Bac matematică M3 tehnologic 2013, sesiunea I varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 3(2−2)+32=6\displaystyle 3\left(2-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}=6.
Vezi rezolvarea
  1. Începem de la expresia 3(2−2)+32\displaystyle 3\left(2-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}. Aplicăm distributivitatea: înmulțim factorul 3\displaystyle 3 cu fiecare termen din paranteză, adică cu 2\displaystyle 2 și cu −2\displaystyle -\sqrt{2}.
    3(2−2)=3⋅2−32\displaystyle 3\left(2-\sqrt{2}\right)=3\cdot 2-3\sqrt{2}
  2. Calculăm produsul 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6, deci prima parte a expresiei devine 6−32\displaystyle 6-3\sqrt{2}.
    3(2−2)=6−32\displaystyle 3\left(2-\sqrt{2}\right)=6-3\sqrt{2}
  3. Înlocuim această valoare în expresia inițială și adunăm termenul 32\displaystyle 3\sqrt{2}.
    6−32+32\displaystyle 6-3\sqrt{2}+3\sqrt{2}
  4. Termenii −32\displaystyle -3\sqrt{2} și +32\displaystyle +3\sqrt{2} sunt opuși, deci se reduc și rămâne 6\displaystyle 6, ceea ce trebuia arătat.
    6−32+32=6\displaystyle 6-3\sqrt{2}+3\sqrt{2}=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați f(0)⋅f(2)\displaystyle f(0)\cdot f(2) pentru funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−1\displaystyle f(x)=x-1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în formula funcției f(x)=x−1\displaystyle f(x)=x-1: f(0)=0−1\displaystyle f(0)=0-1.
    f(0)=0−1=−1\displaystyle f(0)=0-1=-1
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în formula funcției f(x)=x−1\displaystyle f(x)=x-1: f(2)=2−1\displaystyle f(2)=2-1.
    f(2)=2−1=1\displaystyle f(2)=2-1=1
  3. Înmulțim cele două valori obținute: f(0)⋅f(2)=(−1)⋅1\displaystyle f(0)\cdot f(2)=(-1)\cdot 1.
    f(0)⋅f(2)=(−1)⋅1=−1\displaystyle f(0)\cdot f(2)=(-1)\cdot 1=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x−2=25\displaystyle 5^{x-2}=25.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 25=52\displaystyle 25=5^{2}, deci putem scrie ambii membri ai ecuației ca puteri ale lui 5\displaystyle 5.
    25=52\displaystyle 25=5^{2}
  2. Înlocuim 25\displaystyle 25 cu 52\displaystyle 5^{2} în ecuația inițială și obținem puteri cu aceeași bază în ambii membri.
    5x−2=52\displaystyle 5^{x-2}=5^{2}
  3. Funcția f(t)=5t\displaystyle f(t)=5^{t} este injectivă, deci din egalitatea puterilor rezultă egalitatea exponenților.
    x−2=2\displaystyle x-2=2
  4. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: adunăm 2\displaystyle 2 în ambii membri. Soluția ecuației este x=4\displaystyle x=4.
    x=4\displaystyle x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Prețul unui obiect este 100\displaystyle 100 de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu 10%\displaystyle 10\%.
Vezi rezolvarea
  1. Scumpirea cu 10%\displaystyle 10\% înseamnă că prețul crește cu 10%\displaystyle 10\% din prețul inițial. Calculăm 10%\displaystyle 10\% din 100\displaystyle 100 de lei: 10%⋅100=10100⋅100\displaystyle 10\%\cdot 100=\dfrac{10}{100}\cdot 100.
    10%⋅100=10100⋅100=10\displaystyle 10\%\cdot 100=\dfrac{10}{100}\cdot 100=10
  2. Adăugăm creșterea de 10\displaystyle 10 lei la prețul inițial de 100\displaystyle 100 de lei: 100+10=110\displaystyle 100+10=110. Prețul obiectului după scumpire este 110\displaystyle 110 lei.
    100+10=110 lei\displaystyle 100+10=110\text{ lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,1)\displaystyle A(1,1) și B(1,3)\displaystyle B(1,3). Calculați distanța de la punctul A\displaystyle A la punctul B\displaystyle B.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula distanței dintre două puncte din plan: pentru A(xA,yA)\displaystyle A(x_A,y_A) și B(xB,yB)\displaystyle B(x_B,y_B) avem AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.
    AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor A(1,1)\displaystyle A(1,1) și B(1,3)\displaystyle B(1,3), adică xA=1\displaystyle x_A=1, yA=1\displaystyle y_A=1, xB=1\displaystyle x_B=1, yB=3\displaystyle y_B=3.
    AB=(1−1)2+(3−1)2\displaystyle AB=\sqrt{(1-1)^2+(3-1)^2}
  3. Calculăm diferențele din paranteze: 1−1=0\displaystyle 1-1=0 și 3−1=2\displaystyle 3-1=2. Apoi AB=02+22=4\displaystyle AB=\sqrt{0^2+2^2}=\sqrt{4}.
    AB=0+4=4\displaystyle AB=\sqrt{0+4}=\sqrt{4}
  4. Extragem rădăcina pătrată din 4\displaystyle 4 și obținem distanța cerută. Observăm că punctele au aceeași abscisă, deci segmentul AB\displaystyle AB este vertical, iar lungimea lui este diferența ordonatelor, 3−1=2\displaystyle 3-1=2.
    AB=2\displaystyle AB=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați cos⁡45∘+cos⁡135∘\displaystyle \cos 45^\circ+\cos 135^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valoarea cunoscută a cosinusului pentru unghiul de 45∘\displaystyle 45^\circ: cos⁡45∘=22\displaystyle \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    cos⁡45∘=22\displaystyle \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  2. Pentru 135∘\displaystyle 135^\circ scriem 135∘=180∘−45∘\displaystyle 135^\circ=180^\circ-45^\circ și folosim formula cos⁡(180∘−x)=−cos⁡x\displaystyle \cos(180^\circ-x)=-\cos x.
    cos⁡135∘=cos⁡(180∘−45∘)=−cos⁡45∘\displaystyle \cos 135^\circ=\cos(180^\circ-45^\circ)=-\cos 45^\circ
  3. Înlocuim valoarea lui cos⁡45∘\displaystyle \cos 45^\circ și obținem cos⁡135∘=−22\displaystyle \cos 135^\circ=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    cos⁡135∘=−22\displaystyle \cos 135^\circ=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  4. Adunăm cele două valori: 22+(−22)=0\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=0. Deci suma cerută este 0\displaystyle 0.
    cos⁡45∘+cos⁡135∘=22−22=0\displaystyle \cos 45^\circ+\cos 135^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr real a\displaystyle a se consideră matricea M(a)=(2a002a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}2a & 0\\ 0 & 2a\end{pmatrix}.

Arătați că M(12)+M(−12)=M(0)\displaystyle M\left(\frac{1}{2}\right)+M\left(-\frac{1}{2}\right)=M(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=12\displaystyle a=\dfrac{1}{2} în definiția matricei: elementele de pe diagonală devin 2⋅12=1\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}=1, iar celelalte rămân 0\displaystyle 0.
    M(12)=(1001)\displaystyle M\left(\frac{1}{2}\right)=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}
  2. Înlocuim a=−12\displaystyle a=-\dfrac{1}{2}: elementele de pe diagonală devin 2⋅(−12)=−1\displaystyle 2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-1, iar celelalte rămân 0\displaystyle 0.
    M(−12)=(−100−1)\displaystyle M\left(-\frac{1}{2}\right)=\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}
  3. Adunăm cele două matrice element cu element: pe diagonală 1+(−1)=0\displaystyle 1+(-1)=0, iar în rest 0+0=0\displaystyle 0+0=0.
    M(12)+M(−12)=(1001)+(−100−1)=(0000)\displaystyle M\left(\frac{1}{2}\right)+M\left(-\frac{1}{2}\right)=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}
  4. Pentru a=0\displaystyle a=0, matricea M(0)\displaystyle M(0) are pe diagonală 2⋅0=0\displaystyle 2\cdot 0=0, deci este matricea nulă, egală cu suma obținută. Așadar egalitatea este demonstrată.
    (1001)+(−100−1)=(0000)=M(0)\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}=M(0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr real a\displaystyle a se consideră matricea M(a)=(2a002a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}2a & 0\\ 0 & 2a\end{pmatrix}.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care det⁡(M(a))=0\displaystyle \det(M(a))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea M(a)=(2a002a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}2a & 0\\ 0 & 2a\end{pmatrix} și determinantul ei: det⁡(M(a))=∣2a002a∣\displaystyle \det(M(a))=\begin{vmatrix}2a & 0\\ 0 & 2a\end{vmatrix}.
    det⁡(M(a))=∣2a002a∣\displaystyle \det(M(a))=\begin{vmatrix}2a & 0\\ 0 & 2a\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordin 2: ∣pqrs∣=ps−qr\displaystyle \begin{vmatrix}p & q\\ r & s\end{vmatrix}=ps-qr. Obținem 2a⋅2a−0⋅0=4a2\displaystyle 2a\cdot 2a-0\cdot 0=4a^{2}.
    det⁡(M(a))=2a⋅2a−0⋅0=4a2\displaystyle \det(M(a))=2a\cdot 2a-0\cdot 0=4a^{2}
  3. Impunem condiția det⁡(M(a))=0\displaystyle \det(M(a))=0, deci 4a2=0\displaystyle 4a^{2}=0.
    4a2=0\displaystyle 4a^{2}=0
  4. Împărțim la 4\displaystyle 4 și obținem a2=0\displaystyle a^{2}=0, deci a=0\displaystyle a=0. Răspunsul final este a=0\displaystyle a=0.
    a=0\displaystyle a=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr real a\displaystyle a se consideră matricea M(a)=(2a002a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}2a & 0\\ 0 & 2a\end{pmatrix}.

Determinați matricea M(−2)+M(−1)+M(0)+M(1)+M(2)\displaystyle M(-2)+M(-1)+M(0)+M(1)+M(2).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu fiecare valoare în M(a)=(2a002a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}2a & 0\\ 0 & 2a\end{pmatrix}. Obținem M(−2)=(−400−4)\displaystyle M(-2)=\begin{pmatrix}-4 & 0\\ 0 & -4\end{pmatrix}, M(−1)=(−200−2)\displaystyle M(-1)=\begin{pmatrix}-2 & 0\\ 0 & -2\end{pmatrix}, M(0)=(0000)\displaystyle M(0)=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}, M(1)=(2002)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}, M(2)=(4004)\displaystyle M(2)=\begin{pmatrix}4 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}.
    M(−2)=(−400−4)\displaystyle M(-2)=\begin{pmatrix}-4 & 0\\ 0 & -4\end{pmatrix}, M(−1)=(−200−2)\displaystyle \ M(-1)=\begin{pmatrix}-2 & 0\\ 0 & -2\end{pmatrix}, M(0)=(0000)\displaystyle \ M(0)=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}, M(1)=(2002)\displaystyle \ M(1)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}, M(2)=(4004)\displaystyle \ M(2)=\begin{pmatrix}4 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}
  2. Grupăm termenii cu argumente opuse: (M(−2)+M(2))+(M(−1)+M(1))+M(0)\displaystyle \left(M(-2)+M(2)\right)+\left(M(-1)+M(1)\right)+M(0).
    (M(−2)+M(2))+(M(−1)+M(1))+M(0)\displaystyle \left(M(-2)+M(2)\right)+\left(M(-1)+M(1)\right)+M(0)
  3. Avem M(−2)+M(2)=(−4+400−4+4)=(0000)\displaystyle M(-2)+M(2)=\begin{pmatrix}-4+4 & 0\\ 0 & -4+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} și analog M(−1)+M(1)=(0000)\displaystyle M(-1)+M(1)=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}. În general, M(−a)+M(a)=(−2a+2a00−2a+2a)\displaystyle M(-a)+M(a)=\begin{pmatrix}-2a+2a & 0\\ 0 & -2a+2a\end{pmatrix} este matricea nulă.
    M(−2)+M(2)=M(−1)+M(1)=(0000)\displaystyle M(-2)+M(2)=M(-1)+M(1)=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}
  4. Suma este O2+O2+M(0)=3M(0)\displaystyle O_2+O_2+M(0)=3M(0), iar M(0)=(0000)\displaystyle M(0)=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}. Deci matricea căutată este matricea nulă.
    3M(0)=(0000)\displaystyle 3M(0)=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−2X2+1\displaystyle f=X^3-2X^2+1.

Arătați că f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim pe X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în expresia polinomului f=X3−2X2+1\displaystyle f=X^3-2X^2+1.
    f(1)=13−2⋅12+1\displaystyle f(1)=1^3-2\cdot 1^2+1
  2. Calculăm puterile lui 1\displaystyle 1: 13=1\displaystyle 1^3=1 și 12=1\displaystyle 1^2=1, deci 2⋅12=2\displaystyle 2\cdot 1^2=2.
    f(1)=1−2⋅1+1=1−2+1\displaystyle f(1)=1-2\cdot 1+1=1-2+1
  3. Efectuăm adunările și scăderile: 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1, iar −1+1=0\displaystyle -1+1=0. Deci f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
    1−2+1=0⇒f(1)=0\displaystyle 1-2+1=0\Rightarrow f(1)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−2X2+1\displaystyle f=X^3-2X^2+1. Determinați restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la polinomul g=X2−2X+1\displaystyle g=X^2-2X+1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem f=X3−2X2+0⋅X+1\displaystyle f=X^3-2X^2+0\cdot X+1. Împărțim termenul dominant al lui f\displaystyle f la termenul dominant al lui g\displaystyle g: X3X2=X\displaystyle \dfrac{X^3}{X^2}=X.
    X3X2=X\displaystyle \dfrac{X^3}{X^2}=X
  2. Înmulțim X\displaystyle X cu g\displaystyle g: X⋅(X2−2X+1)\displaystyle X\cdot(X^2-2X+1).
    X⋅g=X3−2X2+X\displaystyle X\cdot g=X^3-2X^2+X
  3. Scădem produsul din f\displaystyle f: (X3−2X2+1)−(X3−2X2+X)\displaystyle (X^3-2X^2+1)-(X^3-2X^2+X). Termenii X3\displaystyle X^3 și −2X2\displaystyle -2X^2 se reduc.
    f−X⋅g=−X+1\displaystyle f-X\cdot g=-X+1
  4. Polinomul −X+1\displaystyle -X+1 are gradul 1\displaystyle 1, mai mic decât gradul lui g\displaystyle g, care este 2\displaystyle 2, deci împărțirea se oprește. Câtul este X\displaystyle X.
    q=X\displaystyle q=X
  5. Restul este ultimul polinom obținut. Verificare: f=g⋅X+(−X+1)=X3−2X2+X−X+1=X3−2X2+1\displaystyle f=g\cdot X+(-X+1)=X^3-2X^2+X-X+1=X^3-2X^2+1. Deci câtul este X\displaystyle X, iar restul este −X+1\displaystyle -X+1.
    q=X\displaystyle q=X,r=−X+1\displaystyle \quad r=-X+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−2X2+1\displaystyle f=X^3-2X^2+1.

Calculați x12+x22+x32\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2, unde x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții polinomului f=X3−2X2+0⋅X+1\displaystyle f=X^3-2X^2+0\cdot X+1: a=1\displaystyle a=1, b=−2\displaystyle b=-2, c=0\displaystyle c=0, d=1\displaystyle d=1.
    a=1\displaystyle a=1, b=−2\displaystyle \ b=-2, c=0\displaystyle \ c=0, d=1\displaystyle \ d=1
  2. Relațiile lui Viète sunt x1+x2+x3=−ba\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a} și x1x2+x2x3+x3x1=ca\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\dfrac{c}{a}. Înlocuind coeficienții, obținem x1+x2+x3=2\displaystyle x_1+x_2+x_3=2 și x1x2+x2x3+x3x1=0\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=0.
    x1+x2+x3=2\displaystyle x_1+x_2+x_3=2, x1x2+x2x3+x3x1=0\displaystyle \ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=0
  3. Folosim identitatea x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1), care rezultă din dezvoltarea pătratului sumei.
    x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)
  4. Înlocuim valorile din relațiile lui Viète: x12+x22+x32=22−2⋅0=4−0=4\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=2^2-2\cdot 0=4-0=4.
    x12+x22+x32=22−2⋅0=4\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=2^2-2\cdot 0=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:[0,+∞)→R\displaystyle f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−1\displaystyle f(x)=\sqrt{x}-1.

Arătați că 2x f′(x)=1\displaystyle 2\sqrt{x}\,f'(x)=1, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Avem funcția f(x)=x−1\displaystyle f(x)=\sqrt{x}-1. Pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) radicalul este derivabil, deci putem deriva funcția.
    f(x)=x−1\displaystyle f(x)=\sqrt{x}-1, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  2. Derivăm termen cu termen: (x)′=12x\displaystyle \left(\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}, iar derivata constantei este (1)′=0\displaystyle (1)'=0.
    f′(x)=(x)′−(1)′=12x−0=12x\displaystyle f'(x)=\left(\sqrt{x}\right)'-(1)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}-0=\frac{1}{2\sqrt{x}}
  3. Înmulțim derivata cu 2x\displaystyle 2\sqrt{x} și simplificăm fracția: 2x\displaystyle 2\sqrt{x} se reduce cu numitorul 2x\displaystyle 2\sqrt{x}, ceea ce arată că egalitatea are loc pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    2x f′(x)=2x⋅12x=1\displaystyle 2\sqrt{x}\,f'(x)=2\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:[0,+∞)→R\displaystyle f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−1\displaystyle f(x)=\sqrt{x}-1.

Verificați dacă dreapta de ecuație y=14x\displaystyle y=\frac{1}{4}x este tangentă la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=4\displaystyle x_0=4, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=4\displaystyle x_0=4 este y−f(4)=f′(4)(x−4)\displaystyle y-f(4)=f'(4)(x-4).
    y−f(4)=f′(4)(x−4)\displaystyle y-f(4)=f'(4)(x-4)
  2. Calculăm f(4)=4−1=2−1=1\displaystyle f(4)=\sqrt{4}-1=2-1=1, deci punctul de tangență este (4,1)\displaystyle (4,1).
    f(4)=4−1=1\displaystyle f(4)=\sqrt{4}-1=1
  3. Derivăm funcția: f′(x)=(x−1)′=12x\displaystyle f'(x)=\left(\sqrt{x}-1\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}, pentru x>0\displaystyle x>0.
    f′(x)=12x\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
  4. Panta tangentei este f′(4)=124=14\displaystyle f'(4)=\dfrac{1}{2\sqrt{4}}=\dfrac{1}{4}.
    f′(4)=14\displaystyle f'(4)=\dfrac{1}{4}
  5. Înlocuim în ecuația tangentei: y−1=14(x−4)\displaystyle y-1=\dfrac{1}{4}(x-4), deci y−1=14x−1\displaystyle y-1=\dfrac{1}{4}x-1, adică y=14x\displaystyle y=\dfrac{1}{4}x.
    y−1=14(x−4)⇒y=14x\displaystyle y-1=\dfrac{1}{4}(x-4)\Rightarrow y=\dfrac{1}{4}x
  6. Tangenta obținută, y=14x\displaystyle y=\dfrac{1}{4}x, coincide cu dreapta dată, deci dreapta y=x4\displaystyle y=\dfrac{x}{4} este tangentă la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=4\displaystyle x_0=4.
    f(4)=1\displaystyle f(4)=1, f′(4)=14⇒y=14x, deci dreapta este \displaystyle \ f'(4)=\dfrac{1}{4}\Rightarrow y=\dfrac{1}{4}x\text{, deci dreapta este }tangenta˘\displaystyle \text{tangentă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:[0,+∞)→R\displaystyle f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−1\displaystyle f(x)=\sqrt{x}-1.

Arătați că funcția f\displaystyle f este concavă pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta concavitatea, calculăm derivata a doua a funcției. Scriem mai întâi funcția cu puteri: x=x12\displaystyle \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}, deci f(x)=x12−1\displaystyle f(x)=x^{\frac{1}{2}}-1.
    f(x)=x12−1\displaystyle f(x)=x^{\frac{1}{2}}-1
  2. Calculăm derivata întâi pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): derivata lui x12\displaystyle x^{\frac{1}{2}} este 12x−12\displaystyle \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}, iar derivata constantei este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=12x=12x−12\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}
  3. Derivăm încă o dată: derivata lui x−12\displaystyle x^{-\frac{1}{2}} este −12x−32\displaystyle -\dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}. Obținem f′′(x)=12⋅(−12)x−32\displaystyle f''(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}}, iar x32=xx\displaystyle x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}.
    f′′(x)=−14xx\displaystyle f''(x)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}, x>0\displaystyle \ x>0
  4. Studiem semnul derivatei a doua. Pentru orice x>0\displaystyle x>0, numitorul 4xx\displaystyle 4x\sqrt{x} este strict pozitiv, deci fracția este pozitivă, iar cu semnul minus în față obținem f′′(x)<0\displaystyle f''(x)<0.
    4xx>0⇒f′′(x)<0\displaystyle 4x\sqrt{x}>0\Rightarrow f''(x)<0, ∀x∈(0,+∞)\displaystyle \ \forall x\in(0,+\infty)
  5. Deoarece f′′(x)<0\displaystyle f''(x)<0 pe tot intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), funcția f\displaystyle f este concavă pe acest interval.
    f′′(x)<0⇒f este concava˘ pe (0,+∞)\displaystyle f''(x)<0\Rightarrow f\text{ este concavă pe }(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1+1x\displaystyle f(x)=2x+1+\frac{1}{x}.

Calculați ∫12(f(x)−1x)dx\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) în expresia de sub integrală: f(x)−1x=2x+1+1x−1x\displaystyle f(x)-\dfrac{1}{x}=2x+1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}.
    f(x)−1x=2x+1+1x−1x\displaystyle f(x)-\frac{1}{x}=2x+1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x}
  2. Termenii 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} se reduc, deci rămâne 2x+1\displaystyle 2x+1, iar integrala devine ∫12(2x+1) dx\displaystyle \int_1^2(2x+1)\,dx.
    ∫12(2x+1) dx\displaystyle \int_1^2(2x+1)\,dx
  3. Găsim o primitivă: o primitivă a lui 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^{2}, iar o primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Deci F(x)=x2+x\displaystyle F(x)=x^{2}+x.
    F(x)=x2+x\displaystyle F(x)=x^{2}+x
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫12(2x+1) dx=(x2+x)∣12=F(2)−F(1)\displaystyle \int_1^2(2x+1)\,dx=\left(x^{2}+x\right)\Big|_1^2=F(2)-F(1).
    (x2+x)∣12=(4+2)−(1+1)\displaystyle \left(x^{2}+x\right)\Big|_1^2=(4+2)-(1+1)
  5. Calculăm: (4+2)−(1+1)=6−2=4\displaystyle (4+2)-(1+1)=6-2=4.
    4\displaystyle 4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1+1x\displaystyle f(x)=2x+1+\frac{1}{x}.

Arătați că funcția F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=x2+x+ln⁡x\displaystyle F(x)=x^2+x+\ln x este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim definiția: F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) dacă F\displaystyle F este derivabilă pe acest interval și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty). Deci trebuie să calculăm derivata lui F\displaystyle F.
    F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), ∀x∈(0,+∞)\displaystyle \ \forall x\in(0,+\infty)
  2. Derivăm F\displaystyle F termen cu termen: (x2)′=2x\displaystyle (x^2)'=2x, (x)′=1\displaystyle (x)'=1, iar (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x, (x)′=1\displaystyle \ (x)'=1, (ln⁡x)′=1x\displaystyle \ (\ln x)'=\frac{1}{x}
  3. Adunăm derivatele și obținem expresia lui F′(x)\displaystyle F'(x).
    F′(x)=(x2+x+ln⁡x)′=2x+1+1x\displaystyle F'(x)=\left(x^2+x+\ln x\right)'=2x+1+\frac{1}{x}
  4. Expresia obținută coincide cu f(x)=2x+1+1x\displaystyle f(x)=2x+1+\dfrac{1}{x} pentru orice x>0\displaystyle x>0. Cum F\displaystyle F este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x), pentru orice x∈(0,+∞)⇒F este o primitiva˘ a \displaystyle F'(x)=f(x)\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\Rightarrow F\text{ este o primitivă a }funcției f\displaystyle \text{funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1+1x\displaystyle f(x)=2x+1+\frac{1}{x}.

Calculați aria suprafeței delimitate de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuație x=1\displaystyle x=1 și x=2\displaystyle x=2.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm semnul funcției pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2]. Pentru x∈[1,2]\displaystyle x\in[1,2] termenii 2x\displaystyle 2x, 1\displaystyle 1 și 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} sunt pozitivi, deci f(x)>0\displaystyle f(x)>0 și modulul poate fi omis.
    f(x)=2x+1+1x>0, pentru x∈[1,2]\displaystyle f(x)=2x+1+\frac{1}{x}>0\text{, pentru }x\in[1,2]
  2. Scriem aria ca integrală a funcției pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2]. Cum f\displaystyle f este pozitivă, modulul dispare.
    A=∫12∣f(x)∣ dx=∫12(2x+1+1x)dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^2|f(x)|\,dx=\int_1^2\left(2x+1+\frac{1}{x}\right)dx
  3. Determinăm o primitivă a funcției, integrând fiecare termen: primitiva lui 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^{2}, a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, iar a lui 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} este ln⁡x\displaystyle \ln x (pentru x>0\displaystyle x>0).
    F(x)=x2+x+ln⁡x\displaystyle F(x)=x^{2}+x+\ln x
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm F(2)−F(1)\displaystyle F(2)-F(1).
    (x2+x+ln⁡x)∣12=4+2+ln⁡2−1−1−ln⁡1\displaystyle \left(x^2+x+\ln x\right)\Big|_1^2=4+2+\ln 2-1-1-\ln 1
  5. Folosim faptul că ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0 și reducem termenii: 6−2=4\displaystyle 6-2=4. Obținem aria.
    A=4+ln⁡2\displaystyle \mathcal{A}=4+\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.