Bac matematică M2 științe ale naturii 2016, sesiunea a II-a rezervă varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați rația progresiei geometrice (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\geq 1}, știind că b3=5\displaystyle b_3=5 și b4=10\displaystyle b_4=10.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie geometrică, fiecare termen se obține din cel precedent prin înmulțire cu rația q\displaystyle q. Deci b4=b3⋅q\displaystyle b_4=b_3\cdot q.
    b4=b3⋅q\displaystyle b_4=b_3\cdot q
  2. Din relația precedentă exprimăm rația ca raport al celor doi termeni consecutivi și înlocuim valorile date, b3=5\displaystyle b_3=5 și b4=10\displaystyle b_4=10: q=b4b3=105\displaystyle q=\dfrac{b_4}{b_3}=\dfrac{10}{5}.
    q=b4b3=105\displaystyle q=\frac{b_4}{b_3}=\frac{10}{5}
  3. Simplificăm fracția prin 5\displaystyle 5 și obținem rația progresiei: q=2\displaystyle q=2.
    q=2\displaystyle q=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați valoarea maximă a funcției f:[1,5]→R\displaystyle f:[1,5]\to\mathbb{R}, f(x)=x−3\displaystyle f(x)=x-3.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că funcția f(x)=x−3\displaystyle f(x)=x-3 este de gradul I, cu coeficientul lui x\displaystyle x egal cu 1\displaystyle 1, deci pozitiv. Prin urmare, funcția este crescătoare pe tot intervalul [1,5]\displaystyle [1,5] și valoarea maximă se atinge la capătul din dreapta, x=5\displaystyle x=5.
    f cresca˘toare pe [1,5]\displaystyle f\text{ crescătoare pe }[1,5]
  2. Pentru orice x∈[1,5]\displaystyle x\in[1,5] avem x≤5\displaystyle x\leq 5. Scăzând 3\displaystyle 3 din ambii membri ai inegalității, obținem x−3≤5−3=2\displaystyle x-3\leq 5-3=2.
    x≤5⇒x−3≤2\displaystyle x\leq 5\Rightarrow x-3\leq 2
  3. Deci f(x)≤2\displaystyle f(x)\leq 2 pentru orice x∈[1,5]\displaystyle x\in[1,5]. Valoarea 2\displaystyle 2 este atinsă, deoarece f(5)=5−3=2\displaystyle f(5)=5-3=2. Așadar valoarea maximă a funcției este 2\displaystyle 2.
    f(x)≤2, deci valoarea maxima˘ a \displaystyle f(x)\leq 2\text{, deci valoarea maximă a }funcției este 2\displaystyle \text{funcției este }2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+12=x+2\displaystyle \sqrt{x^2+12}=x+2.
Vezi rezolvarea
  1. Expresia x2+12\displaystyle x^{2}+12 este pozitivă pentru orice x\displaystyle x real. Deoarece radicalul este nenegativ, trebuie ca x+2≥0\displaystyle x+2\ge 0, adică x≥−2\displaystyle x\ge -2.
    x≥−2\displaystyle x\ge -2
  2. Ridicăm ecuația x2+12=x+2\displaystyle \sqrt{x^{2}+12}=x+2 la pătrat și obținem x2+12=(x+2)2\displaystyle x^{2}+12=(x+2)^{2}.
    x2+12=(x+2)2\displaystyle x^{2}+12=(x+2)^{2}
  3. Dezvoltăm (x+2)2=x2+4x+4\displaystyle (x+2)^{2}=x^{2}+4x+4, deci x2+12=x2+4x+4\displaystyle x^{2}+12=x^{2}+4x+4. Reducem x2\displaystyle x^{2} și mutăm termenii în același membru: 4x−8=0\displaystyle 4x-8=0.
    4x−8=0\displaystyle 4x-8=0
  4. Din 4x−8=0\displaystyle 4x-8=0 obținem 4x=8\displaystyle 4x=8, deci x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
  5. Verificăm: x=2≥−2\displaystyle x=2\ge -2, iar 22+12=16=4=2+2\displaystyle \sqrt{2^{2}+12}=\sqrt{16}=4=2+2. Soluția verifică ecuația.
    x=2, care verifica˘ ecuația\displaystyle x=2\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii {1,2,3,4,5,6,7}\displaystyle \{1,2,3,4,5,6,7\}.
