Bac matematică M3 tehnologic 2014, sesiunea I rezervă varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (1−12)2+34=1\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm diferența din paranteză, aducând la același numitor: 1=22\displaystyle 1=\dfrac{2}{2}, deci 1−12=22−12=12\displaystyle 1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}.
    1−12=12\displaystyle 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
  2. Ridicăm la pătrat fracția obținută: (12)2=1222=14\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1^2}{2^2}=\dfrac{1}{4}.
    (1−12)2=14\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}
  3. Înlocuim în expresia dată. Fracțiile 14\displaystyle \dfrac{1}{4} și 34\displaystyle \dfrac{3}{4} au același numitor, deci adunăm numărătorii și păstrăm numitorul: 14+34=1+34=44=1\displaystyle \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{1+3}{4}=\dfrac{4}{4}=1, ceea ce trebuia arătat.
    14+34=44=1\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+4\displaystyle f(x)=x+4 cu axa Oy\displaystyle Oy.
Vezi rezolvarea
  1. Axa Oy\displaystyle Oy este formată din punctele cu abscisa zero, deci punctul de intersecție are abscisa x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
  2. Ordonata punctului este valoarea funcției în 0\displaystyle 0: înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în f(x)=x+4\displaystyle f(x)=x+4 și obținem f(0)=0+4\displaystyle f(0)=0+4.
    f(0)=0+4=4\displaystyle f(0)=0+4=4
  3. Punctul de intersecție are abscisa 0\displaystyle 0 și ordonata 4\displaystyle 4, adică este punctul de coordonate (0,4)\displaystyle (0,4).
    x=0 și y=4\displaystyle x=0\text{ și }y=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 33x−1=9\displaystyle 3^{3x-1}=9.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem pe 9\displaystyle 9 ca putere a lui 3\displaystyle 3: 9=32\displaystyle 9=3^{2}. Ecuația devine 33x−1=32\displaystyle 3^{3x-1}=3^{2}.
    33x−1=32\displaystyle 3^{3x-1}=3^{2}
  2. Funcția exponențială cu baza 3\displaystyle 3 este injectivă, deci egalăm exponenții: 3x−1=2\displaystyle 3x-1=2.
    3x−1=2\displaystyle 3x-1=2
  3. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri: 3x=3\displaystyle 3x=3. Împărțim la 3\displaystyle 3 și obținem x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să fie mai mic sau egal cu 3\displaystyle 3.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea numerelor naturale de o cifră este {0,1,2,…,9}\displaystyle \{0,1,2,\ldots,9\}. Cazurile favorabile sunt numerele n\displaystyle n cu n≤3\displaystyle n\le 3, adică 0,1,2,3\displaystyle 0,1,2,3. Sunt 4\displaystyle 4 cazuri favorabile.
    nr. cazuri favorabile=4\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=4
  2. Numărul cazurilor posibile este numărul elementelor mulțimii {0,1,…,9}\displaystyle \{0,1,\ldots,9\}, deci 10\displaystyle 10.
    nr. cazuri posibile=10\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=10
  3. Aplicăm formula p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=410\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{4}{10}, apoi simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2.
    p=410=25\displaystyle p=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,1)\displaystyle A(1,1), B(4,1)\displaystyle B(4,1) și C(4,4)\displaystyle C(4,4). Arătați că AB=BC\displaystyle AB=BC.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre două puncte M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2): MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
    MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
  2. Pentru A(1,1)\displaystyle A(1,1) și B(4,1)\displaystyle B(4,1) avem AB=(4−1)2+(1−1)2\displaystyle AB=\sqrt{(4-1)^2+(1-1)^2}.
    AB=(4−1)2+(1−1)2=32+02\displaystyle AB=\sqrt{(4-1)^2+(1-1)^2}=\sqrt{3^2+0^2}
  3. Calculăm: 9+0=9\displaystyle \sqrt{9+0}=\sqrt{9}, deci AB=3\displaystyle AB=3.
    AB=3\displaystyle AB=3
  4. Pentru B(4,1)\displaystyle B(4,1) și C(4,4)\displaystyle C(4,4) avem BC=(4−4)2+(4−1)2\displaystyle BC=\sqrt{(4-4)^2+(4-1)^2}.
