Bac matematică M2 științe ale naturii 2011, sesiunea a II-a varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Într-o progresie aritmetică (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1} se cunosc a2=6\displaystyle a_2=6 și a3=5\displaystyle a_3=5. Calculați a6\displaystyle a_6.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică, rația este diferența dintre doi termeni consecutivi. Calculăm rația: r=a3−a2=5−6\displaystyle r=a_3-a_2=5-6.
    r=a3−a2=5−6=−1\displaystyle r=a_3-a_2=5-6=-1
  2. Aflăm primul termen din a2=a1+r\displaystyle a_2=a_1+r, deci a1=a2−r=6−(−1)\displaystyle a_1=a_2-r=6-(-1).
    a1=6−(−1)=7\displaystyle a_1=6-(-1)=7
  3. Folosim formula termenului general an=a1+(n−1)r\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r pentru n=6\displaystyle n=6: a6=a1+5r=7+5⋅(−1)\displaystyle a_6=a_1+5r=7+5\cdot(-1).
    a6=7+5⋅(−1)=7−5=2\displaystyle a_6=7+5\cdot(-1)=7-5=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați soluțiile întregi ale inecuației 2x2−x−3≤0\displaystyle 2x^2-x-3\le 0.
Vezi rezolvarea
  1. Considerăm ecuația asociată 2x2−x−3=0\displaystyle 2x^{2}-x-3=0 și calculăm discriminantul, cu a=2\displaystyle a=2, b=−1\displaystyle b=-1, c=−3\displaystyle c=-3.
    Δ=(−1)2−4⋅2⋅(−3)=1+24=25\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 2\cdot(-3)=1+24=25
  2. Aflăm rădăcinile cu formula x1,2=−b±Δ2a\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, adică x1,2=1±54\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{1\pm 5}{4}.
    x1=1−54=−1\displaystyle x_1=\frac{1-5}{4}=-1,x2=1+54=32\displaystyle \quad x_2=\frac{1+5}{4}=\frac{3}{2}
  3. Cum a=2>0\displaystyle a=2>0, parabola are ramurile în sus, deci 2x2−x−3≤0\displaystyle 2x^{2}-x-3\le 0 între rădăcini, inclusiv în rădăcini. Mulțimea soluțiilor este un interval închis.
    x∈[−1,32]\displaystyle x\in\left[-1,\frac{3}{2}\right]
  4. Reținem numerele întregi din intervalul [−1,32]\displaystyle \left[-1,\dfrac{3}{2}\right]. Cum 32=1,5\displaystyle \dfrac{3}{2}=1{,}5, întregii din interval sunt −1\displaystyle -1, 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    x∈Z⇒x1=−1\displaystyle x\in\mathbb{Z}\Rightarrow x_1=-1, x2=0\displaystyle \ x_2=0, x3=1\displaystyle \ x_3=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x+2)−log⁡3(x−4)=1\displaystyle \log_3(x+2)-\log_3(x-4)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență: argumentele logaritmilor trebuie să fie strict pozitive, adică x+2>0\displaystyle x+2>0 și x−4>0\displaystyle x-4>0.
    x+2>0 și x−4>0\displaystyle x+2>0\text{ și }x-4>0
  2. Din x>−2\displaystyle x>-2 și x>4\displaystyle x>4 rezultă x>4\displaystyle x>4, deci domeniul de existență este intervalul (4,+∞)\displaystyle (4,+\infty).
    x∈(4,+∞)\displaystyle x\in(4,+\infty)
  3. Folosim formula log⁡aA−log⁡aB=log⁡aAB\displaystyle \log_a A-\log_a B=\log_a\dfrac{A}{B}. Ecuația devine log⁡3(x+2x−4)=1\displaystyle \log_3\left(\dfrac{x+2}{x-4}\right)=1.
    log⁡3(x+2x−4)=1\displaystyle \log_3\left(\frac{x+2}{x-4}\right)=1
  4. Deoarece 1=log⁡33\displaystyle 1=\log_3 3 și funcția logaritmică este injectivă, obținem x+2x−4=3\displaystyle \dfrac{x+2}{x-4}=3.
