Bac matematică M2 științe ale naturii 2013, sesiunea a II-a varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul a=3(2+5i)−5(1+3i)\displaystyle a=3(2+5i)-5(1+3i) este real.
Vezi rezolvarea
  1. Distribuim factorul 3\displaystyle 3 în prima paranteză: înmulțim 3\displaystyle 3 cu 2\displaystyle 2 și cu 5i\displaystyle 5i.
    3(2+5i)=6+15i\displaystyle 3(2+5i)=6+15i
  2. Distribuim factorul 5\displaystyle 5 în a doua paranteză: înmulțim 5\displaystyle 5 cu 1\displaystyle 1 și cu 3i\displaystyle 3i.
    5(1+3i)=5+15i\displaystyle 5(1+3i)=5+15i
  3. Înlocuim cele două rezultate în expresia lui a\displaystyle a și punem a doua expresie între paranteze, deoarece se scade întreaga ei valoare.
    a=(6+15i)−(5+15i)\displaystyle a=(6+15i)-(5+15i)
  4. Scădem separat părțile reale și părțile imaginare: 6−5=1\displaystyle 6-5=1 și 15i−15i=0\displaystyle 15i-15i=0. Partea imaginară se reduce, deci a\displaystyle a este număr real.
    a=(6−5)+(15−15)i=1∈R\displaystyle a=(6-5)+(15-15)i=1\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele punctului de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox a graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+10x+25\displaystyle f(x)=x^2+10x+25.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox are ordonata zero, deci punem condiția f(x)=0\displaystyle f(x)=0.
    x2+10x+25=0\displaystyle x^{2}+10x+25=0
  2. Observăm că membrul stâng este dezvoltarea pătratului unei sume: x2+2⋅x⋅5+52=(x+5)2\displaystyle x^{2}+2\cdot x\cdot 5+5^{2}=(x+5)^{2}.
    (x+5)2=0\displaystyle (x+5)^{2}=0
  3. Un pătrat este egal cu zero numai dacă baza este zero, deci x+5=0\displaystyle x+5=0, de unde x=−5\displaystyle x=-5.
    x=−5\displaystyle x=-5
  4. Punctul de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox are abscisa −5\displaystyle -5 și ordonata 0\displaystyle 0, deci este punctul (−5,0)\displaystyle (-5,0).
    x=−5 și y=0\displaystyle x=-5\text{ și }y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(x2+x+1)=log⁡5(x+2)\displaystyle \log_5\left(x^2+x+1\right)=\log_5(x+2).
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condițiile de existență: argumentele logaritmilor trebuie să fie strict pozitive. Expresia x2+x+1\displaystyle x^{2}+x+1 are discriminantul Δ=−3<0\displaystyle \Delta=-3<0, deci este mereu pozitivă. Rămâne condiția x+2>0\displaystyle x+2>0, adică x>−2\displaystyle x>-2.
    x∈(−2,+∞)\displaystyle x\in(-2,+\infty)
  2. Logaritmul în baza 5\displaystyle 5 este injectiv, deci egalitatea logaritmilor implică egalitatea argumentelor. Obținem x2+x+1=x+2\displaystyle x^{2}+x+1=x+2.
    x2+x+1=x+2\displaystyle x^{2}+x+1=x+2
  3. Aducem ecuația la forma redusă: scădem x+2\displaystyle x+2 din ambii membri și obținem x2−1=0\displaystyle x^{2}-1=0.
    x2−1=0\displaystyle x^{2}-1=0
  4. Rezolvăm ecuația: x2=1\displaystyle x^{2}=1, deci x=−1\displaystyle x=-1 sau x=1\displaystyle x=1.
    x=−1 sau x=1\displaystyle x=-1\text{ sau }x=1
  5. Verificăm soluțiile cu condiția de existență: −1>−2\displaystyle -1>-2 și 1>−2\displaystyle 1>-2, deci ambele convin. Răspuns final: x=−1\displaystyle x=-1 sau x=1\displaystyle x=1.
