Bac matematică M3 tehnologic 2023, sesiunea I rezervă varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 4⋅(1−45)+15=1\displaystyle 4\cdot\left(1-\dfrac{4}{5}\right)+\dfrac{1}{5}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se efectuează scăderea din interiorul parantezei, aducând numerele la același numitor.
    1−45=55−45=15\displaystyle 1-\dfrac{4}{5}=\dfrac{5}{5}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{1}{5}
  2. Se înlocuiește rezultatul parantezei în expresia inițială și se efectuează înmulțirea cu 4\displaystyle 4.
    4⋅(1−45)+15=4⋅15+15=\displaystyle 4\cdot\left(1-\dfrac{4}{5}\right)+\dfrac{1}{5}=4\cdot\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}=
  3. Se efectuează înmulțirea 4\displaystyle 4 cu 15\displaystyle \frac{1}{5}, obținând fracția 45\displaystyle \frac{4}{5}.
    4⋅15=45\displaystyle 4\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}
  4. Se adună fracțiile 45\displaystyle \frac{4}{5} și 15\displaystyle \frac{1}{5}, care au același numitor, obținând rezultatul final.
    =45+15=1\displaystyle =\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{5}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x+2\displaystyle f(x)=3x+2. Arătați că f(0)⋅f(1)=10\displaystyle f(0)\cdot f(1)=10.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției și se înlocuiește x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 pentru a calcula f(0)\displaystyle f(0).
    f(0)=3⋅0+2\displaystyle f(0)=3\cdot 0+2
  2. Se efectuează calculul numeric pentru a obține valoarea lui f(0)\displaystyle f(0).
    f(0)=2\displaystyle f(0)=2
  3. Se înlocuiește x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în expresia funcției pentru a calcula f(1)\displaystyle f(1).
    f(1)=3⋅1+2\displaystyle f(1)=3\cdot 1+2
  4. Se efectuează calculul numeric pentru a obține valoarea lui f(1)\displaystyle f(1), apoi se calculează produsul f(0)⋅f(1)\displaystyle f(0)\cdot f(1).
    f(1)=5⇒f(0)⋅f(1)=2⋅5=10\displaystyle f(1)=5\Rightarrow f(0)\cdot f(1)=2\cdot 5=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 32x−3=3x\displaystyle 3^{2x-3}=3^x.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că ambii membri ai ecuației au aceeași bază, 3\displaystyle 3, ceea ce permite compararea directă a exponenților.
    32x−3=3x\displaystyle 3^{2x-3}=3^{x}
  2. Deoarece bazele sunt egale (și 3>0\displaystyle 3>0, 3≠1\displaystyle 3\neq 1), funcția exponențială este injectivă, deci exponenții trebuie să fie egali.
    2x−3=x\displaystyle 2x-3=x
  3. Se trece termenul x\displaystyle x din dreapta în stânga, pentru a grupa termenii cu x\displaystyle x.
    2x−x−3=0\displaystyle 2x-x-3=0
  4. Se reduc termenii asemenea.
    x−3=0\displaystyle x-3=0
  5. Se izolează x\displaystyle x, adunând 3\displaystyle 3 în ambii membri, obținând soluția ecuației.
    x=3\displaystyle x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\displaystyle A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, acesta să verifice inegalitatea n2≤23\displaystyle n^2\le 23.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică mulțimea A și se numără câte elemente are, adică numărul de cazuri posibile.
    A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, deci 10 cazuri posibile\displaystyle A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\text{, deci }10\text{ cazuri posibile}
  2. Se calculează pătratul fiecărui element din A pentru a verifica inegalitatea n2≤23\displaystyle n^{2}\leq 23.
    02=0\displaystyle 0^2=0, 12=1\displaystyle \ 1^2=1, 22=4\displaystyle \ 2^2=4, 32=9\displaystyle \ 3^2=9, 42=16\displaystyle \ 4^2=16, 52=25\displaystyle \ 5^2=25, 62=36\displaystyle \ 6^2=36, 72=49\displaystyle \ 7^2=49, 82=64\displaystyle \ 8^2=64, 92=81\displaystyle \ 9^2=81
  3. Se compară fiecare pătrat cu 23\displaystyle 23 pentru a determina care numere verifică inegalitatea.
    16≤23 (adeva˘rat pentru n=4), iar 25>23 (fals pentru n=5)\displaystyle 16\le 23\text{ (adevărat pentru }n=4\text{), iar }25>23\text{ (fals pentru }n=5\text{)}
  4. Se identifică mulțimea numerelor favorabile, adică cele pentru care inegalitatea este adevărată.
    n∈{0,1,2,3,4}, deci 5 cazuri favorabile\displaystyle n\in\{0,1,2,3,4\}\text{, deci }5\text{ cazuri favorabile}
  5. Se calculează probabilitatea ca raport între numărul de cazuri favorabile și numărul de cazuri posibile.
    p=510=12\displaystyle p=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,3)\displaystyle A(0,3) și B(4,0)\displaystyle B(4,0). Arătați că perimetrul triunghiului OAB\displaystyle OAB este egal cu 12\displaystyle 12.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică coordonatele punctelor O\displaystyle O, A\displaystyle A, B\displaystyle B: O\displaystyle O este originea reperului, O(0,0)\displaystyle O(0,0), A(0,3)\displaystyle A(0,3), B(4,0)\displaystyle B(4,0).
    O(0,0)\displaystyle O(0,0), A(0,3)\displaystyle \ A(0,3), B(4,0)\displaystyle \ B(4,0)
  2. Se calculează lungimea segmentului OA\displaystyle OA, folosind faptul că O\displaystyle O și A\displaystyle A au aceeași abscisă (0\displaystyle 0), deci OA\displaystyle OA este distanța pe axa Oy\displaystyle Oy dintre origine și punctul A\displaystyle A.
    OA=∣3−0∣=3\displaystyle OA=|3-0|=3
  3. Se calculează lungimea segmentului OB\displaystyle OB, folosind faptul că O\displaystyle O și B\displaystyle B au aceeași ordonată (0\displaystyle 0), deci OB\displaystyle OB este distanța pe axa Ox\displaystyle Ox dintre origine și punctul B\displaystyle B.
    OB=∣4−0∣=4\displaystyle OB=|4-0|=4
  4. Se observă că OA\displaystyle OA se află pe axa Oy\displaystyle Oy, iar OB\displaystyle OB pe axa Ox\displaystyle Ox, deci unghiul dintre ele, cu vârful în O\displaystyle O, este drept, adică triunghiul OAB\displaystyle OAB este dreptunghic în O\displaystyle O.
    m(∠AOB)=90∘\displaystyle m(\angle AOB)=90^\circ
  5. Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic OAB\displaystyle OAB pentru a afla ipotenuza AB\displaystyle AB, folosind valorile OA=3\displaystyle OA=3 și OB=4\displaystyle OB=4.
    AB2=OA2+OB2=32+42=9+16=25\displaystyle AB^2=OA^2+OB^2=3^2+4^2=9+16=25
  6. Se extrage radical din ambii membri pentru a obține lungimea laturii AB\displaystyle AB, apoi se calculează perimetrul triunghiului OAB\displaystyle OAB ca sumă a celor trei laturi.
    AB=5\displaystyle AB=5, deci PΔOAB=3+4+5=12\displaystyle \text{ deci }P_{\Delta OAB}=3+4+5=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că (1+2cos⁡60∘)⋅sin⁡30∘=1\displaystyle (1+2\cos 60^\circ)\cdot\sin 30^\circ=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de 60°\displaystyle 60° și 30°\displaystyle 30°.
    cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}, sin⁡30∘=12\displaystyle \ \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}
  2. Se înlocuiesc aceste valori în expresia dată.
    (1+2cos⁡60∘)⋅sin⁡30∘=(1+2⋅12)⋅12\displaystyle (1+2\cos 60^\circ)\cdot\sin 30^\circ=\left(1+2\cdot\dfrac{1}{2}\right)\cdot\dfrac{1}{2}
  3. Se efectuează înmulțirea din interiorul parantezei.
    2⋅12=1\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}=1
  4. Se adună termenii din paranteză.
    1+1=2\displaystyle 1+1=2
  5. Se înmulțește rezultatul din paranteză cu sin⁡30°\displaystyle \sin 30° și se obține rezultatul final, confirmând egalitatea cerută.
    (1+2cos⁡60∘)⋅sin⁡30∘=(1+2⋅12)⋅12=2⋅12=1\displaystyle (1+2\cos 60^\circ)\cdot\sin 30^\circ=\left(1+2\cdot\dfrac{1}{2}\right)\cdot\dfrac{1}{2}=2\cdot\dfrac{1}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1013)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 3\end{pmatrix} și B(x)=(x0−1x−2)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x & 0\\ -1 & x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=3\displaystyle \det A=3.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula generală a determinantului unei matrice de ordinul doi: pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}, determinantul este a⋅d−b⋅c\displaystyle a\cdot d - b\cdot c.
    det⁡(abcd)=a⋅d−b⋅c\displaystyle \det\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}=a\cdot d-b\cdot c
  2. Se identifică elementele matricei A: a=1\displaystyle a=1, b=0\displaystyle b=0, c=1\displaystyle c=1, d=3\displaystyle d=3.
    A=(1013)⇒a=1\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 3\end{pmatrix}\Rightarrow a=1, b=0\displaystyle \ b=0, c=1\displaystyle \ c=1, d=3\displaystyle \ d=3
  3. Se aplică formula determinantului de ordinul doi pentru matricea A, înlocuind valorile identificate.
    det⁡A=∣1013∣=1⋅3−0⋅1=\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1 & 0\\ 1 & 3\end{vmatrix}=1\cdot 3-0\cdot 1=
  4. Se efectuează calculele: se calculează produsele 1⋅3\displaystyle 1\cdot 3 și 0⋅1\displaystyle 0\cdot 1, apoi se face scăderea pentru a obține valoarea finală a determinantului.
    =3−0=3\displaystyle =3-0=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1013)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 3\end{pmatrix} și B(x)=(x0−1x−2)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x & 0\\ -1 & x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că B(8)−3B(2)=2A\displaystyle B(8)-3B(2)=2A.
Vezi rezolvarea
  1. Se particularizează matricea B(x)\displaystyle B(x) pentru x=8\displaystyle x=8, înlocuind valoarea lui x\displaystyle x în fiecare element al matricei.
    B(8)=(80−16)\displaystyle B(8)=\begin{pmatrix}8 & 0\\ -1 & 6\end{pmatrix}
  2. Se particularizează matricea B(x)\displaystyle B(x) pentru x=2\displaystyle x=2, înlocuind valoarea lui x\displaystyle x în fiecare element al matricei.
    B(2)=(20−10)\displaystyle B(2)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ -1 & 0\end{pmatrix}
  3. Se înmulțește matricea B(2)\displaystyle B(2) cu scalarul 3\displaystyle 3, fiecare element fiind multiplicat cu 3\displaystyle 3.
    3B(2)=3(20−10)=(60−30)\displaystyle 3B(2)=3\begin{pmatrix}2 & 0\\ -1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 0\\ -3 & 0\end{pmatrix}
  4. Se scade matricea 3B(2)\displaystyle 3B(2) din matricea B(8)\displaystyle B(8), efectuând scăderea element cu element.
    B(8)−3B(2)=(80−16)−(60−30)=(2026)\displaystyle B(8)-3B(2)=\begin{pmatrix}8 & 0\\ -1 & 6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6 & 0\\ -3 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 2 & 6\end{pmatrix}
  5. Se scoate factor comun 2\displaystyle 2 din matricea obținută și se compară rezultatul cu matricea 2A\displaystyle 2A, obținută prin înmulțirea lui A\displaystyle A cu scalarul 2\displaystyle 2.
    (2026)=2(1013)=2A\displaystyle \begin{pmatrix}2 & 0\\ 2 & 6\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 3\end{pmatrix}=2A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1013)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 3\end{pmatrix} și B(x)=(x0−1x−2)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x & 0\\ -1 & x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A⋅B(x)=B(x)\displaystyle A\cdot B(x)=B(x).
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu matricele A\displaystyle A și B(x)\displaystyle B(x) și se stabilesc dimensiunile lor, ambele fiind matrice pătratice de ordinul 2\displaystyle 2, deci produsul A⋅B(x)\displaystyle A \cdot B(x) se poate efectua.
    A=(1013)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 3\end{pmatrix}, B(x)=(x0−1x−2)\displaystyle \ B(x)=\begin{pmatrix}x & 0\\ -1 & x-2\end{pmatrix}
  2. Se calculează elementul de pe linia 1\displaystyle 1, coloana 1\displaystyle 1 al produsului A⋅B(x)\displaystyle A \cdot B(x): se înmulțesc elementele liniei 1\displaystyle 1 din A\displaystyle A cu elementele coloanei 1\displaystyle 1 din B(x)\displaystyle B(x) și se adună.
    1⋅x+0⋅(−1)=x\displaystyle 1\cdot x+0\cdot(-1)=x
  3. Se calculează elementul de pe linia 1\displaystyle 1, coloana 2\displaystyle 2 al produsului: se înmulțesc elementele liniei 1\displaystyle 1 din A\displaystyle A cu elementele coloanei 2\displaystyle 2 din B(x)\displaystyle B(x).
    1⋅0+0⋅(x−2)=0\displaystyle 1\cdot 0+0\cdot(x-2)=0
  4. Se calculează elementul de pe linia 2\displaystyle 2, coloana 1\displaystyle 1 al produsului: se înmulțesc elementele liniei 2\displaystyle 2 din A\displaystyle A cu elementele coloanei 1\displaystyle 1 din B(x)\displaystyle B(x).
    1⋅x+3⋅(−1)=x−3\displaystyle 1\cdot x+3\cdot(-1)=x-3
  5. Se calculează elementul de pe linia 2\displaystyle 2, coloana 2\displaystyle 2 al produsului: se înmulțesc elementele liniei 2\displaystyle 2 din A\displaystyle A cu elementele coloanei 2\displaystyle 2 din B(x)\displaystyle B(x).
    1⋅0+3⋅(x−2)=3x−6\displaystyle 1\cdot 0+3\cdot(x-2)=3x-6
  6. Se scrie matricea produs A⋅B(x)\displaystyle A \cdot B(x) obținută prin centralizarea celor patru elemente calculate mai sus, rezultat valabil pentru orice x\displaystyle x real.
    A⋅B(x)=(x0x−33x−6)\displaystyle A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}x & 0\\ x-3 & 3x-6\end{pmatrix}, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x
  7. Se pune condiția ca A⋅B(x)\displaystyle A\cdot B(x) să fie egală cu matricea B(x)\displaystyle B(x), egalând cele două matrice element cu element.
    (x0x−33x−6)=(x0−1x−2)\displaystyle \begin{pmatrix}x & 0\\ x-3 & 3x-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x & 0\\ -1 & x-2\end{pmatrix}
  8. Se observă că elementele de pe poziția (1,1)\displaystyle (1,1) și (1,2)\displaystyle (1,2) coincid automat (x=x\displaystyle x=x și 0=0\displaystyle 0=0), iar din egalitatea elementelor de pe poziția (2,1)\displaystyle (2,1) se obține o ecuație în x\displaystyle x.
    x−3=−1⇒x=2\displaystyle x-3=-1\Rightarrow x=2
  9. Se verifică soluția folosind egalitatea elementelor de pe poziția (2,2)\displaystyle (2,2), confirmând aceeași valoare a lui x\displaystyle x.
    3x−6=x−2⇒2x=4⇒x=2\displaystyle 3x-6=x-2\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2
  10. Se concluzionează valoarea lui x\displaystyle x pentru care A⋅B(x)=B(x)\displaystyle A\cdot B(x)=B(x), confirmată de ambele ecuații obținute prin egalarea elementelor corespunzătoare.
    (x0x−33x−6)=(x0−1x−2)\displaystyle \begin{pmatrix}x & 0\\ x-3 & 3x-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x & 0\\ -1 & x-2\end{pmatrix}, de unde obținem x=2\displaystyle \text{ de unde obținem }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−2X2−2X+m\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=3\displaystyle m=3, arătați că f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește valoarea dată m=3\displaystyle m=3 în expresia polinomului f=X3−2X2−2X+m\displaystyle f=X^{3}-2X^{2}-2X+m, obținând forma particulară a polinomului.
    f=X3−2X2−2X+3\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+3
  2. Se calculează valoarea polinomului f\displaystyle f în X=1\displaystyle X=1, înlocuind X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în expresia obținută anterior.
    f(1)=13−2⋅12−2⋅1+3=\displaystyle f(1)=1^3-2\cdot 1^2-2\cdot 1+3=
  3. Se efectuează calculele: se ridică la putere, se face înmulțirea și se obține suma termenilor.
    1−2−2+3\displaystyle 1-2-2+3
  4. Se adună și se scad termenii obținuți, rezultând valoarea finală a lui f(1)\displaystyle f(1).
    =1−2−2+3=0\displaystyle =1-2-2+3=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−2X2−2X+m\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care x1x2+x2x3+x3x1+x1x2x3=1\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1+x_1x_2x_3=1, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică coeficienții polinomului f=X3−2X2−2X+m\displaystyle f = X^3 - 2X^2 - 2X + m, scris sub forma generală X3+aX2+bX+c\displaystyle X^3 + aX^2 + bX + c, unde a=−2\displaystyle a=-2, b=−2\displaystyle b=-2, c=m\displaystyle c=m.
