Bac matematică M2 științe ale naturii 2018, sesiunea a II-a varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 3(3−1)(3+1)−12=0\displaystyle \sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)-\sqrt{12}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm formula (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} pentru produsul (3−1)(3+1)\displaystyle \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right).
    (3−1)(3+1)=(3)2−12=3−1=2\displaystyle \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)=\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}=3-1=2
  2. Înlocuim produsul în expresie: primul termen devine 3⋅2\displaystyle \sqrt{3}\cdot 2.
    3(3−1)(3+1)=3(3−1)=23\displaystyle \sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)=\sqrt{3}(3-1)=2\sqrt{3}
  3. Scoatem factorul de sub radical la 12\displaystyle \sqrt{12}: 12=4⋅3\displaystyle 12=4\cdot 3, iar 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2.
    12=4⋅3=23\displaystyle \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}
  4. Scriem expresia completă cu cele două rezultate obținute.
    3(3−1)(3+1)−12=3(3−1)−23=23−23\displaystyle \sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)-\sqrt{12}=\sqrt{3}(3-1)-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}-2\sqrt{3}
  5. Reducem termenii egali și obținem 0\displaystyle 0, deci egalitatea este demonstrată.
    23−23=0\displaystyle 2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a, pentru care graficele funcțiilor f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x+3\displaystyle f(x)=x^2+2x+3 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x+a\displaystyle g(x)=x+a se intersectează într-un punct de abscisă x=1\displaystyle x=1.
Vezi rezolvarea
  1. Graficele se intersectează în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1 dacă cele două funcții au aceeași valoare în x=1\displaystyle x=1, adică f(1)=g(1)\displaystyle f(1)=g(1).
    f(1)=g(1)\displaystyle f(1)=g(1)
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în expresia lui f\displaystyle f: f(1)=12+2⋅1+3\displaystyle f(1)=1^2+2\cdot 1+3.
    f(1)=1+2+3=6\displaystyle f(1)=1+2+3=6
  3. Calculăm g(1)=1+a\displaystyle g(1)=1+a și scriem egalitatea f(1)=g(1)\displaystyle f(1)=g(1).
    12+2⋅1+3=1+a⇔6=1+a\displaystyle 1^2+2\cdot 1+3=1+a\Leftrightarrow 6=1+a
  4. Rezolvăm ecuația în a\displaystyle a: scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri, deci a=6−1\displaystyle a=6-1.
    a=5\displaystyle a=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x+1=1−x\displaystyle \sqrt{x+1}=1-\sqrt{x}.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condițiile de existență: expresiile de sub radicali trebuie să fie pozitive sau nule, deci x≥0\displaystyle x\ge 0. În plus, partea dreaptă trebuie să fie pozitivă sau nulă, deoarece x+1≥0\displaystyle \sqrt{x+1}\ge 0, adică 1−x≥0\displaystyle 1-\sqrt{x}\ge 0.
    x≥0 și 1−x≥0\displaystyle x\ge 0\text{ și }1-\sqrt{x}\ge 0
  2. Ridicăm ecuația la pătrat: (x+1)2=(1−x)2\displaystyle \left(\sqrt{x+1}\right)^{2}=\left(1-\sqrt{x}\right)^{2}. În membrul drept folosim formula pentru pătratul unei diferențe, iar pătratul unui radical este expresia de sub radical.
    x+1=1−2x+x\displaystyle x+1=1-2\sqrt{x}+x
  3. Reducem termenii asemenea: x\displaystyle x și 1\displaystyle 1 apar în ambii membri, deci se simplifică. Rămâne o ecuație simplă în x\displaystyle \sqrt{x}.
    2x=0\displaystyle 2\sqrt{x}=0
  4. Din 2x=0\displaystyle 2\sqrt{x}=0 obținem x=0\displaystyle \sqrt{x}=0, deci x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
  5. Verificăm soluția în ecuația inițială, pentru că ridicarea la pătrat poate introduce soluții false. Pentru x=0\displaystyle x=0, membrul stâng este 0+1=1\displaystyle \sqrt{0+1}=1, iar membrul drept este 1−0=1\displaystyle 1-\sqrt{0}=1. Egalitatea este adevărată, deci x=0\displaystyle x=0 convine.
    x=0, care convine\displaystyle x=0\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte au cifrele elemente ale mulțimii {0,1,2,3,4}\displaystyle \{0,1,2,3,4\}.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul are trei cifre, deci cifra sutelor nu poate fi 0\displaystyle 0. Cifra sutelor se alege dintre 1,2,3,4\displaystyle 1, 2, 3, 4, deci în 4\displaystyle 4 moduri.
