Bac matematică M3 tehnologic 2021, sesiunea I rezervă varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 13⋅(1−25)+45=1\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\left(1-\frac{2}{5}\right)+\frac{4}{5}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm paranteza: aducem 1\displaystyle 1 la numitorul 5\displaystyle 5, adică 1=55\displaystyle 1=\dfrac{5}{5}, și scădem fracțiile.
    1−25=55−25=35\displaystyle 1-\frac{2}{5}=\frac{5}{5}-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}
  2. Înlocuim rezultatul parantezei în expresia inițială.
    13⋅35+45\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{5}+\frac{4}{5}
  3. Efectuăm înmulțirea: înmulțim numărătorii și numitorii, apoi simplificăm cu 3\displaystyle 3.
    13⋅35=315=15\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{5}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}
  4. Adunăm fracțiile care au același numitor și obținem 1\displaystyle 1, deci egalitatea este demonstrată.
    15+45=55=1\displaystyle \frac{1}{5}+\frac{4}{5}=\frac{5}{5}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1\displaystyle f(x)=2x-1. Arătați că f(1)⋅f(3)=5\displaystyle f(1)\cdot f(3)=5.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în formula funcției: f(1)=2⋅1−1=2−1=1\displaystyle f(1)=2\cdot 1-1=2-1=1.
    f(1)=2⋅1−1=1\displaystyle f(1)=2\cdot 1-1=1
  2. Calculăm f(3)\displaystyle f(3) înlocuind x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în formula funcției: f(3)=2⋅3−1=6−1=5\displaystyle f(3)=2\cdot 3-1=6-1=5.
    f(3)=2⋅3−1=5\displaystyle f(3)=2\cdot 3-1=5
  3. Înmulțim cele două valori obținute: f(1)⋅f(3)=1⋅5=5\displaystyle f(1)\cdot f(3)=1\cdot 5=5, deci egalitatea cerută este adevărată.
    f(1)⋅f(3)=1⋅5=5\displaystyle f(1)\cdot f(3)=1\cdot 5=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x−6=2\displaystyle \sqrt{5x-6}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a radicalului: expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă sau nulă, adică 5x−6≥0\displaystyle 5x-6\ge 0, deci x≥65\displaystyle x\ge \dfrac{6}{5}.
    x≥65\displaystyle x\ge \dfrac{6}{5}
  2. Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației: (5x−6)2=22\displaystyle \left(\sqrt{5x-6}\right)^{2}=2^{2}. Obținem 5x−6=4\displaystyle 5x-6=4.
    5x−6=22⇒5x−6=4\displaystyle 5x-6=2^{2}\Rightarrow 5x-6=4
  3. Rezolvăm ecuația de gradul I: adunăm 6 în ambii membri și obținem 5x=10\displaystyle 5x=10, apoi împărțim la 5 și obținem x=2\displaystyle x=2.
    5x=10⇒x=2\displaystyle 5x=10\Rightarrow x=2
  4. Verificăm soluția. Pentru x=2\displaystyle x=2 avem 5⋅2−6=4=2\displaystyle \sqrt{5\cdot 2-6}=\sqrt{4}=2, deci egalitatea este adevărată. De asemenea, 2≥65\displaystyle 2\ge \dfrac{6}{5}, deci soluția convine.
    x=2, care convine\displaystyle x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 25\displaystyle 25.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10, 11, \ldots, 99, deci sunt 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90 numere. Acesta este numărul cazurilor posibile.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  3. Multiplii lui 25\displaystyle 25 cu două cifre sunt 25\displaystyle 25, 50\displaystyle 50, 75\displaystyle 75, pentru că 100\displaystyle 100 are trei cifre. Avem 3\displaystyle 3 cazuri favorabile.
