Bac matematică M2 științe ale naturii 2022, sesiunea a II-a varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că media aritmetică a numerelor a=20−21\displaystyle a=20-\sqrt{21} și b=22+21\displaystyle b=22+\sqrt{21} este egală cu 21\displaystyle 21.
Vezi rezolvarea
  1. Media aritmetică a numerelor a\displaystyle a și b\displaystyle b este ma=a+b2\displaystyle m_a=\dfrac{a+b}{2}.
    ma=a+b2\displaystyle m_a=\frac{a+b}{2}
  2. Înlocuim a=20−21\displaystyle a=20-\sqrt{21} și b=22+21\displaystyle b=22+\sqrt{21} în formulă.
    ma=20−21+22+212\displaystyle m_a=\frac{20-\sqrt{21}+22+\sqrt{21}}{2}
  3. Termenii −21\displaystyle -\sqrt{21} și +21\displaystyle +\sqrt{21} se reduc, iar 20+22=42\displaystyle 20+22=42.
    ma=422\displaystyle m_a=\frac{42}{2}
  4. Împărțim la 2\displaystyle 2: 422=21\displaystyle \dfrac{42}{2}=21, deci media aritmetică a numerelor este egală cu 21\displaystyle 21.
    ma=422=21\displaystyle m_a=\frac{42}{2}=21
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−1\displaystyle f(x)=x-1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=3−x\displaystyle g(x)=3-x. Arătați că f(a)+g(a)=2\displaystyle f(a)+g(a)=2, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle a în formula funcției f\displaystyle f și obținem f(a)=a−1\displaystyle f(a)=a-1.
    f(a)=a−1\displaystyle f(a)=a-1
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle a în formula funcției g\displaystyle g și obținem g(a)=3−a\displaystyle g(a)=3-a.
    g(a)=3−a\displaystyle g(a)=3-a
  3. Adunăm cele două expresii: f(a)+g(a)=a−1+3−a\displaystyle f(a)+g(a)=a-1+3-a. Termenii a\displaystyle a și −a\displaystyle -a se reduc, iar −1+3=2\displaystyle -1+3=2. Deci suma este 2\displaystyle 2 pentru orice număr real a\displaystyle a.
    f(a)+g(a)=a−1+3−a=2\displaystyle f(a)+g(a)=a-1+3-a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 7x−6=x\displaystyle \sqrt{7x-6}=x.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul este mereu mai mare sau egal cu zero, deci soluțiile trebuie să verifice 7x−6≥0\displaystyle 7x-6\ge 0 și x≥0\displaystyle x\ge 0. Din prima condiție rezultă x≥67\displaystyle x\ge \dfrac{6}{7}.
    x≥67\displaystyle x\ge \dfrac{6}{7}
  2. Ridicăm ecuația la pătrat: 7x−6=x2\displaystyle 7x-6=x^{2}. Mutăm toți termenii în stânga și obținem ecuația de gradul al doilea x2−7x+6=0\displaystyle x^{2}-7x+6=0.
    7x−6=x2⇒x2−7x+6=0\displaystyle 7x-6=x^{2}\Rightarrow x^{2}-7x+6=0
  3. Calculăm discriminantul: Δ=(−7)2−4⋅1⋅6=49−24=25\displaystyle \Delta=(-7)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=49-24=25, deci Δ=5\displaystyle \sqrt{\Delta}=5.
    Δ=25\displaystyle \Delta=25
  4. Aplicăm formula soluțiilor: x=7±52\displaystyle x=\dfrac{7\pm 5}{2}, deci x1=7−52=1\displaystyle x_{1}=\dfrac{7-5}{2}=1 și x2=7+52=6\displaystyle x_{2}=\dfrac{7+5}{2}=6.
    x1=1\displaystyle x_{1}=1, x2=6\displaystyle \ x_{2}=6
  5. Verificăm soluțiile în ecuația inițială. Pentru x=1\displaystyle x=1: 7⋅1−6=1=1\displaystyle \sqrt{7\cdot 1-6}=\sqrt{1}=1. Pentru x=6\displaystyle x=6: 7⋅6−6=36=6\displaystyle \sqrt{7\cdot 6-6}=\sqrt{36}=6. Ambele soluții convin și verifică x≥67\displaystyle x\ge \dfrac{6}{7}.
    x=1 sau x=6, care convin\displaystyle x=1\text{ sau }x=6\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, au cifrele elemente ale mulțimii {1,2,3,4}\displaystyle \{1,2,3,4\}.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul este par, deci cifra unităților trebuie să fie pară. Dintre elementele mulțimii {1,2,3,4}\displaystyle \{1,2,3,4\}, cifrele pare sunt 2\displaystyle 2 și 4\displaystyle 4, deci cifra unităților se poate alege în 2\displaystyle 2 moduri.
    2\displaystyle 2
  2. Cifra zecilor poate fi oricare dintre cele 4\displaystyle 4 elemente ale mulțimii, fără nicio restricție (cifrele pot să se repete, iar niciuna nu este 0\displaystyle 0). Deci cifra zecilor se alege în 4\displaystyle 4 moduri.
    4\displaystyle 4
  3. Aplicăm regula produsului: numărul de moduri de a alege cifra unităților se înmulțește cu numărul de moduri de a alege cifra zecilor. Rezultă 8\displaystyle 8 numere: 12,14,22,24,32,34,42,44\displaystyle 12, 14, 22, 24, 32, 34, 42, 44.
    2⋅4=8\displaystyle 2\cdot 4=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(6,0)\displaystyle A(6,0) și B(6,6)\displaystyle B(6,6). Arătați că triunghiul AOM\displaystyle AOM este isoscel, unde punctul M\displaystyle M este mijlocul segmentului OB\displaystyle OB.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul M\displaystyle M este mijlocul segmentului OB\displaystyle OB, cu O(0,0)\displaystyle O(0,0) și B(6,6)\displaystyle B(6,6). Coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor: xM=0+62\displaystyle x_M=\dfrac{0+6}{2}, yM=0+62\displaystyle y_M=\dfrac{0+6}{2}.
    M(3,3)\displaystyle M(3,3)
  2. Pentru a arăta că triunghiul AOM\displaystyle AOM este isoscel, calculăm OM\displaystyle OM și AM\displaystyle AM cu formula distanței dintre două puncte. Mai întâi OM=(3−0)2+(3−0)2=9+9=18\displaystyle OM=\sqrt{(3-0)^{2}+(3-0)^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}.
    OM=18=32\displaystyle OM=\sqrt{18}=3\sqrt{2}
  3. Calculăm AM=(3−6)2+(3−0)2=9+9=18=32\displaystyle AM=\sqrt{(3-6)^{2}+(3-0)^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}. Deoarece OM=AM\displaystyle OM=AM, triunghiul AOM\displaystyle AOM este isoscel, cu baza OA\displaystyle OA.
    OM=32\displaystyle OM=3\sqrt{2}, AM=32⇒OM=AM\displaystyle \ AM=3\sqrt{2}\Rightarrow OM=AM
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, astfel încât AC=4\displaystyle AC=4 și măsura unghiului B\displaystyle B este egală cu 60∘\displaystyle 60^\circ. Arătați că înălțimea din vârful A\displaystyle A a triunghiului ABC\displaystyle ABC are lungimea egală cu 2\displaystyle 2.
Vezi rezolvarea
  1. În triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC avem m(∠B)+m(∠C)=90∘\displaystyle m(\angle B)+m(\angle C)=90^\circ. Cum m(∠B)=60∘\displaystyle m(\angle B)=60^\circ, obținem m(∠ACB)=90∘−60∘=30∘\displaystyle m(\angle ACB)=90^\circ-60^\circ=30^\circ.
    m(∠ACB)=30∘\displaystyle m(\angle ACB)=30^\circ
  2. Fie D\displaystyle D piciorul înălțimii din A\displaystyle A pe BC\displaystyle BC, deci AD⊥BC\displaystyle AD\perp BC. Triunghiul ADC\displaystyle ADC este dreptunghic în D\displaystyle D, cu ipotenuza AC=4\displaystyle AC=4 și m(∠ACD)=30∘\displaystyle m(\angle ACD)=30^\circ.
    △ADC: ∠D=90∘\displaystyle \triangle ADC:\ \angle D=90^\circ, ∠C=30∘\displaystyle \ \angle C=30^\circ, AC=4\displaystyle \ AC=4
  3. Cateta AD\displaystyle AD este opusă unghiului de 30∘\displaystyle 30^\circ, deci este jumătate din ipotenuza AC\displaystyle AC: AD=AC2=42=2\displaystyle AD=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{4}{2}=2.
    AD=AC2=2\displaystyle AD=\frac{AC}{2}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(1−xxx+1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&-x\\x&x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=3\displaystyle \det(A(1))=3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în matricea A(x)=(1−xxx+1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&-x\\x&x+1\end{pmatrix}. Prima linie devine 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1, iar a doua linie devine 1\displaystyle 1 și 1+1=2\displaystyle 1+1=2.
    A(1)=(1−112)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc.
    det⁡(A(1))=1⋅2−(−1)⋅1\displaystyle \det(A(1))=1\cdot 2-(-1)\cdot 1
  3. Calculăm produsele: 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2, iar (−1)⋅1=−1\displaystyle (-1)\cdot 1=-1. Scăderea unui număr negativ revine la adunare, deci obținem 2−(−1)=2+1=3\displaystyle 2-(-1)=2+1=3.
    det⁡(A(1))=2+1=3\displaystyle \det(A(1))=2+1=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(1−xxx+1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&-x\\x&x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A(−1)⋅A(2)−A(−1)=2I2\displaystyle A(-1)\cdot A(2)-A(-1)=2I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea A(−1)\displaystyle A(-1), înlocuind x=−1\displaystyle x=-1 în A(x)\displaystyle A(x): −x=1\displaystyle -x=1, x=−1\displaystyle x=-1, x+1=0\displaystyle x+1=0.
    A(−1)=(11−10)\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm matricea A(2)\displaystyle A(2), înlocuind x=2\displaystyle x=2 în A(x)\displaystyle A(x): −x=−2\displaystyle -x=-2, x=2\displaystyle x=2, x+1=3\displaystyle x+1=3.
    A(2)=(1−223)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1&-2\\2&3\end{pmatrix}
  3. Calculăm produsul A(−1)⋅A(2)\displaystyle A(-1)\cdot A(2), înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua: prima linie dă 1⋅1+1⋅2=3\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 2=3 și 1⋅(−2)+1⋅3=1\displaystyle 1\cdot(-2)+1\cdot 3=1, a doua linie dă −1⋅1+0⋅2=−1\displaystyle -1\cdot 1+0\cdot 2=-1 și (−1)⋅(−2)+0⋅3=2\displaystyle (-1)\cdot(-2)+0\cdot 3=2.
    A(−1)⋅A(2)=(31−12)\displaystyle A(-1)\cdot A(2)=\begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}
  4. Scriem diferența cerută, scăzând A(−1)\displaystyle A(-1) din produsul obținut.
    A(−1)⋅A(2)−A(−1)=(31−12)−(11−10)\displaystyle A(-1)\cdot A(2)-A(-1)=\begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}
  5. Scădem element cu element: 3−1=2\displaystyle 3-1=2, 1−1=0\displaystyle 1-1=0, −1−(−1)=0\displaystyle -1-(-1)=0, 2−0=2\displaystyle 2-0=2. Rezultatul este de două ori matricea unitate, deci egalitatea este demonstrată.
    (2002)=2I2\displaystyle \begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=2I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(1−xxx+1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&-x\\x&x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care A(x)⋅A(−x)+xA(x)=3I2\displaystyle A(x)\cdot A(-x)+xA(x)=3I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(−x)\displaystyle A(-x), înlocuind x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x în A(x)\displaystyle A(x).
    A(−x)=(1x−x1−x)\displaystyle A(-x)=\begin{pmatrix}1&x\\-x&1-x\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(x)⋅A(−x)\displaystyle A(x)\cdot A(-x), linie cu coloană. Elementele sunt: 1+x2\displaystyle 1+x^{2}, x−x(1−x)=x2\displaystyle x-x(1-x)=x^{2}, x−(x+1)x=−x2\displaystyle x-(x+1)x=-x^{2} și x2+(x+1)(1−x)=1\displaystyle x^{2}+(x+1)(1-x)=1.
    A(x)⋅A(−x)=(1+x2x2−x21)\displaystyle A(x)\cdot A(-x)=\begin{pmatrix}1+x^{2}&x^{2}\\-x^{2}&1\end{pmatrix}
  3. Înmulțim matricea A(x)\displaystyle A(x) cu scalarul x\displaystyle x, adică fiecare element al ei cu x\displaystyle x.
    xA(x)=(x−x2x2x2+x)\displaystyle xA(x)=\begin{pmatrix}x&-x^{2}\\x^{2}&x^{2}+x\end{pmatrix}
  4. Adunăm cele două matrice element cu element. Elementele din afara diagonalei se anulează, iar pe diagonală obținem x2+x+1\displaystyle x^{2}+x+1. Deci suma este (x2+x+1)I2\displaystyle (x^{2}+x+1)I_2.
    A(x)⋅A(−x)+xA(x)=(x2+x+100x2+x+1)=(x2+x+1)I2\displaystyle A(x)\cdot A(-x)+xA(x)=\begin{pmatrix}x^{2}+x+1&0\\0&x^{2}+x+1\end{pmatrix}=(x^{2}+x+1)I_2
  5. Egalăm cu 3I2\displaystyle 3I_2. Cele două matrice sunt multipli ai lui I2\displaystyle I_2, deci egalitatea revine la x2+x+1=3\displaystyle x^{2}+x+1=3, adică x2+x−2=0\displaystyle x^{2}+x-2=0.
    x2+x−2=0\displaystyle x^{2}+x-2=0
  6. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=1+8=9\displaystyle \Delta=1+8=9, deci x=−1±32\displaystyle x=\dfrac{-1\pm 3}{2}. Altfel, descompunem: (x−1)(x+2)=0\displaystyle (x-1)(x+2)=0.
    x=−2 sau x=1\displaystyle x=-2\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=4(xy+1)−3(x+y)\displaystyle x\circ y=4(xy+1)-3(x+y).

Arătați că 1∘2=3\displaystyle 1\circ 2=3.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∘y=4(xy+1)−3(x+y)\displaystyle x\circ y=4(xy+1)-3(x+y). Luăm x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2.
    1∘2=4(1⋅2+1)−3(1+2)\displaystyle 1\circ 2=4(1\cdot 2+1)-3(1+2)
  2. Calculăm parantezele: 1⋅2+1=3\displaystyle 1\cdot 2+1=3 și 1+2=3\displaystyle 1+2=3.
    4⋅3−3⋅3\displaystyle 4\cdot 3-3\cdot 3
  3. Efectuăm înmulțirile și scădem: 4⋅3=12\displaystyle 4\cdot 3=12, 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9, deci 12−9=3\displaystyle 12-9=3. Așadar 1∘2=3\displaystyle 1\circ 2=3.
    12−9=3\displaystyle 12-9=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=4(xy+1)−3(x+y)\displaystyle x\circ y=4(xy+1)-3(x+y).

Arătați că, dacă a∘3=4\displaystyle a\circ 3=4, atunci a∘(−a)=0\displaystyle a\circ(-a)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm a∘3\displaystyle a\circ 3 folosind definiția legii x∘y=4(xy+1)−3(x+y)\displaystyle x\circ y=4(xy+1)-3(x+y), cu x=a\displaystyle x=a și y=3\displaystyle y=3.
    a∘3=4(3a+1)−3(a+3)\displaystyle a\circ 3=4(3a+1)-3(a+3)
  2. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: 12a+4−3a−9\displaystyle 12a+4-3a-9.
    a∘3=12a+4−3a−9=9a−5\displaystyle a\circ 3=12a+4-3a-9=9a-5
  3. Din condiția a∘3=4\displaystyle a\circ 3=4 obținem ecuația 9a−5=4\displaystyle 9a-5=4, deci 9a=9\displaystyle 9a=9.
    9a−5=4⇒a=1\displaystyle 9a-5=4\Rightarrow a=1
  4. Pentru a=1\displaystyle a=1, expresia a∘(−a)\displaystyle a\circ(-a) devine 1∘(−1)\displaystyle 1\circ(-1). Înlocuim în definiție x=1\displaystyle x=1 și y=−1\displaystyle y=-1.
    1∘(−1)=4(1⋅(−1)+1)−3(1+(−1))\displaystyle 1\circ(-1)=4\left(1\cdot(-1)+1\right)-3\left(1+(-1)\right)
  5. Ambele paranteze sunt egale cu 0\displaystyle 0, deoarece −1+1=0\displaystyle -1+1=0 și 1−1=0\displaystyle 1-1=0. Deci a∘(−a)=0\displaystyle a\circ(-a)=0, ceea ce trebuia demonstrat.
    a∘(−a)=1∘(−1)=4⋅0−3⋅0=0\displaystyle a\circ(-a)=1\circ(-1)=4\cdot 0-3\cdot 0=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=4(xy+1)−3(x+y)\displaystyle x\circ y=4(xy+1)-3(x+y).

Determinați valorile reale ale lui x\displaystyle x pentru care (x∘1)∘(x−1)≤4\displaystyle (x\circ 1)\circ(x-1)\le 4.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∘1\displaystyle x\circ 1 înlocuind y=1\displaystyle y=1 în definiția legii: x∘1=4(x⋅1+1)−3(x+1)=4(x+1)−3(x+1)\displaystyle x\circ 1=4(x\cdot 1+1)-3(x+1)=4(x+1)-3(x+1). Rezultă x∘1=x+1\displaystyle x\circ 1=x+1.
    x∘1=x+1\displaystyle x\circ 1=x+1
  2. Calculăm (x+1)∘(x−1)=4((x+1)(x−1)+1)−3((x+1)+(x−1))\displaystyle (x+1)\circ(x-1)=4\big((x+1)(x-1)+1\big)-3\big((x+1)+(x-1)\big). Avem (x+1)(x−1)=x2−1\displaystyle (x+1)(x-1)=x^{2}-1 și (x+1)+(x−1)=2x\displaystyle (x+1)+(x-1)=2x, deci expresia devine 4(x2−1+1)−3⋅2x=4x2−6x\displaystyle 4(x^{2}-1+1)-3\cdot 2x=4x^{2}-6x.
    (x∘1)∘(x−1)=4x2−6x\displaystyle (x\circ 1)\circ(x-1)=4x^{2}-6x
  3. Inecuația (x∘1)∘(x−1)≤4\displaystyle (x\circ 1)\circ(x-1)\le 4 devine 4x2−6x≤4\displaystyle 4x^{2}-6x\le 4, adică 4x2−6x−4≤0\displaystyle 4x^{2}-6x-4\le 0. Împărțim cu 2>0\displaystyle 2>0 și obținem 2x2−3x−2≤0\displaystyle 2x^{2}-3x-2\le 0.
    2x2−3x−2≤0\displaystyle 2x^{2}-3x-2\le 0
  4. Rezolvăm ecuația 2x2−3x−2=0\displaystyle 2x^{2}-3x-2=0. Discriminantul este Δ=9+16=25\displaystyle \Delta=9+16=25, deci x=3±54\displaystyle x=\dfrac{3\pm 5}{4}. Rădăcinile sunt x1=−12\displaystyle x_1=-\dfrac{1}{2} și x2=2\displaystyle x_2=2.
    x1=−12\displaystyle x_1=-\frac{1}{2}, x2=2\displaystyle \ x_2=2
  5. Coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} este 2>0\displaystyle 2>0, deci trinomul este negativ sau zero între rădăcini, rădăcinile incluse. Prin urmare x∈[−12,2]\displaystyle x\in\left[-\dfrac{1}{2},2\right].
    x∈[−12,2]\displaystyle x\in\left[-\frac{1}{2},2\right]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x2+x+3−5ln⁡x\displaystyle f(x)=2x^2+x+3-5\ln x.

Arătați că f′(x)=(x−1)(4x+5)x\displaystyle f'(x)=\frac{(x-1)(4x+5)}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm termen cu termen funcția f(x)=2x2+x+3−5ln⁡x\displaystyle f(x)=2x^2+x+3-5\ln x. Avem (2x2)′=4x\displaystyle (2x^2)'=4x, (x)′=1\displaystyle (x)'=1, (3)′=0\displaystyle (3)'=0 și (−5ln⁡x)′=−5x\displaystyle (-5\ln x)'=-\dfrac{5}{x}.
    f′(x)=4x+1−5x\displaystyle f'(x)=4x+1-\frac{5}{x}
  2. Aducem toți termenii la numitorul comun x\displaystyle x: 4x+1=(4x+1)⋅xx=4x2+xx\displaystyle 4x+1=\dfrac{(4x+1)\cdot x}{x}=\dfrac{4x^2+x}{x}, deci scădem fracția 5x\displaystyle \dfrac{5}{x}.
    f′(x)=4x2+x−5x\displaystyle f'(x)=\frac{4x^2+x-5}{x}
  3. Descompunem numărătorul în factori. Observăm că x=1\displaystyle x=1 este rădăcină, deoarece 4+1−5=0\displaystyle 4+1-5=0, deci x−1\displaystyle x-1 este factor. Avem 4x2+x−5=(x−1)(4x+5)\displaystyle 4x^2+x-5=(x-1)(4x+5). Verificăm: (x−1)(4x+5)=4x2+5x−4x−5=4x2+x−5\displaystyle (x-1)(4x+5)=4x^2+5x-4x-5=4x^2+x-5.
    4x2+x−5=(x−1)(4x+5)\displaystyle 4x^2+x-5=(x-1)(4x+5)
  4. Înlocuim numărătorul descompus în fracție și obținem forma cerută, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=4x2+x−5x=(x−1)(4x+5)x, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=\frac{4x^2+x-5}{x}=\frac{(x-1)(4x+5)}{x}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x2+x+3−5ln⁡x\displaystyle f(x)=2x^2+x+3-5\ln x.

Arătați că lim⁡x→+∞f(x)+5ln⁡x3−x−x2=−2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)+5\ln x}{3-x-x^2}=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=2x2+x+3−5ln⁡x\displaystyle f(x)=2x^2+x+3-5\ln x în numărător: f(x)+5ln⁡x=2x2+x+3−5ln⁡x+5ln⁡x\displaystyle f(x)+5\ln x=2x^2+x+3-5\ln x+5\ln x. Logaritmii se reduc și rămâne 2x2+x+3\displaystyle 2x^2+x+3.
    f(x)+5ln⁡x=2x2+x+3\displaystyle f(x)+5\ln x=2x^2+x+3
  2. Limita devine lim⁡x→+∞2x2+x+33−x−x2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^2+x+3}{3-x-x^2}. Numărătorul tinde la +∞\displaystyle +\infty, iar numitorul la −∞\displaystyle -\infty, deci avem o nedeterminare de tip ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}.
    lim⁡x→+∞2x2+x+33−x−x2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2+x+3}{3-x-x^2}
  3. Dăm factor comun x2\displaystyle x^2 la numărător și la numitor: 2x2+x+3=x2(2+1x+3x2)\displaystyle 2x^2+x+3=x^2\left(2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x^2}\right) și 3−x−x2=x2(3x2−1x−1)\displaystyle 3-x-x^2=x^2\left(\dfrac{3}{x^2}-\dfrac{1}{x}-1\right).
    lim⁡x→+∞x2(2+1x+3x2)x2(3x2−1x−1)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\left(2+\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}{x^2\left(\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x}-1\right)}
  4. Simplificăm cu x2\displaystyle x^2. Deoarece 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0 și 3x2→0\displaystyle \dfrac{3}{x^2}\to 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, numărătorul tinde la 2\displaystyle 2, iar numitorul tinde la −1\displaystyle -1.
    lim⁡x→+∞2+1x+3x23x2−1x−1=2+0+00−0−1=−2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2+\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}}{\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x}-1}=\frac{2+0+0}{0-0-1}=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x2+x+3−5ln⁡x\displaystyle f(x)=2x^2+x+3-5\ln x.

Demonstrați că 2x2+x≥3+5ln⁡x\displaystyle 2x^2+x\ge 3+5\ln x, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Inegalitatea de demonstrat se scrie echivalent cu f(x)≥6\displaystyle f(x)\ge 6: mutăm 3\displaystyle 3 și 5ln⁡x\displaystyle 5\ln x în partea stângă și obținem 2x2+x+3−5ln⁡x≥6\displaystyle 2x^2+x+3-5\ln x\ge 6. Deci este suficient să arătăm că valoarea minimă a lui f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) este cel puțin 6\displaystyle 6.
    f(x)≥6 pentru orice x>0\displaystyle f(x)\ge 6\text{ pentru orice }x>0
  2. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), folosind derivata lui x2\displaystyle x^2, a lui x\displaystyle x, a constantei și a lui ln⁡x\displaystyle \ln x, care este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}.
    f′(x)=4x+1−5x\displaystyle f'(x)=4x+1-\dfrac{5}{x}
  3. Aducem la același numitor și descompunem numărătorul în factori. Numărătorul 4x2+x−5\displaystyle 4x^2+x-5 se anulează pentru x=1\displaystyle x=1, deci se împarte la x−1\displaystyle x-1.
    f′(x)=4x2+x−5x=(x−1)(4x+5)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x^2+x-5}{x}=\dfrac{(x-1)(4x+5)}{x}
  4. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x>0\displaystyle x>0 și 4x+5>0\displaystyle 4x+5>0, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este semnul lui x−1\displaystyle x-1. Rezultă f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 doar pentru x=1\displaystyle x=1, f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0 pe (0,1]\displaystyle (0,1] (f\displaystyle f descrescătoare) și f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0 pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty) (f\displaystyle f crescătoare). Deci x=1\displaystyle x=1 este punct de minim și f(x)≥f(1)\displaystyle f(x)\ge f(1) pentru orice x>0\displaystyle x>0.
    f′(x)=0⇒x=1; f′(x)≤0 pe (0,1]\displaystyle f'(x)=0\Rightarrow x=1;\ f'(x)\le 0\text{ pe }(0,1], f′(x)≥0 pe [1,+∞)⇒f(x)≥f(1)\displaystyle \ f'(x)\ge 0\text{ pe }[1,+\infty)\Rightarrow f(x)\ge f(1)
  5. Calculăm valoarea minimă: f(1)=2+1+3−5ln⁡1=6\displaystyle f(1)=2+1+3-5\ln 1=6, deoarece ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0. Atunci f(x)≥6\displaystyle f(x)\ge 6, adică 2x2+x+3−5ln⁡x≥6\displaystyle 2x^2+x+3-5\ln x\ge 6. Scăzând 3\displaystyle 3 din ambii membri și mutând 5ln⁡x\displaystyle 5\ln x în dreapta, obținem 2x2+x≥3+5ln⁡x\displaystyle 2x^2+x\ge 3+5\ln x pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f(1)=6, deci 2x2+x+3−5ln⁡x≥6, de unde 2x2+x≥3+5ln⁡x\displaystyle f(1)=6\text{, deci }2x^2+x+3-5\ln x\ge 6\text{, de unde }2x^2+x\ge 3+5\ln x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(3−2x)ex\displaystyle f(x)=(3-2x)e^x.

Arătați că ∫01f(x)ex dx=2\displaystyle \int_0^1\frac{f(x)}{e^x}\,dx=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=(3−2x)ex\displaystyle f(x)=(3-2x)e^x în integrala din enunț.
    ∫01(3−2x)exex dx\displaystyle \int_0^1\frac{(3-2x)e^x}{e^x}\,dx
  2. Simplificăm prin ex\displaystyle e^x, care este diferit de zero pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, și rămâne o funcție polinomială.
    ∫01(3−2x) dx\displaystyle \int_0^1(3-2x)\,dx
  3. Integrăm termen cu termen: o primitivă a lui 3\displaystyle 3 este 3x\displaystyle 3x, iar o primitivă a lui 2x\displaystyle 2x este 2⋅x22\displaystyle 2\cdot\dfrac{x^2}{2}. Aplicăm formula Leibniz-Newton pe [0,1]\displaystyle [0,1].
    ∫01(3−2x) dx=(3x−2⋅x22)∣01\displaystyle \int_0^1(3-2x)\,dx=\left(3x-2\cdot\frac{x^2}{2}\right)\Big|_0^1
  4. Primitiva se simplifică la 3x−x2\displaystyle 3x-x^2. În x=1\displaystyle x=1 obținem 3−1\displaystyle 3-1, iar în x=0\displaystyle x=0 obținem 0\displaystyle 0, deci diferența este 3−1=2\displaystyle 3-1=2, ceea ce trebuia arătat.
    (3⋅1−12)−(3⋅0−02)=3−1=2\displaystyle (3\cdot 1-1^2)-(3\cdot 0-0^2)=3-1=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(3−2x)ex\displaystyle f(x)=(3-2x)e^x. Arătați că ∫02f(x) dx=e2−5\displaystyle \int_0^2 f(x)\,dx=e^2-5.
Vezi rezolvarea
  1. Avem de calculat ∫02f(x) dx\displaystyle \int_0^2 f(x)\,dx, unde f(x)=(3−2x)ex\displaystyle f(x)=(3-2x)e^x.
    ∫02(3−2x)ex dx\displaystyle \int_0^2(3-2x)e^x\,dx
  2. Alegem u=3−2x\displaystyle u=3-2x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx. Atunci du=−2 dx\displaystyle du=-2\,dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    u=3−2x\displaystyle u=3-2x
  3. Aplicăm formula ∫abuv′ dx=uv∣ab−∫abu′v dx\displaystyle \int_a^b uv'\,dx=uv\Big|_a^b-\int_a^b u'v\,dx. Cum u′=−2\displaystyle u'=-2, obținem −∫02(−2)ex dx=+2∫02ex dx\displaystyle -\int_0^2(-2)e^x\,dx=+2\int_0^2 e^x\,dx.
    ∫02(3−2x)ex dx=(3−2x)ex∣02+2ex∣02\displaystyle \int_0^2(3-2x)e^x\,dx=(3-2x)e^x\Big|_0^2+2e^x\Big|_0^2
  4. Pentru primul termen: (3−2⋅2)e2−(3−0)e0=−e2−3\displaystyle (3-2\cdot 2)e^2-(3-0)e^0=-e^2-3.
    (3−2x)ex∣02=−e2−3\displaystyle (3-2x)e^x\Big|_0^2=-e^2-3
  5. Pentru al doilea termen: 2ex∣02=2e2−2e0=2e2−2\displaystyle 2e^x\Big|_0^2=2e^2-2e^0=2e^2-2.
    2ex∣02=2e2−2\displaystyle 2e^x\Big|_0^2=2e^2-2
  6. Adunăm: −e2−3+2e2−2=e2−5\displaystyle -e^2-3+2e^2-2=e^2-5. Deci ∫02f(x) dx=e2−5\displaystyle \int_0^2 f(x)\,dx=e^2-5, ceea ce trebuia arătat.
    −e2−3+2e2−2=e2−5\displaystyle -e^2-3+2e^2-2=e^2-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(3−2x)ex\displaystyle f(x)=(3-2x)e^x.

Determinați a∈(−∞,1)\displaystyle a\in(-\infty,1) pentru care ∫a1e3xf3(x) dx=29\displaystyle \int_a^1\frac{e^{3x}}{f^3(x)}\,dx=\frac{2}{9}.
Vezi rezolvarea
  1. Avem f3(x)=(3−2x)3e3x\displaystyle f^3(x)=(3-2x)^3e^{3x}. Simplificăm prin e3x\displaystyle e^{3x} și obținem e3xf3(x)=1(3−2x)3\displaystyle \dfrac{e^{3x}}{f^3(x)}=\dfrac{1}{(3-2x)^3}, deci integrala este ∫a11(3−2x)3 dx\displaystyle \displaystyle\int_a^1\dfrac{1}{(3-2x)^3}\,dx.
    ∫a1e3xf3(x) dx=∫a11(3−2x)3 dx\displaystyle \int_a^1\frac{e^{3x}}{f^3(x)}\,dx=\int_a^1\frac{1}{(3-2x)^3}\,dx
  2. Deoarece (3−2x)′=−2\displaystyle (3-2x)'=-2, putem scrie 1(3−2x)3=−12⋅(3−2x)′(3−2x)3\displaystyle \dfrac{1}{(3-2x)^3}=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(3-2x)'}{(3-2x)^3}. Atunci integrala devine −12∫a1(3−2x)′ (3−2x)−3 dx\displaystyle -\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_a^1 (3-2x)'\,(3-2x)^{-3}\,dx.
    −12∫a1(3−2x)′(3−2x)3 dx\displaystyle -\frac{1}{2}\int_a^1\frac{(3-2x)'}{(3-2x)^3}\,dx
  3. Cu u=3−2x\displaystyle u=3-2x, primitiva lui u−3\displaystyle u^{-3} este −12u−2\displaystyle -\dfrac{1}{2}u^{-2}, deci integrala este −12⋅(−12)⋅1(3−2x)2∣a1=14⋅1(3−2x)2∣a1\displaystyle -\dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot\dfrac{1}{(3-2x)^2}\Big|_a^1=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{(3-2x)^2}\Big|_a^1. Pentru x=1\displaystyle x=1 avem 3−2x=1\displaystyle 3-2x=1, deci obținem 14(1−1(3−2a)2)\displaystyle \dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{(3-2a)^2}\right).
    14⋅1(3−2x)2∣a1=14(1−1(3−2a)2)\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{(3-2x)^2}\Big|_a^1=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{(3-2a)^2}\right)
  4. Ecuația este 14(1−1(3−2a)2)=29\displaystyle \dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{(3-2a)^2}\right)=\dfrac{2}{9}. Înmulțind cu 4 obținem 1−1(3−2a)2=89\displaystyle 1-\dfrac{1}{(3-2a)^2}=\dfrac{8}{9}, deci 1(3−2a)2=19\displaystyle \dfrac{1}{(3-2a)^2}=\dfrac{1}{9}.
    (3−2a)2=9\displaystyle (3-2a)^2=9
  5. Din (3−2a)2=9\displaystyle (3-2a)^2=9 rezultă 3−2a=3\displaystyle 3-2a=3 sau 3−2a=−3\displaystyle 3-2a=-3, adică a=0\displaystyle a=0 sau a=3\displaystyle a=3. Cum a∈(−∞,1)\displaystyle a\in(-\infty,1), convine doar a=0\displaystyle a=0.
    a=0\displaystyle a=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.