    4\displaystyle 4
  2. Cifra zecilor trebuie să fie diferită de cifra sutelor, dar acum poate fi și 0\displaystyle 0. Din cele 5\displaystyle 5 cifre rămân 5−1=4\displaystyle 5-1=4 posibilități.
    4\displaystyle 4
  3. Cifra unităților trebuie să fie diferită de cele două cifre deja alese, deci rămân 5−2=3\displaystyle 5-2=3 posibilități.
    3\displaystyle 3
  4. Aplicăm regula produsului: înmulțim numerele de posibilități pentru cifra sutelor, a zecilor și a unităților. Rezultă 4⋅4⋅3=48\displaystyle 4\cdot 4\cdot 3=48 de numere.
    48\displaystyle 48
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră dreptele d1\displaystyle d_1, de ecuație y=ax+2\displaystyle y=ax+2 și d2\displaystyle d_2, de ecuație y=x4+1\displaystyle y=\frac{x}{4}+1. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că dreptele d1\displaystyle d_1 și d2\displaystyle d_2 sunt paralele.
Vezi rezolvarea
  1. Două drepte neverticale sunt paralele dacă au pantele egale. O dreaptă de ecuație y=mx+n\displaystyle y=mx+n are panta m\displaystyle m, adică coeficientul lui x\displaystyle x.
    d1∥d2⇔md1=md2\displaystyle d_1\parallel d_2\Leftrightarrow m_{d_1}=m_{d_2}
  2. Din y=ax+2\displaystyle y=ax+2 citim panta dreptei d1\displaystyle d_1, coeficientul lui x\displaystyle x.
    md1=a\displaystyle m_{d_1}=a
  3. În y=x4+1\displaystyle y=\dfrac{x}{4}+1 scriem x4=14⋅x\displaystyle \dfrac{x}{4}=\dfrac{1}{4}\cdot x, deci panta dreptei d2\displaystyle d_2 este 14\displaystyle \dfrac{1}{4}.
    md1=a\displaystyle m_{d_1}=a, md2=14\displaystyle \ m_{d_2}=\frac{1}{4}
  4. Dreptele sunt paralele, deci md1=md2\displaystyle m_{d_1}=m_{d_2}, adică a=14\displaystyle a=\dfrac{1}{4}.
    md1=md2⇔a=14\displaystyle m_{d_1}=m_{d_2}\Leftrightarrow a=\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡(π−x)cos⁡(2π+x)−sin⁡(2π+x)cos⁡(π−x)=sin⁡2x\displaystyle \sin(\pi-x)\cos(2\pi+x)-\sin(2\pi+x)\cos(\pi-x)=\sin 2x, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula de reducere pentru sinus: sin⁡(π−x)=sin⁡x\displaystyle \sin(\pi-x)=\sin x.
    sin⁡(π−x)=sin⁡x\displaystyle \sin(\pi-x)=\sin x
  2. Cosinusul are perioada 2π\displaystyle 2\pi, deci cos⁡(2π+x)=cos⁡x\displaystyle \cos(2\pi+x)=\cos x. La fel, sin⁡(2π+x)=sin⁡x\displaystyle \sin(2\pi+x)=\sin x.
    cos⁡(2π+x)=cos⁡x și sin⁡(2π+x)=sin⁡x\displaystyle \cos(2\pi+x)=\cos x\text{ și }\sin(2\pi+x)=\sin x
  3. Folosim formula de reducere pentru cosinus: cos⁡(π−x)=−cos⁡x\displaystyle \cos(\pi-x)=-\cos x.
    cos⁡(π−x)=−cos⁡x\displaystyle \cos(\pi-x)=-\cos x
  4. Înlocuim aceste valori în expresia dată și obținem forma redusă la primul cadran: sin⁡xcos⁡x−sin⁡x⋅(−cos⁡x)\displaystyle \sin x\cos x-\sin x\cdot(-\cos x).
    sin⁡xcos⁡x−sin⁡x⋅(−cos⁡x)\displaystyle \sin x\cos x-\sin x\cdot(-\cos x)
  5. Eliminăm parantezele: minus ori minus dă plus, deci cei doi termeni sunt egali și se adună. Obținem sin⁡xcos⁡x+sin⁡xcos⁡x=2sin⁡xcos⁡x\displaystyle \sin x\cos x+\sin x\cos x=2\sin x\cos x, care este chiar formula pentru sin⁡2x\displaystyle \sin 2x.