    x+2x−4=3\displaystyle \frac{x+2}{x-4}=3
  5. Cum x−4≠0\displaystyle x-4\neq 0 pe domeniu, înmulțim cu x−4\displaystyle x-4: x+2=3(x−4)\displaystyle x+2=3(x-4), adică x+2=3x−12\displaystyle x+2=3x-12. Mutăm termenii: 14=2x\displaystyle 14=2x.
    x+2=3x−12⇒2x=14\displaystyle x+2=3x-12\Rightarrow 2x=14
  6. Rezultă x=7\displaystyle x=7. Verificăm: 7>4\displaystyle 7>4, deci 7∈(4,+∞)\displaystyle 7\in(4,+\infty) și soluția convine.
    x=7∈(4,+∞)\displaystyle x=7\in(4,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o scumpire cu 5%\displaystyle 5\%, prețul unui produs crește cu 12\displaystyle 12 lei. Calculați prețul produsului înainte de scumpire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul produsului înainte de scumpire, în lei.
    x=prețul inițial (ıˆn lei)\displaystyle x=\text{prețul inițial (în lei)}
  2. Scumpirea cu 5%\displaystyle 5\% înseamnă o creștere egală cu 5%\displaystyle 5\% din prețul inițial. Această creștere este de 12\displaystyle 12 lei, deci scriem ecuația.
    5100⋅x=12\displaystyle \frac{5}{100}\cdot x=12
  3. Înmulțim ambii membri cu 100\displaystyle 100 și apoi împărțim la 5\displaystyle 5, pentru a-l afla pe x\displaystyle x.
    5x=1200\displaystyle 5x=1200
  4. Împărțim la 5\displaystyle 5 și obținem prețul inițial. Produsul costa 240\displaystyle 240 de lei înainte de scumpire.
    x=12005=240 lei\displaystyle x=\frac{1200}{5}=240\text{ lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,4)\displaystyle A(1,4) și B(5,0)\displaystyle B(5,0). Determinați ecuația mediatoarei segmentului [AB]\displaystyle [AB].
Vezi rezolvarea
  1. Mediatoarea segmentului trece prin mijlocul lui și este perpendiculară pe el. Calculăm mai întâi mijlocul M\displaystyle M al segmentului [AB]\displaystyle [AB], ca medie aritmetică a coordonatelor capetelor: xM=1+52=3\displaystyle x_M=\dfrac{1+5}{2}=3 și yM=4+02=2\displaystyle y_M=\dfrac{4+0}{2}=2.
    M(3,2)\displaystyle M(3,2)
  2. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu formula mAB=yB−yAxB−xA=0−45−1\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{0-4}{5-1}.
    mAB=−44=−1\displaystyle m_{AB}=\dfrac{-4}{4}=-1
  3. Mediatoarea d\displaystyle d este perpendiculară pe AB\displaystyle AB, deci mAB⋅md=−1\displaystyle m_{AB}\cdot m_d=-1. Rezultă −1⋅md=−1\displaystyle -1\cdot m_d=-1.
    md=1\displaystyle m_d=1
  4. Scriem ecuația dreptei care trece prin M(3,2)\displaystyle M(3,2) și are panta md=1\displaystyle m_d=1: y−2=1⋅(x−3)\displaystyle y-2=1\cdot(x-3). Aducem la forma redusă: y=x−3+2\displaystyle y=x-3+2.
    d:y−2=1⋅(x−3)⇒d:y=x−1\displaystyle d: y-2=1\cdot(x-3)\Rightarrow d: y=x-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați raza cercului circumscris triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că BC=9\displaystyle BC=9 și m(∠BAC)=120∘\displaystyle m(\angle BAC)=120^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem teorema sinusurilor în triunghiul ABC\displaystyle ABC: raportul dintre latura BC\displaystyle BC și sinusul unghiului opus A\displaystyle A este egal cu dublul razei cercului circumscris, adică BCsin⁡A=2R\displaystyle \dfrac{BC}{\sin A}=2R.
    BCsin⁡A=2R\displaystyle \dfrac{BC}{\sin A}=2R
  2. Exprimăm raza R\displaystyle R din relația precedentă: R=BC2sin⁡A\displaystyle R=\dfrac{BC}{2\sin A}.
    R=BC2sin⁡A\displaystyle R=\dfrac{BC}{2\sin A}
  3. Calculăm sin⁡A\displaystyle \sin A. Folosim faptul că sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\displaystyle \sin(180^\circ-x)=\sin x, deci sin⁡120∘=sin⁡60∘\displaystyle \sin 120^\circ=\sin 60^\circ.
    sin⁡A=sin⁡120∘=sin⁡60∘=32\displaystyle \sin A=\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  4. Înlocuim în formula razei BC=9\displaystyle BC=9 și sin⁡A=32\displaystyle \sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}: R=92⋅32=93\displaystyle R=\dfrac{9}{2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{9}{\sqrt{3}}.
    R=92⋅32=93\displaystyle R=\dfrac{9}{2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{9}{\sqrt{3}}
  5. Raționalizăm numitorul, amplificând fracția cu 3\displaystyle \sqrt{3}: 93=933=33\displaystyle \dfrac{9}{\sqrt{3}}=\dfrac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}. Deci raza cercului circumscris este 33\displaystyle 3\sqrt{3}.
    R=33\displaystyle R=3\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră determinantul D(x,y)=∣1111xy1x+1y+1∣\displaystyle D(x,y)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&x&y\\1&x+1&y+1\end{vmatrix}, unde x,y∈Z\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}.

Calculați D(−1,1)\displaystyle D(-1,1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=−1\displaystyle x=-1 și y=1\displaystyle y=1 în determinant. Atunci x+1=0\displaystyle x+1=0 și y+1=2\displaystyle y+1=2, deci a treia linie devine (1, 0, 2)\displaystyle (1,\ 0,\ 2).
    D(−1,1)=∣1111−11102∣\displaystyle D(-1,1)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\1&0&2\end{vmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după prima linie: fiecare element se înmulțește cu minorul lui, cu semnele +,−,+\displaystyle +,-,+.
    1⋅∣−1102∣−1⋅∣1112∣+1⋅∣1−110∣\displaystyle 1\cdot\begin{vmatrix}-1&1\\0&2\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix}1&-1\\1&0\end{vmatrix}
  3. Calculăm cei trei determinanți de ordinul doi: primul este (−1)⋅2−1⋅0=−2\displaystyle (-1)\cdot 2-1\cdot 0=-2, al doilea este 1⋅2−1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 2-1\cdot 1=1, al treilea este 1⋅0−(−1)⋅1=1\displaystyle 1\cdot 0-(-1)\cdot 1=1.
    (−2)−1⋅1+1⋅1\displaystyle (-2)-1\cdot 1+1\cdot 1
  4. Adunăm termenii: −2−1+1=−2\displaystyle -2-1+1=-2.
    D(−1,1)=−2\displaystyle D(-1,1)=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră determinantul D(x,y)=∣1111xy1x+1y+1∣\displaystyle D(x,y)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&x&y\\1&x+1&y+1\end{vmatrix}, unde x,y∈Z\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}.

Determinați x∈Z\displaystyle x\in\mathbb{Z} pentru care D(x,2010)=1\displaystyle D(x,2010)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y=2010\displaystyle y=2010 în determinant. Linia a treia devine 1, x+1, 2011\displaystyle 1,\ x+1,\ 2011.
    D(x,2010)=∣1111x20101x+12011∣\displaystyle D(x,2010)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&x&2010\\1&x+1&2011\end{vmatrix}
  2. Simplificăm calculul: scădem linia a doua din linia a treia. Valoarea determinantului nu se schimbă, iar linia a treia devine 0, 1, 1\displaystyle 0,\ 1,\ 1.
    D(x,2010)=∣1111x2010011∣\displaystyle D(x,2010)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&x&2010\\0&1&1\end{vmatrix}
  3. Dezvoltăm determinantul după prima coloană: elementul 1\displaystyle 1 din primul rând are minorul x⋅1−2010⋅1=x−2010\displaystyle x\cdot 1-2010\cdot 1=x-2010, iar elementul 1\displaystyle 1 din al doilea rând are semnul minus și minorul 1⋅1−1⋅1=0\displaystyle 1\cdot 1-1\cdot 1=0.
