Bac matematică M3 tehnologic 2024, sesiunea I varianta 10: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 125⋅(12+13)=2\displaystyle \dfrac{12}{5} \cdot \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \right) = 2.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică numitorul comun al fracțiilor 12\displaystyle \dfrac{1}{2} și 13\displaystyle \dfrac{1}{3}, care este 6\displaystyle 6, și se scriu fracțiile echivalente cu acest numitor.
    125⋅(12+13)=125⋅(36+26)\displaystyle \dfrac{12}{5} \cdot \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \right) = \dfrac{12}{5} \cdot \left( \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} \right)
  2. Se adună cele două fracții cu același numitor, adunând numărătorii.
    36+26=56\displaystyle \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}
  3. Se înlocuiește suma obținută în expresia inițială, obținând un produs de două fracții.
    125⋅(12+13)=125⋅56\displaystyle \dfrac{12}{5} \cdot \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \right) = \dfrac{12}{5} \cdot \dfrac{5}{6}
  4. Se efectuează înmulțirea fracțiilor, simplificând factorul comun 5\displaystyle 5, apoi se simplifică fracția rezultată pentru a obține rezultatul final.
    =125⋅56=2\displaystyle = \dfrac{12}{5} \cdot \dfrac{5}{6} = 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=5x+1\displaystyle f(x) = 5x + 1. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=6\displaystyle f(a) = 6.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției f\displaystyle f pentru valoarea particulară x=a\displaystyle x = a, înlocuind x\displaystyle x cu a\displaystyle a în formula dată.
    f(a)=5a+1, pentru orice numa˘r real a\displaystyle f(a) = 5a + 1\text{, pentru orice număr real }a
  2. Se pune condiția din enunț, și anume că f(a)\displaystyle f(a) trebuie să fie egal cu 6\displaystyle 6.
    f(a)=6\displaystyle f(a) = 6
  3. Se înlocuiește expresia lui f(a)\displaystyle f(a) obținută anterior, rezultând ecuația de gradul întâi cu necunoscuta a\displaystyle a.
    5a+1=6\displaystyle 5a + 1 = 6
  4. Se rezolvă ecuația: se trece 1\displaystyle 1 în membrul drept, obținându-se 5a=5\displaystyle 5a = 5.
    5a=6−1=5\displaystyle 5a = 6 - 1 = 5
  5. Se împarte ecuația prin 5\displaystyle 5 pentru a obține valoarea lui a\displaystyle a, finalizând astfel rezolvarea.
    a=55=1\displaystyle a = \frac{5}{5} = 1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x+1=3\displaystyle \sqrt{4x+1} = 3.
Vezi rezolvarea
  1. Se pune condiția de existență a radicalului: expresia de sub radical trebuie să fie mai mare sau egală cu zero.
    4x+1≥0⇒x≥−14\displaystyle 4x+1\geq 0\Rightarrow x\geq -\frac{1}{4}
  2. Se ridică la pătrat ambii membri ai ecuației pentru a elimina radicalul.
    (4x+1)2=32\displaystyle (\sqrt{4x+1})^2=3^2
  3. Se efectuează calculele: pătratul radicalului dă expresia de sub radical, iar pătratul lui 3\displaystyle 3 este 9\displaystyle 9. Se obține ecuația de gradul întâi și se izolează termenul cu x\displaystyle x.
    4x+1=9, de unde obținem 4x=8\displaystyle 4x+1=9\text{, de unde obținem }4x=8
  4. Se împarte ecuația prin 4\displaystyle 4 pentru a obține valoarea lui x\displaystyle x.
    x=84=2\displaystyle x=\frac{8}{4}=2
  5. Se verifică soluția obținută: se observă că x=2\displaystyle x=2 satisface condiția de existență (2≥−14\displaystyle 2\geq -\dfrac{1}{4}) și, prin înlocuire în ecuația inițială, se obține 9=3\displaystyle \sqrt{9}=3, adevărat. Astfel, soluția este validă.
    x=2, care convine\displaystyle x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={10,20,30,40,50,60,70,80,90}\displaystyle A = \{10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90\}, acesta să fie divizibil cu 20\displaystyle 20.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie mulțimea A\displaystyle A și se numără elementele acesteia pentru a determina numărul total de cazuri posibile.