    25\displaystyle 25, 50\displaystyle \ 50, 75, deci 3 cazuri favorabile\displaystyle \ 75\text{, deci }3\text{ cazuri favorabile}
  4. Împărțim numărul cazurilor favorabile la numărul cazurilor posibile: p=390\displaystyle p=\dfrac{3}{90}, iar prin simplificare cu 3\displaystyle 3 obținem 130\displaystyle \dfrac{1}{30}.
    p=390=130\displaystyle p=\frac{3}{90}=\frac{1}{30}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(4,0)\displaystyle A(4,0), B(0,2)\displaystyle B(0,2) și C(0,−2)\displaystyle C(0,-2). Determinați distanța de la punctul A\displaystyle A la mijlocul segmentului BC\displaystyle BC.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu M\displaystyle M mijlocul segmentului BC\displaystyle BC. Coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor: xM=xB+xC2=0+02\displaystyle x_M=\dfrac{x_B+x_C}{2}=\dfrac{0+0}{2} și yM=yB+yC2=2+(−2)2\displaystyle y_M=\dfrac{y_B+y_C}{2}=\dfrac{2+(-2)}{2}.
    xM=0\displaystyle x_M=0, yM=0\displaystyle \ y_M=0
  2. Deci mijlocul segmentului BC\displaystyle BC este originea reperului, punctul M=O(0,0)\displaystyle M=O(0,0).
    M=O(0,0)\displaystyle M=O(0,0)
  3. Distanța cerută este AO\displaystyle AO. Folosim formula distanței dintre două puncte: AO=(xA−xO)2+(yA−yO)2=(4−0)2+(0−0)2\displaystyle AO=\sqrt{(x_A-x_O)^{2}+(y_A-y_O)^{2}}=\sqrt{(4-0)^{2}+(0-0)^{2}}.
    AO=42+02=16\displaystyle AO=\sqrt{4^{2}+0^{2}}=\sqrt{16}
  4. Calculăm radicalul: 16=4\displaystyle \sqrt{16}=4. Deci distanța de la A\displaystyle A la mijlocul segmentului BC\displaystyle BC este 4\displaystyle 4.
    AO=4\displaystyle AO=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) astfel încât cos⁡x=14\displaystyle \cos x=\frac{1}{4}. Arătați că sin⁡x=154\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{15}}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem identitatea fundamentală a trigonometriei, valabilă pentru orice x\displaystyle x real: sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2} x+\cos^{2} x=1.
    sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2} x+\cos^{2} x=1
  2. Înlocuim cos⁡x=14\displaystyle \cos x=\dfrac{1}{4} și obținem sin⁡2x+(14)2=1\displaystyle \sin^{2} x+\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}=1.
    sin⁡2x+(14)2=1\displaystyle \sin^{2} x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=1
  3. Calculăm (14)2=116\displaystyle \left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}=\dfrac{1}{16}, apoi izolăm termenul cu sinus: sin⁡2x=1−116=1516\displaystyle \sin^{2} x=1-\dfrac{1}{16}=\dfrac{15}{16}.
    sin⁡2x=1−116=1516\displaystyle \sin^{2} x=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}
  4. Din sin⁡2x=1516\displaystyle \sin^{2} x=\dfrac{15}{16} rezultă sin⁡x=±1516=±154\displaystyle \sin x=\pm\sqrt{\dfrac{15}{16}}=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{4}.
    sin⁡x=±154\displaystyle \sin x=\pm\frac{\sqrt{15}}{4}
  5. Deoarece x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), adică x\displaystyle x se află în primul cadran, avem sin⁡x>0\displaystyle \sin x>0. Rămâne doar valoarea pozitivă, deci sin⁡x=154\displaystyle \sin x=\dfrac{\sqrt{15}}{4}.
    sin⁡x=154\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{15}}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(4−321)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4 & -3\\ 2 & 1\end{pmatrix} și B(x)=(x1−1x)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x & 1\\ -1 & x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=10\displaystyle \det A=10.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A: det⁡A=∣4−321∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}4 & -3\\ 2 & 1\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣4−321∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}4 & -3\\ 2 & 1\end{vmatrix}
  2. Un determinant de ordin 2 este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Diagonala principală are elementele 4\displaystyle 4 și 1\displaystyle 1, iar cea secundară are elementele −3\displaystyle -3 și 2\displaystyle 2. Obținem det⁡A=4⋅1−(−3)⋅2\displaystyle \det A=4\cdot 1-(-3)\cdot 2.
    det⁡A=4⋅1−(−3)⋅2\displaystyle \det A=4\cdot 1-(-3)\cdot 2
  3. Calculăm produsele: 4⋅1=4\displaystyle 4\cdot 1=4, iar (−3)⋅2=−6\displaystyle (-3)\cdot 2=-6. Scăderea lui −6\displaystyle -6 înseamnă adunarea lui 6\displaystyle 6, deci det⁡A=4−(−6)=4+6\displaystyle \det A=4-(-6)=4+6.
