Bac matematică M3 tehnologic 2023, sesiunea I varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 3⋅(1+12)−12=4\displaystyle 3\cdot\left(1+\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}=4.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia dată, pentru a identifica ordinea corectă de efectuare a operațiilor: mai întâi paranteza, apoi înmulțirea, apoi scăderea.
    3⋅(1+12)−12\displaystyle 3\cdot\left(1+\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}
  2. Se efectuează suma din interiorul parantezei, aducând fracțiile la același numitor: 1\displaystyle 1 se scrie ca 22\displaystyle \dfrac{2}{2}, apoi se adună cu 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    1+12=22+12=32\displaystyle 1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}
  3. Se înlocuiește rezultatul parantezei în expresia inițială, obținând înmulțirea lui 3\displaystyle 3 cu 32\displaystyle \dfrac{3}{2}, urmată de scăderea lui 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    3⋅(1+12)−12=3⋅32−12\displaystyle 3\cdot\left(1+\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}=3\cdot\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}
  4. Se efectuează înmulțirea 3\displaystyle 3 cu 32\displaystyle \dfrac{3}{2}, obținând 92\displaystyle \dfrac{9}{2}, apoi se face scăderea 92−12\displaystyle \dfrac{9}{2} - \dfrac{1}{2}, iar prin simplificare rezultă 4\displaystyle 4, ceea ce trebuia demonstrat.
    =92−12=4\displaystyle =\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{2}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=x+2\displaystyle f(x)=x+2. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=6\displaystyle f(a)=6.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la funcția dată și se scrie expresia f(a)\displaystyle f(a) înlocuind variabila x\displaystyle x cu a\displaystyle a în formula funcției.
    f(a)=a+2\displaystyle f(a)=a+2
  2. Se pune condiția din enunț, și anume ca f(a)\displaystyle f(a) să fie egal cu 6\displaystyle 6, obținând astfel o ecuație în necunoscuta a\displaystyle a.
    a+2=6\displaystyle a+2=6
  3. Se rezolvă ecuația obținută, trecând termenul 2\displaystyle 2 în membrul drept cu semn schimbat, pentru a afla valoarea lui a\displaystyle a.
    a=6−2\displaystyle a=6-2
  4. Se efectuează scăderea și se obține valoarea finală a numărului real a\displaystyle a care verifică ecuația f(a)=6\displaystyle f(a)=6.
    a=4\displaystyle a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡7(2x+1)=log⁡79\displaystyle \log_7(2x+1)=\log_7 9.
Vezi rezolvarea
  1. Se pune condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv.
    2x+1>0⇒x>−12\displaystyle 2x+1>0\Rightarrow x>-\frac{1}{2}
  2. Deoarece cei doi logaritmi au aceeași bază (7\displaystyle 7), ecuația este echivalentă cu egalitatea argumentelor.
    2x+1=9\displaystyle 2x+1=9
  3. Se rezolvă ecuația de gradul I obținută, izolând necunoscuta x\displaystyle x.
    2x=9−1⇒2x=8\displaystyle 2x=9-1\Rightarrow 2x=8
  4. Se împarte prin 2\displaystyle 2 pentru a afla valoarea lui x\displaystyle x.
    x=4\displaystyle x=4
  5. Se verifică dacă soluția obținută respectă condiția de existență stabilită anterior.
    4>−12, deci condiția este \displaystyle 4>-\frac{1}{2}\text{, deci condiția este }ıˆndeplinita˘\displaystyle \text{îndeplinită}
  6. Se formulează concluzia finală a rezolvării ecuației.
    x=4, care convine\displaystyle x=4\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea A={1,2,3,…,23}\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,23\}, acesta să verifice inegalitatea n≥10\displaystyle n\geq 10.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică mulțimea din care se alege numărul: A={1,2,3,…,23}\displaystyle A = \{1, 2, 3, \ldots, 23\}, formată din 23\displaystyle 23 de numere naturale consecutive.
    A={1,2,3,…,23}\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,23\}
  2. Se determină numărul total de cazuri posibile, adică numărul de elemente ale mulțimii A\displaystyle A.
    23 cazuri posibile\displaystyle 23\text{ cazuri posibile}
  3. Se stabilesc cazurile favorabile: numerele din A\displaystyle A care satisfac inegalitatea n≥10\displaystyle n \geq 10, adică numerele de la 10\displaystyle 10 până la 23\displaystyle 23.
