Bac matematică M3 tehnologic 2019, sesiunea I varianta 06: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 7(7+1)−7=7\displaystyle \sqrt{7}\left(\sqrt{7}+1\right)-\sqrt{7}=7.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la membrul stâng 7(7+1)−7\displaystyle \sqrt{7}\left(\sqrt{7}+1\right)-\sqrt{7} și distribuim factorul 7\displaystyle \sqrt{7} în paranteză: 7⋅7+7⋅1\displaystyle \sqrt{7}\cdot\sqrt{7}+\sqrt{7}\cdot 1.
    7(7+1)−7=7⋅7+7−7\displaystyle \sqrt{7}\left(\sqrt{7}+1\right)-\sqrt{7}=\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}+\sqrt{7}-\sqrt{7}
  2. Calculăm 7⋅7=(7)2=7\displaystyle \sqrt{7}\cdot\sqrt{7}=\left(\sqrt{7}\right)^{2}=7.
    7⋅7=7\displaystyle \sqrt{7}\cdot\sqrt{7}=7
  3. Termenii 7\displaystyle \sqrt{7} și −7\displaystyle -\sqrt{7} sunt opuși, deci se reduc: 7−7=0\displaystyle \sqrt{7}-\sqrt{7}=0. Obținem 7+0=7\displaystyle 7+0=7, adică exact membrul drept al egalității.
    7+0=7\displaystyle 7+0=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−6x+8\displaystyle f(x)=x^2-6x+8. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției f\displaystyle f cu axa Oy\displaystyle Oy.
Vezi rezolvarea
  1. Orice punct de pe axa Oy\displaystyle Oy are abscisa x=0\displaystyle x=0. Deci punctul de intersecție este (0,f(0))\displaystyle (0, f(0)) și trebuie să calculăm f(0)\displaystyle f(0).
    x=0\displaystyle x=0,y=f(0)\displaystyle \quad y=f(0)
  2. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în f(x)=x2−6x+8\displaystyle f(x)=x^2-6x+8 și obținem f(0)=02−6⋅0+8\displaystyle f(0)=0^2-6\cdot 0+8.
    f(0)=02−6⋅0+8=8\displaystyle f(0)=0^{2}-6\cdot 0+8=8
  3. Punctul de intersecție al graficului cu axa Oy\displaystyle Oy are abscisa 0\displaystyle 0 și ordonata f(0)=8\displaystyle f(0)=8, adică este punctul (0,8)\displaystyle (0,8).
    x=0 și y=8\displaystyle x=0\text{ și }y=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(x2+9)=2\displaystyle \log_5\left(x^2+9\right)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că argumentul logaritmului, x2+9\displaystyle x^{2}+9, este strict pozitiv pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deoarece x2≥0\displaystyle x^{2}\ge 0. Deci ecuația este definită pe toată mulțimea numerelor reale.
    x2+9>0\displaystyle x^{2}+9>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Trecem de la forma logaritmică la cea exponențială: log⁡5A=2\displaystyle \log_5 A=2 înseamnă A=52\displaystyle A=5^{2}. Aici A=x2+9\displaystyle A=x^{2}+9, deci x2+9=52=25\displaystyle x^{2}+9=5^{2}=25.
    x2+9=52=25\displaystyle x^{2}+9=5^{2}=25
  3. Scădem 25 din ambii membri și obținem ecuația incompletă x2+9−25=0\displaystyle x^{2}+9-25=0, adică x2−16=0\displaystyle x^{2}-16=0.
    x2−16=0\displaystyle x^{2}-16=0
  4. Scriem x2=16\displaystyle x^{2}=16, de unde x=±4\displaystyle x=\pm 4, adică x=−4\displaystyle x=-4 sau x=4\displaystyle x=4. Echivalent, x2−16=(x−4)(x+4)=0\displaystyle x^{2}-16=(x-4)(x+4)=0.
    x2=16⇒x=−4 sau x=4\displaystyle x^{2}=16\Rightarrow x=-4\text{ sau }x=4
  5. Ambele valori convin, deoarece ecuația este definită pentru orice x\displaystyle x real. Verificare: pentru x=±4\displaystyle x=\pm 4 avem x2+9=25\displaystyle x^{2}+9=25, iar log⁡525=2\displaystyle \log_5 25=2.