    det⁡A=4−(−6)=4+6\displaystyle \det A=4-(-6)=4+6
  4. Adunăm și obținem det⁡A=4+6=10\displaystyle \det A=4+6=10, adică exact ce trebuia arătat.
    det⁡A=4+6=10\displaystyle \det A=4+6=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(4−321)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4 & -3\\ 2 & 1\end{pmatrix} și B(x)=(x1−1x)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x & 1\\ -1 & x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că 2B(5)+B(−1)=3B(3)\displaystyle 2B(5)+B(-1)=3B(3).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=5\displaystyle x=5 în matricea B(x)\displaystyle B(x) și obținem B(5)\displaystyle B(5).
    B(5)=(51−15)\displaystyle B(5)=\begin{pmatrix}5 & 1\\ -1 & 5\end{pmatrix}
  2. Înlocuim x=−1\displaystyle x=-1 în matricea B(x)\displaystyle B(x) și obținem B(−1)\displaystyle B(-1).
    B(−1)=(−11−1−1)\displaystyle B(-1)=\begin{pmatrix}-1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}
  3. Înmulțim matricea B(5)\displaystyle B(5) cu 2\displaystyle 2, adică înmulțim fiecare element cu 2\displaystyle 2.
    2B(5)=(102−210)\displaystyle 2B(5)=\begin{pmatrix}10 & 2\\ -2 & 10\end{pmatrix}
  4. Adunăm 2B(5)\displaystyle 2B(5) cu B(−1)\displaystyle B(-1), element cu element.
    2B(5)+B(−1)=(10−12+1−2−110−1)=(93−39)\displaystyle 2B(5)+B(-1)=\begin{pmatrix}10-1 & 2+1\\ -2-1 & 10-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9 & 3\\ -3 & 9\end{pmatrix}
  5. Calculăm B(3)=(31−13)\displaystyle B(3)=\begin{pmatrix}3 & 1\\ -1 & 3\end{pmatrix} și apoi 3B(3)\displaystyle 3B(3), înmulțind fiecare element cu 3\displaystyle 3. Obținem aceeași matrice ca la membrul stâng, deci egalitatea este demonstrată.
    3B(3)=3(31−13)=(93−39)=2B(5)+B(−1)\displaystyle 3B(3)=3\begin{pmatrix}3 & 1\\ -1 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9 & 3\\ -3 & 9\end{pmatrix}=2B(5)+B(-1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(4−321)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4 & -3\\ 2 & 1\end{pmatrix} și B(x)=(x1−1x)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x & 1\\ -1 & x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul întreg x\displaystyle x pentru care det⁡(A⋅B(x)−B(4x))=0\displaystyle \det(A\cdot B(x)-B(4x))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B(x)\displaystyle A\cdot B(x), înmulțind linie cu coloană: prima linie este (4x+3, 4−3x)\displaystyle (4x+3,\ 4-3x), iar a doua este (2x−1, 2+x)\displaystyle (2x-1,\ 2+x).
    A⋅B(x)=(4x+34−3x2x−1x+2)\displaystyle A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}4x+3 & 4-3x\\ 2x-1 & x+2\end{pmatrix}
  2. Scriem B(4x)=(4x1−14x)\displaystyle B(4x)=\begin{pmatrix}4x & 1\\ -1 & 4x\end{pmatrix} și scădem element cu element din A⋅B(x)\displaystyle A\cdot B(x).
    A⋅B(x)−B(4x)=(33−3x2x2−3x)\displaystyle A\cdot B(x)-B(4x)=\begin{pmatrix}3 & 3-3x\\ 2x & 2-3x\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul: 3(2−3x)−(3−3x)⋅2x=6−9x−6x+6x2\displaystyle 3(2-3x)-(3-3x)\cdot 2x=6-9x-6x+6x^{2}.
    det⁡(A⋅B(x)−B(4x))=6x2−15x+6\displaystyle \det(A\cdot B(x)-B(4x))=6x^{2}-15x+6
  4. Din 6x2−15x+6=0\displaystyle 6x^{2}-15x+6=0, împărțind la 3, obținem 2x2−5x+2=0\displaystyle 2x^{2}-5x+2=0. Discriminantul este Δ=25−16=9\displaystyle \Delta=25-16=9, deci x=5±34\displaystyle x=\dfrac{5\pm 3}{4}.
    x1=2\displaystyle x_1=2,x2=12\displaystyle \quad x_2=\dfrac{1}{2}
  5. Cum x\displaystyle x este număr întreg, iar 12\displaystyle \dfrac{1}{2} nu este întreg, rămâne doar soluția x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x(y−2)+y(x−2)\displaystyle x*y=x(y-2)+y(x-2).

