Bac matematică M3 tehnologic 2017, sesiunea I varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (2+12)⋅45=2\displaystyle \left(2+\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{4}{5}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem numărul 2\displaystyle 2 ca fracție cu numitorul 2\displaystyle 2: 2=42\displaystyle 2=\dfrac{4}{2}.
    2=42\displaystyle 2=\frac{4}{2}
  2. Adunăm fracțiile cu același numitor: 2+12=42+12=52\displaystyle 2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}.
    2+12=52\displaystyle 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}
  3. Înlocuim paranteza cu 52\displaystyle \dfrac{5}{2} și înmulțim cu 45\displaystyle \dfrac{4}{5}. Simplificăm cu 5\displaystyle 5 și cu 2\displaystyle 2: 52⋅45=5⋅42⋅5=42\displaystyle \dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{5\cdot 4}{2\cdot 5}=\dfrac{4}{2}.
    52⋅45=42\displaystyle \frac{5}{2}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{2}
  4. Împărțim 4\displaystyle 4 la 2\displaystyle 2 și obținem 42=2\displaystyle \dfrac{4}{2}=2, deci egalitatea este demonstrată.
    (2+12)⋅45=52⋅45=2\displaystyle \left(2+\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{4}{5}=\frac{5}{2}\cdot\frac{4}{5}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Arătați că x1+x2−1x1x2=1\displaystyle \frac{x_1+x_2-1}{x_1x_2}=1, unde x1\displaystyle x_1 și x2\displaystyle x_2 sunt soluțiile ecuației x2−4x+3=0\displaystyle x^2-4x+3=0.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții ecuației x2−4x+3=0\displaystyle x^2-4x+3=0 de forma ax2+bx+c=0\displaystyle ax^2+bx+c=0: a=1\displaystyle a=1, b=−4\displaystyle b=-4, c=3\displaystyle c=3.
    a=1\displaystyle a=1, b=−4\displaystyle \ b=-4, c=3\displaystyle \ c=3
  2. Scriem relațiile lui Viète: x1+x2=−ba\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} și x1x2=ca\displaystyle x_1x_2=\dfrac{c}{a}. Înlocuim coeficienții: x1+x2=−−41=4\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{-4}{1}=4 și x1x2=31=3\displaystyle x_1x_2=\dfrac{3}{1}=3.
    x1+x2=4\displaystyle x_1+x_2=4, x1x2=3\displaystyle \ x_1x_2=3
  3. Înlocuim suma și produsul în expresia dată: x1+x2−1x1x2=4−13=33\displaystyle \dfrac{x_1+x_2-1}{x_1x_2}=\dfrac{4-1}{3}=\dfrac{3}{3}.
    x1+x2−1x1x2=4−13=33\displaystyle \frac{x_1+x_2-1}{x_1x_2}=\frac{4-1}{3}=\frac{3}{3}
  4. Simplificăm fracția: 33=1\displaystyle \dfrac{3}{3}=1, deci egalitatea cerută este adevărată.
    x1+x2−1x1x2=4−13=1\displaystyle \frac{x_1+x_2-1}{x_1x_2}=\frac{4-1}{3}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x+1=8\displaystyle 2^{x+1}=8.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem membrul drept ca putere a lui 2\displaystyle 2: 8=23\displaystyle 8=2^{3}, deci ecuația devine 2x+1=23\displaystyle 2^{x+1}=2^{3}.
    2x+1=23\displaystyle 2^{x+1}=2^{3}
  2. Funcția exponențială de bază 2\displaystyle 2 este injectivă, deci două puteri ale lui 2\displaystyle 2 sunt egale doar dacă exponenții sunt egali. Egalăm exponenții: x+1=3\displaystyle x+1=3.
    2x+1=23⇔x+1=3\displaystyle 2^{x+1}=2^{3}\Leftrightarrow x+1=3
  3. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri: x=3−1\displaystyle x=3-1, deci x=2\displaystyle x=2. Soluția este un număr real, deci convine.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, acesta să fie multiplu de 4.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}. Cazurile posibile sunt toate elementele mulțimii A\displaystyle A, deci sunt 9\displaystyle 9.
    nr. cazuri posibile=9\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=9
  2. Determinăm multiplii lui 4\displaystyle 4 din mulțimea A\displaystyle A: aceștia sunt 4=4⋅1\displaystyle 4=4\cdot 1 și 8=4⋅2\displaystyle 8=4\cdot 2, deoarece 12>9\displaystyle 12>9.
    {4,8}\displaystyle \{4,8\}
  3. Numărul cazurilor favorabile este numărul elementelor găsite, adică 2\displaystyle 2.
    nr. cazuri favorabile=2\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=2
  4. Înlocuim în formulă: p=29\displaystyle p=\dfrac{2}{9}. Fracția este ireductibilă.
    p=29\displaystyle p=\frac{2}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,3)\displaystyle A(0,3) și B(4,0)\displaystyle B(4,0). Calculați perimetrul triunghiului OAB\displaystyle OAB.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul O\displaystyle O este originea O(0,0)\displaystyle O(0,0). Punctul A(0,3)\displaystyle A(0,3) se află pe axa Oy\displaystyle Oy, deci distanța AO\displaystyle AO este ordonata lui A\displaystyle A.
    AO=(0−0)2+(3−0)2=3\displaystyle AO=\sqrt{(0-0)^2+(3-0)^2}=3
  2. Punctul B(4,0)\displaystyle B(4,0) se află pe axa Ox\displaystyle Ox, deci distanța BO\displaystyle BO este abscisa lui B\displaystyle B.
    BO=(4−0)2+(0−0)2=4\displaystyle BO=\sqrt{(4-0)^2+(0-0)^2}=4
  3. Calculăm AB\displaystyle AB cu formula distanței dintre două puncte: AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}. Obținem AB=(4−0)2+(0−3)2=16+9=25\displaystyle AB=\sqrt{(4-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}.
    AB=(4−0)2+(0−3)2=25=5\displaystyle AB=\sqrt{(4-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{25}=5, AO=3\displaystyle \ AO=3, BO=4\displaystyle \ BO=4
  4. Perimetrul triunghiului este suma lungimilor laturilor: P=AB+AO+BO=5+3+4\displaystyle P=AB+AO+BO=5+3+4.
    PΔAOB=AB+AO+BO=5+3+4=12\displaystyle P_{\Delta AOB}=AB+AO+BO=5+3+4=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡2150∘+sin⁡260∘=1\displaystyle \sin^2 150^\circ+\sin^2 60^\circ=1.
Vezi rezolvarea
  1. Reducem unghiul de 150∘\displaystyle 150^\circ la un unghi ascuțit: sin⁡150∘=sin⁡(180∘−150∘)=sin⁡30∘\displaystyle \sin 150^\circ=\sin(180^\circ-150^\circ)=\sin 30^\circ.
    sin⁡150∘=sin⁡30∘\displaystyle \sin 150^\circ=\sin 30^\circ
  2. Folosim valorile cunoscute: sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, iar sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    sin⁡150∘=12\displaystyle \sin 150^\circ=\frac{1}{2}, sin⁡60∘=32\displaystyle \ \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
  3. Înlocuim valorile în suma din enunț: sin⁡2150∘+sin⁡260∘=(12)2+(32)2\displaystyle \sin^2 150^\circ+\sin^2 60^\circ=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2. Ridicăm la pătrat: (32)2=34\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}.
    (12)2+(32)2=14+34\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}
  4. Adunăm fracțiile cu același numitor: 14+34=44=1\displaystyle \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{4}{4}=1. Deci egalitatea cerută este adevărată.
    sin⁡2150∘+sin⁡260∘=14+34=1\displaystyle \sin^2 150^\circ+\sin^2 60^\circ=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3223)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&2\\2&3\end{pmatrix} și B=(111a)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1\\1&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡A=5\displaystyle \det A=5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A: det⁡A=∣3223∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3&2\\2&3\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣3223∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3&2\\2&3\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică det⁡A=3⋅3−2⋅2\displaystyle \det A=3\cdot 3-2\cdot 2.
    det⁡A=3⋅3−2⋅2\displaystyle \det A=3\cdot 3-2\cdot 2
  3. Calculăm produsele: 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9 și 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4. Obținem 9−4=5\displaystyle 9-4=5, deci det⁡A=5\displaystyle \det A=5, așa cum trebuia arătat.
    9−4=5\displaystyle 9-4=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3223)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&2\\2&3\end{pmatrix} și B=(111a)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1\\1&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care B⋅B=2B\displaystyle B\cdot B=2B.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul B⋅B\displaystyle B\cdot B folosind regula de înmulțire a matricelor, linie pe coloană: B⋅B=(111a)⋅(111a)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}1&1\\1&a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\1&a\end{pmatrix}.
    B⋅B=(111a)⋅(111a)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}1&1\\1&a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\1&a\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element: 1⋅1+1⋅1=2\displaystyle 1\cdot1+1\cdot1=2, 1⋅1+1⋅a=a+1\displaystyle 1\cdot1+1\cdot a=a+1, 1⋅1+a⋅1=a+1\displaystyle 1\cdot1+a\cdot1=a+1, 1⋅1+a⋅a=a2+1\displaystyle 1\cdot1+a\cdot a=a^{2}+1. Obținem matricea produs.
    B⋅B=(2a+1a+1a2+1)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}2&a+1\\a+1&a^{2}+1\end{pmatrix}
  3. Calculăm 2B\displaystyle 2B înmulțind fiecare element al lui B\displaystyle B cu 2\displaystyle 2.
    2B=(2222a)\displaystyle 2B=\begin{pmatrix}2&2\\2&2a\end{pmatrix}
  4. Egalăm element cu element matricele B⋅B\displaystyle B\cdot B și 2B\displaystyle 2B. Primul element dă 2=2\displaystyle 2=2, adevărat. Elementele de pe diagonala secundară dau a+1=2\displaystyle a+1=2, deci a=1\displaystyle a=1. Elementul din dreapta jos dă a2+1=2a\displaystyle a^{2}+1=2a, adică (a−1)2=0\displaystyle (a-1)^{2}=0, deci tot a=1\displaystyle a=1.
    a+1=2⇒a=1\displaystyle a+1=2\Rightarrow a=1,a2+1=2a⇔(a−1)2=0⇒a=1\displaystyle \quad a^{2}+1=2a\Leftrightarrow (a-1)^{2}=0\Rightarrow a=1
  5. Toate cele patru egalități sunt satisfăcute pentru a=1\displaystyle a=1, deci B⋅B=2B\displaystyle B\cdot B=2B are loc exact pentru a=1\displaystyle a=1.
    B⋅B=2B⇔a=1\displaystyle B\cdot B=2B\Leftrightarrow a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3223)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&2\\2&3\end{pmatrix} și B=(111a)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1\\1&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A⋅B−B⋅A)≥0\displaystyle \det(A\cdot B-B\cdot A)\ge 0, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui B\displaystyle B. Prima linie: 3⋅1+2⋅1=5\displaystyle 3\cdot 1+2\cdot 1=5 și 3⋅1+2⋅a=3+2a\displaystyle 3\cdot 1+2\cdot a=3+2a. A doua linie: 2⋅1+3⋅1=5\displaystyle 2\cdot 1+3\cdot 1=5 și 2⋅1+3⋅a=2+3a\displaystyle 2\cdot 1+3\cdot a=2+3a.
    A⋅B=(53+2a52+3a)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}5&3+2a\\5&2+3a\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul B⋅A\displaystyle B\cdot A, înmulțind liniile lui B\displaystyle B cu coloanele lui A\displaystyle A. Prima linie: 1⋅3+1⋅2=5\displaystyle 1\cdot 3+1\cdot 2=5 și 1⋅2+1⋅3=5\displaystyle 1\cdot 2+1\cdot 3=5. A doua linie: 1⋅3+a⋅2=3+2a\displaystyle 1\cdot 3+a\cdot 2=3+2a și 1⋅2+a⋅3=2+3a\displaystyle 1\cdot 2+a\cdot 3=2+3a.
    B⋅A=(553+2a2+3a)\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}5&5\\3+2a&2+3a\end{pmatrix}
  3. Scădem cele două matrice element cu element: 5−5=0\displaystyle 5-5=0, 3+2a−5=2a−2\displaystyle 3+2a-5=2a-2, 5−(3+2a)=2−2a\displaystyle 5-(3+2a)=2-2a, iar 2+3a−(2+3a)=0\displaystyle 2+3a-(2+3a)=0.
    A⋅B−B⋅A=(53+2a52+3a)−(553+2a2+3a)=(02a−22−2a0)\displaystyle A\cdot B-B\cdot A=\begin{pmatrix}5&3+2a\\5&2+3a\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5&5\\3+2a&2+3a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2a-2\\2-2a&0\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul matricei obținute: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Cum 2−2a=−(2a−2)\displaystyle 2-2a=-(2a-2), obținem 0⋅0−(2a−2)(2−2a)=(2a−2)(2a−2)=(2a−2)2\displaystyle 0\cdot 0-(2a-2)(2-2a)=(2a-2)(2a-2)=(2a-2)^2.
    det⁡(A⋅B−B⋅A)=∣02a−22−2a0∣=(2a−2)2\displaystyle \det(A\cdot B-B\cdot A)=\begin{vmatrix}0&2a-2\\2-2a&0\end{vmatrix}=(2a-2)^2
  5. Un pătrat al unui număr real este întotdeauna mai mare sau egal cu zero, deci (2a−2)2≥0\displaystyle (2a-2)^2\ge 0 și determinantul este nenegativ pentru orice număr real a\displaystyle a.
    det⁡(A⋅B−B⋅A)=(2a−2)2≥0, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \det(A\cdot B-B\cdot A)=(2a-2)^2\ge 0\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−3x−3y+12\displaystyle x\circ y=xy-3x-3y+12.

Arătați că 1∘3=3\displaystyle 1\circ 3=3.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∘y=xy−3x−3y+12\displaystyle x\circ y=xy-3x-3y+12. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=3\displaystyle y=3.
    1∘3=1⋅3−3⋅1−3⋅3+12\displaystyle 1\circ 3=1\cdot 3-3\cdot 1-3\cdot 3+12
  2. Efectuăm înmulțirile din fiecare termen: 1⋅3=3\displaystyle 1\cdot 3=3, 3⋅1=3\displaystyle 3\cdot 1=3, 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9.
    3−3−9+12\displaystyle 3-3-9+12
  3. Calculăm suma: 3−3=0\displaystyle 3-3=0, 0−9=−9\displaystyle 0-9=-9, iar −9+12=3\displaystyle -9+12=3. Deci 1∘3=3\displaystyle 1\circ 3=3, adică egalitatea cerută.
    3−3−9+12=3, deci 1∘3=3\displaystyle 3-3-9+12=3\text{, deci }1\circ 3=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−3x−3y+12\displaystyle x\circ y=xy-3x-3y+12.

Demonstrați că x∘y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=xy−3x−3y+12\displaystyle x\circ y=xy-3x-3y+12 și scriem 12=9+3\displaystyle 12=9+3, pentru a obține termenul 9=3⋅3\displaystyle 9=3\cdot 3, necesar completării produsului.
    x∘y=xy−3x−3y+9+3\displaystyle x\circ y=xy-3x-3y+9+3
  2. Grupăm xy−3x=x(y−3)\displaystyle xy-3x=x(y-3) și −3y+9=−3(y−3)\displaystyle -3y+9=-3(y-3), scoțând factor comun pe x\displaystyle x, respectiv pe −3\displaystyle -3.
    x∘y=x(y−3)−3(y−3)+3\displaystyle x\circ y=x(y-3)-3(y-3)+3
  3. Scoatem factor comun (y−3)\displaystyle (y-3) și obținem forma cerută, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−3x−3y+12\displaystyle x\circ y=xy-3x-3y+12.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care (x∘x)∘x=3\displaystyle (x\circ x)\circ x=3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea sub o formă mai comodă. Dezvoltăm produsul (x−3)(y−3)=xy−3x−3y+9\displaystyle (x-3)(y-3)=xy-3x-3y+9, deci xy−3x−3y+12=(x−3)(y−3)+3\displaystyle xy-3x-3y+12=(x-3)(y-3)+3.
    x∘y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3
  2. Calculăm x∘x\displaystyle x\circ x, înlocuind y\displaystyle y cu x\displaystyle x în forma de mai sus.
    x∘x=(x−3)2+3\displaystyle x\circ x=(x-3)^2+3
  3. Calculăm (x∘x)∘x\displaystyle (x\circ x)\circ x. Primul factor este (x∘x)−3=(x−3)2\displaystyle (x\circ x)-3=(x-3)^2, iar al doilea este x−3\displaystyle x-3, deci produsul este (x−3)3\displaystyle (x-3)^3.
    (x∘x)∘x=(x−3)3+3\displaystyle (x\circ x)\circ x=(x-3)^3+3
  4. Rezolvăm ecuația (x−3)3+3=3\displaystyle (x-3)^3+3=3. Scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri și obținem (x−3)3=0\displaystyle (x-3)^3=0, deci x−3=0\displaystyle x-3=0.
    x=3\displaystyle x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+6x+2\displaystyle f(x)=x^3+6x+2.

Arătați că f′(x)=3(x2+2)\displaystyle f'(x)=3\left(x^2+2\right), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x3+6x+2\displaystyle f(x)=x^3+6x+2 este o sumă de trei termeni, deci derivata ei este suma derivatelor acestor termeni.
    f′(x)=(x3)′+(6x)′+(2)′\displaystyle f'(x)=\left(x^3\right)'+(6x)'+(2)'
  2. Calculăm fiecare derivată separat: (x3)′=3x2\displaystyle \left(x^3\right)'=3x^2 (formula (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^n)'=nx^{n-1}), (6x)′=6\displaystyle (6x)'=6 și (2)′=0\displaystyle (2)'=0, pentru că derivata unei constante este zero.
    (x3)′=3x2\displaystyle \left(x^3\right)'=3x^2, (6x)′=6\displaystyle \ (6x)'=6, (2)′=0\displaystyle \ (2)'=0
  3. Adunăm rezultatele: f′(x)=3x2+6+0=3x2+6\displaystyle f'(x)=3x^2+6+0=3x^2+6. Dăm factor comun pe 3\displaystyle 3 și obținem forma cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=3x2+6=3(x2+2)\displaystyle f'(x)=3x^2+6=3\left(x^2+2\right), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+6x+2\displaystyle f(x)=x^3+6x+2.

Arătați că lim⁡x→0f′(x)x+2=3\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{x+2}=3.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f. Derivăm termen cu termen: (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}, (6x)′=6\displaystyle (6x)'=6, iar (2)′=0\displaystyle (2)'=0.
    f′(x)=3x2+6\displaystyle f'(x)=3x^{2}+6
  2. Dăm factor comun 3\displaystyle 3 în expresia derivatei: f′(x)=3(x2+2)\displaystyle f'(x)=3\left(x^{2}+2\right). Înlocuim în limita cerută.
    lim⁡x→0f′(x)x+2=lim⁡x→03(x2+2)x+2\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{x+2}=\lim_{x\to 0}\frac{3\left(x^{2}+2\right)}{x+2}
  3. Funcția de sub limită este definită și continuă în 0\displaystyle 0, deoarece numitorul x+2\displaystyle x+2 are în 0\displaystyle 0 valoarea 2≠0\displaystyle 2\neq 0. Deci limita se calculează prin înlocuire directă cu x=0\displaystyle x=0 și obținem rezultatul cerut.
    3(02+2)0+2=3⋅22=3\displaystyle \frac{3\left(0^{2}+2\right)}{0+2}=\frac{3\cdot 2}{2}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+6x+2\displaystyle f(x)=x^3+6x+2.

Demonstrați că −5≤f(x)≤9\displaystyle -5\le f(x)\le 9, pentru orice x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1].
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f: derivata lui x3\displaystyle x^{3} este 3x2\displaystyle 3x^{2}, derivata lui 6x\displaystyle 6x este 6\displaystyle 6, iar derivata constantei 2\displaystyle 2 este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=3x2+6\displaystyle f'(x)=3x^{2}+6
  2. Pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem x2≥0\displaystyle x^{2}\ge 0, deci 3x2+6≥6>0\displaystyle 3x^{2}+6\ge 6>0. În particular, derivata este pozitivă pe [−1,1]\displaystyle [-1,1], deci f\displaystyle f este crescătoare pe [−1,1]\displaystyle [-1,1].
    x∈[−1,1]⇒f′(x)>0, deci f este cresca˘toare pe [−1,1]\displaystyle x\in[-1,1]\Rightarrow f'(x)>0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[-1,1]
  3. Calculăm valoarea funcției la capătul din stânga al intervalului: f(−1)=(−1)3+6⋅(−1)+2=−1−6+2\displaystyle f(-1)=(-1)^{3}+6\cdot(-1)+2=-1-6+2.
    f(−1)=−5\displaystyle f(-1)=-5
  4. Calculăm valoarea funcției la capătul din dreapta al intervalului: f(1)=13+6⋅1+2=1+6+2\displaystyle f(1)=1^{3}+6\cdot 1+2=1+6+2.
    f(1)=9\displaystyle f(1)=9
  5. Deoarece f\displaystyle f este crescătoare pe [−1,1]\displaystyle [-1,1], pentru orice x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1], din −1≤x≤1\displaystyle -1\le x\le 1 rezultă f(−1)≤f(x)≤f(1)\displaystyle f(-1)\le f(x)\le f(1), adică f(x)\displaystyle f(x) este între −5\displaystyle -5 și 9\displaystyle 9.
    f(−1)=−5 și f(1)=9, obținem −5≤f(x)≤9, pentru orice x∈[−1,1]\displaystyle f(-1)=-5\text{ și }f(1)=9\text{, obținem }-5\le f(x)\le 9\text{, pentru orice }x\in[-1,1]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x3−x\displaystyle f(x)=4x^3-x.

Arătați că ∫01(f(x)+x)dx=1\displaystyle \int_0^1\left(f(x)+x\right)dx=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=4x3−x\displaystyle f(x)=4x^{3}-x în integrandul f(x)+x\displaystyle f(x)+x.
    ∫01(f(x)+x)dx=∫01(4x3−x+x)dx\displaystyle \int_0^1\left(f(x)+x\right)dx=\int_0^1\left(4x^{3}-x+x\right)dx
  2. Reducem termenii opuși −x\displaystyle -x și +x\displaystyle +x, deci sub integrală rămâne doar 4x3\displaystyle 4x^{3}.
    ∫01(4x3−x+x)dx=∫014x3dx\displaystyle \int_0^1\left(4x^{3}-x+x\right)dx=\int_0^1 4x^{3}dx
  3. Aflăm o primitivă a lui 4x3\displaystyle 4x^{3} cu formula ∫xndx=xn+1n+1\displaystyle \int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Aici primitiva este 4⋅x44=x4\displaystyle 4\cdot\dfrac{x^{4}}{4}=x^{4}.
    ∫4x3dx=x4\displaystyle \int 4x^{3}dx=x^{4}
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: evaluăm primitiva în 1\displaystyle 1 și în 0\displaystyle 0 și facem diferența. Obținem 14−04=1\displaystyle 1^{4}-0^{4}=1, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    x4∣01=14−04=1\displaystyle x^{4}\Big|_0^1=1^{4}-0^{4}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x3−x\displaystyle f(x)=4x^3-x.

Arătați că ∫01(4x3−f(x))exdx=1\displaystyle \int_0^1\left(4x^3-f(x)\right)e^x dx=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=4x3−x\displaystyle f(x)=4x^3-x în expresia din integrală: 4x3−f(x)=4x3−(4x3−x)=x\displaystyle 4x^3-f(x)=4x^3-(4x^3-x)=x.
    4x3−f(x)=x\displaystyle 4x^3-f(x)=x
  2. Integrala devine ∫01(4x3−f(x))ex dx=∫01xex dx\displaystyle \int_0^1\left(4x^3-f(x)\right)e^x\,dx=\int_0^1 xe^x\,dx.
    ∫01xex dx\displaystyle \int_0^1 xe^x\,dx
  3. Integrăm prin părți: alegem u=x\displaystyle u=x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    ∫01xex dx=xex∣01−∫01ex dx\displaystyle \int_0^1 xe^x\,dx=xe^x\Big|_0^1-\int_0^1 e^x\,dx
  4. Primitiva lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x, deci xex∣01−ex∣01=(x−1)ex∣01\displaystyle xe^x\Big|_0^1-e^x\Big|_0^1=(x-1)e^x\Big|_0^1.
    (x−1)ex∣01\displaystyle (x-1)e^x\Big|_0^1
  5. Aplicăm limitele: (1−1)e1−(0−1)e0=0−(−1)=1\displaystyle (1-1)e^1-(0-1)e^0=0-(-1)=1. Deci integrala este egală cu 1\displaystyle 1.
    (1−1)e−(0−1)e0=1\displaystyle (1-1)e-(0-1)e^0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x3−x\displaystyle f(x)=4x^3-x.

Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=1\displaystyle x=1 și x=3\displaystyle x=3.
Vezi rezolvarea
  1. Aria suprafeței delimitate de graficul lui f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele x=1\displaystyle x=1, x=3\displaystyle x=3 este A=∫13∣f(x)∣ dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^3 |f(x)|\,dx.
    A=∫13∣f(x)∣ dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^3 |f(x)|\,dx
  2. Scriem f(x)=x(4x2−1)\displaystyle f(x)=x\left(4x^2-1\right). Pentru x∈[1,3]\displaystyle x\in[1,3] avem x>0\displaystyle x>0 și 4x2−1≥3>0\displaystyle 4x^2-1\geq 3>0, deci f(x)>0\displaystyle f(x)>0 și ∣f(x)∣=f(x)\displaystyle |f(x)|=f(x).
    f(x)>0 pe [1,3]  ⇒  ∣f(x)∣=4x3−x\displaystyle f(x)>0\text{ pe }[1,3]\;\Rightarrow\;|f(x)|=4x^3-x
  3. Deci A=∫13(4x3−x)dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^3\left(4x^3-x\right)dx. Primitiva lui 4x3\displaystyle 4x^3 este x4\displaystyle x^4, iar a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}.
    A=∫13(4x3−x)dx=(x4−x22)∣13\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^3\left(4x^3-x\right)dx=\left(x^4-\frac{x^2}{2}\right)\Big|_1^3
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: în x=3\displaystyle x=3 obținem 34−322=81−92\displaystyle 3^4-\dfrac{3^2}{2}=81-\dfrac{9}{2}, iar în x=1\displaystyle x=1 obținem 1−12\displaystyle 1-\dfrac{1}{2}.
    (81−92)−(1−12)=81−92−1+12\displaystyle \left(81-\frac{9}{2}\right)-\left(1-\frac{1}{2}\right)=81-\frac{9}{2}-1+\frac{1}{2}
  5. Avem 81−1=80\displaystyle 81-1=80 și −92+12=−4\displaystyle -\dfrac{9}{2}+\dfrac{1}{2}=-4, deci aria este 80−4=76\displaystyle 80-4=76.
    A=76\displaystyle \mathcal{A}=76
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.