Bac matematică M3 tehnologic 2016, sesiunea I varianta 08: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (12−15)⋅103=1\displaystyle \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)\cdot\frac{10}{3}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a calcula paranteza, aducem fracțiile la numitor comun. Cel mai mic multiplu comun al lui 2\displaystyle 2 și 5\displaystyle 5 este 10\displaystyle 10, deci amplificăm prima fracție cu 5\displaystyle 5 și a doua cu 2\displaystyle 2: 12=510\displaystyle \dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{10} și 15=210\displaystyle \dfrac{1}{5}=\dfrac{2}{10}.
    12=510\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{5}{10},15=210\displaystyle \quad \frac{1}{5}=\frac{2}{10}
  2. Scădem fracțiile cu același numitor: scădem numărătorii și păstrăm numitorul. Obținem 12−15=510−210=310\displaystyle \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{5}{10}-\dfrac{2}{10}=\dfrac{3}{10}.
    12−15=5−210=310\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{5-2}{10}=\frac{3}{10}
  3. Înlocuim valoarea parantezei în expresie și înmulțim fracțiile: 310⋅103=3030=1\displaystyle \dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{10}{3}=\dfrac{30}{30}=1. Cele două fracții sunt inverse una alteia, deci produsul lor este 1\displaystyle 1, așa cum trebuia arătat.
    310⋅103=3030=1\displaystyle \frac{3}{10}\cdot\frac{10}{3}=\frac{30}{30}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctul A(1,0)\displaystyle A(1,0) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−a\displaystyle f(x)=x-a.
Vezi rezolvarea
  1. Un punct aparține graficului unei funcții dacă ordonata lui este egală cu valoarea funcției în abscisa punctului. Punctul A(1,0)\displaystyle A(1,0) are abscisa 1\displaystyle 1 și ordonata 0\displaystyle 0, deci f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
    f(1)=0\displaystyle f(1)=0
  2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în formula funcției f(x)=x−a\displaystyle f(x)=x-a și obținem f(1)=1−a\displaystyle f(1)=1-a. Din f(1)=0\displaystyle f(1)=0 rezultă ecuația 1−a=0\displaystyle 1-a=0.
    f(1)=0⇒1−a=0\displaystyle f(1)=0\Rightarrow 1-a=0
  3. Rezolvăm ecuația 1−a=0\displaystyle 1-a=0: mutăm pe a\displaystyle a în partea dreaptă și obținem a=1\displaystyle a=1.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x+1=5\displaystyle \sqrt{x+1}=5.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condiția de existență a radicalului: expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă sau nulă, deci x+1≥0\displaystyle x+1\geq 0, adică x≥−1\displaystyle x\geq -1.
    x≥−1\displaystyle x\geq -1
  2. Ridicăm ambii membri ai ecuației la pătrat: (x+1)2=52\displaystyle \left(\sqrt{x+1}\right)^{2}=5^{2}. Deoarece x+1≥0\displaystyle x+1\geq 0, obținem x+1=25\displaystyle x+1=25.
    x+1=25\displaystyle x+1=25
  3. Rezolvăm ecuația liniară: scădem 1 din ambii membri, deci x=25−1\displaystyle x=25-1, adică x=24\displaystyle x=24.
    x=24\displaystyle x=24
  4. Verificăm soluția în ecuația inițială: pentru x=24\displaystyle x=24 avem 24+1=25=5\displaystyle \sqrt{24+1}=\sqrt{25}=5, deci egalitatea este adevărată. Soluția îndeplinește și condiția x≥−1\displaystyle x\geq -1. Ecuația are soluția unică x=24\displaystyle x=24.
    x=24, care verifica˘ ecuația\displaystyle x=24\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={10,20,30,40,50,60,70,80,90}\displaystyle M=\{10,20,30,40,50,60,70,80,90\}, acesta să fie multiplu de 30\displaystyle 30.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}, când toate numerele au aceleași șanse să fie alese.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Cazurile posibile sunt toate elementele mulțimii M\displaystyle M. Numărăm elementele: 10,20,30,40,50,60,70,80,90\displaystyle 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, deci sunt 9\displaystyle 9 cazuri posibile.