Arătați că 2∗4=4\displaystyle 2*4=4.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție pentru x=2\displaystyle x=2 și y=4\displaystyle y=4: înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 și y\displaystyle y cu 4\displaystyle 4 în formula x∗y=x(y−2)+y(x−2)\displaystyle x*y=x(y-2)+y(x-2).
    2∗4=2(4−2)+4(2−2)\displaystyle 2*4=2(4-2)+4(2-2)
  2. Calculăm parantezele: 4−2=2\displaystyle 4-2=2 și 2−2=0\displaystyle 2-2=0, deci obținem produsele 2⋅2\displaystyle 2\cdot 2 și 4⋅0\displaystyle 4\cdot 0.
    2∗4=2⋅2+4⋅0\displaystyle 2*4=2\cdot 2+4\cdot 0
  3. Efectuăm înmulțirile: 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4, iar 4⋅0=0\displaystyle 4\cdot 0=0. Adunăm și obținem 4\displaystyle 4, deci egalitatea cerută este adevărată.
    4+0=4, deci 2∗4=4\displaystyle 4+0=4\text{, deci }2*4=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x(y−2)+y(x−2)\displaystyle x*y=x(y-2)+y(x-2).

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗x=0\displaystyle x*x=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem x∗x\displaystyle x*x folosind definiția legii, cu y=x\displaystyle y=x: x∗x=x(x−2)+x(x−2)\displaystyle x*x=x(x-2)+x(x-2).
    x∗x=x(x−2)+x(x−2)\displaystyle x*x=x(x-2)+x(x-2)
  2. Cei doi termeni sunt egali, deci îi adunăm: x∗x=2x(x−2)\displaystyle x*x=2x(x-2).
    x∗x=2x(x−2)\displaystyle x*x=2x(x-2)
  3. Impunem condiția x∗x=0\displaystyle x*x=0, deci obținem ecuația 2x(x−2)=0\displaystyle 2x(x-2)=0. Un produs este nul dacă cel puțin un factor este nul.
    2x(x−2)=0\displaystyle 2x(x-2)=0
  4. Egalăm fiecare factor care depinde de x\displaystyle x cu zero: x=0\displaystyle x=0 sau x−2=0\displaystyle x-2=0, adică x=2\displaystyle x=2. Factorul 2\displaystyle 2 este nenul. Soluțiile sunt 0\displaystyle 0 și 2\displaystyle 2.
    x=0 sau x=2\displaystyle x=0\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x(y−2)+y(x−2)\displaystyle x*y=x(y-2)+y(x-2).

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care (x∗1)∗(x+1)=4\displaystyle (x*1)*(x+1)=4.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii pentru y=1\displaystyle y=1: x∗1=x(1−2)+1⋅(x−2)\displaystyle x*1=x(1-2)+1\cdot(x-2). Desfacem parantezele și reducem termenii: −x+x−2\displaystyle -x+x-2.
    x∗1=−x+x−2=−2\displaystyle x*1=-x+x-2=-2
  2. Rezultatul x∗1=−2\displaystyle x*1=-2 nu depinde de x\displaystyle x, deci (x∗1)∗(x+1)=(−2)∗(x+1)\displaystyle (x*1)*(x+1)=(-2)*(x+1). Aplicăm definiția: (−2)∗(x+1)=−2 (x+1−2)+(x+1)(−2−2)\displaystyle (-2)*(x+1)=-2\,(x+1-2)+(x+1)(-2-2).
    (−2)∗(x+1)=−2(x−1)+(x+1)⋅(−4)\displaystyle (-2)*(x+1)=-2(x-1)+(x+1)\cdot(-4)
  3. Desfacem parantezele: −2x+2−4x−4\displaystyle -2x+2-4x-4. Reducem termenii asemenea și obținem expresia lui (x∗1)∗(x+1)\displaystyle (x*1)*(x+1).