    A={10,20,30,40,50,60,70,80,90}\displaystyle A=\{10,20,30,40,50,60,70,80,90\}
  2. Se numără câte elemente are mulțimea A\displaystyle A, adică numărul de cazuri posibile.
    Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile\displaystyle \text{Mulțimea }A\text{ are }9\text{ elemente, deci sunt }9\text{ cazuri posibile}
  3. Se identifică din mulțimea A\displaystyle A numerele divizibile cu 20\displaystyle 20, verificând fiecare element.
    20:20=1\displaystyle 20:20=1, 40:20=2\displaystyle \ 40:20=2, 60:20=3\displaystyle \ 60:20=3, 80:20=4, deci numerele \displaystyle \ 80:20=4\text{, deci numerele }divizibile cu 20 sunt {20,40,60,80}\displaystyle \text{divizibile cu }20\text{ sunt }\{20,40,60,80\}
  4. Se numără câte numere din A\displaystyle A sunt divizibile cu 20\displaystyle 20, adică numărul de cazuri favorabile.
    Exista˘ 4 cazuri favorabile\displaystyle \text{Există }4\text{ cazuri favorabile}
  5. Se aplică formula probabilității ca raport dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile.
    p=cazuri favorabilecazuri posibile=49\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{4}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,0)\displaystyle A(2,0), B(8,8)\displaystyle B(8,8) și C(11,4)\displaystyle C(11,4). Arătați că AB=2BC\displaystyle AB = 2BC.
Vezi rezolvarea
  1. Se reamintește formula distanței dintre două puncte în plan, folosită pentru a calcula lungimile segmentelor AB\displaystyle AB și BC\displaystyle BC.
    d(M,N)=(xN−xM)2+(yN−yM)2\displaystyle d(M,N) = \sqrt{(x_N-x_M)^2 + (y_N-y_M)^2}
  2. Se identifică coordonatele punctelor B\displaystyle B și C\displaystyle C și se aplică formula distanței pentru a calcula lungimea segmentului BC\displaystyle BC.
    BC=(11−8)2+(4−8)2\displaystyle BC = \sqrt{(11-8)^2 + (4-8)^2}
  3. Se efectuează calculele numerice pentru a obține valoarea lungimii BC\displaystyle BC.
    BC=32+42=9+16=25=5\displaystyle BC = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5
  4. Se identifică coordonatele punctelor A\displaystyle A și B\displaystyle B și se aplică formula distanței pentru a calcula lungimea segmentului AB\displaystyle AB.
    AB=(8−2)2+(8−0)2\displaystyle AB = \sqrt{(8-2)^2 + (8-0)^2}
  5. Se efectuează calculele numerice pentru a obține valoarea lungimii AB\displaystyle AB, apoi se compară cu 2⋅BC\displaystyle 2\cdot BC pentru a demonstra relația cerută.
    AB=62+82=36+64=100=10, deci AB=2BC\displaystyle AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\text{, deci }AB = 2BC
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 1+sin⁡30∘=2sin⁡60∘⋅cos⁡30∘\displaystyle 1 + \sin 30^\circ = 2\sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de 30°\displaystyle 30° și 60°\displaystyle 60°, folosind tabelul valorilor speciale.
    sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}, sin⁡60∘=32\displaystyle \ \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡30∘=32\displaystyle \ \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
  2. Se calculează membrul stâng al egalității, înlocuind valoarea lui sin⁡30°\displaystyle \sin 30°.
    1+sin⁡30∘=1+12=22+12=32\displaystyle 1 + \sin 30^\circ = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}
  3. Se calculează membrul drept al egalității, înlocuind valorile lui sin⁡60°\displaystyle \sin 60° și cos⁡30°\displaystyle \cos 30°, apoi se efectuează înmulțirea.
    2sin⁡60∘⋅cos⁡30∘=2⋅32⋅32=2⋅34=64=32\displaystyle 2\sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{2 \cdot 3}{4} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}
  4. Se compară valorile obținute pentru cei doi membri și se observă că sunt egale, deci egalitatea este demonstrată.
    1+sin⁡30∘=32=2sin⁡60∘⋅cos⁡30∘\displaystyle 1 + \sin 30^\circ = \dfrac{3}{2} = 2\sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(xx−1−2x2)\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & x-1 \\ -2x & 2 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=2\displaystyle \det(A(1)) = 2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea A(x) pentru valoarea generală, apoi se înlocuiește x=1\displaystyle x=1 în fiecare element al matricei.
    A(x)=(xx−1−2x2)⇒A(1)=(11−1−2⋅12)\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & x-1 \\ -2x & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1-1 \\ -2\cdot 1 & 2 \end{pmatrix}
  2. Se simplifică elementele matricei obținute prin efectuarea calculelor numerice.
    A(1)=(10−22)\displaystyle A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}
  3. Se scrie determinantul matricei A(1) folosind formula determinantului de ordinul doi și se aplică regula de calcul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(1))=∣10−22∣=1⋅2−(−2)⋅0\displaystyle \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - (-2) \cdot 0
  4. Se efectuează înmulțirile obținute la pasul anterior.
    1⋅2−(−2)⋅0=2−0\displaystyle 1 \cdot 2 - (-2) \cdot 0 = 2 - 0
  5. Se finalizează calculul, obținând valoarea determinantului.
    =2−0=2\displaystyle = 2 - 0 = 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(xx−1−2x2)\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & x-1 \\ -2x & 2 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A(2)+A(0)=2A(1)\displaystyle A(2) + A(0) = 2A(1).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează matricea A(2)\displaystyle A(2) prin înlocuirea lui x=2\displaystyle x=2 în A(x)\displaystyle A(x)
    A(2)=(22−1−2⋅22)=(21−42)\displaystyle A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 2-1 \\ -2\cdot 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}
  2. Se calculează matricea A(0)\displaystyle A(0) prin înlocuirea lui x=0\displaystyle x=0 în A(x)\displaystyle A(x)
    A(0)=(00−1−2⋅02)=(0−102)\displaystyle A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 0-1 \\ -2\cdot 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
  3. Se adună cele două matrice obținute, element cu element
    A(2)+A(0)=(21−42)+(0−102)=(20−44)\displaystyle A(2) + A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -4 & 4 \end{pmatrix}
  4. Se calculează matricea A(1)\displaystyle A(1) prin înlocuirea lui x=1\displaystyle x=1 în A(x)\displaystyle A(x)
    A(1)=(11−1−2⋅12)=(10−22)\displaystyle A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1-1 \\ -2\cdot 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}
  5. Se calculează 2A(1)\displaystyle 2A(1) și se observă că este egal cu suma A(2)+A(0)\displaystyle A(2)+A(0), obținându-se astfel egalitatea cerută
    2A(1)=2(10−22)=(20−44)=A(2)+A(0)\displaystyle 2A(1) = 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -4 & 4 \end{pmatrix} = A(2)+A(0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(xx−1−2x2)\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & x-1 \\ -2x & 2 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(A(x)+xI2)=2\displaystyle \det(A(x) + xI_2) = 2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea xI2=(x00x)\displaystyle xI_2=\begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix} și o adunăm la A(x)\displaystyle A(x), element cu element.
    A(x)+xI2=(2xx−1−2x2+x)\displaystyle A(x)+xI_2=\begin{pmatrix} 2x & x-1 \\ -2x & 2+x \end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul: det⁡(A(x)+xI2)=2x(2+x)−(x−1)⋅(−2x)\displaystyle \det(A(x)+xI_2)=2x(2+x)-(x-1)\cdot(-2x). Dezvoltăm: 4x+2x2+2x2−2x\displaystyle 4x+2x^{2}+2x^{2}-2x.
    det⁡(A(x)+xI2)=4x2+2x, pentru orice x∈R\displaystyle \det(A(x)+xI_2)=4x^{2}+2x\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  3. Impunem condiția det⁡(A(x)+xI2)=2\displaystyle \det(A(x)+xI_2)=2, deci 4x2+2x=2\displaystyle 4x^{2}+2x=2. Mutăm tot în membrul stâng.