    2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x\displaystyle 2\sin x\cos x=\sin 2x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(−3−232)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-3&-2\\3&2\end{pmatrix} și M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(M(1))=0\displaystyle \det(M(1))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA și obținem M(1)=I2+A\displaystyle M(1)=I_2+A.
    M(1)=I2+A=(1001)+(−3−232)\displaystyle M(1)=I_2+A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3&-2\\3&2\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele element cu element: 1+(−3)=−2\displaystyle 1+(-3)=-2, 0+(−2)=−2\displaystyle 0+(-2)=-2, 0+3=3\displaystyle 0+3=3, 1+2=3\displaystyle 1+2=3.
    M(1)=(−2−233)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}-2&-2\\3&3\end{pmatrix}
  3. Aplicăm formula ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc pentru matricea M(1)\displaystyle M(1).
    det⁡(M(1))=∣−2−233∣=(−2)⋅3−3⋅(−2)\displaystyle \det(M(1))=\begin{vmatrix}-2&-2\\3&3\end{vmatrix}=(-2)\cdot 3-3\cdot(-2)
  4. Calculăm produsele: (−2)⋅3=−6\displaystyle (-2)\cdot 3=-6 și 3⋅(−2)=−6\displaystyle 3\cdot(-2)=-6, deci −6−(−6)=−6+6=0\displaystyle -6-(-6)=-6+6=0. Așadar det⁡(M(1))=0\displaystyle \det(M(1))=0.
    −6+6=0\displaystyle -6+6=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(−3−232)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-3&-2\\3&2\end{pmatrix} și M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că M(x)−M(2018)=M(−2018)−M(−x)\displaystyle M(x)-M(2018)=M(-2018)-M(-x), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem membrul stâng folosind definiția M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA și M(2018)=I2+2018A\displaystyle M(2018)=I_2+2018A.
    M(x)−M(2018)=(I2+xA)−(I2+2018A)\displaystyle M(x)-M(2018)=(I_2+xA)-(I_2+2018A)
  2. Desfacem parantezele și reducem termenii I2\displaystyle I_2, care se anulează. Rămâne un singur termen cu A\displaystyle A.
    M(x)−M(2018)=I2+xA−I2−2018A=(x−2018)A\displaystyle M(x)-M(2018)=I_2+xA-I_2-2018A=(x-2018)A
  3. Scriem membrul drept folosind definiția pentru M(−2018)\displaystyle M(-2018) și M(−x)\displaystyle M(-x).
    M(−2018)−M(−x)=(I2+(−2018)A)−(I2+(−x)A)\displaystyle M(-2018)-M(-x)=(I_2+(-2018)A)-(I_2+(-x)A)
  4. Desfacem parantezele, reducem pe I2\displaystyle I_2 și dăm factor comun matricea A\displaystyle A. Obținem același rezultat ca la membrul stâng, deci egalitatea este demonstrată pentru orice x\displaystyle x real.
    M(−2018)−M(−x)=I2−2018A−I2+xA=(x−2018)A=M(x)−M(2018)\displaystyle M(-2018)-M(-x)=I_2-2018A-I_2+xA=(x-2018)A=M(x)-M(2018)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(−3−232)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-3&-2\\3&2\end{pmatrix} și M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați perechea de numere naturale nenule (m,n)\displaystyle (m,n) pentru care M(m)M(n)=M(mn)\displaystyle M(m)M(n)=M(mn).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm pătratul matricei A\displaystyle A, pentru că apare în produsul M(m)M(n)\displaystyle M(m)M(n). Avem A⋅A=(−3−232)(−3−232)=(32−3−2)=−A\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}-3&-2\\3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3&-2\\3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\-3&-2\end{pmatrix}=-A.
    A⋅A=−A\displaystyle A\cdot A=-A
  2. Dezvoltăm produsul: M(m)M(n)=(I2+mA)(I2+nA)=I2+mA+nA+mn A⋅A\displaystyle M(m)M(n)=(I_2+mA)(I_2+nA)=I_2+mA+nA+mn\,A\cdot A. Cum A⋅A=−A\displaystyle A\cdot A=-A, obținem M(m)M(n)=I2+(m+n−mn)A\displaystyle M(m)M(n)=I_2+(m+n-mn)A.