    9\displaystyle 9
  3. Cazurile favorabile sunt numerele din M\displaystyle M care sunt multipli de 30\displaystyle 30. Avem 30=30⋅1\displaystyle 30=30\cdot 1, 60=30⋅2\displaystyle 60=30\cdot 2 și 90=30⋅3\displaystyle 90=30\cdot 3, iar celelalte numere nu se împart exact la 30\displaystyle 30. Deci sunt 3\displaystyle 3 cazuri favorabile.
    30\displaystyle 30, 60 și 90, deci 3\displaystyle \ 60\text{ și }90\text{, deci }3
  4. Înlocuim în formulă: p=39\displaystyle p=\dfrac{3}{9}, apoi simplificăm fracția prin 3\displaystyle 3.
    p=39=13\displaystyle p=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,5)\displaystyle A(3,5) și B(7,5)\displaystyle B(7,5). Determinați coordonatele mijlocului segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu M\displaystyle M mijlocul segmentului AB\displaystyle AB. Coordonatele lui M\displaystyle M sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor: xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yM=yA+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2},yM=yA+yB2\displaystyle \quad y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  2. Calculăm abscisa mijlocului, înlocuind xA=3\displaystyle x_A=3 și xB=7\displaystyle x_B=7: xM=3+72=102=5\displaystyle x_M=\dfrac{3+7}{2}=\dfrac{10}{2}=5.
    xM=3+72=5\displaystyle x_M=\dfrac{3+7}{2}=5
  3. Calculăm ordonata mijlocului, înlocuind yA=5\displaystyle y_A=5 și yB=5\displaystyle y_B=5: yM=5+52=102=5\displaystyle y_M=\dfrac{5+5}{2}=\dfrac{10}{2}=5. Deci mijlocul segmentului AB\displaystyle AB este M(5,5)\displaystyle M(5,5).
    yM=5+52=5\displaystyle y_M=\dfrac{5+5}{2}=5,M(5,5)\displaystyle \quad M(5,5)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Dacă x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) și cos⁡x=513\displaystyle \cos x=\frac{5}{13}, arătați că tg⁡x=125\displaystyle \operatorname{tg}x=\frac{12}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula fundamentală a trigonometriei: sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1. De aici sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x.
    sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x
  2. Înlocuim cos⁡x=513\displaystyle \cos x=\dfrac{5}{13} și calculăm: sin⁡2x=1−(513)2=1−25169=144169\displaystyle \sin^{2}x=1-\left(\dfrac{5}{13}\right)^{2}=1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}.
    sin⁡2x=1−25169=144169\displaystyle \sin^{2}x=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}
  3. Deoarece x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), avem sin⁡x>0\displaystyle \sin x>0. Deci sin⁡x=144169=1213\displaystyle \sin x=\sqrt{\dfrac{144}{169}}=\dfrac{12}{13}.
    sin⁡2x=144169, deci sin⁡x=1213\displaystyle \sin^{2}x=\frac{144}{169}\text{, deci }\sin x=\frac{12}{13}
  4. Tangenta este raportul dintre sinus și cosinus: tg⁡x=sin⁡xcos⁡x=1213⋅135\displaystyle \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{12}{13}\cdot\dfrac{13}{5}. Simplificăm cu 13\displaystyle 13 și obținem tg⁡x=125\displaystyle \operatorname{tg}x=\dfrac{12}{5}, ceea ce trebuia arătat.
    tg⁡x=sin⁡xcos⁡x=1213⋅135=125\displaystyle \operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{12}{13}\cdot\frac{13}{5}=\frac{12}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(11−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix} și B=(0−111)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=1\displaystyle \det A=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, folosind elementele ei: prima linie are elementele 1\displaystyle 1 și 1\displaystyle 1, a doua linie are elementele −1\displaystyle -1 și 0\displaystyle 0.