    4x2+2x−2=0\displaystyle 4x^{2}+2x-2=0
  4. Simplificăm prin 2: 2x2+x−1=0\displaystyle 2x^{2}+x-1=0. Discriminantul este Δ=1+8=9\displaystyle \Delta=1+8=9, deci x=−1±34\displaystyle x=\dfrac{-1\pm 3}{4}, adică x=−1\displaystyle x=-1 sau x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2}.
    x=−1 sau x=12\displaystyle x=-1\text{ sau }x=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2(x+y)−xy−4\displaystyle x \circ y = 2(x+y) - xy - 4.

Arătați că 1∘3=1\displaystyle 1 \circ 3 = 1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile ce trebuie substituite: x=1\displaystyle x=1 și y=3\displaystyle y=3.
    x∘y=2(x+y)−xy−4\displaystyle x\circ y = 2(x+y) - xy - 4, unde x=1\displaystyle \text{ unde }x=1, y=3\displaystyle \ y=3
  2. Se aplică definiția legii de compoziție pentru valorile date, înlocuind x=1\displaystyle x=1 și y=3\displaystyle y=3 în formulă.
    1∘3=2(1+3)−1⋅3−4\displaystyle 1 \circ 3 = 2(1+3) - 1 \cdot 3 - 4
  3. Se calculează suma din paranteză și se înmulțește cu 2\displaystyle 2.
    2(1+3)=2⋅4=8\displaystyle 2(1+3) = 2 \cdot 4 = 8
  4. Se calculează produsul dintre x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    1⋅3=3\displaystyle 1 \cdot 3 = 3
  5. Se înlocuiesc rezultatele obținute în expresia inițială și se efectuează calculele finale.
    1∘3=8−3−4=1\displaystyle 1 \circ 3 = 8 - 3 - 4 = 1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2(x+y)−xy−4\displaystyle x \circ y = 2(x+y) - xy - 4.

Arătați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată, pentru a avea punctul de plecare clar.
    x∘y=2(x+y)−xy−4\displaystyle x \circ y = 2(x+y) - xy - 4
  2. Se calculează y∘x\displaystyle y\circ x, înlocuind în lege x\displaystyle x cu y\displaystyle y și y\displaystyle y cu x\displaystyle x.
    y∘x=2(y+x)−yx−4\displaystyle y \circ x = 2(y+x) - yx - 4
  3. Se folosește comutativitatea adunării numerelor reale, adică y+x=x+y\displaystyle y+x=x+y, precum și comutativitatea înmulțirii, adică yx=xy\displaystyle yx=xy, pentru a rescrie expresia obținută.
    y∘x=2(x+y)−xy−4\displaystyle y \circ x = 2(x+y) - xy - 4
  4. Se observă că expresia obținută pentru y∘x\displaystyle y\circ x coincide cu expresia lui x∘y\displaystyle x\circ y, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, deci legea de compoziție este comutativă.
    =2(x+y)−xy−4=x∘y, pentru orice numere \displaystyle = 2(x+y) - xy - 4 = x \circ y\text{, pentru orice numere }reale x și y, deci legea este \displaystyle \text{reale }x\text{ și }y\text{, deci legea este }comutativa˘\displaystyle \text{comutativă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2(x+y)−xy−4\displaystyle x \circ y = 2(x+y) - xy - 4.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care n∘n≥n−2\displaystyle n \circ n \geq n - 2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=n\displaystyle x=n și y=n\displaystyle y=n în x∘y=2(x+y)−xy−4\displaystyle x \circ y = 2(x+y) - xy - 4 și obținem n∘n=2(n+n)−n⋅n−4\displaystyle n \circ n = 2(n+n) - n \cdot n - 4.
