Bac matematică M2 științe ale naturii 2025, sesiunea a II-a varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați termenul

\displaystyle a_2

al progresiei aritmetice

\displaystyle (a_n)_{n\geq1}

, în care

\displaystyle a_1=5

și

\displaystyle a_3=35

.

Vezi rezolvarea

Se scrie proprietatea progresiei aritmetice: fiecare termen (începând cu al doilea) este media aritmetică a vecinilor săi, deci pentru termenii $\displaystyle a_1, a_2, a_3$ avem $\displaystyle a_2$ ca media lui $\displaystyle a_1$ și $\displaystyle a_3$ .
$\displaystyle a_2=\frac{a_1+a_3}{2}$
Se înlocuiesc valorile date, $\displaystyle a_1=5$ și $\displaystyle a_3=35$ , în formula de mai sus.
$\displaystyle a_2=\frac{a_1+a_3}{2}=\frac{5+35}{2}=$
Se calculează suma de la numărător: $\displaystyle 5+35=40$ .
$\displaystyle \frac{40}{2}$
Se efectuează împărțirea $\displaystyle 40:2$ pentru a obține valoarea finală a lui $\displaystyle a_2$ .
$\displaystyle \frac{40}{2}=20$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x+3

. Determinați numărul real

\displaystyle m

pentru care

\displaystyle f(m)=f(0)\cdot f(1)

.

Vezi rezolvarea

Se calculează $\displaystyle f(0)$ înlocuind $\displaystyle x=0$ în expresia funcției $\displaystyle f(x)=2x+3$
$\displaystyle f(0)=2\cdot0+3=3$
Se calculează $\displaystyle f(1)$ înlocuind $\displaystyle x=1$ în expresia funcției $\displaystyle f(x)=2x+3$
$\displaystyle f(1)=2\cdot1+3=5$
Se scrie expresia lui $\displaystyle f(m)$ folosind formula funcției, pentru $\displaystyle x=m$
$\displaystyle f(0)=3$ , $\displaystyle \ f(1)=5$ , $\displaystyle \ f(m)=2m+3\text{, pentru orice număr real }m$
Se scrie ecuația $\displaystyle f(m)=f(0)\cdot f(1)$ , înlocuind valorile calculate anterior
$\displaystyle 2m+3=3\cdot5$
Se rezolvă ecuația obținută pentru a determina valoarea lui $\displaystyle m$
$\displaystyle 2m+3=15\Rightarrow2m=12\Rightarrow m=6$
Se scrie soluția finală a problemei
$\displaystyle 2m+3=3\cdot5\text{, de unde obținem }m=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt[3]{x^2-4}=\sqrt[3]{3x-6}

.

Vezi rezolvarea

Se observă că ecuația este de forma $\displaystyle \sqrt[3]{A}=\sqrt[3]{B}$ , iar funcția radical de ordin $\displaystyle 3$ este definită și inversabilă pe tot $\displaystyle \mathbb{R}$ , deci putem ridica ambii membri la puterea a treia fără restricții de domeniu.
$\displaystyle \left(\sqrt[3]{x^2-4}\right)^3=\left(\sqrt[3]{3x-6}\right)^3$
Se simplifică puterile a treia cu radicalii de ordin $\displaystyle 3$ , obținând o ecuație fără radicali.
$\displaystyle x^2-4=3x-6$
Se trec toți termenii într-un singur membru pentru a obține o ecuație de gradul al doilea de forma standard.
$\displaystyle x^2-4-3x+6=0\Rightarrow x^2-3x+2=0$
Se calculează discriminantul ecuației de gradul al doilea obținute.
$\displaystyle \Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1$
Se determină rădăcinile ecuației folosind formula $\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ .
$\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{3\pm 1}{2}$
Se calculează efectiv cele două soluții.
$\displaystyle x_1=\dfrac{3+1}{2}=2\text{, }x_2=\dfrac{3-1}{2}=1$
Se verifică (opțional, deoarece radicalul de ordin 3 este definit pentru orice număr real) că ambele valori verifică ecuația inițială, deci sunt soluții valide.
$\displaystyle x=1\text{ sau }x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr

\displaystyle n

din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea

\displaystyle 3n^2<100

.