    D(x,2010)=1⋅(x−2010)−1⋅0=x−2010\displaystyle D(x,2010)=1\cdot(x-2010)-1\cdot 0=x-2010
  4. Punem condiția D(x,2010)=1\displaystyle D(x,2010)=1 și rezolvăm ecuația liniară obținută. Valoarea x=2011\displaystyle x=2011 este număr întreg, deci convine.
    x−2010=1⇒x=2011∈Z\displaystyle x-2010=1\Rightarrow x=2011\in\mathbb{Z}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră determinantul D(x,y)=∣1111xy1x+1y+1∣\displaystyle D(x,y)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&x&y\\1&x+1&y+1\end{vmatrix}, unde x,y∈Z\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}.

Demonstrați că D(x,y)⋅D(x,−y)=D(x2,y2)\displaystyle D(x,y)\cdot D(x,-y)=D(x^2,y^2), oricare ar fi x,y∈Z\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul general D(x,y)\displaystyle D(x,y). Pentru a simplifica, scădem linia a doua din linia a treia, ceea ce nu schimbă valoarea determinantului. Noua linie a treia este (0, 1, 1)\displaystyle (0,\,1,\,1).
    D(x,y)=∣1111xy011∣\displaystyle D(x,y)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&x&y\\0&1&1\end{vmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după prima coloană. Primul element 1\displaystyle 1 dă minorul ∣xy11∣=x−y\displaystyle \begin{vmatrix}x&y\\1&1\end{vmatrix}=x-y. Al doilea element 1\displaystyle 1 are semnul minus și minorul ∣1111∣=0\displaystyle \begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}=0. Al treilea element este 0\displaystyle 0. Deci D(x,y)=x−y\displaystyle D(x,y)=x-y.
    D(x,y)=(x−y)−0+0=x−y\displaystyle D(x,y)=(x-y)-0+0=x-y
  3. Formula D(x,y)=x−y\displaystyle D(x,y)=x-y este valabilă pentru orice numere întregi. Înlocuim y\displaystyle y cu −y\displaystyle -y și obținem D(x,−y)\displaystyle D(x,-y).
    D(x,−y)=x−(−y)=x+y\displaystyle D(x,-y)=x-(-y)=x+y
  4. Înlocuim x\displaystyle x cu x2\displaystyle x^{2} și y\displaystyle y cu y2\displaystyle y^{2} în formula D(x,y)=x−y\displaystyle D(x,y)=x-y și obținem D(x2,y2)\displaystyle D(x^{2},y^{2}).
    D(x,−y)=x+y și D(x2,y2)=x2−y2\displaystyle D(x,-y)=x+y\text{ și }D(x^{2},y^{2})=x^{2}-y^{2}
  5. Calculăm produsul D(x,y)⋅D(x,−y)\displaystyle D(x,y)\cdot D(x,-y) și folosim formula diferenței de pătrate: (x−y)(x+y)=x2−y2\displaystyle (x-y)(x+y)=x^{2}-y^{2}. Rezultatul este egal cu D(x2,y2)\displaystyle D(x^{2},y^{2}), deci egalitatea este demonstrată pentru orice x,y∈Z\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}.
    D(x,y)⋅D(x,−y)=(x−y)(x+y)=x2−y2=D(x2,y2)\displaystyle D(x,y)\cdot D(x,-y)=(x-y)(x+y)=x^{2}-y^{2}=D(x^{2},y^{2})
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x*y=2xy-6x-6y+21.

Arătați că x∗y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=2(x-3)(y-3)+3, oricare ar fi x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∗y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x*y=2xy-6x-6y+21. Observăm că 21=18+3\displaystyle 21=18+3 și vrem să grupăm termenii care conțin factorul y−3\displaystyle y-3.
    x∗y=2xy−6x−6y+18+3\displaystyle x*y=2xy-6x-6y+18+3
  2. Grupăm primii doi termeni, 2xy\displaystyle 2xy și −6x\displaystyle -6x, și dăm factor comun 2x\displaystyle 2x. Grupăm apoi −6y\displaystyle -6y și 18\displaystyle 18 și dăm factor comun −6\displaystyle -6. În ambele grupe apare y−3\displaystyle y-3.
    x∗y=2x(y−3)−6(y−3)+3\displaystyle x*y=2x(y-3)-6(y-3)+3
  3. Dăm factor comun y−3\displaystyle y-3 între primii doi termeni.
    x∗y=(y−3)(2x−6)+3\displaystyle x*y=(y-3)(2x-6)+3
  4. Scoatem factor comun 2\displaystyle 2 din 2x−6\displaystyle 2x-6, adică 2x−6=2(x−3)\displaystyle 2x-6=2(x-3). Obținem forma cerută, valabilă oricare ar fi x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=2(x-3)(y-3)+3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x*y=2xy-6x-6y+21.

Arătați că legea „∗\displaystyle *” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea sub o formă mai convenabilă. Desfacem paranteza 2(x−3)(y−3)+3\displaystyle 2(x-3)(y-3)+3: 2(xy−3x−3y+9)+3=2xy−6x−6y+21\displaystyle 2(xy-3x-3y+9)+3=2xy-6x-6y+21, deci este exact definiția legii.
    x∗y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=2(x-3)(y-3)+3
  2. Din forma factorizată avem x∗y−3=2(x−3)(y−3)\displaystyle x*y-3=2(x-3)(y-3). Acest rezultat îl vom folosi când compunem cu z\displaystyle z.
    (x∗y)−3=2(x−3)(y−3)\displaystyle (x*y)-3=2(x-3)(y-3)
  3. Aplicăm forma factorizată pentru numerele x∗y\displaystyle x*y și z\displaystyle z: (x∗y)∗z=2((x∗y)−3)(z−3)+3\displaystyle (x*y)*z=2\left((x*y)-3\right)(z-3)+3. Înlocuim (x∗y)−3=2(x−3)(y−3)\displaystyle (x*y)-3=2(x-3)(y-3) și obținem 2⋅2(x−3)(y−3)(z−3)+3\displaystyle 2\cdot 2(x-3)(y-3)(z-3)+3.
    (x∗y)∗z=4(x−3)(y−3)(z−3)+3\displaystyle (x*y)*z=4(x-3)(y-3)(z-3)+3
  4. Analog, y∗z=2(y−3)(z−3)+3\displaystyle y*z=2(y-3)(z-3)+3, deci (y∗z)−3=2(y−3)(z−3)\displaystyle (y*z)-3=2(y-3)(z-3).
    (y∗z)−3=2(y−3)(z−3)\displaystyle (y*z)-3=2(y-3)(z-3)
  5. Aplicăm forma factorizată pentru numerele x\displaystyle x și y∗z\displaystyle y*z: x∗(y∗z)=2(x−3)((y∗z)−3)+3\displaystyle x*(y*z)=2(x-3)\left((y*z)-3\right)+3. Înlocuim (y∗z)−3=2(y−3)(z−3)\displaystyle (y*z)-3=2(y-3)(z-3) și obținem 2⋅2(x−3)(y−3)(z−3)+3\displaystyle 2\cdot 2(x-3)(y-3)(z-3)+3.
    x∗(y∗z)=4(x−3)(y−3)(z−3)+3\displaystyle x*(y*z)=4(x-3)(y-3)(z-3)+3
  6. Cele două expresii obținute sunt egale pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}, deci legea „∗\displaystyle *” este asociativă.
    (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z), ∀x\displaystyle \ \forall x,y\displaystyle y,z∈R\displaystyle z\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x*y=2xy-6x-6y+21.

Calculați 1∗2∗…∗2011\displaystyle 1*2*\ldots*2011.
Vezi rezolvarea
  1. Rescriem legea sub formă factorizată. Avem 2xy−6x−6y+18=2(x−3)(y−3)\displaystyle 2xy-6x-6y+18=2(x-3)(y-3), deci x∗y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=2(x-3)(y-3)+3.
    x∗y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=2(x-3)(y-3)+3
  2. Calculăm x∗3=2(x−3)⋅0+3=3\displaystyle x*3=2(x-3)\cdot 0+3=3. Legea este comutativă, deci și 3∗x=3\displaystyle 3*x=3. Prin urmare 3\displaystyle 3 este element absorbant.
    x∗3=3∗x=3\displaystyle x*3=3*x=3, pentru orice x∈R\displaystyle \text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}
  3. Legea este asociativă: din x∗y−3=2(x−3)(y−3)\displaystyle x*y-3=2(x-3)(y-3) rezultă că (x∗y)∗z−3=4(x−3)(y−3)(z−3)=x∗(y∗z)−3\displaystyle (x*y)*z-3=4(x-3)(y-3)(z-3)=x*(y*z)-3. Așadar putem grupa factorii cum dorim, iar numărul 3\displaystyle 3 apare printre factorii produsului 1∗2∗…∗2011\displaystyle 1*2*\ldots*2011.
    (x∗y)∗z−3=4(x−3)(y−3)(z−3)=x∗(y∗z)−3\displaystyle (x*y)*z-3=4(x-3)(y-3)(z-3)=x*(y*z)-3
  4. Grupăm factorii astfel încât 3\displaystyle 3 să fie izolat: (1∗2)∗3∗(4∗…∗2011)\displaystyle (1*2)*3*(4*\ldots*2011). Deoarece 3\displaystyle 3 este element absorbant, orice compunere cu 3\displaystyle 3 dă 3\displaystyle 3. Rezultatul este 3\displaystyle 3.
    (1∗2)∗3∗(4∗…∗2011)=3\displaystyle (1*2)*3*(4*\ldots*2011)=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+x2+x+3x\displaystyle f(x)=x^3+x^2+x+3^x.

Calculați f′(0)\displaystyle f'(0).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este o sumă de patru termeni, deci o derivăm termen cu termen. Folosim formulele (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^{n})'=n x^{n-1}, (x)′=1\displaystyle (x)'=1 și (ax)′=axln⁡a\displaystyle (a^{x})'=a^{x}\ln a.
    (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}, (x2)′=2x\displaystyle \ (x^{2})'=2x, (x)′=1\displaystyle \ (x)'=1, (3x)′=3xln⁡3\displaystyle \ (3^{x})'=3^{x}\ln 3
  2. Adunăm derivatele termenilor și obținem expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x).
    f′(x)=3x2+2x+1+3xln⁡3\displaystyle f'(x)=3x^{2}+2x+1+3^{x}\ln 3
  3. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în expresia derivatei. Avem 3⋅02=0\displaystyle 3\cdot 0^{2}=0, 2⋅0=0\displaystyle 2\cdot 0=0, iar 30=1\displaystyle 3^{0}=1.
    f′(0)=3⋅02+2⋅0+1+30ln⁡3=0+0+1+1⋅ln⁡3\displaystyle f'(0)=3\cdot 0^{2}+2\cdot 0+1+3^{0}\ln 3=0+0+1+1\cdot\ln 3
  4. Rezultatul final este f′(0)=1+ln⁡3\displaystyle f'(0)=1+\ln 3.
    f′(0)=1+ln⁡3\displaystyle f'(0)=1+\ln 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+x2+x+3x\displaystyle f(x)=x^3+x^2+x+3^x.

Arătați că funcția f\displaystyle f este crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Calculăm derivata termen cu termen: (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)'=3x^2, (x2)′=2x\displaystyle (x^2)'=2x, (x)′=1\displaystyle (x)'=1, iar (3x)′=3xln⁡3\displaystyle (3^x)'=3^x\ln 3.
    f′(x)=3x2+2x+1+3xln⁡3\displaystyle f'(x)=3x^{2}+2x+1+3^{x}\ln 3
  2. Scriem partea polinomială a derivatei ca sumă de pătrate: 3x2+2x+1=2x2+(x2+2x+1)=2x2+(x+1)2\displaystyle 3x^2+2x+1=2x^2+(x^2+2x+1)=2x^2+(x+1)^2.
    f′(x)=2x2+(x+1)2+3xln⁡3\displaystyle f'(x)=2x^{2}+(x+1)^{2}+3^{x}\ln 3
  3. Pătratele sunt pozitive sau nule: 2x2≥0\displaystyle 2x^2\ge 0 și (x+1)2≥0\displaystyle (x+1)^2\ge 0. Cum 3x>0\displaystyle 3^x>0 și ln⁡3>0\displaystyle \ln 3>0 (deoarece 3>1\displaystyle 3>1), avem 3xln⁡3>0\displaystyle 3^x\ln 3>0. Suma este deci strict pozitivă pentru orice x\displaystyle x real.
    f′(x)=2x2+(x+1)2+3xln⁡3>0\displaystyle f'(x)=2x^{2}+(x+1)^{2}+3^{x}\ln 3>0, oricare ar fi x∈R\displaystyle \text{ oricare ar fi }x\in\mathbb{R}
  4. Deoarece f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pe R\displaystyle \mathbb{R}, funcția f\displaystyle f este strict crescătoare, deci în particular crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f este cresca˘toare pe R\displaystyle f\text{ este crescătoare pe }\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+x2+x+3x\displaystyle f(x)=x^3+x^2+x+3^x.

Arătați că a3+a2+a−b3−b2−b≤3b−3a\displaystyle a^3+a^2+a-b^3-b^2-b\le 3^b-3^a, oricare ar fi numerele reale a,b\displaystyle a,b cu a≤b\displaystyle a\le b.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f: f′(x)=3x2+2x+1+3xln⁡3\displaystyle f'(x)=3x^{2}+2x+1+3^{x}\ln 3.
    f′(x)=3x2+2x+1+3xln⁡3\displaystyle f'(x)=3x^{2}+2x+1+3^{x}\ln 3
  2. Trinomul 3x2+2x+1\displaystyle 3x^{2}+2x+1 are discriminantul Δ=4−12=−8<0\displaystyle \Delta=4-12=-8<0, iar coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} este pozitiv, deci 3x2+2x+1>0\displaystyle 3x^{2}+2x+1>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. De asemenea 3xln⁡3>0\displaystyle 3^{x}\ln 3>0, deoarece 3x>0\displaystyle 3^{x}>0 și ln⁡3>0\displaystyle \ln 3>0. Rezultă f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  3. Deoarece f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pe R\displaystyle \mathbb{R}, funcția f\displaystyle f este crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}. Cum a≤b\displaystyle a\le b, obținem f(a)≤f(b)\displaystyle f(a)\le f(b).
    f cresca˘toare pe R și a≤b⇒f(a)≤f(b)\displaystyle f\text{ crescătoare pe }\mathbb{R}\text{ și }a\le b\Rightarrow f(a)\le f(b)
  4. Scriem inegalitatea f(a)≤f(b)\displaystyle f(a)\le f(b) explicit, înlocuind f\displaystyle f cu expresia dată.
    a3+a2+a+3a≤b3+b2+b+3b\displaystyle a^3+a^2+a+3^a\le b^3+b^2+b+3^b
  5. Mutăm termenii: 3a\displaystyle 3^{a} trece în dreapta cu minus, iar b3+b2+b\displaystyle b^{3}+b^{2}+b trece în stânga cu minus. Obținem inegalitatea cerută.
    a3+a2+a−b3−b2−b≤3b−3a\displaystyle a^3+a^2+a-b^3-b^2-b\le 3^b-3^a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră funcția fn:[0,1]→R\displaystyle f_n:[0,1]\to\mathbb{R}, fn(x)=xnex\displaystyle f_n(x)=x^ne^x.

Calculați ∫01f1(x)ex dx\displaystyle \int_0^1\frac{f_1(x)}{e^x}\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n=1\displaystyle n=1 funcția este f1(x)=xex\displaystyle f_1(x)=x e^{x}, deci integrala cerută este ∫01xexex dx\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x e^{x}}{e^{x}}\,dx.
    ∫01f1(x)ex dx=∫01xexex dx\displaystyle \int_0^1 \frac{f_1(x)}{e^x}\,dx=\int_0^1 \frac{x e^{x}}{e^{x}}\,dx
  2. Simplificăm prin ex≠0\displaystyle e^{x}\neq 0 și obținem xexex=x\displaystyle \dfrac{x e^{x}}{e^{x}}=x, deci integrala devine ∫01x dx\displaystyle \int_0^1 x\,dx.
    ∫01x dx\displaystyle \int_0^1 x\,dx
  3. O primitivă a funcției x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫01x dx=x22∣01\displaystyle \int_0^1 x\,dx=\left.\dfrac{x^{2}}{2}\right|_0^1.
    x22∣01\displaystyle \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_0^1
  4. Calculăm diferența valorilor la capete: 122−022=12−0=12\displaystyle \dfrac{1^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2}=\dfrac{1}{2}-0=\dfrac{1}{2}.
    12\displaystyle \frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră funcția fn:[0,1]→R\displaystyle f_n:[0,1]\to\mathbb{R}, fn(x)=xnex\displaystyle f_n(x)=x^ne^x.

Calculați ∫01f1(x) dx\displaystyle \int_0^1 f_1(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n=1\displaystyle n=1 avem f1(x)=x⋅ex\displaystyle f_1(x)=x\cdot e^x, deci de calculat este ∫01x⋅ex dx\displaystyle \int_0^1 x\cdot e^x\,dx.
    ∫01x⋅ex dx\displaystyle \int_0^1 x\cdot e^x\,dx
  2. Aplicăm integrarea prin părți: alegem u=x\displaystyle u=x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x. Folosim formula ∫01u dv=uv∣01−∫01v du\displaystyle \int_0^1 u\,dv=\left.uv\right|_0^1-\int_0^1 v\,du.
    ∫01x⋅ex dx=x⋅ex∣01−∫01ex dx\displaystyle \int_0^1 x\cdot e^x\,dx=\left.x\cdot e^x\right|_0^1-\int_0^1 e^x\,dx
  3. Calculăm primul termen: x⋅ex∣01=1⋅e−0⋅e0=e\displaystyle \left.x\cdot e^x\right|_0^1=1\cdot e-0\cdot e^0=e. Primitiva lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x, deci expresia devine e−ex∣01\displaystyle e-\left.e^x\right|_0^1.
    e−ex∣01\displaystyle e-\left.e^x\right|_0^1
  4. Evaluăm: ex∣01=e−1\displaystyle \left.e^x\right|_0^1=e-1. Atunci e−(e−1)=1\displaystyle e-(e-1)=1.
    e−(e−1)=1\displaystyle e-(e-1)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră funcția fn:[0,1]→R\displaystyle f_n:[0,1]\to\mathbb{R}, fn(x)=xnex\displaystyle f_n(x)=x^ne^x.

Arătați că ∫01fn(x2) dx≥12n+1\displaystyle \int_0^1 f_n(x^2)\,dx\ge\frac{1}{2n+1}, pentru orice n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}, n≥1\displaystyle n\ge 1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu x2\displaystyle x^2 în fn(x)=xnex\displaystyle f_n(x)=x^ne^x: fn(x2)=(x2)nex2=x2nex2\displaystyle f_n(x^2)=(x^2)^n e^{x^2}=x^{2n}e^{x^2}. Deci integrala devine ∫01x2nex2 dx\displaystyle \int_0^1 x^{2n}e^{x^2}\,dx.
    ∫01fn(x2) dx=∫01x2nex2 dx\displaystyle \int_0^1 f_n(x^2)\,dx=\int_0^1 x^{2n}e^{x^2}\,dx
  2. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem x2≥0\displaystyle x^2\ge 0, iar funcția exponențială este crescătoare, deci ex2≥e0=1\displaystyle e^{x^2}\ge e^0=1.
    ex2≥1\displaystyle e^{x^2}\ge 1
  3. Înmulțim cu x2n≥0\displaystyle x^{2n}\ge 0, deci sensul se păstrează: x2nex2≥x2n\displaystyle x^{2n}e^{x^2}\ge x^{2n} pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1]. Prin monotonia integralei obținem inegalitatea dintre integrale.
    ∫01x2nex2 dx≥∫01x2n dx\displaystyle \int_0^1 x^{2n}e^{x^2}\,dx\ge\int_0^1 x^{2n}\,dx
  4. O primitivă a lui x2n\displaystyle x^{2n} este x2n+12n+1\displaystyle \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}. Atunci ∫01x2n dx=x2n+12n+1∣01=12n+1−0=12n+1\displaystyle \int_0^1 x^{2n}\,dx=\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}\Big|_0^1=\dfrac{1}{2n+1}-0=\dfrac{1}{2n+1}. Deci ∫01fn(x2) dx≥12n+1\displaystyle \int_0^1 f_n(x^2)\,dx\ge\dfrac{1}{2n+1}, pentru orice n≥1\displaystyle n\ge 1.
    ∫01fn(x2) dx≥∫01x2n dx=12n+1\displaystyle \int_0^1 f_n(x^2)\,dx\ge\int_0^1 x^{2n}\,dx=\frac{1}{2n+1}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.