Bac matematică M3 tehnologic 2023, sesiunea I varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 1,5+3⋅(1−0,5)=3\displaystyle 1,5+3\cdot\left(1-0,5\right)=3.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează paranteza: 1−0,5=0,5\displaystyle 1 - 0,5 = 0,5
    1−0\displaystyle 1-0,5=0\displaystyle 5=0,5\displaystyle 5
  2. Se efectuează înmulțirea: 3⋅0,5=1,5\displaystyle 3 \cdot 0,5 = 1,5, iar expresia devine
    1\displaystyle 1,5+3⋅(1−0,5)=1\displaystyle 5+3\cdot\left(1-0,5\right)=1,5+3⋅0\displaystyle 5+3\cdot0,5=\displaystyle 5=
  3. Se înlocuiește rezultatul înmulțirii în expresie, obținând suma a două numere egale
    1\displaystyle 1,5+3⋅0\displaystyle 5+3\cdot0,5=1\displaystyle 5=1,5+1\displaystyle 5+1,5\displaystyle 5
  4. Se efectuează adunarea finală, obținând rezultatul cerut
    =1\displaystyle =1,5+1\displaystyle 5+1,5=3\displaystyle 5=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=5−x\displaystyle f(x)=5-x. Arătați că f(0)−f(1)=1\displaystyle f(0)-f(1)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția dată și se înlocuiește x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 pentru a calcula f(0)\displaystyle f(0).
    f(0)=5−0\displaystyle f(0)=5-0
  2. Se efectuează calculul și se obține valoarea f(0)\displaystyle f(0).
    f(0)=5\displaystyle f(0)=5
  3. Se înlocuiește x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în expresia funcției pentru a calcula f(1)\displaystyle f(1).
    f(1)=5−1\displaystyle f(1)=5-1
  4. Se efectuează calculul și se obține valoarea f(1)\displaystyle f(1), apoi se calculează diferența f(0)−f(1)\displaystyle f(0)-f(1).
    f(1)=4\displaystyle f(1)=4, deci f(0)−f(1)=5−4=1\displaystyle \text{ deci }f(0)-f(1)=5-4=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x−8=1\displaystyle \sqrt{3x-8}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se pune condiția de existență a radicalului: expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă.
    3x−8≥0\displaystyle 3x-8\geq 0
  2. Se ridică la pătrat ambii membri ai ecuației pentru a elimina radicalul.
    3x−8=1\displaystyle 3x-8=1
  3. Se izolează termenul cu x\displaystyle x, adunând 8\displaystyle 8 în ambii membri.
    3x=9\displaystyle 3x=9
  4. Se împarte ecuația prin 3\displaystyle 3 pentru a afla valoarea lui x\displaystyle x.
    x=3\displaystyle x=3
  5. Se verifică soluția în condiția de existență și în ecuația inițială: pentru x=3\displaystyle x=3 avem 3x−8=1≥0\displaystyle 3x-8=1\geq 0, iar 1=1\displaystyle \sqrt{1}=1, deci soluția este validă.
    x=3\displaystyle x=3, care convine\displaystyle \text{ care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea A={1,3,5,7,9}\displaystyle A=\{1,3,5,7,9\}, acesta să verifice inegalitatea 2n≥9\displaystyle 2n\geq9.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: mulțimea A={1,3,5,7,9}\displaystyle A=\{1,3,5,7,9\} are 5\displaystyle 5 elemente, deci sunt 5\displaystyle 5 cazuri posibile.
    5 cazuri posibile\displaystyle 5\text{ cazuri posibile}
  2. Rezolvăm inegalitatea: din 2n≥9\displaystyle 2n\geq9, împărțind la 2\displaystyle 2, obținem n≥92=4,5\displaystyle n\geq\dfrac{9}{2}=4{,}5.
    n≥4,5\displaystyle n\geq4{,}5
  3. Verificăm fiecare element al mulțimii: 1\displaystyle 1 și 3\displaystyle 3 sunt mai mici decât 4,5\displaystyle 4{,}5, deci nu verifică inegalitatea, iar 5\displaystyle 5, 7\displaystyle 7 și 9\displaystyle 9 o verifică. Sunt 3\displaystyle 3 cazuri favorabile.
