Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, sesiunea a II-a varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați primul termen al progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}, știind că a2=3\displaystyle a_2=3 și a3=5\displaystyle a_3=5.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică, diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă și se numește rație. Calculăm rația ca diferență dintre a3\displaystyle a_3 și a2\displaystyle a_2: r=a3−a2\displaystyle r=a_3-a_2.
    r=a3−a2=5−3=2\displaystyle r=a_3-a_2=5-3=2
  2. Din formula a2=a1+r\displaystyle a_2=a_1+r rezultă că primul termen este a1=a2−r\displaystyle a_1=a_2-r. Înlocuim a2=3\displaystyle a_2=3 și r=2\displaystyle r=2.
    a1=a2−r=3−2\displaystyle a_1=a_2-r=3-2
  3. Efectuăm scăderea și obținem primul termen al progresiei: a1=1\displaystyle a_1=1.
    a1=1\displaystyle a_1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−1\displaystyle f(x)=x^2-1. Determinați numărul natural n\displaystyle n pentru care f(n)=3\displaystyle f(n)=3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu n\displaystyle n în formula funcției: f(n)=n2−1\displaystyle f(n)=n^{2}-1.
    f(n)=n2−1\displaystyle f(n)=n^{2}-1
  2. Punem condiția f(n)=3\displaystyle f(n)=3 și obținem ecuația n2−1=3\displaystyle n^{2}-1=3.
    n2−1=3\displaystyle n^{2}-1=3
  3. Mutăm 3\displaystyle 3 în membrul stâng și reducem termenii: n2−1−3=0\displaystyle n^{2}-1-3=0, adică n2−4=0\displaystyle n^{2}-4=0.
    n2−4=0\displaystyle n^{2}-4=0
  4. Descompunem diferența de pătrate: (n−2)(n+2)=0\displaystyle (n-2)(n+2)=0, deci n=2\displaystyle n=2 sau n=−2\displaystyle n=-2.
    n=2 sau n=−2\displaystyle n=2\text{ sau }n=-2
  5. Cerem ca n\displaystyle n să fie număr natural, deci respingem soluția negativă −2\displaystyle -2. Rămâne n=2\displaystyle n=2. Verificare: f(2)=4−1=3\displaystyle f(2)=4-1=3.
    n=2\displaystyle n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−9=x−1\displaystyle \sqrt{x^2-9}=x-1.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația conține radicalul x2−9\displaystyle \sqrt{x^2-9}, deci trebuie ca x2−9≥0\displaystyle x^2-9\ge 0 și x−1≥0\displaystyle x-1\ge 0. Aceste condiții le verificăm la final pentru soluția găsită. Ridicăm ambii membri la pătrat: (x2−9)2=(x−1)2\displaystyle \left(\sqrt{x^2-9}\right)^2=(x-1)^2.
    x2−9=(x−1)2\displaystyle x^2-9=(x-1)^2
  2. Dezvoltăm pătratul din membrul drept: (x−1)2=x2−2x+1\displaystyle (x-1)^2=x^2-2x+1. Ecuația devine x2−9=x2−2x+1\displaystyle x^2-9=x^2-2x+1.
    x2−9=x2−2x+1\displaystyle x^2-9=x^2-2x+1
  3. Reducem termenii x2\displaystyle x^2 din ambii membri și mutăm termenii: 2x=1+9\displaystyle 2x=1+9, adică 2x=10\displaystyle 2x=10.
    2x=10\displaystyle 2x=10
  4. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem x=5\displaystyle x=5.
    x=5\displaystyle x=5
  5. Verificăm în ecuația inițială: 52−9=16=4\displaystyle \sqrt{5^2-9}=\sqrt{16}=4, iar 5−1=4\displaystyle 5-1=4. Egalitatea este adevărată, deci x=5\displaystyle x=5 convine.
    x=5, care convine\displaystyle x=5\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii {1,2,3,4}\displaystyle \{1,2,3,4\}.
Vezi rezolvarea
  1. O submulțime cu trei elemente se alege fără a conta ordinea elementelor, deci numărul ei este numărul de combinări de 4\displaystyle 4 luate câte 3\displaystyle 3: C43\displaystyle C_{4}^{3}.
    C43\displaystyle C_{4}^{3}
  2. Scriem formula combinărilor Cnk=n!k!⋅(n−k)!\displaystyle C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}. Pentru n=4\displaystyle n=4 și k=3\displaystyle k=3 obținem n−k=1\displaystyle n-k=1, deci C43=4!3!⋅1!\displaystyle C_{4}^{3}=\dfrac{4!}{3!\cdot 1!}.
