B(4)+I_2=\begin{pmatrix}15+1 & 4+0\\ -4+0 & -1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16 & 4\\ -4 & 0\end{pmatrix}
  5. Se calculează 4B(4)\displaystyle 4B(4) prin înmulțirea fiecărui element al matricei B(4)\displaystyle B(4) cu scalarul 4\displaystyle 4, apoi se compară cu rezultatul precedent pentru a determina valoarea lui a\displaystyle a.
    4B(4)=(164−40)=B(4)⋅B(4)+I2\displaystyle 4B(4)=\begin{pmatrix}16 & 4\\ -4 & 0\end{pmatrix}=B(4)\cdot B(4)+I_2, deci aB(4)=4B(4), de unde a=4\displaystyle \text{ deci }aB(4)=4B(4)\text{, de unde }a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, A=(2−110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix} și B(x)=(xx−33−xx−4)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x & x-3\\ 3-x & x-4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A⋅B(x)=B(x)⋅A\displaystyle A\cdot B(x)=B(x)\cdot A.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează produsul A⋅B(x)\displaystyle A\cdot B(x), înmulțind fiecare linie a matricei A\displaystyle A cu fiecare coloană a matricei B(x)\displaystyle B(x).
    A⋅B(x)=(2⋅x+(−1)(3−x)2(x−3)+(−1)(x−4)1⋅x+0⋅(3−x)1⋅(x−3)+0⋅(x−4))\displaystyle A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}2\cdot x+(-1)(3-x) & 2(x-3)+(-1)(x-4)\\ 1\cdot x+0\cdot(3-x) & 1\cdot(x-3)+0\cdot(x-4)\end{pmatrix}
  2. Se efectuează calculele din fiecare element al matricei A⋅B(x)\displaystyle A\cdot B(x).
    A⋅B(x)=(2x−3+x2x−6−x+4xx−3)=(3x−3x−2xx−3)\displaystyle A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}2x-3+x & 2x-6-x+4\\ x & x-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x-3 & x-2\\ x & x-3\end{pmatrix}
  3. Se calculează produsul B(x)⋅A\displaystyle B(x)\cdot A, înmulțind fiecare linie a matricei B(x)\displaystyle B(x) cu fiecare coloană a matricei A\displaystyle A.
    B(x)⋅A=(x⋅2+(x−3)⋅1x⋅(−1)+(x−3)⋅0(3−x)⋅2+(x−4)⋅1(3−x)⋅(−1)+(x−4)⋅0)\displaystyle B(x)\cdot A=\begin{pmatrix}x\cdot 2+(x-3)\cdot 1 & x\cdot(-1)+(x-3)\cdot 0\\ (3-x)\cdot 2+(x-4)\cdot 1 & (3-x)\cdot(-1)+(x-4)\cdot 0\end{pmatrix}
  4. Se efectuează calculele din fiecare element al matricei B(x)⋅A\displaystyle B(x)\cdot A, obținându-se astfel ambele produse cerute în barem.
    A⋅B(x)=(3x−3x−2xx−3)\displaystyle A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}3x-3 & x-2\\ x & x-3\end{pmatrix}, B(x)⋅A=(3x−3−x−x+2x−3)\displaystyle \ B(x)\cdot A=\begin{pmatrix}3x-3 & -x\\ -x+2 & x-3\end{pmatrix}, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x
  5. Se pune condiția A⋅B(x)=B(x)⋅A\displaystyle A\cdot B(x)=B(x)\cdot A și se compară elementele corespunzătoare ale celor două matrice, obținând un sistem de ecuații.
    (3x−3x−2xx−3)=(3x−3−x−x+2x−3)⇒{3x−3=3x−3x−2=−xx=−x+2x−3=x−3\displaystyle \begin{pmatrix}3x-3 & x-2\\ x & x-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x-3 & -x\\ -x+2 & x-3\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{cases}3x-3=3x-3\\ x-2=-x\\ x=-x+2\\ x-3=x-3\end{cases}
  6. Se rezolvă ecuațiile obținute din compararea elementelor (cele netriviale conduc la aceeași soluție), determinând valoarea lui x\displaystyle x.
    x−2=−x⇒2x=2⇒x=1;x=−x+2⇒2x=2⇒x=1\displaystyle x-2=-x\Rightarrow 2x=2\Rightarrow x=1;\quad x=-x+2\Rightarrow 2x=2\Rightarrow x=1
  7. Se conchide, în urma egalării matricelor, valoarea lui x\displaystyle x care satisface condiția A⋅B(x)=B(x)⋅A\displaystyle A\cdot B(x)=B(x)\cdot A.
