Bac matematică M3 tehnologic 2018, sesiunea I rezervă varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (1−12)(1+0,5)=34\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\right)(1+0{,}5)=\frac{3}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm prima paranteză: 1−12=22−12=12\displaystyle 1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}.
    1−12=12\displaystyle 1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}
  2. Scriem 0,5=510\displaystyle 0{,}5=\dfrac{5}{10} și înlocuim în produs, astfel că expresia devine produsul dintre 12\displaystyle \dfrac{1}{2} și 1+510\displaystyle 1+\dfrac{5}{10}.
    12⋅(1+510)\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\left(1+\dfrac{5}{10}\right)
  3. Calculăm a doua paranteză: 510=12\displaystyle \dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}, deci 1+12=22+12=32\displaystyle 1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}.
    1+510=32\displaystyle 1+\dfrac{5}{10}=\dfrac{3}{2}
  4. Înmulțim fracțiile: 12⋅32=1⋅32⋅2=34\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 2}=\dfrac{3}{4}, ceea ce trebuia arătat.
    12⋅32=34\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−5\displaystyle f(x)=3x-5 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=1−3x\displaystyle g(x)=1-3x.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție al graficelor are aceeași abscisă pe ambele grafice, deci abscisa se obține din egalitatea f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x). Înlocuim expresiile celor două funcții.
    3x−5=1−3x\displaystyle 3x-5=1-3x
  2. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: adunăm 3x\displaystyle 3x la ambii membri și adunăm 5\displaystyle 5 la ambii membri.
    3x+3x=1+5\displaystyle 3x+3x=1+5
  3. Reducem termenii asemenea și obținem 6x=6\displaystyle 6x=6. Împărțim la 6\displaystyle 6 și găsim abscisa. Verificare: f(1)=3⋅1−5=−2\displaystyle f(1)=3\cdot 1-5=-2 și g(1)=1−3⋅1=−2\displaystyle g(1)=1-3\cdot 1=-2, deci valorile coincid.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x+5)=log⁡39\displaystyle \log_3(x+5)=\log_3 9.
Vezi rezolvarea
  1. Condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci x+5>0\displaystyle x+5>0, adică x>−5\displaystyle x>-5.
    x∈(−5,∞)\displaystyle x\in(-5,\infty)
  2. Logaritmii au aceeași bază, 3\displaystyle 3, iar funcția logaritmică este injectivă, deci egalăm argumentele: x+5=9\displaystyle x+5=9.
    x+5=9\displaystyle x+5=9
  3. Scădem 5\displaystyle 5 din ambii membri și obținem x=9−5=4\displaystyle x=9-5=4. Verificăm condiția de existență: 4>−5\displaystyle 4>-5, deci soluția convine.
    x=4, care convine\displaystyle x=4\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o ieftinire cu 30%\displaystyle 30\%, prețul unui obiect este 700\displaystyle 700 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul inițial al obiectului, în lei. Ieftinirea cu 30%\displaystyle 30\% înseamnă că se scade din x\displaystyle x valoarea 30100⋅x\displaystyle \dfrac{30}{100}\cdot x.
    x−30100⋅x\displaystyle x-\frac{30}{100}\cdot x
  2. Prețul după ieftinire este 700\displaystyle 700 de lei, deci scriem ecuația procentuală.
    x−30100⋅x=700\displaystyle x-\frac{30}{100}\cdot x=700
  3. Dăm factor comun pe x\displaystyle x: x(1−30100)=700\displaystyle x\left(1-\dfrac{30}{100}\right)=700, deci 70100⋅x=700\displaystyle \dfrac{70}{100}\cdot x=700.
    70100⋅x=700\displaystyle \frac{70}{100}\cdot x=700
  4. Înmulțim ambii membri cu 10070\displaystyle \dfrac{100}{70}: x=700⋅10070=10⋅100\displaystyle x=700\cdot\dfrac{100}{70}=10\cdot 100. Prețul inițial este de 1000 de lei.
    x=1000 de lei\displaystyle x=1000\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,6)\displaystyle A(0,6) și B(8,0)\displaystyle B(8,0). Determinați lungimea medianei din vârful O\displaystyle O în triunghiul AOB\displaystyle AOB.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(0,6)\displaystyle A(0,6) se află pe axa Oy\displaystyle Oy, iar punctul B(8,0)\displaystyle B(8,0) pe axa Ox\displaystyle Ox, deci ∠AOB=90∘\displaystyle \angle AOB=90^\circ. Triunghiul AOB\displaystyle AOB este dreptunghic în O\displaystyle O, cu catetele OA\displaystyle OA și OB\displaystyle OB, iar ipotenuza este AB\displaystyle AB.