    C43=4!3!⋅1!\displaystyle C_{4}^{3}=\dfrac{4!}{3!\cdot 1!}
  3. Scriem 4!=4⋅3!\displaystyle 4!=4\cdot 3! și simplificăm cu 3!\displaystyle 3! din numitor. Deoarece 1!=1\displaystyle 1!=1, rămâne 4⋅3!3!⋅1=4\displaystyle \dfrac{4\cdot 3!}{3!\cdot 1}=4. Deci există 4\displaystyle 4 submulțimi, obținute eliminând pe rând câte un element al mulțimii: {1,2,3}\displaystyle \{1,2,3\}, {1,2,4}\displaystyle \{1,2,4\}, {1,3,4}\displaystyle \{1,3,4\}, {2,3,4}\displaystyle \{2,3,4\}.
    C43=4\displaystyle C_{4}^{3}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(1,1)\displaystyle M(1,1), N(3,3)\displaystyle N(3,3), P(4,3)\displaystyle P(4,3) și Q(1,a)\displaystyle Q(1,a), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, pentru care patrulaterul MNPQ\displaystyle MNPQ este trapez cu bazele MN\displaystyle MN și PQ\displaystyle PQ.
Vezi rezolvarea
  1. Într-un trapez cu bazele MN\displaystyle MN și PQ\displaystyle PQ, dreptele MN\displaystyle MN și PQ\displaystyle PQ sunt paralele, deci trebuie să aibă pante egale. Calculăm mai întâi panta dreptei MN\displaystyle MN cu formula m=y2−y1x2−x1\displaystyle m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
    mMN=3−13−1=1\displaystyle m_{MN}=\dfrac{3-1}{3-1}=1
  2. Calculăm panta dreptei PQ\displaystyle PQ, unde P(4,3)\displaystyle P(4,3) și Q(1,a)\displaystyle Q(1,a). Diferența de ordonate este a−3\displaystyle a-3, iar diferența de abscise este 1−4=−3\displaystyle 1-4=-3.
    mPQ=a−31−4=3−a3\displaystyle m_{PQ}=\dfrac{a-3}{1-4}=\dfrac{3-a}{3}
  3. Din condiția MN∥PQ\displaystyle MN\parallel PQ egalăm pantele celor două drepte.
    1=3−a3\displaystyle 1=\dfrac{3-a}{3}
  4. Înmulțim egalitatea cu 3\displaystyle 3 și obținem 3=3−a\displaystyle 3=3-a, deci a=0\displaystyle a=0. Pentru a=0\displaystyle a=0 punctul Q(1,0)\displaystyle Q(1,0) nu se află pe dreapta MN\displaystyle MN, care are ecuația y=x\displaystyle y=x, deci MNPQ\displaystyle MNPQ este într-adevăr trapez cu bazele MN\displaystyle MN și PQ\displaystyle PQ.
    MN∥PQ⇔3−a=3⇔a=0\displaystyle MN\parallel PQ\Leftrightarrow 3-a=3\Leftrightarrow a=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea ipotenuzei BC\displaystyle BC a triunghiului dreptunghic ABC\displaystyle ABC, în care AB=5\displaystyle AB=5 și cos⁡B=12\displaystyle \cos B=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci BC\displaystyle BC este ipotenuză. Pentru unghiul B\displaystyle B, cateta alăturată este AB\displaystyle AB. Cosinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză.
    cos⁡B=ABBC\displaystyle \cos B=\frac{AB}{BC}
  2. Înlocuim cos⁡B=12\displaystyle \cos B=\dfrac{1}{2} și AB=5\displaystyle AB=5 în formula cosinusului.
    12=5BC\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{5}{BC}
  3. Din proporție, înmulțind pe diagonală, obținem 1⋅BC=2⋅5\displaystyle 1\cdot BC=2\cdot 5.
    BC=2⋅5=10\displaystyle BC=2\cdot 5=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A=(a00b)\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Arătați că det⁡(A⋅A)=a2b2\displaystyle \det(A\cdot A)=a^2b^2, pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, adică înmulțim matricea A\displaystyle A cu ea însăși, folosind regula linie pe coloană: A⋅A=(a00b)⋅(a00b)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}.