Vezi rezolvarea

Se identifică mulțimea numerelor naturale de o cifră, adică mulțimea totală de cazuri posibile.
$\displaystyle \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
Se numără elementele mulțimii totale, obținându-se numărul cazurilor posibile.
$\displaystyle 10\text{ cazuri posibile}$
Se rezolvă inegalitatea dată pentru a determina ce numere din mulțimea totală o verifică.
$\displaystyle 3n^2<100\Rightarrow n^2<\frac{100}{3}\approx 33{,}33$
Se verifică fiecare număr de o cifră pentru a stabili care satisface condiția $\displaystyle n^{2}<33{,}33$ , ținând cont că $\displaystyle n$ este natural (deci pozitiv sau zero).
$\displaystyle n\in\{0,1,2,3,4,5\}\text{, deoarece } 5^2=25<33{,}33\text{, iar } 6^2=36>33{,}33$
Se numără elementele care verifică inegalitatea (cazurile favorabile) și se calculează probabilitatea ca raport dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile.
$\displaystyle 6\text{ cazuri favorabile, de }$ $\displaystyle \text{unde obținem }p=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(0,2)

,

\displaystyle B(2,5)

și

\displaystyle C

, astfel încât

\displaystyle B

este mijlocul segmentului

\displaystyle AC

. Determinați coordonatele punctului

\displaystyle C

.

Vezi rezolvarea

Se notează coordonatele punctului $\displaystyle C$ cu $\displaystyle C(x_C, y_C)$ și se scrie formula coordonatelor mijlocului unui segment: dacă $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului determinat de punctele $\displaystyle P(x_P,y_P)$ și $\displaystyle Q(x_Q,y_Q)$ , atunci $\displaystyle M$ are coordonatele $\displaystyle M\left(\dfrac{x_P+x_Q}{2}, \dfrac{y_P+y_Q}{2}\right)$ .
$\displaystyle M\left(\frac{x_P+x_Q}{2},\frac{y_P+y_Q}{2}\right)$
Se aplică formula pentru cazul dat, unde $\displaystyle B(2,5)$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AC$ , cu $\displaystyle A(0,2)$ și $\displaystyle C(x_C, y_C)$ , obținând sistemul de ecuații pentru coordonatele lui $\displaystyle C$ .
$\displaystyle 2=\frac{0+x_C}{2}\text{ și }5=\frac{2+y_C}{2}$
Se rezolvă prima ecuație pentru a afla abscisa $\displaystyle x_C$ : se înmulțește ecuația cu $\displaystyle 2$ , apoi se izolează $\displaystyle x_C$ .
$\displaystyle 4=0+x_C\Rightarrow x_C=4$
Se rezolvă a doua ecuație pentru a afla ordonata $\displaystyle y_C$ : se înmulțește ecuația cu $\displaystyle 2$ , apoi se izolează $\displaystyle y_C$ .
$\displaystyle 10=2+y_C\Rightarrow y_C=8$
Se scriu coordonatele finale ale punctului $\displaystyle C$ , obținute din rezolvarea sistemului.
$\displaystyle C(4,8)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

, dreptunghic în

\displaystyle A

, cu

\displaystyle AB=AC

și aria egală cu

\displaystyle 18

. Arătați că

\displaystyle BC=6\sqrt{2}

.