    x=−4 sau x=4, care convin\displaystyle x=-4\text{ sau }x=4\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o ieftinire cu 40%\displaystyle 40\%, prețul unui obiect este 300\displaystyle 300 de lei. Calculați prețul obiectului înainte de ieftinire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul obiectului înainte de ieftinire, în lei. Ieftinirea cu 40%\displaystyle 40\% înseamnă scăderea a 40100⋅x\displaystyle \dfrac{40}{100}\cdot x din x\displaystyle x.
    x−40100⋅x\displaystyle x-\dfrac{40}{100}\cdot x
  2. Prețul după ieftinire este 300\displaystyle 300 de lei, deci scriem ecuația: x−40100⋅x=300\displaystyle x-\dfrac{40}{100}\cdot x=300.
    x−40100⋅x=300\displaystyle x-\dfrac{40}{100}\cdot x=300
  3. Scoatem x\displaystyle x factor comun: x(1−40100)=300\displaystyle x\left(1-\dfrac{40}{100}\right)=300, adică 60100⋅x=300\displaystyle \dfrac{60}{100}\cdot x=300.
    60100⋅x=300\displaystyle \dfrac{60}{100}\cdot x=300
  4. Împărțim 300\displaystyle 300 la 60100\displaystyle \dfrac{60}{100}, adică înmulțim cu 10060\displaystyle \dfrac{100}{60}: x=300⋅10060=500\displaystyle x=300\cdot\dfrac{100}{60}=500. Prețul inițial a fost de 500\displaystyle 500 de lei.
    x=500 de lei\displaystyle x=500\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,2)\displaystyle A(3,2), B(−3,2)\displaystyle B(-3,2) și C(0,6)\displaystyle C(0,6). Determinați, în triunghiul ABC\displaystyle ABC, lungimea medianei din vârful C\displaystyle C.
Vezi rezolvarea
  1. Mediana din vârful C\displaystyle C unește punctul C\displaystyle C cu mijlocul M\displaystyle M al laturii AB\displaystyle AB. Calculăm coordonatele lui M\displaystyle M ca medii ale coordonatelor capetelor A\displaystyle A și B\displaystyle B: xM=3+(−3)2\displaystyle x_M=\dfrac{3+(-3)}{2} și yM=2+22\displaystyle y_M=\dfrac{2+2}{2}.
    xM=3−32=0\displaystyle x_M=\dfrac{3-3}{2}=0,yM=2+22=2\displaystyle \quad y_M=\dfrac{2+2}{2}=2
  2. Rezultă că mijlocul laturii AB\displaystyle AB este punctul M(0,2)\displaystyle M(0,2).
    M(0,2)\displaystyle M(0,2)
  3. Lungimea medianei este distanța CM\displaystyle CM. Aplicăm formula distanței dintre două puncte, cu C(0,6)\displaystyle C(0,6) și M(0,2)\displaystyle M(0,2): CM=(xC−xM)2+(yC−yM)2\displaystyle CM=\sqrt{(x_C-x_M)^{2}+(y_C-y_M)^{2}}.
    CM=(0−0)2+(6−2)2=0+16\displaystyle CM=\sqrt{(0-0)^{2}+(6-2)^{2}}=\sqrt{0+16}
  4. Calculăm radicalul: 16=4\displaystyle \sqrt{16}=4. Deci lungimea medianei din C\displaystyle C este 4\displaystyle 4.
    CM=4\displaystyle CM=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 32⋅sin⁡60∘−22⋅sin⁡45∘=14\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sin 60^\circ-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sin 45^\circ=\frac{1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem valorile cunoscute ale sinusurilor: sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} și sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡45∘=22\displaystyle \ \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}
  2. Înlocuim aceste valori în expresia dată: 32⋅sin⁡60∘−22⋅sin⁡45∘\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sin 60^\circ-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sin 45^\circ.
    32⋅32−22⋅22\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. Efectuăm înmulțirile: (3)2=3\displaystyle \left(\sqrt{3}\right)^{2}=3, (2)2=2\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^{2}=2, iar numitorii dau 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4.
    34−24\displaystyle \frac{3}{4}-\frac{2}{4}
  4. Scădem fracțiile care au același numitor: 3−24=14\displaystyle \dfrac{3-2}{4}=\dfrac{1}{4}, adică exact valoarea cerută.
    34−24=14\displaystyle \frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(6−103−5)\displaystyle A=\begin{pmatrix}6&-10\\3&-5\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=I2+aA\displaystyle M(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A: det⁡A=∣6−103−5∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}6&-10\\3&-5\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣6−103−5∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}6&-10\\3&-5\end{vmatrix}
  2. Aplicăm definiția determinantului de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică det⁡A=6⋅(−5)−3⋅(−10)\displaystyle \det A=6\cdot(-5)-3\cdot(-10).
    det⁡A=6⋅(−5)−3⋅(−10)\displaystyle \det A=6\cdot(-5)-3\cdot(-10)
  3. Efectuăm înmulțirile: 6⋅(−5)=−30\displaystyle 6\cdot(-5)=-30 și 3⋅(−10)=−30\displaystyle 3\cdot(-10)=-30, deci scăderea lui −30\displaystyle -30 revine la adunarea lui 30\displaystyle 30. Obținem −30+30=0\displaystyle -30+30=0, deci det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
    det⁡A=−30+30=0\displaystyle \det A=-30+30=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(6−103−5)\displaystyle A=\begin{pmatrix}6&-10\\3&-5\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=I2+aA\displaystyle M(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că M(a)⋅M(b)=M(a+b+ab)\displaystyle M(a)\cdot M(b)=M(a+b+ab), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind matricea A\displaystyle A cu ea însăși, linie cu coloană: A⋅A=(6−103−5)(6−103−5)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}6&-10\\3&-5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6&-10\\3&-5\end{pmatrix}.
    A⋅A=(6⋅6+(−10)⋅36⋅(−10)+(−10)⋅(−5)3⋅6+(−5)⋅33⋅(−10)+(−5)⋅(−5))\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}6\cdot 6+(-10)\cdot 3&6\cdot(-10)+(-10)\cdot(-5)\\3\cdot 6+(-5)\cdot 3&3\cdot(-10)+(-5)\cdot(-5)\end{pmatrix}
  2. Efectuăm calculele: 36−30=6\displaystyle 36-30=6, −60+50=−10\displaystyle -60+50=-10, 18−15=3\displaystyle 18-15=3, −30+25=−5\displaystyle -30+25=-5. Deci A⋅A=A\displaystyle A\cdot A=A.
    A⋅A=(6−103−5)=A\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}6&-10\\3&-5\end{pmatrix}=A
  3. Scriem M(a)⋅M(b)=(I2+aA)(I2+bA)\displaystyle M(a)\cdot M(b)=(I_2+aA)(I_2+bA) și desfacem parantezele. Folosim I2⋅I2=I2\displaystyle I_2\cdot I_2=I_2, I2⋅A=A⋅I2=A\displaystyle I_2\cdot A=A\cdot I_2=A și (aA)(bA)=ab A⋅A\displaystyle (aA)(bA)=ab\,A\cdot A.
    M(a)⋅M(b)=I2+aA+bA+abA⋅A\displaystyle M(a)\cdot M(b)=I_2+aA+bA+abA\cdot A
  4. Înlocuim A⋅A=A\displaystyle A\cdot A=A în expresia obținută.
    M(a)⋅M(b)=I2+aA+bA+abA\displaystyle M(a)\cdot M(b)=I_2+aA+bA+abA
  5. Dăm factor comun pe A\displaystyle A: aA+bA+abA=(a+b+ab)A\displaystyle aA+bA+abA=(a+b+ab)A. Rezultă I2+(a+b+ab)A=M(a+b+ab)\displaystyle I_2+(a+b+ab)A=M(a+b+ab), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    I2+(a+b+ab)A=M(a+b+ab), pentru orice numere \displaystyle I_2+(a+b+ab)A=M(a+b+ab)\text{, pentru orice numere }reale a și b\displaystyle \text{reale }a\text{ și }b
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(6−103−5)\displaystyle A=\begin{pmatrix}6&-10\\3&-5\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=I2+aA\displaystyle M(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care M(1)+M(2)+…+M(2019)=2019M(a)\displaystyle M(1)+M(2)+\ldots+M(2019)=2019M(a).