    A⋅A=(a00b)⋅(a00b)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element al produsului. Elementul de pe linia 1, coloana 1: a⋅a+0⋅0=a2\displaystyle a\cdot a+0\cdot 0=a^2. Linia 1, coloana 2: a⋅0+0⋅b=0\displaystyle a\cdot 0+0\cdot b=0. Linia 2, coloana 1: 0⋅a+b⋅0=0\displaystyle 0\cdot a+b\cdot 0=0. Linia 2, coloana 2: 0⋅0+b⋅b=b2\displaystyle 0\cdot 0+b\cdot b=b^2. Rezultă A⋅A=(a200b2)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}a^2&0\\0&b^2\end{pmatrix}, pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    A⋅A=(a200b2), pentru orice numere \displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}a^2&0\\0&b^2\end{pmatrix}\text{, pentru orice numere }reale a și b\displaystyle \text{reale }a\text{ și }b
  3. Calculăm determinantul matricei A⋅A\displaystyle A\cdot A: pentru o matrice de ordinul 2, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem det⁡(A⋅A)=∣a200b2∣=a2⋅b2−0⋅0=a2b2\displaystyle \det(A\cdot A)=\begin{vmatrix}a^2&0\\0&b^2\end{vmatrix}=a^2\cdot b^2-0\cdot 0=a^2b^2, pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    det⁡(A⋅A)=∣a200b2∣=a2b2, pentru orice numere \displaystyle \det(A\cdot A)=\begin{vmatrix}a^2&0\\0&b^2\end{vmatrix}=a^2b^2\text{, pentru orice numere }reale a și b\displaystyle \text{reale }a\text{ și }b
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A=(a00b)\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Se consideră matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) astfel încât A⋅X=X⋅A\displaystyle A\cdot X=X\cdot A. Demonstrați că, dacă a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale distincte, atunci există numerele reale x\displaystyle x și t\displaystyle t astfel încât X=(x00t)\displaystyle X=\begin{pmatrix}x&0\\0&t\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea X\displaystyle X sub forma generală, cu elemente reale: X=(xyzt)\displaystyle X=\begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix}, unde x,y,z,t∈R\displaystyle x,y,z,t\in\mathbb{R}.
    X=(xyzt)\displaystyle X=\begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix}, x\displaystyle \ x,y\displaystyle y,z\displaystyle z,t∈R\displaystyle t\in\mathbb{R}
  2. Calculăm A⋅X\displaystyle A\cdot X. Prima linie a lui X\displaystyle X se înmulțește cu a\displaystyle a, iar a doua linie cu b\displaystyle b.
    A⋅X=(a00b)(xyzt)=(axaybzbt)\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax&ay\\bz&bt\end{pmatrix}
  3. Calculăm X⋅A\displaystyle X\cdot A. Prima coloană a lui X\displaystyle X se înmulțește cu a\displaystyle a, iar a doua coloană cu b\displaystyle b.
    X⋅A=(xyzt)(a00b)=(axbyazbt)\displaystyle X\cdot A=\begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax&by\\az&bt\end{pmatrix}
  4. Din A⋅X=X⋅A\displaystyle A\cdot X=X\cdot A egalăm elementele corespunzătoare. Pe diagonală obținem ax=ax\displaystyle ax=ax și bt=bt\displaystyle bt=bt, adică egalități mereu adevărate. În afara diagonalei obținem ay=by\displaystyle ay=by și bz=az\displaystyle bz=az.
    ay=by și az=bz\displaystyle ay=by\text{ și }az=bz
  5. Mutăm termenii într-o parte și dăm factor comun: ay−by=0\displaystyle ay-by=0 și az−bz=0\displaystyle az-bz=0.
    y(a−b)=0 și z(a−b)=0\displaystyle y(a-b)=0\text{ și }z(a-b)=0
  6. Cum a≠b\displaystyle a\neq b, avem a−b≠0\displaystyle a-b\neq 0, deci împărțim cu a−b\displaystyle a-b și obținem y=0\displaystyle y=0 și z=0\displaystyle z=0. Așadar X=(x00t)\displaystyle X=\begin{pmatrix}x&0\\0&t\end{pmatrix}, cu x,t∈R\displaystyle x,t\in\mathbb{R}.
    y=z=0⇒X=(x00t)\displaystyle y=z=0\Rightarrow X=\begin{pmatrix}x&0\\0&t\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A=(a00b)\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Pentru a=4\displaystyle a=4 și b=0\displaystyle b=0, determinați matricele Y∈M2(R)\displaystyle Y\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care Y⋅Y=A\displaystyle Y\cdot Y=A.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=4\displaystyle a=4 și b=0\displaystyle b=0 avem A=(4000)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&0\\0&0\end{pmatrix}. Căutăm matricele Y∈M2(R)\displaystyle Y\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) cu Y⋅Y=A\displaystyle Y\cdot Y=A.
    A=(4000)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&0\\0&0\end{pmatrix},Y⋅Y=A\displaystyle \quad Y\cdot Y=A
  2. Din Y⋅Y=A\displaystyle Y\cdot Y=A obținem, folosind asociativitatea înmulțirii, că A⋅Y=(Y⋅Y)⋅Y=Y⋅(Y⋅Y)=Y⋅A\displaystyle A\cdot Y=(Y\cdot Y)\cdot Y=Y\cdot(Y\cdot Y)=Y\cdot A. Deci Y\displaystyle Y comută cu A\displaystyle A.
