Bac matematică M3 tehnologic 2018, sesiunea I varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 30⋅(13−0,3)=1\displaystyle 30\cdot\left(\frac{1}{3}-0{,}3\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Transformăm numărul zecimal în fracție: 0,3=310\displaystyle 0{,}3=\dfrac{3}{10}. Expresia devine 30⋅(13−310)\displaystyle 30\cdot\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{10}\right).
    30⋅(13−310)\displaystyle 30\cdot\left(\frac{1}{3}-\frac{3}{10}\right)
  2. Cel mai mic multiplu comun al lui 3\displaystyle 3 și 10\displaystyle 10 este 30\displaystyle 30. Amplificăm prima fracție cu 10\displaystyle 10 și a doua cu 3\displaystyle 3: 13=1030\displaystyle \dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{30} și 310=930\displaystyle \dfrac{3}{10}=\dfrac{9}{30}. Atunci diferența este 10−930\displaystyle \dfrac{10-9}{30}.
    30⋅(13−310)=30⋅10−930\displaystyle 30\cdot\left(\frac{1}{3}-\frac{3}{10}\right)=30\cdot\frac{10-9}{30}
  3. Calculăm 10−9=1\displaystyle 10-9=1, deci paranteza este egală cu 130\displaystyle \dfrac{1}{30}.
    30⋅130\displaystyle 30\cdot\frac{1}{30}
  4. Simplificăm fracția cu 30\displaystyle 30: 30⋅130=1\displaystyle 30\cdot\dfrac{1}{30}=1, ceea ce trebuia demonstrat.
    30⋅130=1\displaystyle 30\cdot\frac{1}{30}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră x1\displaystyle x_1 și x2\displaystyle x_2 soluțiile ecuației x2−x+a=0\displaystyle x^2-x+a=0, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați valorile reale ale lui a\displaystyle a pentru care x1x2−1<0\displaystyle x_1x_2-1<0.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația x2−x+a=0\displaystyle x^2-x+a=0 are coeficienții 1\displaystyle 1, −1\displaystyle -1 și a\displaystyle a. Relațiile lui Viète dau produsul rădăcinilor x1x2=ca2\displaystyle x_1x_2=\dfrac{c}{a_2}, unde c\displaystyle c este termenul liber și a2\displaystyle a_2 este coeficientul lui x2\displaystyle x^2.
    x1x2=a1\displaystyle x_1x_2=\dfrac{a}{1}
  2. Simplificăm și obținem produsul rădăcinilor.
    x1x2=a\displaystyle x_1x_2=a
  3. Înlocuim x1x2=a\displaystyle x_1x_2=a în inegalitatea x1x2−1<0\displaystyle x_1x_2-1<0.
    a−1<0\displaystyle a-1<0
  4. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri și obținem a<1\displaystyle a<1. Răspuns final: a∈(−∞,1)\displaystyle a\in(-\infty,1).
    a∈(−∞,1)\displaystyle a\in(-\infty,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+1=9x\displaystyle 3^{x+1}=9^x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem baza 9\displaystyle 9 ca putere a lui 3\displaystyle 3: 9=32\displaystyle 9=3^{2}. Folosind regula puterii unei puteri, 9x=(32)x=32x\displaystyle 9^{x}=\left(3^{2}\right)^{x}=3^{2x}.
    9x=(32)x=32x\displaystyle 9^{x}=\left(3^{2}\right)^{x}=3^{2x}
  2. Înlocuim în ecuație și obținem 3x+1=32x\displaystyle 3^{x+1}=3^{2x}. Deoarece funcția exponențială cu baza 3\displaystyle 3 este injectivă, egalăm exponenții: x+1=2x\displaystyle x+1=2x.