    det⁡A=∣11−10∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&1\\-1&0\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula diagonalelor pentru un determinant de ordin doi: ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aici a=1\displaystyle a=1, b=1\displaystyle b=1, c=−1\displaystyle c=-1, d=0\displaystyle d=0.
    det⁡A=1⋅0−1⋅(−1)\displaystyle \det A=1\cdot 0-1\cdot(-1)
  3. Calculăm produsele: 1⋅0=0\displaystyle 1\cdot 0=0, iar 1⋅(−1)=−1\displaystyle 1\cdot(-1)=-1. Scăderea lui −1\displaystyle -1 înseamnă adunarea lui 1\displaystyle 1, deci obținem 0+1\displaystyle 0+1.
    det⁡A=0−(−1)=0+1=1\displaystyle \det A=0-(-1)=0+1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(11−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix} și B=(0−111)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}.

Arătați că B⋅B+A=O2\displaystyle B\cdot B+A=O_2, unde O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul B⋅B\displaystyle B\cdot B, cu B=(0−111)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix} înmulțită cu ea însăși. Elementul de pe linia i\displaystyle i și coloana j\displaystyle j se obține înmulțind linia i\displaystyle i din prima matrice cu coloana j\displaystyle j din a doua.
    B⋅B=(0−111)⋅(0−111)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element al produsului. Primul rând: 0⋅0+(−1)⋅1=−1\displaystyle 0\cdot 0+(-1)\cdot 1=-1 și 0⋅(−1)+(−1)⋅1=−1\displaystyle 0\cdot(-1)+(-1)\cdot 1=-1. Al doilea rând: 1⋅0+1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 0+1\cdot 1=1 și 1⋅(−1)+1⋅1=0\displaystyle 1\cdot(-1)+1\cdot 1=0.
    B⋅B=(−1−110)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}
  3. Adunăm matricea A\displaystyle A la B⋅B\displaystyle B\cdot B, element cu element: −1+1=0\displaystyle -1+1=0, −1+1=0\displaystyle -1+1=0, 1+(−1)=0\displaystyle 1+(-1)=0, 0+0=0\displaystyle 0+0=0. Obținem matricea nulă.
    B⋅B+A=(−1−110)+(11−10)=(0000)=O2\displaystyle B\cdot B+A=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(11−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix} și B=(0−111)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, pentru care A+B=(2x004y)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}2^x&0\\0&4^y\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm suma A+B\displaystyle A+B adunând elementele de pe aceleași poziții: 1+0=1\displaystyle 1+0=1, 1+(−1)=0\displaystyle 1+(-1)=0, −1+1=0\displaystyle -1+1=0, 0+1=1\displaystyle 0+1=1.
    A+B=(1001)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  2. Egalăm matricea obținută cu matricea dată. Două matrice sunt egale dacă elementele corespunzătoare sunt egale, deci 2x=1\displaystyle 2^x=1 și 4y=1\displaystyle 4^y=1 (celelalte elemente, 0\displaystyle 0 și 0\displaystyle 0, coincid deja).
    (1001)=(2x004y)⇒{2x=14y=1\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2^x&0\\0&4^y\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{cases}2^x=1\\4^y=1\end{cases}
  3. Scriem 1\displaystyle 1 ca putere cu baza 2\displaystyle 2: 1=20\displaystyle 1=2^0, iar 4y=22y\displaystyle 4^y=2^{2y}. Din 2x=20\displaystyle 2^x=2^0 rezultă x=0\displaystyle x=0, iar din 22y=20\displaystyle 2^{2y}=2^0 rezultă 2y=0\displaystyle 2y=0, deci y=0\displaystyle y=0.
    2x=20⇒x=0, 4y=1⇒22y=20⇒y=0\displaystyle 2^x=2^0\Rightarrow x=0\text{, }4^y=1\Rightarrow 2^{2y}=2^0\Rightarrow y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−2X2−2X+1\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+1.

Arătați că f(1)=−2\displaystyle f(1)=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim pe X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în expresia polinomului f=X3−2X2−2X+1\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+1.
    f(1)=13−2⋅12−2⋅1+1\displaystyle f(1)=1^3-2\cdot 1^2-2\cdot 1+1
  2. Calculăm puterile lui 1\displaystyle 1 și produsele: 13=1\displaystyle 1^3=1, 12=1\displaystyle 1^2=1, deci 2⋅12=2\displaystyle 2\cdot 1^2=2 și 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2.
    f(1)=1−2−2+1\displaystyle f(1)=1-2-2+1
  3. Efectuăm adunările și scăderile de la stânga la dreapta: 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1, apoi −1−2=−3\displaystyle -1-2=-3, apoi −3+1=−2\displaystyle -3+1=-2. Obținem valoarea cerută.
    f(1)=−2\displaystyle f(1)=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−2X2−2X+1\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+1.\ Determinați restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la polinomul X+1\displaystyle X+1.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim f\displaystyle f la X+1\displaystyle X+1 folosind schema lui Horner, cu valoarea −1\displaystyle -1 (rădăcina lui X+1\displaystyle X+1). Coeficienții lui f\displaystyle f sunt 1, −2, −2, 1\displaystyle 1,\ -2,\ -2,\ 1.
    1\displaystyle 1, −2\displaystyle \ -2, −2\displaystyle \ -2, 1 și a=−1\displaystyle \ 1\text{ și }a=-1
  2. Coborâm primul coeficient: 1\displaystyle 1. Apoi −2+(−1)⋅1=−3\displaystyle -2+(-1)\cdot 1=-3. Apoi −2+(−1)⋅(−3)=1\displaystyle -2+(-1)\cdot(-3)=1. Ultimul rezultat: 1+(−1)⋅1=0\displaystyle 1+(-1)\cdot 1=0.
    1\displaystyle 1, −3\displaystyle \ -3, 1\displaystyle \ 1, 0\displaystyle \ 0
  3. Primele trei numere de pe ultima linie sunt coeficienții câtului, care are gradul 2\displaystyle 2. Deci câtul este X2−3X+1\displaystyle X^2-3X+1.
    q=X2−3X+1\displaystyle q=X^{2}-3X+1
  4. Ultimul număr de pe linie este restul. Verificăm: f(−1)=−1−2+2+1=0\displaystyle f(-1)=-1-2+2+1=0, deci restul este 0\displaystyle 0.
    r=0\displaystyle r=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−2X2−2X+1\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+1.

Demonstrați că (x2+x3)(x3+x1)(x1+x2)=−3\displaystyle (x_2+x_3)(x_3+x_1)(x_1+x_2)=-3, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul f=X3−2X2−2X+1\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+1 are coeficienții a=1\displaystyle a=1, b=−2\displaystyle b=-2, c=−2\displaystyle c=-2, d=1\displaystyle d=1. Din relațiile lui Viète, suma rădăcinilor este −ba\displaystyle -\dfrac{b}{a}.
    x1+x2+x3=−−21=2\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{-2}{1}=2
  2. Din x1+x2+x3=2\displaystyle x_1+x_2+x_3=2 obținem x2+x3=2−x1\displaystyle x_2+x_3=2-x_1, x3+x1=2−x2\displaystyle x_3+x_1=2-x_2 și x1+x2=2−x3\displaystyle x_1+x_2=2-x_3.
    (x2+x3)(x3+x1)(x1+x2)=(2−x1)(2−x2)(2−x3)\displaystyle (x_2+x_3)(x_3+x_1)(x_1+x_2)=(2-x_1)(2-x_2)(2-x_3)
  3. Cum x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2, x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile lui f\displaystyle f și coeficientul dominant este 1, avem f=(X−x1)(X−x2)(X−x3)\displaystyle f=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3). Pentru X=2\displaystyle X=2 obținem f(2)=(2−x1)(2−x2)(2−x3)\displaystyle f(2)=(2-x_1)(2-x_2)(2-x_3).
    (2−x1)(2−x2)(2−x3)=f(2)\displaystyle (2-x_1)(2-x_2)(2-x_3)=f(2)
  4. Calculăm f(2)=23−2⋅22−2⋅2+1=8−8−4+1\displaystyle f(2)=2^3-2\cdot 2^2-2\cdot 2+1=8-8-4+1. Deci produsul cerut este egal cu −3\displaystyle -3.
    (x2+x3)(x3+x1)(x1+x2)=f(2)=8−8−4+1=−3\displaystyle (x_2+x_3)(x_3+x_1)(x_1+x_2)=f(2)=8-8-4+1=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=−x3+3x+2\displaystyle f(x)=-x^3+3x+2.

Arătați că f′(x)=3(1−x)(1+x)\displaystyle f'(x)=3(1-x)(1+x), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen, folosind formula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^{n})'=n\cdot x^{n-1}. Avem (−x3)′=−3x2\displaystyle (-x^{3})'=-3x^{2}, (3x)′=3\displaystyle (3x)'=3 și (2)′=0\displaystyle (2)'=0.
    f′(x)=−3x2+3\displaystyle f'(x)=-3x^{2}+3
  2. Scoatem factor comun pe 3\displaystyle 3 din expresia derivatei: −3x2+3=3(−x2+1)\displaystyle -3x^{2}+3=3\left(-x^{2}+1\right).
    f′(x)=3(1−x2)\displaystyle f'(x)=3\left(1-x^{2}\right)
  3. Descompunem diferența de pătrate cu formula a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b), unde a=1\displaystyle a=1 și b=x\displaystyle b=x: 1−x2=(1−x)(1+x)\displaystyle 1-x^{2}=(1-x)(1+x). Astfel obținem forma cerută, valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=3(1−x2)=3(1−x)(1+x)\displaystyle f'(x)=3\left(1-x^{2}\right)=3(1-x)(1+x), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=−x3+3x+2\displaystyle f(x)=-x^3+3x+2.

Arătați că lim⁡x→2f(x)x−2=−9\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)}{x-2}=-9.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(2)=−23+3⋅2+2=−8+6+2=0\displaystyle f(2)=-2^{3}+3\cdot 2+2=-8+6+2=0. Deci f(x)=f(x)−f(2)\displaystyle f(x)=f(x)-f(2).
    f(2)=0\displaystyle f(2)=0
  2. Rescriem limita ca raport de variație: lim⁡x→2f(x)x−2=lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{f(x)}{x-2}=\lim_{x\to 2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}, care este definiția lui f′(2)\displaystyle f'(2).
    lim⁡x→2f(x)x−2=lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=f′(2)\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)}{x-2}=\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f'(2)
  3. Derivăm termen cu termen funcția f(x)=−x3+3x+2\displaystyle f(x)=-x^{3}+3x+2 și obținem f′(x)=−3x2+3\displaystyle f'(x)=-3x^{2}+3.
    f′(x)=−3x2+3\displaystyle f'(x)=-3x^{2}+3
  4. Înlocuim x=2\displaystyle x=2: f′(2)=−3⋅22+3=−12+3=−9\displaystyle f'(2)=-3\cdot 2^{2}+3=-12+3=-9. Deci lim⁡x→2f(x)x−2=−9\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{f(x)}{x-2}=-9.
    f′(2)=−9\displaystyle f'(2)=-9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=−x3+3x+2\displaystyle f(x)=-x^3+3x+2.

Demonstrați că f(x)≤4\displaystyle f(x)\le 4, pentru orice x∈[−1,+∞)\displaystyle x\in[-1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f: f′(x)=−3x2+3\displaystyle f'(x)=-3x^{2}+3.
    f′(x)=−3x2+3\displaystyle f'(x)=-3x^{2}+3
  2. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0: −3x2+3=0\displaystyle -3x^{2}+3=0, deci x2=1\displaystyle x^{2}=1, de unde x=−1\displaystyle x=-1 sau x=1\displaystyle x=1.
    f′(x)=0⇔x=−1 sau x=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1\text{ sau }x=1
  3. Scriem derivata ca produs: f′(x)=3(1−x)(1+x)\displaystyle f'(x)=3(1-x)(1+x). Pentru x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1] avem 1−x≥0\displaystyle 1-x\ge 0 și 1+x≥0\displaystyle 1+x\ge 0, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0. Funcția f\displaystyle f este crescătoare pe [−1,1]\displaystyle [-1,1].
    x∈[−1,1]⇒f′(x)≥0, deci f este cresca˘toare pe [−1,1]\displaystyle x\in[-1,1]\Rightarrow f'(x)\ge 0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[-1,1]
  4. Pentru x∈[1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty) avem 1−x≤0\displaystyle 1-x\le 0 și 1+x>0\displaystyle 1+x>0, deci f′(x)=3(1−x)(1+x)≤0\displaystyle f'(x)=3(1-x)(1+x)\le 0. Funcția f\displaystyle f este descrescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    x∈[1,+∞)⇒f′(x)≤0, deci f este descresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty)\Rightarrow f'(x)\le 0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }[1,+\infty)
  5. Funcția crește până în x=1\displaystyle x=1 și apoi scade, deci valoarea maximă pe [−1,+∞)\displaystyle [-1,+\infty) este f(1)\displaystyle f(1). Calculăm f(1)=−1+3+2=4\displaystyle f(1)=-1+3+2=4. Prin urmare f(x)≤4\displaystyle f(x)\le 4 pentru orice x∈[−1,+∞)\displaystyle x\in[-1,+\infty).
    f(1)=4, deci f(x)≤4, pentru orice x∈[−1,+∞)\displaystyle f(1)=4\text{, deci }f(x)\le 4\text{, pentru orice }x\in[-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+2\displaystyle f(x)=x+2.

Arătați că ∫−11(f(x)−2) dx=0\displaystyle \int_{-1}^{1}(f(x)-2)\,dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu x+2\displaystyle x+2 în integrand și reducem termenii: x+2−2=x\displaystyle x+2-2=x.
    ∫−11(f(x)−2) dx=∫−11(x+2−2) dx=∫−11x dx\displaystyle \int_{-1}^{1}(f(x)-2)\,dx=\int_{-1}^{1}(x+2-2)\,dx=\int_{-1}^{1}x\,dx
  2. Primitiva funcției x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫abg(x) dx=G(b)−G(a)\displaystyle \int_{a}^{b}g(x)\,dx=G(b)-G(a).
    ∫−11x dx=x22∣−11\displaystyle \int_{-1}^{1}x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}\Big|_{-1}^{1}
  3. Calculăm valorile primitivei în 1\displaystyle 1 și în −1\displaystyle -1 și le scădem: 122−(−1)22=12−12\displaystyle \dfrac{1^{2}}{2}-\dfrac{(-1)^{2}}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}. Deci integrala este 0\displaystyle 0.
    x22∣−11=12−12=0\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}\Big|_{-1}^{1}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+2\displaystyle f(x)=x+2.

Arătați că ∫01exf(x) dx=2e−1\displaystyle \int_{0}^{1}e^x f(x)\,dx=2e-1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+2\displaystyle f(x)=x+2 în integrală, deci integrala devine o integrală din ex(x+2)\displaystyle e^x(x+2).
    ∫01exf(x) dx=∫01ex(x+2) dx\displaystyle \int_{0}^{1}e^x f(x)\,dx=\int_{0}^{1}e^x(x+2)\,dx
  2. Aplicăm integrarea prin părți: alegem u=x+2\displaystyle u=x+2 și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    ∫01ex(x+2) dx=ex(x+2)∣01−∫01ex dx\displaystyle \int_{0}^{1}e^x(x+2)\,dx=e^x(x+2)\Big|_0^1-\int_{0}^{1}e^x\,dx
  3. Primitiva lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x, deci scriem integrala rămasă ca ex∣01\displaystyle e^x\Big|_0^1.
    ex(x+2)∣01−ex∣01\displaystyle e^x(x+2)\Big|_0^1-e^x\Big|_0^1
  4. Pentru primul termen: la x=1\displaystyle x=1 avem e⋅3=3e\displaystyle e\cdot 3=3e, iar la x=0\displaystyle x=0 avem e0⋅2=2\displaystyle e^0\cdot 2=2.
    ex(x+2)∣01=3e−2\displaystyle e^x(x+2)\Big|_0^1=3e-2
  5. Pentru al doilea termen: ex∣01=e1−e0\displaystyle e^x\Big|_0^1=e^1-e^0.
    ex∣01=e−1\displaystyle e^x\Big|_0^1=e-1
  6. Scădem rezultatele: (3e−2)−(e−1)=3e−2−e+1=2e−1\displaystyle (3e-2)-(e-1)=3e-2-e+1=2e-1, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    (3e−2)−(e−1)=2e−1\displaystyle (3e-2)-(e-1)=2e-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+2\displaystyle f(x)=x+2.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că ∫0af(x) dx=∫06−a(f(x)−4) dx\displaystyle \int_{0}^{a}f(x)\,dx=\int_{0}^{6-a}(f(x)-4)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+2\displaystyle f(x)=x+2 și calculăm prima integrală cu primitiva x22+2x\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}+2x, evaluată între 0\displaystyle 0 și a\displaystyle a.
    ∫0a(x+2) dx=(x22+2x)∣0a=a22+2a\displaystyle \int_{0}^{a}(x+2)\,dx=\left(\dfrac{x^{2}}{2}+2x\right)\Big|_{0}^{a}=\dfrac{a^{2}}{2}+2a
  2. Simplificăm funcția din a doua integrală: f(x)−4=x+2−4=x−2\displaystyle f(x)-4=x+2-4=x-2.
    f(x)−4=x−2\displaystyle f(x)-4=x-2
  3. Calculăm a doua integrală cu primitiva x22−2x\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}-2x, evaluată între 0\displaystyle 0 și 6−a\displaystyle 6-a.
    ∫06−a(x−2) dx=(x22−2x)∣06−a=(6−a)22−2(6−a)\displaystyle \int_{0}^{6-a}(x-2)\,dx=\left(\dfrac{x^{2}}{2}-2x\right)\Big|_{0}^{6-a}=\dfrac{(6-a)^{2}}{2}-2(6-a)
  4. Egalăm cele două rezultate, conform condiției din enunț.
    a22+2a=(6−a)22−2(6−a)\displaystyle \dfrac{a^{2}}{2}+2a=\dfrac{(6-a)^{2}}{2}-2(6-a)
  5. Dezvoltăm membrul drept: (6−a)2=36−12a+a2\displaystyle (6-a)^{2}=36-12a+a^{2}, deci după împărțirea la 2\displaystyle 2 și reducerea termenilor obținem a22−4a+6\displaystyle \dfrac{a^{2}}{2}-4a+6.
    (6−a)22−2(6−a)=18−6a+a22−12+2a=a22−4a+6\displaystyle \dfrac{(6-a)^{2}}{2}-2(6-a)=18-6a+\dfrac{a^{2}}{2}-12+2a=\dfrac{a^{2}}{2}-4a+6
  6. Ecuația devine a22+2a=a22−4a+6\displaystyle \dfrac{a^{2}}{2}+2a=\dfrac{a^{2}}{2}-4a+6. Termenii cu a2\displaystyle a^{2} se reduc, iar rămâne 6a=6\displaystyle 6a=6, deci a=1\displaystyle a=1.
    2a=−4a+6⇔6a=6⇔a=1\displaystyle 2a=-4a+6\Leftrightarrow 6a=6\Leftrightarrow a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.