    n∘n=2(n+n)−n⋅n−4\displaystyle n \circ n = 2(n+n) - n\cdot n - 4
  2. Avem 2(n+n)=4n\displaystyle 2(n+n)=4n și n⋅n=n2\displaystyle n\cdot n=n^{2}, deci expresia devine o funcție de gradul al doilea în n\displaystyle n.
    n∘n=4n−n2−4\displaystyle n \circ n = 4n - n^{2} - 4
  3. Inegalitatea n∘n≥n−2\displaystyle n \circ n \geq n-2 devine 4n−n2−4≥n−2\displaystyle 4n-n^{2}-4 \geq n-2.
    4n−n2−4≥n−2\displaystyle 4n - n^{2} - 4 \geq n - 2
  4. Scădem n−2\displaystyle n-2 din ambii membri: 4n−n2−4−n+2≥0\displaystyle 4n-n^{2}-4-n+2 \geq 0, adică −n2+3n−2≥0\displaystyle -n^{2}+3n-2 \geq 0.
    −n2+3n−2≥0\displaystyle -n^{2} + 3n - 2 \geq 0
  5. Înmulțind cu −1\displaystyle -1, obținem n2−3n+2≤0\displaystyle n^{2}-3n+2 \leq 0. Ecuația n2−3n+2=0\displaystyle n^{2}-3n+2=0 are Δ=9−8=1\displaystyle \Delta=9-8=1, deci rădăcinile n1=1\displaystyle n_{1}=1 și n2=2\displaystyle n_{2}=2.
    n2−3n+2≤0⇔(n−1)(n−2)≤0\displaystyle n^{2} - 3n + 2 \leq 0 \Leftrightarrow (n-1)(n-2) \leq 0
  6. Cum coeficientul lui n2\displaystyle n^{2} este pozitiv, produsul (n−1)(n−2)\displaystyle (n-1)(n-2) este ≤0\displaystyle \leq 0 pentru n∈[1,2]\displaystyle n \in [1,2]. Numerele naturale din acest interval sunt 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2.
    n∈[1,2]∩N⇒n=1 și n=2\displaystyle n \in [1,2]\cap\mathbb{N} \Rightarrow n = 1\text{ și }n = 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x−1x2\displaystyle f(x) = \dfrac{2x - 1}{x^2}.

Arătați că f′(x)=2(1−x)x3\displaystyle f'(x) = \dfrac{2(1-x)}{x^3}, x∈(0,+∞)\displaystyle x \in (0, +\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm funcțiile u\displaystyle u și v\displaystyle v din scrierea f(x)=u(x)v(x)\displaystyle f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, precum și derivatele acestora, pentru a aplica regula de derivare a câtului.
    u(x)=2x−1\displaystyle u(x)=2x-1, v(x)=x2\displaystyle \ v(x)=x^2, u′(x)=2\displaystyle \ u'(x)=2, v′(x)=2x\displaystyle \ v'(x)=2x
  2. Aplicăm formula de derivare a câtului, f′(x)=u′v−uv′v2\displaystyle f'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}, și înlocuim expresiile lui u\displaystyle u, v\displaystyle v, u′\displaystyle u', v′\displaystyle v'.
    f′(x)=(2x−1)′⋅x2−(2x−1)⋅(x2)′x4=2x2−2x(2x−1)x4\displaystyle f'(x) = \dfrac{(2x-1)' \cdot x^2 - (2x-1) \cdot (x^2)'}{x^4} = \dfrac{2x^2 - 2x(2x-1)}{x^4}
  3. Desfacem paranteza de la numărător și reducem termenii asemenea, pentru a obține o formă mai simplă a numărătorului.
    2x2−2x(2x−1)=2x2−4x2+2x=−2x2+2x\displaystyle 2x^2 - 2x(2x-1) = 2x^2 - 4x^2 + 2x = -2x^2 + 2x
  4. Scriem derivata cu numărătorul simplificat, apoi dăm factor comun și simplificăm fracția cu x\displaystyle x, obținând forma finală a derivatei, valabilă pentru x\displaystyle x din domeniul de definiție.