    {10,11,12,…,23}\displaystyle \{10,11,12,\ldots,23\}
  4. Se numără elementele mulțimii favorabile folosind formula pentru numărul de termeni ai unei progresii aritmetice: ultimul termen minus primul termen plus 1\displaystyle 1.
    23−10+1=14 cazuri favorabile\displaystyle 23-10+1=14\text{ cazuri favorabile}
  5. Se calculează probabilitatea ca raport dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile.
    p=1423\displaystyle p=\dfrac{14}{23}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−1,2)\displaystyle A(-1,2) și B(1,6)\displaystyle B(1,6). Determinați coordonatele mijlocului segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu M\displaystyle M mijlocul segmentului AB\displaystyle AB. Coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor: xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yM=yA+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2},yM=yA+yB2\displaystyle \quad y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  2. Înlocuim abscisele punctelor: xA=−1\displaystyle x_A=-1 și xB=1\displaystyle x_B=1. Suma lor este 0\displaystyle 0, deci abscisa mijlocului este 0\displaystyle 0.
    xM=−1+12=0\displaystyle x_M=\dfrac{-1+1}{2}=0
  3. Înlocuim ordonatele punctelor: yA=2\displaystyle y_A=2 și yB=6\displaystyle y_B=6. Suma lor este 8\displaystyle 8, iar împărțită la 2\displaystyle 2 dă 4\displaystyle 4. Deci mijlocul segmentului AB\displaystyle AB este M(0,4)\displaystyle M(0,4).
    yM=2+62=4\displaystyle y_M=\dfrac{2+6}{2}=4,M(0,4)\displaystyle \quad M(0,4)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AC=2\displaystyle AC=\sqrt{2} și BC=2\displaystyle BC=2. Arătați că triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică elementele triunghiului dreptunghic: unghiul drept este în A\displaystyle A, deci BC\displaystyle BC este ipotenuza, iar AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC sunt catete.
    BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^2=AB^2+AC^2
  2. Se înlocuiesc valorile cunoscute în relația lui Pitagora.
    22=AB2+(2)2\displaystyle 2^2=AB^2+(\sqrt{2})^2
  3. Se calculează pătratele și se izolează AB2\displaystyle AB^{2}.
    4=AB2+2⇒AB2=4−2=2\displaystyle 4=AB^2+2\Rightarrow AB^2=4-2=2
  4. Se extrage radical din AB2\displaystyle AB^{2} pentru a afla lungimea catetei AB\displaystyle AB, folosind teorema lui Pitagora.
    AB=BC2−AC2=2\displaystyle AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{2}
  5. Se compară valoarea obținută pentru AB\displaystyle AB cu valoarea dată pentru AC\displaystyle AC și se observă că sunt egale, deci triunghiul are două laturi congruente, adică este isoscel.
    AB=AC, deci triunghiul ABC este isoscel\displaystyle AB=AC\text{, deci triunghiul }ABC\text{ este isoscel}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}, B=(0442)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0 & 4\\ 4 & 2\end{pmatrix} și C=(−1221)\displaystyle C=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=−1\displaystyle \det A=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula determinantului pentru o matrice de ordinul 2\displaystyle 2, de forma (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}, determinantul fiind ad−bc\displaystyle ad-bc.
    det⁡(abcd)=ad−bc\displaystyle \det\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc
  2. Se identifică elementele matricei A\displaystyle A: a=3\displaystyle a=3, b=2\displaystyle b=2, c=2\displaystyle c=2, d=1\displaystyle d=1, apoi se scrie determinantul matricei A\displaystyle A conform formulei.
    det⁡A=∣3221∣=3⋅1−2⋅2\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3 & 2\\ 2 & 1\end{vmatrix}=3\cdot 1-2\cdot 2
  3. Se efectuează înmulțirile din expresia obținută: 3\displaystyle 3 ori 1\displaystyle 1 este 3\displaystyle 3, iar 2\displaystyle 2 ori 2\displaystyle 2 este 4\displaystyle 4.
    3⋅1−2⋅2=3−4\displaystyle 3\cdot 1-2\cdot 2=3-4
  4. Se efectuează scăderea finală pentru a obține valoarea determinantului matricei A\displaystyle A.
    =3−4=−1\displaystyle =3-4=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}, B=(0442)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0 & 4\\ 4 & 2\end{pmatrix} și C=(−1221)\displaystyle C=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}.