    M(m)M(n)=I2+(m+n−mn)A\displaystyle M(m)M(n)=I_2+(m+n-mn)A
  3. Condiția M(m)M(n)=M(mn)\displaystyle M(m)M(n)=M(mn) înseamnă I2+(m+n−mn)A=I2+mnA\displaystyle I_2+(m+n-mn)A=I_2+mnA. Cum A≠O2\displaystyle A\neq O_2, coeficienții lui A\displaystyle A sunt egali: m+n−mn=mn\displaystyle m+n-mn=mn, adică m+n=2mn\displaystyle m+n=2mn.
    m+n−mn=mn⇔m+n=2mn\displaystyle m+n-mn=mn\Leftrightarrow m+n=2mn
  4. Rezolvăm ecuația în numere naturale nenule. Din m+n=2mn\displaystyle m+n=2mn, înmulțind cu 2\displaystyle 2, obținem 4mn−2m−2n=0\displaystyle 4mn-2m-2n=0. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri: 4mn−2m−2n+1=1\displaystyle 4mn-2m-2n+1=1, adică (2m−1)(2n−1)=1\displaystyle (2m-1)(2n-1)=1.
    (2m−1)(2n−1)=1\displaystyle (2m-1)(2n-1)=1
  5. Cum m,n≥1\displaystyle m,n\geq 1, factorii 2m−1\displaystyle 2m-1 și 2n−1\displaystyle 2n-1 sunt numere întregi pozitive cu produsul 1\displaystyle 1, deci 2m−1=2n−1=1\displaystyle 2m-1=2n-1=1. Rezultă m=n=1\displaystyle m=n=1. Verificare: m+n=2=2mn\displaystyle m+n=2=2mn, deci perechea convine.
    (m,n)=(1,1)\displaystyle (m,n)=(1,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=8xy+x+y\displaystyle x\circ y=8xy+x+y.

Arătați că x∘y=8(x+18)(y+18)−18\displaystyle x\circ y=8\left(x+\frac{1}{8}\right)\left(y+\frac{1}{8}\right)-\frac{1}{8}, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∘y=8xy+x+y\displaystyle x\circ y=8xy+x+y. Adăugăm și scădem 18\displaystyle \dfrac{1}{8}, ceea ce nu schimbă valoarea expresiei, dar ne pregătește pentru gruparea termenilor.
    x∘y=8xy+x+y+18−18\displaystyle x\circ y=8xy+x+y+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{8}
  2. Grupăm primii doi termeni, 8xy\displaystyle 8xy și x\displaystyle x, și dăm factor comun pe x\displaystyle x: 8xy+x=x(8y+1)\displaystyle 8xy+x=x(8y+1). Ca să apară factorul y+18\displaystyle y+\dfrac{1}{8}, scriem 8y+1=8(y+18)\displaystyle 8y+1=8\left(y+\dfrac{1}{8}\right). Deci 8xy+x=8x(y+18)\displaystyle 8xy+x=8x\left(y+\dfrac{1}{8}\right).
    8xy+x=8x(y+18)\displaystyle 8xy+x=8x\left(y+\dfrac{1}{8}\right)
  3. Termenii rămași, y+18\displaystyle y+\dfrac{1}{8}, sunt chiar factorul y+18\displaystyle y+\dfrac{1}{8} luat o dată. Înlocuim în expresia din primul pas și obținem o expresie în care apare același factor de două ori.
    x∘y=8x(y+18)+(y+18)−18\displaystyle x\circ y=8x\left(y+\dfrac{1}{8}\right)+\left(y+\dfrac{1}{8}\right)-\dfrac{1}{8}
  4. Dăm factor comun pe y+18\displaystyle y+\dfrac{1}{8} în primii doi termeni: 8x(y+18)+(y+18)=(8x+1)(y+18)\displaystyle 8x\left(y+\dfrac{1}{8}\right)+\left(y+\dfrac{1}{8}\right)=(8x+1)\left(y+\dfrac{1}{8}\right). Apoi scriem 8x+1=8(x+18)\displaystyle 8x+1=8\left(x+\dfrac{1}{8}\right). Obținem forma cerută, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=8(x+18)(y+18)−18\displaystyle x\circ y=8\left(x+\dfrac{1}{8}\right)\left(y+\dfrac{1}{8}\right)-\dfrac{1}{8}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=8xy+x+y\displaystyle x\circ y=8xy+x+y.

Determinați numerele reale x\displaystyle x, pentru care x∘x=1\displaystyle x\circ x=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y=x\displaystyle y=x în definiția x∘y=8xy+x+y\displaystyle x\circ y=8xy+x+y și obținem x∘x=8x2+2x\displaystyle x\circ x=8x^{2}+2x, deci ecuația 8x2+2x=1\displaystyle 8x^{2}+2x=1.