    f=X3−2X2−2X+m\displaystyle f=X^{3}-2X^{2}-2X+m, a=−2\displaystyle \ a=-2, b=−2\displaystyle \ b=-2, c=m\displaystyle \ c=m
  2. Se aplică relațiile lui Viète pentru polinomul de gradul 3\displaystyle 3 cu rădăcinile x1,x2,x3\displaystyle x_1, x_2, x_3, exprimând suma rădăcinilor, suma produselor luate câte două și produsul rădăcinilor în funcție de coeficienți.
    x1+x2+x3=2\displaystyle x_1+x_2+x_3=2, x1x2+x2x3+x3x1=−2\displaystyle \ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-2, x1x2x3=−m\displaystyle \ x_1x_2x_3=-m
  3. Se scrie expresia cerută în problemă, x1x2+x2x3+x3x1+x1x2x3\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1+x_1x_2x_3, și se înlocuiesc valorile obținute din relațiile lui Viète pentru suma produselor câte două și pentru produsul rădăcinilor.
    x1x2+x2x3+x3x1=−2 și x1x2x3=−m⇒x1x2+x2x3+x3x1+x1x2x3=−2−m\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-2\text{ și }x_1x_2x_3=-m\Rightarrow x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1+x_1x_2x_3=-2-m
  4. Se pune condiția din enunț ca această expresie să fie egală cu 1\displaystyle 1 și se obține o ecuație de gradul întâi în m\displaystyle m.
    −2−m=1\displaystyle -2-m=1
  5. Se rezolvă ecuația obținută, izolând necunoscuta m\displaystyle m, și se obține valoarea căutată.
    −2−m=1\displaystyle -2-m=1, de unde obținem m=−3\displaystyle \text{ de unde obținem }m=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−2X2−2X+m\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care polinomul f\displaystyle f este divizibil cu polinomul X+2\displaystyle X+2.
Vezi rezolvarea
  1. Se aplică teorema restului: un polinom f\displaystyle f este divizibil cu X+2\displaystyle X+2 dacă și numai dacă valoarea sa în rădăcina lui X+2\displaystyle X+2, adică x=−2\displaystyle x=-2, este zero, deci f(−2)=0\displaystyle f(-2)=0.
    f este divizibil cu X+2⇔f(−2)=0\displaystyle f\text{ este divizibil cu }X+2\Leftrightarrow f(-2)=0
  2. Se calculează f(−2)\displaystyle f(-2) prin înlocuirea lui X\displaystyle X cu −2\displaystyle -2 în expresia polinomului f=X3−2X2−2X+m\displaystyle f=X^{3}-2X^{2}-2X+m.
    f(−2)=(−2)3−2⋅(−2)2−2⋅(−2)+m\displaystyle f(-2)=(-2)^3-2\cdot(-2)^2-2\cdot(-2)+m
  3. Se efectuează calculele: (−2)3=−8\displaystyle (-2)^{3}=-8, (−2)2=4\displaystyle (-2)^{2}=4, deci −2⋅4=−8\displaystyle -2\cdot 4=-8, iar −2⋅(−2)=4\displaystyle -2\cdot(-2)=4. Se adună toate valorile obținute.
    f(−2)=−8−8+4+m=m−12\displaystyle f(-2)=-8-8+4+m=m-12
  4. Se pune condiția ca f\displaystyle f să fie divizibil cu X+2\displaystyle X+2, adică f(−2)=0\displaystyle f(-2)=0, folosind rezultatul obținut anterior.
    m−12=0\displaystyle m-12=0
  5. Se rezolvă ecuația obținută pentru a determina valoarea lui m\displaystyle m.
    m−12=0\displaystyle m-12=0, de unde obținem m=12\displaystyle \text{ de unde obținem }m=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3xx2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{3x}{x^2+1}.

Arătați că f′(x)=3(1−x2)(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3\left(1-x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică funcțiile u\displaystyle u și v\displaystyle v din scrierea f(x)=u(x)v(x)\displaystyle f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, precum și derivatele lor, pentru a aplica regula de derivare a câtului.
    u(x)=3x\displaystyle u(x)=3x, v(x)=x2+1\displaystyle \ v(x)=x^2+1, u′(x)=3\displaystyle \ u'(x)=3, v′(x)=2x\displaystyle \ v'(x)=2x
  2. Se scrie formula de derivare a câtului și se aplică pentru f\displaystyle f, obținându-se expresia derivatei înainte de simplificare.
    f′(x)=(uv)′=u′v−uv′v2=3(x2+1)−3x⋅2x(x2+1)2=\displaystyle f'(x)=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{3\left(x^2+1\right)-3x\cdot 2x}{\left(x^2+1\right)^2}=
  3. Se efectuează calculele din numărător: se desface paranteza și se scad termenii asemenea.
    3(x2+1)−3x⋅2x=3x2+3−6x2=3−3x2\displaystyle 3\left(x^2+1\right)-3x\cdot 2x=3x^2+3-6x^2=3-3x^2
  4. Se scrie forma finală a derivatei, dând factor comun 3\displaystyle 3 la numărător, valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    =3−3x2(x2+1)2=3(1−x2)(x2+1)2\displaystyle =\dfrac{3-3x^2}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{3\left(1-x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3xx2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{3x}{x^2+1}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică tipul de asimptotă căutată: deoarece dorim comportamentul graficului lui f\displaystyle f la +∞\displaystyle +\infty, calculăm limita funcției când x\displaystyle x tinde la +∞\displaystyle +\infty; dacă limita este finită, dreapta orizontală obținută este asimptotă orizontală.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞3xx2+1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x}{x^2+1}
  2. Pentru a calcula limita, se scoate factor comun forțat x2\displaystyle x^{2} atât la numărător cât și la numitor, împărțind fiecare termen prin x2\displaystyle x^{2} (cea mai mare putere a lui x\displaystyle x).
    3xx2+1=3xx2(1+1x2)=3x(1+1x2)\displaystyle \dfrac{3x}{x^2+1}=\dfrac{3x}{x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)}=\dfrac{3}{x\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)}
  3. Se trece la limită: cum x→+∞\displaystyle x\to+\infty, avem 1x2→0\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}\to 0, deci paranteza tinde la 1\displaystyle 1, iar numitorul x(1+1x2)→+∞\displaystyle x\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)\to+\infty; astfel fracția tinde la 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞3xx2+1=lim⁡x→+∞3x(1+1x2)=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x}{x^2+1}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3}{x\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)}=0
  4. Deoarece limita funcției la +∞\displaystyle +\infty este finită (egală cu 0\displaystyle 0), rezultă că graficul funcției f\displaystyle f admite o asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty, a cărei ecuație este dată chiar de valoarea acestei limite.
    Dreapta de ecuație y=0 este asimptota orizontala˘ \displaystyle \text{Dreapta de ecuație }y=0\text{ este asimptota orizontală }spre +∞ la graficul funcției f\displaystyle \text{spre }+\infty\text{ la graficul funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3xx2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{3x}{x^2+1}.

Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata funcției f folosind regula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}, unde u=3x\displaystyle u=3x și v=x2+1\displaystyle v=x^{2}+1.
    f′(x)=3(x2+1)−3x⋅2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3(x^2+1)-3x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}
  2. Se simplifică expresia obținută la numărător.
    f′(x)=3x2+3−6x2(x2+1)2=3−3x2(x2+1)2=3(1−x2)(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3x^2+3-6x^2}{(x^2+1)^2}=\dfrac{3-3x^2}{(x^2+1)^2}=\dfrac{3(1-x^2)}{(x^2+1)^2}
  3. Se rezolvă ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0, observând că numitorul (x2+1)2\displaystyle (x^{2}+1)^{2} este întotdeauna strict pozitiv, deci ecuația se reduce la anularea numărătorului.
    f′(x)=0⇔3(1−x2)=0⇔1−x2=0⇔x=−1 sau x=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow 3(1-x^2)=0\Leftrightarrow 1-x^2=0\Leftrightarrow x=-1\text{ sau }x=1
  4. Se studiază semnul derivatei pe cele trei intervale determinate de rădăcinile x=−1\displaystyle x=-1 și x=1\displaystyle x=1, ținând cont că denumitorul este mereu pozitiv, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat de semnul lui 1−x2\displaystyle 1-x^{2}.
    x∈(−∞,−1)⇒1−x2<0⇒f′(x)<0;x∈(−1,1)⇒1−x2>0⇒f′(x)>0;x∈(1,+∞)⇒1−x2<0⇒f′(x)<0\displaystyle x\in(-\infty,-1)\Rightarrow 1-x^2<0\Rightarrow f'(x)<0;\quad x\in(-1,1)\Rightarrow 1-x^2>0\Rightarrow f'(x)>0;\quad x\in(1,+\infty)\Rightarrow 1-x^2<0\Rightarrow f'(x)<0
  5. Pe baza semnului derivatei pe fiecare interval, se stabilesc intervalele de monotonie ale funcției f.
    f descresca˘toare pe (−∞,−1]; f cresca˘toare pe [−1,1]; f descresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }(-\infty,-1];\ f\text{ crescătoare pe }[-1,1];\ f\text{ descrescătoare pe }[1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x2+1\displaystyle f(x)=2x^2+1.

Arătați că ∫01(f(x)−1)dx=23\displaystyle \displaystyle\int_0^1\left(f(x)-1\right)dx=\dfrac{2}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează expresia de sub integrală, înlocuind f(x)\displaystyle f(x) și simplificând: f(x)−1=2x2+1−1=2x2\displaystyle f(x)-1 = 2x^{2}+1-1 = 2x^{2}.
    f(x)−1=2x2+1−1=2x2\displaystyle f(x)-1=2x^2+1-1=2x^2
  2. Se scrie integrala cu funcția simplificată și se determină primitiva funcției 2x2\displaystyle 2x^{2}, aplicând formula de integrare a funcțiilor putere.
    ∫01(f(x)−1)dx=∫012x2 dx=2x33∣01=\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-1\right)dx=\int_0^1 2x^2\,dx=\dfrac{2x^3}{3}\Big|_0^1=
  3. Se aplică formula Leibniz-Newton, calculând valoarea primitivei în capătul superior x=1\displaystyle x=1 și în capătul inferior x=0\displaystyle x=0.
    =2⋅133−2⋅033\displaystyle =\dfrac{2\cdot 1^3}{3}-\dfrac{2\cdot 0^3}{3}
  4. Se efectuează calculele numerice și se obține rezultatul final al integralei.
    =23−0=23\displaystyle =\dfrac{2}{3}-0=\dfrac{2}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x2+1\displaystyle f(x)=2x^2+1.

Arătați că ∫024xf(x)dx=2ln⁡3\displaystyle \displaystyle\int_0^2\dfrac{4x}{f(x)}dx=2\ln 3.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția dată și se identifică integrala definită care trebuie calculată, folosind f(x)=2x2+1\displaystyle f(x)=2x^{2}+1.
    f(x)=2x2+1\displaystyle f(x)=2x^2+1,I=∫024xf(x)dx\displaystyle \quad I=\int_0^2\dfrac{4x}{f(x)}dx
  2. Se calculează derivata numitorului 2x2+1\displaystyle 2x^{2}+1 pentru a observa legătura cu numărătorul 4x\displaystyle 4x.
    (2x2+1)′=4x\displaystyle \left(2x^2+1\right)'=4x
  3. Se rescrie integrandul ca raportul dintre derivata numitorului și numitor, deoarece 4x\displaystyle 4x este exact derivata lui 2x2+1\displaystyle 2x^{2}+1, apoi se aplică formula de integrare care conduce la logaritm natural.
    ∫024xf(x)dx=∫024x2x2+1dx=∫02(2x2+1)′2x2+1dx=ln⁡(2x2+1)∣02=\displaystyle \int_0^2\dfrac{4x}{f(x)}dx=\int_0^2\dfrac{4x}{2x^2+1}dx=\int_0^2\dfrac{\left(2x^2+1\right)'}{2x^2+1}dx=\ln\left(2x^2+1\right)\Big|_0^2=
  4. Se calculează valorile funcției 2x2+1\displaystyle 2x^{2}+1 la capetele intervalului, adică pentru x=2\displaystyle x=2 și x=0\displaystyle x=0.
    2⋅22+1=9\displaystyle 2\cdot2^2+1=9,2⋅02+1=1\displaystyle \quad 2\cdot0^2+1=1
  5. Se înlocuiesc valorile obținute în expresia logaritmică și se simplifică folosind proprietățile logaritmilor, obținând rezultatul final.
    =ln⁡9−ln⁡1=2ln⁡3\displaystyle =\ln 9-\ln 1=2\ln 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x2+1\displaystyle f(x)=2x^2+1.

Determinați numărul natural n\displaystyle n, știind că ∫1ef(1x)⋅ln⁡x dx=f(n)−4e\displaystyle \displaystyle\int_1^e f\left(\dfrac{1}{x}\right)\cdot\ln x\,dx=f(n)-\dfrac{4}{e}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1x)\displaystyle f\left(\dfrac{1}{x}\right): înlocuim x\displaystyle x cu 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} în f(x)=2x2+1\displaystyle f(x)=2x^2+1 și obținem 2x2+1\displaystyle \dfrac{2}{x^2}+1. Integrala devine ∫1e(2x2+1)ln⁡x dx\displaystyle \displaystyle\int_1^e\left(\dfrac{2}{x^2}+1\right)\ln x\,dx.
    ∫1e(2x2+1)ln⁡x dx\displaystyle \int_1^e\left(\dfrac{2}{x^{2}}+1\right)\ln x\,dx
  2. Pregătim integrarea prin părți. O primitivă a lui 2x2+1\displaystyle \dfrac{2}{x^2}+1 este −2x+x\displaystyle -\dfrac{2}{x}+x, pentru că derivata lui −2x\displaystyle -\dfrac{2}{x} este 2x2\displaystyle \dfrac{2}{x^2}. Alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=(−2x+x)′dx\displaystyle dv=\left(-\dfrac{2}{x}+x\right)'dx.
    ∫1e(−2x+x)′ln⁡x dx\displaystyle \int_1^e\left(-\dfrac{2}{x}+x\right)'\ln x\,dx
  3. Aplicăm formula integrării prin părți: termenul tăiat este (−2x+x)ln⁡x∣1e\displaystyle \left(-\dfrac{2}{x}+x\right)\ln x\Big|_1^e, iar rămâne integrala lui (−2x+x)⋅1x\displaystyle \left(-\dfrac{2}{x}+x\right)\cdot\dfrac{1}{x}, pentru că (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}. Valoarea termenului tăiat: la x=e\displaystyle x=e avem ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1, deci obținem −2e+e\displaystyle -\dfrac{2}{e}+e; la x=1\displaystyle x=1 avem ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, deci obținem 0\displaystyle 0.
    (−2x+x)ln⁡x∣1e−∫1e(−2x2+1)dx=(e−2e)−∫1e(−2x2+1)dx\displaystyle \left(-\dfrac{2}{x}+x\right)\ln x\Big|_1^e-\int_1^e\left(-\dfrac{2}{x^{2}}+1\right)dx=\left(e-\dfrac{2}{e}\right)-\int_1^e\left(-\dfrac{2}{x^{2}}+1\right)dx
  4. Calculăm integrala rămasă. O primitivă a lui −2x2+1\displaystyle -\dfrac{2}{x^2}+1 este 2x+x\displaystyle \dfrac{2}{x}+x. Evaluăm între 1\displaystyle 1 și e\displaystyle e: (2e+e)−(2+1)\displaystyle \left(\dfrac{2}{e}+e\right)-(2+1).
    ∫1e(−2x2+1)dx=(2x+x)∣1e=2e+e−3\displaystyle \int_1^e\left(-\dfrac{2}{x^{2}}+1\right)dx=\left(\dfrac{2}{x}+x\right)\Big|_1^e=\dfrac{2}{e}+e-3
  5. Scădem: e−2e−(2e+e−3)\displaystyle e-\dfrac{2}{e}-\left(\dfrac{2}{e}+e-3\right). Termenii cu e\displaystyle e se reduc, rămâne 3−4e\displaystyle 3-\dfrac{4}{e}.
    ∫1ef(1x)ln⁡x dx=3−4e\displaystyle \int_1^e f\left(\dfrac{1}{x}\right)\ln x\,dx=3-\dfrac{4}{e}
  6. Egalăm cu f(n)−4e\displaystyle f(n)-\dfrac{4}{e}, unde f(n)=2n2+1\displaystyle f(n)=2n^2+1. Obținem 3−4e=2n2+1−4e\displaystyle 3-\dfrac{4}{e}=2n^2+1-\dfrac{4}{e}, deci 2n2=2\displaystyle 2n^2=2 și n2=1\displaystyle n^2=1. Cum n\displaystyle n este număr natural, n=1\displaystyle n=1.
    3−4e=2n2+1−4e ⇒ n2=1 ⇒ n=1\displaystyle 3-\dfrac{4}{e}=2n^{2}+1-\dfrac{4}{e}\ \Rightarrow\ n^{2}=1\ \Rightarrow\ n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.