Arătați că 2B−A=3C\displaystyle 2B-A=3C.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează matricea 2B\displaystyle 2B, înmulțind fiecare element al matricei B\displaystyle B cu 2\displaystyle 2.
    2B=2(0442)=(0884)\displaystyle 2B=2\begin{pmatrix}0 & 4\\ 4 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 8\\ 8 & 4\end{pmatrix}
  2. Se scade matricea A\displaystyle A din 2B\displaystyle 2B, calculând diferența element cu element.
    2B−A=(0884)−(3221)=(−3663)\displaystyle 2B-A=\begin{pmatrix}0 & 8\\ 8 & 4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & 6\\ 6 & 3\end{pmatrix}
  3. Se observă că fiecare element al matricei obținute este de 3\displaystyle 3 ori elementul corespunzător din matricea C\displaystyle C, deci se factorizează 3\displaystyle 3 din matrice.
    (−3663)=3(−1221)\displaystyle \begin{pmatrix}-3 & 6\\ 6 & 3\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}
  4. Se recunoaște matricea din paranteză ca fiind exact matricea C\displaystyle C, obținându-se astfel egalitatea 2B−A=3C\displaystyle 2B-A=3C.
    2B−A=3(−1221)=3C\displaystyle 2B-A=3\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}=3C
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}, B=(0442)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0 & 4\\ 4 & 2\end{pmatrix} și C=(−1221)\displaystyle C=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care 2X⋅A=B+2C\displaystyle 2X\cdot A=B+2C.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la ecuația matriceală 2XA=B+2C\displaystyle 2XA=B+2C (forma echivalentă cu X=12(B+2C)A−1\displaystyle X=\dfrac{1}{2}(B+2C)A^{-1}) și calculăm mai întâi 2C\displaystyle 2C.
    2C=(−2442)\displaystyle 2C=\begin{pmatrix}-2 & 4\\ 4 & 2\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele B\displaystyle B și 2C\displaystyle 2C, element cu element.
    B+2C=(0+(−2)4+44+42+2)=(−2884)\displaystyle B+2C=\begin{pmatrix}0+(-2) & 4+4\\ 4+4 & 2+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 & 8\\ 8 & 4\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul matricei A\displaystyle A, necesar pentru determinarea inversei A−1\displaystyle A^{-1}.
    det⁡(A)=3⋅1−2⋅2=3−4=−1\displaystyle \det(A)=3\cdot1-2\cdot2=3-4=-1
  4. Determinăm matricea adjunctă a lui A\displaystyle A și, folosind determinantul calculat, obținem inversa A−1\displaystyle A^{-1}.
    A−1=1det⁡(A)(1−2−23)=1−1(1−2−23)=(−122−3)\displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}1 & -2\\ -2 & 3\end{pmatrix}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix}1 & -2\\ -2 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & -3\end{pmatrix}
  5. Centralizăm rezultatele obținute: suma B+2C\displaystyle B+2C și inversa A−1\displaystyle A^{-1}, punct de control din barem.
    B+2C=(−2884)\displaystyle B+2C=\begin{pmatrix}-2 & 8\\ 8 & 4\end{pmatrix}, A−1=(−122−3)\displaystyle \ A^{-1}=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & -3\end{pmatrix}
  6. Din ecuația 2XA=B+2C\displaystyle 2XA=B+2C izolăm X\displaystyle X: mai întâi împărțim ambii membri la 2\displaystyle 2, apoi înmulțim la dreapta cu A−1\displaystyle A^{-1} (deoarece A⋅A−1=I2\displaystyle A\cdot A^{-1}=I_2).
    X=12(B+2C)⋅A−1\displaystyle X=\dfrac{1}{2}(B+2C)\cdot A^{-1}
  7. Calculăm efectiv 12(B+2C)\displaystyle \dfrac{1}{2}(B+2C) și apoi produsul cu A−1\displaystyle A^{-1} pentru a obține matricea X\displaystyle X, finalizând rezolvarea.
    X=(9−1402)\displaystyle X=\begin{pmatrix}9 & -14\\ 0 & 2\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4.