    8x2+2x=1\displaystyle 8x^{2}+2x=1
  2. Dăm factor comun 8\displaystyle 8: 8x2+2x=8(x2+14x)\displaystyle 8x^{2}+2x=8\left(x^{2}+\dfrac{1}{4}x\right). Completăm pătratul, folosind x2+14x=(x+18)2−164\displaystyle x^{2}+\dfrac{1}{4}x=\left(x+\dfrac{1}{8}\right)^{2}-\dfrac{1}{64}. Rezultă 8x2+2x=8(x+18)2−18\displaystyle 8x^{2}+2x=8\left(x+\dfrac{1}{8}\right)^{2}-\dfrac{1}{8}.
    8(x+18)2−18=1\displaystyle 8\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}-\frac{1}{8}=1
  3. Adunăm 18\displaystyle \dfrac{1}{8} în ambii membri: 8(x+18)2=1+18=98\displaystyle 8\left(x+\dfrac{1}{8}\right)^{2}=1+\dfrac{1}{8}=\dfrac{9}{8}. Împărțim la 8\displaystyle 8 și obținem (x+18)2=964\displaystyle \left(x+\dfrac{1}{8}\right)^{2}=\dfrac{9}{64}.
    (x+18)2=964\displaystyle \left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}
  4. Din (x+18)2=964\displaystyle \left(x+\dfrac{1}{8}\right)^{2}=\dfrac{9}{64} rezultă x+18=38\displaystyle x+\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{8} sau x+18=−38\displaystyle x+\dfrac{1}{8}=-\dfrac{3}{8}.
    x+18=38 sau x+18=−38\displaystyle x+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\text{ sau }x+\frac{1}{8}=-\frac{3}{8}
  5. În primul caz x=38−18=14\displaystyle x=\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}, iar în al doilea x=−38−18=−12\displaystyle x=-\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{8}=-\dfrac{1}{2}. Ambele valori sunt numere reale, deci convin.
    x=−12 sau x=14\displaystyle x=-\frac{1}{2}\text{ sau }x=\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=8xy+x+y\displaystyle x\circ y=8xy+x+y.

Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=8x+1\displaystyle f(x)=8x+1. Demonstrați că f(x∘y∘z)=f(x)⋅f(y)⋅f(z)\displaystyle f(x\circ y\circ z)=f(x)\cdot f(y)\cdot f(z), pentru orice numere reale x\displaystyle x, y\displaystyle y și z\displaystyle z.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este asociativă, deci x∘y∘z\displaystyle x\circ y\circ z are sens fără paranteze. Vrem să arătăm că f(x∘y∘z)=f(x)⋅f(y)⋅f(z)\displaystyle f(x\circ y\circ z)=f(x)\cdot f(y)\cdot f(z). Calculăm mai întâi f\displaystyle f pentru două elemente, apoi folosim rezultatul de două ori.
    f(x∘y∘z)=f(x)⋅f(y)⋅f(z)  de demonstrat\displaystyle f(x\circ y\circ z)=f(x)\cdot f(y)\cdot f(z)\ \text{ de demonstrat}
  2. Din f(t)=8t+1\displaystyle f(t)=8t+1, pentru t=x∘y=8xy+x+y\displaystyle t=x\circ y=8xy+x+y obținem f(x∘y)=8(8xy+x+y)+1\displaystyle f(x\circ y)=8(8xy+x+y)+1.
    f(x∘y)=8(8xy+x+y)+1=64xy+8x+8y+1\displaystyle f(x\circ y)=8(8xy+x+y)+1=64xy+8x+8y+1
  3. Grupăm termenii: 64xy+8x+8y+1=8x(8y+1)+(8y+1)=(8x+1)(8y+1)\displaystyle 64xy+8x+8y+1=8x(8y+1)+(8y+1)=(8x+1)(8y+1). Cele două paranteze sunt f(x)\displaystyle f(x) și f(y)\displaystyle f(y), deci f(x∘y)=f(x)⋅f(y)\displaystyle f(x\circ y)=f(x)\cdot f(y) pentru orice x,y\displaystyle x,y reali.
    f(x∘y)=(8x+1)(8y+1)=f(x)⋅f(y)\displaystyle f(x\circ y)=(8x+1)(8y+1)=f(x)\cdot f(y)
  4. Folosim asociativitatea: x∘y∘z=(x∘y)∘z\displaystyle x\circ y\circ z=(x\circ y)\circ z. Aplicăm relația f(a∘b)=f(a)⋅f(b)\displaystyle f(a\circ b)=f(a)\cdot f(b) pentru a=x∘y\displaystyle a=x\circ y și b=z\displaystyle b=z.