    f′(x)=−2x2+2xx4=2(1−x)x3, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x) = \dfrac{-2x^2 + 2x}{x^4} = \dfrac{2(1-x)}{x^3}\text{, }x \in (0, +\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x−1x2\displaystyle f(x) = \dfrac{2x - 1}{x^2}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x = 1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează valoarea funcției în punctul x=1\displaystyle x = 1, prin înlocuire directă în expresia lui f\displaystyle f.
    f(1)=2⋅1−112=11=1\displaystyle f(1) = \dfrac{2\cdot 1 - 1}{1^2} = \dfrac{1}{1} = 1
  2. Se scrie f(x)\displaystyle f(x) ca sumă de puteri ale lui x\displaystyle x, pentru a deriva mai ușor: f(x)=2x−1−x−2\displaystyle f(x) = 2x^{-1} - x^{-2}.
    f(x)=2x−1x2=2xx2−1x2=2x−1x2=2x−1−x−2\displaystyle f(x) = \dfrac{2x-1}{x^2} = \dfrac{2x}{x^2} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2} = 2x^{-1} - x^{-2}
  3. Se derivează funcția f\displaystyle f folosind regulile de derivare pentru puteri.
    f′(x)=−2x2+2x3=−2x+2x3=2(1−x)x3\displaystyle f'(x) = -\dfrac{2}{x^2} + \dfrac{2}{x^3} = \dfrac{-2x+2}{x^3} = \dfrac{2(1-x)}{x^3}
  4. Se calculează derivata în punctul x=1\displaystyle x = 1, prin înlocuire directă în expresia lui f′\displaystyle f'.
    f′(1)=2(1−1)13=01=0\displaystyle f'(1) = \dfrac{2(1-1)}{1^3} = \dfrac{0}{1} = 0
  5. Se centralizează cele două valori obținute, necesare pentru scrierea ecuației tangentei.
    f(1)=1\displaystyle f(1) = 1, f′(1)=0\displaystyle \ f'(1) = 0
  6. Se aplică formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x = 1: y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y - f(1) = f'(1)(x - 1).
    y−1=0⋅(x−1)\displaystyle y - 1 = 0\cdot(x-1)
  7. Se simplifică ecuația obținută, rezultând ecuația tangentei la grafic.
    y−f(1)=f′(1)(x−1), adica˘ y=1\displaystyle y - f(1) = f'(1)(x-1)\text{, adică }y = 1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x−1x2\displaystyle f(x) = \dfrac{2x - 1}{x^2}.

Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția sub formă convenabilă pentru derivare, separând fracția: f(x)=2x−1x2\displaystyle f(x) = \dfrac{2x-1}{x^{2}}.
    f(x)=2x−1x2=2x−1x2\displaystyle f(x) = \dfrac{2x-1}{x^2} = \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2}
  2. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f, folosind regula de derivare a câtului (sau derivând termen cu termen forma echivalentă).
    f′(x)=2⋅x2−(2x−1)⋅2xx4\displaystyle f'(x) = \dfrac{2 \cdot x^2 - (2x-1)\cdot 2x}{x^4}
  3. Se simplifică expresia obținută pentru derivată.
    f′(x)=2x2−4x2+2xx4=2x−2x2x4=2x(1−x)x4=2(1−x)x3\displaystyle f'(x) = \dfrac{2x^2 - 4x^2 + 2x}{x^4} = \dfrac{2x - 2x^2}{x^4} = \dfrac{2x(1-x)}{x^4} = \dfrac{2(1-x)}{x^3}
  4. Se observă că, pentru x\displaystyle x din domeniul de definiție (0,+∞)\displaystyle (0, +\infty), numitorul x3\displaystyle x^{3} este strict pozitiv, deci semnul derivatei este dat de semnul factorului (1−x)\displaystyle (1-x). Se rezolvă ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 și se stabilește semnul pe intervalul (0,1]\displaystyle (0,1].