Vezi rezolvarea
  1. Folosim M(k)=I2+kA\displaystyle M(k)=I_2+kA pentru fiecare k\displaystyle k de la 1\displaystyle 1 la 2019\displaystyle 2019 și scriem suma: M(1)+M(2)+…+M(2019)=(I2+A)+(I2+2A)+…+(I2+2019A)\displaystyle M(1)+M(2)+\ldots+M(2019)=(I_2+A)+(I_2+2A)+\ldots+(I_2+2019A).
    (I2+A)+(I2+2A)+…+(I2+2019A)\displaystyle (I_2+A)+(I_2+2A)+\ldots+(I_2+2019A)
  2. Grupăm termenii: I2\displaystyle I_2 apare de 2019\displaystyle 2019 ori, iar A\displaystyle A apare înmulțită cu suma 1+2+…+2019\displaystyle 1+2+\ldots+2019.
    2019I2+(1+2+…+2019)A\displaystyle 2019I_2+(1+2+\ldots+2019)A
  3. Aplicăm formula 1+2+…+n=n(n+1)2\displaystyle 1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} pentru n=2019\displaystyle n=2019.
    1+2+…+2019=2019⋅20202=2019⋅1010\displaystyle 1+2+\ldots+2019=\dfrac{2019\cdot 2020}{2}=2019\cdot 1010
  4. Înlocuim suma și dăm factor comun 2019\displaystyle 2019: 2019I2+2019⋅1010A=2019(I2+1010A)\displaystyle 2019I_2+2019\cdot 1010A=2019(I_2+1010A). Recunoaștem I2+1010A=M(1010)\displaystyle I_2+1010A=M(1010).
    2019(I2+1010A)=2019M(1010)\displaystyle 2019(I_2+1010A)=2019M(1010)
  5. Din 2019M(1010)=2019M(a)\displaystyle 2019M(1010)=2019M(a) rezultă a=1010\displaystyle a=1010.
    a=1010\displaystyle a=1010
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=mX3+2X2−mX−2\displaystyle f=mX^3+2X^2-mX-2, unde m\displaystyle m este număr real nenul.

Arătați că f(1)=0\displaystyle f(1)=0, pentru orice număr real nenul m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în expresia polinomului f=mX3+2X2−mX−2\displaystyle f=mX^3+2X^2-mX-2.
    f(1)=m⋅13+2⋅12−m⋅1−2\displaystyle f(1)=m\cdot1^3+2\cdot1^2-m\cdot1-2
  2. Calculăm puterile lui 1\displaystyle 1: 13=1\displaystyle 1^3=1 și 12=1\displaystyle 1^2=1, apoi efectuăm înmulțirile cu m\displaystyle m și cu 2\displaystyle 2.
    f(1)=m+2−m−2\displaystyle f(1)=m+2-m-2
  3. Reducem termenii asemenea: m−m=0\displaystyle m-m=0 și 2−2=0\displaystyle 2-2=0. Rezultatul nu depinde de m\displaystyle m, deci egalitatea este adevărată pentru orice număr real nenul m\displaystyle m.
    f(1)=m+2−m−2=0, pentru orice numa˘r real \displaystyle f(1)=m+2-m-2=0\text{, pentru orice număr real }nenul m\displaystyle \text{nenul }m
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=mX3+2X2−mX−2\displaystyle f=mX^3+2X^2-mX-2, unde m\displaystyle m este număr real nenul.

Pentru m=3\displaystyle m=3, determinați rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=3\displaystyle m=3 polinomul devine f=3X3+2X2−3X−2\displaystyle f=3X^3+2X^2-3X-2.
    f=3X3+2X2−3X−2\displaystyle f=3X^3+2X^2-3X-2
  2. Grupăm termenii: f=(3X3−3X)+(2X2−2)\displaystyle f=(3X^3-3X)+(2X^2-2), apoi dăm factor comun: f=3X(X2−1)+2(X2−1)\displaystyle f=3X(X^2-1)+2(X^2-1).
    f=3X(X2−1)+2(X2−1)\displaystyle f=3X(X^2-1)+2(X^2-1)
  3. Dăm factor comun pe X2−1\displaystyle X^2-1 și obținem f=(X2−1)(3X+2)\displaystyle f=(X^2-1)(3X+2). Cum X2−1=(X−1)(X+1)\displaystyle X^2-1=(X-1)(X+1), rezultă descompunerea completă.