    f(x∘y∘z)=f((x∘y)∘z)=f(x∘y)⋅f(z)\displaystyle f(x\circ y\circ z)=f\big((x\circ y)\circ z\big)=f(x\circ y)\cdot f(z)
  5. Înlocuim f(x∘y)=f(x)⋅f(y)\displaystyle f(x\circ y)=f(x)\cdot f(y) și obținem egalitatea cerută, pentru orice x,y,z\displaystyle x,y,z reali.
    f(x∘y∘z)=f(x∘y)⋅f(z)=f(x)⋅f(y)⋅f(z)\displaystyle f(x\circ y\circ z)=f(x\circ y)\cdot f(z)=f(x)\cdot f(y)\cdot f(z)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x2+3\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x^2+3}.

Arătați că f′(x)=(1−x)(x+3)(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\frac{(1-x)(x+3)}{\left(x^2+3\right)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât de două funcții derivabile pe R\displaystyle \mathbb{R}, iar numitorul x2+3>0\displaystyle x^{2}+3>0 pentru orice x\displaystyle x. Folosim formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=x+1\displaystyle u=x+1 și v=x2+3\displaystyle v=x^{2}+3.
    f′(x)=(x+1)′(x2+3)−(x+1)(x2+3)′(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x+1)'\left(x^{2}+3\right)-(x+1)\left(x^{2}+3\right)'}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}
  2. Calculăm (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1 și (x2+3)′=2x\displaystyle \left(x^{2}+3\right)'=2x. Le înlocuim în formulă.
    f′(x)=1⋅(x2+3)−(x+1)⋅2x(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot\left(x^{2}+3\right)-(x+1)\cdot 2x}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}
  3. Desfacem parantezele la numărător: x2+3−2x2−2x\displaystyle x^{2}+3-2x^{2}-2x. Reducem termenii asemenea.
    f′(x)=−x2−2x+3(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-x^{2}-2x+3}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}
  4. Factorizăm numărătorul. Ecuația x2+2x−3=0\displaystyle x^{2}+2x-3=0 are rădăcinile x1=1\displaystyle x_1=1 și x2=−3\displaystyle x_2=-3, deci −x2−2x+3=−(x−1)(x+3)=(1−x)(x+3)\displaystyle -x^{2}-2x+3=-(x-1)(x+3)=(1-x)(x+3). Verificare: (1−x)(x+3)=x+3−x2−3x=−x2−2x+3\displaystyle (1-x)(x+3)=x+3-x^{2}-3x=-x^{2}-2x+3.
    f′(x)=(1−x)(x+3)(x2+3)2, x∈R\displaystyle f'(x)=\dfrac{(1-x)(x+3)}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x2+3\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x^2+3}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x0=0\displaystyle x_0=0: y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)\displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0), adică y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0).
    y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)
  2. Calculăm f(0)\displaystyle f(0), înlocuind x=0\displaystyle x=0 în f(x)=x+1x2+3\displaystyle f(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}+3}: f(0)=0+10+3\displaystyle f(0)=\dfrac{0+1}{0+3}.
    f(0)=13\displaystyle f(0)=\dfrac{1}{3}
  3. Derivăm funcția cu formula câtului (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=x+1\displaystyle u=x+1 și v=x2+3\displaystyle v=x^{2}+3: f′(x)=1⋅(x2+3)−(x+1)⋅2x(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot(x^{2}+3)-(x+1)\cdot 2x}{(x^{2}+3)^{2}}.
    f′(x)=x2+3−2x2−2x(x2+3)2=−x2−2x+3(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}+3-2x^{2}-2x}{(x^{2}+3)^{2}}=\dfrac{-x^{2}-2x+3}{(x^{2}+3)^{2}}
  4. Calculăm f′(0)\displaystyle f'(0), înlocuind x=0\displaystyle x=0 în derivată: f′(0)=332=39\displaystyle f'(0)=\dfrac{3}{3^{2}}=\dfrac{3}{9}, deci f′(0)=13\displaystyle f'(0)=\dfrac{1}{3}.
    f(0)=13\displaystyle f(0)=\dfrac{1}{3}, f′(0)=13\displaystyle \ f'(0)=\dfrac{1}{3}
  5. Înlocuim f(0)=13\displaystyle f(0)=\dfrac{1}{3} și f′(0)=13\displaystyle f'(0)=\dfrac{1}{3} în formula tangentei: y−13=13(x−0)\displaystyle y-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}(x-0). Trecem 13\displaystyle \dfrac{1}{3} în membrul drept și obținem ecuația tangentei.
    y−13=13x, adica˘ y=13x+13\displaystyle y-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}x\text{, adică }y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x2+3\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x^2+3}.

