Bac matematică M3 tehnologic 2026, sesiunea I varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați termenul

\displaystyle a_3

al progresiei aritmetice

\displaystyle (a_n)_{n\geq1}

în care

\displaystyle a_1=10

și

\displaystyle a_2=18

.

Vezi rezolvarea

Se reamintește formula termenului general al unei progresii aritmetice, care leagă doi termeni consecutivi prin rația $\displaystyle r$ .
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+r$
Se aplică relația de recurență pentru $\displaystyle n=1$ , obținând $\displaystyle a_2=a_1+r$ , de unde se determină rația progresiei ca diferență între termenii consecutivi $\displaystyle a_2$ și $\displaystyle a_1$ .
$\displaystyle r=a_2-a_1=18-10=8\text{, unde }r\text{ este rația progresiei }$ $\displaystyle \text{aritmetice}$
Se aplică relația de recurență pentru $\displaystyle n=2$ , adică $\displaystyle a_3=a_2+r$ , folosind valorile cunoscute $\displaystyle a_2=18$ și rația găsită $\displaystyle r=8$ , pentru a obține termenul căutat.
$\displaystyle a_3=18+8=26$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x-2

. Arătați că

\displaystyle f(4)-f(3)-f(2)=0

.

Vezi rezolvarea

Se scrie expresia funcției și se calculează $\displaystyle f(4)$ prin înlocuirea lui $\displaystyle x$ cu 4.
$\displaystyle f(4)=2\cdot 4-2=8-2=6$
Se calculează $\displaystyle f(3)$ prin înlocuirea lui $\displaystyle x$ cu 3.
$\displaystyle f(3)=2\cdot 3-2=6-2=4$
Se calculează $\displaystyle f(2)$ prin înlocuirea lui $\displaystyle x$ cu 2.
$\displaystyle f(2)=2\cdot 2-2=4-2=2$
Se centralizează valorile obținute pentru $\displaystyle f(4)$ , $\displaystyle f(3)$ și $\displaystyle f(2)$ .
$\displaystyle f(4)=6$ , $\displaystyle \ f(3)=4$ , $\displaystyle \ f(2)=2$
Se înlocuiesc valorile calculate în expresia $\displaystyle f(4)-f(3)-f(2)$ și se efectuează calculul.
$\displaystyle f(4)-f(3)-f(2)=6-4-2=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 7^{3-x}=7^{4x-2}

.

Vezi rezolvarea

Se observă că ambii membri ai ecuației au aceeași bază, $\displaystyle 7$ , deci puterile sunt egale doar dacă exponenții lor sunt egali.
$\displaystyle 7^{3-x}=7^{4x-2}\Rightarrow 3-x=4x-2$
Se scrie explicit ecuația liniară obținută prin egalarea exponenților.
$\displaystyle 3-x=4x-2$
Se mută termenii cu $\displaystyle x$ într-o parte și termenii liberi în cealaltă parte a ecuației.
$\displaystyle -x-4x=-2-3$
Se reduc termenii asemenea din ambii membri.
$\displaystyle -5x=-5$
Se împarte ecuația prin coeficientul lui $\displaystyle x$ pentru a afla soluția.
$\displaystyle x=\dfrac{-5}{-5}=1$
Se obține soluția finală a ecuației.
$\displaystyle x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr

\displaystyle n

din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea

\displaystyle 20-2n<15

.