    x=−1 sau x=1, care verifica˘ ecuația\displaystyle x=-1\text{ sau }x=1\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o ieftinire cu 10%\displaystyle 10\% prețul unui produs este 90\displaystyle 90 de lei. Calculați prețul produsului înainte de ieftinire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul produsului înainte de ieftinire, în lei. Ieftinirea cu 10%\displaystyle 10\% înseamnă că se scade din x\displaystyle x valoarea 10100⋅x\displaystyle \dfrac{10}{100}\cdot x. Prețul după ieftinire este 90\displaystyle 90 de lei, deci scriem ecuația.
    x−10100⋅x=90\displaystyle x-\frac{10}{100}\cdot x=90
  2. Reducem termenii asemenea: x−10100x=90100x\displaystyle x-\dfrac{10}{100}x=\dfrac{90}{100}x, deci ecuația devine următoarea.
    90100⋅x=90\displaystyle \frac{90}{100}\cdot x=90
  3. Împărțim ambii membri la 90100\displaystyle \dfrac{90}{100}, adică înmulțim cu 10090\displaystyle \dfrac{100}{90}: x=90⋅10090\displaystyle x=90\cdot\dfrac{100}{90}. Prețul înainte de ieftinire a fost de 100\displaystyle 100 de lei.
    x=100\displaystyle x=100
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră dreapta h\displaystyle h de ecuație y=x−1\displaystyle y=x-1 și punctul A(2,2)\displaystyle A(2,2). Determinați ecuația dreptei d\displaystyle d care trece prin A\displaystyle A și este paralelă cu h\displaystyle h.
Vezi rezolvarea
  1. Din ecuația dreptei h:y=x−1\displaystyle h: y=x-1 citim panta: coeficientul lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1, deci panta lui h\displaystyle h este mh=1\displaystyle m_h=1.
    mh=1\displaystyle m_h=1
  2. Două drepte paralele au aceeași pantă. Cum d∥h\displaystyle d\parallel h, rezultă md=mh\displaystyle m_d=m_h.
    d∥h⇒md=mh=1\displaystyle d\parallel h\Rightarrow m_d=m_h=1
  3. Scriem ecuația dreptei de pantă 1\displaystyle 1 care trece prin A(2,2)\displaystyle A(2,2), folosind formula y−yA=md(x−xA)\displaystyle y-y_A=m_d(x-x_A). Obținem y−2=1⋅(x−2)\displaystyle y-2=1\cdot(x-2).
    y−2=1⋅(x−2)\displaystyle y-2=1\cdot(x-2)
  4. Desfacem parantezele: y=x−2+2\displaystyle y=x-2+2, deci y=x\displaystyle y=x. Verificare: pentru A(2,2)\displaystyle A(2,2) avem 2=2\displaystyle 2=2, deci punctul se află pe dreaptă.
    d:y=x\displaystyle d: y=x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați cosinusul unghiului A\displaystyle A al triunghiului ABC\displaystyle ABC în care AB=5\displaystyle AB=5, AC=6\displaystyle AC=6 și BC=7\displaystyle BC=7.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem teorema cosinusului în triunghiul ABC\displaystyle ABC pentru latura BC\displaystyle BC, opusă unghiului A\displaystyle A: BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡A\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A.
    BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡A\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A
  2. Exprimăm cos⁡A\displaystyle \cos A din relația de mai sus.
    cos⁡A=AB2+AC2−BC22⋅AB⋅AC\displaystyle \cos A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\cdot AB\cdot AC}
  3. Înlocuim valorile AB=5\displaystyle AB=5, AC=6\displaystyle AC=6 și BC=7\displaystyle BC=7 și calculăm pătratele: 52=25\displaystyle 5^{2}=25, 62=36\displaystyle 6^{2}=36, 72=49\displaystyle 7^{2}=49.
    cos⁡A=25+36−492⋅5⋅6=1260\displaystyle \cos A=\frac{25+36-49}{2\cdot 5\cdot 6}=\frac{12}{60}
  4. Simplificăm fracția 1260\displaystyle \dfrac{12}{60} prin 12\displaystyle 12 și obținem răspunsul final.
    cos⁡A=15\displaystyle \cos A=\frac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr real x\displaystyle x se consideră matricea A(x)=(110x111−11)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&1&0\\x&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}.