Vezi rezolvarea

Se notează lungimea catetelor egale $\displaystyle AB=AC$ cu $\displaystyle x$ , deoarece triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic în $\displaystyle A$ cu $\displaystyle AB=AC$ (catete egale).
$\displaystyle AB=AC=x$
Se scrie formula ariei triunghiului dreptunghic $\displaystyle ABC$ , cu catetele $\displaystyle AB$ și $\displaystyle AC$ , și se egalează cu valoarea dată, $\displaystyle 18$ .
$\displaystyle A_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=18$
Se înlocuiește $\displaystyle AB=AC=x$ în formula ariei și se rezolvă ecuația pentru a afla valoarea catetei.
$\displaystyle 18=\frac{x\cdot x}{2}\Rightarrow x^2=36\Rightarrow x=6$
Se concluzionează valoarea comună a catetelor $\displaystyle AB$ și $\displaystyle AC$ , obținută din formula ariei.
$\displaystyle 18=\frac{AB\cdot AC}{2}\text{, deci }AB=AC=6$
Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $\displaystyle ABC$ , cu ipotenuza $\displaystyle BC$ și catetele $\displaystyle AB$ , $\displaystyle AC$ .
$\displaystyle BC^2=AB^2+AC^2$
Se înlocuiesc valorile catetelor $\displaystyle AB=AC=6$ în relația lui Pitagora și se calculează $\displaystyle BC^{2}$ , apoi se extrage rădăcina pătrată pentru a obține lungimea ipotenuzei $\displaystyle BC$ .
$\displaystyle BC^2=6^2+6^2=36+36=72\text{, de unde obținem }BC=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1-x&3x\\-x&1+4x\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(2))=3

.

Vezi rezolvarea

Se înlocuiește $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 2$ în fiecare element al matricei $\displaystyle A(x)$ pentru a obține $\displaystyle A(2)$ .
$\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1-2&3\cdot2\\-2&1+4\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&6\\-2&9\end{pmatrix}$
Se aplică formula determinantului pentru o matrice de ordinul 2, $\displaystyle ad-bc$ , folosind elementele matricei $\displaystyle A(2)$ .
$\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}-1&6\\-2&9\end{vmatrix}=(-1)\cdot9-6\cdot(-2)=$
Se efectuează calculele numerice pentru a obține valoarea determinantului.
$\displaystyle =-9+12=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1-x&3x\\-x&1+4x\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle xA(y)-A(xy)=(x-1)I_2

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Se scrie explicit matricea $\displaystyle A(y)$ , obținută prin înlocuirea lui $\displaystyle x$ cu $\displaystyle y$ în $\displaystyle A(x)$ .
$\displaystyle A(y)=\begin{pmatrix}1-y&3y\\-y&1+4y\end{pmatrix}$
Se înmulțește matricea $\displaystyle A(y)$ cu scalarul $\displaystyle x$ , obținând $\displaystyle xA(y)$ .
$\displaystyle xA(y)=\begin{pmatrix}x-xy&3xy\\-xy&x+4xy\end{pmatrix}$
Se scrie explicit matricea $\displaystyle A(xy)$ , obținută prin înlocuirea lui $\displaystyle x$ cu produsul $\displaystyle xy$ în $\displaystyle A(x)$ .
$\displaystyle A(xy)=\begin{pmatrix}1-xy&3xy\\-xy&1+4xy\end{pmatrix}$
Se calculează diferența $\displaystyle xA(y)-A(xy)$ , scăzând element cu element cele două matrice și simplificând fiecare termen.
$\displaystyle xA(y)-A(xy)=\begin{pmatrix}x-xy&3xy\\-xy&x+4xy\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1-xy&3xy\\-xy&1+4xy\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-1&0\\0&x-1\end{pmatrix}$
Se scoate factor comun $\displaystyle (x-1)$ din matricea obținută, rezultând $\displaystyle (x-1)I_2$ , egalitate valabilă pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ .
$\displaystyle (x-1)\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=(x-1)I_2\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1-x&3x\\-x&1+4x\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle A(1)\cdot A(x-1)=xA(x)

.