    f=(X−1)(X+1)(3X+2)\displaystyle f=(X-1)(X+1)(3X+2)
  4. Egalăm fiecare factor cu zero: X−1=0\displaystyle X-1=0 dă x=1\displaystyle x=1, X+1=0\displaystyle X+1=0 dă x=−1\displaystyle x=-1, iar 3X+2=0\displaystyle 3X+2=0 dă x=−23\displaystyle x=-\dfrac{2}{3}.
    x1=−1\displaystyle x_1=-1, x2=−23\displaystyle \ x_2=-\frac{2}{3}, x3=1\displaystyle \ x_3=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=mX3+2X2−mX−2\displaystyle f=mX^3+2X^2-mX-2, unde m\displaystyle m este număr real nenul.

Determinați numărul real nenul m\displaystyle m pentru care 1x1+1x2+1x3=−4\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=-4, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții polinomului f=mX3+2X2−mX−2\displaystyle f=mX^3+2X^2-mX-2: a=m\displaystyle a=m, b=2\displaystyle b=2, c=−m\displaystyle c=-m, d=−2\displaystyle d=-2, cu m≠0\displaystyle m\neq 0, deci f\displaystyle f are gradul 3.
    a=m\displaystyle a=m, b=2\displaystyle \ b=2, c=−m\displaystyle \ c=-m, d=−2\displaystyle \ d=-2
  2. Relațiile lui Viète pentru gradul 3 sunt: x1x2+x1x3+x2x3=ca\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{c}{a} și x1x2x3=−da\displaystyle x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a}.
    x1x2+x1x3+x2x3=ca\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a},x1x2x3=−da\displaystyle \quad x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}
  3. Înlocuim coeficienții: x1x2+x1x3+x2x3=−mm=−1\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{-m}{m}=-1 și x1x2x3=−−2m=2m\displaystyle x_1x_2x_3=-\dfrac{-2}{m}=\dfrac{2}{m}.
    x1x2+x1x3+x2x3=−1\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-1,x1x2x3=2m\displaystyle \quad x_1x_2x_3=\frac{2}{m}
  4. Aducem la același numitor: 1x1+1x2+1x3=x1x2+x1x3+x2x3x1x2x3\displaystyle \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}{x_1x_2x_3}. Rădăcinile sunt nenule, deoarece x1x2x3=2m≠0\displaystyle x_1x_2x_3=\dfrac{2}{m}\neq 0.
    1x1+1x2+1x3=x1x2+x1x3+x2x3x1x2x3\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}{x_1x_2x_3}
  5. Înlocuim valorile din Viète: −12m=−1⋅m2=−m2\displaystyle \dfrac{-1}{\frac{2}{m}}=-1\cdot\dfrac{m}{2}=\dfrac{-m}{2}.
    −12m=−m2\displaystyle \frac{-1}{\frac{2}{m}}=\frac{-m}{2}
  6. Impunem condiția din enunț: −m2=−4\displaystyle \dfrac{-m}{2}=-4, de unde m=8\displaystyle m=8. Valoarea este nenulă, deci convine.
    −m2=−4⇔m=8\displaystyle \frac{-m}{2}=-4\Leftrightarrow m=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x+5\displaystyle f(x)=x^3-3x+5.

Arătați că f′(x)=3(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x+1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x3−3x+5\displaystyle f(x)=x^{3}-3x+5 este o sumă de termeni, deci o derivăm termen cu termen: (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}, (3x)′=3\displaystyle (3x)'=3, (5)′=0\displaystyle (5)'=0.