    f′(x)=0⇔x=1; f′(x)≥0, pentru orice x∈(0,1]⇒f este cresca˘toare pe (0,1]\displaystyle f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1;\ f'(x) \geq 0\text{, pentru orice }x \in (0,1] \Rightarrow f\text{ este crescătoare pe }(0,1]
  5. Se stabilește semnul derivatei pe intervalul [1,+∞)\displaystyle [1, +\infty), unde factorul (1−x)\displaystyle (1-x) devine negativ sau nul, și se trage concluzia privind monotonia funcției pe acest interval.
    f′(x)≤0, pentru orice x∈[1,+∞)⇒f este descresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle f'(x) \leq 0\text{, pentru orice }x \in [1, +\infty) \Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }[1, +\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1x2+x+1\displaystyle f(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}.

Arătați că ∫01(x2+x+1)f(x) dx=2\displaystyle \displaystyle\int_0^1 (x^2 + x + 1) f(x)\, dx = 2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie integrala care trebuie calculată, folosind expresia funcției f(x)\displaystyle f(x) înmulțită cu x2+x+1\displaystyle x^{2}+x+1.
    ∫01(x2+x+1) f(x) dx=∫01(x2+x+1)⋅2x+1x2+x+1 dx\displaystyle \int_0^1 (x^2+x+1)\,f(x)\,dx = \int_0^1 (x^2+x+1)\cdot\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}\,dx
  2. Se observă că x2+x+1>0\displaystyle x^{2}+x+1 > 0 pentru orice x\displaystyle x real (discriminant negativ), deci se poate simplifica fracția prin x2+x+1\displaystyle x^{2}+x+1, obținând integrandul simplificat.
    (x2+x+1)⋅2x+1x2+x+1=2x+1\displaystyle (x^2+x+1)\cdot\dfrac{2x+1}{x^2+x+1} = 2x+1
  3. Se determină o primitivă a funcției 2x+1\displaystyle 2x+1, folosind regulile de integrare pentru polinoame.
    ∫(2x+1) dx=x2+x+C\displaystyle \int (2x+1)\,dx = x^2+x+C
  4. Se rescrie integrala simplificată și se aplică primitiva găsită, obținând expresia evaluată între limitele de integrare, conform pasului de control din barem.
    ∫01(x2+x+1) f(x) dx=∫01(2x+1) dx=(x2+x)∣01\displaystyle \int_0^1 (x^2+x+1)\,f(x)\,dx = \int_0^1 (2x+1)\,dx = (x^2+x)\Big|_0^1
  5. Se aplică formula Leibniz-Newton, calculând valoarea primitivei în capătul superior (x=1\displaystyle x=1) și în cel inferior (x=0\displaystyle x=0), apoi se face diferența pentru a obține rezultatul final.
    (12+1)−(02+0)=1+1−0−0=2\displaystyle (1^2+1) - (0^2+0) = 1+1-0-0 = 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1x2+x+1\displaystyle f(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}.

Arătați că ∫01f(x) dx=ln⁡3\displaystyle \displaystyle\int_0^1 f(x)\, dx = \ln 3.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata numitorului, pentru a observa legătura cu numărătorul.
    (x2+x+1)′=2x+1\displaystyle (x^2+x+1)'=2x+1
  2. Se observă că numărătorul funcției este exact derivata numitorului, deci integrandul are forma f′f\displaystyle \dfrac{f'}{f}.
    f(x)=2x+1x2+x+1=(x2+x+1)′x2+x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}=\dfrac{(x^2+x+1)'}{x^2+x+1}
  3. Se scrie integrala definită folosind această observație.
    ∫01f(x) dx=∫01(x2+x+1)′x2+x+1 dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 \dfrac{(x^2+x+1)'}{x^2+x+1}\,dx
  4. Se aplică formula de integrare pentru forma f′f\displaystyle \dfrac{f'}{f}, care are ca primitivă ln⁡∣f(x)∣\displaystyle \ln|f(x)|, iar cum x2+x+1>0\displaystyle x^{2}+x+1>0 pentru orice x\displaystyle x real, se poate renunța la modul.