Vezi rezolvarea

Se calculează matricea $\displaystyle A(1)$ înlocuind $\displaystyle x=1$ în expresia lui $\displaystyle A(x)$ .
$\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1-1&3\cdot1\\-1&1+4\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&3\\-1&5\end{pmatrix}$
Se calculează matricea $\displaystyle A(x-1)$ înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle x-1$ în expresia lui $\displaystyle A(x)$ .
$\displaystyle A(x-1)=\begin{pmatrix}1-(x-1)&3(x-1)\\-(x-1)&1+4(x-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-x&3x-3\\1-x&4x-3\end{pmatrix}$
Se efectuează produsul matriceal $\displaystyle A(1)\cdot A(x-1)$ , înmulțind fiecare linie a lui $\displaystyle A(1)$ cu fiecare coloană a lui $\displaystyle A(x-1)$ .
$\displaystyle A(1)\cdot A(x-1)=\begin{pmatrix}0&3\\-1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2-x&3x-3\\1-x&4x-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-3x&12x-9\\3-4x&17x-12\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }x$
Se calculează expresia $\displaystyle xA(x)$ , înmulțind fiecare element al matricei $\displaystyle A(x)$ cu $\displaystyle x$ .
$\displaystyle xA(x)=x\begin{pmatrix}1-x&3x\\-x&1+4x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-x^2&3x^2\\-x^2&4x^2+x\end{pmatrix}$
Se egalează elementele corespunzătoare ale celor două matrice, obținându-se un sistem de ecuații în $\displaystyle x$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}3-3x&12x-9\\3-4x&17x-12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-x^2&3x^2\\-x^2&4x^2+x\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{cases}3-3x=x-x^2\\12x-9=3x^2\\3-4x=-x^2\\17x-12=4x^2+x\end{cases}$
Se observă că toate cele patru ecuații se reduc la aceeași ecuație de gradul al doilea, care se rezolvă pentru a obține valorile lui $\displaystyle x$ .
$\displaystyle x^2-4x+3=0\Rightarrow x=1\text{ sau }x=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=\frac{1}{4}(x+1)(y+1)-1

.

Arătați că

\displaystyle 1\circ5=2

.

Vezi rezolvarea

Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=5$ care trebuie înlocuite.
$\displaystyle x\circ y=\frac{1}{4}(x+1)(y+1)-1$ , $\displaystyle \text{ unde }x=1$ , $\displaystyle \ y=5$
Se înlocuiesc valorile $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=5$ în formula legii de compoziție.
$\displaystyle 1\circ5=\frac{1}{4}(1+1)(5+1)-1=$
Se calculează sumele din paranteze: $\displaystyle 1+1=2$ și $\displaystyle 5+1=6$ .
$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot2\cdot6-1=$
Se înmulțesc numerele obținute: $\displaystyle 2$ cu $\displaystyle 6$ , apoi se simplifică cu $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot12-1=3-1$
Se efectuează scăderea finală pentru a obține rezultatul.
$\displaystyle =3-1=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=\frac{1}{4}(x+1)(y+1)-1

.

Arătați că

\displaystyle e=3

este elementul neutru al legii de compoziție „

\displaystyle \circ

”.

Vezi rezolvarea

Se reamintește condiția ca un element $\displaystyle e$ să fie element neutru pentru legea de compoziție „ $\displaystyle \circ$ ": trebuie ca $\displaystyle x\circ e=e\circ x=x$ , pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle x\circ e=e\circ x=x\text{, pentru orice număr real }x$
Se presupune că elementul neutru este $\displaystyle e=3$ și se calculează $\displaystyle x\circ 3$ folosind formula legii de compoziție, înlocuind $\displaystyle y$ cu $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle x\circ3=\frac{1}{4}(x+1)(3+1)-1$
Se efectuează calculele: $\displaystyle (3+1)=4$ , iar fracția $\displaystyle \dfrac{1}{4}$ se simplifică cu $\displaystyle 4$ , rezultând $\displaystyle x+1-1=x$ .
$\displaystyle x\circ3=\frac{1}{4}(x+1)(3+1)-1=x+1-1=x\text{, pentru orice număr real }x$
Se calculează și $\displaystyle 3\circ x$ folosind formula legii de compoziție, înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 3$ și lăsând $\displaystyle y=x$ , pentru a verifica neutralitatea și la stânga.
$\displaystyle 3\circ x=\frac{1}{4}(3+1)(x+1)-1$
Se efectuează calculele analog: $\displaystyle (3+1)=4$ , fracția se simplifică, obținându-se $\displaystyle x+1-1=x$ , pentru orice $\displaystyle x$ real, deci $\displaystyle e=3$ satisface ambele condiții de element neutru.
$\displaystyle 3\circ x=\frac{1}{4}(3+1)(x+1)-1=x+1-1=x\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }e=3\text{ este elementul neutru al }$ $\displaystyle \text{legii de compoziție „}\circ\text{”}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=\frac{1}{4}(x+1)(y+1)-1

