Bac matematică M3 tehnologic 2015, sesiunea I varianta 08: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (12+15)⋅207=2\displaystyle \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\right)\cdot\frac{20}{7}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a aduna fracțiile din paranteză, le aducem la același numitor. Cel mai mic multiplu comun al lui 2\displaystyle 2 și 5\displaystyle 5 este 10\displaystyle 10.
    numitor comun 10\displaystyle \text{numitor comun } 10
  2. Amplificăm prima fracție cu 5\displaystyle 5 și a doua cu 2\displaystyle 2, apoi adunăm numărătorii: 12+15=510+210\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{5}{10}+\dfrac{2}{10}.
    12+15=510+210=710\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{5}=\frac{5}{10}+\frac{2}{10}=\frac{7}{10}
  3. Înlocuim suma din paranteză cu 710\displaystyle \dfrac{7}{10} și înmulțim cu 207\displaystyle \dfrac{20}{7}: 710⋅207=7⋅2010⋅7\displaystyle \dfrac{7}{10}\cdot\dfrac{20}{7}=\dfrac{7\cdot 20}{10\cdot 7}.
    710⋅207=7⋅2010⋅7\displaystyle \frac{7}{10}\cdot\frac{20}{7}=\frac{7\cdot 20}{10\cdot 7}
  4. Simplificăm fracția cu 7\displaystyle 7 și apoi cu 10\displaystyle 10: rămâne 2010=2\displaystyle \dfrac{20}{10}=2. Deci egalitatea este adevărată.
    710⋅207=2010=2\displaystyle \frac{7}{10}\cdot\frac{20}{7}=\frac{20}{10}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctul A(a,0)\displaystyle A(a,0) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−2\displaystyle f(x)=x-2.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(a,0)\displaystyle A(a,0) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(a)=0\displaystyle f(a)=0, adică a doua coordonată a punctului este valoarea funcției în prima coordonată.
    f(a)=0\displaystyle f(a)=0
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle a în expresia funcției, f(a)=a−2\displaystyle f(a)=a-2, și egalăm cu 0\displaystyle 0.
    f(a)=0⇔a−2=0\displaystyle f(a)=0\Leftrightarrow a-2=0
  3. Rezolvăm ecuația liniară: adunăm 2\displaystyle 2 în ambii membri, deci a=2\displaystyle a=2. Punctul A(2,0)\displaystyle A(2,0) aparține graficului.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x+3=4\displaystyle \sqrt{x+3}=4.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condiția de existență a radicalului: expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă sau nulă, deci x+3≥0\displaystyle x+3\ge 0, adică x≥−3\displaystyle x\ge -3.
    x≥−3\displaystyle x\ge -3
  2. Ridicăm ambii membri ai ecuației la pătrat: (x+3)2=42\displaystyle \left(\sqrt{x+3}\right)^{2}=4^{2}. Radicalul și puterea a doua se anulează, iar 42=16\displaystyle 4^{2}=16, deci obținem x+3=16\displaystyle x+3=16.
    x+3=16\displaystyle x+3=16
  3. Rezolvăm ecuația liniară: scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri, deci x=16−3\displaystyle x=16-3, adică x=13\displaystyle x=13.
    x=13\displaystyle x=13
  4. Verificăm soluția: pentru x=13\displaystyle x=13 avem 13+3=16=4\displaystyle \sqrt{13+3}=\sqrt{16}=4, deci egalitatea este adevărată. De asemenea, 13≥−3\displaystyle 13\ge -3, deci soluția convine.
    x=13, care verifica˘ ecuația\displaystyle x=13\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={10,20,30,40,50,60,70,80,90}\displaystyle M=\{10,20,30,40,50,60,70,80,90\}, acesta să fie multiplu de 15\displaystyle 15.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm elementele mulțimii M\displaystyle M. Mulțimea are 9\displaystyle 9 elemente, deci sunt 9\displaystyle 9 cazuri posibile.
    9 cazuri posibile\displaystyle 9\text{ cazuri posibile}
  2. Un număr este multiplu de 15\displaystyle 15 dacă este multiplu de 3\displaystyle 3 și de 5\displaystyle 5. Toate numerele din M\displaystyle M se termină cu 0\displaystyle 0, deci sunt multipli de 5\displaystyle 5. Rămâne să verificăm care sunt multipli de 3\displaystyle 3, adică au suma cifrelor divizibilă cu 3\displaystyle 3.