    (x∗1)∗(x+1)=−2x+2−4x−4=−6x−2\displaystyle (x*1)*(x+1)=-2x+2-4x-4=-6x-2
  4. Egalăm expresia cu 4: −6x−2=4\displaystyle -6x-2=4. Trecem pe -2 în dreapta: −6x=6\displaystyle -6x=6, deci x=−1\displaystyle x=-1.
    −6x−2=4⇒−6x=6⇒x=−1\displaystyle -6x-2=4\Rightarrow -6x=6\Rightarrow x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=22x2+1\displaystyle f(x)=\frac{2}{2x^2+1}.

Arătați că f′(x)=−8x(2x2+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{-8x}{(2x^2+1)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât f(x)=u(x)v(x)\displaystyle f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, cu u(x)=2\displaystyle u(x)=2 și v(x)=2x2+1\displaystyle v(x)=2x^2+1. Folosim regula de derivare a câtului: (uv)′=u′⋅v−u⋅v′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}.
    f′(x)=2′⋅(2x2+1)−2⋅(2x2+1)′(2x2+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{2'\cdot(2x^2+1)-2\cdot(2x^2+1)'}{(2x^2+1)^2}
  2. Calculăm derivatele: 2′=0\displaystyle 2'=0, iar (2x2+1)′=2⋅2x+0=4x\displaystyle (2x^2+1)'=2\cdot 2x+0=4x.
    2′=0, (2x2+1)′=4x\displaystyle 2'=0\text{, }(2x^2+1)'=4x
  3. Înlocuim în formulă: primul termen de la numărător este 0⋅(2x2+1)=0\displaystyle 0\cdot(2x^2+1)=0, deci rămâne doar −2⋅4x\displaystyle -2\cdot 4x.
    f′(x)=0−2⋅4x(2x2+1)2=−2⋅4x(2x2+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{0-2\cdot 4x}{(2x^2+1)^2}=\frac{-2\cdot 4x}{(2x^2+1)^2}
  4. Efectuăm înmulțirea −2⋅4x=−8x\displaystyle -2\cdot 4x=-8x și obținem expresia cerută, valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deoarece 2x2+1>0\displaystyle 2x^2+1>0.
    f′(x)=−8x(2x2+1)2, x∈R\displaystyle f'(x)=\frac{-8x}{(2x^2+1)^2}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=22x2+1\displaystyle f(x)=\frac{2}{2x^2+1}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația tangentei la graficul lui f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0 este y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0).
    y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)
  2. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în f(x)=22x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{2}{2x^{2}+1} și obținem f(0)=22⋅0+1\displaystyle f(0)=\dfrac{2}{2\cdot 0+1}.
    f(0)=21=2\displaystyle f(0)=\dfrac{2}{1}=2
  3. Derivăm cu formula câtului (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, unde u=2\displaystyle u=2, u′=0\displaystyle u'=0, v=2x2+1\displaystyle v=2x^{2}+1, v′=4x\displaystyle v'=4x.
    f′(x)=0⋅(2x2+1)−2⋅4x(2x2+1)2=−8x(2x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{0\cdot(2x^{2}+1)-2\cdot 4x}{(2x^{2}+1)^{2}}=-\dfrac{8x}{(2x^{2}+1)^{2}}
  4. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în derivată: f′(0)=−8⋅0(2⋅0+1)2\displaystyle f'(0)=-\dfrac{8\cdot 0}{(2\cdot 0+1)^{2}}. Deci f(0)=2\displaystyle f(0)=2 și f′(0)=0\displaystyle f'(0)=0.
    f(0)=2\displaystyle f(0)=2, f′(0)=0\displaystyle \ f'(0)=0
  5. Înlocuim în formula tangentei: y−2=0⋅(x−0)\displaystyle y-2=0\cdot(x-0), adică y−2=0\displaystyle y-2=0. Tangenta este dreapta orizontală y=2\displaystyle y=2.
    y−f(0)=f′(0)(x−0), adica˘ y=2\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)\text{, adică }y=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=22x2+1\displaystyle f(x)=\frac{2}{2x^2+1}.

