Bac matematică M3 tehnologic 2020, sesiunea I varianta 06: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 3(23+1)−3=6\displaystyle \sqrt{3}\left(2\sqrt{3}+1\right)-\sqrt{3}=6.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la expresia 3(23+1)−3\displaystyle \sqrt{3}\left(2\sqrt{3}+1\right)-\sqrt{3} și distribuim 3\displaystyle \sqrt{3} în paranteză: 3⋅23+3⋅1\displaystyle \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot 1.
    3(23+1)−3=23⋅3+3−3\displaystyle \sqrt{3}\left(2\sqrt{3}+1\right)-\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{3}
  2. Reducem termenii opuși: 3−3=0\displaystyle \sqrt{3}-\sqrt{3}=0, deci rămâne doar primul termen.
    23⋅3+3−3=23⋅3\displaystyle 2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}
  3. Folosim faptul că 3⋅3=3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3, deci obținem 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6, ceea ce trebuia demonstrat.
    2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4x+2\displaystyle f(x)=x^2-4x+2. Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care f(a)=2\displaystyle f(a)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle a în expresia funcției și obținem f(a)=a2−4a+2\displaystyle f(a)=a^{2}-4a+2.
    f(a)=a2−4a+2\displaystyle f(a)=a^{2}-4a+2
  2. Punem condiția f(a)=2\displaystyle f(a)=2 și obținem ecuația a2−4a+2=2\displaystyle a^{2}-4a+2=2.
    a2−4a+2=2\displaystyle a^{2}-4a+2=2
  3. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri, deci ecuația devine a2−4a=0\displaystyle a^{2}-4a=0, o ecuație de gradul al doilea incompletă.
    a2−4a=0\displaystyle a^{2}-4a=0
  4. Dăm factor comun pe a\displaystyle a și obținem a(a−4)=0\displaystyle a(a-4)=0.
    a(a−4)=0\displaystyle a(a-4)=0
  5. Un produs este nul când cel puțin un factor este nul, deci a=0\displaystyle a=0 sau a−4=0\displaystyle a-4=0, adică a=4\displaystyle a=4. Numerele căutate sunt 0\displaystyle 0 și 4\displaystyle 4.
    a=0 sau a=4\displaystyle a=0\text{ sau }a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x−1=3\displaystyle \sqrt{x-1}=3.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul există doar dacă x−1≥0\displaystyle x-1\geq 0, adică x≥1\displaystyle x\geq 1.
    x∈[1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty)
  2. Cum 3>0\displaystyle 3>0, ridicăm la pătrat ambii membri: (x−1)2=32\displaystyle \left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=3^{2}, deci x−1=9\displaystyle x-1=9.
    x−1=9\displaystyle x-1=9
  3. Adunăm 1 la ambii membri: x=9+1\displaystyle x=9+1.
    x=10\displaystyle x=10
  4. Verificăm: 10≥1\displaystyle 10\geq 1 și 10−1=9=3\displaystyle \sqrt{10-1}=\sqrt{9}=3, deci soluția convine.
    x=10, care convine\displaystyle x=10\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o ieftinire cu 10%\displaystyle 10\%, un obiect costă 180\displaystyle 180 de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul inițial al obiectului, în lei. Ieftinirea cu 10%\displaystyle 10\% înseamnă că se scade din preț 10%\displaystyle 10\% din x\displaystyle x, adică 10100⋅x\displaystyle \dfrac{10}{100}\cdot x.
    x−10100⋅x\displaystyle x-\frac{10}{100}\cdot x
  2. Prețul după ieftinire este 180\displaystyle 180 de lei, deci scriem ecuația:
    x−10100⋅x=180\displaystyle x-\frac{10}{100}\cdot x=180
  3. Reducem termenii: x−110x=910x\displaystyle x-\dfrac{1}{10}x=\dfrac{9}{10}x, deci ecuația devine:
    910x=180\displaystyle \frac{9}{10}x=180
  4. Aflăm x\displaystyle x înmulțind cu 109\displaystyle \dfrac{10}{9}: x=180⋅109=20⋅10\displaystyle x=180\cdot\dfrac{10}{9}=20\cdot 10. Prețul inițial este:
    x=200 de lei\displaystyle x=200\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(4,1)\displaystyle A(4,1), B(−4,1)\displaystyle B(-4,1) și C(0,4)\displaystyle C(0,4). Determinați lungimea înălțimii din vârful C\displaystyle C în triunghiul ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm lungimile laturilor AC\displaystyle AC și BC\displaystyle BC cu formula distanței dintre două puncte: AC=(4−0)2+(1−4)2\displaystyle AC=\sqrt{(4-0)^{2}+(1-4)^{2}} și BC=(−4−0)2+(1−4)2\displaystyle BC=\sqrt{(-4-0)^{2}+(1-4)^{2}}.
    AC=16+9=5\displaystyle AC=\sqrt{16+9}=5,BC=16+9=5\displaystyle \quad BC=\sqrt{16+9}=5
  2. Deoarece AC=BC\displaystyle AC=BC, triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel cu baza AB\displaystyle AB, deci înălțimea din C\displaystyle C coincide cu mediana din C\displaystyle C.
    AC=BC⇒ıˆna˘lțimea din C coincide cu mediana din C\displaystyle AC=BC\Rightarrow \text{înălțimea din }C\text{ coincide cu mediana din }C
  3. Aflăm coordonatele mijlocului D\displaystyle D al segmentului AB\displaystyle AB, ca medie a coordonatelor capetelor: xD=4+(−4)2=0\displaystyle x_D=\dfrac{4+(-4)}{2}=0 și yD=1+12=1\displaystyle y_D=\dfrac{1+1}{2}=1. Atunci CD\displaystyle CD este înălțime în triunghiul ABC\displaystyle ABC.
    D(0,1) este mijlocul lui AB⇒CD este ıˆna˘lțime ıˆn ΔABC\displaystyle D(0,1)\text{ este mijlocul lui }AB\Rightarrow CD\text{ este înălțime în }\Delta ABC
  4. Lungimea înălțimii este distanța dintre C(0,4)\displaystyle C(0,4) și D(0,1)\displaystyle D(0,1): CD=(0−0)2+(4−1)2=9\displaystyle CD=\sqrt{(0-0)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{9}.
    CD=3\displaystyle CD=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 3⋅sin⁡60∘−2⋅cos⁡45∘=12\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sin 60^\circ-\sqrt{2}\cdot\cos 45^\circ=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la expresia din enunț: 3⋅sin⁡60∘−2⋅cos⁡45∘\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sin 60^\circ-\sqrt{2}\cdot\cos 45^\circ. Trebuie să arătăm că ea este egală cu 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    3⋅sin⁡60∘−2⋅cos⁡45∘\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sin 60^\circ-\sqrt{2}\cdot\cos 45^\circ
  2. Folosim valorile cunoscute pentru unghiuri remarcabile: sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} și cos⁡45∘=22\displaystyle \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡45∘=22\displaystyle \ \cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. Înlocuim aceste valori în expresie: 3⋅32−2⋅22\displaystyle \sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    3⋅32−2⋅22\displaystyle \sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}
  4. Efectuăm înmulțirile, folosind 3⋅3=3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3 și 2⋅2=2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2.
    32−22\displaystyle \frac{3}{2}-\frac{2}{2}
  5. Scădem fracțiile cu același numitor: 32−22=12\displaystyle \dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{2}=\dfrac{1}{2}. Deci egalitatea din enunț este adevărată.
    32−22=12\displaystyle \frac{3}{2}-\frac{2}{2}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1302)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\0&2\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=2\displaystyle \det A=2.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula determinantului de ordin 2: pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, determinantul este ad−bc\displaystyle ad-bc.
    ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc
  2. Aplicăm formula pentru matricea A\displaystyle A, cu a=1\displaystyle a=1, b=3\displaystyle b=3, c=0\displaystyle c=0 și d=2\displaystyle d=2.
    det⁡A=∣1302∣=1⋅2−3⋅0\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&3\\0&2\end{vmatrix}=1\cdot 2-3\cdot 0
  3. Calculăm produsele: 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2, iar 3⋅0=0\displaystyle 3\cdot 0=0. Scăzând, obținem valoarea căutată.
    2−0=2, deci det⁡A=2\displaystyle 2-0=2\text{, deci }\det A=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1302)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\0&2\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că 3A−A⋅A=2I2\displaystyle 3A-A\cdot A=2I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Elementele sunt: 1⋅1+3⋅0=1\displaystyle 1\cdot 1+3\cdot 0=1, 1⋅3+3⋅2=9\displaystyle 1\cdot 3+3\cdot 2=9, 0⋅1+2⋅0=0\displaystyle 0\cdot 1+2\cdot 0=0, 0⋅3+2⋅2=4\displaystyle 0\cdot 3+2\cdot 2=4.
    A⋅A=(1904)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1&9\\0&4\end{pmatrix}
  2. Calculăm 3A\displaystyle 3A, înmulțind fiecare element al matricei A\displaystyle A cu 3\displaystyle 3.
    3A=(3⋅13⋅33⋅03⋅2)=(3906)\displaystyle 3A=\begin{pmatrix}3\cdot 1&3\cdot 3\\3\cdot 0&3\cdot 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&9\\0&6\end{pmatrix}
  3. Scădem matricele element cu element și observăm că rezultatul este de două ori matricea unitate I2\displaystyle I_2, deci egalitatea cerută este adevărată.
    3A−A⋅A=(3906)−(1904)=(2002)=2(1001)=2I2\displaystyle 3A-A\cdot A=\begin{pmatrix}3&9\\0&6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&9\\0&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=2I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1302)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\0&2\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care (xA−I2)(xA−I2)=5A−I2\displaystyle \left(xA-I_2\right)\left(xA-I_2\right)=5A-I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea xA−I2\displaystyle xA-I_2: înmulțim fiecare element al lui A\displaystyle A cu x\displaystyle x și scădem matricea unitate I2\displaystyle I_2.
    xA−I2=(x3x02x)−(1001)=(x−13x02x−1)\displaystyle xA-I_2=\begin{pmatrix}x&3x\\0&2x\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-1&3x\\0&2x-1\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul (xA−I2)(xA−I2)\displaystyle \left(xA-I_2\right)\left(xA-I_2\right), element cu element, linie pe coloană. Elementul din dreapta sus este (x−1)⋅3x+3x⋅(2x−1)=3x2−3x+6x2−3x=9x2−6x\displaystyle (x-1)\cdot 3x+3x\cdot(2x-1)=3x^{2}-3x+6x^{2}-3x=9x^{2}-6x.
    (xA−I2)(xA−I2)=((x−1)29x2−6x0(2x−1)2)\displaystyle \left(xA-I_2\right)\left(xA-I_2\right)=\begin{pmatrix}(x-1)^2&9x^2-6x\\0&(2x-1)^2\end{pmatrix}
  3. Calculăm membrul drept: 5A−I2\displaystyle 5A-I_2, scăzând 1\displaystyle 1 de pe diagonala principală a lui 5A\displaystyle 5A.
    5A−I2=(515010)−(1001)=(41509)\displaystyle 5A-I_2=\begin{pmatrix}5&15\\0&10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&15\\0&9\end{pmatrix}
  4. Egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice și obținem trei ecuații în x\displaystyle x. Elementele din stânga jos sunt 0\displaystyle 0 în ambele, deci nu dau condiții.
    (x−1)2=4\displaystyle (x-1)^2=4, 9x2−6x=15\displaystyle \ 9x^2-6x=15, (2x−1)2=9\displaystyle \ (2x-1)^2=9
  5. Rezolvăm prima ecuație: x−1=±2\displaystyle x-1=\pm 2.
    x∈{−1, 3}\displaystyle x\in\{-1,\ 3\}
  6. Rezolvăm a doua ecuație: o împărțim la 3\displaystyle 3 și obținem 3x2−2x−5=0\displaystyle 3x^{2}-2x-5=0, cu discriminantul Δ=4+60=64\displaystyle \Delta=4+60=64, deci x=2±86\displaystyle x=\dfrac{2\pm 8}{6}.
    x∈{−1, 53}\displaystyle x\in\left\{-1,\ \dfrac{5}{3}\right\}
  7. Rezolvăm a treia ecuație: 2x−1=±3\displaystyle 2x-1=\pm 3.
    x∈{−1, 2}\displaystyle x\in\{-1,\ 2\}
  8. Egalitatea matriceală are loc doar dacă toate cele trei ecuații sunt verificate simultan, deci luăm valoarea comună a mulțimilor de soluții: x=−1\displaystyle x=-1.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x2+(x+1)(y+1)+y2\displaystyle x\circ y=x^2+(x+1)(y+1)+y^2. Arătați că 3∘(−1)=10\displaystyle 3\circ(-1)=10.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: x∘y=x2+(x+1)(y+1)+y2\displaystyle x\circ y=x^2+(x+1)(y+1)+y^2. Înlocuim x=3\displaystyle x=3 și y=−1\displaystyle y=-1.
    3∘(−1)=32+(3+1)(−1+1)+(−1)2\displaystyle 3\circ(-1)=3^2+(3+1)(-1+1)+(-1)^2
  2. Calculăm separat fiecare termen: 32=9\displaystyle 3^2=9, −1+1=0\displaystyle -1+1=0, deci (3+1)⋅0=4⋅0=0\displaystyle (3+1)\cdot 0=4\cdot 0=0, iar (−1)2=1\displaystyle (-1)^2=1.
    9+0+1\displaystyle 9+0+1
  3. Adunăm termenii: 9+4⋅0+1=10\displaystyle 9+4\cdot 0+1=10. Deci egalitatea cerută este adevărată.
    9+4⋅0+1=10\displaystyle 9+4\cdot 0+1=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x2+(x+1)(y+1)+y2\displaystyle x\circ y=x^2+(x+1)(y+1)+y^2.

Demonstrați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Comutativitatea înseamnă că x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}. Pornim de la definiția legii pentru x\displaystyle x și y\displaystyle y oarecare.
    x∘y=x2+(x+1)(y+1)+y2\displaystyle x\circ y=x^2+(x+1)(y+1)+y^2
  2. Adunarea numerelor reale este comutativă, deci putem schimba ordinea termenilor: scriem y2\displaystyle y^2 primul, apoi produsul, apoi x2\displaystyle x^2.
    x2+(x+1)(y+1)+y2=y2+(x+1)(y+1)+x2\displaystyle x^2+(x+1)(y+1)+y^2=y^2+(x+1)(y+1)+x^2
  3. Înmulțirea numerelor reale este comutativă, deci (x+1)(y+1)=(y+1)(x+1)\displaystyle (x+1)(y+1)=(y+1)(x+1).
    y2+(x+1)(y+1)+x2=y2+(y+1)(x+1)+x2\displaystyle y^2+(x+1)(y+1)+x^2=y^2+(y+1)(x+1)+x^2
  4. Expresia obținută este exact definiția lui y∘x\displaystyle y\circ x, obținută prin schimbarea rolurilor lui x\displaystyle x și y\displaystyle y în definiția legii. Deci x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}, adică legea este comutativă.
    y2+(y+1)(x+1)+x2=y∘x, deci x∘y=y∘x\displaystyle y^2+(y+1)(x+1)+x^2=y\circ x\text{, deci }x\circ y=y\circ x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x2+(x+1)(y+1)+y2\displaystyle x\circ y=x^2+(x+1)(y+1)+y^2.

Demonstrați că x∘1≥2\displaystyle x\circ 1\ge 2, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție pentru y=1\displaystyle y=1, adică înlocuim y\displaystyle y cu 1\displaystyle 1 în x∘y=x2+(x+1)(y+1)+y2\displaystyle x\circ y=x^2+(x+1)(y+1)+y^2.
    x∘1=x2+(x+1)(1+1)+12\displaystyle x\circ 1=x^2+(x+1)(1+1)+1^2
  2. Calculăm 1+1=2\displaystyle 1+1=2 și 12=1\displaystyle 1^2=1, deci avem x∘1=x2+2(x+1)+1\displaystyle x\circ 1=x^2+2(x+1)+1.
    x∘1=x2+2(x+1)+12\displaystyle x\circ 1=x^2+2(x+1)+1^2
  3. Desfacem paranteza: 2(x+1)=2x+2\displaystyle 2(x+1)=2x+2. Adunăm constantele 2+1=3\displaystyle 2+1=3 și separăm 3=1+2\displaystyle 3=1+2, ca să apară un pătrat perfect.
    x∘1=x2+2x+1+2\displaystyle x\circ 1=x^2+2x+1+2
  4. Recunoaștem formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 pentru a=x\displaystyle a=x și b=1\displaystyle b=1: x2+2x+1=(x+1)2\displaystyle x^2+2x+1=(x+1)^2.
    x∘1=(x+1)2+2\displaystyle x\circ 1=(x+1)^2+2
  5. Pentru orice număr real x\displaystyle x avem (x+1)2≥0\displaystyle (x+1)^2\ge 0, deci adunând 2\displaystyle 2 obținem (x+1)2+2≥2\displaystyle (x+1)^2+2\ge 2. Astfel x∘1≥2\displaystyle x\circ 1\ge 2, pentru orice x\displaystyle x real.
    (x+1)2+2≥2, pentru orice numa˘r real x\displaystyle (x+1)^2+2\ge 2\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ln⁡x\displaystyle f(x)=(x-1)\ln x.

Arătați că f′(x)=1−1x+ln⁡x\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{x}+\ln x, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=(x−1)ln⁡x\displaystyle f(x)=(x-1)\ln x este un produs de două funcții, u(x)=x−1\displaystyle u(x)=x-1 și v(x)=ln⁡x\displaystyle v(x)=\ln x, deci aplicăm regula (uv)′=u′v+uv′\displaystyle (uv)'=u'v+uv'.
    f′(x)=(x−1)′ln⁡x+(x−1)(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=(x-1)'\ln x+(x-1)(\ln x)'
  2. Calculăm derivatele factorilor: (x−1)′=1\displaystyle (x-1)'=1 și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    (x−1)′=1\displaystyle (x-1)'=1, (ln⁡x)′=1x\displaystyle \ (\ln x)'=\dfrac{1}{x}
  3. Înlocuim derivatele în formula produsului: f′(x)=1⋅ln⁡x+(x−1)⋅1x\displaystyle f'(x)=1\cdot\ln x+(x-1)\cdot\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=ln⁡x+(x−1)⋅1x\displaystyle f'(x)=\ln x+(x-1)\cdot\dfrac{1}{x}
  4. Distribuim: (x−1)⋅1x=xx−1x=1−1x\displaystyle (x-1)\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{x}-\dfrac{1}{x}=1-\dfrac{1}{x}. Obținem formula cerută pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=1−1x+ln⁡x\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{x}+\ln x, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ln⁡x\displaystyle f(x)=(x-1)\ln x.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=1\displaystyle x_0=1: y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)\displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1). Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în f(x)=(x−1)ln⁡x\displaystyle f(x)=(x-1)\ln x: f(1)=(1−1)⋅ln⁡1=0⋅0=0\displaystyle f(1)=(1-1)\cdot\ln 1=0\cdot 0=0.
    f(1)=0\displaystyle f(1)=0
  3. Derivăm f\displaystyle f ca produs: f′(x)=(x−1)′ln⁡x+(x−1)(ln⁡x)′=ln⁡x+(x−1)⋅1x\displaystyle f'(x)=(x-1)'\ln x+(x-1)(\ln x)'=\ln x+(x-1)\cdot\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=ln⁡x+x−1x\displaystyle f'(x)=\ln x+\dfrac{x-1}{x}
  4. Calculăm f′(1)=ln⁡1+1−11=0+0=0\displaystyle f'(1)=\ln 1+\dfrac{1-1}{1}=0+0=0. Astfel f(1)=0\displaystyle f(1)=0 și f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0.
    f(1)=0\displaystyle f(1)=0, f′(1)=0\displaystyle \ f'(1)=0
  5. Înlocuim în formula tangentei: y−0=0⋅(x−1)\displaystyle y-0=0\cdot(x-1), deci y=0\displaystyle y=0. Tangenta este chiar axa Ox\displaystyle Ox.
    y−f(1)=f′(1)(x−1), adica˘ y=0\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)\text{, adică }y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ln⁡x\displaystyle f(x)=(x-1)\ln x.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este descrescătoare pe intervalul (0,1]\displaystyle (0,1].
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f cu regula de derivare a produsului: derivata lui x−1\displaystyle x-1 este 1\displaystyle 1, iar derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}. Obținem f′(x)=ln⁡x+(x−1)⋅1x=ln⁡x+1−1x\displaystyle f'(x)=\ln x+(x-1)\cdot\dfrac{1}{x}=\ln x+1-\dfrac{1}{x}, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=ln⁡x+1−1x\displaystyle f'(x)=\ln x+1-\frac{1}{x}
  2. Studiem semnul primului termen. Funcția ln⁡\displaystyle \ln este crescătoare și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, deci pentru x∈(0,1]\displaystyle x\in(0,1] avem ln⁡x≤ln⁡1=0\displaystyle \ln x\le \ln 1=0.
    x∈(0,1]⇒ln⁡x≤0\displaystyle x\in(0,1]\Rightarrow \ln x\le 0
  3. Studiem semnul celui de-al doilea termen. Dacă x∈(0,1]\displaystyle x\in(0,1], atunci 0<x≤1\displaystyle 0<x\le 1, deci 1x≥1\displaystyle \dfrac{1}{x}\ge 1. De aici 1−1x≤0\displaystyle 1-\dfrac{1}{x}\le 0.
    x∈(0,1]⇒ln⁡x≤0 și 1−1x≤0\displaystyle x\in(0,1]\Rightarrow \ln x\le 0\text{ și }1-\frac{1}{x}\le 0
  4. Derivata este suma a doi termeni negativi sau nuli, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0 pentru orice x∈(0,1]\displaystyle x\in(0,1]. Prin urmare, f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,1]\displaystyle (0,1].
    f′(x)≤0, pentru orice numa˘r real x∈(0,1], deci f este descresca˘toare pe (0,1]\displaystyle f'(x)\le 0\text{, pentru orice număr real }x\in(0,1]\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }(0,1]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1+xx2+1−2x2+1\displaystyle f(x)=1+\frac{x}{x^2+1}-\frac{2}{x^2+1}.

Arătați că ∫01(x2+1)f(x) dx=−16\displaystyle \int_0^1\left(x^2+1\right)f(x)\,dx=-\frac{1}{6}.
Vezi rezolvarea
  1. Avem de calculat ∫01(x2+1)f(x) dx\displaystyle \int_0^1 \left(x^2+1\right)f(x)\,dx, unde f(x)=1+xx2+1−2x2+1\displaystyle f(x)=1+\dfrac{x}{x^2+1}-\dfrac{2}{x^2+1}.
    ∫01(x2+1)(1+xx2+1−2x2+1)dx\displaystyle \int_0^1 \left(x^2+1\right)\left(1+\frac{x}{x^2+1}-\frac{2}{x^2+1}\right)dx
  2. Înmulțim x2+1\displaystyle x^2+1 cu fiecare termen al lui f(x)\displaystyle f(x): (x2+1)⋅1=x2+1\displaystyle \left(x^2+1\right)\cdot 1=x^2+1, (x2+1)⋅xx2+1=x\displaystyle \left(x^2+1\right)\cdot\dfrac{x}{x^2+1}=x și (x2+1)⋅2x2+1=2\displaystyle \left(x^2+1\right)\cdot\dfrac{2}{x^2+1}=2.
    (x2+1)f(x)=x2+1+x−2\displaystyle \left(x^2+1\right)f(x)=x^2+1+x-2
  3. Reducem termenii: x2+1+x−2=x2+x−1\displaystyle x^2+1+x-2=x^2+x-1. Integrala devine o integrală de polinom.
    ∫01(x2+1+x−2)dx=∫01(x2+x−1)dx\displaystyle \int_0^1\left(x^2+1+x-2\right)dx=\int_0^1\left(x^2+x-1\right)dx
  4. O primitivă este x33+x22−x\displaystyle \dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}-x, pentru că ∫xn dx=xn+1n+1\displaystyle \displaystyle\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Aplicăm formula Leibniz-Newton, calculând primitiva între limitele 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    (x33+x22−x)∣01\displaystyle \left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-x\right)\Big|_0^1
  5. Pentru x=1\displaystyle x=1 obținem 13+12−1\displaystyle \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-1, iar pentru x=0\displaystyle x=0 obținem 0\displaystyle 0. Deci integrala este diferența celor două valori.
    (13+12−1)−0\displaystyle \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-1\right)-0
  6. Aducem la numitorul comun 6\displaystyle 6: 26+36−66=−16\displaystyle \dfrac{2}{6}+\dfrac{3}{6}-\dfrac{6}{6}=-\dfrac{1}{6}. Așadar am arătat egalitatea cerută.
    13+12−1=−16\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{6}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1+xx2+1−2x2+1\displaystyle f(x)=1+\frac{x}{x^2+1}-\frac{2}{x^2+1}.

Determinați primitiva F\displaystyle F a funcției f\displaystyle f pentru care F(0)=0\displaystyle F(0)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Primitiva cerută este F(x)=∫0xf(t) dt\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t)\,dt, deoarece atunci F(0)=∫00f(t) dt=0\displaystyle F(0)=\int_0^0 f(t)\,dt=0, iar F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x).
    F(x)=∫0x(1+tt2+1−2t2+1)dt\displaystyle F(x)=\int_0^x\left(1+\frac{t}{t^2+1}-\frac{2}{t^2+1}\right)dt
  2. Separăm integrala în trei integrale, folosind liniaritatea integralei.
    F(x)=∫0x1 dt+∫0xtt2+1 dt−2∫0x1t2+1 dt\displaystyle F(x)=\int_0^x 1\,dt+\int_0^x\frac{t}{t^2+1}\,dt-2\int_0^x\frac{1}{t^2+1}\,dt
  3. Calculăm fiecare primitivă: primitiva lui 1\displaystyle 1 este t\displaystyle t; pentru tt2+1\displaystyle \dfrac{t}{t^2+1} observăm că (t2+1)′=2t\displaystyle (t^2+1)'=2t, deci primitiva este 12ln⁡(t2+1)\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln\left(t^2+1\right); primitiva lui 1t2+1\displaystyle \dfrac{1}{t^2+1} este arctg⁡t\displaystyle \operatorname{arctg}t.
    F(x)=(t+12ln⁡(t2+1)−2arctg⁡t)∣0x\displaystyle F(x)=\left(t+\frac{1}{2}\ln\left(t^2+1\right)-2\operatorname{arctg}t\right)\Big|_0^x
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm expresia în x\displaystyle x și o scădem pe cea în 0\displaystyle 0. În 0\displaystyle 0 avem 0+12ln⁡1−2arctg⁡0=0\displaystyle 0+\dfrac{1}{2}\ln 1-2\operatorname{arctg}0=0.
    F(x)=x+12ln⁡(x2+1)−2arctg⁡x−0\displaystyle F(x)=x+\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)-2\operatorname{arctg}x-0
  5. Deci primitiva cu F(0)=0\displaystyle F(0)=0 este funcția de mai jos, definită pe R\displaystyle \mathbb{R}. Verificare: F(0)=0+12ln⁡1−2arctg⁡0=0\displaystyle F(0)=0+\dfrac{1}{2}\ln 1-2\operatorname{arctg}0=0.
    F(x)=x+12ln⁡(x2+1)−2arctg⁡x\displaystyle F(x)=x+\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)-2\operatorname{arctg}x, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1+xx2+1−2x2+1\displaystyle f(x)=1+\frac{x}{x^2+1}-\frac{2}{x^2+1}.

Arătați că ∫12(f(x)+f(1x))dx=ln⁡52\displaystyle \int_1^2\left(f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)\right)dx=\ln\frac{5}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1x)\displaystyle f\left(\dfrac{1}{x}\right), pentru x≠0\displaystyle x\neq 0. Înlocuim x\displaystyle x cu 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} în expresia lui f\displaystyle f și amplificăm fracțiile cu x2\displaystyle x^{2}, deoarece 1x2+1=x2+1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}+1=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}}.
    f(1x)=1+1x1x2+1−21x2+1=1+xx2+1−2x2x2+1\displaystyle f\left(\dfrac{1}{x}\right)=1+\dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}+1}-\dfrac{2}{\frac{1}{x^{2}}+1}=1+\dfrac{x}{x^{2}+1}-\dfrac{2x^{2}}{x^{2}+1}
  2. Scriem f(x)=1+x−2x2+1\displaystyle f(x)=1+\dfrac{x-2}{x^{2}+1} și f(1x)=1+x−2x2x2+1\displaystyle f\left(\dfrac{1}{x}\right)=1+\dfrac{x-2x^{2}}{x^{2}+1} și le adunăm. Termenii 1\displaystyle 1 dau 2\displaystyle 2, iar numărătorii dau 2x−2−2x2\displaystyle 2x-2-2x^{2}. Aducem la același numitor: 2=2x2+2x2+1\displaystyle 2=\dfrac{2x^{2}+2}{x^{2}+1}, deci suma este 2x2+2+2x−2−2x2x2+1\displaystyle \dfrac{2x^{2}+2+2x-2-2x^{2}}{x^{2}+1}.
    f(x)+f(1x)=2xx2+1, pentru orice x∈R, x≠0\displaystyle f(x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}\text{, }x\neq 0
  3. Pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2] avem x≠0\displaystyle x\neq 0, deci înlocuim suma din integrală cu fracția obținută. Numărătorul 2x\displaystyle 2x este derivata numitorului, adică (x2+1)′=2x\displaystyle (x^{2}+1)'=2x, deci o primitivă este ln⁡(x2+1)\displaystyle \ln\left(x^{2}+1\right), definit deoarece x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0.
    ∫12(f(x)+f(1x))dx=∫122xx2+1 dx=ln⁡(x2+1)∣12\displaystyle \int_1^2\left(f(x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)\right)dx=\int_1^2\dfrac{2x}{x^{2}+1}\,dx=\ln\left(x^{2}+1\right)\Big|_1^2
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ln⁡(22+1)−ln⁡(12+1)=ln⁡5−ln⁡2\displaystyle \ln\left(2^{2}+1\right)-\ln\left(1^{2}+1\right)=\ln 5-\ln 2. Folosind ln⁡a−ln⁡b=ln⁡ab\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}, obținem ln⁡52\displaystyle \ln\dfrac{5}{2}, adică exact valoarea cerută.
    ln⁡(x2+1)∣12=ln⁡5−ln⁡2=ln⁡52\displaystyle \ln\left(x^{2}+1\right)\Big|_1^2=\ln 5-\ln 2=\ln\dfrac{5}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.