    A⋅Y=(Y⋅Y)⋅Y=Y⋅(Y⋅Y)=Y⋅A\displaystyle A\cdot Y=(Y\cdot Y)\cdot Y=Y\cdot(Y\cdot Y)=Y\cdot A
  3. Fie Y=(xyzt)\displaystyle Y=\begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix}. Atunci A⋅Y=(4x4y00)\displaystyle A\cdot Y=\begin{pmatrix}4x&4y\\0&0\end{pmatrix} și Y⋅A=(4x04z0)\displaystyle Y\cdot A=\begin{pmatrix}4x&0\\4z&0\end{pmatrix}. Din A⋅Y=Y⋅A\displaystyle A\cdot Y=Y\cdot A rezultă 4y=0\displaystyle 4y=0 și 4z=0\displaystyle 4z=0, deci y=z=0\displaystyle y=z=0. Așadar Y\displaystyle Y este diagonală.
    Y=(α00β), unde α\displaystyle Y=\begin{pmatrix}\alpha&0\\0&\beta\end{pmatrix}\text{, unde }\alpha,β∈R\displaystyle \beta\in\mathbb{R}
  4. Pentru Y=(α00β)\displaystyle Y=\begin{pmatrix}\alpha&0\\0&\beta\end{pmatrix} avem Y⋅Y=(α200β2)\displaystyle Y\cdot Y=\begin{pmatrix}\alpha^2&0\\0&\beta^2\end{pmatrix}. Egalitatea Y⋅Y=A\displaystyle Y\cdot Y=A dă α2=4\displaystyle \alpha^2=4 și β2=0\displaystyle \beta^2=0.
    (α200β2)=(4000)\displaystyle \begin{pmatrix}\alpha^2&0\\0&\beta^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\0&0\end{pmatrix}
  5. Din α2=4\displaystyle \alpha^2=4 rezultă α=2\displaystyle \alpha=2 sau α=−2\displaystyle \alpha=-2, iar din β2=0\displaystyle \beta^2=0 rezultă β=0\displaystyle \beta=0. Verificare: (±2000)2=(4000)=A\displaystyle \begin{pmatrix}\pm 2&0\\0&0\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}4&0\\0&0\end{pmatrix}=A, deci ambele matrice convin.
    α2=4 și β2=0, deci Y=(2000) sau Y=(−2000), care convin\displaystyle \alpha^2=4\text{ și }\beta^2=0\text{, deci }Y=\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix}\text{ sau }Y=\begin{pmatrix}-2&0\\0&0\end{pmatrix}\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy+1+yx+1\displaystyle x*y=x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}.

Arătați că 3∗3=12\displaystyle 3*3=12.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=3\displaystyle x=3 și y=3\displaystyle y=3 în definiția x∗y=xy+1+yx+1\displaystyle x*y=x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}.
    3∗3=33+1+33+1\displaystyle 3*3=3\sqrt{3+1}+3\sqrt{3+1}
  2. Calculăm sumele de sub radicali: 3+1=4\displaystyle 3+1=4, iar 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2.
    3∗3=3⋅2+3⋅2\displaystyle 3*3=3\cdot 2+3\cdot 2
  3. Efectuăm înmulțirile și apoi adunarea: 6+6=12\displaystyle 6+6=12, deci egalitatea este demonstrată.
    3⋅2+3⋅2=6+6=12\displaystyle 3\cdot 2+3\cdot 2=6+6=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy+1+yx+1\displaystyle x*y=x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}.

Demonstrați că x∗0=0∗x=x\displaystyle x*0=0*x=x, pentru orice x∈M\displaystyle x\in M.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∗y=xy+1+yx+1\displaystyle x*y=x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1} și înlocuim y=0\displaystyle y=0, pentru x∈M\displaystyle x\in M.
    x∗0=x0+1+0⋅x+1\displaystyle x*0=x\sqrt{0+1}+0\cdot\sqrt{x+1}
  2. Simplificăm: 0+1=1\displaystyle \sqrt{0+1}=1, iar al doilea termen este 0\displaystyle 0 fiindcă are factorul 0\displaystyle 0. Deci x∗0=x\displaystyle x*0=x pentru orice x∈M\displaystyle x\in M.
    x∗0=x⋅1+0=x, pentru orice x∈M\displaystyle x*0=x\cdot 1+0=x\text{, pentru orice }x\in M
  3. Calculăm 0∗x\displaystyle 0*x, înlocuind în definiție primul termen cu 0\displaystyle 0 și al doilea cu x\displaystyle x.