Arătați că A(2)+A(6)=2A(4)\displaystyle A(2)+A(6)=2A(4).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele A(2)\displaystyle A(2) și A(6)\displaystyle A(6), înlocuind x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2, respectiv cu 6\displaystyle 6, în matricea dată.
    A(2)=(1102111−11)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1&1&0\\2&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix},A(6)=(1106111−11)\displaystyle \quad A(6)=\begin{pmatrix}1&1&0\\6&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele element cu element: doar elementul din linia a doua, coloana întâi diferă (2+6=8\displaystyle 2+6=8), iar celelalte elemente se dublează.
    A(2)+A(6)=(2208222−22)\displaystyle A(2)+A(6)=\begin{pmatrix}2&2&0\\8&2&2\\2&-2&2\end{pmatrix}
  3. Scriem matricea A(4)\displaystyle A(4) și o înmulțim cu 2\displaystyle 2, adică înmulțim fiecare element cu 2\displaystyle 2.
    2A(4)=2(1104111−11)=(2208222−22)\displaystyle 2A(4)=2\begin{pmatrix}1&1&0\\4&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2&0\\8&2&2\\2&-2&2\end{pmatrix}
  4. Cele două matrice obținute sunt egale, deci egalitatea cerută este adevărată.
    A(2)+A(6)=2A(4)\displaystyle A(2)+A(6)=2A(4)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr real x\displaystyle x se consideră matricea A(x)=(110x111−11)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&1&0\\x&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care det⁡(A(x))=0\displaystyle \det(A(x))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(x)\displaystyle A(x) și îl dezvoltăm după prima linie: det⁡(A(x))=∣110x111−11∣\displaystyle \det(A(x))=\begin{vmatrix}1&1&0\\x&1&1\\1&-1&1\end{vmatrix}.
    det⁡(A(x))=1⋅∣11−11∣−1⋅∣x111∣+0⋅∣x11−1∣\displaystyle \det(A(x))=1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}x&1\\1&1\end{vmatrix}+0\cdot\begin{vmatrix}x&1\\1&-1\end{vmatrix}
  2. Calculăm minorii: ∣11−11∣=1⋅1−1⋅(−1)=2\displaystyle \begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-1\cdot(-1)=2 și ∣x111∣=x−1\displaystyle \begin{vmatrix}x&1\\1&1\end{vmatrix}=x-1. Al treilea termen este înmulțit cu 0\displaystyle 0, deci dispare. Obținem det⁡(A(x))=2−(x−1)\displaystyle \det(A(x))=2-(x-1).
    det⁡(A(x))=2−(x−1)=3−x\displaystyle \det(A(x))=2-(x-1)=3-x
  3. Punem condiția det⁡(A(x))=0\displaystyle \det(A(x))=0, adică 3−x=0\displaystyle 3-x=0, de unde x=3\displaystyle x=3.
    3−x=0⇒x=3\displaystyle 3-x=0\Rightarrow x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr real x\displaystyle x se consideră matricea A(x)=(110x111−11)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&1&0\\x&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}.

Determinați inversa matricei A(2)\displaystyle A(2).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în matricea A(x)\displaystyle A(x) și obținem matricea A(2)\displaystyle A(2).