    15=3⋅5\displaystyle 15=3\cdot 5
  3. Verificăm numerele: 30\displaystyle 30 are suma cifrelor 3\displaystyle 3, 60\displaystyle 60 are suma cifrelor 6\displaystyle 6, 90\displaystyle 90 are suma cifrelor 9\displaystyle 9, deci sunt multipli de 3\displaystyle 3. Celelalte numere (10,20,40,50,70,80\displaystyle 10,20,40,50,70,80) au suma cifrelor 1,2,4,5,7,8\displaystyle 1,2,4,5,7,8, deci nu sunt multipli de 3\displaystyle 3. Multiplii de 15\displaystyle 15 din M\displaystyle M sunt 30\displaystyle 30, 60\displaystyle 60 și 90\displaystyle 90, adică 3\displaystyle 3 cazuri favorabile.
    {30,60,90}, deci 3 cazuri favorabile\displaystyle \{30,60,90\}\text{, deci }3\text{ cazuri favorabile}
  4. Aplicăm formula probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, apoi simplificăm fracția prin 3\displaystyle 3.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=39=13\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(4,2)\displaystyle A(4,2) și B(4,6)\displaystyle B(4,6). Determinați coordonatele mijlocului segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu M\displaystyle M mijlocul segmentului AB\displaystyle AB. Coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor: xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yM=yA+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}, yM=yA+yB2\displaystyle \ y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  2. Calculăm abscisa mijlocului, înlocuind xA=4\displaystyle x_A=4 și xB=4\displaystyle x_B=4: xM=4+42=82=4\displaystyle x_M=\dfrac{4+4}{2}=\dfrac{8}{2}=4.
    xM=4+42=4\displaystyle x_M=\dfrac{4+4}{2}=4
  3. Calculăm ordonata mijlocului, înlocuind yA=2\displaystyle y_A=2 și yB=6\displaystyle y_B=6: yM=2+62=82=4\displaystyle y_M=\dfrac{2+6}{2}=\dfrac{8}{2}=4. Deci mijlocul segmentului este M(4,4)\displaystyle M(4,4).
    yM=2+62=4\displaystyle y_M=\dfrac{2+6}{2}=4, M(4,4)\displaystyle \ M(4,4)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡x=1213\displaystyle \sin x=\frac{12}{13}, știind că x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) și cos⁡x=513\displaystyle \cos x=\frac{5}{13}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim identitatea fundamentală a trigonometriei: sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1. De aici exprimăm sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x.
    sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x
  2. Înlocuim cos⁡x=513\displaystyle \cos x=\dfrac{5}{13} și ridicăm la pătrat: (513)2=25169\displaystyle \left(\dfrac{5}{13}\right)^{2}=\dfrac{25}{169}.
    sin⁡2x=1−(513)2=1−25169\displaystyle \sin^{2}x=1-\left(\frac{5}{13}\right)^{2}=1-\frac{25}{169}
  3. Aducem la același numitor: 1=169169\displaystyle 1=\dfrac{169}{169}, deci 169169−25169=144169\displaystyle \dfrac{169}{169}-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}.
    sin⁡2x=144169\displaystyle \sin^{2}x=\frac{144}{169}
  4. Deoarece x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), adică x este în primul cadran, avem sin⁡x>0\displaystyle \sin x>0. Deci sin⁡x=144169=1213\displaystyle \sin x=\sqrt{\dfrac{144}{169}}=\dfrac{12}{13}, ceea ce trebuia arătat.
    sin⁡x=144169=1213\displaystyle \sin x=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1234)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}, B=(4321)\displaystyle B=\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix} și C=(1111)\displaystyle C=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=−2\displaystyle \det A=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim formula determinantului de ordin 2: ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c
  2. Pentru matricea A\displaystyle A avem a=1\displaystyle a=1, b=2\displaystyle b=2, c=3\displaystyle c=3, d=4\displaystyle d=4. Înlocuim în formulă: 1⋅4−2⋅3\displaystyle 1\cdot 4-2\cdot 3.
    det⁡A=∣1234∣=1⋅4−2⋅3\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1\cdot4-2\cdot3
  3. Calculăm produsele: 1⋅4=4\displaystyle 1\cdot 4=4, iar 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6. Apoi scădem: 4−6=−2\displaystyle 4-6=-2, deci det⁡A=−2\displaystyle \det A=-2, așa cum trebuia arătat.
    det⁡A=4−6=−2\displaystyle \det A=4-6=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1234)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}, B=(4321)\displaystyle B=\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix} și C=(1111)\displaystyle C=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}.

