Bac matematică M3 tehnologic 2013, sesiunea I rezervă varianta 06: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2(5−2)+22=10\displaystyle 2\left(5-\sqrt{2}\right)+2\sqrt{2}=10.
Vezi rezolvarea
  1. Distribuim factorul 2\displaystyle 2 în paranteză: îl înmulțim cu 5\displaystyle 5 și cu −2\displaystyle -\sqrt{2}.
    2(5−2)=2⋅5−22=10−22\displaystyle 2\left(5-\sqrt{2}\right)=2\cdot 5-2\sqrt{2}=10-2\sqrt{2}
  2. Înlocuim în expresia inițială produsul obținut și adunăm termenul 22\displaystyle 2\sqrt{2}.
    10−22+22\displaystyle 10-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}
  3. Termenii −22\displaystyle -2\sqrt{2} și +22\displaystyle +2\sqrt{2} sunt opuși, deci se reduc. Rămâne 10\displaystyle 10, adică exact egalitatea cerută.
    10−22+22=10\displaystyle 10-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați f(−3)+f(3)\displaystyle f(-3)+f(3) pentru funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−9\displaystyle f(x)=x^2-9.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu −3\displaystyle -3 în f(x)=x2−9\displaystyle f(x)=x^{2}-9: f(−3)=(−3)2−9\displaystyle f(-3)=(-3)^{2}-9.
    f(−3)=(−3)2−9=9−9\displaystyle f(-3)=(-3)^{2}-9=9-9
  2. Deoarece (−3)2=9\displaystyle (-3)^{2}=9, avem f(−3)=9−9\displaystyle f(-3)=9-9, deci f(−3)=0\displaystyle f(-3)=0.
    f(−3)=0\displaystyle f(-3)=0
  3. Înlocuim x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în f(x)=x2−9\displaystyle f(x)=x^{2}-9: f(3)=32−9\displaystyle f(3)=3^{2}-9.
    f(3)=32−9=9−9\displaystyle f(3)=3^{2}-9=9-9
  4. Deoarece 32=9\displaystyle 3^{2}=9, avem f(3)=9−9\displaystyle f(3)=9-9, deci f(3)=0\displaystyle f(3)=0.
    f(3)=0\displaystyle f(3)=0
  5. Adunăm valorile: f(−3)+f(3)=0+0\displaystyle f(-3)+f(3)=0+0.
    f(−3)+f(3)=0+0=0\displaystyle f(-3)+f(3)=0+0=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 52x=25\displaystyle 5^{2x}=25.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că membrul drept se poate scrie ca putere a lui 5\displaystyle 5: 25=52\displaystyle 25=5^{2}.
    25=52\displaystyle 25=5^{2}
  2. Înlocuim în ecuația 52x=25\displaystyle 5^{2x}=25 și obținem ambii membri cu aceeași bază, 5\displaystyle 5.
    52x=52\displaystyle 5^{2x}=5^{2}
  3. Funcția exponențială de bază 5\displaystyle 5 este injectivă, deci egalăm exponenții: 2x=2\displaystyle 2x=2.
    2x=2\displaystyle 2x=2
  4. Împărțim ecuația la 2\displaystyle 2 și obținem soluția reală x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Prețul unui obiect este 100\displaystyle 100 de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu 20%\displaystyle 20\%.
Vezi rezolvarea
  1. Scumpirea cu 20%\displaystyle 20\% înseamnă că prețul crește cu 20%\displaystyle 20\% din prețul inițial. Calculăm 20%\displaystyle 20\% din 100\displaystyle 100 de lei, adică 20100⋅100\displaystyle \dfrac{20}{100}\cdot 100.
    20%⋅100=20100⋅100=20\displaystyle 20\% \cdot 100=\dfrac{20}{100}\cdot 100=20
  2. Adunăm creșterea de 20\displaystyle 20 de lei la prețul inițial de 100\displaystyle 100 de lei: 100+20\displaystyle 100+20.