    (3x−3x−2xx−3)=(3x−3−x−x+2x−3)\displaystyle \begin{pmatrix}3x-3 & x-2\\ x & x-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x-3 & -x\\ -x+2 & x-3\end{pmatrix}, obținem x=1\displaystyle \text{ obținem }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x+y)(4−x−y)\displaystyle x*y=(x+y)(4-x-y).

Arătați că 0∗3=3\displaystyle 0*3=3.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile x=0\displaystyle x=0 și y=3\displaystyle y=3 care trebuie înlocuite.
    x∗y=(x+y)(4−x−y)\displaystyle x*y=(x+y)(4-x-y), unde x=0\displaystyle \text{ unde } x=0, y=3\displaystyle \ y=3
  2. Se înlocuiește x=0\displaystyle x=0 și y=3\displaystyle y=3 în formula legii de compoziție.
    0∗3=(0+3)(4−0−3)=\displaystyle 0*3=(0+3)(4-0-3)=
  3. Se calculează suma din prima paranteză: 0+3=3\displaystyle 0+3=3.
    0+3=3\displaystyle 0+3=3
  4. Se calculează valoarea din a doua paranteză: 4−0−3=1\displaystyle 4-0-3=1.
    4−0−3=1\displaystyle 4-0-3=1
  5. Se înmulțesc cele două rezultate obținute pentru a afla valoarea finală a legii de compoziție.
    =3⋅1=3\displaystyle =3\cdot 1=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x+y)(4−x−y)\displaystyle x*y=(x+y)(4-x-y).

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗1=0\displaystyle x*1=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se particularizează pentru y=1\displaystyle y=1, calculând x∗1\displaystyle x*1 conform definiției.
    x∗y=(x+y)(4−x−y)⇒x∗1=(x+1)(4−x−1)\displaystyle x*y=(x+y)(4-x-y)\Rightarrow x*1=(x+1)(4-x-1)
  2. Se simplifică expresia obținută, aducând-o la forma finală a lui x∗1\displaystyle x*1.
    x∗1=(x+1)(3−x)\displaystyle x*1=(x+1)(3-x), pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x
  3. Se pune condiția ca x∗1\displaystyle x*1 să fie egal cu 0\displaystyle 0, folosind expresia găsită anterior.
    x∗1=0⇒(x+1)(3−x)=0\displaystyle x*1=0\Rightarrow (x+1)(3-x)=0
  4. Se rezolvă ecuația de tip produs egal cu zero, anulând fiecare factor în parte.
    x+1=0 sau 3−x=0\displaystyle x+1=0\text{ sau }3-x=0
  5. Se rezolvă cele două ecuații liniare obținute și se scriu soluțiile finale.
    (x+1)(3−x)=0\displaystyle (x+1)(3-x)=0, de unde obținem x=−1 sau x=3\displaystyle \text{ de unde obținem }x=-1\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x+y)(4−x−y)\displaystyle x*y=(x+y)(4-x-y).

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care numărul N=(n+5)∗(n−5)\displaystyle N=(n+5)*(n-5) este natural.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică elementele care se compun conform legii date: pentru un număr natural n\displaystyle n, se consideră x=n+5\displaystyle x=n+5 și y=n−5\displaystyle y=n-5, iar N\displaystyle N este rezultatul compunerii lor, N=(n+5)∗(n−5)\displaystyle N=(n+5)*(n-5).
    N=(n+5)∗(n−5)\displaystyle N=(n+5)*(n-5)
  2. Se aplică definiția legii de compoziție x∗y=(x+y)(4−x−y)\displaystyle x*y=(x+y)(4-x-y), înlocuind x=n+5\displaystyle x=n+5 și y=n−5\displaystyle y=n-5.