Arătați că 5∗4=4\displaystyle 5*4=4.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată: x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4, urmând să înlocuim x=5\displaystyle x=5 și y=4\displaystyle y=4.
    x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4
  2. Se înlocuiesc valorile x=5\displaystyle x=5 și y=4\displaystyle y=4 în expresia legii de compoziție.
    5∗4=(5−4)(4−4)+4\displaystyle 5*4=(5-4)(4-4)+4
  3. Se calculează separat diferențele din paranteze: 5−4=1\displaystyle 5-4=1 și 4−4=0\displaystyle 4-4=0.
    5−4=1\displaystyle 5-4=1, 4−4=0\displaystyle \text{ }4-4=0
  4. Se înlocuiesc rezultatele diferențelor în expresie, obținând produsul lor plus 4\displaystyle 4.
    5∗4=1⋅0+4\displaystyle 5*4=1\cdot 0+4
  5. Se efectuează înmulțirea și adunarea pentru a obține rezultatul final.
    =1⋅0+4=4\displaystyle =1\cdot 0+4=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∗6=6x\displaystyle x*6=6x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție pentru perechea (x,6)\displaystyle (x,6), înlocuind y\displaystyle y cu 6\displaystyle 6 în formula dată.
    x∗6=(x−4)(6−4)+4\displaystyle x*6=(x-4)(6-4)+4
  2. Se calculează diferența 6−4\displaystyle 6-4 și se simplifică expresia obținută.
    x∗6=(x−4)⋅2+4\displaystyle x*6=(x-4)\cdot 2+4
  3. Se efectuează înmulțirea și se aduce expresia la forma finală, valabilă pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x∗6=2x−4, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*6=2x-4\text{, pentru orice număr real }x
  4. Se pune condiția din enunț (presupusă) ca x∗6\displaystyle x*6 să fie egal cu 6x\displaystyle 6x și se scrie ecuația corespunzătoare, obținând soluția.
    2x−4=6x, de unde obținem x=−1\displaystyle 2x-4=6x\text{, de unde obținem }x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4.

Determinați numerele naturale nenule n\displaystyle n pentru care 4n∗n>4\displaystyle \dfrac{4}{n}*n>4.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție pentru x=4n\displaystyle x=\dfrac{4}{n} și y=n\displaystyle y=n, unde n\displaystyle n este un număr natural nenul.
    4n∗n=(4n−4)(n−4)+4\displaystyle \dfrac{4}{n}*n=\left(\dfrac{4}{n}-4\right)(n-4)+4
  2. Se pune condiția ca acest rezultat să fie mai mare decât 4\displaystyle 4, conform cerinței problemei.
    (4n−4)(n−4)+4>4\displaystyle \left(\dfrac{4}{n}-4\right)(n-4)+4>4
  3. Se scade 4\displaystyle 4 din ambii membri ai inegalității.
    (4n−4)(n−4)>0\displaystyle \left(\dfrac{4}{n}-4\right)(n-4)>0
  4. Se scoate factorul 4\displaystyle 4 din prima paranteză și se împarte inegalitatea la 4\displaystyle 4 (care este pozitiv, deci sensul inegalității nu se schimbă), obținându-se forma cerută de barem.
    (4n−4)(n−4)>0⇔(1n−1)(n−4)>0, unde n este numa˘r natural nenul\displaystyle \left(\dfrac{4}{n}-4\right)(n-4)>0\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{n}-1\right)(n-4)>0\text{, unde }n\text{ este număr natural nenul}
  5. Se aduce fracția la un numitor comun, scriind 1n−1=1−nn\displaystyle \dfrac{1}{n} - 1 = \dfrac{1-n}{n}.
    1−nn⋅(n−4)>0\displaystyle \dfrac{1-n}{n}\cdot(n-4)>0
  6. Cum n\displaystyle n este natural nenul, avem n>0\displaystyle n>0, deci se poate înmulți inegalitatea cu n\displaystyle n fără a schimba sensul acesteia.
    (1−n)(n−4)>0\displaystyle (1-n)(n-4)>0
  7. Se schimbă semnul factorului (1−n)\displaystyle (1-n) în −(n−1)\displaystyle -(n-1), ceea ce inversează sensul inegalității, obținând forma factorizată standard.
    −(n−1)(n−4)>0⇔(n−1)(n−4)<0\displaystyle -(n-1)(n-4)>0\Leftrightarrow(n-1)(n-4)<0
  8. Se rezolvă inegalitatea de gradul al doilea: produsul (n−1)(n−4)\displaystyle (n-1)(n-4) este negativ între rădăcinile 1\displaystyle 1 și 4\displaystyle 4.
    1<n<4\displaystyle 1<n<4
  9. Se determină valorile naturale nenule ale lui n\displaystyle n care satisfac condiția 1<n<4\displaystyle 1<n<4, obținând soluția finală.
    n=2 și n=3\displaystyle n=2\text{ și }n=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=x3+6x2−15x+9\displaystyle f(x)=x^3+6x^2-15x+9.

Arătați că f′(x)=3(x2+4x−5)\displaystyle f'(x)=3(x^2+4x-5), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim regulile de derivare folosite: (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^n)'=nx^{n-1}, derivata unei constante este 0\displaystyle 0, iar derivata unei sume este suma derivatelor.
    (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^n)'=nx^{n-1}, (c)′=0\displaystyle \ (c)'=0, (u+v)′=u′+v′\displaystyle \ (u+v)'=u'+v'
  2. Derivăm fiecare termen al funcției în parte, aplicând regulile de mai sus.
    (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)'=3x^2, (6x2)′=6⋅2x\displaystyle \ (6x^2)'=6\cdot 2x, (−15x)′=−15\displaystyle \ (-15x)'=-15, (9)′=0\displaystyle \ (9)'=0
  3. Adunăm derivatele termenilor pentru a obține derivata funcției f\displaystyle f, folosind liniaritatea derivării.
    f′(x)=3x2+6⋅2x−15\displaystyle f'(x)=3x^2+6\cdot 2x-15
  4. Efectuăm înmulțirea 6⋅2x=12x\displaystyle 6\cdot 2x=12x pentru a obține forma simplificată a derivatei.
    f′(x)=3x2+12x−15\displaystyle f'(x)=3x^2+12x-15
  5. Dăm factor comun 3\displaystyle 3 din expresia obținută, pentru toate valorile reale ale lui x\displaystyle x.
    =3x2+12x−15=3(x2+4x−5)\displaystyle =3x^2+12x-15=3(x^2+4x-5), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=x3+6x2−15x+9\displaystyle f(x)=x^3+6x^2-15x+9.

Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f, folosind regulile de derivare pentru fiecare termen.
    f′(x)=3x2+12x−15\displaystyle f'(x)=3x^2+12x-15
  2. Se rezolvă ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0, împărțind mai întâi prin 3\displaystyle 3 pentru simplificare.
    f′(x)=0⇔3x2+12x−15=0⇔x2+4x−5=0\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow 3x^2+12x-15=0\Leftrightarrow x^2+4x-5=0
  3. Se calculează discriminantul ecuației de gradul al doilea obținute.
    Δ=16+20=36\displaystyle \Delta=16+20=36, Δ=6\displaystyle \ \sqrt{\Delta}=6
  4. Se determină rădăcinile ecuației, folosind formula de rezolvare a ecuației de gradul al doilea.
    x1,2=−4±62⇒x1=−5\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{-4\pm 6}{2}\Rightarrow x_1=-5, x2=1\displaystyle \ x_2=1
  5. Se scriu rădăcinile derivatei, care coincid cu pasul de control din barem.
    f′(x)=0⇔x=−5 sau x=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-5\text{ sau }x=1
  6. Se scrie derivata sub formă factorizată, folosind rădăcinile găsite, pentru a studia semnul acesteia.
    f′(x)=3(x+5)(x−1)\displaystyle f'(x)=3(x+5)(x-1)
  7. Se studiază semnul derivatei pe cele trei intervale determinate de rădăcini, folosind faptul că 3(x+5)(x−1)\displaystyle 3(x+5)(x-1) este o parabolă cu ramurile în sus (coeficientul dominant pozitiv).
    f′(x)>0 pe (−∞,−5)\displaystyle f'(x)>0\text{ pe }(-\infty,-5), f′(x)<0 pe (−5,1)\displaystyle \ f'(x)<0\text{ pe }(-5,1), f′(x)>0 pe (1,+∞)\displaystyle \ f'(x)>0\text{ pe }(1,+\infty)
  8. Se stabilește monotonia funcției f\displaystyle f pe baza semnului derivatei: unde f′\displaystyle f' este pozitivă, f\displaystyle f este crescătoare, iar unde f′\displaystyle f' este negativă, f\displaystyle f este descrescătoare.
    f cresca˘toare pe (−∞,−5]\displaystyle f\text{ crescătoare pe }(-\infty,-5], f descresca˘toare pe [−5,1]\displaystyle \ f\text{ descrescătoare pe }[-5,1], f cresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle \ f\text{ crescătoare pe }[1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=x3+6x2−15x+9\displaystyle f(x)=x^3+6x^2-15x+9.