Demonstrați că f(2)>f(33)\displaystyle f\left(\sqrt{2}\right)>f\left(\sqrt[3]{3}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției cu formula de derivare a câtului: f′(x)=(x+1)′(x2+3)−(x+1)(x2+3)′(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x+1)'(x^{2}+3)-(x+1)(x^{2}+3)'}{(x^{2}+3)^{2}}.
    f′(x)=x2+3−2x(x+1)(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}+3-2x(x+1)}{(x^{2}+3)^{2}}
  2. Reducem termenii de la numărător: x2+3−2x2−2x=−x2−2x+3\displaystyle x^{2}+3-2x^{2}-2x=-x^{2}-2x+3, care se descompune ca −(x−1)(x+3)\displaystyle -(x-1)(x+3).
    f′(x)=−x2−2x+3(x2+3)2=−(x−1)(x+3)(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-x^{2}-2x+3}{(x^{2}+3)^{2}}=-\dfrac{(x-1)(x+3)}{(x^{2}+3)^{2}}
  3. Pentru x>1\displaystyle x>1 avem x−1>0\displaystyle x-1>0 și x+3>0\displaystyle x+3>0, iar numitorul este pozitiv. Deci fracția este pozitivă, iar cu semnul minus din față derivata este negativă. Rezultă că f\displaystyle f este strict descrescătoare pe intervalul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty).
    f′(x)<0, pentru orice x∈(1,+∞)⇒f este strict \displaystyle f'(x)<0\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)\Rightarrow f\text{ este strict }descresca˘toare pe (1,+∞)\displaystyle \text{descrescătoare pe }(1,+\infty)
  4. Comparăm numerele 2\displaystyle \sqrt{2} și 33\displaystyle \sqrt[3]{3}. Le ridicăm la puterea a șasea, fiindcă ambele sunt pozitive: (2)6=23=8\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^{6}=2^{3}=8, iar (33)6=32=9\displaystyle \left(\sqrt[3]{3}\right)^{6}=3^{2}=9.
    (2)6=8<9=(33)6⇒2<33\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^{6}=8<9=\left(\sqrt[3]{3}\right)^{6}\Rightarrow \sqrt{2}<\sqrt[3]{3}
  5. Cum 2>1\displaystyle 2>1, avem 2>1\displaystyle \sqrt{2}>1. Deci ambele numere se află în intervalul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), iar 2<33\displaystyle \sqrt{2}<\sqrt[3]{3}. Funcția f\displaystyle f fiind strict descrescătoare pe acest interval, valoarea în numărul mai mic este mai mare, deci f(2)>f(33)\displaystyle f\left(\sqrt{2}\right)>f\left(\sqrt[3]{3}\right).
    1<2<33⇒f(2)>f(33)\displaystyle 1<\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}\Rightarrow f\left(\sqrt{2}\right)>f\left(\sqrt[3]{3}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x.

Arătați că ∫03xf(x)ex dx=9\displaystyle \int_0^3\frac{x f(x)}{e^x}\,dx=9.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x în integrand. Numărătorul devine x⋅f(x)=x⋅xex=x2ex\displaystyle x\cdot f(x)=x\cdot xe^x=x^{2}e^x.
    ∫03xf(x)ex dx=∫03x2exex dx\displaystyle \int_0^3\frac{x f(x)}{e^x}\,dx=\int_0^3\frac{x^{2}e^x}{e^x}\,dx
  2. Simplificăm ex\displaystyle e^x de la numărător cu ex\displaystyle e^x de la numitor, deoarece ex≠0\displaystyle e^x\neq 0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Rămâne de integrat x2\displaystyle x^{2}.
    ∫03x2exex dx=∫03x2 dx\displaystyle \int_0^3\frac{x^{2}e^x}{e^x}\,dx=\int_0^3 x^{2}\,dx
  3. O primitivă a lui x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, conform formulei ∫xn dx=xn+1n+1\displaystyle \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫03x2 dx=x33∣03\displaystyle \int_0^3 x^{2}\,dx=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_0^3
  4. Calculăm primitiva în 3\displaystyle 3 și în 0\displaystyle 0 și facem diferența: 333−033=273−0=9\displaystyle \dfrac{3^{3}}{3}-\dfrac{0^{3}}{3}=\dfrac{27}{3}-0=9. Deci egalitatea cerută este adevărată.
