Bac matematică M2 științe ale naturii 2015, sesiunea a II-a varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați al doilea termen al progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}, știind că a1=1\displaystyle a_1=1 și rația r=2\displaystyle r=2.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică, fiecare termen se obține din cel precedent adăugând rația r\displaystyle r. Deci a2=a1+r\displaystyle a_2=a_1+r.
    a2=a1+r\displaystyle a_2=a_1+r
  2. Înlocuim valorile date, a1=1\displaystyle a_1=1 și r=2\displaystyle r=2: a2=1+2\displaystyle a_2=1+2.
    a2=1+2\displaystyle a_2=1+2
  3. Efectuăm adunarea: 1+2=3\displaystyle 1+2=3. Al doilea termen al progresiei este a2=3\displaystyle a_2=3.
    a2=3\displaystyle a_2=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că punctul A(m,0)\displaystyle A(m,0) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+1\displaystyle f(x)=x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Un punct (a,b)\displaystyle (a,b) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(a)=b\displaystyle f(a)=b. Pentru punctul A(m,0)\displaystyle A(m,0) condiția este f(m)=0\displaystyle f(m)=0.
    f(m)=0\displaystyle f(m)=0
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu m\displaystyle m în formula f(x)=x+1\displaystyle f(x)=x+1 și obținem f(m)=m+1\displaystyle f(m)=m+1. Condiția f(m)=0\displaystyle f(m)=0 devine m+1=0\displaystyle m+1=0.
    f(m)=0⇔m+1=0\displaystyle f(m)=0\Leftrightarrow m+1=0
  3. Rezolvăm ecuația scăzând 1\displaystyle 1 din ambii membri: m=−1\displaystyle m=-1. Verificare: f(−1)=−1+1=0\displaystyle f(-1)=-1+1=0, deci punctul A(−1,0)\displaystyle A(-1,0) aparține graficului.
    m=−1\displaystyle m=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x2+4)=log⁡28\displaystyle \log_2\left(x^2+4\right)=\log_2 8.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm condiția de existență a logaritmilor: argumentul trebuie să fie strict pozitiv. Expresia x2+4≥4\displaystyle x^{2}+4\geq 4 este pozitivă pentru orice x\displaystyle x real. Logaritmul din dreapta are argumentul 8>0\displaystyle 8>0. Deci ecuația are sens pe toată mulțimea numerelor reale.
    x2+4>0\displaystyle x^{2}+4>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Logaritmul în baza 2\displaystyle 2 este injectiv, deci din egalitatea logaritmilor rezultă egalitatea argumentelor: x2+4=8\displaystyle x^{2}+4=8. Scădem 4\displaystyle 4 din ambii membri și obținem x2=4\displaystyle x^{2}=4.
    x2+4=8⇔x2=4\displaystyle x^{2}+4=8\Leftrightarrow x^{2}=4
  3. Rezolvăm ecuația incompletă x2=4\displaystyle x^{2}=4: x=±4\displaystyle x=\pm\sqrt{4}, adică x=−2\displaystyle x=-2 sau x=2\displaystyle x=2. Cum ecuația are sens pentru orice x\displaystyle x real, ambele valori verifică ecuația.
    x1=−2 și x2=2, care verifica˘ ecuația\displaystyle x_1=-2\text{ și }x_2=2\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={1,2,3,4,5,6,7,8}\displaystyle M=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}, acesta să fie divizibil cu 3\displaystyle 3.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: mulțimea M={1,2,3,4,5,6,7,8}\displaystyle M=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} are 8\displaystyle 8 elemente, deci putem alege oricare dintre cele 8\displaystyle 8 numere.
    nr. cazuri posibile=8\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=8
  2. Căutăm elementele lui M\displaystyle M divizibile cu 3\displaystyle 3, adică multiplii lui 3\displaystyle 3 care sunt cel mult 8\displaystyle 8: 3\displaystyle 3 și 6\displaystyle 6. Numerele 9\displaystyle 9, 12\displaystyle 12 etc. nu sunt în M\displaystyle M.