.

Determinați perechile

\displaystyle (m,n)

de numere naturale, cu

\displaystyle m\leq n

, pentru care

\displaystyle m\circ n=3

.

Vezi rezolvarea

Se scrie condiția din enunț: perechea $\displaystyle (m,n)$ verifică $\displaystyle m\circ n=3$ , unde $\displaystyle m,n$ sunt numere naturale. Se aplică legea de compoziție dată.
$\displaystyle m\circ n=3\Leftrightarrow\frac{1}{4}(m+1)(n+1)-1=3$
Se rezolvă ecuația obținută, aducând-o la o formă echivalentă mai simplă, prin înmulțire cu $\displaystyle 4$ și adunarea lui $\displaystyle 1$ în ambii membri.
$\displaystyle \frac{1}{4}(m+1)(n+1)-1=3\Leftrightarrow(m+1)(n+1)=16$
Deoarece $\displaystyle m,n$ sunt numere naturale, rezultă că $\displaystyle m+1$ și $\displaystyle n+1$ sunt numere naturale nenule (mai mari sau egale cu $\displaystyle 1$ ), deci sunt divizori naturali ai lui $\displaystyle 16$ . Se ține cont și de condiția $\displaystyle m\leq n$ , echivalentă cu $\displaystyle m+1\leq n+1$ .
$\displaystyle m+1$ , $\displaystyle n+1\in\mathbb{N}^{*}$ , $\displaystyle \ m+1\le n+1$ , $\displaystyle \ (m+1)(n+1)=16$
Se descompune $\displaystyle 16$ ca produs de doi factori naturali, cu primul factor mai mic sau egal decât al doilea, obținând toate descompunerile posibile.
$\displaystyle 16=1\cdot16=2\cdot8=4\cdot4$
Se asociază fiecărei descompuneri valorile lui $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ , scăzând $\displaystyle 1$ din fiecare factor: $\displaystyle m=d_1-1$ , $\displaystyle n=d_2-1$ .
$\displaystyle (m+1,n+1)\in\{(1,16),(2,8),(4,4)\}\Rightarrow(m,n)\in\{(0,15),(1,7),(3,3)\}$
Se scriu perechile finale $\displaystyle (m,n)$ care satisfac condițiile problemei, adică $\displaystyle m,n$ numere naturale cu $\displaystyle m\leq n$ și $\displaystyle m\circ n=3$ .
$\displaystyle (0,15)$ , $\displaystyle \ (1,7)\text{ și }(3,3)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-3x-1+\ln x

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{(2x-1)(x-1)}{x}

,

\displaystyle x\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Se derivează fiecare termen al funcției $\displaystyle f(x)=x^{2}-3x-1+\ln x$ , folosind regulile de derivare: $\displaystyle (x^n)'=n\cdot x^{n-1}$ , $\displaystyle (\text{const})'=0$ , $\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ .
$\displaystyle f'(x)=2x-3+0+\frac{1}{x}$
Se scrie forma finală a derivatei, simplificând termenul nul.
$\displaystyle f'(x)=2x-3+\frac{1}{x}=$
Se aduc toți termenii la același numitor comun, $\displaystyle x$ , pentru a scrie derivata sub formă de fracție unică.
$\displaystyle f'(x)=\frac{2x\cdot x}{x}-\frac{3\cdot x}{x}+\frac{1}{x}=\frac{2x^2-3x+1}{x}$
Se factorizează numărătorul $\displaystyle 2x^{2}-3x+1$ , căutând rădăcinile ecuației de gradul al doilea. Se calculează discriminantul: $\displaystyle \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1$ , deci rădăcinile sunt $\displaystyle x_{1}=\dfrac{3-1}{4}=\dfrac{1}{2}$ și $\displaystyle x_{2}=\dfrac{3+1}{4}=1$ .
$\displaystyle 2x^2-3x+1=2\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-1)=(2x-1)(x-1)$
Se scrie forma finală a derivatei, cu numărătorul factorizat, precizând și domeniul de definiție.
$\displaystyle \frac{2x^2-3x+1}{x}=\frac{(2x-1)(x-1)}{x}\text{, }x\in(0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-3x-1+\ln x