Vezi rezolvarea
  1. O submulțime cu două elemente se alege fără a conta ordinea elementelor, deci numărul ei este numărul de combinări de 7\displaystyle 7 luate câte 2\displaystyle 2: C72\displaystyle C_7^2.
    C72\displaystyle C_7^2
  2. Scriem formula combinărilor Cnk=n!k!⋅(n−k)!\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}, cu n=7\displaystyle n=7 și k=2\displaystyle k=2.
    C72=7!2!⋅5!\displaystyle C_7^2=\dfrac{7!}{2!\cdot 5!}
  3. Dezvoltăm 7!=7⋅6⋅5!\displaystyle 7!=7\cdot 6\cdot 5! și simplificăm cu 5!\displaystyle 5! de la numitor. Rămâne 7⋅62\displaystyle \dfrac{7\cdot 6}{2}.
    7⋅6⋅5!2⋅5!=7⋅62\displaystyle \dfrac{7\cdot 6\cdot 5!}{2\cdot 5!}=\dfrac{7\cdot 6}{2}
  4. Calculăm: 422=21\displaystyle \dfrac{42}{2}=21. Mulțimea are deci 21\displaystyle 21 de submulțimi cu două elemente.
    21\displaystyle 21
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,4)\displaystyle A(3,4) și B(1,0)\displaystyle B(1,0). Determinați ecuația dreptei AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim ecuația dreptei care trece prin punctele A(xA,yA)\displaystyle A(x_A,y_A) și B(xB,yB)\displaystyle B(x_B,y_B): y−yByA−yB=x−xBxA−xB\displaystyle \dfrac{y-y_B}{y_A-y_B}=\dfrac{x-x_B}{x_A-x_B}.
    y−yByA−yB=x−xBxA−xB\displaystyle \frac{y-y_B}{y_A-y_B}=\frac{x-x_B}{x_A-x_B}
  2. Înlocuim xA=3\displaystyle x_A=3, yA=4\displaystyle y_A=4, xB=1\displaystyle x_B=1, yB=0\displaystyle y_B=0 și obținem y−04−0=x−13−1\displaystyle \dfrac{y-0}{4-0}=\dfrac{x-1}{3-1}.
    y−04−0=x−13−1\displaystyle \frac{y-0}{4-0}=\frac{x-1}{3-1}
  3. Numitorii devin 4\displaystyle 4 și 2\displaystyle 2, deci y4=x−12\displaystyle \dfrac{y}{4}=\dfrac{x-1}{2}. Înmulțim cu 4\displaystyle 4 și obținem y=2(x−1)\displaystyle y=2(x-1).
    y=2(x−1)\displaystyle y=2(x-1)
  4. Desfacem paranteza: y=2x−2\displaystyle y=2x-2. Verificare: pentru x=3\displaystyle x=3 obținem y=4\displaystyle y=4, iar pentru x=1\displaystyle x=1 obținem y=0\displaystyle y=0, deci ambele puncte verifică ecuația.
    y=2x−2\displaystyle y=2x-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC\displaystyle ABC, în care AB=6\displaystyle AB=6 și C=π3\displaystyle C=\frac{\pi}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem teorema sinusurilor în triunghiul ABC\displaystyle ABC: raportul dintre latura AB\displaystyle AB și sinusul unghiului opus C\displaystyle C este egal cu dublul razei cercului circumscris, adică ABsin⁡C=2R\displaystyle \dfrac{AB}{\sin C}=2R.
    ABsin⁡C=2R\displaystyle \dfrac{AB}{\sin C}=2R
  2. Exprimăm raza din relația obținută: R=AB2sin⁡C\displaystyle R=\dfrac{AB}{2\sin C}.
    R=AB2sin⁡C\displaystyle R=\dfrac{AB}{2\sin C}
  3. Înlocuim AB=6\displaystyle AB=6 și sin⁡π3=32\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, deci R=62⋅32\displaystyle R=\dfrac{6}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}.