    {3,6}\displaystyle \{3,6\}
  3. Numărăm cazurile favorabile: sunt două numere divizibile cu 3\displaystyle 3, anume 3\displaystyle 3 și 6\displaystyle 6.
    nr. cazuri favorabile=2\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=2
  4. Aplicăm definiția clasică a probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, apoi simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=28=14\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că vectorii u⃗=(a+1)i⃗+4j⃗\displaystyle \vec{u}=(a+1)\vec{i}+4\vec{j} și v⃗=i⃗+2j⃗\displaystyle \vec{v}=\vec{i}+2\vec{j} sunt coliniari.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coordonatele celor doi vectori: u⃗\displaystyle \vec{u} are coordonatele (a+1, 4)\displaystyle (a+1,\,4), iar v⃗\displaystyle \vec{v} are coordonatele (1, 2)\displaystyle (1,\,2).
    u⃗=(a+1, 4)\displaystyle \vec{u}=(a+1,\,4),v⃗=(1, 2)\displaystyle \quad \vec{v}=(1,\,2)
  2. Doi vectori sunt coliniari dacă coordonatele lor sunt proporționale, deci raportul coordonatelor de la i⃗\displaystyle \vec{i} este egal cu raportul coordonatelor de la j⃗\displaystyle \vec{j}.
    a+11=42\displaystyle \frac{a+1}{1}=\frac{4}{2}
  3. Simplificăm: 42=2\displaystyle \dfrac{4}{2}=2, deci a+1=2\displaystyle a+1=2.
    a+1=2\displaystyle a+1=2
  4. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri și obținem valoarea lui a\displaystyle a.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡2x=32\displaystyle \sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}, știind că sin⁡x=12\displaystyle \sin x=\frac{1}{2} și x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Folosim identitatea fundamentală sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 și înlocuim sin⁡x=12\displaystyle \sin x=\dfrac{1}{2}.
    cos⁡2x=1−(12)2=1−14=34\displaystyle \cos^{2}x=1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}
  2. Cum x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), avem cos⁡x>0\displaystyle \cos x>0, deci luăm rădăcina pozitivă din 34\displaystyle \dfrac{3}{4}.
    cos⁡x=32\displaystyle \cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  3. Aplicăm formula sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x și înlocuim sin⁡x=12\displaystyle \sin x=\dfrac{1}{2}, cos⁡x=32\displaystyle \cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Produsul 2⋅12\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2} este 1\displaystyle 1, deci rămâne 32\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}, adică exact ce trebuia arătat.
    sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x=2⋅12⋅32=32\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a3a−12)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 3\\ a-1 & 2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(2014)+A(2016)=2A(2015)\displaystyle A(2014)+A(2016)=2A(2015).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu 2014\displaystyle 2014 în matricea A(a)\displaystyle A(a). Elementele devin 2014\displaystyle 2014, 3\displaystyle 3, 2014−1=2013\displaystyle 2014-1=2013 și 2\displaystyle 2.
    A(2014)=(2014320132)\displaystyle A(2014)=\begin{pmatrix}2014 & 3\\ 2013 & 2\end{pmatrix}
  2. Înlocuim a\displaystyle a cu 2016\displaystyle 2016. Elementul din stânga jos este 2016−1=2015\displaystyle 2016-1=2015.
    A(2016)=(2016320152)\displaystyle A(2016)=\begin{pmatrix}2016 & 3\\ 2015 & 2\end{pmatrix}
  3. Înlocuim a\displaystyle a cu 2015\displaystyle 2015. Elementul din stânga jos este 2015−1=2014\displaystyle 2015-1=2014. Avem acum toate cele trei matrice scrise explicit.
    A(2015)=(2015320142)\displaystyle A(2015)=\begin{pmatrix}2015 & 3\\ 2014 & 2\end{pmatrix}
  4. Adunăm A(2014)\displaystyle A(2014) cu A(2016)\displaystyle A(2016) element cu element: 2014+2016=4030\displaystyle 2014+2016=4030, 3+3=6\displaystyle 3+3=6, 2013+2015=4028\displaystyle 2013+2015=4028, 2+2=4\displaystyle 2+2=4.
    A(2014)+A(2016)=(4030640284)\displaystyle A(2014)+A(2016)=\begin{pmatrix}4030 & 6\\ 4028 & 4\end{pmatrix}
  5. Scoatem factorul 2\displaystyle 2 din fiecare element al matricei obținute. Rezultă 2\displaystyle 2 ori matricea A(2015)\displaystyle A(2015), deci egalitatea este demonstrată.
    (4030640284)=2(2015320142)=2A(2015)\displaystyle \begin{pmatrix}4030 & 6\\ 4028 & 4\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}2015 & 3\\ 2014 & 2\end{pmatrix}=2A(2015)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a3a−12)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 3\\ a-1 & 2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a) folosind regula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(a))=∣a3a−12∣=a⋅2−3(a−1)\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}a & 3\\ a-1 & 2\end{vmatrix}=a\cdot 2-3(a-1).
    det⁡(A(a))=a⋅2−3(a−1)\displaystyle \det(A(a))=a\cdot 2-3(a-1)
  2. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: 2a−3a+3=3−a\displaystyle 2a-3a+3=3-a.
    det⁡(A(a))=2a−3a+3=3−a\displaystyle \det(A(a))=2a-3a+3=3-a
  3. Punem condiția det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0, adică 3−a=0\displaystyle 3-a=0.
    3−a=0\displaystyle 3-a=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: din 3−a=0\displaystyle 3-a=0 obținem a=3\displaystyle a=3.
    3−a=0⇔a=3\displaystyle 3-a=0\Leftrightarrow a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a3a−12)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 3\\ a-1 & 2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația det⁡(A(2)+xA(3))=0\displaystyle \det(A(2)+xA(3))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele A(2)\displaystyle A(2) și A(3)\displaystyle A(3) înlocuind pe a\displaystyle a cu 2\displaystyle 2, respectiv cu 3\displaystyle 3, în matricea A(a)\displaystyle A(a).
    A(2)=(2312)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & 2\end{pmatrix},A(3)=(3322)\displaystyle \quad A(3)=\begin{pmatrix}3 & 3\\ 2 & 2\end{pmatrix}
  2. Înmulțim matricea A(3)\displaystyle A(3) cu numărul x\displaystyle x, adică înmulțim fiecare element cu x\displaystyle x.
    xA(3)=(3x3x2x2x)\displaystyle xA(3)=\begin{pmatrix}3x & 3x\\ 2x & 2x\end{pmatrix}
  3. Adunăm matricele A(2)\displaystyle A(2) și xA(3)\displaystyle xA(3) element cu element.
    A(2)+xA(3)=(2+3x3+3x1+2x2+2x)\displaystyle A(2)+xA(3)=\begin{pmatrix}2+3x & 3+3x\\ 1+2x & 2+2x\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul ca diferență dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară, apoi reducem termenii asemenea: termenii în x2\displaystyle x^{2} se anulează.
    det⁡(A(2)+xA(3))=(2+3x)(2+2x)−(3+3x)(1+2x)=(6x2+10x+4)−(6x2+9x+3)=x+1\displaystyle \det(A(2)+xA(3))=(2+3x)(2+2x)-(3+3x)(1+2x)=(6x^{2}+10x+4)-(6x^{2}+9x+3)=x+1
  5. Egalăm determinantul cu 0\displaystyle 0 și rezolvăm ecuația liniară obținută: x+1=0\displaystyle x+1=0.
    x+1=0⇔x=−1\displaystyle x+1=0\Leftrightarrow x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=−xy−x−y−2\displaystyle x*y=-xy-x-y-2.

Arătați că (−1)∗1=−1\displaystyle (-1)*1=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii: x∗y=−xy−x−y−2\displaystyle x*y=-xy-x-y-2. Luăm x=−1\displaystyle x=-1 și y=1\displaystyle y=1.
    (−1)∗1=−(−1)⋅1−(−1)−1−2\displaystyle (-1)*1=-(-1)\cdot 1-(-1)-1-2
  2. Calculăm termenii: −(−1)⋅1=1\displaystyle -(-1)\cdot 1=1, −(−1)=1\displaystyle -(-1)=1, apoi rămân −1\displaystyle -1 și −2\displaystyle -2.
    1+1−1−2\displaystyle 1+1-1-2
  3. Efectuăm calculul: 1+1=2\displaystyle 1+1=2, apoi 2−1=1\displaystyle 2-1=1, apoi 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1. Am obținut egalitatea cerută.
    (−1)∗1=−1\displaystyle (-1)*1=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=−xy−x−y−2\displaystyle x*y=-xy-x-y-2.

Arătați că x∗y=−(x+1)(y+1)−1\displaystyle x*y=-(x+1)(y+1)-1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∗y=−xy−x−y−2\displaystyle x*y=-xy-x-y-2.
    x∗y=−xy−x−y−2\displaystyle x*y=-xy-x-y-2
  2. Descompunem termenul liber −2\displaystyle -2 ca −1−1\displaystyle -1-1, pentru a pregăti gruparea termenilor.
    x∗y=−xy−x−y−1−1\displaystyle x*y=-xy-x-y-1-1
  3. Grupăm primii doi termeni, −xy\displaystyle -xy și −x\displaystyle -x, și dăm factor comun pe −x\displaystyle -x. Obținem −x(y+1)\displaystyle -x(y+1). Apoi grupăm termenii −y\displaystyle -y și −1\displaystyle -1, care dau −(y+1)\displaystyle -(y+1).
    x∗y=−x(y+1)−(y+1)−1\displaystyle x*y=-x(y+1)-(y+1)-1
  4. Dăm factor comun pe y+1\displaystyle y+1 între primii doi termeni: −x(y+1)−(y+1)=−(x+1)(y+1)\displaystyle -x(y+1)-(y+1)=-(x+1)(y+1). Obținem forma cerută.
    x∗y=−(x+1)(y+1)−1\displaystyle x*y=-(x+1)(y+1)-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=−xy−x−y−2\displaystyle x*y=-xy-x-y-2.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (x+2)∗(2x−3)=5\displaystyle (x+2)*(2x-3)=5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată: observăm că −(x+1)(y+1)=−xy−x−y−1\displaystyle -(x+1)(y+1)=-xy-x-y-1, deci x∗y=−xy−x−y−2=−(x+1)(y+1)−1\displaystyle x*y=-xy-x-y-2=-(x+1)(y+1)-1.
    x∗y=−(x+1)(y+1)−1\displaystyle x*y=-(x+1)(y+1)-1
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu x+2\displaystyle x+2 și y\displaystyle y cu 2x−3\displaystyle 2x-3. Atunci (x+2)+1=x+3\displaystyle (x+2)+1=x+3 și (2x−3)+1=2x−2\displaystyle (2x-3)+1=2x-2.
    (x+2)∗(2x−3)=−(x+3)(2x−2)−1\displaystyle (x+2)*(2x-3)=-(x+3)(2x-2)-1
  3. Scriem ecuația: −(x+3)(2x−2)−1=5\displaystyle -(x+3)(2x-2)-1=5. Mutăm −1\displaystyle -1 în membrul drept și obținem −(x+3)(2x−2)=6\displaystyle -(x+3)(2x-2)=6, adică (x+3)(2x−2)=−6\displaystyle (x+3)(2x-2)=-6.
    (x+3)(2x−2)=−6\displaystyle (x+3)(2x-2)=-6
  4. Efectuăm produsul: (x+3)(2x−2)=2x2−2x+6x−6=2x2+4x−6\displaystyle (x+3)(2x-2)=2x^2-2x+6x-6=2x^2+4x-6. Egalăm cu −6\displaystyle -6, reducem termenii liberi și obținem 2x2+4x=0\displaystyle 2x^2+4x=0. Împărțind la 2\displaystyle 2, rezultă x2+2x=0\displaystyle x^2+2x=0.
    x2+2x=0\displaystyle x^2+2x=0
  5. Dăm factor comun pe x\displaystyle x: x(x+2)=0\displaystyle x(x+2)=0. Un produs este nul dacă un factor este nul, deci x=0\displaystyle x=0 sau x=−2\displaystyle x=-2. Ambele sunt numere reale, deci sunt soluții.
    x(x+2)=0⇔x1=−2 și x2=0\displaystyle x(x+2)=0\Leftrightarrow x_1=-2\text{ și }x_2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x4−8x2+16\displaystyle f(x)=x^4-8x^2+16.

Arătați că f′(x)=4x(x−2)(x+2)\displaystyle f'(x)=4x(x-2)(x+2), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen, folosind formula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^{n})'=n\cdot x^{n-1}, iar derivata unei constante este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=(x4)′−8(x2)′+(16)′\displaystyle f'(x)=(x^{4})'-8(x^{2})'+(16)'
  2. Calculăm fiecare derivată: (x4)′=4x3\displaystyle (x^{4})'=4x^{3}, (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x, (16)′=0\displaystyle (16)'=0. Obținem f′(x)=4x3−8⋅2x\displaystyle f'(x)=4x^{3}-8\cdot 2x.
    f′(x)=4x3−16x\displaystyle f'(x)=4x^{3}-16x
  3. Scoatem factor comun 4x\displaystyle 4x din cei doi termeni: 4x3=4x⋅x2\displaystyle 4x^{3}=4x\cdot x^{2} și 16x=4x⋅4\displaystyle 16x=4x\cdot 4.
    f′(x)=4x(x2−4)\displaystyle f'(x)=4x\left(x^{2}-4\right)
  4. Descompunem paranteza ca diferență de pătrate: x2−4=x2−22=(x−2)(x+2)\displaystyle x^{2}-4=x^{2}-2^{2}=(x-2)(x+2). Astfel obținem forma cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=4x(x−2)(x+2)\displaystyle f'(x)=4x(x-2)(x+2), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x4−8x2+16\displaystyle f(x)=x^4-8x^2+16.

Calculați lim⁡x→+∞f(x)−x4x2+1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-x^4}{x^2+1}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x4−8x2+16\displaystyle f(x)=x^4-8x^2+16 în numărătorul fracției: f(x)−x4=x4−8x2+16−x4\displaystyle f(x)-x^4=x^4-8x^2+16-x^4.
    f(x)−x4=x4−8x2+16−x4\displaystyle f(x)-x^4=x^4-8x^2+16-x^4
  2. Termenii x4\displaystyle x^4 și −x4\displaystyle -x^4 se reduc, deci f(x)−x4=−8x2+16\displaystyle f(x)-x^4=-8x^2+16. Limita devine o limită de raport de polinoame.
    lim⁡x→+∞f(x)−x4x2+1=lim⁡x→+∞−8x2+16x2+1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-x^4}{x^2+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-8x^2+16}{x^2+1}
  3. Numărătorul și numitorul au același grad, 2\displaystyle 2. Dăm factor comun x2\displaystyle x^2 la numărător și la numitor și simplificăm: −8x2+16x2+1=x2(−8+16x2)x2(1+1x2)\displaystyle \dfrac{-8x^2+16}{x^2+1}=\dfrac{x^2\left(-8+\dfrac{16}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)}.
    −8+16x21+1x2\displaystyle \frac{-8+\dfrac{16}{x^2}}{1+\dfrac{1}{x^2}}
  4. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, fracțiile 16x2\displaystyle \dfrac{16}{x^2} și 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^2} tind la 0\displaystyle 0. Obținem −8+01+0=−8\displaystyle \dfrac{-8+0}{1+0}=-8.
    lim⁡x→+∞f(x)−x4x2+1=−8\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-x^4}{x^2+1}=-8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x4−8x2+16\displaystyle f(x)=x^4-8x^2+16. Determinați coordonatele punctelor situate pe graficul funcției f\displaystyle f, în care tangenta la graficul funcției f\displaystyle f este paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Tangenta la grafic este paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox când panta ei este zero, adică derivata în punctul de tangență se anulează. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f.
    f′(x)=4x3−16x\displaystyle f'(x)=4x^{3}-16x
  2. Punem condiția f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 și o descompunem în factori: scoatem factor comun pe 4x\displaystyle 4x, apoi aplicăm diferența de pătrate x2−4=(x−2)(x+2)\displaystyle x^{2}-4=(x-2)(x+2).
    f′(x)=0⇔4x(x2−4)=0⇔x(x−2)(x+2)=0\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow 4x(x^{2}-4)=0\Leftrightarrow x(x-2)(x+2)=0
  3. Un produs este nul când cel puțin un factor este nul, deci obținem trei abscise.
    x1=−2\displaystyle x_1=-2, x2=0\displaystyle \ x_2=0, x3=2\displaystyle \ x_3=2
  4. Calculăm ordonatele punctelor, înlocuind fiecare abscisă în f\displaystyle f. Funcția f\displaystyle f este pară, deci f(−2)=f(2)\displaystyle f(-2)=f(2). Avem f(−2)=16−32+16=0\displaystyle f(-2)=16-32+16=0 și f(0)=16\displaystyle f(0)=16.
    f(±2)=0\displaystyle f(\pm 2)=0
  5. Punctele de pe grafic în care tangenta este paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox sunt cele de mai jos.
    x1=−2\displaystyle x_1=-2, y1=0; x2=0\displaystyle \ y_1=0;\ x_2=0, y2=16 și x3=2\displaystyle \ y_2=16\text{ și }x_3=2, y3=0\displaystyle \ y_3=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2x\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x}.

Arătați că ∫12xf(x) dx=72\displaystyle \int_1^2 x f(x)\,dx=\frac{7}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+2x\displaystyle f(x)=\dfrac{x+2}{x} în expresia de sub integrală. Pe [1,2]\displaystyle [1,2] avem x>0\displaystyle x>0, deci putem simplifica cu x\displaystyle x: xf(x)=x⋅x+2x=x+2\displaystyle x f(x)=x\cdot\dfrac{x+2}{x}=x+2.
    xf(x)=x+2\displaystyle x f(x)=x+2
  2. Integrala devine ∫12xf(x) dx=∫12(x+2) dx\displaystyle \displaystyle\int_1^2 x f(x)\,dx=\int_1^2 (x+2)\,dx.
    ∫12xf(x) dx=∫12(x+2) dx\displaystyle \int_1^2 x f(x)\,dx=\int_1^2 (x+2)\,dx
  3. O primitivă a funcției x+2\displaystyle x+2 este x22+2x\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}+2x, deoarece (x22)′=x\displaystyle \left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)'=x și (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫12(x+2) dx=(x22+2x)∣12\displaystyle \int_1^2 (x+2)\,dx=\left(\frac{x^{2}}{2}+2x\right)\Big|_1^2
  4. Pentru limita superioară x=2\displaystyle x=2 obținem 222+2⋅2=2+4=6\displaystyle \dfrac{2^{2}}{2}+2\cdot 2=2+4=6.
    222+2⋅2=6\displaystyle \frac{2^{2}}{2}+2\cdot 2=6
  5. Pentru limita inferioară x=1\displaystyle x=1 obținem 122+2⋅1=12+2=52\displaystyle \dfrac{1^{2}}{2}+2\cdot 1=\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{5}{2}.
    122+2⋅1=52\displaystyle \frac{1^{2}}{2}+2\cdot 1=\frac{5}{2}
  6. Scădem: 6−52=122−52=72\displaystyle 6-\dfrac{5}{2}=\dfrac{12}{2}-\dfrac{5}{2}=\dfrac{7}{2}, deci egalitatea cerută este adevărată.
    6−52=72\displaystyle 6-\frac{5}{2}=\frac{7}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2x\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x}.

Demonstrați că funcția F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=x+2ln⁡x+2015\displaystyle F(x)=x+2\ln x+2015 este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem definiția: F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) dacă F\displaystyle F este derivabilă și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty). Deci calculăm derivata lui F\displaystyle F.
    F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), ∀x∈(0,+∞)\displaystyle \ \forall x\in(0,+\infty)
  2. Derivăm F\displaystyle F termen cu termen: (x)′=1\displaystyle (x)'=1, (2ln⁡x)′=2x\displaystyle (2\ln x)'=\dfrac{2}{x}, iar (2015)′=0\displaystyle (2015)'=0.
    F′(x)=(x+2ln⁡x+2015)′=1+2x+0=1+2x\displaystyle F'(x)=(x+2\ln x+2015)'=1+\frac{2}{x}+0=1+\frac{2}{x}
  3. Aducem la același numitor: 1=xx\displaystyle 1=\dfrac{x}{x}, deci suma este x+2x\displaystyle \dfrac{x+2}{x}, adică exact f(x)\displaystyle f(x), pentru orice x>0\displaystyle x>0. Deci F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f.
    1+2x=x+2x=f(x), pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle 1+\frac{2}{x}=\frac{x+2}{x}=f(x)\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2x\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x}.

Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=(f(x)−1)ln⁡x\displaystyle g(x)=(f(x)-1)\ln x, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=1\displaystyle x=1 și x=e\displaystyle x=e are aria egală cu 1\displaystyle 1.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm expresia f(x)−1\displaystyle f(x)-1: cum f(x)=x+2x\displaystyle f(x)=\dfrac{x+2}{x}, avem f(x)−1=x+2x−1=2x\displaystyle f(x)-1=\dfrac{x+2}{x}-1=\dfrac{2}{x}. Rezultă g(x)=2xln⁡x\displaystyle g(x)=\dfrac{2}{x}\ln x.
    g(x)=2xln⁡x\displaystyle g(x)=\dfrac{2}{x}\ln x
  2. Studiem semnul lui g\displaystyle g pe [1,e]\displaystyle [1,e]: pentru x∈[1,e]\displaystyle x\in[1,e] avem ln⁡x≥0\displaystyle \ln x\ge 0 și 2x>0\displaystyle \dfrac{2}{x}>0, deci g(x)≥0\displaystyle g(x)\ge 0. Prin urmare ∣g(x)∣=g(x)\displaystyle |g(x)|=g(x).
    ∣g(x)∣=g(x)=2xln⁡x\displaystyle |g(x)|=g(x)=\dfrac{2}{x}\ln x, x∈[1,e]\displaystyle \ x\in[1,e]
  3. Aria este A=∫1e∣g(x)∣ dx=∫1e2xln⁡x dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^e|g(x)|\,dx=\int_1^e\dfrac{2}{x}\ln x\,dx. Observăm că (ln⁡2x)′=2ln⁡x⋅1x=2xln⁡x\displaystyle (\ln^2 x)'=2\ln x\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{x}\ln x, deci ln⁡2x\displaystyle \ln^2 x este o primitivă a lui g\displaystyle g. Atunci A=ln⁡2x∣1e\displaystyle \mathcal{A}=\ln^2 x\Big|_1^e.
    A=∫1e2xln⁡x dx=ln⁡2x∣1e\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^e\dfrac{2}{x}\ln x\,dx=\ln^2 x\Big|_1^e
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: A=ln⁡2e−ln⁡21\displaystyle \mathcal{A}=\ln^2 e-\ln^2 1. Cum ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, obținem A=12−02=1\displaystyle \mathcal{A}=1^2-0^2=1, ceea ce trebuia arătat.
    A=ln⁡2e−ln⁡21=1−0=1\displaystyle \mathcal{A}=\ln^2 e-\ln^2 1=1-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.