.

Arătați că

\displaystyle \lim\limits_{x\to1}\frac{f(x)+3x}{\ln x}=3

.

Vezi rezolvarea

Se calculează expresia de la numărător, înlocuind $\displaystyle f(x)$ : $\displaystyle f(x)+3x = (x^{2}-3x-1+\ln x)+3x = x^{2}-1+\ln x$ .
$\displaystyle f(x)+3x=x^2-3x-1+\ln x+3x=x^2-1+\ln x$
Se scrie limita cerută folosind expresia obținută și se verifică natura ei la $\displaystyle x=1$ : numărătorul devine $\displaystyle 1-1+\ln 1=0$ , iar numitorul $\displaystyle \ln 1=0$ , deci avem caz de nedeterminare $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)+3x}{\ln x}=\lim_{x\to1}\frac{x^2-1+\ln x}{\ln x}=\frac{0}{0}\text{ (caz de nedeterminare)}$
Fiind caz de nedeterminare $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ , cu funcții derivabile pe o vecinătate a lui $\displaystyle 1$ și numitorul cu derivata nenulă, se aplică regula lui l'Hospital, derivând separat numărătorul și numitorul.
$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^2-1+\ln x}{\ln x}=\lim_{x\to1}\frac{(x^2-1+\ln x)'}{(\ln x)'}$
Se calculează derivatele: $\displaystyle (x^{2}-1+\ln x)' = 2x+\dfrac{1}{x}$ , iar $\displaystyle (\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ , obținându-se noua limită.
$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{(x^2-1+\ln x)'}{(\ln x)'}=\lim_{x\to1}\frac{2x+\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$
Se amplifică fracția cu $\displaystyle x$ pentru a simplifica: $\displaystyle (2x+\dfrac{1}{x})\cdot x = 2x^{2}+1$ , iar $\displaystyle \dfrac{1}{x}\cdot x=1$ , deci limita devine $\displaystyle \lim (2x^{2}+1)$ , calculată la $\displaystyle x=1$ , obținându-se rezultatul final.
$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{2x+\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to1}(2x^2+1)=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-3x-1+\ln x

.

Demonstrați că

\displaystyle f(x)+f(y)\leq-\frac{21}{4}

, pentru orice

\displaystyle x\in(0,1]

și orice

\displaystyle y\in[1,2]

.

Vezi rezolvarea

Se calculează derivata funcției $\displaystyle f$ pe domeniul $\displaystyle (0,+\infty)$ și se aduce la o formă convenabilă pentru studiul semnului.
$\displaystyle f'(x)=2x-3+\frac{1}{x}=\frac{2x^2-3x+1}{x}$
Se factorizează numărătorul și se rezolvă ecuația $\displaystyle f'(x)=0$ pentru a găsi punctele critice.
$\displaystyle f'(x)=\frac{(2x-1)(x-1)}{x}\text{, iar }f'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\text{ sau }x=1$
Deoarece $\displaystyle x>0$ , semnul lui $\displaystyle f'(x)$ este dat de semnul produsului $\displaystyle (2x-1)(x-1)$ . Se analizează acest semn pe cele trei subintervale determinate de punctele critice și se stabilește monotonia funcției pe fiecare dintre ele.
$\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\text{ sau }x=1\text{; pentru orice }x\in\left(0,\frac{1}{2}\right]$ , $\displaystyle \ f'(x)\geq0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }\left(0,\frac{1}{2}\right]\text{, pentru orice }x\in\left[\frac{1}{2},1\right]$ , $\displaystyle \ f'(x)\leq0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }\left[\frac{1}{2},1\right]\text{ și, pentru orice }x\in[1,2]$ , $\displaystyle \ f'(x)\geq0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[1,2]$
Din monotonia stabilită, pe intervalul $\displaystyle (0,1]$ funcția crește până la $\displaystyle x=\dfrac{1}{2}$ și apoi descrește, deci valoarea maximă pe acest interval se atinge în $\displaystyle x=\dfrac{1}{2}$ . Se calculează această valoare.
$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^2-3\cdot\frac{1}{2}-1+\ln\frac{1}{2}=\frac{1}{4}-\frac{3}{2}-1-\ln2=-\frac{9}{4}-\ln2$
Pe intervalul $\displaystyle [1,2]$ funcția este crescătoare, deci valoarea maximă se atinge la capătul din dreapta, $\displaystyle x=2$ . Se calculează această valoare.
$\displaystyle f(2)=2^2-3\cdot2-1+\ln2=4-6-1+\ln2=-3+\ln2$
Folosind monotonia stabilită, pentru orice $\displaystyle x$ din $\displaystyle (0,1]$ avem $\displaystyle f(x)\leq f(\dfrac{1}{2})$ , iar pentru orice $\displaystyle y$ din $\displaystyle [1,2]$ avem $\displaystyle f(y)\leq f(2)$ . Se adună cele două inegalități și se înlocuiesc valorile calculate pentru a obține majorarea cerută.
$\displaystyle \text{Pentru orice }x\in(0,1]\text{ și orice }y\in[1,2]\text{, rezultă }f(x)\leq f\left(\frac{1}{2}\right)\text{ și }f(y)\leq f(2)\text{ și, cum }f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{9}{4}-\ln2\text{ și }f(2)=-3+\ln2\text{, obținem }f(x)+f(y)\leq-\frac{21}{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x}}

.

Arătați că

\displaystyle \int_{2}^{4}f(x)\sqrt{x}\,dx=4

.

Vezi rezolvarea

Se observă că, pentru $\displaystyle x>0$ , $\displaystyle \sqrt{x}$ este definit și nenul, deci putem simplifica produsul $\displaystyle f(x)\cdot\sqrt{x}$ , eliminând radicalul de la numitor.
$\displaystyle f(x)\cdot\sqrt{x}=\frac{x-1}{\sqrt{x}}\cdot\sqrt{x}=x-1$
Se înlocuiește $\displaystyle f(x)\cdot\sqrt{x}$ cu expresia simplificată $\displaystyle x-1$ în integrala definită, obținându-se o integrală dintr-o funcție polinomială.
$\displaystyle \int_{2}^{4}f(x)\sqrt{x}\,dx=\int_{2}^{4}(x-1)\,dx$
Se determină primitiva funcției $\displaystyle x-1$ , adică $\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2} - x$ , și se scrie integrala ca diferență a valorilor primitivei evaluate pe fiecare termen, între limitele $\displaystyle 2$ și $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle \int_{2}^{4}(x-1)\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_{2}^{4}-\left.x\right|_{2}^{4}=$
Se calculează valorile primitivei în capetele intervalului: pentru $\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}$ se obține $\displaystyle 8-2=6$ , iar pentru $\displaystyle x$ se obține $\displaystyle 4-2=2$ .
$\displaystyle \left(\frac{16}{2}-\frac{4}{2}\right)-(4-2)=6-2$
Se efectuează scăderea finală pentru a obține valoarea integralei definite.
$\displaystyle =6-2=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x}}

.

Arătați că

\displaystyle \int_{1}^{4}f(x)\,dx=\frac{8}{3}

.