    R=62⋅32\displaystyle R=\dfrac{6}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}
  4. Simplificăm numitorul: 2⋅32=3\displaystyle 2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}, deci R=63\displaystyle R=\dfrac{6}{\sqrt{3}}. Raționalizăm: R=633=23\displaystyle R=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}.
    R=63=23\displaystyle R=\dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1+x−x2x1−2x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1+x & -x\\ 2x & 1-2x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în matricea A(x)\displaystyle A(x): elementele devin 1+0=1\displaystyle 1+0=1, −0=0\displaystyle -0=0, 2⋅0=0\displaystyle 2\cdot 0=0 și 1−2⋅0=1\displaystyle 1-2\cdot 0=1.
    A(0)=(1001)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul de ordinul doi al matricei A(0)\displaystyle A(0): produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(0))=∣1001∣=1⋅1−0⋅0\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{vmatrix}=1\cdot 1-0\cdot 0
  3. Calculăm: 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1 și 0⋅0=0\displaystyle 0\cdot 0=0, deci determinantul este 1−0=1\displaystyle 1-0=1.
    det⁡(A(0))=1−0=1\displaystyle \det(A(0))=1-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1+x−x2x1−2x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1+x & -x\\ 2x & 1-2x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că A(x)A(y)=A(x+y−xy)\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y-xy), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem A(x)\displaystyle A(x) și A(y)\displaystyle A(y), obținută prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu y\displaystyle y, și formăm produsul lor.
    A(x)A(y)=(1+x−x2x1−2x)(1+y−y2y1−2y)\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}1+x & -x\\ 2x & 1-2x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1+y & -y\\ 2y & 1-2y\end{pmatrix}
  2. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este (1+x)(1+y)+(−x)⋅2y\displaystyle (1+x)(1+y)+(-x)\cdot 2y. Desfacem parantezele și reducem termenii.
    (1+x)(1+y)−2xy=1+y+x+xy−2xy=1+x+y−xy\displaystyle (1+x)(1+y)-2xy=1+y+x+xy-2xy=1+x+y-xy
  3. Elementul de pe linia 1, coloana 2 este (1+x)(−y)+(−x)(1−2y)\displaystyle (1+x)(-y)+(-x)(1-2y). Desfacem parantezele și reducem termenii.
    −y−xy−x+2xy=−x−y+xy\displaystyle -y-xy-x+2xy=-x-y+xy
  4. Elementul de pe linia 2, coloana 1 este 2x(1+y)+(1−2x)⋅2y\displaystyle 2x(1+y)+(1-2x)\cdot 2y. Desfacem parantezele și reducem termenii.
    2x+2xy+2y−4xy=2x+2y−2xy\displaystyle 2x+2xy+2y-4xy=2x+2y-2xy
  5. Elementul de pe linia 2, coloana 2 este 2x(−y)+(1−2x)(1−2y)\displaystyle 2x(-y)+(1-2x)(1-2y). Desfacem parantezele și reducem termenii.
    −2xy+1−2y−2x+4xy=1−2x−2y+2xy\displaystyle -2xy+1-2y-2x+4xy=1-2x-2y+2xy
  6. Scriem cele patru elemente calculate în matricea produs.
    A(x)A(y)=(1+x+y−xy−y−x+xy2x+2y−2xy1−2y−2x+2xy)\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}1+x+y-xy & -y-x+xy\\ 2x+2y-2xy & 1-2y-2x+2xy\end{pmatrix}
  7. Grupăm termenii astfel încât să apară x+y−xy\displaystyle x+y-xy: 1+x+y−xy=1+(x+y−xy)\displaystyle 1+x+y-xy=1+(x+y-xy), −x−y+xy=−(x+y−xy)\displaystyle -x-y+xy=-(x+y-xy), 2x+2y−2xy=2(x+y−xy)\displaystyle 2x+2y-2xy=2(x+y-xy), 1−2x−2y+2xy=1−2(x+y−xy)\displaystyle 1-2x-2y+2xy=1-2(x+y-xy).