    ∫01(x2+x+1)′x2+x+1 dx=ln⁡(x2+x+1)∣01\displaystyle \int_0^1 \dfrac{(x^2+x+1)'}{x^2+x+1}\,dx=\ln(x^2+x+1)\Big|_0^1
  5. Se calculează valorile funcției ln⁡(x2+x+1)\displaystyle \ln(x^{2}+x+1) la capetele intervalului, înlocuind x=1\displaystyle x=1 și x=0\displaystyle x=0.
    ln⁡(12+1+1)−ln⁡(02+0+1)=ln⁡3−ln⁡1\displaystyle \ln(1^2+1+1)-\ln(0^2+0+1)=\ln 3-\ln 1
  6. Se simplifică expresia, folosind faptul că ln⁡1=0\displaystyle \ln 1 = 0, obținând rezultatul final al integralei.
    ln⁡3−ln⁡1=ln⁡3\displaystyle \ln 3-\ln 1=\ln 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1x2+x+1\displaystyle f(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}.

Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:R→R\displaystyle g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=ex(x2+x+1)f(x)\displaystyle g(x) = e^x(x^2 + x + 1) f(x), axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x = 0 și x=1\displaystyle x = 1 are aria egală cu e+1\displaystyle e + 1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției g\displaystyle g, obținută prin înmulțirea lui f(x)\displaystyle f(x) cu factorul (x2+x+1)ex\displaystyle (x^{2}+x+1)e^{x}, așa cum cere enunțul.
    g(x)=(x2+x+1)ex⋅f(x)=(x2+x+1)ex⋅2x+1x2+x+1\displaystyle g(x) = (x^2+x+1)e^x\cdot f(x) = (x^2+x+1)e^x\cdot\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}
  2. Se simplifică fracția prin (x2+x+1)\displaystyle (x^{2}+x+1) (care nu se anulează pe R\displaystyle \mathbb{R}, discriminantul fiind negativ), obținând forma redusă a lui g\displaystyle g. Deoarece pe [0,1]\displaystyle [0,1] avem g(x)≥0\displaystyle g(x) \geq 0, aria dintre grafic și axa Ox\displaystyle Ox se scrie ca integrala lui g\displaystyle g, iar pentru calcul se aplică integrarea prin părți, alegând u=2x+1\displaystyle u = 2x+1 (deci du=2dx\displaystyle du = 2dx) și dv=exdx\displaystyle dv = e^{x} dx (deci v=ex\displaystyle v = e^{x}).
    g(x)=ex(2x+1), x∈R, deci A=∫01∣g(x)∣ dx=∫01ex(2x+1) dx=ex(2x+1)∣01−∫012ex dx\displaystyle g(x) = e^x(2x+1)\text{, }x \in \mathbb{R}\text{, deci }\mathcal{A} = \int_0^1 |g(x)|\, dx = \int_0^1 e^x(2x+1)\, dx = e^x(2x+1)\Big|_0^1 - \int_0^1 2e^x\, dx
  3. Se calculează separat integrala rămasă, o primitivă simplă a lui 2ex\displaystyle 2e^{x}.
    ∫012ex dx=2ex∣01\displaystyle \int_0^1 2e^x\, dx = 2e^x\Big|_0^1
  4. Se evaluează fiecare termen la limitele de integrare: pentru x=1\displaystyle x=1 și x=0\displaystyle x=0.
    ex(2x+1)∣01=e1(2⋅1+1)−e0(2⋅0+1)=3e−1, iar 2ex∣01=2e−2\displaystyle e^x(2x+1)\Big|_0^1 = e^1(2\cdot 1+1) - e^0(2\cdot 0+1) = 3e - 1\text{, iar }2e^x\Big|_0^1 = 2e - 2
  5. Se înlocuiesc valorile obținute și se face diferența pentru a găsi aria finală.
    =ex(2x+1)∣01−2ex∣01=3e−1−2e+2=e+1\displaystyle = e^x(2x+1)\Big|_0^1 - 2e^x\Big|_0^1 = 3e - 1 - 2e + 2 = e + 1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.