    3x+1=32x⇔x+1=2x\displaystyle 3^{x+1}=3^{2x}\Leftrightarrow x+1=2x
  3. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: din x+1=2x\displaystyle x+1=2x obținem x=1\displaystyle x=1. Verificare: 31+1=9\displaystyle 3^{1+1}=9 și 91=9\displaystyle 9^{1}=9, deci soluția convine.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra unităților egală cu 3\displaystyle 3.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția clasică a probabilității: p=numa˘r de cazuri favorabilenuma˘r de cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{număr de cazuri favorabile}}{\text{număr de cazuri posibile}}.
    p=cazuri favorabilecazuri posibile\displaystyle p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}
  2. Numerele naturale de două cifre sunt toate numerele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99. Numărul lor este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90. Acesta este numărul cazurilor posibile.
    90\displaystyle 90
  3. Numerele de două cifre cu cifra unităților 3\displaystyle 3 sunt 13,23,33,43,53,63,73,83,93\displaystyle 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93. Cifra zecilor poate fi oricare dintre cifrele de la 1\displaystyle 1 la 9\displaystyle 9, deci sunt 9\displaystyle 9 cazuri favorabile.
    9\displaystyle 9
  4. Înlocuim în formulă: p=990\displaystyle p=\dfrac{9}{90}. Simplificăm fracția prin 9\displaystyle 9 și obținem probabilitatea cerută.
    p=110\displaystyle p=\frac{1}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−1,−1)\displaystyle A(-1,-1) și B(4,4)\displaystyle B(4,4). Demonstrați că punctele A\displaystyle A, O\displaystyle O și B\displaystyle B sunt coliniare.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem coordonatele punctelor: A(−1,−1)\displaystyle A(-1,-1), O(0,0)\displaystyle O(0,0) și B(4,4)\displaystyle B(4,4). Pentru a arăta că sunt coliniare, vom arăta că una dintre distanțe este suma celorlalte două. Folosim formula distanței dintre două puncte: MN=(xN−xM)2+(yN−yM)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_N-x_M)^{2}+(y_N-y_M)^{2}}.
    MN=(xN−xM)2+(yN−yM)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_N-x_M)^{2}+(y_N-y_M)^{2}}
  2. Calculăm distanța AO\displaystyle AO: AO=(0−(−1))2+(0−(−1))2=1+1\displaystyle AO=\sqrt{(0-(-1))^{2}+(0-(-1))^{2}}=\sqrt{1+1}.
    AO=12+12=2\displaystyle AO=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}
  3. Calculăm distanța OB\displaystyle OB: OB=(4−0)2+(4−0)2=16+16=32=42\displaystyle OB=\sqrt{(4-0)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.
    AO=2\displaystyle AO=\sqrt{2}, OB=42\displaystyle \ OB=4\sqrt{2}
  4. Calculăm distanța AB\displaystyle AB: AB=(4−(−1))2+(4−(−1))2=25+25=50=52\displaystyle AB=\sqrt{(4-(-1))^{2}+(4-(-1))^{2}}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.
    AB=52+52=52\displaystyle AB=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=5\sqrt{2}
  5. Comparăm: AO+OB=2+42=52=AB\displaystyle AO+OB=\sqrt{2}+4\sqrt{2}=5\sqrt{2}=AB. Deci AB=AO+OB\displaystyle AB=AO+OB, adică punctul O\displaystyle O se află pe segmentul AB\displaystyle AB, iar punctele A\displaystyle A, O\displaystyle O și B\displaystyle B sunt coliniare.
    AB=52=AO+OB⇒A\displaystyle AB=5\sqrt{2}=AO+OB\Rightarrow A, O\displaystyle \ O, B sunt coliniare\displaystyle \ B\text{ sunt coliniare}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Demonstrați că (sin⁡x+cos⁡x)2−sin⁡2x=1\displaystyle (\sin x+\cos x)^2-\sin 2x=1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm pătratul sumei folosind formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, cu a=sin⁡x\displaystyle a=\sin x și b=cos⁡x\displaystyle b=\cos x.
    (sin⁡x+cos⁡x)2=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x\displaystyle (\sin x+\cos x)^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x
  2. Folosim formula sinusului unghiului dublu, sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x, și înlocuim în expresia dată.
    sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x\displaystyle \sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x-2\sin x\cos x
  3. Reducem termenii opuși, 2sin⁡xcos⁡x\displaystyle 2\sin x\cos x și −2sin⁡xcos⁡x\displaystyle -2\sin x\cos x.
    sin⁡2x+cos⁡2x\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x
  4. Aplicăm identitatea fundamentală a trigonometriei, sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1, valabilă pentru orice x\displaystyle x real. Deci expresia este egală cu 1\displaystyle 1 pentru orice număr real x\displaystyle x.
    sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−526)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-5\\2&6\end{pmatrix}, B=(65−21)\displaystyle B=\begin{pmatrix}6&5\\-2&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=16\displaystyle \det A=16.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, formată din liniile (1, −5)\displaystyle (1,\,-5) și (2, 6)\displaystyle (2,\,6): det⁡A=∣1−526∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&-5\\2&6\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣1−526∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&-5\\2&6\end{vmatrix}
  2. Aplicăm definiția determinantului de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică ∣abcd∣=a⋅d−c⋅b\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-c\cdot b. Pentru A\displaystyle A obținem 1⋅6−2⋅(−5)\displaystyle 1\cdot 6-2\cdot(-5).
    det⁡A=1⋅6−2⋅(−5)\displaystyle \det A=1\cdot 6-2\cdot(-5)
  3. Calculăm produsele: 1⋅6=6\displaystyle 1\cdot 6=6, iar 2⋅(−5)=−10\displaystyle 2\cdot(-5)=-10. Scăderea lui −10\displaystyle -10 înseamnă adunarea lui 10\displaystyle 10, deci det⁡A=6+10=16\displaystyle \det A=6+10=16.
    det⁡A=6+10=16\displaystyle \det A=6+10=16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−526)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-5\\2&6\end{pmatrix}, B=(65−21)\displaystyle B=\begin{pmatrix}6&5\\-2&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care A⋅B=aI2\displaystyle A\cdot B=aI_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea aI2\displaystyle aI_2: înmulțim numărul a\displaystyle a cu fiecare element al matricei unitate, deci obținem a\displaystyle a pe diagonala principală și 0\displaystyle 0 în rest.
    aI2=(a00a)\displaystyle aI_2=\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementele produsului A⋅B\displaystyle A\cdot B, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui B\displaystyle B. Prima linie: 1⋅6+(−5)⋅(−2)=16\displaystyle 1\cdot 6+(-5)\cdot(-2)=16 și 1⋅5+(−5)⋅1=0\displaystyle 1\cdot 5+(-5)\cdot 1=0. A doua linie: 2⋅6+6⋅(−2)=0\displaystyle 2\cdot 6+6\cdot(-2)=0 și 2⋅5+6⋅1=16\displaystyle 2\cdot 5+6\cdot 1=16.
    A⋅B=(160016)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}16&0\\0&16\end{pmatrix}
  3. Egalăm matricea A⋅B\displaystyle A\cdot B cu matricea aI2\displaystyle aI_2 și obținem egalitatea matricelor din barem.
    (160016)=(a00a)\displaystyle \begin{pmatrix}16&0\\0&16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}
  4. Două matrice sunt egale când elementele de pe aceleași poziții sunt egale. Elementele de pe diagonala principală dau a=16\displaystyle a=16, iar celelalte elemente (0=0\displaystyle 0=0) sunt verificate. Deci a=16\displaystyle a=16.
    a=16\displaystyle a=16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−526)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-5\\2&6\end{pmatrix}, B=(65−21)\displaystyle B=\begin{pmatrix}6&5\\-2&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Demonstrați că det⁡(xA+1xB)≥49\displaystyle \det\left(xA+\frac{1}{x}B\right)\ge 49, pentru orice număr real nenul x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea xA+1xB\displaystyle xA+\dfrac{1}{x}B, înmulțind fiecare matrice cu scalarul ei și adunând element cu element.
    xA+1xB=(x+6x−5x+5x2x−2x6x+1x)\displaystyle xA+\frac{1}{x}B=\begin{pmatrix}x+\frac{6}{x}&-5x+\frac{5}{x}\\2x-\frac{2}{x}&6x+\frac{1}{x}\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul elementelor de pe diagonala principală: (x+6x)(6x+1x)=6x2+1+36+6x2\displaystyle \left(x+\dfrac{6}{x}\right)\left(6x+\dfrac{1}{x}\right)=6x^{2}+1+36+\dfrac{6}{x^{2}}.
    (x+6x)(6x+1x)=6x2+37+6x2\displaystyle \left(x+\frac{6}{x}\right)\left(6x+\frac{1}{x}\right)=6x^{2}+37+\frac{6}{x^{2}}
  3. Calculăm produsul elementelor de pe diagonala secundară: (−5x+5x)(2x−2x)=−10x2+10+10−10x2\displaystyle \left(-5x+\dfrac{5}{x}\right)\left(2x-\dfrac{2}{x}\right)=-10x^{2}+10+10-\dfrac{10}{x^{2}}.
    (−5x+5x)(2x−2x)=−10x2+20−10x2\displaystyle \left(-5x+\frac{5}{x}\right)\left(2x-\frac{2}{x}\right)=-10x^{2}+20-\frac{10}{x^{2}}
  4. Determinantul este diferența dintre cele două produse: 6x2+37+6x2−(−10x2+20−10x2)\displaystyle 6x^{2}+37+\dfrac{6}{x^{2}}-\left(-10x^{2}+20-\dfrac{10}{x^{2}}\right). Reducem termenii asemenea.
    det⁡(xA+1xB)=16x2+16x2+17\displaystyle \det\left(xA+\frac{1}{x}B\right)=16x^{2}+\frac{16}{x^{2}}+17
  5. Inegalitatea 16x2+16x2+17≥49\displaystyle 16x^{2}+\dfrac{16}{x^{2}}+17\ge 49 este echivalentă cu inegalitatea obținută după ce mutăm 49 în membrul stâng.
    16x2+16x2−32≥0\displaystyle 16x^{2}+\frac{16}{x^{2}}-32\ge 0
  6. Dăm factor comun 16 și recunoaștem pătratul unei diferențe, deoarece x2+1x2−2=(x−1x)2\displaystyle x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}-2=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^{2}. Un pătrat este mereu nenegativ, deci inegalitatea este adevărată pentru orice x\displaystyle x real nenul.
    16x2+16x2−32=16(x−1x)2≥0, deci det⁡(xA+1xB)≥49\displaystyle 16x^{2}+\frac{16}{x^{2}}-32=16\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}\ge 0\text{, deci }\det\left(xA+\frac{1}{x}B\right)\ge 49
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=5xy+15(x+y)+42\displaystyle x\circ y=5xy+15(x+y)+42.

Arătați că (−2)∘(−2)=2\displaystyle (-2)\circ(-2)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii x∘y=5xy+15(x+y)+42\displaystyle x\circ y=5xy+15(x+y)+42 pentru x=−2\displaystyle x=-2 și y=−2\displaystyle y=-2, adică înlocuim x\displaystyle x și y\displaystyle y cu −2\displaystyle -2.
    (−2)∘(−2)=5⋅(−2)⋅(−2)+15⋅(−2+(−2))+42\displaystyle (-2)\circ(-2)=5\cdot(-2)\cdot(-2)+15\cdot(-2+(-2))+42
  2. Calculăm separat termenii: 5⋅(−2)⋅(−2)=20\displaystyle 5\cdot(-2)\cdot(-2)=20, iar −2+(−2)=−4\displaystyle -2+(-2)=-4, deci 15⋅(−4)=−60\displaystyle 15\cdot(-4)=-60.
    (−2)∘(−2)=20−60+42\displaystyle (-2)\circ(-2)=20-60+42
  3. Efectuăm adunările și scăderile: 20−60=−40\displaystyle 20-60=-40, iar −40+42=2\displaystyle -40+42=2. Am obținut valoarea cerută.
    (−2)∘(−2)=2\displaystyle (-2)\circ(-2)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=5xy+15(x+y)+42\displaystyle x\circ y=5xy+15(x+y)+42.

Demonstrați că x∘y=5(x+3)(y+3)−3\displaystyle x\circ y=5(x+3)(y+3)-3, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=5xy+15(x+y)+42\displaystyle x\circ y=5xy+15(x+y)+42 și desfacem paranteza 15(x+y)\displaystyle 15(x+y).
    x∘y=5xy+15x+15y+42\displaystyle x\circ y=5xy+15x+15y+42
  2. Scriem 42=45−3\displaystyle 42=45-3, adică adăugăm și scădem 45\displaystyle 45, pentru a obține termenul 45\displaystyle 45 care va completa factorul comun.
    x∘y=5xy+15x+15y+45−3\displaystyle x\circ y=5xy+15x+15y+45-3
  3. Grupăm 5xy+15x=5x(y+3)\displaystyle 5xy+15x=5x(y+3) și 15y+45=15(y+3)\displaystyle 15y+45=15(y+3).
    x∘y=5x(y+3)+15(y+3)−3\displaystyle x\circ y=5x(y+3)+15(y+3)-3
  4. Dăm factor comun y+3\displaystyle y+3: (5x+15)(y+3)\displaystyle (5x+15)(y+3), apoi scoatem 5\displaystyle 5 din 5x+15=5(x+3)\displaystyle 5x+15=5(x+3).
    x∘y=5x(y+3)+15(y+3)−3=5(x+3)(y+3)−3\displaystyle x\circ y=5x(y+3)+15(y+3)-3=5(x+3)(y+3)-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=5xy+15(x+y)+42\displaystyle x\circ y=5xy+15(x+y)+42.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care (x−3)∘(x−3)∘(x−3)=197\displaystyle (x-3)\circ(x-3)\circ(x-3)=197.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea într-o formă mai comodă. Desfacem (x+3)(y+3)=xy+3x+3y+9\displaystyle (x+3)(y+3)=xy+3x+3y+9, deci 5xy+15(x+y)+45=5(x+3)(y+3)\displaystyle 5xy+15(x+y)+45=5(x+3)(y+3). Cum 42=45−3\displaystyle 42=45-3, obținem x∘y=5(x+3)(y+3)−3\displaystyle x\circ y=5(x+3)(y+3)-3.
    x∘y=5(x+3)(y+3)−3\displaystyle x\circ y=5(x+3)(y+3)-3
  2. Calculăm prima compunere, înlocuind x\displaystyle x și y\displaystyle y cu x−3\displaystyle x-3. Avem (x−3)+3=x\displaystyle (x-3)+3=x, deci (x−3)∘(x−3)=5⋅x⋅x−3\displaystyle (x-3)\circ(x-3)=5\cdot x\cdot x-3.
    (x−3)∘(x−3)=5x2−3\displaystyle (x-3)\circ(x-3)=5x^{2}-3
  3. Legea este asociativă, deci compunem rezultatul cu încă un x−3\displaystyle x-3: (5x2−3)∘(x−3)=5(5x2−3+3)(x−3+3)−3=5⋅5x2⋅x−3\displaystyle (5x^{2}-3)\circ(x-3)=5(5x^{2}-3+3)(x-3+3)-3=5\cdot 5x^{2}\cdot x-3.
    (x−3)∘(x−3)∘(x−3)=25x3−3\displaystyle (x-3)\circ(x-3)\circ(x-3)=25x^{3}-3
  4. Scriem ecuația 25x3−3=197\displaystyle 25x^{3}-3=197. Adunăm 3\displaystyle 3 la ambii membri și obținem 25x3=200\displaystyle 25x^{3}=200, apoi împărțim la 25\displaystyle 25.
    x3=8\displaystyle x^{3}=8
  5. Funcția x↦x3\displaystyle x\mapsto x^{3} este injectivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, iar 23=8\displaystyle 2^{3}=8, deci singura soluție reală este x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−2)ex\displaystyle f(x)=(x-2)e^x.

Arătați că f′(x)=(x−1)ex\displaystyle f'(x)=(x-1)e^x, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=(x−2)ex\displaystyle f(x)=(x-2)e^x este un produs de două funcții, u(x)=x−2\displaystyle u(x)=x-2 și v(x)=ex\displaystyle v(x)=e^x. Aplicăm formula de derivare a produsului: (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
    f′(x)=(x−2)′⋅ex+(x−2)⋅(ex)′\displaystyle f'(x)=(x-2)'\cdot e^x+(x-2)\cdot(e^x)'
  2. Avem (x−2)′=1\displaystyle (x-2)'=1 și (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x. Înlocuim în formulă.
    f′(x)=1⋅ex+(x−2)ex\displaystyle f'(x)=1\cdot e^x+(x-2)e^x
  3. Dăm factor comun ex\displaystyle e^x în cei doi termeni.
    f′(x)=ex(1+x−2)\displaystyle f'(x)=e^x\left(1+x-2\right)
  4. Reducem termenii din paranteză: 1+x−2=x−1\displaystyle 1+x-2=x-1. Obținem rezultatul cerut, valabil pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=(x−1)ex\displaystyle f'(x)=(x-1)e^x, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−2)ex\displaystyle f(x)=(x-2)e^x.

Arătați că lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x→−∞\displaystyle x\to-\infty avem x−2→−∞\displaystyle x-2\to-\infty și ex→0\displaystyle e^{x}\to 0, deci limita lim⁡x→−∞(x−2)ex\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(x-2)e^{x} este o nedeterminare de forma ∞⋅0\displaystyle \infty\cdot 0.
    lim⁡x→−∞(x−2)ex  :  ∞⋅0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(x-2)e^{x}\;:\;\infty\cdot 0
  2. Scriem produsul ca fracție, folosind ex=1e−x\displaystyle e^{x}=\dfrac{1}{e^{-x}}.
    lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞x−2e−x\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x-2}{e^{-x}}
  3. Pentru x→−∞\displaystyle x\to-\infty numărătorul x−2→−∞\displaystyle x-2\to-\infty, iar numitorul e−x→+∞\displaystyle e^{-x}\to+\infty. Avem o nedeterminare de forma ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}, deci putem aplica regula lui l'Hospital.
    −∞+∞\displaystyle \frac{-\infty}{+\infty}
  4. Derivăm separat: (x−2)′=1\displaystyle (x-2)'=1 și (e−x)′=−e−x\displaystyle \left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}.
    lim⁡x→−∞(x−2)′(e−x)′=lim⁡x→−∞1−e−x\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{(x-2)'}{\left(e^{-x}\right)'}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{-e^{-x}}
  5. Pentru x→−∞\displaystyle x\to-\infty avem −e−x→−∞\displaystyle -e^{-x}\to-\infty, deci fracția cu numărătorul 1\displaystyle 1 tinde la 0\displaystyle 0. Prin urmare lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0.
    lim⁡x→−∞1−e−x=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{-e^{-x}}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−2)ex\displaystyle f(x)=(x-2)e^x.

Demonstrați că −e≤f(x)≤0\displaystyle -e\le f(x)\le 0, pentru orice x∈(−∞,2]\displaystyle x\in(-\infty,2].
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției cu formula de derivare a produsului: (x−2)′=1\displaystyle (x-2)'=1, iar (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x. Apoi dăm factor comun ex\displaystyle e^x.
    f′(x)=ex+(x−2)ex=(x−1)ex\displaystyle f'(x)=e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x
  2. Deoarece ex>0\displaystyle e^x>0, semnul derivatei este dat de factorul x−1\displaystyle x-1. Pentru x<1\displaystyle x<1 avem f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0, deci f\displaystyle f este descrescătoare pe (−∞,1]\displaystyle (-\infty,1]. Pentru x∈(1,2]\displaystyle x\in(1,2] avem f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, deci f\displaystyle f este crescătoare pe [1,2]\displaystyle [1,2].
    f descresca˘toare pe (−∞,1]\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }(-\infty,1], f cresca˘toare pe [1,2]\displaystyle \ f\text{ crescătoare pe }[1,2]
  3. Calculăm limita la −∞\displaystyle -\infty. Scriem xex=xe−x\displaystyle xe^x=\dfrac{x}{e^{-x}} și notăm t=−x\displaystyle t=-x, cu t→+∞\displaystyle t\to+\infty. Obținem −tet→0\displaystyle -\dfrac{t}{e^{t}}\to 0, deoarece exponențiala crește mai repede decât t\displaystyle t. Cum și 2ex→0\displaystyle 2e^x\to 0, rezultă limita lui f\displaystyle f.
    lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞(xex−2ex)=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\left(xe^x-2e^x\right)=0
  4. Calculăm valorile funcției în x=1\displaystyle x=1 (punctul în care se schimbă monotonia) și în x=2\displaystyle x=2 (capătul din dreapta al intervalului).
    f(1)=(1−2)e=−e\displaystyle f(1)=(1-2)e=-e,f(2)=0⋅e2=0\displaystyle \quad f(2)=0\cdot e^2=0
  5. Pe (−∞,1]\displaystyle (-\infty,1] funcția descrește de la limita 0\displaystyle 0 până la f(1)=−e\displaystyle f(1)=-e, deci −e≤f(x)≤0\displaystyle -e\le f(x)\le 0. Pe [1,2]\displaystyle [1,2] funcția crește de la f(1)=−e\displaystyle f(1)=-e până la f(2)=0\displaystyle f(2)=0, deci tot −e≤f(x)≤0\displaystyle -e\le f(x)\le 0. Reunind cele două intervale, inegalitatea este adevărată pentru orice x∈(−∞,2]\displaystyle x\in(-\infty,2].
    lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0, f(1)=−e\displaystyle \ f(1)=-e, f(2)=0⇒−e≤f(x)≤0\displaystyle \ f(2)=0\Rightarrow -e\le f(x)\le 0, ∀x∈(−∞,2]\displaystyle \ \forall x\in(-\infty,2]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+1\displaystyle f(x)=3x^2+1.

Arătați că ∫−11(f(x)−1) dx=2\displaystyle \int_{-1}^{1}(f(x)-1)\,dx=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=3x2+1\displaystyle f(x)=3x^{2}+1 în integrand: f(x)−1=3x2+1−1\displaystyle f(x)-1=3x^{2}+1-1. Prin reducerea termenilor se obține f(x)−1=3x2\displaystyle f(x)-1=3x^{2}.
    f(x)−1=3x2\displaystyle f(x)-1=3x^{2}
  2. Integrala devine ∫−11(f(x)−1) dx=∫−113x2 dx\displaystyle \int_{-1}^{1}(f(x)-1)\,dx=\int_{-1}^{1}3x^{2}\,dx.
    ∫−11(f(x)−1) dx=∫−113x2 dx\displaystyle \int_{-1}^{1}(f(x)-1)\,dx=\int_{-1}^{1}3x^{2}\,dx
  3. O primitivă a funcției 3x2\displaystyle 3x^{2} este x3\displaystyle x^{3}, deoarece (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫−113x2 dx=x3∣−11\displaystyle \int_{-1}^{1}3x^{2}\,dx=x^{3}\Big|_{-1}^{1}.
    ∫−11(f(x)−1) dx=∫−113x2 dx=x3∣−11\displaystyle \int_{-1}^{1}(f(x)-1)\,dx=\int_{-1}^{1}3x^{2}\,dx=x^{3}\Big|_{-1}^{1}
  4. Calculăm x3∣−11=13−(−1)3=1−(−1)=2\displaystyle x^{3}\Big|_{-1}^{1}=1^{3}-(-1)^{3}=1-(-1)=2. Am arătat astfel că integrala este egală cu 2.
    1−(−1)=2\displaystyle 1-(-1)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+1\displaystyle f(x)=3x^2+1.

Demonstrați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f este crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a funcției f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R}. Din definiția primitivei, F\displaystyle F este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R} și derivata ei este chiar f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x)
  2. Înlocuim expresia lui f(x)\displaystyle f(x) și obținem derivata primitivei F\displaystyle F.
    F′(x)=3x2+1\displaystyle F'(x)=3x^{2}+1, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  3. Pentru orice x\displaystyle x real, x2≥0\displaystyle x^{2}\ge 0, deci 3x2≥0\displaystyle 3x^{2}\ge 0. Adunând 1\displaystyle 1, obținem o valoare cel puțin egală cu 1\displaystyle 1, deci strict pozitivă.
    3x2+1≥1>0\displaystyle 3x^{2}+1\ge 1>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  4. Derivata lui F\displaystyle F este strict pozitivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci F\displaystyle F este strict crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}, în particular crescătoare. Cum F\displaystyle F a fost aleasă arbitrar, orice primitivă a lui f\displaystyle f este crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    F′(x)>0⇒F este cresca˘toare pe R\displaystyle F'(x)>0\Rightarrow F\text{ este crescătoare pe }\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+1\displaystyle f(x)=3x^2+1.

Calculați ∫1ef(x)ln⁡x dx\displaystyle \int_{1}^{e}f(x)\ln x\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=3x2+1\displaystyle f(x)=3x^2+1 și aplicăm integrarea prin părți: derivăm logaritmul și integrăm polinomul. Alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=(3x2+1) dx\displaystyle dv=(3x^2+1)\,dx.
    ∫1e(3x2+1)ln⁡x dx\displaystyle \int_1^e (3x^2+1)\ln x\,dx
  2. Calculăm du=1x dx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}\,dx, iar o primitivă a lui 3x2+1\displaystyle 3x^2+1 este v=x3+x\displaystyle v=x^3+x.
    du=1x dx\displaystyle du=\frac{1}{x}\,dx,v=x3+x\displaystyle \quad v=x^3+x
  3. Aplicăm formula ∫u dv=uv−∫v du\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du pe intervalul [1,e]\displaystyle [1,e].
    ∫1e(3x2+1)ln⁡x dx=(x3+x)ln⁡x∣1e−∫1e(x3+x)⋅1x dx\displaystyle \int_1^e(3x^2+1)\ln x\,dx=(x^3+x)\ln x\Big|_1^e-\int_1^e(x^3+x)\cdot\frac{1}{x}\,dx
  4. Evaluăm termenul tăiat: pentru x=e\displaystyle x=e avem ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1, iar pentru x=1\displaystyle x=1 avem ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, deci obținem e3+e\displaystyle e^3+e. În integrală simplificăm x3+xx=x2+1\displaystyle \dfrac{x^3+x}{x}=x^2+1.
    e3+e−∫1e(x2+1) dx\displaystyle e^3+e-\int_1^e(x^2+1)\,dx
  5. Calculăm integrala rămasă, folosind primitiva x33+x\displaystyle \dfrac{x^3}{3}+x.
    ∫1e(x2+1) dx=(e33+e)−(13+1)\displaystyle \int_1^e(x^2+1)\,dx=\left(\frac{e^3}{3}+e\right)-\left(\frac{1}{3}+1\right)
  6. Scădem valoarea din e3+e\displaystyle e^3+e și reducem termenii: e\displaystyle e se reduce, iar e3−e33=2e33\displaystyle e^3-\dfrac{e^3}{3}=\dfrac{2e^3}{3}. Apoi adăugăm 13+1=43\displaystyle \dfrac{1}{3}+1=\dfrac{4}{3}. Obținem rezultatul final.
    e3+e−(e33+e)+(133+1)=2e3+43\displaystyle e^3+e-\left(\frac{e^3}{3}+e\right)+\left(\frac{1^3}{3}+1\right)=\frac{2e^3+4}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.