Arătați că lim⁡x→+∞f′(x)exf′′(x)=0\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f'(x)}{e^x f''(x)}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se stabilește limita ce trebuie calculată, care implică derivatele întâi și a doua ale funcției f\displaystyle f.
    L=lim⁡x→+∞f′(x)exf′′(x)\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f'(x)}{e^x f''(x)}
  2. Se calculează derivata întâi a funcției f\displaystyle f.
    f′(x)=3x2+12x−15\displaystyle f'(x)=3x^2+12x-15
  3. Se calculează derivata a doua a funcției f\displaystyle f și se scrie sub formă factorizată.
    f′′(x)=6x+12=3(2x+4)\displaystyle f''(x)=6x+12=3(2x+4)
  4. Se înlocuiește f′(x)\displaystyle f'(x) și f′′(x)\displaystyle f''(x) în limită, se simplifică prin 3, se observă că se obține o formă nedeterminată ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty} pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty și se aplică prima dată regula lui l'Hôpital (derivând numărătorul și numitorul).
    f′′(x)=3(2x+4)\displaystyle f''(x)=3(2x+4), lim⁡x→+∞f′(x)exf′′(x)=lim⁡x→+∞x2+4x−5ex(2x+4)=lim⁡x→+∞2x+4ex(2x+6)\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f'(x)}{e^x f''(x)}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2+4x-5}{e^x(2x+4)}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x+4}{e^x(2x+6)}
  5. Se verifică faptul că limita obținută este tot de forma nedeterminată ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}, întrucât atât numărătorul 2x+4\displaystyle 2x+4, cât și numitorul ex(2x+6)\displaystyle e^x(2x+6) tind la +∞\displaystyle +\infty, deci se poate aplica din nou regula lui l'Hôpital.
    lim⁡x→+∞2x+4ex(2x+6), forma ∞∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x+4}{e^x(2x+6)}\text{, forma } \dfrac{\infty}{\infty}
  6. Se aplică a doua oară regula lui l'Hôpital, derivând din nou numărătorul și numitorul, și se calculează limita finală, observând că numitorul tinde la infinit iar numărătorul este constant.
    =lim⁡x→+∞2ex(2x+8)=0\displaystyle =\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2}{e^x(2x+8)}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−9,+∞)→R\displaystyle f:(-9,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=8xx+9\displaystyle f(x)=\dfrac{8x}{x+9}.

Arătați că ∫01(x+9)⋅f(x) dx=4\displaystyle \displaystyle\int_0^1 (x+9)\cdot f(x)\,dx=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=8xx+9\displaystyle f(x)=\dfrac{8x}{x+9} în produs: (x+9)⋅f(x)=(x+9)⋅8xx+9\displaystyle (x+9)\cdot f(x)=(x+9)\cdot\dfrac{8x}{x+9}. Pe intervalul (−9,+∞)\displaystyle (-9,+\infty) avem x+9≠0\displaystyle x+9\neq 0, deci putem simplifica cu x+9\displaystyle x+9.
    (x+9)⋅f(x)=8x\displaystyle (x+9)\cdot f(x)=8x
  2. Integrala devine ∫018x dx\displaystyle \displaystyle\int_0^1 8x\,dx. O primitivă a lui 8x\displaystyle 8x este 4x2\displaystyle 4x^{2}, deoarece (4x2)′=8x\displaystyle (4x^{2})'=8x.
    ∫01(x+9)⋅f(x) dx=∫018x dx=4x2∣01\displaystyle \int_0^1 (x+9)\cdot f(x)\,dx=\int_0^1 8x\,dx=4x^{2}\Big|_0^1
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: 4x2∣01=4⋅12−4⋅02=4−0=4\displaystyle 4x^{2}\Big|_0^1=4\cdot 1^{2}-4\cdot 0^{2}=4-0=4.
    4−0=4\displaystyle 4-0=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−9,+∞)→R\displaystyle f:(-9,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=8xx+9\displaystyle f(x)=\dfrac{8x}{x+9}.