    0∗x=0⋅x+1+x0+1\displaystyle 0*x=0\cdot\sqrt{x+1}+x\sqrt{0+1}
  4. Primul termen este 0\displaystyle 0, iar 0+1=1\displaystyle \sqrt{0+1}=1, deci 0∗x=x\displaystyle 0*x=x. Cum și x∗0=x\displaystyle x*0=x, obținem egalitatea cerută pentru orice x∈M\displaystyle x\in M.
    0∗x=0+x⋅1=x⇒x∗0=0∗x=x, pentru orice x∈M\displaystyle 0*x=0+x\cdot 1=x\Rightarrow x*0=0*x=x\text{, pentru orice }x\in M
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy+1+yx+1\displaystyle x*y=x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}.

Determinați x∈M\displaystyle x\in M pentru care (x2+2x)∗3=7\displaystyle (x^2+2x)*3=7.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm a=x2+2x\displaystyle a=x^2+2x. Pentru x∈M\displaystyle x\in M avem a≥0\displaystyle a\geq 0. Aplicăm definiția legii: a∗3=a3+1+3a+1\displaystyle a*3=a\sqrt{3+1}+3\sqrt{a+1}.
    (x2+2x)3+1+3x2+2x+1=7\displaystyle (x^2+2x)\sqrt{3+1}+3\sqrt{x^2+2x+1}=7
  2. Avem 3+1=4=2\displaystyle \sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2 și x2+2x+1=(x+1)2\displaystyle x^2+2x+1=(x+1)^2, deci ecuația devine 2(x2+2x)+3(x+1)2=7\displaystyle 2(x^2+2x)+3\sqrt{(x+1)^2}=7.
    2(x2+2x)+3(x+1)2=7\displaystyle 2(x^2+2x)+3\sqrt{(x+1)^2}=7
  3. Cum x≥0\displaystyle x\geq 0, avem x+1>0\displaystyle x+1>0, deci (x+1)2=x+1\displaystyle \sqrt{(x+1)^2}=x+1. Obținem 2x2+4x+3(x+1)=7\displaystyle 2x^2+4x+3(x+1)=7, adică 2x2+7x+3=7\displaystyle 2x^2+7x+3=7, deci 2x2+7x−4=0\displaystyle 2x^2+7x-4=0.
    2x2+7x−4=0\displaystyle 2x^2+7x-4=0
  4. Discriminantul este Δ=72−4⋅2⋅(−4)=49+32=81\displaystyle \Delta=7^2-4\cdot 2\cdot(-4)=49+32=81, deci x=−7±94\displaystyle x=\dfrac{-7\pm 9}{4}.
    x=−4 sau x=12\displaystyle x=-4\text{ sau }x=\frac{1}{2}
  5. Cum x∈M=[0,+∞)\displaystyle x\in M=[0,+\infty), soluția x=−4\displaystyle x=-4 nu convine, iar x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2} convine.
    x=−4, care nu convine, x=12, care convine\displaystyle x=-4\text{, care nu convine, }x=\frac{1}{2}\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=x\ln(x+1).

Arătați că f′(x)=ln⁡(x+1)+xx+1\displaystyle f'(x)=\ln(x+1)+\frac{x}{x+1}, x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că funcția f\displaystyle f este produsul a două funcții derivabile pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty): u(x)=x\displaystyle u(x)=x și v(x)=ln⁡(x+1)\displaystyle v(x)=\ln(x+1). Folosim formula de derivare a produsului: (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
    (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'
  2. Aplicăm formula pentru f(x)=xln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=x\ln(x+1) și obținem f′(x)=x′ln⁡(x+1)+x(ln⁡(x+1))′\displaystyle f'(x)=x'\ln(x+1)+x\left(\ln(x+1)\right)'.
    f′(x)=x′ln⁡(x+1)+x(ln⁡(x+1))′\displaystyle f'(x)=x'\ln(x+1)+x\left(\ln(x+1)\right)'
  3. Calculăm derivatele necesare: x′=1\displaystyle x'=1, iar (ln⁡(x+1))′=(x+1)′x+1=1x+1\displaystyle \left(\ln(x+1)\right)'=\dfrac{(x+1)'}{x+1}=\dfrac{1}{x+1}, pentru că (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1.
    x′=1, (ln⁡(x+1))′=1x+1\displaystyle x'=1\text{, }\left(\ln(x+1)\right)'=\frac{1}{x+1}
  4. Înlocuim aceste derivate în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x): f′(x)=1⋅ln⁡(x+1)+x⋅1x+1\displaystyle f'(x)=1\cdot\ln(x+1)+x\cdot\dfrac{1}{x+1}. Deci f′(x)=ln⁡(x+1)+xx+1\displaystyle f'(x)=\ln(x+1)+\dfrac{x}{x+1}, pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty).
    f′(x)=ln⁡(x+1)+xx+1, x∈(−1,+∞)\displaystyle f'(x)=\ln(x+1)+\frac{x}{x+1}\text{, }x\in(-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=x\ln(x+1).