    (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}, (3x)′=3\displaystyle \ (3x)'=3, (5)′=0\displaystyle \ (5)'=0
  2. Adunăm derivatele termenilor: f′(x)=3x2−3+0\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3+0.
    f′(x)=3x2−3\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3
  3. Dăm factor comun pe 3\displaystyle 3: 3x2−3=3(x2−1)\displaystyle 3x^{2}-3=3\left(x^{2}-1\right).
    3x2−3=3(x2−1)\displaystyle 3x^{2}-3=3\left(x^{2}-1\right)
  4. Descompunem diferența de pătrate x2−1\displaystyle x^{2}-1 după formula a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b), cu a=x\displaystyle a=x și b=1\displaystyle b=1. Obținem forma cerută, valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    f′(x)=3(x2−1)=3(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=3\left(x^{2}-1\right)=3(x-1)(x+1), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x+5\displaystyle f(x)=x^3-3x+5.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este convexă pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta convexitatea, folosim derivata a doua. Calculăm mai întâi derivata întâi a funcției f(x)=x3−3x+5\displaystyle f(x)=x^3-3x+5, derivând termen cu termen: (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)'=3x^2, (−3x)′=−3\displaystyle (-3x)'=-3, (5)′=0\displaystyle (5)'=0.
    f′(x)=3x2−3\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  2. Derivăm încă o dată funcția f′(x)=3x2−3\displaystyle f'(x)=3x^2-3: (3x2)′=6x\displaystyle (3x^2)'=6x și (−3)′=0\displaystyle (-3)'=0.
    f′′(x)=6x\displaystyle f''(x)=6x, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  3. Studiem semnul lui f′′\displaystyle f'' pe intervalul [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty). Pentru x≥0\displaystyle x\geq 0 avem 6>0\displaystyle 6>0, deci produsul 6x\displaystyle 6x este nenegativ.
    f′′(x)=6x≥0\displaystyle f''(x)=6x\geq0, ∀x∈[0,+∞)\displaystyle \ \forall x\in[0,+\infty)
  4. Deoarece f′′(x)≥0\displaystyle f''(x)\geq 0 pentru orice x∈[0,+∞)\displaystyle x\in[0,+\infty), funcția f\displaystyle f este convexă pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty).
    f′′(x)≥0, pentru orice x∈[0,+∞), deci funcția f este convexa˘ pe [0,+∞)\displaystyle f''(x)\geq0\text{, pentru orice }x\in[0,+\infty)\text{, deci funcția }f\text{ este convexă pe }[0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x+5\displaystyle f(x)=x^3-3x+5.

Demonstrați că f(x)≤7\displaystyle f(x)\leq7, pentru orice x∈(−∞,1]\displaystyle x\in(-\infty,1].
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției: f′(x)=(x3−3x+5)′=3x2−3\displaystyle f'(x)=(x^3-3x+5)'=3x^2-3.
    f′(x)=3x2−3\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3
  2. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0: 3x2−3=3(x−1)(x+1)\displaystyle 3x^2-3=3(x-1)(x+1), deci punctele critice sunt x=−1\displaystyle x=-1 și x=1\displaystyle x=1.
    f′(x)=3(x−1)(x+1)=0⇒x=−1 sau x=1\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x+1)=0\Rightarrow x=-1\text{ sau }x=1
  3. Studiem semnul derivatei pe (−∞,−1]\displaystyle (-\infty,-1]: pentru x≤−1\displaystyle x\leq-1 avem x−1<0\displaystyle x-1<0 și x+1≤0\displaystyle x+1\leq0, deci f′(x)=3(x−1)(x+1)≥0\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x+1)\geq0. Rezultă că f\displaystyle f este crescătoare pe (−∞,−1]\displaystyle (-\infty,-1].
    f′(x)≥0, pentru orice x∈(−∞,−1]⇒f cresca˘toare pe (−∞,−1]\displaystyle f'(x)\geq0\text{, pentru orice }x\in(-\infty,-1]\Rightarrow f\text{ crescătoare pe }(-\infty,-1]
  4. Studiem semnul derivatei pe [−1,1]\displaystyle [-1,1]: pentru x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1] avem x+1≥0\displaystyle x+1\geq0 și x−1≤0\displaystyle x-1\leq0, deci f′(x)=3(x−1)(x+1)≤0\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x+1)\leq0. Rezultă că f\displaystyle f este descrescătoare pe [−1,1]\displaystyle [-1,1].