    n∈{5,7,9}, deci 3 cazuri favorabile\displaystyle n\in\{5,7,9\}\text{, deci }3\text{ cazuri favorabile}
  4. Calculăm probabilitatea ca raport dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=35\displaystyle p=\dfrac{3}{5}.
    p=35\displaystyle p=\dfrac{3}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,0)\displaystyle A(1,0), B(1,2)\displaystyle B(1,2) și C(4,1)\displaystyle C(4,1). Arătați că triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula distanței dintre două puncte în plan, care va fi folosită pentru a calcula lungimile laturilor triunghiului: pentru punctele M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2), distanța este MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
    MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
  2. Se aplică formula distanței pentru punctele A(1,0)\displaystyle A(1,0) și C(4,1)\displaystyle C(4,1) pentru a calcula lungimea laturii AC\displaystyle AC: se calculează diferențele coordonatelor, se ridică la pătrat și se adună sub radical.
    AC=(4−1)2+(1−0)2=9+1=10\displaystyle AC=\sqrt{(4-1)^2+(1-0)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}
  3. Se aplică formula distanței pentru punctele B(1,2)\displaystyle B(1,2) și C(4,1)\displaystyle C(4,1) pentru a calcula lungimea laturii BC\displaystyle BC: se calculează diferențele coordonatelor, se ridică la pătrat și se adună sub radical.
    BC=(4−1)2+(1−2)2=9+1=10\displaystyle BC=\sqrt{(4-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}
  4. Se compară cele două lungimi obținute și, cum AC=BC=10\displaystyle AC=BC=\sqrt{10}, rezultă că triunghiul ABC\displaystyle ABC are două laturi congruente, deci este isoscel.
    BC=10\displaystyle BC=\sqrt{10}, deci triunghiul ABC este isoscel\displaystyle \text{ deci triunghiul }ABC\text{ este isoscel}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, cu aria egală cu 50\displaystyle 50 și AC=5\displaystyle AC=5. Arătați că lungimea laturii AB\displaystyle AB este egală cu 20\displaystyle 20.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică triunghiul dreptunghic în A\displaystyle A, deci catetele sunt AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC, iar aria se calculează cu formula jumătate din produsul catetelor.
    A△ABC=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}_{\triangle ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}
  2. Se înlocuiesc valorile cunoscute ale ariei (50\displaystyle 50) și ale catetei AC\displaystyle AC (5\displaystyle 5) în formula ariei.
    A△ABC=AB⋅AC2⇒50=AB⋅52\displaystyle \mathcal{A}_{\triangle ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}\Rightarrow50=\dfrac{AB\cdot5}{2}
  3. Se înmulțesc ambii membri ai ecuației cu 2\displaystyle 2 pentru a elimina numitorul.
    100=AB⋅5\displaystyle 100=AB\cdot5
  4. Se împarte ecuația la 5\displaystyle 5 pentru a izola AB\displaystyle AB și se obține rezultatul final.
    AB=2⋅505=20\displaystyle AB=\dfrac{2\cdot50}{5}=20
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x1−x2−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&1\\-x&2-x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=2\displaystyle \det(A(1))=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea generală A(x)\displaystyle A(x), conform enunțului.
    A(x)=(x1−x2−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&1\\-x&2-x\end{pmatrix}
  2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în matricea A(x)\displaystyle A(x) pentru a obține matricea numerică A(1)\displaystyle A(1). Calculăm fiecare element: elementul (1,1)\displaystyle (1,1) devine 1\displaystyle 1, elementul (1,2)\displaystyle (1,2) rămâne 1\displaystyle 1, elementul (2,1)\displaystyle (2,1) devine −1\displaystyle -1, iar elementul (2,2)\displaystyle (2,2) devine 2−1=1\displaystyle 2-1=1.
    A(1)=(11−11)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}
  3. Scriem determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1) și aplicăm formula pentru determinantul unei matrice de ordin 2\displaystyle 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(1))=∣11−11∣=1⋅1−1⋅(−1)=\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}=1\cdot1-1\cdot(-1)=
  4. Efectuăm calculul numeric: produsul diagonalei principale este 1\displaystyle 1, iar produsul diagonalei secundare este −1\displaystyle -1, astfel încât diferența devine 1−(−1)=1+1\displaystyle 1-(-1)=1+1.
    =1+1=2\displaystyle =1+1=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x1−x2−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&1\\-x&2-x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că 3A(2)+A(6)=4A(3)\displaystyle 3A(2)+A(6)=4A(3).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează matricea A(2)\displaystyle A(2) prin înlocuirea lui x=2\displaystyle x=2 în definiția matricei A(x)=(x1−x2−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&1\\-x&2-x\end{pmatrix}.
    A(2)=(21−20)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2&1\\-2&0\end{pmatrix}
  2. Se înmulțește matricea A(2)\displaystyle A(2) cu scalarul 3\displaystyle 3.
    3A(2)=(63−60)\displaystyle 3A(2)=\begin{pmatrix}6&3\\-6&0\end{pmatrix}
  3. Se calculează matricea A(6)\displaystyle A(6) prin înlocuirea lui x=6\displaystyle x=6 în definiția matricei A(x)\displaystyle A(x).
    A(6)=(61−6−4)\displaystyle A(6)=\begin{pmatrix}6&1\\-6&-4\end{pmatrix}
  4. Se adună cele două matrice obținute, 3A(2)\displaystyle 3A(2) și A(6)\displaystyle A(6), adunând elementele corespunzătoare.
    3A(2)+A(6)=(63−60)+(61−6−4)=(124−12−4)=\displaystyle 3A(2)+A(6)=\begin{pmatrix}6&3\\-6&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6&1\\-6&-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12&4\\-12&-4\end{pmatrix}=
  5. Se calculează matricea A(3)\displaystyle A(3) prin înlocuirea lui x=3\displaystyle x=3 în definiția matricei A(x)\displaystyle A(x), pentru a compara cu rezultatul obținut.
    A(3)=(31−3−1)\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}3&1\\-3&-1\end{pmatrix}
  6. Se scoate factor comun 4\displaystyle 4 din matricea obținută la pasul anterior și se observă că matricea rămasă este exact A(3)\displaystyle A(3), obținând astfel egalitatea cerută.
    =4(31−3−1)=4A(3)\displaystyle =4\begin{pmatrix}3&1\\-3&-1\end{pmatrix}=4A(3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x1−x2−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&1\\-x&2-x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care A(x)⋅A(x)=2A(x)\displaystyle A(x)\cdot A(x)=2A(x).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea A(x)\displaystyle A(x) și se pregătește înmulțirea A(x)⋅A(x)\displaystyle A(x)\cdot A(x), aplicând regula de înmulțire a matricelor pătratice de ordin 2\displaystyle 2.
    A(x)⋅A(x)=(x1−x2−x)⋅(x1−x2−x)\displaystyle A(x)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}x&1\\-x&2-x\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x&1\\-x&2-x\end{pmatrix}
  2. Se calculează elementul de pe linia 1\displaystyle 1, coloana 1\displaystyle 1 al produsului: x⋅x+1⋅(−x)\displaystyle x\cdot x+1\cdot(-x).
    (A(x)⋅A(x))11=x⋅x+1⋅(−x)=x2−x\displaystyle (A(x)\cdot A(x))_{11}=x\cdot x+1\cdot(-x)=x^{2}-x
  3. Se calculează elementul de pe linia 1\displaystyle 1, coloana 2\displaystyle 2 al produsului: x⋅1+1⋅(2−x)\displaystyle x\cdot 1+1\cdot(2-x).
    (A(x)⋅A(x))12=x⋅1+1⋅(2−x)=x+2−x=2\displaystyle (A(x)\cdot A(x))_{12}=x\cdot 1+1\cdot(2-x)=x+2-x=2
  4. Se calculează elementul de pe linia 2\displaystyle 2, coloana 1\displaystyle 1 al produsului: (−x)⋅x+(2−x)⋅(−x)\displaystyle (-x)\cdot x+(2-x)\cdot(-x).
    (A(x)⋅A(x))21=(−x)⋅x+(2−x)⋅(−x)=−x2−2x+x2=−2x\displaystyle (A(x)\cdot A(x))_{21}=(-x)\cdot x+(2-x)\cdot(-x)=-x^{2}-2x+x^{2}=-2x
  5. Se calculează elementul de pe linia 2\displaystyle 2, coloana 2\displaystyle 2 al produsului: (−x)⋅1+(2−x)⋅(2−x)\displaystyle (-x)\cdot 1+(2-x)\cdot(2-x).
    (A(x)⋅A(x))22=(−x)⋅1+(2−x)2=−x+4−4x+x2=x2−5x+4\displaystyle (A(x)\cdot A(x))_{22}=(-x)\cdot 1+(2-x)^{2}=-x+4-4x+x^{2}=x^{2}-5x+4
  6. Se scrie forma finală a produsului matriceal A(x)⋅A(x)\displaystyle A(x)\cdot A(x), adunând rezultatele calculate pentru fiecare element, valabilă pentru orice număr real x\displaystyle x.
    A(x)⋅A(x)=(x2−x2−2xx2−5x+4)\displaystyle A(x)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}x^{2}-x&2\\-2x&x^{2}-5x+4\end{pmatrix}, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x
  7. Se calculează matricea 2A(x)\displaystyle 2A(x), înmulțind fiecare element al lui A(x)\displaystyle A(x) cu 2\displaystyle 2.
    2A(x)=(2x2−2x4−2x)\displaystyle 2A(x)=\begin{pmatrix}2x&2\\-2x&4-2x\end{pmatrix}
  8. Se pune condiția A(x)⋅A(x)=2A(x)\displaystyle A(x)\cdot A(x)=2A(x), egalând cele două matrice element cu element.
    (x2−x2−2xx2−5x+4)=(2x2−2x4−2x)\displaystyle \begin{pmatrix}x^{2}-x&2\\-2x&x^{2}-5x+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x&2\\-2x&4-2x\end{pmatrix}
  9. Din egalitatea elementelor de pe linia 1\displaystyle 1, coloana 1\displaystyle 1 se obține ecuația x2−x=2x\displaystyle x^{2}-x=2x, iar elementele de pe linia 1\displaystyle 1, coloana 2\displaystyle 2 și linia 2\displaystyle 2, coloana 1\displaystyle 1 (2=2\displaystyle 2=2 și −2x=−2x\displaystyle -2x=-2x) sunt automat verificate.
    x2−x=2x⇒x2−3x=0\displaystyle x^{2}-x=2x\Rightarrow x^{2}-3x=0
  10. Din egalitatea elementelor de pe linia 2\displaystyle 2, coloana 2\displaystyle 2 se obține aceeași ecuație, confirmând coerența sistemului.
    x2−5x+4=4−2x⇒x2−3x=0\displaystyle x^{2}-5x+4=4-2x\Rightarrow x^{2}-3x=0
  11. Se rezolvă ecuația obținută prin factorizare, x2−3x=0\displaystyle x^{2}-3x=0, adică x(x−3)=0\displaystyle x(x-3)=0, ceea ce conduce la soluțiile finale ale problemei.
    x(x−3)=0⇒x=0 sau x=3\displaystyle x(x-3)=0\Rightarrow x=0\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+2x−y−1\displaystyle x*y=xy+2x-y-1.

Arătați că 1∗1=1\displaystyle 1*1=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile ce trebuie înlocuite: x=1\displaystyle x=1 și y=1\displaystyle y=1.
    x∗y=xy+2x−y−1, unde x=1, y=1\displaystyle x*y=xy+2x-y-1\text{, unde }x=1\text{, }y=1
  2. Se înlocuiesc x=1\displaystyle x=1 și y=1\displaystyle y=1 în formula legii de compoziție.
    1∗1=1⋅1+2⋅1−1−1=\displaystyle 1*1=1\cdot1+2\cdot1-1-1=
  3. Se efectuează înmulțirile din expresie.
    1⋅1+2⋅1−1−1=1+2−1−1\displaystyle 1\cdot1+2\cdot1-1-1=1+2-1-1
  4. Se efectuează adunările și scăderile pentru a obține rezultatul final.
    =1+2−1−1=1\displaystyle =1+2-1-1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+2x−y−1\displaystyle x*y=xy+2x-y-1.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∗2=x\displaystyle x*2=x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție pentru y=2\displaystyle y=2, înlocuind în formula x∗y=xy+2x−y−1\displaystyle x*y=xy+2x-y-1.
    x∗2=x⋅2+2x−2−1\displaystyle x*2=x\cdot 2+2x-2-1
  2. Se efectuează calculele: se calculează produsul x⋅2\displaystyle x\cdot 2 și se reduc termenii asemenea.
    x∗2=2x+2x−2−1=4x−3\displaystyle x*2=2x+2x-2-1=4x-3
  3. Se obține expresia finală pentru x∗2\displaystyle x*2, valabilă pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x∗2=4x−3\displaystyle x*2=4x-3, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x
  4. Se pune condiția din enunț ca x∗2\displaystyle x*2 să fie egal cu x\displaystyle x, obținându-se ecuația liniară corespunzătoare.
    4x−3=x\displaystyle 4x-3=x
  5. Se rezolvă ecuația liniară: se trec termenii cu x\displaystyle x într-o parte și termenii liberi în cealaltă parte.
    4x−x=3⇒3x=3\displaystyle 4x-x=3\Rightarrow 3x=3
  6. Se împarte prin 3\displaystyle 3 și se obține soluția ecuației, adică valoarea lui x\displaystyle x pentru care x∗2=x\displaystyle x*2=x.
    x=33=1\displaystyle x=\dfrac{3}{3}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+2x−y−1\displaystyle x*y=xy+2x-y-1.

Arătați că (1−x)∗x≤2\displaystyle (1-x)*x\leq2, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție pentru perechea (1−x,x)\displaystyle (1-x, x), înlocuind a=1−x\displaystyle a=1-x și b=x\displaystyle b=x în formula a∗b=ab+2a−b−1\displaystyle a*b=ab+2a-b-1.
    (1−x)∗x=(1−x)⋅x+2(1−x)−x−1\displaystyle (1-x)*x=(1-x)\cdot x+2(1-x)-x-1
  2. Se efectuează înmulțirile și se desfac parantezele.
    (1−x)∗x=x−x2+2−2x−x−1\displaystyle (1-x)*x=x-x^{2}+2-2x-x-1
  3. Se reduc termenii asemenea (termenii în x\displaystyle x și cei liberi), obținându-se forma din barem.
    (1−x)∗x=−x2−2x−1+2=\displaystyle (1-x)*x=-x^{2}-2x-1+2=
  4. Se scrie −x2−2x−1\displaystyle -x^{2}-2x-1 ca fiind opusul unui pătrat perfect, folosind identitatea x2+2x+1=(x+1)2\displaystyle x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}, apoi se adaugă constanta rămasă. Deoarece un pătrat este întotdeauna nenegativ, expresia obținută este mai mică sau egală cu 2\displaystyle 2 pentru orice x\displaystyle x real.
    =−(x+1)2+2≤2\displaystyle =-(x+1)^{2}+2\leq2, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=2x+2ex−1\displaystyle f(x)=2x+\dfrac{2}{e^{x}}-1.

Arătați că f′(x)=2(ex−1)ex\displaystyle f'(x)=\dfrac{2\left(e^{x}-1\right)}{e^{x}}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Se rescrie funcția folosind puteri, pentru a deriva mai ușor termenul cu exponențială: 2ex=2e−x\displaystyle \dfrac{2}{e^{x}} = 2e^{-x}.
    f(x)=2x+2e−x−1\displaystyle f(x)=2x+2e^{-x}-1
  2. Se derivează fiecare termen folosind regulile de derivare: derivata lui 2x\displaystyle 2x este 2\displaystyle 2, derivata lui −1\displaystyle -1 (constantă) este 0\displaystyle 0, iar pentru 2e−x\displaystyle 2e^{-x} se aplică regula derivării funcției compuse (eu)′=u′⋅eu\displaystyle (e^{u})'=u'\cdot e^{u}.
    (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2, (−1)′=0\displaystyle \ (-1)'=0, (2e−x)′=2⋅(−1)⋅e−x=−2e−x\displaystyle \ \left(2e^{-x}\right)'=2\cdot(-1)\cdot e^{-x}=-2e^{-x}
  3. Se însumează derivatele obținute pentru a forma derivata funcției f\displaystyle f, apoi se revine la notația cu putere pozitivă a lui e\displaystyle e la exponent.
    f′(x)=2−2e−x=2−2ex=\displaystyle f'(x)=2-2e^{-x}=2-\dfrac{2}{e^{x}}=
  4. Se aduce expresia la un numitor comun, scriind 2\displaystyle 2 ca 2exex\displaystyle \dfrac{2e^{x}}{e^{x}}, apoi se scad fracțiile și se factorizează numărătorul.
    =2ex−2ex=2(ex−1)ex\displaystyle =\dfrac{2e^{x}-2}{e^{x}}=\dfrac{2\left(e^{x}-1\right)}{e^{x}}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=2x+2ex−1\displaystyle f(x)=2x+\dfrac{2}{e^{x}}-1.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția sub forma f(x)=2x+2e−x−1\displaystyle f(x)=2x+2e^{-x}-1, pentru a putea deriva ușor termenul exponențial.
    f(x)=2x+2e−x−1\displaystyle f(x)=2x+2e^{-x}-1
  2. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f, folosind regula de derivare a funcției exponențiale (e−x)′=−e−x\displaystyle (e^{-x})'=-e^{-x}.
    f′(x)=2−2e−x\displaystyle f'(x)=2-2e^{-x}
  3. Se calculează valoarea funcției f\displaystyle f în punctul x=0\displaystyle x=0.
    f(0)=2⋅0+2e0−1=2−1=1\displaystyle f(0)=2\cdot 0+2e^{0}-1=2-1=1
  4. Se calculează valoarea derivatei f′\displaystyle f' în punctul x=0\displaystyle x=0.
    f′(0)=2−2e0=2−2=0\displaystyle f'(0)=2-2e^{0}=2-2=0
  5. Se sintetizează cele două valori obținute, conform pasului de control din barem.
    f(0)=1\displaystyle f(0)=1, f′(0)=0\displaystyle \ f'(0)=0
  6. Se scrie formula generală a ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=0\displaystyle x_0=0.
    y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)
  7. Se înlocuiesc valorile f(0)=1\displaystyle f(0)=1 și f′(0)=0\displaystyle f'(0)=0 în formula tangentei și se simplifică expresia obținută.
    y−1=0⋅(x−0)⇒y=1\displaystyle y-1=0\cdot(x-0)\Rightarrow y=1
  8. Se scrie forma finală a ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=0\displaystyle x_0=0.
    Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle \text{Ecuația tangentei este }y-f(0)=f'(0)(x-0), adica˘ y=1\displaystyle \text{ adică }y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=2x+2ex−1\displaystyle f(x)=2x+\dfrac{2}{e^{x}}-1.

Determinați numerele reale m\displaystyle m și n\displaystyle n, știind că dreapta d\displaystyle d de ecuație y=mx+n\displaystyle y=mx+n este asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că, pentru a determina asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty (dacă există), trebuie calculate pe rând panta m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} și ordonata la origine n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right).
    m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x},n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle \quad n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right)
  2. Se scrie explicit expresia f(x)x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x} folosind formula funcției f\displaystyle f.
    f(x)x=2x+2ex−1x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{2x+\dfrac{2}{e^{x}}-1}{x}
  3. Se împarte fiecare termen al numărătorului la x\displaystyle x, obținând o formă mai simplă pentru limita ce trebuie calculată.
    f(x)x=2+2xex−1x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=2+\dfrac{2}{x e^{x}}-\dfrac{1}{x}
  4. Se calculează limita fiecărui termen când x→+∞\displaystyle x\to+\infty: termenul 2xex→0\displaystyle \dfrac{2}{x e^{x}}\to 0 (deoarece ex→+∞\displaystyle e^{x}\to+\infty mult mai repede decât x\displaystyle x), iar termenul 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0. Astfel se obține valoarea limitei raportului f(x)x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}, deci panta m\displaystyle m.
    lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞(2+2xex−1x)=2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(2+\dfrac{2}{xe^{x}}-\dfrac{1}{x}\right)=2, deci m=2\displaystyle \text{ deci }m=2
  5. Se scrie diferența f(x)−mx\displaystyle f(x)-mx folosind valoarea m=2\displaystyle m=2 găsită anterior, pentru a pregăti calculul lui n\displaystyle n.
    f(x)−2x=2x+2ex−1−2x=2ex−1\displaystyle f(x)-2x=2x+\dfrac{2}{e^{x}}-1-2x=\dfrac{2}{e^{x}}-1
  6. Se calculează limita expresiei obținute când x→+∞\displaystyle x\to+\infty: termenul 2ex→0\displaystyle \dfrac{2}{e^{x}}\to 0, deoarece ex→+∞\displaystyle e^{x}\to+\infty, astfel se obține valoarea ordonatei la origine n\displaystyle n.
    lim⁡x→+∞(f(x)−2x)=lim⁡x→+∞(2ex−1)=−1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-2x\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{2}{e^{x}}-1\right)=-1, deci n=−1\displaystyle \text{ deci }n=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=4x3+3x\displaystyle f(x)=4x^{3}+3x.

Arătați că ∫12(f(x)−3x)dx=15\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{2}\left(f(x)-3x\right)dx=15.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției și se calculează diferența f(x)−3x\displaystyle f(x) - 3x, simplificând termenii.
    f(x)−3x=(4x3+3x)−3x=4x3\displaystyle f(x)-3x=(4x^{3}+3x)-3x=4x^{3}
  2. Se rescrie integrala definită folosind expresia simplificată obținută anterior.
    ∫12(f(x)−3x)dx=∫124x3dx\displaystyle \int_{1}^{2}\left(f(x)-3x\right)dx=\int_{1}^{2}4x^{3}dx
  3. Se determină o primitivă a funcției 4x3\displaystyle 4x^{3}, folosind formula de integrare a funcției putere.
    ∫4x3dx=x4+C\displaystyle \int 4x^{3}dx=x^{4}+C
  4. Se scrie integrala definită cu ajutorul primitivei găsite, pregătind aplicarea formulei Leibniz-Newton.
    ∫124x3dx=x4∣12\displaystyle \int_{1}^{2}4x^{3}dx=x^{4}\Big|_{1}^{2}
  5. Se aplică formula Leibniz-Newton, evaluând primitiva la capetele intervalului [1,2]\displaystyle [1,2] și se calculează valoarea finală a integralei.
    x4∣12=24−14=16−1=15\displaystyle x^{4}\Big|_{1}^{2}=2^{4}-1^{4}=16-1=15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=4x3+3x\displaystyle f(x)=4x^{3}+3x.

Arătați că ∫251f(x)−4x3+3 dx=13ln⁡2\displaystyle \displaystyle\int_{2}^{5}\dfrac{1}{f(x)-4x^{3}+3}\,dx=\dfrac{1}{3}\ln2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie integrala definită și se înlocuiește expresia funcției f(x)\displaystyle f(x) în integrand.
    ∫251f(x)−4x3+3dx=∫2514x3+3x−4x3+3dx\displaystyle \int_{2}^{5}\dfrac{1}{f(x)-4x^{3}+3}dx=\int_{2}^{5}\dfrac{1}{4x^{3}+3x-4x^{3}+3}dx
  2. Se simplifică expresia de la numitor, reducând termenii de gradul 3 și factorizând.
    4x3+3x−4x3+3=3x+3=3(x+1)\displaystyle 4x^{3}+3x-4x^{3}+3=3x+3=3(x+1)
  3. Se rescrie integrala folosind forma simplificată a numitorului, scoțând constanta 13\displaystyle \dfrac{1}{3} în fața integralei.
    ∫2513(x+1)dx=13∫251x+1dx\displaystyle \int_{2}^{5}\dfrac{1}{3(x+1)}dx=\dfrac{1}{3}\int_{2}^{5}\dfrac{1}{x+1}dx
  4. Se determină o primitivă a funcției 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1}, care este logaritmul natural, și se aplică formula Leibniz-Newton pe intervalul [2,5]\displaystyle [2,5].
    ∫251f(x)−4x3+3dx=13∫251x+1dx=13ln⁡(x+1)∣25=\displaystyle \int_{2}^{5}\dfrac{1}{f(x)-4x^{3}+3}dx=\dfrac{1}{3}\int_{2}^{5}\dfrac{1}{x+1}dx=\dfrac{1}{3}\ln(x+1)\Big|_{2}^{5}=
  5. Se înlocuiesc limitele de integrare în primitivă, obținându-se diferența ln⁡6−ln⁡3\displaystyle \ln 6-\ln 3.
    13ln⁡(x+1)∣25=13(ln⁡(5+1)−ln⁡(2+1))=13(ln⁡6−ln⁡3)\displaystyle \dfrac{1}{3}\ln(x+1)\Big|_{2}^{5}=\dfrac{1}{3}\left(\ln(5+1)-\ln(2+1)\right)=\dfrac{1}{3}\left(\ln6-\ln3\right)
  6. Se folosesc proprietățile logaritmilor pentru a simplifica diferența ln⁡6−ln⁡3\displaystyle \ln 6-\ln 3, obținând rezultatul final.
    13(ln⁡6−ln⁡3)=13ln⁡63=13ln⁡2\displaystyle \dfrac{1}{3}\left(\ln6-\ln3\right)=\dfrac{1}{3}\ln\dfrac{6}{3}=\dfrac{1}{3}\ln2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=4x3+3x\displaystyle f(x)=4x^{3}+3x.

Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[1,2]→R\displaystyle g:[1,2]\rightarrow\mathbb{R}, g(x)=x3+f(x)x\displaystyle g(x)=\dfrac{x^{3}+f(x)}{x} este egal cu 2πf(3)\displaystyle 2\pi f(3).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția g sub forma unei rădăcini pătrate și se identifică expresia de sub radical ca fiind un pătrat perfect, pentru a o simplifica.
    g(x)=25x4+30x2+9=(5x2+3)2\displaystyle g(x)=\sqrt{25x^{4}+30x^{2}+9}=\sqrt{(5x^{2}+3)^{2}}
  2. Deoarece 5x2+3>0\displaystyle 5x^{2}+3>0 pentru orice x din [1,2]\displaystyle [1,2], radicalul se elimină, obținându-se forma simplificată a funcției g.
    g(x)=5x2+3\displaystyle g(x)=5x^{2}+3, x∈[1,2]\displaystyle \ x\in[1,2]
  3. Se aplică formula volumului corpului de rotație în jurul axei Ox pentru funcția g pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2], scriind integrala cu pătratul funcției g.
    V=π∫12(g(x))2dx=π∫12(5x2+3)2dx=π∫12(25x4+30x2+9)dx\displaystyle \mathcal{V}=\pi\int_{1}^{2}\left(g(x)\right)^{2}dx=\pi\int_{1}^{2}\left(5x^{2}+3\right)^{2}dx=\pi\int_{1}^{2}\left(25x^{4}+30x^{2}+9\right)dx
  4. Se determină o primitivă a funcției de sub integrală, integrând termen cu termen.
    ∫(25x4+30x2+9)dx=5x5+10x3+9x+C\displaystyle \int\left(25x^{4}+30x^{2}+9\right)dx=5x^{5}+10x^{3}+9x+C
  5. Se evaluează primitiva la capetele intervalului [1,2]\displaystyle [1,2] și se calculează diferența, obținând valoarea integralei, apoi volumul cerut.
    (5x5+10x3+9x)∣12=(160+80+18)−(5+10+9)=258−24=234⇒V=234π\displaystyle \left(5x^{5}+10x^{3}+9x\right)\Big|_{1}^{2}=\left(160+80+18\right)-\left(5+10+9\right)=258-24=234\Rightarrow \mathcal{V}=234\pi
  6. Se calculează valoarea funcției f în punctul x=3\displaystyle x=3, folosind formula f(x)=4x3+3x\displaystyle f(x)=4x^{3}+3x, și se compară cu volumul obținut anterior, verificând egalitatea cerută.
    f(3)=4⋅33+3⋅3=108+9=117\displaystyle f(3)=4\cdot3^{3}+3\cdot3=108+9=117, deci V=234π=2π⋅117=2πf(3)\displaystyle \text{ deci } \mathcal{V}=234\pi=2\pi\cdot117=2\pi f(3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.