    (1+(x+y−xy)−(x+y−xy)2(x+y−xy)1−2(x+y−xy))\displaystyle \begin{pmatrix}1+(x+y-xy) & -(x+y-xy)\\ 2(x+y-xy) & 1-2(x+y-xy)\end{pmatrix}
  8. Matricea obținută are forma A(t)=(1+t−t2t1−2t)\displaystyle A(t)=\begin{pmatrix}1+t & -t\\ 2t & 1-2t\end{pmatrix} cu t=x+y−xy\displaystyle t=x+y-xy, care este număr real. Deci egalitatea are loc pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    A(x)A(y)=A(x+y−xy), pentru orice numere \displaystyle A(x)A(y)=A(x+y-xy)\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1+x−x2x1−2x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1+x & -x\\ 2x & 1-2x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x, x≠1\displaystyle x\neq 1, pentru care matricea A(x)\displaystyle A(x) este egală cu inversa ei.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea A(x)\displaystyle A(x) este egală cu inversa ei dacă A(x)⋅A(x)=I2\displaystyle A(x)\cdot A(x)=I_2. Determinantul este det⁡A(x)=(1+x)(1−2x)+2x2=1−x\displaystyle \det A(x)=(1+x)(1-2x)+2x^{2}=1-x, deci este nenul pentru x≠1\displaystyle x\neq 1 și matricea este inversabilă.
    A(x)⋅A(x)=I2\displaystyle A(x)\cdot A(x)=I_2,det⁡A(x)=1−x≠0\displaystyle \quad \det A(x)=1-x\neq 0
  2. Scriem A(x)=I2+xM\displaystyle A(x)=I_2+xM, unde M=(1−12−2)\displaystyle M=\begin{pmatrix}1 & -1\\ 2 & -2\end{pmatrix}. Calculăm M2=(−11−22)=−M\displaystyle M^{2}=\begin{pmatrix}-1 & 1\\ -2 & 2\end{pmatrix}=-M.
    A(x)=I2+xM\displaystyle A(x)=I_2+xM,M2=−M\displaystyle \quad M^{2}=-M
  3. Relația de la punctul b se verifică astfel: A(x)A(y)=I2+(x+y)M+xyM2=I2+(x+y−xy)M=A(x+y−xy)\displaystyle A(x)A(y)=I_2+(x+y)M+xyM^{2}=I_2+(x+y-xy)M=A(x+y-xy). Pentru y=x\displaystyle y=x obținem A(x)A(x)=A(2x−x2)\displaystyle A(x)A(x)=A(2x-x^{2}).
    A(x)A(x)=A(x+x−x2)=A(2x−x2)\displaystyle A(x)A(x)=A(x+x-x^{2})=A(2x-x^{2})
  4. Cum I2=A(0)\displaystyle I_2=A(0), condiția A(x)A(x)=I2\displaystyle A(x)A(x)=I_2 devine A(2x−x2)=A(0)\displaystyle A(2x-x^{2})=A(0).
    A(x+x−x2)=A(0)\displaystyle A(x+x-x^{2})=A(0)
  5. Din A(a)=A(0)\displaystyle A(a)=A(0) rezultă aM=O2\displaystyle aM=O_2. Cum M≠O2\displaystyle M\neq O_2, obținem a=0\displaystyle a=0, adică 2x−x2=0\displaystyle 2x-x^{2}=0.
    2x−x2=0\displaystyle 2x-x^{2}=0
  6. Scoatem factor comun: x(2−x)=0\displaystyle x(2-x)=0, deci x=0\displaystyle x=0 sau x=2\displaystyle x=2. Ambele valori sunt diferite de 1\displaystyle 1, deci convin.
    x=0 sau x=2\displaystyle x=0\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x\circ y=2xy-6x-6y+21.