    BC=(4−4)2+(4−1)2=02+32\displaystyle BC=\sqrt{(4-4)^2+(4-1)^2}=\sqrt{0^2+3^2}
  5. Calculăm: 0+9=9=3\displaystyle \sqrt{0+9}=\sqrt{9}=3, deci BC=3\displaystyle BC=3. Cum AB=3\displaystyle AB=3 și BC=3\displaystyle BC=3, rezultă AB=BC\displaystyle AB=BC.
    BC=3⇒AB=BC\displaystyle BC=3\Rightarrow AB=BC
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, știind că AB=6\displaystyle AB=6 și BC=10\displaystyle BC=10.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci BC\displaystyle BC este ipotenuză, iar AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC sunt catete. Scriem teorema lui Pitagora: BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}.
    BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}
  2. Înlocuim AB=6\displaystyle AB=6 și BC=10\displaystyle BC=10: 102=62+AC2\displaystyle 10^{2}=6^{2}+AC^{2}, deci AC2=100−36=64\displaystyle AC^{2}=100-36=64.
    AC2=100−36=64\displaystyle AC^{2}=100-36=64
  3. Cum AC>0\displaystyle AC>0, obținem AC=64=8\displaystyle AC=\sqrt{64}=8.
    AC=8\displaystyle AC=8
  4. Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor: AΔABC=AB⋅AC2=6⋅82=482=24\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{6\cdot 8}{2}=\dfrac{48}{2}=24.
    AΔABC=6⋅82=24\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{6\cdot 8}{2}=24
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1224)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, preluând elementele din matrice: prima linie este 1,2\displaystyle 1, 2, iar a doua linie este 2,4\displaystyle 2, 4.
    det⁡A=∣1224∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2\\2&4\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula diagonalelor: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c.
    det⁡A=1⋅4−2⋅2\displaystyle \det A=1\cdot 4-2\cdot 2
  3. Efectuăm calculele: 1⋅4=4\displaystyle 1\cdot 4=4, 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4, iar diferența lor este 0\displaystyle 0. Deci determinantul lui A\displaystyle A este 0\displaystyle 0.
    1⋅4−2⋅2=4−4=0, deci det⁡A=0\displaystyle 1\cdot 4-2\cdot 2=4-4=0\text{, deci }\det A=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1224)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că A⋅A=5A\displaystyle A\cdot A=5A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A cu matricea A\displaystyle A luată de două ori.
    A⋅A=(1224)(1224)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementele produsului, linie pe coloană. Pe prima linie: 1⋅1+2⋅2=5\displaystyle 1\cdot1+2\cdot2=5 și 1⋅2+2⋅4=10\displaystyle 1\cdot2+2\cdot4=10.
    (510∗∗)\displaystyle \begin{pmatrix}5&10\\ \ast&\ast\end{pmatrix}
  3. Pe a doua linie: 2⋅1+4⋅2=10\displaystyle 2\cdot1+4\cdot2=10 și 2⋅2+4⋅4=20\displaystyle 2\cdot2+4\cdot4=20. Obținem matricea produs.
    A⋅A=(5101020)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}5&10\\10&20\end{pmatrix}
  4. Scoatem factorul comun 5\displaystyle 5 din toate elementele matricei: 5⋅1=5\displaystyle 5\cdot1=5, 5⋅2=10\displaystyle 5\cdot2=10, 5⋅2=10\displaystyle 5\cdot2=10, 5⋅4=20\displaystyle 5\cdot4=20. Matricea rămasă este chiar A\displaystyle A, deci A⋅A=5A\displaystyle A\cdot A=5A.
    A⋅A=5⋅(1224)=5A\displaystyle A\cdot A=5\cdot\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}=5A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1224)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y pentru care A+(xyy−3)=I2\displaystyle A+\begin{pmatrix}x&y\\y&-3\end{pmatrix}=I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem ecuația cu matricele date: (1224)+(xyy−3)=(1001)\displaystyle \begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x&y\\y&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
    (1224)+(xyy−3)=(1001)\displaystyle \begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x&y\\y&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele element cu element. Pe poziția (2,2)\displaystyle (2,2) avem 4+(−3)=1\displaystyle 4+(-3)=1, deci suma este (1+x2+y2+y1)\displaystyle \begin{pmatrix}1+x&2+y\\2+y&1\end{pmatrix}.
    A+(xyy−3)=(1+x2+y2+y1)\displaystyle A+\begin{pmatrix}x&y\\y&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+x&2+y\\2+y&1\end{pmatrix}
  3. Egalăm elementele corespunzătoare cu cele ale lui I2\displaystyle I_2. Din poziția (1,1)\displaystyle (1,1) obținem 1+x=1\displaystyle 1+x=1, iar din poziția (1,2)\displaystyle (1,2) obținem 2+y=0\displaystyle 2+y=0. Pozițiile (2,1)\displaystyle (2,1) și (2,2)\displaystyle (2,2) dau 2+y=0\displaystyle 2+y=0 și 1=1\displaystyle 1=1, adică aceeași condiție.
    {1+x=12+y=0\displaystyle \begin{cases}1+x=1\\2+y=0\end{cases}
  4. Rezolvăm cele două ecuații: din 1+x=1\displaystyle 1+x=1 rezultă x=0\displaystyle x=0, iar din 2+y=0\displaystyle 2+y=0 rezultă y=−2\displaystyle y=-2.
    x=0\displaystyle x=0, y=−2\displaystyle \ y=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y+xy\displaystyle x\circ y=x+y+xy.

Arătați că (−1)∘1=−1\displaystyle (-1)\circ 1=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: x∘y=x+y+xy\displaystyle x\circ y=x+y+xy, și o aplicăm pentru x=−1\displaystyle x=-1 și y=1\displaystyle y=1.
    (−1)∘1=−1+1+(−1)⋅1\displaystyle (-1)\circ 1=-1+1+(-1)\cdot 1
  2. Calculăm separat suma primilor doi termeni și produsul: −1+1=0\displaystyle -1+1=0, iar (−1)⋅1=−1\displaystyle (-1)\cdot 1=-1.
    (−1)∘1=0+(−1)\displaystyle (-1)\circ 1=0+(-1)
  3. Adunăm cei doi termeni: 0+(−1)=−1\displaystyle 0+(-1)=-1, deci egalitatea cerută este adevărată.
    (−1)∘1=0−1=−1\displaystyle (-1)\circ 1=0-1=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y+xy\displaystyle x\circ y=x+y+xy.

Arătați că x∘y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=(x+1)(y+1)-1 pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∘y=x+y+xy\displaystyle x\circ y=x+y+xy.
    x∘y=x+y+xy\displaystyle x\circ y=x+y+xy
  2. Adăugăm și scădem 1\displaystyle 1 în membrul drept, ceea ce nu schimbă valoarea expresiei, și ordonăm termenii astfel încât să apară x\displaystyle x, xy\displaystyle xy, y\displaystyle y și 1\displaystyle 1 alături.
    x∘y=x+xy+y+1−1\displaystyle x\circ y=x+xy+y+1-1
  3. Grupăm primii doi termeni și dăm factor comun pe x\displaystyle x: x+xy=x(y+1)\displaystyle x+xy=x(y+1). Ceilalți doi termeni, y+1\displaystyle y+1, formează chiar factorul y+1\displaystyle y+1.
    x∘y=x(y+1)+(y+1)−1\displaystyle x\circ y=x(y+1)+(y+1)-1
  4. Dăm factor comun y+1\displaystyle y+1 între primii doi termeni și obținem forma cerută, pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    x∘y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=(x+1)(y+1)-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y+xy\displaystyle x\circ y=x+y+xy.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (x+1)∘(x−3)=4\displaystyle (x+1)\circ(x-3)=4.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii: pentru orice a,b∈R\displaystyle a,b\in\mathbb{R} avem a∘b=a+b+ab\displaystyle a\circ b=a+b+ab. Aici a=x+1\displaystyle a=x+1 și b=x−3\displaystyle b=x-3.
    (x+1)∘(x−3)=(x+1)+(x−3)+(x+1)(x−3)\displaystyle (x+1)\circ(x-3)=(x+1)+(x-3)+(x+1)(x-3)
  2. Observăm că a+b+ab=(a+1)(b+1)−1\displaystyle a+b+ab=(a+1)(b+1)-1. Cu a=x+1\displaystyle a=x+1 și b=x−3\displaystyle b=x-3 obținem (x+2)(x−2)−1\displaystyle (x+2)(x-2)-1, deci ecuația devine (x+2)(x−2)−1=4\displaystyle (x+2)(x-2)-1=4.
    (x+2)(x−2)−1=4\displaystyle (x+2)(x-2)-1=4
  3. Efectuăm produsul (x+2)(x−2)=x2−4\displaystyle (x+2)(x-2)=x^2-4, apoi aducem totul în același membru: x2−4−1−4=0\displaystyle x^2-4-1-4=0, adică x2−9=0\displaystyle x^2-9=0.
    x2−4−1=4⇔x2−9=0\displaystyle x^{2}-4-1=4\Leftrightarrow x^{2}-9=0
  4. Rezolvăm ecuația x2=9\displaystyle x^2=9, deci x=−3\displaystyle x=-3 sau x=3\displaystyle x=3. Ambele valori sunt reale, deci sunt soluții ale ecuației.
    x1=−3 și x2=3\displaystyle x_1=-3\text{ și }x_2=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(2,+∞)→R\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−1x−2\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x-2}.

Arătați că lim⁡x→3f(x)=2\displaystyle \lim_{x\to3}f(x)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem limita cerută, înlocuind f(x)\displaystyle f(x) cu expresia sa: lim⁡x→3f(x)=lim⁡x→3x−1x−2\displaystyle \lim_{x\to3}f(x)=\lim_{x\to3}\dfrac{x-1}{x-2}.
    lim⁡x→3f(x)=lim⁡x→3x−1x−2\displaystyle \lim_{x\to3}f(x)=\lim_{x\to3}\frac{x-1}{x-2}
  2. Observăm că 3∈(2,+∞)\displaystyle 3\in(2,+\infty), iar f\displaystyle f este un raport de funcții polinomiale, deci este continuă pe tot domeniul. În plus, numitorul în 3\displaystyle 3 este 3−2=1≠0\displaystyle 3-2=1\neq 0. Prin urmare, limita în 3\displaystyle 3 se obține înlocuind direct x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3.
    lim⁡x→3f(x)=f(3)\displaystyle \lim_{x\to3}f(x)=f(3)
  3. Înlocuim x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3: la numărător obținem 3−1=2\displaystyle 3-1=2, iar la numitor 3−2=1\displaystyle 3-2=1. Rezultă 3−13−2=21=2\displaystyle \dfrac{3-1}{3-2}=\dfrac{2}{1}=2, deci lim⁡x→3f(x)=2\displaystyle \lim_{x\to3}f(x)=2.
    3−13−2=2\displaystyle \frac{3-1}{3-2}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(2,+∞)→R\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−1x−2\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x-2}.

Arătați că f′(x)=−1(x−2)2\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{(x-2)^2}, x∈(2,+∞)\displaystyle x\in(2,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât de două funcții derivabile pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty), iar numitorul nu se anulează. Folosim formula derivatei câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}. Aici u(x)=x−1\displaystyle u(x)=x-1 și v(x)=x−2\displaystyle v(x)=x-2.
    (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, u=x−1\displaystyle \ u=x-1, v=x−2\displaystyle \ v=x-2
  2. Calculăm derivatele: (x−1)′=1\displaystyle (x-1)'=1 și (x−2)′=1\displaystyle (x-2)'=1.
    (x−1)′=1\displaystyle (x-1)'=1, (x−2)′=1\displaystyle \ (x-2)'=1
  3. Înlocuim în formula derivatei câtului.
    f′(x)=(x−1)′(x−2)−(x−1)(x−2)′(x−2)2=1⋅(x−2)−(x−1)⋅1(x−2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-1)'(x-2)-(x-1)(x-2)'}{(x-2)^{2}}=\dfrac{1\cdot(x-2)-(x-1)\cdot 1}{(x-2)^{2}}
  4. Desfacem parantezele de la numărător: x−2−x+1\displaystyle x-2-x+1. Termenii cu x\displaystyle x se reduc, iar numărătorul devine −1\displaystyle -1.
    x−2−x+1(x−2)2=−1(x−2)2\displaystyle \dfrac{x-2-x+1}{(x-2)^{2}}=\dfrac{-1}{(x-2)^{2}}
  5. Am obținut exact egalitatea cerută, pentru orice x\displaystyle x din intervalul (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty).
    f′(x)=−1(x−2)2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{(x-2)^{2}}, x∈(2,+∞)\displaystyle \ x\in(2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(2,+∞)→R\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−1x−2\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x-2}. Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=3\displaystyle x_0=3, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=3\displaystyle x_0=3 este y−f(3)=f′(3)(x−3)\displaystyle y-f(3)=f'(3)(x-3).
    y−f(3)=f′(3)(x−3)\displaystyle y-f(3)=f'(3)(x-3)
  2. Calculăm f(3)=3−13−2=21\displaystyle f(3)=\dfrac{3-1}{3-2}=\dfrac{2}{1}.
    2\displaystyle 2
  3. Derivăm f\displaystyle f cu formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, unde u=x−1\displaystyle u=x-1 și v=x−2\displaystyle v=x-2, deci u′=1\displaystyle u'=1 și v′=1\displaystyle v'=1. Obținem f′(x)=1⋅(x−2)−(x−1)⋅1(x−2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot(x-2)-(x-1)\cdot 1}{(x-2)^{2}}.
    f′(x)=(x−2)−(x−1)(x−2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-2)-(x-1)}{(x-2)^{2}}
  4. Simplificăm numărătorul: (x−2)−(x−1)=x−2−x+1=−1\displaystyle (x-2)-(x-1)=x-2-x+1=-1.
    f′(x)=−1(x−2)2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{(x-2)^{2}}
  5. Calculăm f′(3)=−1(3−2)2=−11\displaystyle f'(3)=-\dfrac{1}{(3-2)^{2}}=-\dfrac{1}{1}.
    f′(3)=−1\displaystyle f'(3)=-1
  6. Înlocuim în formula tangentei: y−2=−1⋅(x−3)\displaystyle y-2=-1\cdot(x-3), adică y−2=−x+3\displaystyle y-2=-x+3, deci y=−x+5\displaystyle y=-x+5.
    y=−x+5\displaystyle y=-x+5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x+1\displaystyle f(x)=x^2+2x+1.

Arătați că ∫−11(2x+1) dx=2\displaystyle \int_{-1}^{1}(2x+1)\,dx=2.
Vezi rezolvarea
  1. Căutăm o primitivă a funcției de sub integrală. Primitiva lui 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^{2}, iar primitiva lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, deci o primitivă a lui 2x+1\displaystyle 2x+1 este F(x)=x2+x\displaystyle F(x)=x^{2}+x.
    F(x)=x2+x\displaystyle F(x)=x^{2}+x
  2. Aplicăm formula Leibniz-Newton: integrala este diferența valorilor primitivei în capetele intervalului, adică F(1)−F(−1)\displaystyle F(1)-F(-1).
    ∫−11(2x+1) dx=(x2+x)∣−11\displaystyle \int_{-1}^{1}(2x+1)\,dx=\left(x^{2}+x\right)\Big|_{-1}^{1}
  3. Calculăm valorile primitivei în cele două capete: F(1)=12+1=2\displaystyle F(1)=1^{2}+1=2, iar F(−1)=(−1)2+(−1)=1−1=0\displaystyle F(-1)=(-1)^{2}+(-1)=1-1=0.
    F(1)=2\displaystyle F(1)=2,F(−1)=0\displaystyle \quad F(-1)=0
  4. Scădem cele două valori și obținem rezultatul cerut: F(1)−F(−1)=2−0=2\displaystyle F(1)-F(-1)=2-0=2.
    ∫−11(2x+1) dx=2−0=2\displaystyle \int_{-1}^{1}(2x+1)\,dx=2-0=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x+1\displaystyle f(x)=x^2+2x+1.

Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[0,1]→R\displaystyle g:[0,1]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)−2x−1\displaystyle g(x)=f(x)-2x-1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2+2x+1\displaystyle f(x)=x^2+2x+1 în g(x)=f(x)−2x−1\displaystyle g(x)=f(x)-2x-1 și reducem termenii asemenea: g(x)=x2+2x+1−2x−1\displaystyle g(x)=x^2+2x+1-2x-1.
    g(x)=x2\displaystyle g(x)=x^{2}
  2. Volumul corpului obținut prin rotația graficului lui g:[0,1]→R\displaystyle g:[0,1]\to\mathbb{R} în jurul axei Ox\displaystyle Ox este V=π∫01g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_{0}^{1}g^{2}(x)\,dx.
    V=π∫01g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_{0}^{1}g^{2}(x)\,dx
  3. Cum g(x)=x2\displaystyle g(x)=x^2, avem g2(x)=(x2)2=x4\displaystyle g^2(x)=\left(x^2\right)^2=x^4, deci integrala devine π∫01x4 dx\displaystyle \pi\int_{0}^{1}x^4\,dx.
    V=π∫01x4 dx\displaystyle V=\pi\int_{0}^{1}x^{4}\,dx
  4. O primitivă a lui x4\displaystyle x^4 este x55\displaystyle \dfrac{x^5}{5}, deci V=π⋅x55∣01=π(155−055)\displaystyle V=\pi\cdot\dfrac{x^5}{5}\Big|_0^1=\pi\left(\dfrac{1^5}{5}-\dfrac{0^5}{5}\right).
    V=π(15−0)=π5\displaystyle V=\pi\left(\frac{1}{5}-0\right)=\frac{\pi}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x+1\displaystyle f(x)=x^2+2x+1.

Demonstrați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f este o funcție crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a funcției f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R}. Din definiția primitivei, F\displaystyle F este derivabilă și derivata ei este chiar f\displaystyle f, adică F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    F′(x)=f(x)=x2+2x+1\displaystyle F'(x)=f(x)=x^{2}+2x+1
  2. Recunoaștem în expresia lui f\displaystyle f dezvoltarea pătratului unei sumei: x2+2x+1=(x+1)2\displaystyle x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
    F′(x)=(x+1)2\displaystyle F'(x)=(x+1)^{2}
  3. Un pătrat al unui număr real este întotdeauna mai mare sau egal cu zero, deci F′(x)=(x+1)2≥0\displaystyle F'(x)=(x+1)^{2}\ge 0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. O funcție cu derivata nenegativă pe un interval este crescătoare pe acel interval, deci F\displaystyle F este crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}. Cum F\displaystyle F a fost o primitivă oarecare, orice primitivă a lui f\displaystyle f este crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    F′(x)=(x+1)2≥0 pentru orice x∈R, deci F este cresca˘toare pe R\displaystyle F'(x)=(x+1)^{2}\ge 0\text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}\text{, deci }F\text{ este crescătoare pe }\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.