    (n+5)∗(n−5)=((n+5)+(n−5))(4−(n+5)−(n−5))\displaystyle (n+5)*(n-5)=\big((n+5)+(n-5)\big)\big(4-(n+5)-(n-5)\big)
  3. Se calculează suma x+y\displaystyle x+y și expresia 4−x−y\displaystyle 4-x-y, simplificând termenii.
    (n+5)+(n−5)=2n și 4−(n+5)−(n−5)=4−2n\displaystyle (n+5)+(n-5)=2n\text{ și }4-(n+5)-(n-5)=4-2n
  4. Se înlocuiește în expresia lui N\displaystyle N, obținând forma finală în funcție de n\displaystyle n, valabilă pentru orice număr natural n\displaystyle n.
    (n+5)∗(n−5)=4n(2−n)\displaystyle (n+5)*(n-5)=4n(2-n), pentru orice numa˘r \displaystyle \text{ pentru orice număr }natural n\displaystyle \text{natural }n
  5. Se pune condiția ca N=4n(2−n)\displaystyle N=4n(2-n) să fie număr natural, adică N\displaystyle N să fie întreg și nenegativ; deoarece n\displaystyle n este deja natural, condiția esențială este N≥0\displaystyle N\geq 0.
    4n(2−n)≥0\displaystyle 4n(2-n)\geq 0
  6. Se rezolvă inecuația 4n(2−n)≥0\displaystyle 4n(2-n)\geq 0, împărțind prin 4\displaystyle 4 (pozitiv) și analizând semnul produsului n(2−n)\displaystyle n(2-n).
    n(2−n)≥0⇒0≤n≤2\displaystyle n(2-n)\geq 0\Rightarrow 0\leq n\leq 2
  7. Se reține din intervalul obținut doar valorile care sunt și numere naturale, conform condiției impuse asupra lui n\displaystyle n.
    Cum n și N=4n(2−n) sunt numere naturale, \displaystyle \text{Cum }n\text{ și }N=4n(2-n)\text{ sunt numere naturale, }obținem n=0\displaystyle \text{obținem }n=0, n=1 și n=2\displaystyle \ n=1\text{ și }n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x−2ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=x^2-x-2\ln(x+1).

Arătați că f′(x)=2x2+x−3x+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^2+x-3}{x+1}, x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se derivează primul termen al funcției, x2\displaystyle x^{2}, folosind formula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^n)'=n\cdot x^{n-1}.
    (x2)′=2x\displaystyle (x^2)'=2x
  2. Se derivează al doilea termen, −x\displaystyle -x.
    (−x)′=−1\displaystyle (-x)'=-1
  3. Se derivează al treilea termen, −2ln⁡(x+1)\displaystyle -2\ln(x+1), folosind formula (ln⁡(u))′=u′u\displaystyle (\ln(u))'=\dfrac{u'}{u}, cu u=x+1\displaystyle u=x+1, deci u′=1\displaystyle u'=1.
    (−2ln⁡(x+1))′=−2⋅1x+1=−2x+1\displaystyle (-2\ln(x+1))'=-2\cdot\dfrac{1}{x+1}=-\dfrac{2}{x+1}
  4. Se însumează derivatele celor trei termeni pentru a obține f′(x)\displaystyle f'(x).
    f′(x)=2x−1−2x+1=\displaystyle f'(x)=2x-1-\dfrac{2}{x+1}=
  5. Se aduce expresia la un numitor comun, x+1\displaystyle x+1, scriind termenul 2x−1\displaystyle 2x-1 cu acest numitor.
    f′(x)=(2x−1)(x+1)−2x+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x-1)(x+1)-2}{x+1}
  6. Se efectuează produsul (2x−1)(x+1)\displaystyle (2x-1)(x+1) la numărător.
    (2x−1)(x+1)=2x2+2x−x−1\displaystyle (2x-1)(x+1)=2x^2+2x-x-1
  7. Se scade 2\displaystyle 2 din rezultatul produsului, obținând numărătorul final, și se scrie fracția simplificată, precizând și domeniul de definiție al lui f′\displaystyle f'.
    =2x2+2x−x−1−2x+1=2x2+x−3x+1\displaystyle =\dfrac{2x^2+2x-x-1-2}{x+1}=\dfrac{2x^2+x-3}{x+1}, x∈(−1,+∞)\displaystyle \ x\in(-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x−2ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=x^2-x-2\ln(x+1).

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează valoarea funcției în punctul x=0\displaystyle x=0, înlocuind în expresia lui f(x)\displaystyle f(x).
    f(0)=02−0−2ln⁡(0+1)=0−0−2ln⁡(1)=0−0−0=0\displaystyle f(0)=0^2-0-2\ln(0+1)=0-0-2\ln(1)=0-0-0=0
  2. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f, folosind regulile de derivare pentru polinom și pentru logaritm.
    f′(x)=2x−1−2x+1\displaystyle f'(x)=2x-1-\dfrac{2}{x+1}
  3. Se calculează derivata în punctul x=0\displaystyle x=0, înlocuind în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x).
    f′(0)=2⋅0−1−20+1=−1−2=−3\displaystyle f'(0)=2\cdot 0-1-\dfrac{2}{0+1}=-1-2=-3
  4. Se centralizează valorile obținute pentru f(0)\displaystyle f(0) și f′(0)\displaystyle f'(0), necesare scrierii ecuației tangentei.
    f(0)=0\displaystyle f(0)=0, f′(0)=−3\displaystyle \ f'(0)=-3
  5. Se scrie formula generală a ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=0\displaystyle x_{0}=0.
    y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)\displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0), unde x0=0\displaystyle \text{ unde }x_0=0
  6. Se înlocuiesc valorile f(0)=0\displaystyle f(0)=0 și f′(0)=−3\displaystyle f'(0)=-3 în formula tangentei și se simplifică expresia obținută.
    y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0), adica˘ y=−3x\displaystyle \text{ adică }y=-3x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x−2ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=x^2-x-2\ln(x+1).

Arătați că x2−x≥2ln⁡x+12\displaystyle x^2-x\geq 2\ln\dfrac{x+1}{2}, pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se precizează domeniul de definiție și se calculează derivata funcției f\displaystyle f.
    f′(x)=2x−1−2x+1\displaystyle f'(x)=2x-1-\dfrac{2}{x+1}, pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle \text{ pentru orice }x\in(-1,+\infty)
  2. Se aduce derivata la același numitor și se simplifică expresia obținută.
    f′(x)=(2x−1)(x+1)−2x+1=2x2+x−3x+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x-1)(x+1)-2}{x+1}=\dfrac{2x^2+x-3}{x+1}
  3. Se factorizează numărătorul derivatei pentru a determina rădăcinile acestuia.
    2x2+x−3=(x−1)(2x+3)⇒f′(x)=(x−1)(2x+3)x+1\displaystyle 2x^2+x-3=(x-1)(2x+3)\Rightarrow f'(x)=\dfrac{(x-1)(2x+3)}{x+1}
  4. Se rezolvă ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 și se stabilește semnul lui f′\displaystyle f' pe intervalele determinate, ținând cont că x+1>0\displaystyle x+1>0 și 2x+3>0\displaystyle 2x+3>0 pentru x>−1\displaystyle x>-1, obținându-se monotonia funcției.
    f′(x)=0⇒x=1; pentru orice x∈(−1,1]\displaystyle f'(x)=0\Rightarrow x=1;\text{ pentru orice }x\in(-1,1], f′(x)≤0\displaystyle \ f'(x)\leq 0, deci f este descresca˘toare pe (−1,1] și, pentru orice x∈[1,+∞)\displaystyle \text{ deci }f\text{ este descrescătoare pe }(-1,1]\text{ și, pentru orice }x\in[1,+\infty), f′(x)≥0\displaystyle \ f'(x)\geq 0, deci f este cresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle \text{ deci }f\text{ este crescătoare pe }[1,+\infty)
  5. Din monotonia stabilită, se deduce că x=1\displaystyle x=1 este punct de minim pentru f\displaystyle f pe domeniul de definiție.
    x=1 este punct de minim al \displaystyle x=1\text{ este punct de minim al }funcției f\displaystyle \text{funcției }f, deci f(x)≥f(1)\displaystyle \text{ deci }f(x)\geq f(1), pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle \text{ pentru orice }x\in(-1,+\infty)
  6. Se calculează valoarea minimă a funcției, f(1)\displaystyle f(1).
    f(1)=12−1−2ln⁡(1+1)=−2ln⁡2\displaystyle f(1)=1^2-1-2\ln(1+1)=-2\ln 2
  7. Se înlocuiește f(1)\displaystyle f(1) în inegalitatea f(x)≥f(1)\displaystyle f(x)\geq f(1) și se prelucrează algebric, folosind proprietățile logaritmului, pentru a obține inegalitatea cerută.
    Pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle \text{Pentru orice }x\in(-1,+\infty), f(x)≥f(1) și, cum f(1)=−2ln⁡2\displaystyle \ f(x)\geq f(1)\text{ și, cum }f(1)=-2\ln 2, obținem x2−x≥2ln⁡x+12\displaystyle \text{ obținem }x^2-x\geq 2\ln\dfrac{x+1}{2}, pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle \text{ pentru orice }x\in(-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+3x+1\displaystyle f(x)=x^2+3x+1.

Arătați că ∫03(f(x)−3x) dx=12\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{3}(f(x)-3x)\,dx=12.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit funcția f(x)\displaystyle f(x) și se calculează expresia f(x)−3x\displaystyle f(x) - 3x, simplificând termenii.
    f(x)−3x=x2+3x+1−3x=x2+1\displaystyle f(x)-3x=x^2+3x+1-3x=x^2+1
  2. Se scrie integrala definită cu limitele 0\displaystyle 0 și 3\displaystyle 3, folosind expresia simplificată obținută anterior.
    ∫03(f(x)−3x)dx=∫03(x2+1)dx\displaystyle \int_{0}^{3}(f(x)-3x)dx=\int_{0}^{3}(x^2+1)dx
  3. Se determină o primitivă a funcției x2+1\displaystyle x^2+1, folosind formula de integrare a puterilor: ∫xndx=xn+1n+1\displaystyle \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
    ∫(x2+1) dx=x33+x+C\displaystyle \int (x^2+1)\,dx=\dfrac{x^3}{3}+x+C
  4. Se aplică formula Leibniz-Newton, scriind primitiva evaluată între limitele de integrare 0\displaystyle 0 și 3\displaystyle 3.
    ∫03(x2+1)dx=(x33+x)∣03\displaystyle \int_{0}^{3}(x^2+1)dx=\left(\dfrac{x^3}{3}+x\right)\Big|_{0}^{3}
  5. Se calculează valoarea primitivei în x=3\displaystyle x=3 și în x=0\displaystyle x=0, apoi se scade rezultatul din x=0\displaystyle x=0 (care este 0\displaystyle 0) din cel din x=3\displaystyle x=3.
    (333+3)−(033+0)=273+3−0\displaystyle \left(\dfrac{3^3}{3}+3\right)-\left(\dfrac{0^3}{3}+0\right)=\dfrac{27}{3}+3-0
  6. Se efectuează calculele numerice finale pentru a obține valoarea integralei.
    273+3=9+3=12\displaystyle \dfrac{27}{3}+3=9+3=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+3x+1\displaystyle f(x)=x^2+3x+1.

Arătați că ∫011(f(x)−x2)2dx=14\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{\left(f(x)-x^2\right)^2}dx=\dfrac{1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează diferența f(x)−x2\displaystyle f(x)-x^{2}, eliminând termenii pătratici din expresia funcției date.
    f(x)−x2=(x2+3x+1)−x2=3x+1\displaystyle f(x)-x^2=(x^2+3x+1)-x^2=3x+1
  2. Se rescrie integrala folosind expresia simplificată obținută mai sus.
    ∫011(f(x)−x2)2dx=∫011(3x+1)2dx\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{1}{\left(f(x)-x^2\right)^2}dx=\int_{0}^{1}\dfrac{1}{(3x+1)^2}dx
  3. Se scoate factorul constant 3\displaystyle 3 din integrală, astfel încât numărătorul să devină derivata expresiei de la numitor, obținându-se forma unei derivate de funcție compusă de tip (u−2)\displaystyle (u^{-2}).
    ∫011(3x+1)2dx=13∫01(3x+1)′(3x+1)2dx\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{1}{(3x+1)^2}dx=\dfrac{1}{3}\int_{0}^{1}\dfrac{(3x+1)'}{(3x+1)^2}dx
  4. Se recunoaște că (3x+1)′(3x+1)2\displaystyle \dfrac{(3x+1)'}{(3x+1)^{2}} este derivata funcției −13x+1\displaystyle -\dfrac{1}{3x+1}, deci o primitivă a integrandului este −13(3x+1)\displaystyle -\dfrac{1}{3(3x+1)}. Se aplică formula Leibniz-Newton, evaluând primitiva între limitele de integrare.
    ∫011(f(x)−x2)2dx=∫011(3x+1)2dx=13∫01(3x+1)′(3x+1)2dx=−13(3x+1)∣01=\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{1}{\left(f(x)-x^2\right)^2}dx=\int_{0}^{1}\dfrac{1}{(3x+1)^2}dx=\dfrac{1}{3}\int_{0}^{1}\dfrac{(3x+1)'}{(3x+1)^2}dx=-\dfrac{1}{3(3x+1)}\Big|_{0}^{1}=
  5. Se calculează valorile primitivei în capetele intervalului: pentru x=1\displaystyle x=1 se obține −13⋅4=−112\displaystyle -\dfrac{1}{3\cdot 4}=-\dfrac{1}{12}, iar pentru x=0\displaystyle x=0 se obține −13⋅1=−13\displaystyle -\dfrac{1}{3\cdot 1}=-\dfrac{1}{3}, cu semn schimbat la scădere.
    −13(3⋅1+1)−(−13(3⋅0+1))=−112+13\displaystyle -\dfrac{1}{3(3\cdot1+1)}-\left(-\dfrac{1}{3(3\cdot0+1)}\right)=-\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}
  6. Se efectuează calculul final, aducând fracțiile la același numitor și obținând valoarea integralei.
    =−112+13=14\displaystyle =-\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+3x+1\displaystyle f(x)=x^2+3x+1.

Se consideră funcția g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)−x2−1ex\displaystyle g(x)=\dfrac{f(x)-x^2-1}{e^x}. Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g\displaystyle g, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=1\displaystyle x=1 este egală cu 3(1−2e)\displaystyle 3\left(1-\dfrac{2}{e}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Pornind de la funcția f\displaystyle f, se scrie expresia funcției g\displaystyle g conform enunțului (g(x)=(f(x)−x2−1)e−x\displaystyle g(x)=(f(x)-x^{2}-1)e^{-x}) și se simplifică folosind forma lui f\displaystyle f.
    g(x)=(f(x)−x2−1)e−x=(x2+3x+1−x2−1)e−x=3xe−x\displaystyle g(x)=(f(x)-x^{2}-1)e^{-x}=(x^{2}+3x+1-x^{2}-1)e^{-x}=3xe^{-x}
  2. Se observă că pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem x≥0\displaystyle x\ge 0 și e−x>0\displaystyle e^{-x}>0, deci g(x)≥0\displaystyle g(x)\ge 0 pe acest interval, astfel modulul poate fi eliminat. Se scrie apoi factorul e−x\displaystyle e^{-x} ca derivata lui −e−x\displaystyle -e^{-x}, pentru a pregăti integrarea prin părți.
    g(x)=3xe−x\displaystyle g(x)=3xe^{-x}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}, deci A=∫01∣g(x)∣dx=∫013x(−e−x)′dx=\displaystyle \text{ deci }\mathcal{A}=\int_{0}^{1}|g(x)|dx=\int_{0}^{1}3x(-e^{-x})'dx=
  3. Se aplică formula integrării prin părți: ∫u v′ dx=uv−∫u′ v dx\displaystyle \int u\,v'\,dx=uv-\int u'\,v\,dx, cu u=3x\displaystyle u=3x și v=−e−x\displaystyle v=-e^{-x}, deci u′=3\displaystyle u'=3.
    ∫013x(−e−x)′dx=−3xe−x∣01+3∫01e−xdx\displaystyle \int_{0}^{1}3x(-e^{-x})'dx=-3xe^{-x}\Big|_{0}^{1}+3\int_{0}^{1}e^{-x}dx
  4. Se calculează integrala rămasă ∫01e−xdx=−e−x∣01\displaystyle \int_0^{1} e^{-x}dx=-e^{-x}\Big|_0^{1} și se combină cu termenul anterior, obținând forma restrânsă a primitivei.
    −3xe−x∣01+3(−e−x)∣01=−3e−x(x+1)∣01\displaystyle -3xe^{-x}\Big|_{0}^{1}+3(-e^{-x})\Big|_{0}^{1}=-3e^{-x}(x+1)\Big|_{0}^{1}
  5. Se evaluează primitiva la capetele intervalului [0,1]\displaystyle [0,1] și se calculează valoarea numerică a ariei.
    =−3e−x(x+1)∣01=3(1−2e)\displaystyle =-3e^{-x}(x+1)\Big|_{0}^{1}=3\left(1-\dfrac{2}{e}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.