Arătați că ∫1618x⋅f(x) dx=ln⁡32\displaystyle \displaystyle\int_1^6 \dfrac{1}{8x}\cdot f(x)\,dx=\ln\dfrac{3}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției f\displaystyle f și se calculează raportul f(x)8x\displaystyle \dfrac{f(x)}{8x}, simplificând factorul comun 8x\displaystyle 8x.
    f(x)8x=8x8x(x+9)=1x+9\displaystyle \dfrac{f(x)}{8x}=\dfrac{8x}{8x(x+9)}=\dfrac{1}{x+9}
  2. Se scrie integrala cerută și se înlocuiește integrandul cu forma simplificată obținută anterior.
    ∫1618x⋅f(x) dx=∫161x+9 dx\displaystyle \int_1^6 \dfrac{1}{8x}\cdot f(x)\,dx=\int_1^6 \dfrac{1}{x+9}\,dx
  3. Se observă că integrandul este de forma (x+9)′x+9\displaystyle \dfrac{(x+9)'}{x+9}, deci se poate integra folosind primitiva logaritmică, obținând astfel forma completă a calculului integralei nedefinite.
    ∫1618x⋅f(x) dx=∫161x+9 dx=∫16(x+9)′x+9 dx=ln⁡(x+9)∣16\displaystyle \int_1^6 \dfrac{1}{8x}\cdot f(x)\,dx=\int_1^6 \dfrac{1}{x+9}\,dx=\int_1^6 \dfrac{(x+9)'}{x+9}\,dx=\ln(x+9)\Big|_1^6
  4. Se înlocuiesc limitele de integrare în primitiva găsită, obținând valorile ln⁡(6+9)\displaystyle \ln(6+9) și ln⁡(1+9)\displaystyle \ln(1+9).
    ln⁡(6+9)−ln⁡(1+9)=ln⁡15−ln⁡10\displaystyle \ln(6+9)-\ln(1+9)=\ln 15-\ln 10
  5. Se simplifică diferența de logaritmi folosind proprietatea ln⁡a−ln⁡b=ln⁡(ab)\displaystyle \ln a - \ln b = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right), obținând rezultatul final.
    ln⁡15−ln⁡10=ln⁡32\displaystyle \ln 15-\ln 10=\ln\dfrac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−9,+∞)→R\displaystyle f:(-9,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=8xx+9\displaystyle f(x)=\dfrac{8x}{x+9}.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care ∫03f(x2) dx=6(4+aπ)\displaystyle \displaystyle\int_0^3 f(x^2)\,dx=6(4+a\pi).
Vezi rezolvarea
  1. Se determină expresia f(x2)\displaystyle f(x^{2}), înlocuind x\displaystyle x cu x2\displaystyle x^{2} în formula funcției f\displaystyle f.
    f(x2)=8x2x2+9\displaystyle f(x^2)=\dfrac{8x^2}{x^2+9}
  2. Se scrie integrala cerută și se rescrie integrandul prin împărțirea numărătorului la numitor, pentru a obține o formă ce conține un termen constant și unul de tip arctangentă.
    ∫03f(x2) dx=∫038x2x2+9 dx=8∫03(1−9x2+9)dx\displaystyle \int_0^3 f(x^2)\,dx=\int_0^3 \dfrac{8x^2}{x^2+9}\,dx=8\int_0^3\left(1-\dfrac{9}{x^2+9}\right)dx
  3. Se determină o primitivă a funcției obținute, folosind primitiva cunoscută a funcției de tip arctangentă.
    ∫(1−9x2+9)dx=x−3 arctgx3+C  ⇒  8x−24 arctgx3+C\displaystyle \int\left(1-\dfrac{9}{x^2+9}\right)dx=x-3\,\text{arctg}\dfrac{x}{3}+C\;\Rightarrow\;8x-24\,\text{arctg}\dfrac{x}{3}+C
  4. Se evaluează primitiva la capetele intervalului [0,3]\displaystyle [0,3] și se calculează valoarea integralei.
    ∫03f(x2) dx=8x∣03−8⋅93 arctgx3∣03=24−24⋅π4=24−6π\displaystyle \int_0^3 f(x^2)\,dx=8x\Big|_0^3-8\cdot\dfrac{9}{3}\,\text{arctg}\dfrac{x}{3}\Big|_0^3=24-24\cdot\dfrac{\pi}{4}=24-6\pi
  5. Se identifică valoarea integralei cu expresia dată, 6(4+aπ)\displaystyle 6(4+a\pi), și se rezolvă ecuația pentru a determina parametrul a\displaystyle a.
    24−6π=6(4+aπ), de unde obținem a=−1\displaystyle 24-6\pi=6(4+a\pi)\text{, de unde obținem }a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.