    ∠AOB=90∘\displaystyle \angle AOB=90^\circ
  2. Calculăm lungimile catetelor: OA=6\displaystyle OA=6 și OB=8\displaystyle OB=8.
    OA=6\displaystyle OA=6, OB=8\displaystyle \ OB=8
  3. Calculăm AB\displaystyle AB cu formula distanței: AB=(8−0)2+(0−6)2=64+36=100\displaystyle AB=\sqrt{(8-0)^{2}+(0-6)^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}.
    AB=64+36=10\displaystyle AB=\sqrt{64+36}=10
  4. Mediana din O\displaystyle O este mediana corespunzătoare ipotenuzei AB\displaystyle AB, iar într-un triunghi dreptunghic ea este egală cu jumătate din ipotenuză: AB2=102=5\displaystyle \dfrac{AB}{2}=\dfrac{10}{2}=5.
    AB2=102=5\displaystyle \dfrac{AB}{2}=\dfrac{10}{2}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 2⋅sin⁡45∘−(sin⁡30∘+cos⁡60∘)=0\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sin 45^\circ-(\sin 30^\circ+\cos 60^\circ)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de 45∘\displaystyle 45^\circ, 30∘\displaystyle 30^\circ și 60∘\displaystyle 60^\circ: sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, iar cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡30∘=12\displaystyle \ \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, cos⁡60∘=12\displaystyle \ \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}
  2. Înlocuim aceste valori în expresia din enunț: 2⋅sin⁡45∘−(sin⁡30∘+cos⁡60∘)\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sin 45^\circ-(\sin 30^\circ+\cos 60^\circ).
    2⋅22−(12+12)\displaystyle \sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)
  3. Calculăm separat: 2⋅2=2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2, deci primul termen este 22=1\displaystyle \dfrac{2}{2}=1. Paranteza este 12+12=1\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1. Diferența este 1−1=0\displaystyle 1-1=0, deci egalitatea este demonstrată.
    22−1=1−1=0\displaystyle \dfrac{2}{2}-1=1-1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(13−12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\-1&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=(2x11)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2&x\\1&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=5\displaystyle \det A=5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A: det⁡A=∣13−12∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&3\\-1&2\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣13−12∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&3\\-1&2\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordin doi: ∣abcd∣=a⋅d−c⋅b\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-c\cdot b. Pentru matricea A\displaystyle A obținem 1⋅2−(−1)⋅3\displaystyle 1\cdot 2-(-1)\cdot 3.
    det⁡A=1⋅2−(−1)⋅3\displaystyle \det A=1\cdot 2-(-1)\cdot 3
  3. Calculăm produsele: 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2, iar (−1)⋅3=−3\displaystyle (-1)\cdot 3=-3. Scăderea lui −3\displaystyle -3 înseamnă adunarea lui 3\displaystyle 3, deci det⁡A=2+3=5\displaystyle \det A=2+3=5.
    det⁡A=2+3=5\displaystyle \det A=2+3=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(13−12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\-1&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=(2x11)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2&x\\1&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că, dacă A+B(x)=3I2\displaystyle A+B(x)=3I_2, atunci A⋅B(x)=5I2\displaystyle A\cdot B(x)=5I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm suma A+B(x)\displaystyle A+B(x), adunând matricele element cu element.
    A+B(x)=(1+23+x−1+12+1)=(33+x03)\displaystyle A+B(x)=\begin{pmatrix}1+2&3+x\\-1+1&2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&3+x\\0&3\end{pmatrix}
  2. Egalăm cu 3I2=(3003)\displaystyle 3I_2=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}. Două matrice sunt egale când elementele corespunzătoare sunt egale, deci 3+x=0\displaystyle 3+x=0, de unde x=−3\displaystyle x=-3.
    (33+x03)=(3003)⇔x=−3\displaystyle \begin{pmatrix}3&3+x\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}\Leftrightarrow x=-3
  3. Înlocuim x=−3\displaystyle x=-3 în B(x)\displaystyle B(x) și scriem produsul A⋅B(−3)\displaystyle A\cdot B(-3).
    A⋅B(−3)=(13−12)(2−311)\displaystyle A\cdot B(-3)=\begin{pmatrix}1&3\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-3\\1&1\end{pmatrix}
  4. Calculăm fiecare element al produsului, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui B(−3)\displaystyle B(-3): 1⋅2+3⋅1=5\displaystyle 1\cdot2+3\cdot1=5, 1⋅(−3)+3⋅1=0\displaystyle 1\cdot(-3)+3\cdot1=0, (−1)⋅2+2⋅1=0\displaystyle (-1)\cdot2+2\cdot1=0, (−1)⋅(−3)+2⋅1=5\displaystyle (-1)\cdot(-3)+2\cdot1=5.
    (1⋅2+3⋅11⋅(−3)+3⋅1(−1)⋅2+2⋅1(−1)⋅(−3)+2⋅1)=(5005)\displaystyle \begin{pmatrix}1\cdot2+3\cdot1&1\cdot(-3)+3\cdot1\\(-1)\cdot2+2\cdot1&(-1)\cdot(-3)+2\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}
  5. Matricea obținută are 5\displaystyle 5 pe diagonala principală și 0\displaystyle 0 în rest, deci este 5I2\displaystyle 5I_2. Am arătat că, dacă A+B(x)=3I2\displaystyle A+B(x)=3I_2, atunci A⋅B(x)=5I2\displaystyle A\cdot B(x)=5I_2.
    A⋅B(−3)=(5005)=5I2\displaystyle A\cdot B(-3)=\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}=5I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(13−12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\-1&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=(2x11)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2&x\\1&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(B(x)⋅B(x)−I2)=0\displaystyle \det\left(B(x)\cdot B(x)-I_2\right)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul B(x)⋅B(x)\displaystyle B(x)\cdot B(x), înmulțind linie cu coloană: prima linie (2, x)\displaystyle (2,\ x) cu coloanele (21)\displaystyle \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} și (x1)\displaystyle \begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}, apoi a doua linie (1, 1)\displaystyle (1,\ 1) cu aceleași coloane.
    B(x)⋅B(x)=(2⋅2+x⋅12x+x⋅11⋅2+1⋅1x+1)=(4+x3x3x+1)\displaystyle B(x)\cdot B(x)=\begin{pmatrix}2\cdot 2+x\cdot 1&2x+x\cdot 1\\1\cdot 2+1\cdot 1&x+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+x&3x\\3&x+1\end{pmatrix}
  2. Scădem matricea unitate I2\displaystyle I_2, adică scădem 1\displaystyle 1 din fiecare element de pe diagonala principală.
    B(x)⋅B(x)−I2=(4+x3x3x+1)−(1001)=(3+x3x3x)\displaystyle B(x)\cdot B(x)-I_2=\begin{pmatrix}4+x&3x\\3&x+1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+x&3x\\3&x\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul matricei obținute: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe cealaltă diagonală.
    ∣3+x3x3x∣=(3+x)⋅x−3x⋅3=x2+3x−9x=x2−6x\displaystyle \begin{vmatrix}3+x&3x\\3&x\end{vmatrix}=(3+x)\cdot x-3x\cdot 3=x^2+3x-9x=x^2-6x
  4. Egalăm determinantul cu zero și rezolvăm ecuația x2−6x=0\displaystyle x^2-6x=0, dând x\displaystyle x factor comun.
    x2−6x=0⇔x(x−6)=0⇔x=0 sau x=6\displaystyle x^2-6x=0\Leftrightarrow x(x-6)=0\Leftrightarrow x=0\text{ sau }x=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−9(x+y)+90\displaystyle x\circ y=xy-9(x+y)+90.

Arătați că 10∘8=8\displaystyle 10\circ 8=8.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=10\displaystyle x=10 și y=8\displaystyle y=8 în definiția x∘y=xy−9(x+y)+90\displaystyle x\circ y=xy-9(x+y)+90.
    10∘8=10⋅8−9(10+8)+90\displaystyle 10\circ 8=10\cdot 8-9(10+8)+90
  2. Calculăm separat: 10⋅8=80\displaystyle 10\cdot 8=80, 10+8=18\displaystyle 10+8=18, deci 9⋅18=162\displaystyle 9\cdot 18=162.
    10∘8=80−162+90\displaystyle 10\circ 8=80-162+90
  3. Efectuăm operațiile: 80−162=−82\displaystyle 80-162=-82, iar −82+90=8\displaystyle -82+90=8. Am obținut valoarea cerută.
    10∘8=80−162+90=8\displaystyle 10\circ 8=80-162+90=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−9(x+y)+90\displaystyle x\circ y=xy-9(x+y)+90.

Demonstrați că x∘y=(x−9)(y−9)+9\displaystyle x\circ y=(x-9)(y-9)+9, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=xy−9(x+y)+90\displaystyle x\circ y=xy-9(x+y)+90 și desfacem paranteza: −9(x+y)=−9x−9y\displaystyle -9(x+y)=-9x-9y.
    x∘y=xy−9x−9y+90\displaystyle x\circ y=xy-9x-9y+90
  2. Scriem 90=81+9\displaystyle 90=81+9, pentru a pregăti apariția produsului (x−9)(y−9)\displaystyle (x-9)(y-9).
    x∘y=xy−9x−9y+81+9\displaystyle x\circ y=xy-9x-9y+81+9
  3. Grupăm termenii: xy−9x=x(y−9)\displaystyle xy-9x=x(y-9) și −9y+81=−9(y−9)\displaystyle -9y+81=-9(y-9).
    x∘y=x(y−9)−9(y−9)+9\displaystyle x\circ y=x(y-9)-9(y-9)+9
  4. Scoatem factorul comun y−9\displaystyle y-9 și obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=(x−9)(y−9)+9\displaystyle x\circ y=(x-9)(y-9)+9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−9(x+y)+90\displaystyle x\circ y=xy-9(x+y)+90.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care n∘n≤10\displaystyle n\circ n\le 10.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție sub forma (x−9)(y−9)+9\displaystyle (x-9)(y-9)+9. Desfacem parantezele: (x−9)(y−9)=xy−9x−9y+81\displaystyle (x-9)(y-9)=xy-9x-9y+81, deci xy−9(x+y)+90=(x−9)(y−9)+9\displaystyle xy-9(x+y)+90=(x-9)(y-9)+9.
    x∘y=(x−9)(y−9)+9\displaystyle x\circ y=(x-9)(y-9)+9
  2. Înlocuim x\displaystyle x și y\displaystyle y cu n\displaystyle n și obținem expresia lui n∘n\displaystyle n\circ n.
    n∘n=(n−9)2+9\displaystyle n\circ n=(n-9)^{2}+9
  3. Punem condiția n∘n≤10\displaystyle n\circ n\le 10 și scădem 9\displaystyle 9 din ambii membri: (n−9)2≤1\displaystyle (n-9)^{2}\le 1. Mutăm 1\displaystyle 1 în stânga și descompunem diferența de pătrate: (n−9−1)(n−9+1)≤0\displaystyle (n-9-1)(n-9+1)\le 0, adică (n−10)(n−8)≤0\displaystyle (n-10)(n-8)\le 0.
    (n−9)2+9≤10⇔(n−10)(n−8)≤0\displaystyle (n-9)^{2}+9\le 10\Leftrightarrow (n-10)(n-8)\le 0
  4. Produsul a doi factori este negativ sau nul când n\displaystyle n se află între rădăcini, inclusiv rădăcinile 8\displaystyle 8 și 10\displaystyle 10 (parabola are ramurile în sus). Deci n∈[8,10]\displaystyle n\in[8,10].
    n∈[8,10]\displaystyle n\in[8,10]
  5. Cum n\displaystyle n este număr natural, din intervalul [8,10]\displaystyle [8,10] rămân doar numerele naturale 8\displaystyle 8, 9\displaystyle 9 și 10\displaystyle 10.
    n=8\displaystyle n=8, n=9 sau n=10\displaystyle \ n=9\text{ sau }n=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−1x2+3\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x^2+3}.

Arătați că f′(x)=(3−x)(x+1)(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\frac{(3-x)(x+1)}{\left(x^2+3\right)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât de două funcții derivabile pe R\displaystyle \mathbb{R}, iar numitorul nu se anulează, deoarece x2+3≥3\displaystyle x^2+3\ge 3. Folosim formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, cu u=x−1\displaystyle u=x-1 și v=x2+3\displaystyle v=x^2+3.
    u′=1\displaystyle u'=1,v′=2x\displaystyle \quad v'=2x
  2. Înlocuim în formulă: la numărător avem u′v−uv′\displaystyle u'v-uv', iar la numitor v2\displaystyle v^2.
    f′(x)=1⋅(x2+3)−(x−1)⋅2x(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\frac{1\cdot\left(x^2+3\right)-(x-1)\cdot 2x}{\left(x^2+3\right)^2}
  3. Desfacem parantezele la numărător: x2+3−2x2+2x\displaystyle x^2+3-2x^2+2x.
    x2+3−2x2+2x\displaystyle x^2+3-2x^2+2x
  4. Reducem termenii asemenea: x2−2x2=−x2\displaystyle x^2-2x^2=-x^2. Numărătorul devine −x2+2x+3\displaystyle -x^2+2x+3.
    f′(x)=−x2+2x+3(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\frac{-x^2+2x+3}{\left(x^2+3\right)^2}
  5. Factorizăm numărătorul. Verificăm prin înmulțire: (3−x)(x+1)=3x+3−x2−x=−x2+2x+3\displaystyle (3-x)(x+1)=3x+3-x^2-x=-x^2+2x+3. Deci numărătorul este egal cu (3−x)(x+1)\displaystyle (3-x)(x+1), iar egalitatea cerută este demonstrată.
    f′(x)=−x2+2x+3(x2+3)2=(3−x)(x+1)(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\frac{-x^2+2x+3}{\left(x^2+3\right)^2}=\frac{(3-x)(x+1)}{\left(x^2+3\right)^2},x∈R\displaystyle \quad x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−1x2+3\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x^2+3}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Dreapta y=L\displaystyle y=L este asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty la graficul lui f\displaystyle f dacă lim⁡x→+∞f(x)=L\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=L, cu L∈R\displaystyle L\in\mathbb{R}. Calculăm deci limita lui f\displaystyle f la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x−1x2+3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x-1}{x^{2}+3}
  2. La numărător dăm factor comun pe x\displaystyle x, iar la numitor pe x2\displaystyle x^{2}: x−1=x(1−1x)\displaystyle x-1=x\left(1-\dfrac{1}{x}\right) și x2+3=x2(1+3x2)\displaystyle x^{2}+3=x^{2}\left(1+\dfrac{3}{x^{2}}\right). Simplificăm prin x\displaystyle x.
    x−1x2+3=x(1−1x)x2(1+3x2)=1−1xx(1+3x2)\displaystyle \frac{x-1}{x^{2}+3}=\frac{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}{x^{2}\left(1+\frac{3}{x^{2}}\right)}=\frac{1-\frac{1}{x}}{x\left(1+\frac{3}{x^{2}}\right)}
  3. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0 și 3x2→0\displaystyle \dfrac{3}{x^{2}}\to 0. Numărătorul tinde la 1\displaystyle 1, paranteza de la numitor tinde la 1\displaystyle 1, iar factorul x\displaystyle x tinde la +∞\displaystyle +\infty. Deci fracția tinde la 1+∞=0\displaystyle \dfrac{1}{+\infty}=0.
    lim⁡x→+∞1−1xx(1+3x2)=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac{1}{x}}{x\left(1+\frac{3}{x^{2}}\right)}=0
  4. Deoarece lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0, graficul lui f\displaystyle f are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty dreapta de ecuație y=0\displaystyle y=0.
    y=0\displaystyle y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−1x2+3\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x^2+3}.

Demonstrați că −1≤f(x)+f(y)≤13\displaystyle -1\le f(x)+f(y)\le\frac{1}{3}, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției folosind formula de derivare a câtului. Numărătorul x−1\displaystyle x-1 are derivata 1\displaystyle 1, iar numitorul x2+3\displaystyle x^{2}+3 are derivata 2x\displaystyle 2x.
    f′(x)=1⋅(x2+3)−(x−1)⋅2x(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot(x^{2}+3)-(x-1)\cdot 2x}{(x^{2}+3)^{2}}
  2. Simplificăm numărătorul derivatei: x2+3−2x2+2x=−x2+2x+3\displaystyle x^{2}+3-2x^{2}+2x=-x^{2}+2x+3.
    f′(x)=−x2+2x+3(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-x^{2}+2x+3}{(x^{2}+3)^{2}}
  3. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Numitorul este pozitiv, deci semnul derivatei este dat de numărător. Ecuația −x2+2x+3=0\displaystyle -x^{2}+2x+3=0 este echivalentă cu x2−2x−3=0\displaystyle x^{2}-2x-3=0, adică (x+1)(x−3)=0\displaystyle (x+1)(x-3)=0.
    x=−1 sau x=3\displaystyle x=-1\text{ sau }x=3
  4. Studiem semnul numărătorului −x2+2x+3\displaystyle -x^{2}+2x+3, o funcție de gradul al doilea cu coeficientul dominant negativ. El este negativ în afara rădăcinilor și pozitiv între ele. Deducem monotonia funcției f\displaystyle f.
    f descresca˘toare pe (−∞,−1]\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }(-\infty,-1], cresca˘toare pe [−1,3]\displaystyle \ \text{crescătoare pe }[-1,3], descresca˘toare pe [3,+∞)\displaystyle \ \text{descrescătoare pe }[3,+\infty)
  5. Calculăm valorile funcției în punctele de extrem: f(−1)=−24\displaystyle f(-1)=\dfrac{-2}{4} și f(3)=212\displaystyle f(3)=\dfrac{2}{12}.
    f(−1)=−12\displaystyle f(-1)=-\dfrac{1}{2}, f(3)=16\displaystyle \ f(3)=\dfrac{1}{6}
  6. Calculăm limitele la capete. Gradul numitorului este mai mare decât gradul numărătorului, deci limitele sunt 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0, lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0
  7. Comparăm valorile. Pe (−∞,−1]\displaystyle (-\infty,-1] funcția descrește de la 0\displaystyle 0 la −12\displaystyle -\dfrac{1}{2}, apoi crește până la 16\displaystyle \dfrac{1}{6}, apoi descrește spre 0\displaystyle 0. Deci minimul este −12\displaystyle -\dfrac{1}{2}, iar maximul este 16\displaystyle \dfrac{1}{6}, pentru orice x\displaystyle x real, deci și pentru y\displaystyle y.
    −12≤f(x)≤16\displaystyle -\dfrac{1}{2}\le f(x)\le\dfrac{1}{6}, −12≤f(y)≤16\displaystyle \ -\dfrac{1}{2}\le f(y)\le\dfrac{1}{6}
  8. Adunăm cele două inegalități membru cu membru: −12−12≤f(x)+f(y)≤16+16\displaystyle -\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\le f(x)+f(y)\le\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}, adică inegalitatea cerută.
    −1≤f(x)+f(y)≤13\displaystyle -1\le f(x)+f(y)\le\dfrac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1ex+x\displaystyle f(x)=\frac{1}{e^x}+x.

Arătați că ∫−11(f(x)−1ex)dx=0\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)-\frac{1}{e^x}\right)dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=1ex+x\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{e^{x}}+x în integrand: f(x)−1ex=1ex+x−1ex=x\displaystyle f(x)-\dfrac{1}{e^{x}}=\dfrac{1}{e^{x}}+x-\dfrac{1}{e^{x}}=x. Deci integrala devine o integrală din x\displaystyle x.
    ∫−11(f(x)−1ex)dx=∫−11x dx\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)-\frac{1}{e^{x}}\right)dx=\int_{-1}^{1}x\,dx
  2. O primitivă a funcției x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫−11x dx=x22∣−11\displaystyle \int_{-1}^{1}x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}\Big|_{-1}^{1}.
    ∫−11x dx=x22∣−11\displaystyle \int_{-1}^{1}x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\Big|_{-1}^{1}
  3. Calculăm valorile în capete: 122−(−1)22=12−12=0\displaystyle \dfrac{1^{2}}{2}-\dfrac{(-1)^{2}}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0. Așadar ∫−11(f(x)−1ex)dx=0\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)-\dfrac{1}{e^{x}}\right)dx=0, ceea ce trebuia demonstrat.
    12−12=0\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1ex+x\displaystyle f(x)=\frac{1}{e^x}+x.

Demonstrați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f este concavă pe intervalul (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0].
Vezi rezolvarea
  1. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a funcției f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R}. Atunci F\displaystyle F este derivabilă și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x).
    F′(x)=f(x)=1ex+x\displaystyle F'(x)=f(x)=\frac{1}{e^{x}}+x
  2. Derivăm încă o dată. Scriem 1ex=e−x\displaystyle \dfrac{1}{e^{x}}=e^{-x}, a cărui derivată este −e−x=−1ex\displaystyle -e^{-x}=-\dfrac{1}{e^{x}}, iar derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1.
    F′′(x)=f′(x)=−1ex+1\displaystyle F''(x)=f'(x)=-\frac{1}{e^{x}}+1, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  3. Pentru x≤0\displaystyle x\le 0 avem 0<ex≤e0=1\displaystyle 0<e^{x}\le e^{0}=1, deoarece funcția exponențială este strict crescătoare. Prin trecere la inverse obținem 1ex≥1\displaystyle \dfrac{1}{e^{x}}\ge 1.
    1ex≥1\displaystyle \frac{1}{e^{x}}\ge 1, ∀x∈(−∞,0]\displaystyle \ \forall x\in(-\infty,0]
  4. Din inegalitatea anterioară rezultă 1−1ex≤0\displaystyle 1-\dfrac{1}{e^{x}}\le 0, deci F′′(x)≤0\displaystyle F''(x)\le 0 pentru orice x∈(−∞,0]\displaystyle x\in(-\infty,0].
    F′′(x)=1−1ex≤0\displaystyle F''(x)=1-\frac{1}{e^{x}}\le 0, ∀x∈(−∞,0]\displaystyle \ \forall x\in(-\infty,0]
  5. Deoarece F′′(x)≤0\displaystyle F''(x)\le 0 pe intervalul (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0], funcția F\displaystyle F este concavă pe acest interval. Cum F\displaystyle F a fost o primitivă oarecare, afirmația este demonstrată pentru orice primitivă a lui f\displaystyle f.
    F′′(x)≤0\displaystyle F''(x)\le 0, ∀x∈(−∞,0]⇒F concava˘ pe (−∞,0]\displaystyle \ \forall x\in(-\infty,0]\Rightarrow F\text{ concavă pe }(-\infty,0]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1ex+x\displaystyle f(x)=\frac{1}{e^x}+x.

Calculați ∫01exf(x) dx\displaystyle \int_0^1 e^x f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim ex\displaystyle e^x cu f(x)\displaystyle f(x): ex⋅1ex=1\displaystyle e^x\cdot\dfrac{1}{e^x}=1, deci exf(x)=1+xex\displaystyle e^x f(x)=1+xe^x.
    exf(x)=1+xex\displaystyle e^x f(x)=1+xe^x
  2. Folosim liniaritatea integralei: ∫01exf(x) dx=∫011 dx+∫01xex dx\displaystyle \int_0^1 e^x f(x)\,dx=\int_0^1 1\,dx+\int_0^1 xe^x\,dx.
    ∫011 dx+∫01xex dx\displaystyle \int_0^1 1\,dx+\int_0^1 xe^x\,dx
  3. Pentru ∫xex dx\displaystyle \int xe^x\,dx integrăm prin părți: alegem u=x\displaystyle u=x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x. Obținem ∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex\displaystyle \int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x.
    ∫xex dx=xex−ex=(x−1)ex\displaystyle \int xe^x\,dx=xe^x-e^x=(x-1)e^x
  4. O primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, deci integrala este ∫01(1+xex)dx=(x+(x−1)ex)∣01\displaystyle \int_0^1\left(1+xe^x\right)dx=\left(x+(x-1)e^x\right)\Big|_0^1.
    ∫01(1+xex)dx=(x+(x−1)ex)∣01\displaystyle \int_0^1\left(1+xe^x\right)dx=\left(x+(x-1)e^x\right)\Big|_0^1
  5. La x=1\displaystyle x=1 avem 1+(1−1)e=1\displaystyle 1+(1-1)e=1, iar la x=0\displaystyle x=0 avem 0+(0−1)e0=−1\displaystyle 0+(0-1)e^0=-1. Deci rezultatul este 1−(−1)=2\displaystyle 1-(-1)=2.
    1+0−0−(−1)⋅e0=2\displaystyle 1+0-0-(-1)\cdot e^0=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.