    f′(x)≤0, pentru orice x∈[−1,1]⇒f descresca˘toare pe [−1,1]\displaystyle f'(x)\leq0\text{, pentru orice }x\in[-1,1]\Rightarrow f\text{ descrescătoare pe }[-1,1]
  5. Deoarece f\displaystyle f crește pe (−∞,−1]\displaystyle (-\infty,-1] și scade pe [−1,1]\displaystyle [-1,1], valoarea f(−1)\displaystyle f(-1) este cea mai mare de pe (−∞,1]\displaystyle (-\infty,1]. Deci f(x)≤f(−1)\displaystyle f(x)\leq f(-1) pentru orice x∈(−∞,1]\displaystyle x\in(-\infty,1].
    f(x)≤f(−1), pentru orice x∈(−∞,1]\displaystyle f(x)\leq f(-1)\text{, pentru orice }x\in(-\infty,1]
  6. Calculăm f(−1)=(−1)3−3⋅(−1)+5=−1+3+5=7\displaystyle f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)+5=-1+3+5=7. Prin urmare f(x)≤7\displaystyle f(x)\leq7, pentru orice x∈(−∞,1]\displaystyle x\in(-\infty,1].
    f(−1)=7, deci f(x)≤7, pentru orice x∈(−∞,1]\displaystyle f(-1)=7\text{, deci }f(x)\leq7\text{, pentru orice }x\in(-\infty,1]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+6x+7\displaystyle f(x)=\sqrt{3x^2+6x+7}.

Arătați că ∫01f2(x) dx=11\displaystyle \int_0^1 f^2(x)\,dx=11.
Vezi rezolvarea
  1. Ridicăm funcția la pătrat: f2(x)=(3x2+6x+7)2\displaystyle f^2(x)=\left(\sqrt{3x^2+6x+7}\right)^2. Expresia de sub radical este pozitivă pentru orice x\displaystyle x real, deci pătratul radicalului este chiar această expresie.
    f2(x)=3x2+6x+7\displaystyle f^2(x)=3x^2+6x+7
  2. Înlocuim f2(x)\displaystyle f^2(x) în integrală și obținem integrala unui polinom.
    ∫01f2(x) dx=∫01(3x2+6x+7)dx\displaystyle \int_0^1 f^2(x)\,dx=\int_0^1\left(3x^2+6x+7\right)dx
  3. Integrăm termen cu termen, cu formula ∫xn dx=xn+1n+1\displaystyle \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}, și evaluăm primitiva între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    (3x33+6x22+7x)∣01\displaystyle \left(\frac{3x^3}{3}+\frac{6x^2}{2}+7x\right)\Big|_0^1
  4. Simplificăm primitiva: 3x33=x3\displaystyle \dfrac{3x^3}{3}=x^3 și 6x22=3x2\displaystyle \dfrac{6x^2}{2}=3x^2.
    (x3+3x2+7x)∣01\displaystyle \left(x^3+3x^2+7x\right)\Big|_0^1
  5. Calculăm valoarea în 1\displaystyle 1 și în 0\displaystyle 0 și facem diferența. Valoarea în 0\displaystyle 0 este 0\displaystyle 0.
    (13+3⋅12+7⋅1)−0=1+3+7−0=11\displaystyle \left(1^3+3\cdot 1^2+7\cdot 1\right)-0=1+3+7-0=11
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+6x+7\displaystyle f(x)=\sqrt{3x^2+6x+7}.

Calculați ∫−11x+1f(x) dx\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{x+1}{f(x)}\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=3x2+6x+7\displaystyle f(x)=\sqrt{3x^2+6x+7} în integrală.
    ∫−11x+13x2+6x+7 dx\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{x+1}{\sqrt{3x^2+6x+7}}\,dx
  2. Derivata expresiei de sub radical este (3x2+6x+7)′=6x+6=6(x+1)\displaystyle (3x^2+6x+7)'=6x+6=6(x+1), deci numărătorul x+1\displaystyle x+1 este derivata împărțită la 6\displaystyle 6.
    x+1=16(3x2+6x+7)′\displaystyle x+1=\frac{1}{6}\left(3x^2+6x+7\right)'
  3. Avem (3x2+6x+7)′=6x+623x2+6x+7=3(x+1)3x2+6x+7\displaystyle \left(\sqrt{3x^2+6x+7}\right)'=\dfrac{6x+6}{2\sqrt{3x^2+6x+7}}=\dfrac{3(x+1)}{\sqrt{3x^2+6x+7}}. Deci o primitivă a funcției x+13x2+6x+7\displaystyle \dfrac{x+1}{\sqrt{3x^2+6x+7}} este 133x2+6x+7\displaystyle \dfrac{1}{3}\sqrt{3x^2+6x+7}.