    A(2)=(1102111−11)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1&1&0\\2&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul matricei A(2)\displaystyle A(2) prin dezvoltare după prima linie. Al treilea termen este zero. Determinantul este nenul, deci matricea este inversabilă.
    det⁡(A(2))=1⋅∣11−11∣−1⋅∣2111∣=1⋅2−1⋅1=1\displaystyle \det(A(2))=1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}=1\cdot 2-1\cdot 1=1
  3. Scriem transpusa matricei A(2)\displaystyle A(2), prin schimbarea liniilor cu coloanele.
    tA(2)=(12111−1011)\displaystyle {}^tA(2)=\begin{pmatrix}1&2&1\\1&1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}
  4. Calculăm complemenții algebrici ai elementelor din tA(2)\displaystyle {}^tA(2), adică minorul fiecărui element cu semnul potrivit. Din ei obținem matricea adjunctă A∗\displaystyle A^*.
    A∗=(∣1−111∣−∣1−101∣∣1101∣−∣2111∣∣1101∣−∣1201∣∣211−1∣−∣111−1∣∣1211∣)=(2−11−11−1−32−1)\displaystyle A^*=\begin{pmatrix}\begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&-1\\0&1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}\\-\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&1&-1\\-3&2&-1\end{pmatrix}
  5. Inversa se obține cu formula (A(2))−1=1det⁡(A(2))⋅A∗\displaystyle (A(2))^{-1}=\dfrac{1}{\det(A(2))}\cdot A^*. Cum det⁡(A(2))=1\displaystyle \det(A(2))=1, inversa coincide cu matricea adjunctă.
    (A(2))−1=(2−11−11−1−32−1)\displaystyle (A(2))^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&1&-1\\-3&2&-1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 rădăcinile complexe ale polinomului f=X3+X2+mX+m\displaystyle f=X^3+X^2+mX+m, unde m\displaystyle m este un număr real.

Arătați că f\displaystyle f este divizibil cu X+1\displaystyle X+1, pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Un polinom f\displaystyle f este divizibil cu X+1\displaystyle X+1 dacă și numai dacă −1\displaystyle -1 este rădăcină a lui f\displaystyle f, adică f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0 (teorema lui Bézout). Verificăm această condiție.
    f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0
  2. Înlocuim X\displaystyle X cu −1\displaystyle -1 în f=X3+X2+mX+m\displaystyle f=X^3+X^2+mX+m. Avem (−1)3=−1\displaystyle (-1)^3=-1, (−1)2=1\displaystyle (-1)^2=1 și m⋅(−1)=−m\displaystyle m\cdot(-1)=-m.
    f(−1)=(−1)3+(−1)2+m⋅(−1)+m=−1+1−m+m\displaystyle f(-1)=(-1)^3+(-1)^2+m\cdot(-1)+m=-1+1-m+m
  3. Reducem termenii: −1+1=0\displaystyle -1+1=0 și −m+m=0\displaystyle -m+m=0, deci rezultatul nu depinde de m\displaystyle m.
    f(−1)=−1+1−m+m=0\displaystyle f(-1)=-1+1-m+m=0
  4. Deoarece f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0 pentru orice număr real m\displaystyle m, numărul −1\displaystyle -1 este rădăcină a lui f\displaystyle f, deci conform teoremei lui Bézout polinomul f\displaystyle f este divizibil cu X+1\displaystyle X+1, pentru orice m\displaystyle m real.
    X+1 divide polinomul f\displaystyle X+1\text{ divide polinomul }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 rădăcinile complexe ale polinomului f=X3+X2+mX+m\displaystyle f=X^3+X^2+mX+m, unde m\displaystyle m este un număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care x12+x22+x32=11\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=11.