Arătați că lim⁡x→+∞(xf(x)ln⁡x)=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(xf(x)\ln x\right)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=22x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{2}{2x^{2}+1} în expresia xf(x)ln⁡x\displaystyle x f(x)\ln x și aducem limita la o singură fracție.
    lim⁡x→+∞(xf(x)ln⁡x)=lim⁡x→+∞2xln⁡x2x2+1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(xf(x)\ln x\right)=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x\ln x}{2x^{2}+1}
  2. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty avem 2xln⁡x→+∞\displaystyle 2x\ln x\to+\infty și 2x2+1→+∞\displaystyle 2x^{2}+1\to+\infty, deci avem nedeterminarea ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty} și putem aplica regula lui l'Hôpital.
    ∞∞\displaystyle \frac{\infty}{\infty}
  3. Derivăm numărătorul: (2xln⁡x)′=2ln⁡x+2x⋅1x=2ln⁡x+2\displaystyle (2x\ln x)'=2\ln x+2x\cdot\dfrac{1}{x}=2\ln x+2. Derivăm numitorul: (2x2+1)′=4x\displaystyle (2x^{2}+1)'=4x.
    lim⁡x→+∞2xln⁡x2x2+1=lim⁡x→+∞2ln⁡x+24x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2x\ln x}{2x^{2}+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln x+2}{4x}
  4. Simplificăm prin 2: 2ln⁡x+24x=ln⁡x+12x\displaystyle \dfrac{2\ln x+2}{4x}=\dfrac{\ln x+1}{2x}. Limita este tot de tipul ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}, deci derivăm din nou: (ln⁡x+1)′=1x\displaystyle (\ln x+1)'=\dfrac{1}{x} și (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2.
    lim⁡x→+∞ln⁡x+12x=lim⁡x→+∞1x2=lim⁡x→+∞12x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x+1}{2x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2x}
  5. Deoarece 2x→+∞\displaystyle 2x\to+\infty, avem 12x→0\displaystyle \dfrac{1}{2x}\to 0. Deci lim⁡x→+∞(xf(x)ln⁡x)=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(xf(x)\ln x\right)=0.
    lim⁡x→+∞12x=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2x}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+6x+1\displaystyle f(x)=x^3+6x+1.

Arătați că ∫12(f(x)−x3−1)dx=9\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-x^3-1\right)dx=9.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim expresia lui f(x)\displaystyle f(x) în integrand: f(x)−x3−1=x3+6x+1−x3−1\displaystyle f(x)-x^{3}-1=x^{3}+6x+1-x^{3}-1.
    f(x)−x3−1=x3+6x+1−x3−1\displaystyle f(x)-x^{3}-1=x^{3}+6x+1-x^{3}-1
  2. Reducem termenii asemenea: x3\displaystyle x^{3} se anulează cu −x3\displaystyle -x^{3}, iar 1\displaystyle 1 se anulează cu −1\displaystyle -1. Rămâne 6x\displaystyle 6x.
    f(x)−x3−1=6x\displaystyle f(x)-x^{3}-1=6x
  3. Integrala devine ∫126x dx\displaystyle \int_1^2 6x\,dx. O primitivă a lui 6x\displaystyle 6x este 3x2\displaystyle 3x^{2}, deoarece (3x2)′=6x\displaystyle (3x^{2})'=6x. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫126x dx=3x2∣12\displaystyle \int_1^2 6x\,dx=3x^{2}\Big|_1^2
  4. Calculăm valorile primitivei în capetele intervalului: în 2\displaystyle 2 obținem 3⋅22=12\displaystyle 3\cdot 2^{2}=12, iar în 1\displaystyle 1 obținem 3⋅12=3\displaystyle 3\cdot 1^{2}=3. Scădem și obținem 9\displaystyle 9, deci egalitatea cerută este adevărată.
    3⋅22−3⋅12=12−3=9\displaystyle 3\cdot 2^{2}-3\cdot 1^{2}=12-3=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+6x+1\displaystyle f(x)=x^3+6x+1.

Arătați că ∫01x2f(x)−6xdx=13ln⁡2\displaystyle \int_0^1\frac{x^2}{f(x)-6x}dx=\frac{1}{3}\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) în numitor: f(x)−6x=x3+6x+1−6x\displaystyle f(x)-6x=x^3+6x+1-6x, adică x3+1\displaystyle x^3+1.
    f(x)−6x=x3+1\displaystyle f(x)-6x=x^3+1
  2. Integrala devine ∫01x2x3+1dx\displaystyle \int_0^1\dfrac{x^2}{x^3+1}dx. Numitorul nu se anulează pe [0,1]\displaystyle [0,1], deoarece x3+1≥1>0\displaystyle x^3+1\geq 1>0.