    ∫−11x+13x2+6x+7 dx=133x2+6x+7∣−11\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{x+1}{\sqrt{3x^2+6x+7}}\,dx=\frac{1}{3}\sqrt{3x^2+6x+7}\Big|_{-1}^{1}
  4. Pentru x=1\displaystyle x=1: 3+6+7=16\displaystyle 3+6+7=16. Pentru x=−1\displaystyle x=-1: 3−6+7=4\displaystyle 3-6+7=4.
    16=4\displaystyle \sqrt{16}=4,4=2\displaystyle \quad \sqrt{4}=2
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: 13(16−4)=13(4−2)=23\displaystyle \dfrac{1}{3}\left(\sqrt{16}-\sqrt{4}\right)=\dfrac{1}{3}(4-2)=\dfrac{2}{3}.
    13(16−4)=23\displaystyle \frac{1}{3}\left(\sqrt{16}-\sqrt{4}\right)=\frac{2}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+6x+7\displaystyle f(x)=\sqrt{3x^2+6x+7}.

Demonstrați că, pentru orice a∈(0,+∞)\displaystyle a\in(0,+\infty), suprafața plană delimitată de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=a\displaystyle x=a are aria mai mare sau egală cu a7\displaystyle a\sqrt{7}.
Vezi rezolvarea
  1. Expresia de sub radical are discriminantul Δ=62−4⋅3⋅7=−48<0\displaystyle \Delta=6^2-4\cdot 3\cdot 7=-48<0 și coeficientul dominant 3>0\displaystyle 3>0, deci 3x2+6x+7>0\displaystyle 3x^2+6x+7>0 pentru orice x\displaystyle x. Prin urmare f(x)>0\displaystyle f(x)>0, iar aria este A=∫0a∣f(x)∣ dx=∫0af(x) dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^a|f(x)|\,dx=\int_0^a f(x)\,dx.
    A=∫0a3x2+6x+7 dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^a\sqrt{3x^2+6x+7}\,dx
  2. Scădem 7 din expresia de sub radical: 3x2+6x+7−7=3x(x+2)\displaystyle 3x^2+6x+7-7=3x(x+2). Pentru x∈[0,+∞)\displaystyle x\in[0,+\infty) avem x≥0\displaystyle x\geq 0 și x+2>0\displaystyle x+2>0, deci 3x(x+2)≥0\displaystyle 3x(x+2)\geq 0, adică 3x2+6x+7≥7\displaystyle 3x^2+6x+7\geq 7.
    3x2+6x+7≥7, pentru orice x∈[0,+∞)\displaystyle 3x^2+6x+7\geq 7\text{, pentru orice }x\in[0,+\infty)
  3. Funcția t↦t\displaystyle t\mapsto\sqrt{t} este crescătoare pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty), deci din 3x2+6x+7≥7\displaystyle 3x^2+6x+7\geq 7 rezultă 3x2+6x+7≥7\displaystyle \sqrt{3x^2+6x+7}\geq\sqrt{7}.
    3x2+6x+7≥7, pentru orice x∈[0,+∞)\displaystyle \sqrt{3x^2+6x+7}\geq\sqrt{7}\text{, pentru orice }x\in[0,+\infty)
  4. Pentru a>0\displaystyle a>0 intervalul [0,a]⊂[0,+∞)\displaystyle [0,a]\subset[0,+\infty), iar integrala păstrează inegalitățile. Integrăm inegalitatea de la pasul anterior pe [0,a]\displaystyle [0,a] și folosim ∫0a7 dx=7⋅x∣0a=a7\displaystyle \int_0^a\sqrt{7}\,dx=\sqrt{7}\cdot x\Big|_0^a=a\sqrt{7}.
    A=∫0a3x2+6x+7 dx≥∫0a7 dx=a7, pentru orice a∈(0,+∞)\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^a\sqrt{3x^2+6x+7}\,dx\geq\int_0^a\sqrt{7}\,dx=a\sqrt{7}\text{, pentru orice }a\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.