Arătați că x∘y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=2(x-3)(y-3)+3, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x\circ y=2xy-6x-6y+21 și scriem termenul liber 21\displaystyle 21 ca 18+3\displaystyle 18+3, pentru a pregăti gruparea termenilor.
    x∘y=2xy−6x−6y+18+3\displaystyle x\circ y=2xy-6x-6y+18+3
  2. Grupăm primii doi termeni, 2xy−6x\displaystyle 2xy-6x, și scoatem factor comun 2x\displaystyle 2x. Grupăm apoi −6y+18\displaystyle -6y+18 și scoatem factor comun −6\displaystyle -6. În ambele grupuri apare factorul y−3\displaystyle y-3.
    x∘y=2x(y−3)−6(y−3)+3\displaystyle x\circ y=2x(y-3)-6(y-3)+3
  3. Scoatem factorul comun y−3\displaystyle y-3: 2x(y−3)−6(y−3)=(y−3)(2x−6)=2(x−3)(y−3)\displaystyle 2x(y-3)-6(y-3)=(y-3)(2x-6)=2(x-3)(y-3). Obținem egalitatea cerută, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=2(x−3)(y−3)+3, pentru orice numere \displaystyle x\circ y=2(x-3)(y-3)+3\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x\circ y=2xy-6x-6y+21.

Arătați că 1∘2∘3∘4=3\displaystyle 1\circ 2\circ 3\circ 4=3.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este asociativă, dar o calculăm succesiv, de la stânga la dreapta: grupăm compunerile începând cu 1∘2\displaystyle 1\circ 2.
    1∘2∘3∘4=((1∘2)∘3)∘4\displaystyle 1\circ 2\circ 3\circ 4=((1\circ 2)\circ 3)\circ 4
  2. Calculăm prima compunere, înlocuind x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2 în formula legii: 1∘2=2⋅1⋅2−6⋅1−6⋅2+21\displaystyle 1\circ 2=2\cdot 1\cdot 2-6\cdot 1-6\cdot 2+21.
    1∘2=4−6−12+21=7\displaystyle 1\circ 2=4-6-12+21=7
  3. Compunem rezultatul obținut cu 3, adică x=7\displaystyle x=7 și y=3\displaystyle y=3: 7∘3=2⋅7⋅3−6⋅7−6⋅3+21\displaystyle 7\circ 3=2\cdot 7\cdot 3-6\cdot 7-6\cdot 3+21.
    7∘3=42−42−18+21=3\displaystyle 7\circ 3=42-42-18+21=3
  4. Expresia devine 3∘4\displaystyle 3\circ 4. Înlocuim x=3\displaystyle x=3 și y=4\displaystyle y=4: 3∘4=2⋅3⋅4−6⋅3−6⋅4+21\displaystyle 3\circ 4=2\cdot 3\cdot 4-6\cdot 3-6\cdot 4+21. Deci 1∘2∘3∘4=3\displaystyle 1\circ 2\circ 3\circ 4=3.
    3∘4=24−18−24+21=3\displaystyle 3\circ 4=24-18-24+21=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x\circ y=2xy-6x-6y+21.

Determinați numerele reale x\displaystyle x, pentru care x∘x∘x=x\displaystyle x\circ x\circ x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea sub forma x∘y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=2(x-3)(y-3)+3. Verificăm: 2(xy−3x−3y+9)+3=2xy−6x−6y+21\displaystyle 2(xy-3x-3y+9)+3=2xy-6x-6y+21.
    x∘y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=2(x-3)(y-3)+3
  2. Calculăm x∘x\displaystyle x\circ x înlocuind y=x\displaystyle y=x: x∘x=2(x−3)(x−3)+3\displaystyle x\circ x=2(x-3)(x-3)+3.
    x∘x=2(x−3)2+3\displaystyle x\circ x=2(x-3)^2+3
  3. Calculăm x∘x∘x=(x∘x)∘x\displaystyle x\circ x\circ x=(x\circ x)\circ x. Avem (x∘x)−3=2(x−3)2\displaystyle (x\circ x)-3=2(x-3)^2, deci x∘x∘x=2⋅2(x−3)2⋅(x−3)+3\displaystyle x\circ x\circ x=2\cdot 2(x-3)^2\cdot(x-3)+3.
    x∘x∘x=4(x−3)3+3\displaystyle x\circ x\circ x=4(x-3)^3+3
  4. Scriem ecuația 4(x−3)3+3=x\displaystyle 4(x-3)^3+3=x și notăm t=x−3\displaystyle t=x-3, deci x=t+3\displaystyle x=t+3. Ecuația devine 4t3+3=t+3\displaystyle 4t^3+3=t+3, adică 4t3−t=0\displaystyle 4t^3-t=0.