Arătați că funcția f\displaystyle f este convexă.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata întâi a funcției f\displaystyle f pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty), folosind regula de derivare a produsului: (x)′=1\displaystyle (x)'=1 și (ln⁡(x+1))′=1x+1\displaystyle (\ln(x+1))'=\dfrac{1}{x+1}.
    f′(x)=ln⁡(x+1)+x⋅1x+1=ln⁡(x+1)+xx+1\displaystyle f'(x)=\ln(x+1)+x\cdot\dfrac{1}{x+1}=\ln(x+1)+\dfrac{x}{x+1}
  2. Derivăm încă o dată. Avem (ln⁡(x+1))′=1x+1\displaystyle (\ln(x+1))'=\dfrac{1}{x+1}, iar pentru fracție folosim regula câtului: (xx+1)′=1⋅(x+1)−x⋅1(x+1)2\displaystyle \left(\dfrac{x}{x+1}\right)'=\dfrac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^{2}}.
    f′′(x)=1x+1+(x+1)−x(x+1)2=1x+1+1(x+1)2\displaystyle f''(x)=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{(x+1)-x}{(x+1)^{2}}=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{(x+1)^{2}}
  3. Aducem fracțiile la același numitor, (x+1)2\displaystyle (x+1)^{2}, și adunăm: 1x+1=x+1(x+1)2\displaystyle \dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1}{(x+1)^{2}}, deci numărătorul este (x+1)+1=x+2\displaystyle (x+1)+1=x+2.
    f′′(x)=x+1(x+1)2+1(x+1)2=x+2(x+1)2, x∈(−1,+∞)\displaystyle f''(x)=\dfrac{x+1}{(x+1)^{2}}+\dfrac{1}{(x+1)^{2}}=\dfrac{x+2}{(x+1)^{2}}\text{, }x\in(-1,+\infty)
  4. Studiem semnul lui f′′\displaystyle f''. Pentru x>−1\displaystyle x>-1 avem x+2>1>0\displaystyle x+2>1>0, iar (x+1)2>0\displaystyle (x+1)^{2}>0 deoarece x+1≠0\displaystyle x+1\neq 0. Fracția este deci pozitivă pe tot domeniul, așadar f\displaystyle f este convexă.
    f′′(x)>0, pentru orice x∈(−1,+∞), deci funcția f este convexa˘\displaystyle f''(x)>0\text{, pentru orice }x\in(-1,+\infty)\text{, deci funcția }f\text{ este convexă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=x\ln(x+1). Se consideră funcția g:(−1,0]→R\displaystyle g:(-1,0]\to\mathbb{R}, g(x)=(x+1)x\displaystyle g(x)=(x+1)^x. Demonstrați că, dacă x1,x2∈(−1,0]\displaystyle x_1,x_2\in(-1,0] astfel încât x1≤x2\displaystyle x_1\leq x_2, atunci g(x1)≥g(x2)\displaystyle g(x_1)\geq g(x_2).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm f(x)=xln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=x\ln(x+1) cu regula produsului, pentru x>−1\displaystyle x>-1.
    f′(x)=ln⁡(x+1)+x⋅1x+1=ln⁡(x+1)+xx+1\displaystyle f'(x)=\ln(x+1)+x\cdot\frac{1}{x+1}=\ln(x+1)+\frac{x}{x+1}
  2. Dacă x∈(−1,0]\displaystyle x\in(-1,0], atunci x+1∈(0,1]\displaystyle x+1\in(0,1], iar funcția ln⁡\displaystyle \ln este crescătoare și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, deci ln⁡(x+1)≤0\displaystyle \ln(x+1)\leq 0.
    ln⁡(x+1)≤0\displaystyle \ln(x+1)\leq 0, ∀x∈(−1,0]\displaystyle \ \forall x\in(-1,0]
  3. Pentru x∈(−1,0]\displaystyle x\in(-1,0] avem x≤0\displaystyle x\leq 0 și x+1>0\displaystyle x+1>0, deci fracția xx+1\displaystyle \dfrac{x}{x+1} este negativă sau nulă.