    ∫01x2x3+1dx\displaystyle \int_0^1\frac{x^2}{x^3+1}dx
  3. Derivata numitorului este (x3+1)′=3x2\displaystyle (x^3+1)'=3x^2, deci x2=13(x3+1)′\displaystyle x^2=\dfrac{1}{3}(x^3+1)'. Scoatem factorul 13\displaystyle \dfrac{1}{3} în fața integralei.
    ∫01x2x3+1dx=13∫01(x3+1)′x3+1dx\displaystyle \int_0^1\frac{x^2}{x^3+1}dx=\frac{1}{3}\int_0^1\frac{(x^3+1)'}{x^3+1}dx
  4. Primitiva lui u′u\displaystyle \dfrac{u'}{u} este ln⁡u\displaystyle \ln u (aici u=x3+1>0\displaystyle u=x^3+1>0), deci integrala este 13ln⁡(x3+1)\displaystyle \dfrac{1}{3}\ln(x^3+1), evaluată între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    13ln⁡(x3+1)∣01\displaystyle \frac{1}{3}\ln(x^3+1)\Big|_0^1
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: pentru x=1\displaystyle x=1 obținem ln⁡2\displaystyle \ln 2, iar pentru x=0\displaystyle x=0 obținem ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0. Rezultă 13ln⁡2\displaystyle \dfrac{1}{3}\ln 2, ceea ce trebuia arătat.
    13ln⁡2−13ln⁡1=13ln⁡2\displaystyle \frac{1}{3}\ln 2-\frac{1}{3}\ln 1=\frac{1}{3}\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+6x+1\displaystyle f(x)=x^3+6x+1.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care ∫01f(x)dx=a35\displaystyle \int_0^1 f(\sqrt{x})dx=\frac{a^3}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu x\displaystyle \sqrt{x} în f(x)=x3+6x+1\displaystyle f(x)=x^3+6x+1. Avem (x)3=xx\displaystyle (\sqrt{x})^3=x\sqrt{x}, deci f(x)=xx+6x+1\displaystyle f(\sqrt{x})=x\sqrt{x}+6\sqrt{x}+1.
    f(x)=xx+6x+1\displaystyle f(\sqrt{x})=x\sqrt{x}+6\sqrt{x}+1
  2. Scriem radicalii ca puteri: xx=x32\displaystyle x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}} și x=x12\displaystyle \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}. Integrala devine ∫01(x32+6x12+1)dx\displaystyle \int_0^1\left(x^{\frac{3}{2}}+6x^{\frac{1}{2}}+1\right)dx.
    ∫01(x32+6x12+1)dx\displaystyle \int_0^1\left(x^{\frac{3}{2}}+6x^{\frac{1}{2}}+1\right)dx
  3. Folosim ∫xndx=xn+1n+1\displaystyle \int x^n dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Primitiva lui x32\displaystyle x^{\frac{3}{2}} este 2x2x5\displaystyle \dfrac{2x^2\sqrt{x}}{5}, a lui 6x12\displaystyle 6x^{\frac{1}{2}} este 6⋅2xx3\displaystyle 6\cdot\dfrac{2x\sqrt{x}}{3}, iar a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x.
    (2x2x5+6⋅2xx3+x)∣01\displaystyle \left(\frac{2x^2\sqrt{x}}{5}+6\cdot\frac{2x\sqrt{x}}{3}+x\right)\Big|_0^1
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton. În 0\displaystyle 0 toți termenii sunt nuli, iar în 1\displaystyle 1 obținem 25+4+1=275\displaystyle \dfrac{2}{5}+4+1=\dfrac{27}{5}.
    ∫01f(x)dx=25+4+1=275\displaystyle \int_0^1 f(\sqrt{x})dx=\frac{2}{5}+4+1=\frac{27}{5}
  5. Egalăm cu expresia dată: a35=275\displaystyle \dfrac{a^3}{5}=\dfrac{27}{5}. Înmulțim cu 5\displaystyle 5 și obținem a3=27\displaystyle a^3=27, deci a=3\displaystyle a=3.
    a35=275, de unde a=3\displaystyle \frac{a^3}{5}=\frac{27}{5}\text{, de unde }a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.