    273−0=9\displaystyle \frac{27}{3}-0=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x.

Demonstrați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f are un singur punct de inflexiune.
Vezi rezolvarea
  1. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a lui f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R}. Atunci F\displaystyle F este derivabilă și F′(x)=f(x)=xex\displaystyle F'(x)=f(x)=xe^x.
    F′(x)=xex\displaystyle F'(x)=xe^x, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  2. Derivăm încă o dată, cu regula produsului: F′′(x)=(x)′ex+x(ex)′=ex+xex\displaystyle F''(x)=(x)'e^x+x(e^x)'=e^x+xe^x. Dăm factor comun ex\displaystyle e^x.
    F′′(x)=(x+1)ex\displaystyle F''(x)=(x+1)e^x, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  3. Factorul ex\displaystyle e^x este strict pozitiv pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci semnul lui F′′(x)\displaystyle F''(x) este dat de semnul lui x+1\displaystyle x+1. Acesta se anulează doar pentru x=−1\displaystyle x=-1.
    F′′(x)=0  ⟺  x+1=0  ⟺  x=−1\displaystyle F''(x)=0\iff x+1=0\iff x=-1
  4. Studiem semnul: pe (−∞,−1)\displaystyle (-\infty,-1) avem x+1<0\displaystyle x+1<0, deci F′′(x)<0\displaystyle F''(x)<0 și F\displaystyle F este concavă. În x=−1\displaystyle x=-1 avem F′′(−1)=0\displaystyle F''(-1)=0. Pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty) avem x+1>0\displaystyle x+1>0, deci F′′(x)>0\displaystyle F''(x)>0 și F\displaystyle F este convexă.
    F′′(x)<0 pe (−∞,−1)\displaystyle F''(x)<0\text{ pe }(-\infty,-1), F′′(−1)=0\displaystyle \ F''(-1)=0, F′′(x)>0 pe (−1,+∞)\displaystyle \ F''(x)>0\text{ pe }(-1,+\infty)
  5. F\displaystyle F este continuă (fiind derivabilă) și își schimbă concavitatea exact în x=−1\displaystyle x=-1, din concavă în convexă. Deci x=−1\displaystyle x=-1 este singurul punct de inflexiune al oricărei primitive a lui f\displaystyle f.
    F′′(x)<0, pentru orice x∈(−∞,−1), F′′(−1)=0 și F′′(x)>0, pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle F''(x)<0\text{, pentru orice }x\in(-\infty,-1)\text{, }F''(-1)=0\text{ și }F''(x)>0\text{, pentru orice }x\in(-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x.

Determinați numărul natural nenul n\displaystyle n, pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=n\displaystyle x=n are aria egală cu 1\displaystyle 1.
Vezi rezolvarea
  1. Aria este A=∫0n∣f(x)∣ dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^n|f(x)|\,dx. Pentru x∈[0,n]\displaystyle x\in[0,n] avem x≥0\displaystyle x\ge 0 și ex>0\displaystyle e^x>0, deci f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge 0 și ∣f(x)∣=xex\displaystyle |f(x)|=xe^x.
    A=∫0nxex dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^n xe^x\,dx
  2. Integrăm prin părți: alegem u=x\displaystyle u=x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x. Atunci ∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex\displaystyle \int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x.
    ∫xex dx=(x−1)ex+C\displaystyle \int xe^x\,dx=(x-1)e^x+C
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: A=(x−1)ex∣0n=(n−1)en−(0−1)e0=(n−1)en+1\displaystyle \mathcal{A}=\left.(x-1)e^x\right|_0^n=(n-1)e^n-(0-1)e^0=(n-1)e^n+1.
    A=(n−1)en+1\displaystyle \mathcal{A}=(n-1)e^n+1
  4. Impunem A=1\displaystyle \mathcal{A}=1: (n−1)en+1=1\displaystyle (n-1)e^n+1=1, deci (n−1)en=0\displaystyle (n-1)e^n=0.
    (n−1)en=0\displaystyle (n-1)e^n=0
  5. Cum en>0\displaystyle e^n>0, rezultă n−1=0\displaystyle n-1=0, adică n=1\displaystyle n=1, care este număr natural nenul.
    n=1\displaystyle n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.