    xx+1≤0\displaystyle \frac{x}{x+1}\leq 0, ∀x∈(−1,0]\displaystyle \ \forall x\in(-1,0]
  4. Suma a doi termeni ≤0\displaystyle \leq 0 este ≤0\displaystyle \leq 0, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\leq 0 pe (−1,0]\displaystyle (-1,0]. Rezultă că f\displaystyle f este descrescătoare pe (−1,0]\displaystyle (-1,0].
    f′(x)≤0 pe (−1,0]⇒f descresca˘toare pe (−1,0]\displaystyle f'(x)\leq 0\text{ pe }(-1,0]\Rightarrow f\text{ descrescătoare pe }(-1,0]
  5. Fie x1≤x2\displaystyle x_1\leq x_2 din (−1,0]\displaystyle (-1,0]. Cum f\displaystyle f este descrescătoare, f(x1)≥f(x2)\displaystyle f(x_1)\geq f(x_2), adică x1ln⁡(x1+1)≥x2ln⁡(x2+1)\displaystyle x_1\ln(x_1+1)\geq x_2\ln(x_2+1).
    x1ln⁡(x1+1)≥x2ln⁡(x2+1)\displaystyle x_1\ln(x_1+1)\geq x_2\ln(x_2+1)
  6. Folosind aln⁡b=ln⁡ba\displaystyle a\ln b=\ln b^{a}, inegalitatea devine o inegalitate între logaritmi.
    ln⁡((x1+1)x1)≥ln⁡((x2+1)x2)\displaystyle \ln\left((x_1+1)^{x_1}\right)\geq\ln\left((x_2+1)^{x_2}\right)
  7. Funcția ln⁡\displaystyle \ln este strict crescătoare pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci din inegalitatea logaritmilor rezultă inegalitatea argumentelor: (x1+1)x1≥(x2+1)x2\displaystyle (x_1+1)^{x_1}\geq(x_2+1)^{x_2}, adică g(x1)≥g(x2)\displaystyle g(x_1)\geq g(x_2).
    (x1+1)x1≥(x2+1)x2, adica˘ g(x1)≥g(x2)\displaystyle (x_1+1)^{x_1}\geq(x_2+1)^{x_2}\text{, adică }g(x_1)\geq g(x_2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:[0,1]→R\displaystyle f:[0,1]\to\mathbb{R}, f(x)=1−x3\displaystyle f(x)=1-x^3. Arătați că ∫01f(x) dx=34\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\frac{3}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=1−x3\displaystyle f(x)=1-x^{3} în integrala cerută.
    ∫01f(x) dx=∫01(1−x3)dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1\left(1-x^{3}\right)dx
  2. Integrăm termen cu termen: o primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, iar o primitivă a lui x3\displaystyle x^{3} este x44\displaystyle \dfrac{x^{4}}{4}. Aplicăm formula Leibniz-Newton pe [0,1]\displaystyle [0,1].
    ∫01(1−x3)dx=(x−x44)∣01\displaystyle \int_0^1\left(1-x^{3}\right)dx=\left(x-\frac{x^{4}}{4}\right)\Big|_0^1
  3. Calculăm primitiva în x=1\displaystyle x=1 și în x=0\displaystyle x=0 și facem diferența. În 0\displaystyle 0 valoarea este 0\displaystyle 0.
    (1−144)−(0−044)=1−14\displaystyle \left(1-\frac{1^{4}}{4}\right)-\left(0-\frac{0^{4}}{4}\right)=1-\frac{1}{4}
  4. Reducem la același numitor: 1−14=44−14\displaystyle 1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{4}-\dfrac{1}{4}. Am obținut valoarea cerută.
    ∫01f(x) dx=1−14=34\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:[0,1]→R\displaystyle f:[0,1]\to\mathbb{R}, f(x)=1−x3\displaystyle f(x)=1-x^3.

Arătați că ∫01x2(f(x))3dx=112\displaystyle \int_0^1 x^2\left(f(x)\right)^3dx=\frac{1}{12}.
Vezi rezolvarea
  1. Cum f(x)=1−x3\displaystyle f(x)=1-x^3, integrala devine ∫01x2(1−x3)3dx\displaystyle \int_0^1 x^2(1-x^3)^3dx.
    ∫01x2(f(x))3dx=∫01x2(1−x3)3dx\displaystyle \int_0^1 x^2\left(f(x)\right)^3dx=\int_0^1 x^2(1-x^3)^3dx
  2. Derivata lui 1−x3\displaystyle 1-x^3 este (1−x3)′=−3x2\displaystyle (1-x^3)'=-3x^2, deci x2=−13(1−x3)′\displaystyle x^2=-\dfrac{1}{3}(1-x^3)'.
    x2=−13(1−x3)′\displaystyle x^2=-\frac{1}{3}(1-x^3)'
  3. Înlocuim x2\displaystyle x^2 și scoatem constanta −13\displaystyle -\dfrac{1}{3} în fața integralei.
    −13∫01(1−x3)′(1−x3)3dx\displaystyle -\frac{1}{3}\int_0^1(1-x^3)'(1-x^3)^3dx
  4. Cum ∫u′u3dx=u44\displaystyle \int u'u^3dx=\dfrac{u^4}{4}, cu u=1−x3\displaystyle u=1-x^3 și factorul −13\displaystyle -\dfrac{1}{3} obținem primitiva −112(1−x3)4\displaystyle -\dfrac{1}{12}(1-x^3)^4, evaluată între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    −112(1−x3)4∣01\displaystyle -\frac{1}{12}(1-x^3)^4\Big|_0^1
  5. Pentru x=1\displaystyle x=1: −112⋅04=0\displaystyle -\dfrac{1}{12}\cdot 0^4=0. Pentru x=0\displaystyle x=0: −112⋅14=−112\displaystyle -\dfrac{1}{12}\cdot 1^4=-\dfrac{1}{12}. Deci rezultatul este 0−(−112)=112\displaystyle 0-\left(-\dfrac{1}{12}\right)=\dfrac{1}{12}.
    0−(−112)=112\displaystyle 0-\left(-\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{12}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:[0,1]→R\displaystyle f:[0,1]\to\mathbb{R}, f(x)=1−x3\displaystyle f(x)=1-x^3.

Demonstrați că ∫01(f(x))n+1dx≤∫01(f(x))ndx\displaystyle \int_0^1\left(f(x)\right)^{n+1}dx\leq\int_0^1\left(f(x)\right)^n dx, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Studiem semnul diferenței dintre cele două integrale. Scriem diferența și înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu 1−x3\displaystyle 1-x^3.
    ∫01(f(x))n+1dx−∫01(f(x))ndx=∫01(1−x3)n+1dx−∫01(1−x3)ndx\displaystyle \int_0^1 (f(x))^{n+1}dx-\int_0^1 (f(x))^n dx=\int_0^1 (1-x^3)^{n+1}dx-\int_0^1 (1-x^3)^n dx
  2. Folosim liniaritatea integralei și grupăm cele două integrale sub un singur semn de integrare, dând factor comun (1−x3)n\displaystyle (1-x^3)^n.
    ∫01[(1−x3)n+1−(1−x3)n]dx=∫01(1−x3)n[(1−x3)−1]dx\displaystyle \int_0^1 \left[(1-x^3)^{n+1}-(1-x^3)^n\right]dx=\int_0^1 (1-x^3)^n\left[(1-x^3)-1\right]dx
  3. Simplificăm paranteza dreaptă: (1−x3)−1=−x3\displaystyle (1-x^3)-1=-x^3. Obținem diferența sub forma cerută, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
    ∫01(f(x))n+1dx−∫01(f(x))ndx=−∫01x3(1−x3)ndx\displaystyle \int_0^1 (f(x))^{n+1}dx-\int_0^1 (f(x))^n dx=-\int_0^1 x^3(1-x^3)^n dx
  4. Stabilim semnul funcției de sub integrală. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem x3≥0\displaystyle x^3\geq 0 și x3≤1\displaystyle x^3\leq 1, deci 1−x3≥0\displaystyle 1-x^3\geq 0. Atunci (1−x3)n≥0\displaystyle (1-x^3)^n\geq 0 și produsul x3(1−x3)n≥0\displaystyle x^3(1-x^3)^n\geq 0 pe [0,1]\displaystyle [0,1].
    x3≥0 și 1−x3≥0, deci x3(1−x3)n≥0, pentru orice x∈[0,1]\displaystyle x^3\geq 0\text{ și }1-x^3\geq 0\text{, deci }x^3(1-x^3)^n\geq 0\text{, pentru orice }x\in[0,1]
  5. Integrala unei funcții pozitive pe [0,1]\displaystyle [0,1] este mai mare sau egală cu 0\displaystyle 0, deci −∫01x3(1−x3)ndx≤0\displaystyle -\int_0^1 x^3(1-x^3)^n dx\leq 0. Diferența celor două integrale este mai mică sau egală cu 0\displaystyle 0.
    ∫01(f(x))n+1dx−∫01(f(x))ndx≤0\displaystyle \int_0^1 (f(x))^{n+1}dx-\int_0^1 (f(x))^n dx\leq 0
  6. Trecem integrala scăzătorului în membrul drept și obținem inegalitatea cerută, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
    ∫01(f(x))n+1dx≤∫01(f(x))ndx\displaystyle \int_0^1 (f(x))^{n+1}dx\leq\int_0^1 (f(x))^n dx
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.