Arătați că A+B=5C\displaystyle A+B=5C.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem suma A+B\displaystyle A+B cu matricele date, adică adunăm matricea A\displaystyle A cu matricea B\displaystyle B.
    A+B=(1234)+(4321)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}
  2. Adunăm element cu element, adică elementele aflate pe aceeași poziție: 1+4\displaystyle 1+4, 2+3\displaystyle 2+3, 3+2\displaystyle 3+2 și 4+1\displaystyle 4+1.
    (1+42+33+24+1)\displaystyle \begin{pmatrix}1+4&2+3\\3+2&4+1\end{pmatrix}
  3. Calculăm fiecare sumă: toate elementele matricei sunt egale cu 5\displaystyle 5.
    A+B=(5555)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}5&5\\5&5\end{pmatrix}
  4. Scoatem factorul 5\displaystyle 5 în fața matricei, deoarece fiecare element este 5\displaystyle 5 înmulțit cu 1\displaystyle 1. Obținem 5\displaystyle 5 înmulțit cu matricea C\displaystyle C, deci A+B=5C\displaystyle A+B=5C.
    A+B=5(1111)=5C\displaystyle A+B=5\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}=5C
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1234)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}, B=(4321)\displaystyle B=\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix} și C=(1111)\displaystyle C=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}.

Demonstrați că AB+BA+4I2=25C\displaystyle AB+BA+4I_2=25C, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul AB\displaystyle AB, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui B\displaystyle B: prima linie dă 1⋅4+2⋅2=8\displaystyle 1\cdot 4+2\cdot 2=8 și 1⋅3+2⋅1=5\displaystyle 1\cdot 3+2\cdot 1=5, a doua linie dă 3⋅4+4⋅2=20\displaystyle 3\cdot 4+4\cdot 2=20 și 3⋅3+4⋅1=13\displaystyle 3\cdot 3+4\cdot 1=13.
    AB=(852013)\displaystyle AB=\begin{pmatrix}8&5\\20&13\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul BA\displaystyle BA, înmulțind liniile lui B\displaystyle B cu coloanele lui A\displaystyle A: prima linie dă 4⋅1+3⋅3=13\displaystyle 4\cdot 1+3\cdot 3=13 și 4⋅2+3⋅4=20\displaystyle 4\cdot 2+3\cdot 4=20, a doua linie dă 2⋅1+1⋅3=5\displaystyle 2\cdot 1+1\cdot 3=5 și 2⋅2+1⋅4=8\displaystyle 2\cdot 2+1\cdot 4=8.
    BA=(132058)\displaystyle BA=\begin{pmatrix}13&20\\5&8\end{pmatrix}
  3. Calculăm 4I2\displaystyle 4I_2, înmulțind fiecare element al matricei unitate cu 4\displaystyle 4. Avem astfel toate cele trei matrice din sumă: AB\displaystyle AB, BA\displaystyle BA și 4I2\displaystyle 4I_2.
    AB=(852013)\displaystyle AB=\begin{pmatrix}8&5\\20&13\end{pmatrix}, BA=(132058)\displaystyle \ BA=\begin{pmatrix}13&20\\5&8\end{pmatrix}, 4I2=(4004)\displaystyle \ 4I_2=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}
  4. Adunăm cele trei matrice element cu element: 8+13+4=25\displaystyle 8+13+4=25, 5+20+0=25\displaystyle 5+20+0=25, 20+5+0=25\displaystyle 20+5+0=25, 13+8+4=25\displaystyle 13+8+4=25. Scoatem 25\displaystyle 25 factor comun și recunoaștem matricea C\displaystyle C, deci egalitatea este demonstrată.
    AB+BA+4I2=(25252525)=25(1111)=25C\displaystyle AB+BA+4I_2=\begin{pmatrix}25&25\\25&25\end{pmatrix}=25\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}=25C
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+4x+4y+12\displaystyle x\circ y=xy+4x+4y+12.

Arătați că 5∘(−4)=−4\displaystyle 5\circ(-4)=-4.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii de compoziție, x∘y=xy+4x+4y+12\displaystyle x\circ y=xy+4x+4y+12, și înlocuim x=5\displaystyle x=5 și y=−4\displaystyle y=-4.
    5∘(−4)=5⋅(−4)+4⋅5+4⋅(−4)+12\displaystyle 5\circ(-4)=5\cdot(-4)+4\cdot5+4\cdot(-4)+12
  2. Calculăm fiecare produs: 5⋅(−4)=−20\displaystyle 5\cdot(-4)=-20, 4⋅5=20\displaystyle 4\cdot5=20, iar 4⋅(−4)=−16\displaystyle 4\cdot(-4)=-16.
    5∘(−4)=−20+20−16+12\displaystyle 5\circ(-4)=-20+20-16+12
  3. Adunăm termenii: −20+20=0\displaystyle -20+20=0, apoi −16+12=−4\displaystyle -16+12=-4. Am obținut exact valoarea cerută.
    5∘(−4)=−20+20−16+12=−4\displaystyle 5\circ(-4)=-20+20-16+12=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+4x+4y+12\displaystyle x\circ y=xy+4x+4y+12.

Arătați că x∘y=(x+4)(y+4)−4\displaystyle x\circ y=(x+4)(y+4)-4, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∘y=xy+4x+4y+12\displaystyle x\circ y=xy+4x+4y+12, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∘y=xy+4x+4y+12\displaystyle x\circ y=xy+4x+4y+12
  2. Scriem termenul liber ca 12=16−4\displaystyle 12=16-4, deoarece 16=4⋅4\displaystyle 16=4\cdot 4 ne ajută să formăm produsul (x+4)(y+4)\displaystyle (x+4)(y+4).
    x∘y=xy+4x+4y+16−4\displaystyle x\circ y=xy+4x+4y+16-4
  3. Grupăm termenii: xy+4x=x(y+4)\displaystyle xy+4x=x(y+4) și 4y+16=4(y+4)\displaystyle 4y+16=4(y+4), deci apare factorul comun y+4\displaystyle y+4.
    x∘y=x(y+4)+4(y+4)−4\displaystyle x\circ y=x(y+4)+4(y+4)-4
  4. Dăm factor comun pe y+4\displaystyle y+4 și obținem forma cerută, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∘y=(x+4)(y+4)−4\displaystyle x\circ y=(x+4)(y+4)-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+4x+4y+12\displaystyle x\circ y=xy+4x+4y+12.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∘x=x\displaystyle x\circ x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x∘y=xy+4x+4y+12\displaystyle x\circ y=xy+4x+4y+12 se poate scrie sub forma (x+4)(y+4)−4\displaystyle (x+4)(y+4)-4, pentru că (x+4)(y+4)=xy+4x+4y+16\displaystyle (x+4)(y+4)=xy+4x+4y+16, iar scăzând 4\displaystyle 4 obținem exact xy+4x+4y+12\displaystyle xy+4x+4y+12.
    x∘y=(x+4)(y+4)−4\displaystyle x\circ y=(x+4)(y+4)-4
  2. Luăm y=x\displaystyle y=x în forma obținută și calculăm x∘x\displaystyle x\circ x.
    x∘x=(x+4)2−4\displaystyle x\circ x=(x+4)^2-4
  3. Înlocuim în ecuația x∘x=x\displaystyle x\circ x=x și mutăm totul în același membru: (x+4)2−4−x=0\displaystyle (x+4)^2-4-x=0. Dezvoltăm: x2+8x+16−4−x=0\displaystyle x^2+8x+16-4-x=0.
    x2+7x+12=0\displaystyle x^2+7x+12=0
  4. Descompunem trinomul în factori: căutăm două numere cu suma 7\displaystyle 7 și produsul 12\displaystyle 12, adică 3\displaystyle 3 și 4\displaystyle 4. Prin urmare ecuația devine (x+4)(x+3)=0\displaystyle (x+4)(x+3)=0.
    (x+4)(x+3)=0\displaystyle (x+4)(x+3)=0
  5. Un produs este nul când unul dintre factori este nul, deci x+4=0\displaystyle x+4=0 sau x+3=0\displaystyle x+3=0. Soluțiile sunt x1=−4\displaystyle x_1=-4 și x2=−3\displaystyle x_2=-3.
    x1=−4 și x2=−3\displaystyle x_1=-4\text{ și }x_2=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x3+3x2+5\displaystyle f(x)=2x^3+3x^2+5.

Arătați că f′(x)=6x(x+1)\displaystyle f'(x)=6x(x+1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=2x3+3x2+5\displaystyle f(x)=2x^3+3x^2+5 termen cu termen, deoarece derivata unei sume este suma derivatelor.
    f′(x)=(2x3)′+(3x2)′+5′\displaystyle f'(x)=\left(2x^3\right)'+\left(3x^2\right)'+5'
  2. Aplicăm formula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^n)'=n\cdot x^{n-1} și scoatem constantele în fața derivatei. Derivata constantei 5\displaystyle 5 este 0\displaystyle 0.
    (2x3)′=2⋅3x2=6x2\displaystyle \left(2x^3\right)'=2\cdot 3x^2=6x^2,(3x2)′=3⋅2x=6x\displaystyle \quad \left(3x^2\right)'=3\cdot 2x=6x,5′=0\displaystyle \quad 5'=0
  3. Adunăm rezultatele obținute pentru cei trei termeni.
    f′(x)=6x2+6x+0=6x2+6x\displaystyle f'(x)=6x^2+6x+0=6x^2+6x
  4. Dăm factor comun pe 6x\displaystyle 6x și obținem forma cerută, valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=6x2+6x=6x(x+1)\displaystyle f'(x)=6x^2+6x=6x(x+1), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x3+3x2+5\displaystyle f(x)=2x^3+3x^2+5.

Calculați lim⁡x→+∞f′(x)f(x)−2x3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{f(x)-2x^3}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f, derivând fiecare termen: derivata lui 2x3\displaystyle 2x^3 este 6x2\displaystyle 6x^2, derivata lui 3x2\displaystyle 3x^2 este 6x\displaystyle 6x, iar derivata constantei 5\displaystyle 5 este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=6x2+6x\displaystyle f'(x)=6x^{2}+6x
  2. Dăm factor comun pe 6x\displaystyle 6x în expresia derivatei.
    f′(x)=6x(x+1)\displaystyle f'(x)=6x(x+1)
  3. Simplificăm numitorul: scădem 2x3\displaystyle 2x^3 din f(x)\displaystyle f(x), iar termenii în x3\displaystyle x^3 se reduc.
    f(x)−2x3=3x2+5\displaystyle f(x)-2x^{3}=3x^{2}+5
  4. Înlocuim derivata și numitorul simplificat în limita dată.
    lim⁡x→+∞f′(x)f(x)−2x3=lim⁡x→+∞6x(x+1)3x2+5\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{f(x)-2x^{3}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{6x(x+1)}{3x^{2}+5}
  5. Desfacem parantezele la numărător, apoi împărțim numărătorul și numitorul la x2\displaystyle x^2, cea mai mare putere de la numitor.
    lim⁡x→+∞6x2+6x3x2+5=lim⁡x→+∞6+6x3+5x2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{6x^{2}+6x}{3x^{2}+5}=\lim_{x\to+\infty}\frac{6+\dfrac{6}{x}}{3+\dfrac{5}{x^{2}}}
  6. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, fracțiile 6x\displaystyle \dfrac{6}{x} și 5x2\displaystyle \dfrac{5}{x^{2}} tind la 0\displaystyle 0, deci limita este raportul coeficienților dominanți, 63\displaystyle \dfrac{6}{3}.
    6+03+0=2\displaystyle \frac{6+0}{3+0}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x3+3x2+5\displaystyle f(x)=2x^3+3x^2+5. Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f, derivând fiecare termen: (2x3)′=6x2\displaystyle (2x^3)'=6x^2, (3x2)′=6x\displaystyle (3x^2)'=6x, iar (5)′=0\displaystyle (5)'=0.
    f′(x)=6x2+6x\displaystyle f'(x)=6x^{2}+6x
  2. Scoatem factor comun 6x\displaystyle 6x și rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Produsul este zero când 6x=0 sau x+1=0\displaystyle 6x=0\text{ sau }x+1=0.
    f′(x)=6x(x+1)=0⇔x1=−1 și x2=0\displaystyle f'(x)=6x(x+1)=0\Leftrightarrow x_1=-1\text{ și }x_2=0
  3. Derivata f′(x)=6x(x+1)\displaystyle f'(x)=6x(x+1) este o funcție de gradul al doilea cu coeficientul dominant 6\displaystyle 6, pozitiv. Deci este pozitivă în afara rădăcinilor și negativă între ele. Pe intervalul (−∞,−1]\displaystyle (-\infty,-1] derivata este pozitivă sau zero (de exemplu, f′(−2)=12\displaystyle f'(-2)=12), deci f\displaystyle f este crescătoare.
    f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\geq0, x∈(−∞,−1], deci f este cresca˘toare pe (−∞,−1]\displaystyle \ x\in(-\infty,-1]\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }(-\infty,-1]
  4. Pe intervalul [−1,0]\displaystyle [-1,0] derivata este negativă sau zero (de exemplu, f′(−12)=−32\displaystyle f'\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{3}{2}), deci f\displaystyle f este descrescătoare.
    f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\leq0, x∈[−1,0], deci f este descresca˘toare pe [−1,0]\displaystyle \ x\in[-1,0]\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }[-1,0]
  5. Pe intervalul [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty) derivata este pozitivă sau zero (de exemplu, f′(1)=12\displaystyle f'(1)=12), deci f\displaystyle f este crescătoare. Intervalele de monotonie sunt cele trei găsite.
    f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\geq0, x∈[0,+∞), deci f este cresca˘toare pe [0,+∞)\displaystyle \ x\in[0,+\infty)\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x3+3x2\displaystyle f(x)=4x^3+3x^2.

Arătați că ∫12(f(x)−3x2)dx=15\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-3x^2\right)dx=15.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=4x3+3x2\displaystyle f(x)=4x^3+3x^2 în integrand: f(x)−3x2=4x3+3x2−3x2\displaystyle f(x)-3x^2=4x^3+3x^2-3x^2. Termenii 3x2\displaystyle 3x^2 se reduc, deci rămâne 4x3\displaystyle 4x^3.
    f(x)−3x2=4x3\displaystyle f(x)-3x^2=4x^3
  2. Integrala devine ∫124x3 dx\displaystyle \int_1^2 4x^3\,dx. O primitivă a lui 4x3\displaystyle 4x^3 este x4\displaystyle x^4, pentru că (x4)′=4x3\displaystyle (x^4)'=4x^3. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫12(f(x)−3x2)dx=∫124x3 dx=x4∣12\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-3x^2\right)dx=\int_1^2 4x^3\,dx=x^4\Big|_1^2
  3. Evaluăm primitiva în limitele de integrare: x4∣12=24−14=16−1\displaystyle x^4\Big|_1^2=2^4-1^4=16-1. Obținem 15\displaystyle 15, adică egalitatea cerută.
    24−14=16−1=15\displaystyle 2^4-1^4=16-1=15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x3+3x2\displaystyle f(x)=4x^3+3x^2.

Determinați primitiva F\displaystyle F a funcției f\displaystyle f pentru care F(1)=2015\displaystyle F(1)=2015.
Vezi rezolvarea
  1. Primitivele unei funcții polinomiale se află integrând fiecare termen cu formula: o primitivă a lui xn\displaystyle x^{n} este xn+1n+1\displaystyle \dfrac{x^{n+1}}{n+1}.
    ∫xn dx=xn+1n+1+c\displaystyle \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+c
  2. Integrăm termenul 4x3\displaystyle 4x^{3}: obținem 4⋅x44=x4\displaystyle 4\cdot\dfrac{x^{4}}{4}=x^{4}. Integrăm termenul 3x2\displaystyle 3x^{2}: obținem 3⋅x33=x3\displaystyle 3\cdot\dfrac{x^{3}}{3}=x^{3}.
    ∫4x3 dx=x4\displaystyle \int 4x^{3}\,dx=x^{4},∫3x2 dx=x3\displaystyle \quad \int 3x^{2}\,dx=x^{3}
  3. Adunăm rezultatele și adăugăm o constantă reală c\displaystyle c, deoarece primitivele diferă între ele printr-o constantă. Obținem familia de primitive F(x)=x4+x3+c\displaystyle F(x)=x^{4}+x^{3}+c, cu c∈R\displaystyle c\in\mathbb{R}.
    F(x)=x4+x3+c, unde c∈R\displaystyle F(x)=x^{4}+x^{3}+c\text{, unde }c\in\mathbb{R}
  4. Punem condiția F(1)=2015\displaystyle F(1)=2015: înlocuim x=1\displaystyle x=1 în expresia lui F\displaystyle F și obținem 14+13+c=2015\displaystyle 1^{4}+1^{3}+c=2015.
    1+1+c=2015\displaystyle 1+1+c=2015
  5. Rezolvăm ecuația în c\displaystyle c: c=2015−2=2013\displaystyle c=2015-2=2013. Înlocuim în familia de primitive și obținem primitiva cerută.
    c=2013, deci F(x)=x4+x3+2013\displaystyle c=2013\text{, deci }F(x)=x^{4}+x^{3}+2013
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x3+3x2\displaystyle f(x)=4x^3+3x^2.

Determinați numărul natural n\displaystyle n, n>1\displaystyle n>1, știind că ∫1nf(x)x2dx=9\displaystyle \int_1^n\frac{f(x)}{x^2}dx=9.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim fiecare termen al lui f(x)=4x3+3x2\displaystyle f(x)=4x^3+3x^2 la x2\displaystyle x^2 și simplificăm.
    f(x)x2=4x3+3x2x2=4x+3\displaystyle \frac{f(x)}{x^2}=\frac{4x^3+3x^2}{x^2}=4x+3
  2. Integrala devine ∫1n(4x+3) dx\displaystyle \int_1^n(4x+3)\,dx, pe care o scriem ca sumă de două integrale, pe baza liniarității.
    ∫1n(4x+3) dx=∫1n4x dx+∫1n3 dx\displaystyle \int_1^n(4x+3)\,dx=\int_1^n 4x\,dx+\int_1^n 3\,dx
  3. O primitivă a lui 4x\displaystyle 4x este 2x2\displaystyle 2x^2, iar o primitivă a lui 3\displaystyle 3 este 3x\displaystyle 3x, deci integrala este 2x2∣1n+3x∣1n\displaystyle 2x^2\Big|_1^n+3x\Big|_1^n.
    2x2∣1n+3x∣1n\displaystyle 2x^2\Big|_1^n+3x\Big|_1^n
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: (2n2−2⋅12)+(3n−3⋅1)\displaystyle (2n^2-2\cdot 1^2)+(3n-3\cdot 1), apoi reducem termenii.
    ∫1nf(x)x2dx=(2n2−2)+(3n−3)=2n2+3n−5\displaystyle \int_1^n\frac{f(x)}{x^2}dx=(2n^2-2)+(3n-3)=2n^2+3n-5
  5. Din condiția din enunț avem 2n2+3n−5=9\displaystyle 2n^2+3n-5=9, adică o ecuație de gradul al doilea în n\displaystyle n.
    2n2+3n−14=0\displaystyle 2n^2+3n-14=0
  6. Discriminantul este Δ=32+4⋅2⋅14=121\displaystyle \Delta=3^2+4\cdot 2\cdot 14=121, deci Δ=11\displaystyle \sqrt{\Delta}=11, iar rădăcinile sunt n=−3±114\displaystyle n=\dfrac{-3\pm 11}{4}.
    n1=2, n2=−72\displaystyle n_1=2\text{, }n_2=-\frac{7}{2}
  7. Cum n\displaystyle n este număr natural și n>1\displaystyle n>1, rădăcina −72\displaystyle -\dfrac{7}{2} nu convine, deci rămâne n=2\displaystyle n=2.
    n=2\displaystyle n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.