Vezi rezolvarea

Se descompune expresia funcției $\displaystyle f(x)$ ca diferență de puteri ale lui $\displaystyle x$ , pentru a putea determina mai ușor o primitivă: $\displaystyle f(x) = \dfrac{x-1}{\sqrt{x}} = \dfrac{x}{\sqrt{x}} - \dfrac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} - \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ .
$\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x}}=\frac{x}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$
Se scriu formulele de calcul ale primitivelor pentru cei doi termeni, folosind formula $\displaystyle \int x^{n} dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ , cu $\displaystyle n=\dfrac{1}{2}$ și $\displaystyle n=-\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \int\sqrt{x}\,dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{2x\sqrt{x}}{3}+C\text{, }\quad\int\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\int x^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=2\sqrt{x}+C$
Se scrie integrala definită folosind descompunerea de la pasul 1 și se aplică formula Leibniz-Newton, folosind primitivele determinate la pasul anterior, evaluate între limitele 1 și 4.
$\displaystyle \int_{1}^{4}f(x)dx=\int_{1}^{4}\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx=\left.\frac{2x\sqrt{x}}{3}\right|_{1}^{4}-\left.2\sqrt{x}\right|_{1}^{4}=$
Se calculează valorile primitivelor în capetele intervalului: pentru $\displaystyle x=4$ , $\displaystyle \sqrt{4}=2$ , deci $\displaystyle \dfrac{2\cdot 4\cdot 2}{3}=\dfrac{16}{3}$ și $\displaystyle 2\sqrt{4}=4$ ; pentru $\displaystyle x=1$ , $\displaystyle \sqrt{1}=1$ , deci $\displaystyle \dfrac{2\cdot 1\cdot 1}{3}=\dfrac{2}{3}$ și $\displaystyle 2\sqrt{1}=2$ .
$\displaystyle \left(\frac{16}{3}-\frac{2}{3}\right)-\left(4-2\right)=\frac{14}{3}-2$
Se efectuează scăderea finală, aducând la același numitor, pentru a obține valoarea integralei.
$\displaystyle \frac{14}{3}-2=\frac{8}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x}}

.

Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției

\displaystyle g:[2,3]\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt{2}}{f(x)}

, în jurul axei

\displaystyle Ox

este egal cu

\displaystyle \pi\ln(4e)

.

Vezi rezolvarea

Se determină expresia funcției $\displaystyle g$ pornind de la legătura cu $\displaystyle f$ : $\displaystyle g(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{f(x)}$ , pentru $\displaystyle x\in[2,3]$ .
$\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt{2}}{f(x)}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{x}}{x-1}=\frac{\sqrt{2x}}{x-1}\text{, }x\in[2,3]$
Se scrie formula volumului corpului de rotație obținut prin rotirea graficului lui $\displaystyle g$ în jurul axei $\displaystyle Ox$ , se ridică $\displaystyle g(x)$ la pătrat și se simplifică integrandul.
$\displaystyle V=\pi\int_{2}^{3}(g(x))^2dx=\pi\int_{2}^{3}\frac{2x}{(x-1)^2}dx=2\pi\int_{2}^{3}\frac{x}{(x-1)^2}dx$
Se descompune fracția $\displaystyle \frac{x}{(x-1)^2}$ în fracții simple, pentru a putea integra ușor.
$\displaystyle \frac{x}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)+1}{(x-1)^2}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}$
Se calculează primitivele fiecărui termen și se evaluează integrala definită pe intervalul $\displaystyle [2,3]$ , obținând valoarea volumului.
$\displaystyle 2\pi\int_{2}^{3}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}\right)dx=2\pi\left(\left.\ln(x-1)\right|_{2}^{3}-\left.\frac{1}{x-1}\right|_{2}^{3}\right)=2\pi\left[(\ln2-\tfrac{1}{2})-(0-1)\right]=2\pi\left(\ln2+\tfrac{1}{2}\right)=\pi(2\ln2+1)=\pi\ln(4e)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2025, sesiunea a II-a varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani