Bac matematică M3 tehnologic 2015, sesiunea I rezervă varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 23−1−3=1\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}-1}-\sqrt{3}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a scăpa de radical de la numitor, amplificăm fracția cu conjugatul numitorului, adică cu 3+1\displaystyle \sqrt{3}+1.
    23−1=2(3+1)(3−1)(3+1)\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}
  2. La numitor aplicăm formula diferenței de pătrate: (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}. Obținem (3)2−12=3−1=2\displaystyle \left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}=3-1=2.
    (3−1)(3+1)=3−1=2\displaystyle \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)=3-1=2
  3. Simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2 și obținem 23−1=2(3+1)2=3+1\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}=\sqrt{3}+1.
    23−1=3+1\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}+1
  4. Înlocuim în expresia dată și reducem termenii cu radical: 3+1−3=1\displaystyle \sqrt{3}+1-\sqrt{3}=1. Deci egalitatea este adevărată.
    23−1−3=3+1−3=1\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}-1}-\sqrt{3}=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției f\displaystyle f cu axa Oy\displaystyle Oy, unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x2+x+2015\displaystyle f(x)=2x^2+x+2015.
Vezi rezolvarea
  1. Orice punct de pe axa Oy\displaystyle Oy are abscisa 0\displaystyle 0, deci căutăm punctul graficului care are x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
  2. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în f(x)=2x2+x+2015\displaystyle f(x)=2x^2+x+2015 și obținem f(0)=2⋅02+0+2015\displaystyle f(0)=2\cdot 0^2+0+2015.
    f(0)=2⋅02+0+2015\displaystyle f(0)=2\cdot 0^{2}+0+2015
  3. Primii doi termeni sunt 0\displaystyle 0, deci rămâne doar termenul liber.
    f(0)=2015\displaystyle f(0)=2015
  4. Ordonata punctului este f(0)=2015\displaystyle f(0)=2015, deci punctul de intersecție cu axa Oy\displaystyle Oy este (0,2015)\displaystyle (0,2015).
    x=0 și y=2015\displaystyle x=0\text{ și }y=2015
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x+2=2\displaystyle \sqrt{x+2}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul există doar dacă x+2≥0\displaystyle x+2\ge 0, adică x≥−2\displaystyle x\ge -2.
    x≥−2\displaystyle x\ge -2
  2. Ridicăm ambii membri la pătrat: (x+2)2=22\displaystyle \left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=2^{2}, deci x+2=4\displaystyle x+2=4.
    x+2=4\displaystyle x+2=4
  3. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri: x=4−2\displaystyle x=4-2, deci x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
  4. Verificăm: 2≥−2\displaystyle 2\ge -2 și 2+2=4=2\displaystyle \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2, deci egalitatea este adevărată. Soluția ecuației este x=2\displaystyle x=2.
    x=2, care verifica˘ ecuația\displaystyle x=2\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o reducere cu 10%\displaystyle 10\% un obiect costă 99\displaystyle 99 de lei. Calculați prețul obiectului înainte de reducere.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu p\displaystyle p prețul obiectului înainte de reducere, în lei. Reducerea este 10%\displaystyle 10\% din p\displaystyle p, adică 10%⋅p=10100⋅p\displaystyle 10\%\cdot p=\dfrac{10}{100}\cdot p.
    10%⋅p=10100⋅p\displaystyle 10\%\cdot p=\dfrac{10}{100}\cdot p
  2. Prețul după reducere este prețul inițial minus reducerea și este egal cu 99\displaystyle 99 de lei. Obținem ecuația p−10%⋅p=99\displaystyle p-10\%\cdot p=99.
    p−10%⋅p=99\displaystyle p-10\%\cdot p=99
  3. Scriem 10%=110\displaystyle 10\%=\dfrac{1}{10} și dăm factor comun pe p\displaystyle p: p(1−110)=99\displaystyle p\left(1-\dfrac{1}{10}\right)=99, adică 910⋅p=99\displaystyle \dfrac{9}{10}\cdot p=99.
    910⋅p=99\displaystyle \dfrac{9}{10}\cdot p=99
  4. Înmulțim ambii membri cu 109\displaystyle \dfrac{10}{9}: p=99⋅109=11⋅10=110\displaystyle p=99\cdot\dfrac{10}{9}=11\cdot 10=110. Prețul înainte de reducere este de 110\displaystyle 110 lei.
    p=110 lei\displaystyle p=110\text{ lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(2,1)\displaystyle M(2,1) și N(4,1)\displaystyle N(4,1). Determinați lungimea segmentului MN\displaystyle MN.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula distanței dintre două puncte din plan: pentru M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2) avem MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
    MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
  2. Înlocuim x1=2\displaystyle x_1=2, y1=1\displaystyle y_1=1, x2=4\displaystyle x_2=4, y2=1\displaystyle y_2=1 în formulă.
    MN=(4−2)2+(1−1)2\displaystyle MN=\sqrt{(4-2)^2+(1-1)^2}
  3. Calculăm diferențele: 4−2=2\displaystyle 4-2=2, iar 1−1=0\displaystyle 1-1=0. Obținem MN=22+02=4\displaystyle MN=\sqrt{2^2+0^2}=\sqrt{4}, deci lungimea segmentului este 2.
    MN=4=2\displaystyle MN=\sqrt{4}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡x=45\displaystyle \sin x=\frac{4}{5}, știind că x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) și cos⁡x=35\displaystyle \cos x=\frac{3}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim identitatea fundamentală a trigonometriei: sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1. De aici exprimăm sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x.
    sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x
  2. Înlocuim cos⁡x=35\displaystyle \cos x=\dfrac{3}{5} și calculăm: 1−(35)2=1−925=1625\displaystyle 1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}.
    sin⁡2x=1−(35)2=1−925=1625\displaystyle \sin^{2}x=1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}
  3. Din sin⁡2x=1625\displaystyle \sin^{2}x=\dfrac{16}{25} rezultă sin⁡x=±45\displaystyle \sin x=\pm\dfrac{4}{5}. Deoarece x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), adică x este în cadranul I, avem sin⁡x>0\displaystyle \sin x>0, deci alegem valoarea pozitivă.
    sin⁡x=45\displaystyle \sin x=\frac{4}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A=(2121)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, adică determinantul de ordinul doi cu liniile (2, 1)\displaystyle (2,\ 1) și (2, 1)\displaystyle (2,\ 1): det⁡A=∣2121∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&1\\2&1\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣2121∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&1\\2&1\end{vmatrix}
  2. Amintim definiția: ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c
  3. Aplicăm definiția pentru a=2\displaystyle a=2, b=1\displaystyle b=1, c=2\displaystyle c=2, d=1\displaystyle d=1. Obținem det⁡A=2⋅1−1⋅2=2−2=0\displaystyle \det A=2\cdot 1-1\cdot 2=2-2=0, deci determinantul este egal cu 0\displaystyle 0.
    det⁡A=2⋅1−1⋅2=2−2=0\displaystyle \det A=2\cdot 1-1\cdot 2=2-2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A=(2121)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A⋅A=xA\displaystyle A\cdot A=xA.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind linie cu coloană. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este 2⋅2+1⋅2=6\displaystyle 2\cdot 2+1\cdot 2=6.
    2⋅2+1⋅2=6\displaystyle 2\cdot 2+1\cdot 2=6
  2. Calculăm celelalte elemente. Linia 1, coloana 2: 2⋅1+1⋅1=3\displaystyle 2\cdot 1+1\cdot 1=3. Liniile lui A\displaystyle A sunt identice, deci și a doua linie a produsului este la fel ca prima: 6\displaystyle 6 și 3\displaystyle 3.
    A⋅A=(6363)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}6&3\\6&3\end{pmatrix}
  3. Calculăm xA\displaystyle xA, înmulțind fiecare element al matricei A\displaystyle A cu x\displaystyle x.
    xA=(2xx2xx)\displaystyle xA=\begin{pmatrix}2x&x\\2x&x\end{pmatrix}
  4. Egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice. Din prima coloană obținem 2x=6\displaystyle 2x=6, iar din a doua coloană obținem x=3\displaystyle x=3.
    2x=6 și x=3\displaystyle 2x=6\text{ și }x=3
  5. Valoarea x=3\displaystyle x=3 verifică toate cele patru egalități, deoarece 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6 și 3=3\displaystyle 3=3. Deci matricele sunt egale pentru x=3\displaystyle x=3.
    (6363)=(2xx2xx)⇔x=3\displaystyle \begin{pmatrix}6&3\\6&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x&x\\2x&x\end{pmatrix}\Leftrightarrow x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A=(2121)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡(A+I2)+det⁡(A−I2)=2\displaystyle \det(A+I_2)+\det(A-I_2)=2, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Formăm matricea A+I2\displaystyle A+I_2, adunând element cu element matricea A\displaystyle A și matricea unitate I2\displaystyle I_2.
    A+I2=(3122)\displaystyle A+I_2=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul lui A+I2\displaystyle A+I_2 ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: 3⋅2−1⋅2\displaystyle 3\cdot 2-1\cdot 2.
    det⁡(A+I2)=∣3122∣=3⋅2−1⋅2=4\displaystyle \det(A+I_2)=\begin{vmatrix}3&1\\2&2\end{vmatrix}=3\cdot 2-1\cdot 2=4
  3. Formăm matricea A−I2\displaystyle A-I_2, scăzând element cu element matricea unitate din A\displaystyle A. Se modifică doar elementele de pe diagonala principală.
    A−I2=(1120)\displaystyle A-I_2=\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul lui A−I2\displaystyle A-I_2: 1⋅0−1⋅2\displaystyle 1\cdot 0-1\cdot 2. Astfel avem ambii determinanți.
    det⁡(A+I2)=4\displaystyle \det(A+I_2)=4, det⁡(A−I2)=∣1120∣=1⋅0−1⋅2=−2\displaystyle \ \det(A-I_2)=\begin{vmatrix}1&1\\2&0\end{vmatrix}=1\cdot 0-1\cdot 2=-2
  5. Adunăm cei doi determinanți: 4+(−2)=2\displaystyle 4+(-2)=2, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡(A+I2)+det⁡(A−I2)=4+(−2)=2\displaystyle \det(A+I_2)+\det(A-I_2)=4+(-2)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−2X2−2X+1\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+1.

Arătați că f(1)=−2\displaystyle f(1)=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în expresia polinomului f=X3−2X2−2X+1\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+1.
    f(1)=13−2⋅12−2⋅1+1\displaystyle f(1)=1^3-2\cdot 1^2-2\cdot 1+1
  2. Calculăm puterile și produsele: 13=1\displaystyle 1^3=1, 2⋅12=2\displaystyle 2\cdot 1^2=2, iar 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2. Obținem o sumă de numere întregi.
    f(1)=1−2−2+1\displaystyle f(1)=1-2-2+1
  3. Efectuăm operațiile de la stânga la dreapta: 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1, apoi −1−2=−3\displaystyle -1-2=-3, apoi −3+1=−2\displaystyle -3+1=-2. Deci f(1) are valoarea cerută.
    f(1)=1−2−2+1=−2\displaystyle f(1)=1-2-2+1=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−2X2−2X+1\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+1.

Arătați că polinomul f\displaystyle f este divizibil cu polinomul X+1\displaystyle X+1.
Vezi rezolvarea
  1. Un polinom f\displaystyle f este divizibil cu X+1\displaystyle X+1 exact atunci când f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0, conform teoremei lui Bézout. Deci calculăm valoarea polinomului în −1\displaystyle -1.
    f(−1)=(−1)3−2⋅(−1)2−2⋅(−1)+1\displaystyle f(-1)=(-1)^3-2\cdot(-1)^2-2\cdot(-1)+1
  2. Calculăm puterile: (−1)3=−1\displaystyle (-1)^3=-1, iar (−1)2=1\displaystyle (-1)^2=1. Apoi înlocuim în expresie.
    f(−1)=−1−2⋅1−2⋅(−1)+1\displaystyle f(-1)=-1-2\cdot 1-2\cdot(-1)+1
  3. Efectuăm înmulțirile și adunăm termenii: −1−2+2+1=0\displaystyle -1-2+2+1=0. Cum f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0, polinomul f\displaystyle f este divizibil cu X+1\displaystyle X+1.
    f(−1)=−1−2+2+1=0, deci polinomul f este divizibil cu \displaystyle f(-1)=-1-2+2+1=0\text{, deci polinomul }f\text{ este divizibil cu }polinomul X+1\displaystyle \text{polinomul }X+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−2X2−2X+1\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+1.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care 1x1x2+1x2x3+1x3x1=a(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle \frac{1}{x_1x_2}+\frac{1}{x_2x_3}+\frac{1}{x_3x_1}=a(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1), unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul f=X3−2X2−2X+1\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+1 are coeficienții 1\displaystyle 1, −2\displaystyle -2, −2\displaystyle -2, 1\displaystyle 1. Scriem relațiile lui Viète: x1+x2+x3=−−21\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{-2}{1}, x1x2+x1x3+x2x3=−21\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{-2}{1}, x1x2x3=−11\displaystyle x_1x_2x_3=-\dfrac{1}{1}.
    x1+x2+x3=2\displaystyle x_1+x_2+x_3=2, x1x2+x1x3+x2x3=−2\displaystyle \ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-2, x1x2x3=−1\displaystyle \ x_1x_2x_3=-1
  2. Aducem fracțiile din membrul stâng la numitorul comun x1x2x3\displaystyle x_1x_2x_3: 1x1x2=x3x1x2x3\displaystyle \dfrac{1}{x_1x_2}=\dfrac{x_3}{x_1x_2x_3}, 1x2x3=x1x1x2x3\displaystyle \dfrac{1}{x_2x_3}=\dfrac{x_1}{x_1x_2x_3}, 1x3x1=x2x1x2x3\displaystyle \dfrac{1}{x_3x_1}=\dfrac{x_2}{x_1x_2x_3}.
    1x1x2+1x2x3+1x3x1=x1+x2+x3x1x2x3\displaystyle \frac{1}{x_1x_2}+\frac{1}{x_2x_3}+\frac{1}{x_3x_1}=\frac{x_1+x_2+x_3}{x_1x_2x_3}
  3. Înlocuim în egalitatea din enunț valorile din relațiile lui Viète: membrul stâng devine 2−1=−2\displaystyle \dfrac{2}{-1}=-2, iar x1x2+x2x3+x3x1=−2\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-2. Obținem ecuația în a\displaystyle a.
    x1+x2+x3x1x2x3=a(x1x2+x2x3+x3x1)⇔2−1=a⋅(−2)\displaystyle \frac{x_1+x_2+x_3}{x_1x_2x_3}=a(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)\Leftrightarrow\frac{2}{-1}=a\cdot(-2)
  4. Rezolvăm ecuația −2=−2a\displaystyle -2=-2a, de unde a=1\displaystyle a=1.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−1x\displaystyle f(x)=x-\frac{1}{x}.

Arătați că f′(x)=1+1x2\displaystyle f'(x)=1+\frac{1}{x^2}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x−1x\displaystyle f(x)=x-\dfrac{1}{x} este o diferență de două funcții derivabile pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci derivata ei este diferența derivatelor: f′(x)=x′−(1x)′\displaystyle f'(x)=x'-\left(\dfrac{1}{x}\right)'.
    f′(x)=x′−(1x)′\displaystyle f'(x)=x'-\left(\frac{1}{x}\right)'
  2. Folosim formulele de derivare: x′=1\displaystyle x'=1 și (1x)′=−1x2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^{2}}.
    x′=1\displaystyle x'=1,(1x)′=−1x2\displaystyle \quad \left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^{2}}
  3. Înlocuim în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x): minusul din fața parantezei se combină cu minusul derivatei, deci f′(x)=1−(−1x2)=1+1x2\displaystyle f'(x)=1-\left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right)=1+\dfrac{1}{x^{2}}, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=1−(−1x2)=1+1x2, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=1-\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=1+\frac{1}{x^{2}}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−1x\displaystyle f(x)=x-\frac{1}{x}.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=mx+n\displaystyle y=mx+n, unde m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}, iar n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right).
    y=mx+n\displaystyle y=mx+n,m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle \quad m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x},n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle \quad n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right)
  2. Scriem raportul f(x)x=x−1xx=x2−1x2\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x-\frac{1}{x}}{x}=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}, adică am adus numărătorul la numitor comun și am împărțit la x\displaystyle x.
    f(x)x=x2−1x2\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}}
  3. Calculăm limita: x2−1x2=1−1x2\displaystyle \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}=1-\dfrac{1}{x^{2}}, iar 1x2→0\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty. Rezultă panta m=1\displaystyle m=1.
    m=lim⁡x→+∞x2−1x2=1\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}-1}{x^{2}}=1
  4. Pentru m=1\displaystyle m=1 calculăm diferența f(x)−x=x−1x−x=−1x\displaystyle f(x)-x=x-\dfrac{1}{x}-x=-\dfrac{1}{x}.
    f(x)−x=−1x\displaystyle f(x)-x=-\frac{1}{x}
  5. Limita lim⁡x→+∞(−1x)=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(-\dfrac{1}{x}\right)=0, deci n=0\displaystyle n=0. Asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty este dreapta y=x\displaystyle y=x.
    n=lim⁡x→+∞(−1x)=0, deci dreapta de ecuație y=x este asimptota˘ oblica˘ \displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)=0\text{, deci dreapta de ecuație }y=x\text{ este asimptotă oblică }spre +∞ la graficul funcției f\displaystyle \text{spre }+\infty\text{ la graficul funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−1x\displaystyle f(x)=x-\frac{1}{x}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este concavă pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că f\displaystyle f este concavă, studiem semnul derivatei a doua. Rescriem funcția ca f(x)=x−x−1\displaystyle f(x)=x-x^{-1}, pentru x>0\displaystyle x>0.
    f(x)=x−x−1\displaystyle f(x)=x-x^{-1}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  2. Calculăm derivata întâi: derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1, iar derivata lui −x−1\displaystyle -x^{-1} este x−2\displaystyle x^{-2}, adică 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}.
    f′(x)=1+1x2\displaystyle f'(x)=1+\frac{1}{x^{2}}
  3. Derivăm încă o dată: derivata constantei 1\displaystyle 1 este 0\displaystyle 0, iar derivata lui x−2\displaystyle x^{-2} este −2x−3\displaystyle -2x^{-3}. Obținem derivata a doua.
    f′′(x)=−2x3\displaystyle f''(x)=-\frac{2}{x^{3}}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  4. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x3>0\displaystyle x^{3}>0, deci 2x3>0\displaystyle \dfrac{2}{x^{3}}>0, iar cu minus în față rezultă f′′(x)<0\displaystyle f''(x)<0 pe tot intervalul.
    f′′(x)<0, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f''(x)<0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
  5. Deoarece f′′(x)<0\displaystyle f''(x)<0 pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), funcția f\displaystyle f este concavă pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′′(x)<0, pentru orice x∈(0,+∞), deci funcția f este concava˘ pe \displaystyle f''(x)<0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\text{, deci funcția }f\text{ este concavă pe }intervalul (0,+∞)\displaystyle \text{intervalul }(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2\displaystyle f(x)=x^2+2.

Arătați că ∫01(f(x)−2) dx=13\displaystyle \int_0^1 (f(x)-2)\,dx=\frac{1}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2+2\displaystyle f(x)=x^{2}+2 în integrand: f(x)−2=x2+2−2=x2\displaystyle f(x)-2=x^{2}+2-2=x^{2}.
    f(x)−2=x2\displaystyle f(x)-2=x^{2}
  2. Integrala cerută devine ∫01(f(x)−2) dx=∫01x2 dx\displaystyle \int_0^1 (f(x)-2)\,dx=\int_0^1 x^{2}\,dx.
    ∫01(f(x)−2) dx=∫01x2 dx\displaystyle \int_0^1 (f(x)-2)\,dx=\int_0^1 x^{2}\,dx
  3. O primitivă a funcției x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫01x2 dx=x33∣01\displaystyle \int_0^1 x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}\Big|_0^1.
    ∫01x2 dx=x33∣01\displaystyle \int_0^1 x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}\Big|_0^1
  4. Calculăm valorile primitivei la capete: 133−033=13−0=13\displaystyle \dfrac{1^{3}}{3}-\dfrac{0^{3}}{3}=\dfrac{1}{3}-0=\dfrac{1}{3}.
    13−0=13\displaystyle \frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2\displaystyle f(x)=x^2+2.

Determinați primitiva F\displaystyle F a funcției f\displaystyle f pentru care F(3)=5\displaystyle F(3)=5.
Vezi rezolvarea
  1. Căutăm primitivele funcției f(x)=x2+2\displaystyle f(x)=x^2+2. Integrăm termen cu termen: o primitivă a lui x2\displaystyle x^2 este x33\displaystyle \dfrac{x^3}{3}, iar o primitivă a constantei 2\displaystyle 2 este 2x\displaystyle 2x.
    ∫(x2+2) dx=x33+2x+c\displaystyle \int (x^2+2)\,dx=\frac{x^3}{3}+2x+c
  2. Adăugăm constanta de integrare c\displaystyle c, deoarece două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă. Obținem familia primitivelor lui f\displaystyle f.
    F(x)=x33+2x+c, unde c∈R\displaystyle F(x)=\frac{x^3}{3}+2x+c\text{, unde }c\in\mathbb{R}
  3. Impunem condiția F(3)=5\displaystyle F(3)=5: înlocuim x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în expresia lui F\displaystyle F și calculăm.
    F(3)=333+2⋅3+c=9+6+c=15+c\displaystyle F(3)=\frac{3^3}{3}+2\cdot 3+c=9+6+c=15+c
  4. Din egalitatea 15+c=5\displaystyle 15+c=5 rezultă c=−10\displaystyle c=-10. Deci primitiva căutată este F(x)=x33+2x−10\displaystyle F(x)=\dfrac{x^3}{3}+2x-10.
    F(3)=5⇒c=−10, deci F(x)=x33+2x−10\displaystyle F(3)=5\Rightarrow c=-10\text{, deci }F(x)=\frac{x^3}{3}+2x-10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2\displaystyle f(x)=x^2+2.

Arătați că suprafața delimitată de graficul funcției g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=ex⋅f(x)\displaystyle g(x)=e^x\cdot f(x), axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=1\displaystyle x=1, are aria egală cu 3e−4\displaystyle 3e-4.
Vezi rezolvarea
  1. Pe [0,1]\displaystyle [0,1] avem ex>0\displaystyle e^x>0 și x2+2>0\displaystyle x^2+2>0, deci g(x)>0\displaystyle g(x)>0. Aria este integrala lui g\displaystyle g pe [0,1]\displaystyle [0,1].
    A=∫01ex(x2+2) dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^1 e^x(x^2+2)\,dx
  2. Integrăm prin părți cu u=x2+2\displaystyle u=x^2+2 și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci u′=2x\displaystyle u'=2x și v=ex\displaystyle v=e^x.
    ∫01ex(x2+2) dx=ex(x2+2)∣01−∫012xex dx\displaystyle \int_0^1 e^x(x^2+2)\,dx=e^x(x^2+2)\Big|_0^1-\int_0^1 2xe^x\,dx
  3. Calculăm termenul liber: e1(12+2)−e0(02+2)=3e−2\displaystyle e^1(1^2+2)-e^0(0^2+2)=3e-2.
    ex(x2+2)∣01=3e−2\displaystyle e^x(x^2+2)\Big|_0^1=3e-2
  4. Pentru ∫012xex dx\displaystyle \int_0^1 2xe^x\,dx alegem u=2x\displaystyle u=2x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci u′=2\displaystyle u'=2 și v=ex\displaystyle v=e^x.
    ∫012xex dx=2xex∣01−∫012ex dx\displaystyle \int_0^1 2xe^x\,dx=2xe^x\Big|_0^1-\int_0^1 2e^x\,dx
  5. Înlocuim în expresia ariei din primul pas de integrare prin părți.
    A=3e−2−(2xex∣01−∫012ex dx)\displaystyle \mathcal{A}=3e-2-\left(2xe^x\Big|_0^1-\int_0^1 2e^x\,dx\right)
  6. Avem 2xex∣01=2e−0=2e\displaystyle 2xe^x\Big|_0^1=2e-0=2e, iar ∫012ex dx=2ex∣01=2e−2\displaystyle \int_0^1 2e^x\,dx=2e^x\Big|_0^1=2e-2. Scăzând parantezele, semnul de dinaintea integralei se schimbă în plus.
    A=3e−2−2e+2ex∣01=3e−2−2e+2e−2\displaystyle \mathcal{A}=3e-2-2e+2e^x\Big|_0^1=3e-2-2e+2e-2
  7. Reducem termenii: −2e+2e=0\displaystyle -2e+2e=0, iar −2−2=−4\displaystyle -2-2=-4. Obținem aria cerută.
    A=3e−4\displaystyle \mathcal{A}=3e-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.