Vezi rezolvarea

Se definește mulțimea numerelor naturale de o cifră, adică mulțimea din care se alege $\displaystyle n$
$\displaystyle \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
Se numără câte elemente are această mulțime, obținându-se numărul total de cazuri posibile
$\displaystyle \text{Mulțimea numerelor }$ $\displaystyle \text{naturale de o cifră are }10\text{ elemente, deci sunt }10\text{ cazuri posibile}$
Se rezolvă inegalitatea dată pentru a determina ce numere naturale de o cifră o verifică
$\displaystyle 20-2n<15\Leftrightarrow -2n<15-20\Leftrightarrow -2n<-5$
Se împarte inegalitatea la $\displaystyle -2$ , schimbând sensul inegalității
$\displaystyle n>\frac{5}{2}\Leftrightarrow n>2{,}5$
Se identifică numerele naturale de o cifră care satisfac condiția $\displaystyle n>2,5$
$\displaystyle n\in\{3,4,5,6,7,8,9\}$
Se numără cazurile favorabile și se calculează probabilitatea ca raport dintre cazurile favorabile și cele posibile
$\displaystyle \text{În mulțimea numerelor }$ $\displaystyle \text{naturale de o cifră sunt }7\text{ numere }n\text{ pentru care }20-2n<15\text{, deci sunt }7\text{ cazuri favorabile, de }$ $\displaystyle \text{unde obținem }p=\frac{7}{10}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(1,1)

,

\displaystyle M(2,4)

și

\displaystyle B(a,b)

, unde

\displaystyle a

și

\displaystyle b

sunt numere reale. Determinați numerele reale

\displaystyle a

și

\displaystyle b

, știind că punctul

\displaystyle M

este mijlocul segmentului

\displaystyle AB

.

Vezi rezolvarea

Se scrie formula generală a coordonatelor mijlocului unui segment: dacă $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$ , unde $\displaystyle A(x_{A},y_{A})$ și $\displaystyle B(x_{B},y_{B})$ , atunci coordonatele lui $\displaystyle M$ sunt media aritmetică a coordonatelor lui $\displaystyle A$ și $\displaystyle B$ .
$\displaystyle x_M=\frac{x_A+x_B}{2}$ , $\displaystyle \ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$
Se identifică coordonatele punctelor date: $\displaystyle A(1,1)$ , $\displaystyle M(2,4)$ , $\displaystyle B(a,b)$ , și se înlocuiesc în formula mijlocului.
$\displaystyle \frac{1+a}{2}=2$ , $\displaystyle \ \frac{1+b}{2}=4$
Se rezolvă prima ecuație pentru a afla valoarea lui $\displaystyle a$ , înmulțind ambii membri cu $\displaystyle 2$ și izolând necunoscuta.
$\displaystyle 1+a=4\Rightarrow a=4-1=3$
Se rezolvă a doua ecuație pentru a afla valoarea lui $\displaystyle b$ , procedând analog.
$\displaystyle 1+b=8\Rightarrow b=8-1=7$
Se scriu valorile finale obținute pentru $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ .
$\displaystyle a=3\text{ și }b=7$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

, dreptunghic în

\displaystyle A

, cu

\displaystyle AB=15

și măsura unghiului

\displaystyle B

egală cu

\displaystyle 30^\circ

. Arătați că

\displaystyle BC=10\sqrt{3}

.

Vezi rezolvarea

Se identifică elementele triunghiului dreptunghic: unghiul drept este în $\displaystyle A$ , deci $\displaystyle BC$ este ipotenuza, iar $\displaystyle AB$ este cateta alăturată unghiului $\displaystyle B$ .
$\displaystyle \text{BC este ipotenuza, AB }$ $\displaystyle \text{este cateta alăturată }$ $\displaystyle \text{unghiului }B$
Se scrie relația trigonometrică pentru cosinusul unghiului $\displaystyle B$ într-un triunghi dreptunghic, ca raport între cateta alăturată și ipotenuză.
$\displaystyle \cos B=\frac{AB}{BC}$
Se folosește valoarea cunoscută a cosinusului pentru unghiul de $\displaystyle 30°$ .
$\displaystyle \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Se înlocuiesc valorile cunoscute ( $\displaystyle AB=15$ și $\displaystyle \cos B$ ) în relația trigonometrică, obținând ecuația cu necunoscuta $\displaystyle BC$ .
$\displaystyle \cos B=\frac{AB}{BC}\text{, deci }\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15}{BC}$
Se rezolvă ecuația prin înmulțire cu $\displaystyle BC$ și împărțire la $\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , apoi se raționalizează numitorul pentru a obține forma finală.
$\displaystyle BC=\frac{2\cdot15}{\sqrt{3}}=\frac{30}{\sqrt{3}}=\frac{30\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 1 \\ x-1 & 2 \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(4))=5

.