    100+20=120 de lei\displaystyle 100+20=120\text{ de lei}
  3. Prețul obiectului după scumpire este 120\displaystyle 120 de lei.
    120 de lei\displaystyle 120\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,1)\displaystyle A(1,1) și B(3,1)\displaystyle B(3,1). Calculați distanța de la punctul A\displaystyle A la punctul B\displaystyle B.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula distanței dintre punctele A(xA,yA)\displaystyle A(x_A,y_A) și B(xB,yB)\displaystyle B(x_B,y_B): AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.
    AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
  2. Înlocuim coordonatele A(1,1)\displaystyle A(1,1) și B(3,1)\displaystyle B(3,1) în formulă, adică xA=1\displaystyle x_A=1, yA=1\displaystyle y_A=1, xB=3\displaystyle x_B=3, yB=1\displaystyle y_B=1.
    AB=(3−1)2+(1−1)2\displaystyle AB=\sqrt{(3-1)^2+(1-1)^2}
  3. Calculăm diferențele: 3−1=2\displaystyle 3-1=2 și 1−1=0\displaystyle 1-1=0. Apoi ridicăm la pătrat: 22=4\displaystyle 2^2=4 și 02=0\displaystyle 0^2=0.
    AB=4+0=4\displaystyle AB=\sqrt{4+0}=\sqrt{4}
  4. Cum 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2, distanța de la A\displaystyle A la B\displaystyle B este 2\displaystyle 2.
    AB=2\displaystyle AB=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați cos⁡30∘+cos⁡150∘\displaystyle \cos 30^\circ+\cos 150^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valoarea cunoscută a cosinusului pentru unghiul de 30∘\displaystyle 30^\circ: cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  2. Observăm că 150∘=180∘−30∘\displaystyle 150^\circ=180^\circ-30^\circ, deci putem folosi formula cos⁡(180∘−x)=−cos⁡x\displaystyle \cos(180^\circ-x)=-\cos x.
    cos⁡150∘=cos⁡(180∘−30∘)=−cos⁡30∘\displaystyle \cos 150^\circ=\cos(180^\circ-30^\circ)=-\cos 30^\circ
  3. Înlocuim valoarea lui cos⁡30∘\displaystyle \cos 30^\circ și obținem cos⁡150∘=−32\displaystyle \cos 150^\circ=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    cos⁡150∘=−32\displaystyle \cos 150^\circ=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  4. Adunăm cele două valori: 32−32=0\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0, deci suma cerută este 0\displaystyle 0.
    cos⁡30∘+cos⁡150∘=32−32=0\displaystyle \cos 30^\circ+\cos 150^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−101)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B=(x−10x)\displaystyle B=\begin{pmatrix}x&-1\\0&x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Calculați det⁡A\displaystyle \det A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula determinantului de ordin doi: pentru o matrice cu liniile (a, b)\displaystyle (a,\ b) și (c, d)\displaystyle (c,\ d), determinantul este ad−bc\displaystyle ad-bc.
    ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc
  2. Identificăm elementele matricei A\displaystyle A: a=1\displaystyle a=1, b=−1\displaystyle b=-1, c=0\displaystyle c=0, d=1\displaystyle d=1, apoi înlocuim în formulă: produsul de pe diagonala principală este 1⋅1\displaystyle 1\cdot 1, iar produsul de pe diagonala secundară este (−1)⋅0\displaystyle (-1)\cdot 0.
    det⁡A=∣1−101∣=1⋅1−(−1)⋅0=1−0\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&-1\\0&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-(-1)\cdot 0=1-0
  3. Efectuăm scăderea și obținem valoarea determinantului: 1−0=1\displaystyle 1-0=1.
    det⁡A=1\displaystyle \det A=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−101)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B=(x−10x)\displaystyle B=\begin{pmatrix}x&-1\\0&x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Pentru x=0\displaystyle x=0 arătați că A−B=I2\displaystyle A-B=I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în matricea B\displaystyle B și obținem matricea B\displaystyle B pentru x=0\displaystyle x=0.
    B=(0−100)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\end{pmatrix}
  2. Scriem diferența A−B\displaystyle A-B și scădem elementele aflate pe aceleași poziții: 1−0\displaystyle 1-0, −1−(−1)\displaystyle -1-(-1), 0−0\displaystyle 0-0, 1−0\displaystyle 1-0.
    A−B=(1−0−1−(−1)0−01−0)\displaystyle A-B=\begin{pmatrix}1-0&-1-(-1)\\0-0&1-0\end{pmatrix}
  3. Calculăm elementele și observăm că rezultatul este matricea unitate I2\displaystyle I_2, deci A−B=I2\displaystyle A-B=I_2.
    A−B=(1001)=I2\displaystyle A-B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−101)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B=(x−10x)\displaystyle B=\begin{pmatrix}x&-1\\0&x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care det⁡(A+B)=0\displaystyle \det(A+B)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm matricele A\displaystyle A și B\displaystyle B element cu element: A+B=(1+x−1+(−1)0+01+x)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}1+x&-1+(-1)\\0+0&1+x\end{pmatrix}.
    A+B=(1+x−201+x)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}1+x&-2\\0&1+x\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară, adică det⁡(A+B)=(1+x)(1+x)−(−2)⋅0\displaystyle \det(A+B)=(1+x)(1+x)-(-2)\cdot 0.
    det⁡(A+B)=(1+x)2\displaystyle \det(A+B)=(1+x)^2
  3. Punem condiția det⁡(A+B)=0\displaystyle \det(A+B)=0, adică (1+x)2=0\displaystyle (1+x)^2=0. Un pătrat este zero doar dacă baza este zero, deci 1+x=0\displaystyle 1+x=0.
    (1+x)2=0⇔1+x=0\displaystyle (1+x)^2=0\Leftrightarrow 1+x=0
  4. Rezolvăm ecuația 1+x=0\displaystyle 1+x=0 și obținem x=−1\displaystyle x=-1.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de x∘y=x+y+3\displaystyle x\circ y=x+y+3.

Calculați 2∘(−2)\displaystyle 2\circ(-2).
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∘y=x+y+3\displaystyle x\circ y=x+y+3. Aici luăm x=2\displaystyle x=2 și y=−2\displaystyle y=-2.
    2∘(−2)=2+(−2)+3\displaystyle 2\circ(-2)=2+(-2)+3
  2. Efectuăm adunarea: 2+(−2)=0\displaystyle 2+(-2)=0, deci rămâne 0+3\displaystyle 0+3.
    0+3\displaystyle 0+3
  3. Calculăm suma și obținem răspunsul final: 2∘(−2)=3\displaystyle 2\circ(-2)=3.
    2∘(−2)=3\displaystyle 2\circ(-2)=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de x∘y=x+y+3\displaystyle x\circ y=x+y+3.

Arătați că e=−3\displaystyle e=-3 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția: e\displaystyle e este element neutru dacă x∘e=e∘x=x\displaystyle x\circ e=e\circ x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Trebuie să verificăm ambele egalități pentru e=−3\displaystyle e=-3.
    x∘(−3)=x și (−3)∘x=x\displaystyle x\circ(-3)=x\text{ și }(-3)\circ x=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Calculăm x∘(−3)\displaystyle x\circ(-3), înlocuind y=−3\displaystyle y=-3 în definiția x∘y=x+y+3\displaystyle x\circ y=x+y+3, apoi reducem termenii opuși: −3+3=0\displaystyle -3+3=0.
    x∘(−3)=x+(−3)+3=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x\circ(-3)=x+(-3)+3=x\text{, pentru orice număr real }x
  3. Calculăm acum (−3)∘x\displaystyle (-3)\circ x, înlocuind primul termen cu −3\displaystyle -3 și al doilea cu x\displaystyle x. Termenii −3\displaystyle -3 și 3\displaystyle 3 se reduc.
    (−3)∘x=(−3)+x+3=x\displaystyle (-3)\circ x=(-3)+x+3=x
  4. Cele două egalități sunt verificate pentru orice x\displaystyle x real, deci e=−3\displaystyle e=-3 este element neutru al legii „∘\displaystyle \circ”.
    x∘(−3)=(−3)∘x=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x\circ(-3)=(-3)\circ x=x\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de x∘y=x+y+3\displaystyle x\circ y=x+y+3.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care 2013∘(−2013)=x∘x\displaystyle 2013\circ(-2013)=x\circ x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm membrul stâng folosind definiția legii x∘y=x+y+3\displaystyle x\circ y=x+y+3: 2013∘(−2013)=2013+(−2013)+3\displaystyle 2013\circ(-2013)=2013+(-2013)+3.
    2013∘(−2013)=2013−2013+3=3\displaystyle 2013\circ(-2013)=2013-2013+3=3
  2. Calculăm membrul drept cu aceeași definiție, luând y=x\displaystyle y=x: x∘x=x+x+3\displaystyle x\circ x=x+x+3.
    x∘x=2x+3\displaystyle x\circ x=2x+3
  3. Egalăm cele două expresii obținute: 3=2x+3\displaystyle 3=2x+3.
    3=2x+3\displaystyle 3=2x+3
  4. Scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri și obținem 2x=0\displaystyle 2x=0, deci x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x}.

Calculați lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem limita cerută, înlocuind f(x)\displaystyle f(x) cu expresia ei: lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x+1x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+1}{x}. Dacă am înlocui direct, am obține forma nedeterminată infinit supra infinit, deci simplificăm expresia.
    lim⁡x→+∞x+1x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+1}{x}
  2. Separăm fracția în două fracții cu același numitor: x+1x=xx+1x\displaystyle \dfrac{x+1}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}. Cum x>0\displaystyle x>0, avem xx=1\displaystyle \dfrac{x}{x}=1, deci expresia devine 1+1x\displaystyle 1+\dfrac{1}{x}.
    lim⁡x→+∞x+1x=lim⁡x→+∞(1+1x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+1}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)
  3. Calculăm limita fiecărui termen: lim⁡x→+∞1=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}1=1, iar lim⁡x→+∞1x=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0, pentru că numitorul crește nemărginit. Adunăm limitele: 1+0=1\displaystyle 1+0=1.
    lim⁡x→+∞(1+1x)=1+0=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=1+0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x}.

Arătați că funcția f\displaystyle f este descrescătoare pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Rescriem funcția ca o sumă, separând fracția: f(x)=x+1x=1+1x\displaystyle f(x)=\dfrac{x+1}{x}=1+\dfrac{1}{x}, pentru x>0\displaystyle x>0.
    f(x)=1+1x\displaystyle f(x)=1+\dfrac{1}{x}
  2. Funcția este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Derivata constantei 1\displaystyle 1 este 0\displaystyle 0, iar derivata lui 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} este −1x2\displaystyle -\dfrac{1}{x^{2}}. Obținem f′(x)=0−1x2\displaystyle f'(x)=0-\dfrac{1}{x^{2}}.
    f′(x)=−1x2, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
  3. Pentru orice x>0\displaystyle x>0 avem x2>0\displaystyle x^{2}>0, deci 1x2>0\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}>0, iar opusul său −1x2\displaystyle -\dfrac{1}{x^{2}} este strict negativ.
    −1x2<0, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle -\dfrac{1}{x^{2}}<0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
  4. Deoarece f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 pe tot intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), funcția f\displaystyle f este descrescătoare pe acest interval.
    f′(x)<0, pentru orice x∈(0,+∞)⇒f este descresca˘toare pe \displaystyle f'(x)<0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }intervalul (0,+∞)\displaystyle \text{intervalul }(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=1\displaystyle x_0=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=1\displaystyle x_0=1 este y−f(1)=f′(1)⋅(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)\cdot(x-1).
    y−f(1)=f′(1)⋅(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)\cdot(x-1)
  2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=\dfrac{x+1}{x} și obținem f(1)=1+11=2\displaystyle f(1)=\dfrac{1+1}{1}=2.
    f(1)=1+11=2\displaystyle f(1)=\dfrac{1+1}{1}=2
  3. Scriem f(x)=x+1x=1+1x\displaystyle f(x)=\dfrac{x+1}{x}=1+\dfrac{1}{x}. Derivata este f′(x)=(1+1x)′=−1x2\displaystyle f'(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^{2}}.
    f′(x)=−1x2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}
  4. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în derivată: f′(1)=−112=−1\displaystyle f'(1)=-\dfrac{1}{1^{2}}=-1.
    f′(1)=−1\displaystyle f'(1)=-1
  5. Din y−2=−1⋅(x−1)\displaystyle y-2=-1\cdot(x-1) obținem y−2=−x+1\displaystyle y-2=-x+1, deci y=−x+3\displaystyle y=-x+3.
    y=−x+3\displaystyle y=-x+3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+1\displaystyle f(x)=3x^2+1.

Calculați ∫01f′(x) dx\displaystyle \int_0^1 f'(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f are derivata f′\displaystyle f' continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci putem aplica formula Leibniz-Newton: ∫abf′(x) dx=f(b)−f(a)\displaystyle \int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a).
    ∫01f′(x) dx=f(x)∣01\displaystyle \int_0^1 f'(x)\,dx=f(x)\Big|_0^1
  2. Scriem diferența valorilor funcției la capete: f(1)−f(0)\displaystyle f(1)-f(0).
    f(x)∣01=f(1)−f(0)\displaystyle f(x)\Big|_0^1=f(1)-f(0)
  3. Calculăm valorile funcției: f(1)=3⋅12+1=4\displaystyle f(1)=3\cdot 1^2+1=4 și f(0)=3⋅02+1=1\displaystyle f(0)=3\cdot 0^2+1=1.
    f(1)=4 și f(0)=1\displaystyle f(1)=4\text{ și }f(0)=1
  4. Facem diferența: 4−1=3\displaystyle 4-1=3. Acesta este răspunsul final.
    f(1)−f(0)=4−1=3\displaystyle f(1)-f(0)=4-1=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+1\displaystyle f(x)=3x^2+1.

Arătați că funcția F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=x3+x+1\displaystyle F(x)=x^3+x+1 este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția: F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R} dacă F\displaystyle F este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R} și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Funcția F\displaystyle F este polinomială, deci derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Derivăm F\displaystyle F termen cu termen: (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)'=3x^2, (x)′=1\displaystyle (x)'=1, iar (1)′=0\displaystyle (1)'=0.
    (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)'=3x^2, (x)′=1\displaystyle \ (x)'=1, (1)′=0\displaystyle \ (1)'=0
  3. Adunăm derivatele și obținem F′(x)=(x3+x+1)′=3x2+1\displaystyle F'(x)=(x^3+x+1)'=3x^2+1.
    F′(x)=(x3+x+1)′=3x2+1\displaystyle F'(x)=\left(x^3+x+1\right)'=3x^2+1
  4. Comparăm cu f(x)=3x2+1\displaystyle f(x)=3x^2+1: cele două expresii coincid pentru orice x\displaystyle x real, deci F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x), pentru orice x∈R⇒F este o primitiva˘ a \displaystyle F'(x)=f(x)\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}\Rightarrow F\text{ este o primitivă a }funcției f\displaystyle \text{funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+1\displaystyle f(x)=3x^2+1.

Calculați aria suprafeței delimitate de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuație x=0\displaystyle x=0 și x=1\displaystyle x=1.
Vezi rezolvarea
  1. Aria suprafeței delimitate de graficul lui f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele x=0\displaystyle x=0 și x=1\displaystyle x=1 este integrala modulului funcției pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1]. Funcția f(x)=3x2+1\displaystyle f(x)=3x^{2}+1 este strict pozitivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece 3x2≥0\displaystyle 3x^{2}\geq 0, deci ∣f(x)∣=f(x)\displaystyle |f(x)|=f(x).
    A=∫01∣f(x)∣ dx=∫01(3x2+1)dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^1|f(x)|\,dx=\int_0^1\left(3x^{2}+1\right)dx
  2. Aflăm o primitivă a funcției: primitiva lui 3x2\displaystyle 3x^{2} este x3\displaystyle x^{3}, iar primitiva lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x.
    F(x)=x3+x\displaystyle F(x)=x^{3}+x
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm F(1)−F(0)\displaystyle F(1)-F(0). Avem F(1)=1+1=2\displaystyle F(1)=1+1=2 și F(0)=0\displaystyle F(0)=0, deci aria este 2\displaystyle 2.
    (x3+x)∣01=(1+1)−0=2\displaystyle \left(x^{3}+x\right)\Big|_0^1=(1+1)-0=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.