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul f=X3+X2+mX+m\displaystyle f=X^3+X^2+mX+m are coeficienții a=1\displaystyle a=1, b=1\displaystyle b=1, c=m\displaystyle c=m, d=m\displaystyle d=m.
    a=1\displaystyle a=1, b=1\displaystyle \ b=1, c=m\displaystyle \ c=m, d=m\displaystyle \ d=m
  2. Din relațiile lui Viète, x1+x2+x3=−ba=−1\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}=-1 și x1x2+x1x3+x2x3=ca=m\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{c}{a}=m.
    x1+x2+x3=−1\displaystyle x_1+x_2+x_3=-1, x1x2+x1x3+x2x3=m\displaystyle \ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m
  3. Folosim identitatea x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3).
    x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)
  4. Înlocuim: x12+x22+x32=(−1)2−2m=1−2m\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(-1)^2-2m=1-2m.
    x12+x22+x32=1−2m\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=1-2m
  5. Din condiția dată avem 1−2m=11\displaystyle 1-2m=11, deci −2m=10\displaystyle -2m=10, de unde m=−5\displaystyle m=-5.
    1−2m=11⇒m=−5\displaystyle 1-2m=11\Rightarrow m=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 rădăcinile complexe ale polinomului f=X3+X2+mX+m\displaystyle f=X^3+X^2+mX+m, unde m\displaystyle m este un număr real.

Determinați valorile reale ale lui m\displaystyle m știind că ∣x1∣=∣x2∣=∣x3∣\displaystyle |x_1|=|x_2|=|x_3|.
Vezi rezolvarea
  1. Grupăm termenii polinomului: f=X2(X+1)+m(X+1)=(X+1)(X2+m)\displaystyle f=X^2(X+1)+m(X+1)=(X+1)(X^2+m). Rezultă că −1\displaystyle -1 este rădăcină a lui f\displaystyle f, deci o notăm x1=−1\displaystyle x_1=-1 (renumerotarea rădăcinilor nu schimbă condiția).
    f=(X+1)(X2+m)\displaystyle f=(X+1)(X^2+m),x1=−1\displaystyle \quad x_1=-1
  2. Avem ∣x1∣=∣−1∣=1\displaystyle |x_1|=|-1|=1. Cum ∣x1∣=∣x2∣=∣x3∣\displaystyle |x_1|=|x_2|=|x_3|, obținem ∣x2∣=∣x3∣=1\displaystyle |x_2|=|x_3|=1.
    ∣x1∣=1⇒∣x2∣=∣x3∣=1\displaystyle |x_1|=1\Rightarrow |x_2|=|x_3|=1
  3. Din relațiile lui Viète pentru X3+X2+mX+m\displaystyle X^3+X^2+mX+m, produsul rădăcinilor este opusul termenului liber, adică −m\displaystyle -m.
    x1x2x3=−m\displaystyle x_1x_2x_3=-m
  4. Trecem la modul în egalitatea x1x2x3=−m\displaystyle x_1x_2x_3=-m: ∣x1∣⋅∣x2∣⋅∣x3∣=∣−m∣=∣m∣\displaystyle |x_1|\cdot|x_2|\cdot|x_3|=|-m|=|m|. Cum toate modulele sunt egale cu 1\displaystyle 1, obținem ∣m∣=1\displaystyle |m|=1.
    ∣m∣=1⋅1⋅1=1\displaystyle |m|=1\cdot 1\cdot 1=1
  5. Din ∣m∣=1\displaystyle |m|=1 rezultă m=−1\displaystyle m=-1 sau m=1\displaystyle m=1. Verificăm: pentru m=1\displaystyle m=1, X2+1=0\displaystyle X^2+1=0 dă rădăcinile i\displaystyle i și −i\displaystyle -i, deci rădăcinile lui f\displaystyle f sunt −1, i, −i\displaystyle -1,\ i,\ -i, toate de modul 1\displaystyle 1. Pentru m=−1\displaystyle m=-1, X2−1=0\displaystyle X^2-1=0 dă rădăcinile 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1, deci rădăcinile lui f\displaystyle f sunt −1, 1, −1\displaystyle -1,\ 1,\ -1, tot de modul 1\displaystyle 1. Deci ambele valori convin.
    m=−1 sau m=1; ambele valori verifica˘ \displaystyle m=-1\text{ sau }m=1\text{; ambele valori verifică }cerința\displaystyle \text{cerința}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡x\displaystyle f(x)=x-\ln x.

Calculați f′(x)\displaystyle f'(x), x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x−ln⁡x\displaystyle f(x)=x-\ln x este o diferență de două funcții derivabile pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci derivata ei este diferența derivatelor.
    f′(x)=x′−(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=x'-(\ln x)'
  2. Folosim derivatele uzuale: x′=1\displaystyle x'=1 și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, pentru x>0\displaystyle x>0.
    x′=1\displaystyle x'=1,(ln⁡x)′=1x\displaystyle \quad (\ln x)'=\frac{1}{x}
  3. Înlocuim cele două derivate în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x) și obținem răspunsul final.
    f′(x)=1−1x, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{x}\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡x\displaystyle f(x)=x-\ln x.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=1\displaystyle x_0=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=1\displaystyle x_0=1: y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1): înlocuim x=1\displaystyle x=1 în f(x)=x−ln⁡x\displaystyle f(x)=x-\ln x și folosim ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    f(1)=1−ln⁡1=1−0=1\displaystyle f(1)=1-\ln 1=1-0=1
  3. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f: (x)′=1\displaystyle (x)'=1, iar (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=1−1x\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{x}
  4. Calculăm f′(1)\displaystyle f'(1) înlocuind x=1\displaystyle x=1 în expresia derivatei.
    f′(1)=1−11=0\displaystyle f'(1)=1-\dfrac{1}{1}=0
  5. Înlocuim f(1)=1\displaystyle f(1)=1 și f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0 în formula tangentei: y−1=0⋅(x−1)\displaystyle y-1=0\cdot(x-1). Panta fiind 0\displaystyle 0, tangenta este o dreaptă orizontală.
    y=1\displaystyle y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡x\displaystyle f(x)=x-\ln x.

Demonstrați că x≥ln⁡x+1\displaystyle x\ge \ln x+1, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Inegalitatea x≥ln⁡x+1\displaystyle x\ge \ln x+1 este echivalentă cu x−ln⁡x≥1\displaystyle x-\ln x\ge 1, adică f(x)≥1\displaystyle f(x)\ge 1. Vom arăta că valoarea minimă a lui f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) este 1\displaystyle 1.
    x≥ln⁡x+1  ⟺  f(x)≥1\displaystyle x\ge \ln x+1\iff f(x)\ge 1
  2. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), folosind (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=1−1x=x−1x\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}
  3. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Cum x>0\displaystyle x>0, numitorul nu se anulează, deci singura soluție este x=1\displaystyle x=1.
    f′(1)=1−11=0\displaystyle f'(1)=\dfrac{1-1}{1}=0
  4. Studiem semnul derivatei. Numitorul x\displaystyle x este pozitiv, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este semnul lui x−1\displaystyle x-1. Pentru x∈(0,1)\displaystyle x\in(0,1) avem x−1<0\displaystyle x-1<0, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 și f\displaystyle f este strict descrescătoare. Pentru x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty) avem x−1>0\displaystyle x-1>0, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 și f\displaystyle f este strict crescătoare.
    f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0, f′(x)<0, pentru x∈(0,1) și f′(x)>0, pentru x∈(1,+∞)\displaystyle \ f'(x)<0\text{, pentru }x\in(0,1)\text{ și }f'(x)>0\text{, pentru }x\in(1,+\infty)
  5. Deoarece f\displaystyle f scade pe (0,1)\displaystyle (0,1) și crește pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), punctul x=1\displaystyle x=1 este punct de minim global. Calculăm valoarea minimă: f(1)=1−ln⁡1=1\displaystyle f(1)=1-\ln 1=1.
    f(1)=1−ln⁡1=1\displaystyle f(1)=1-\ln 1=1
  6. Din faptul că minimul este f(1)=1\displaystyle f(1)=1 obținem f(x)≥f(1)=1\displaystyle f(x)\ge f(1)=1, adică x−ln⁡x≥1\displaystyle x-\ln x\ge 1, deci x≥ln⁡x+1\displaystyle x\ge \ln x+1, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f(x)≥f(1)⇒x≥ln⁡x+1, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f(x)\ge f(1)\Rightarrow x\ge \ln x+1\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x+1)(x−1)\displaystyle f(x)=x(x+1)(x-1).

Arătați că ∫23f(x)x(x−1)dx=72\displaystyle \int_2^3\frac{f(x)}{x(x-1)}dx=\frac{7}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x(x+1)(x−1)\displaystyle f(x)=x(x+1)(x-1) în integrand și obținem integrala ∫23x(x+1)(x−1)x(x−1)dx\displaystyle \int_2^3\dfrac{x(x+1)(x-1)}{x(x-1)}dx.
    ∫23x(x+1)(x−1)x(x−1) dx\displaystyle \int_2^3\frac{x(x+1)(x-1)}{x(x-1)}\,dx
  2. Pe intervalul [2,3]\displaystyle [2,3] avem x≠0\displaystyle x\neq 0 și x≠1\displaystyle x\neq 1, deci putem simplifica fracția cu x(x−1)\displaystyle x(x-1). Integrandul devine x+1\displaystyle x+1.
    ∫23f(x)x(x−1)dx=∫23(x+1) dx\displaystyle \int_2^3\frac{f(x)}{x(x-1)}dx=\int_2^3(x+1)\,dx
  3. O primitivă a funcției x+1\displaystyle x+1 este x22+x\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}+x. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫23(x+1) dx=(x22+x)∣23\displaystyle \int_2^3(x+1)\,dx=\left(\frac{x^{2}}{2}+x\right)\Big|_2^3
  4. Calculăm valorile primitivei la capete: pentru x=3\displaystyle x=3 obținem 92+3=152\displaystyle \dfrac{9}{2}+3=\dfrac{15}{2}, iar pentru x=2\displaystyle x=2 obținem 42+2=4\displaystyle \dfrac{4}{2}+2=4.
    (92+3)−(42+2)=152−4\displaystyle \left(\frac{9}{2}+3\right)-\left(\frac{4}{2}+2\right)=\frac{15}{2}-4
  5. Scădem: 152−4=152−82=72\displaystyle \dfrac{15}{2}-4=\dfrac{15}{2}-\dfrac{8}{2}=\dfrac{7}{2}, deci egalitatea cerută este adevărată.
    152−4=72\displaystyle \frac{15}{2}-4=\frac{7}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x+1)(x−1)\displaystyle f(x)=x(x+1)(x-1).

Determinați primitiva F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R} a funcției f\displaystyle f știind că F(1)=−1\displaystyle F(1)=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm produsul care definește funcția f\displaystyle f: mai întâi (x+1)(x−1)=x2−1\displaystyle (x+1)(x-1)=x^{2}-1 după formula diferenței de pătrate, apoi înmulțim cu x\displaystyle x.
    f(x)=x(x2−1)=x3−x\displaystyle f(x)=x(x^{2}-1)=x^{3}-x
  2. Integrăm termen cu termen, folosind ∫xn dx=xn+1n+1+c\displaystyle \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+c, și adăugăm o constantă reală c\displaystyle c. Obținem familia primitivelor lui f\displaystyle f.
    F(x)=14x4−12x2+c, unde c∈R\displaystyle F(x)=\frac{1}{4}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2}+c\text{, unde }c\in\mathbb{R}
  3. Impunem condiția F(1)=−1\displaystyle F(1)=-1: înlocuim x=1\displaystyle x=1 în expresia lui F\displaystyle F.
    F(1)=14−12+c=−14+c\displaystyle F(1)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+c=-\frac{1}{4}+c
  4. Egalăm cu −1\displaystyle -1: −14+c=−1\displaystyle -\dfrac{1}{4}+c=-1, de unde aflăm constanta c\displaystyle c.
    c=−1+14=−34\displaystyle c=-1+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}
  5. Înlocuim c=−34\displaystyle c=-\dfrac{3}{4} în familia primitivelor și obținem primitiva cerută.
    F(x)=14x4−12x2−34\displaystyle F(x)=\frac{1}{4}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x+1)(x−1)\displaystyle f(x)=x(x+1)(x-1).

Arătați că ∫2ef(x)ln⁡xx2−1dx=e24−2ln⁡2+1\displaystyle \int_2^e\frac{f(x)\ln x}{x^2-1}dx=\frac{e^2}{4}-2\ln 2+1.
Vezi rezolvarea
  1. Descompunem pe f(x)\displaystyle f(x): f(x)=x(x+1)(x−1)=x(x2−1)\displaystyle f(x)=x(x+1)(x-1)=x(x^{2}-1). Pe intervalul [2,e]\displaystyle [2,e] numitorul x2−1\displaystyle x^{2}-1 este nenul, deci simplificăm fracția și integrandul devine xln⁡x\displaystyle x\ln x.
    ∫2ef(x)ln⁡xx2−1dx=∫2exln⁡x dx\displaystyle \int_2^e\frac{f(x)\ln x}{x^2-1}dx=\int_2^e x\ln x\,dx
  2. Aplicăm integrarea prin părți. Alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=x dx\displaystyle dv=x\,dx. Atunci du=1xdx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}dx, iar v=x22\displaystyle v=\dfrac{x^{2}}{2}.
    u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x, dv=x dx ⇒ du=1xdx\displaystyle \ dv=x\,dx\ \Rightarrow\ du=\frac{1}{x}dx, v=x22\displaystyle \ v=\frac{x^{2}}{2}
  3. Folosim formula ∫2eu dv=uv∣2e−∫2ev du\displaystyle \int_2^e u\,dv=uv\Big|_2^e-\int_2^e v\,du. Termenul rămas sub integrală este x22⋅1x=x2\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{2}.
    ∫2exln⁡x dx=(x22ln⁡x)∣2e−12∫2ex dx\displaystyle \int_2^e x\ln x\,dx=\left(\frac{x^{2}}{2}\ln x\right)\Big|_2^e-\frac{1}{2}\int_2^e x\,dx
  4. Calculăm primul termen între limite. Pentru x=e\displaystyle x=e avem ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1, deci obținem e22\displaystyle \dfrac{e^{2}}{2}. Pentru x=2\displaystyle x=2 obținem 42ln⁡2=2ln⁡2\displaystyle \dfrac{4}{2}\ln 2=2\ln 2.
    (x22ln⁡x)∣2e=e22−2ln⁡2\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{2}\ln x\right)\Big|_2^e=\frac{e^{2}}{2}-2\ln 2
  5. Calculăm integrala rămasă. O primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, deci 12∫2ex dx=12⋅x22∣2e=e2−44\displaystyle \dfrac{1}{2}\int_2^e x\,dx=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^{2}}{2}\Big|_2^e=\dfrac{e^{2}-4}{4}.
    12∫2ex dx=e2−44\displaystyle \frac{1}{2}\int_2^e x\,dx=\frac{e^{2}-4}{4}
  6. Scădem cele două rezultate și reducem termenii asemenea: e22−e24=e24\displaystyle \dfrac{e^{2}}{2}-\dfrac{e^{2}}{4}=\dfrac{e^{2}}{4}, iar −−44=+1\displaystyle -\dfrac{-4}{4}=+1. Am obținut valoarea cerută.
    e22−2ln⁡2−e2−44=e24−2ln⁡2+1\displaystyle \frac{e^{2}}{2}-2\ln 2-\frac{e^{2}-4}{4}=\frac{e^{2}}{4}-2\ln 2+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.