    4t3−t=0\displaystyle 4t^{3}-t=0
  5. Factorizăm: t(4t2−1)=t(2t−1)(2t+1)=0\displaystyle t(4t^2-1)=t(2t-1)(2t+1)=0. Rezultă t=0\displaystyle t=0, t=12\displaystyle t=\dfrac{1}{2} sau t=−12\displaystyle t=-\dfrac{1}{2}.
    t=0 sau t=12 sau t=−12\displaystyle t=0\text{ sau }t=\frac{1}{2}\text{ sau }t=-\frac{1}{2}
  6. Revenim la x=t+3\displaystyle x=t+3: obținem x=3\displaystyle x=3, x=72\displaystyle x=\dfrac{7}{2} sau x=52\displaystyle x=\dfrac{5}{2}.
    x=52 sau x=3 sau x=72\displaystyle x=\frac{5}{2}\text{ sau }x=3\text{ sau }x=\frac{7}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡x\displaystyle f(x)=x-\ln x.

Arătați că f′(x)=x−1x\displaystyle f'(x)=\frac{x-1}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x−ln⁡x\displaystyle f(x)=x-\ln x este o diferență de două funcții derivabile pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci derivata ei este diferența derivatelor: f′(x)=x′−(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=x'-(\ln x)'.
    f′(x)=x′−(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=x'-(\ln x)'
  2. Aplicăm formulele de derivare: x′=1\displaystyle x'=1 și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, pentru x>0\displaystyle x>0. Obținem f′(x)=1−1x\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=1−1x\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{x}
  3. Aducem la același numitor, scriind 1=xx\displaystyle 1=\dfrac{x}{x}. Atunci 1−1x=x−1x\displaystyle 1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty). Astfel egalitatea cerută este demonstrată.
    f′(x)=x−1x, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=\frac{x-1}{x}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡x\displaystyle f(x)=x-\ln x.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este convexă pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că funcția este convexă, studiem semnul derivatei a doua. Calculăm mai întâi derivata întâi: derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1, iar derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}.
    f′(x)=1−1x, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{x}\text{, }x\in(0,+\infty)
  2. Derivăm încă o dată. Scriem f′(x)=1−x−1\displaystyle f'(x)=1-x^{-1}; derivata lui −x−1\displaystyle -x^{-1} este x−2\displaystyle x^{-2}, adică 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}.
    f′′(x)=(1−1x)′=1x2, x∈(0,+∞)\displaystyle f''(x)=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)'=\dfrac{1}{x^{2}}\text{, }x\in(0,+\infty)
  3. Pentru orice x>0\displaystyle x>0, x2>0\displaystyle x^{2}>0, deci și 1x2>0\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}>0. Prin urmare derivata a doua este strict pozitivă pe tot intervalul, deci funcția este convexă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′′(x)>0, pentru orice x∈(0,+∞)⇒f este convexa˘ pe \displaystyle f''(x)>0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\Rightarrow f\text{ este convexă pe }intervalul (0,+∞)\displaystyle \text{intervalul }(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡x\displaystyle f(x)=x-\ln x.

Demonstrați că ln⁡x≤x−1\displaystyle \ln x\leq x-1, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Inegalitatea ln⁡x≤x−1\displaystyle \ln x\leq x-1 este echivalentă cu x−ln⁡x≥1\displaystyle x-\ln x\geq 1, adică f(x)≥1\displaystyle f(x)\geq 1. Deci este suficient să arătăm că valoarea minimă a lui f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) este 1\displaystyle 1.
    ln⁡x≤x−1⇔f(x)≥1\displaystyle \ln x\leq x-1\Leftrightarrow f(x)\geq 1
  2. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1, iar derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}.
    f′(x)=1−1x=x−1x\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}
  3. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Cum x>0\displaystyle x>0, fracția este nulă doar când numărătorul este nul, adică x−1=0\displaystyle x-1=0.
    f′(x)=0⇔x=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1
  4. Studiem semnul derivatei pe (0,1]\displaystyle (0,1]. Numitorul x\displaystyle x este pozitiv, iar x−1≤0\displaystyle x-1\leq 0, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\leq 0 și f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,1]\displaystyle (0,1].
    x∈(0,1]⇒f′(x)≤0, deci f este descresca˘toare pe (0,1]\displaystyle x\in(0,1]\Rightarrow f'(x)\leq 0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }(0,1]
  5. Studiem semnul derivatei pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty). Numitorul x\displaystyle x este pozitiv, iar x−1≥0\displaystyle x-1\geq 0, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\geq 0 și f\displaystyle f este crescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    x∈[1,+∞)⇒f′(x)≥0, deci f este cresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty)\Rightarrow f'(x)\geq 0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[1,+\infty)
  6. Calculăm valoarea lui f\displaystyle f în punctul x=1\displaystyle x=1, unde f\displaystyle f trece de la descrescătoare la crescătoare, deci acolo se atinge minimul. Cum ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, avem f(1)=1\displaystyle f(1)=1.
    f(1)=1−ln⁡1=1\displaystyle f(1)=1-\ln 1=1
  7. Din monotonie, f(x)≥f(1)=1\displaystyle f(x)\geq f(1)=1 pentru orice x>0\displaystyle x>0. Deci x−ln⁡x≥1\displaystyle x-\ln x\geq 1, adică ln⁡x≤x−1\displaystyle \ln x\leq x-1, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f(1)=1, obținem f(x)≥1, deci ln⁡x≤x−1, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f(1)=1\text{, obținem }f(x)\geq 1\text{, deci }\ln x\leq x-1\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1x2+1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}.

Arătați că ∫01(x2+1)f(x) dx=1\displaystyle \int_0^1 (x^2+1)f(x)\,dx=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu 1x2+1\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}+1} în integrala dată: ∫01(x2+1)f(x) dx=∫01(x2+1)⋅1x2+1 dx\displaystyle \int_0^1 (x^{2}+1)f(x)\,dx=\int_0^1 (x^{2}+1)\cdot\dfrac{1}{x^{2}+1}\,dx.
    ∫01(x2+1)⋅1x2+1 dx\displaystyle \int_0^1 (x^{2}+1)\cdot\frac{1}{x^{2}+1}\,dx
  2. Factorul x2+1\displaystyle x^{2}+1 este nenul pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} (este cel puțin 1\displaystyle 1), deci se simplifică cu numitorul: (x2+1)⋅1x2+1=1\displaystyle (x^{2}+1)\cdot\dfrac{1}{x^{2}+1}=1. Obținem ∫011 dx\displaystyle \int_0^1 1\,dx.
    ∫011 dx\displaystyle \int_0^1 1\,dx
  3. O primitivă a funcției constante 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, deci ∫011 dx=x∣01\displaystyle \int_0^1 1\,dx=x\Big|_0^1.
    ∫01(x2+1)f(x) dx=∫011 dx=x∣01\displaystyle \int_0^1 (x^{2}+1)f(x)\,dx=\int_0^1 1\,dx=x\Big|_0^1
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: x∣01=1−0=1\displaystyle x\Big|_0^1=1-0=1. Deci ∫01(x2+1)f(x) dx=1\displaystyle \int_0^1 (x^{2}+1)f(x)\,dx=1, ceea ce trebuia arătat.
    1−0=1\displaystyle 1-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1x2+1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}.

Demonstrați că ∫01x2f(x) dx=1−π4\displaystyle \int_0^1 x^2 f(x)\,dx=1-\frac{\pi}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=1x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1} în integrală și obținem integrala fracției x2x2+1\displaystyle \dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}.
    ∫01x2f(x) dx=∫01x2x2+1 dx\displaystyle \int_0^1 x^2 f(x)\,dx=\int_0^1\frac{x^2}{x^2+1}\,dx
  2. Scriem x2=(x2+1)−1\displaystyle x^{2}=(x^{2}+1)-1, deci x2x2+1=(x2+1)−1x2+1=1−1x2+1\displaystyle \dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}=\dfrac{(x^{2}+1)-1}{x^{2}+1}=1-\dfrac{1}{x^{2}+1}.
    x2x2+1=1−1x2+1\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}=1-\frac{1}{x^2+1}
  3. Aplicăm liniaritatea integralei: integrala diferenței este diferența integralelor.
    ∫01x2x2+1 dx=∫011 dx−∫011x2+1 dx\displaystyle \int_0^1\frac{x^2}{x^2+1}\,dx=\int_0^1 1\,dx-\int_0^1\frac{1}{x^2+1}\,dx
  4. O primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, iar o primitivă a lui 1x2+1\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}+1} este arctg⁡x\displaystyle \operatorname{arctg}x. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    x∣01−arctg⁡x∣01=(1−0)−(arctg⁡1−arctg⁡0)\displaystyle x\Big|_0^1-\operatorname{arctg}x\Big|_0^1=(1-0)-(\operatorname{arctg}1-\operatorname{arctg}0)
  5. Știm că arctg⁡1=π4\displaystyle \operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4} și arctg⁡0=0\displaystyle \operatorname{arctg}0=0. Rezultă rezultatul cerut.
    1−arctg⁡1=1−π4\displaystyle 1-\operatorname{arctg}1=1-\frac{\pi}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1x2+1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n, știind că ∫nn+12xf(x) dx=ln⁡2\displaystyle \int_n^{n+1}2xf(x)\,dx=\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=1x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1} în integrală și obținem integrandul 2xf(x)=2xx2+1\displaystyle 2xf(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}.
    ∫nn+12xf(x) dx=∫nn+12xx2+1 dx\displaystyle \int_n^{n+1}2xf(x)\,dx=\int_n^{n+1}\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx
  2. Numărătorul 2x\displaystyle 2x este derivata numitorului, deoarece (x2+1)′=2x\displaystyle (x^{2}+1)'=2x. Deci o primitivă este ln⁡(x2+1)\displaystyle \ln(x^{2}+1), definită pe R\displaystyle \mathbb{R} pentru că x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0.
    ∫2xx2+1 dx=ln⁡(x2+1)+C\displaystyle \int\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx=\ln(x^{2}+1)+C
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton și folosim ln⁡a−ln⁡b=ln⁡ab\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}.
    ln⁡(x2+1)∣nn+1=ln⁡((n+1)2+1)−ln⁡(n2+1)=ln⁡(n+1)2+1n2+1\displaystyle \ln(x^{2}+1)\Big|_n^{n+1}=\ln\big((n+1)^{2}+1\big)-\ln(n^{2}+1)=\ln\frac{(n+1)^{2}+1}{n^{2}+1}
  4. Egalăm cu ln⁡2\displaystyle \ln 2. Cum funcția ln⁡\displaystyle \ln este injectivă, obținem (n+1)2+1n2+1=2\displaystyle \dfrac{(n+1)^{2}+1}{n^{2}+1}=2.
    (n+1)2+1n2+1=2\displaystyle \frac{(n+1)^{2}+1}{n^{2}+1}=2
  5. Înmulțim cu n2+1>0\displaystyle n^{2}+1>0 și desfacem parantezele: n2+2n+1+1=2n2+2\displaystyle n^{2}+2n+1+1=2n^{2}+2.
    n2+2n+2=2n2+2\displaystyle n^{2}+2n+2=2n^{2}+2
  6. Reducem termenii și obținem n2−2n=0\displaystyle n^{2}-2n=0, adică n(n−2)=0\displaystyle n(n-2)=0. Deci n=0\displaystyle n=0 sau n=2\displaystyle n=2, ambele numere naturale.
    n2−2n=0⇔n(n−2)=0⇔n=0 sau n=2\displaystyle n^{2}-2n=0\Leftrightarrow n(n-2)=0\Leftrightarrow n=0\text{ sau }n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.