Vezi rezolvarea

Se înlocuiește $\displaystyle x=4$ în matricea $\displaystyle A(x)$ , calculând fiecare element: primul element devine $\displaystyle x=4$ , al doilea rămâne $\displaystyle 1$ , al treilea devine $\displaystyle x-1=4-1=3$ , iar al patrulea rămâne $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle A(4)=\begin{pmatrix}4 & 1\\3 & 2\end{pmatrix}$
Se scrie determinantul matricei $\displaystyle A(4)$ folosind notația specifică determinanților de ordinul $\displaystyle 2$ , cu elementele identificate la pasul anterior.
$\displaystyle \det(A(4))=\begin{vmatrix}4 & 1\\3 & 2\end{vmatrix}$
Se aplică formula determinantului de ordinul $\displaystyle 2$ , adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: $\displaystyle a\cdot d - b\cdot c$ , unde $\displaystyle a=4$ , $\displaystyle d=2$ , $\displaystyle b=1$ , $\displaystyle c=3$ .
$\displaystyle \det(A(4))=4\cdot2-1\cdot3=$
Se efectuează înmulțirile: $\displaystyle 4\cdot 2=8$ și $\displaystyle 1\cdot 3=3$ , obținându-se diferența $\displaystyle 8-3$ .
$\displaystyle =8-3$
Se calculează diferența finală, obținând valoarea determinantului matricei $\displaystyle A(4)$ .
$\displaystyle =8-3=5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 1 \\ x-1 & 2 \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle 2A(1)+A(4)=3A(2)

.

Vezi rezolvarea

Se calculează $\displaystyle A(1)$ prin substituția $\displaystyle x=1$ în matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ x-1 & 2 \end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 2\end{pmatrix}$
Se calculează $\displaystyle A(4)$ prin substituția $\displaystyle x=4$ în matricea $\displaystyle A(x)$ .
$\displaystyle A(4)=\begin{pmatrix}4 & 1\\3 & 2\end{pmatrix}$
Se înmulțește matricea $\displaystyle A(1)$ cu scalarul $\displaystyle 2$ , element cu element.
$\displaystyle 2A(1)=\begin{pmatrix}2 & 2\\0 & 4\end{pmatrix}$
Se adună matricele $\displaystyle 2A(1)$ și $\displaystyle A(4)$ , element cu element, obținând rezultatul cerut de barem la pasul de control $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle 2A(1)+A(4)=\begin{pmatrix}6 & 3\\3 & 6\end{pmatrix}$
Se calculează $\displaystyle A(2)$ prin substituția $\displaystyle x=2$ în matricea $\displaystyle A(x)$ , pentru a o compara cu rezultatul obținut.
$\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 2\end{pmatrix}$
Se scoate factor comun $\displaystyle 3$ din matricea obținută la pasul anterior, arătând că este egală cu $\displaystyle 3A(2)$ , ceea ce încheie verificarea cerută.
$\displaystyle 2A(1)+A(4)=3A(2)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 1 \\ x-1 & 2 \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

pentru care

\displaystyle A(-x)\cdot A(x)=A(y)

.

Vezi rezolvarea

Se scrie matricea $\displaystyle A(x)$ și se determină matricea $\displaystyle A(-x)$ prin înlocuirea lui $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -x$ în $\displaystyle A(x)$ .
$\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x & 1\\x-1 & 2\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ A(-x)=\begin{pmatrix}-x & 1\\-x-1 & 2\end{pmatrix}$
Se efectuează înmulțirea matricelor $\displaystyle A(-x)$ și $\displaystyle A(x)$ , calculând fiecare element al produsului conform regulii de înmulțire a matricelor (linie pe coloană).
$\displaystyle (A(-x)\cdot A(x))_{11}=(-x)\cdot x+1\cdot(x-1)=-x^2+x-1$
Se calculează celelalte trei elemente ale produsului matricelor $\displaystyle A(-x)$ și $\displaystyle A(x)$ .
$\displaystyle (A(-x)\cdot A(x))_{12}=(-x)\cdot 1+1\cdot 2=-x+2$ , $\displaystyle \quad (A(-x)\cdot A(x))_{21}=(-x-1)\cdot x+2\cdot(x-1)=-x^2+x-2$ , $\displaystyle \quad (A(-x)\cdot A(x))_{22}=(-x-1)\cdot 1+2\cdot 2=-x+3$
Se centralizează rezultatele obținute și se scrie matricea produs $\displaystyle A(-x)\cdot A(x)$ , valabilă pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle A(-x)=\begin{pmatrix}-x & 1\\-x-1 & 2\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ A(-x)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}-x^2+x-1 & -x+2\\-x^2+x-2 & -x+3\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }x$
Se scrie matricea $\displaystyle A(y)$ , obținută din $\displaystyle A(x)$ prin înlocuirea lui $\displaystyle x$ cu $\displaystyle y$ , și se pune condiția ca produsul $\displaystyle A(-x)\cdot A(x)$ să fie egal cu $\displaystyle A(y)$ .
$\displaystyle A(y)=\begin{pmatrix}y & 1\\y-1 & 2\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \quad \begin{pmatrix}-x^2+x-1 & -x+2\\-x^2+x-2 & -x+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y & 1\\y-1 & 2\end{pmatrix}$
Se identifică elementele corespunzătoare din cele două matrice, obținând un sistem de ecuații. Din elementul de pe poziția $\displaystyle (1,2)$ rezultă $\displaystyle x=1$ , iar din elementul de pe poziția $\displaystyle (1,1)$ , înlocuind $\displaystyle x=1$ , rezultă $\displaystyle y=-1$ . Se verifică apoi că aceste valori satisfac și celelalte două ecuații ale sistemului (elementele $\displaystyle (2,1)$ și $\displaystyle (2,2)$ ).
$\displaystyle -x+2=1\Rightarrow x=1;\quad y=-x^2+x-1=-1+1-1=-1;\quad 2=-x+3\Rightarrow x=1\text{, verificat}$
Se scriu valorile finale obținute pentru $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ , care satisfac egalitatea $\displaystyle A(-x)\cdot A(x)=A(y)$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}-x^2+x-1 & -x+2\\-x^2+x-2 & -x+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y & 1\\y-1 & 2\end{pmatrix}\text{, de unde obținem }x=1\text{ și }y=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=(4-x)(4-y)+2

.

Arătați că

\displaystyle 0*3=6

.

Vezi rezolvarea

Se scrie definiția legii de compoziție pentru valorile date $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle y=3$ , înlocuind direct în formulă.
$\displaystyle 0*3=(4-0)(4-3)+2=$
Se calculează separat cele două paranteze: $\displaystyle 4-0=4$ și $\displaystyle 4-3=1$ .
$\displaystyle (4-0)=4$ , $\displaystyle \ (4-3)=1$
Se înmulțesc cele două valori obținute.
$\displaystyle 4\cdot 1=4$
Se adaugă $\displaystyle 2$ la produsul obținut pentru a finaliza calculul.
$\displaystyle =4+2=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=(4-x)(4-y)+2

.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle 2*x=2

.

Vezi rezolvarea

Se scrie legea de compoziție pentru $\displaystyle x=2$ și $\displaystyle y=x$ , folosind definiția dată: $\displaystyle x*y=(4-x)(4-y)+2$ .
$\displaystyle 2*x=(4-2)(4-x)+2$
Se calculează $\displaystyle 4-2=2$ , apoi se efectuează înmulțirea $\displaystyle (2)(4-x)$ și se adună $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle 2*x=2(4-x)+2=8-2x+2$
Se reduc termenii asemenea, obținându-se expresia lui $\displaystyle 2*x$ în funcție de $\displaystyle x$ , valabilă pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle 2*x=-2x+10\text{, pentru orice număr real }x$
Se pune condiția din enunț, egalând expresia obținută pentru $\displaystyle 2*x$ cu $\displaystyle 2$ , formând ecuația liniară.
$\displaystyle -2x+10=2$
Se rezolvă ecuația liniară: se trece $\displaystyle 10$ în membrul drept, se obține $\displaystyle -2x=-8$ , apoi se împarte prin $\displaystyle -2$ pentru a afla valoarea lui $\displaystyle x$ .
$\displaystyle -2x+10=2\text{, de unde obținem }x=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=(4-x)(4-y)+2

.

Determinați perechile

\displaystyle (m,n)

de numere întregi pentru care

\displaystyle (2m)*(2n+1)=10

.

Vezi rezolvarea

Se scrie condiția din enunț: se cere determinarea numerelor întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle (2m)*(2n+1)=10$ , folosind legea de compoziție dată.
$\displaystyle (2m)*(2n+1)=10$
Se aplică definiția legii de compoziție $\displaystyle x*y=(4-x)(4-y)+2$ pentru $\displaystyle x=2m$ și $\displaystyle y=2n+1$ , calculând $\displaystyle 4-(2n+1)=3-2n$ .
$\displaystyle (2m)*(2n+1)=(4-2m)(4-(2n+1))+2=(4-2m)(3-2n)+2$
Se înlocuiește expresia obținută în ecuația $\displaystyle (2m)*(2n+1)=10$ , obținând o ecuație cu produs.
$\displaystyle (4-2m)(3-2n)+2=10$
Se scade $\displaystyle 2$ din ambii membri pentru a obține ecuația produs egal cu $\displaystyle 8$ .
$\displaystyle (4-2m)(3-2n)=8$
Se observă că $\displaystyle 4-2m$ este întotdeauna număr par, iar $\displaystyle 3-2n$ este întotdeauna număr impar, deoarece $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ sunt numere întregi. Cum produsul lor este $\displaystyle 8=2^{3}$ , factorul impar $\displaystyle 3-2n$ trebuie să fie divizor impar al lui $\displaystyle 8$ , deci $\displaystyle 3-2n\in\{-1,1\}$ .
$\displaystyle 3-2n=1\text{ sau }3-2n=-1$
Pentru fiecare valoare a lui $\displaystyle 3-2n$ se determină $\displaystyle n$ , apoi din produsul total se determină valoarea corespunzătoare a lui $\displaystyle 4-2m$ și, în final, a lui $\displaystyle m$ .
$\displaystyle 3-2n=1\Rightarrow n=1$ , $\displaystyle \ 4-2m=8\Rightarrow m=-2;\quad 3-2n=-1\Rightarrow n=2$ , $\displaystyle \ 4-2m=-8\Rightarrow m=6$
Se concluzionează, analizând divizorii întregi ai lui $\displaystyle 8$ compatibili cu paritatea factorilor, perechile de numere întregi $\displaystyle (m,n)$ care verifică ecuația inițială.
$\displaystyle (4-2m)(3-2n)=8\text{ și, cum }m\text{ și }n\text{ sunt numere întregi, }$ $\displaystyle \text{obținem perechile }(-2,1)\text{ și }(6,2)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=3x^4-4x^3-12x^2-1

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=12x(x+1)(x-2)

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Se scrie funcția și se derivează fiecare termen folosind regula de derivare a puterilor: $\displaystyle (x^n)'=nx^{n-1}$ .
$\displaystyle (3x^4)'=12x^3$ , $\displaystyle \ (4x^3)'=12x^2$ , $\displaystyle \ (12x^2)'=24x$ , $\displaystyle \ (1)'=0$
Se adună derivatele termenilor, ținând cont de semnele din funcția inițială, pentru a obține derivata funcției $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f'(x)=12x^3-12x^2-24x$
Se observă că toți termenii lui $\displaystyle f'(x)$ au factor comun $\displaystyle 12x$ , care se scoate în față.
$\displaystyle f'(x)=12x(x^2-x-2)$
Se rezolvă ecuația $\displaystyle x^2-x-2=0$ pentru a găsi rădăcinile, folosind formula discriminantului: $\displaystyle \Delta=1+8=9$ , iar rădăcinile sunt $\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{1\pm3}{2}$ .
$\displaystyle x_1=-1$ , $\displaystyle \ x_2=2$
Folosind rădăcinile găsite, se scrie descompunerea trinomului $\displaystyle x^2-x-2$ sub forma $\displaystyle (x-x_1)(x-x_2)$ , obținându-se astfel forma finală factorizată a derivatei.
$\displaystyle f'(x)=12x(x^2-x-2)=12x(x+1)(x-2)$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=3x^4-4x^3-12x^2-1

.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

\displaystyle f

în punctul de abscisă

\displaystyle x=0

, situat pe graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Se calculează derivata funcției $\displaystyle f$ folosind regulile de derivare pentru polinoame.
$\displaystyle f'(x)=12x^{3}-12x^{2}-24x$
Se calculează valoarea funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$ .
$\displaystyle f(0)=3\cdot 0^{4}-4\cdot 0^{3}-12\cdot 0^{2}-1=-1$
Se calculează valoarea derivatei $\displaystyle f'$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$ .
$\displaystyle f'(0)=12\cdot 0^{3}-12\cdot 0^{2}-24\cdot 0=0$
Se centralizează rezultatele obținute pentru valoarea funcției și a derivatei în $\displaystyle x=0$ .
$\displaystyle f(0)=-1$ , $\displaystyle \ f'(0)=0$
Se scrie formula generală a ecuației tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$ .
$\displaystyle y-f(0)=f'(0)\cdot(x-0)$
Se înlocuiesc valorile $\displaystyle f(0)=-1$ și $\displaystyle f'(0)=0$ în ecuația tangentei și se simplifică.
$\displaystyle y-(-1)=0\cdot(x-0)\Rightarrow y+1=0\Rightarrow y=-1$
Se scrie concluzia finală: ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$ .
$\displaystyle \text{Ecuația tangentei este }y-f(0)=f'(0)(x-0)\text{, adică }y=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=3x^4-4x^3-12x^2-1

.

Demonstrați că

\displaystyle 3x^4+5\geq4x^3+12x^2

, pentru orice

\displaystyle x\in(-\infty,0]

.

Vezi rezolvarea

Se calculează derivata funcției $\displaystyle f$ pe $\displaystyle \mathbb{R}$ .
$\displaystyle f'(x)=12x^3-12x^2-24x$
Se factorizează derivata pentru a-i determina rădăcinile.
$\displaystyle f'(x)=12x(x^2-x-2)=12x(x-2)(x+1)$
Se rezolvă ecuația $\displaystyle f'(x)=0$ , obținând rădăcinile derivatei; se rețin cele din intervalul $\displaystyle (-\infty,0]$ .
$\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1\text{ sau }x=0\text{ sau }x=2\text{, iar în }(-\infty,0]\text{ rămân soluțiile }x=-1\text{ și }x=0$
Se stabilește semnul factorului $\displaystyle (x-2)$ pe intervalul $\displaystyle (-\infty,0]$ , pentru a analiza semnul lui $\displaystyle f'(x)$ .
$\displaystyle \text{Pentru orice }x\in(-\infty,0]$ , $\displaystyle \ x-2<0$
Se analizează semnul lui $\displaystyle f'(x)$ pe subintervalele $\displaystyle (-\infty,-1]$ și $\displaystyle [-1,0]$ , folosind semnele factorilor $\displaystyle x$ , $\displaystyle x+1$ și $\displaystyle x-2$ , și se determină monotonia funcției pe fiecare subinterval.
$\displaystyle \text{Pentru }x\in(-\infty,0]$ , $\displaystyle \ f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1\text{ sau }x=0\text{; pentru orice }x\in(-\infty,-1]$ , $\displaystyle \ f'(x)\leq0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }(-\infty,-1]\text{ și, pentru orice }x\in[-1,0]$ , $\displaystyle \ f'(x)\geq0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[-1,0]$
Din monotonia stabilită rezultă că $\displaystyle x=-1$ este punct de minim al funcției $\displaystyle f$ pe intervalul $\displaystyle (-\infty,0]$ , deci $\displaystyle f(x)\geq f(-1)$ pentru orice $\displaystyle x$ din acest interval.
$\displaystyle x=-1\text{ este punct de minim }$ $\displaystyle \text{pentru }f\text{ pe }(-\infty,0]\text{, deci }f(x)\geq f(-1)\text{, pentru orice }x\in(-\infty,0]$
Se calculează valoarea funcției în punctul de minim $\displaystyle x=-1$ .
$\displaystyle f(-1)=3\cdot(-1)^4-4\cdot(-1)^3-12\cdot(-1)^2-1=3+4-12-1=-6$
Se înlocuiește $\displaystyle f(-1)=-6$ în inegalitatea $\displaystyle f(x)\geq f(-1)$ și se explicitează expresia lui $\displaystyle f(x)$ , obținând forma cerută a inegalității.
$\displaystyle f(x)\geq f(-1)\text{, pentru orice }x\in(-\infty,0]\text{ și, cum }f(-1)=-6\text{, obținem }3x^4+5\geq4x^3+12x^2\text{, pentru orice }x\in(-\infty,0]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+1+xe^{x}

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{4}\big(f(x)-xe^{x}\big)dx=12

.

Vezi rezolvarea

Se scrie explicit funcția dată în enunț.
$\displaystyle f(x)=x+1+xe^{x}$
Se calculează diferența $\displaystyle f(x)-xe^{x}$ , observând că termenul $\displaystyle xe^{x}$ apare atât în $\displaystyle f(x)$ , cât și în expresia scăzută, deci se simplifică.
$\displaystyle f(x)-xe^{x}=x+1+xe^{x}-xe^{x}=x+1$
Se scrie integrala cerută folosind simplificarea de mai sus, se determină o primitivă a funcției $\displaystyle x+1$ și se pregătesc limitele de integrare pentru evaluare.
$\displaystyle \int_{0}^{4}\big(f(x)-xe^x\big)dx=\int_{0}^{4}(x+1)dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^4+\left.x\right|_0^4=$
Se evaluează fiecare primitivă la capetele intervalului $\displaystyle [0,4]$ : pentru $\displaystyle \dfrac{x^2}{2}$ se obține $\displaystyle \dfrac{16}{2}-0=8$ , iar pentru $\displaystyle x$ se obține $\displaystyle 4-0=4$ , apoi se adună rezultatele.
$\displaystyle =8+4=12$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+1+xe^{x}

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{1}\big(f(x)-x-1\big)dx=1

.

Vezi rezolvarea

Se scrie explicit funcția $\displaystyle f(x)$ și se calculează $\displaystyle f(x)-x-1$ , simplificând termenii $\displaystyle x$ și $\displaystyle 1$ care se reduc.
$\displaystyle f(x)-x-1=(x+1+xe^{x})-x-1=xe^{x}$
Se recunoaște că derivata funcției $\displaystyle e^x$ este tot $\displaystyle e^x$ , deci $\displaystyle xe^x$ se poate scrie ca produsul dintre $\displaystyle x$ și $\displaystyle (e^x)'$ .
$\displaystyle xe^{x}=x\cdot(e^{x})'$
Se scrie integrala cerută folosind egalitatea de mai sus, obținând forma din barem.
$\displaystyle \int_{0}^{1}\big(f(x)-x-1\big)dx=\int_{0}^{1}x(e^{x})'dx$
Se aplică formula de integrare prin părți, $\displaystyle \int u v' = uv - \int u' v$ , cu $\displaystyle u=x$ și $\displaystyle v'=(e^x)'$ , deci $\displaystyle u'=1$ și $\displaystyle v=e^x$ .
$\displaystyle \int_{0}^{1}x(e^{x})'dx=\left.xe^{x}\right|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}1\cdot e^{x}dx=\left.xe^{x}\right|_{0}^{1}-\left.e^{x}\right|_{0}^{1}$
Se calculează valoarea primului termen la capetele intervalului: $\displaystyle xe^x$ pentru $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=0$ .
$\displaystyle \left.xe^{x}\right|_{0}^{1}=1\cdot e^{1}-0\cdot e^{0}=e-0=e$
Se calculează valoarea celui de-al doilea termen la capetele intervalului: $\displaystyle e^x$ pentru $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=0$ .
$\displaystyle \left.e^{x}\right|_{0}^{1}=e^{1}-e^{0}=e-1$
Se combină rezultatele obținute pentru cei doi termeni, obținându-se valoarea finală a integralei.
$\displaystyle =e-(e-1)=e-e+1=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+1+xe^{x}

.

Se consideră funcția

\displaystyle g:[0,1]\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=\dfrac{\sqrt{f'(x)}}{f(x)}

. Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției

\displaystyle g

în jurul axei

\displaystyle Ox

este egal cu

\displaystyle \dfrac{\pi(e+1)}{e+2}

.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata funcției $\displaystyle f$ , necesară pentru a identifica structura integrandului.
$\displaystyle f'(x)=1+e^{x}+xe^{x}$
Observăm că, pentru corpul de rotație determinat de graficul unei funcții $\displaystyle g$ cu proprietatea $\displaystyle (g(x))^2=\dfrac{f'(x)}{(f(x))^2}$ , integrandul este exact derivata funcției $\displaystyle -\dfrac{1}{f(x)}$ , deoarece $\displaystyle \left(-\dfrac{1}{f(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)}{(f(x))^2}$ .
$\displaystyle \left(-\frac{1}{f(x)}\right)'=\frac{f'(x)}{(f(x))^2}$
Scriem formula volumului corpului de rotație pentru g pe $\displaystyle [0,1]$ și, folosind identitatea de mai sus, aplicăm formula Leibniz-Newton pentru a obține o primitivă simplă.
$\displaystyle V=\pi\int_{0}^{1}\big(g(x)\big)^2dx=\pi\int_{0}^{1}\frac{f'(x)}{(f(x))^2}dx=\pi\cdot\left.\left(-\frac{1}{f(x)}\right)\right|_0^1=$
Calculăm valorile funcției f în capetele intervalului de integrare, $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ , necesare pentru evaluarea expresiei obținute.
$\displaystyle f(0)=0+1+0\cdot e^{0}=1$ , $\displaystyle \quad f(1)=1+1+1\cdot e^{1}=e+2$
Înlocuim valorile $\displaystyle f(0)$ și $\displaystyle f(1)$ în expresia obținută și simplificăm pentru a obține volumul corpului de rotație.
$\displaystyle =\pi\left(-\frac{1}{e+2}+1\right)=\frac{\pi(e+1)}{e+2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M3 tehnologic 2026, sesiunea I varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani