Bac matematică M3 tehnologic 2021, sesiunea I varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2⋅(2−34:12)=1\displaystyle 2\cdot\left(2-\frac{3}{4}:\frac{1}{2}\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Respectăm ordinea operațiilor: întâi împărțirea din paranteză. Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei, adică 34:12=34⋅2\displaystyle \dfrac{3}{4}:\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}\cdot 2.
    34:12=34⋅2\displaystyle \frac{3}{4}:\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\cdot 2
  2. Efectuăm înmulțirea și simplificăm fracția: 34⋅2=64=32\displaystyle \dfrac{3}{4}\cdot 2=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}. Expresia devine 2⋅(2−32)\displaystyle 2\cdot\left(2-\dfrac{3}{2}\right).
    2⋅(2−32)\displaystyle 2\cdot\left(2-\frac{3}{2}\right)
  3. Calculăm scăderea din paranteză, amplificând pe 2\displaystyle 2 pentru a avea același numitor: 2−32=42−32=12\displaystyle 2-\dfrac{3}{2}=\dfrac{4}{2}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}.
    2−32=42−32=12\displaystyle 2-\frac{3}{2}=\frac{4}{2}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}
  4. Efectuăm ultima operație, înmulțirea cu 2\displaystyle 2: 2⋅12=1\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}=1, deci egalitatea este demonstrată.
    2⋅12=1\displaystyle 2\cdot\frac{1}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+2\displaystyle f(x)=x+2 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x−4\displaystyle g(x)=x-4. Arătați că f(1)+g(1)=0\displaystyle f(1)+g(1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în formula funcției f\displaystyle f: f(1)=1+2\displaystyle f(1)=1+2.
    f(1)=1+2=3\displaystyle f(1)=1+2=3
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în formula funcției g\displaystyle g: g(1)=1−4\displaystyle g(1)=1-4.
    g(1)=1−4=−3\displaystyle g(1)=1-4=-3
  3. Adunăm cele două valori obținute: f(1)+g(1)=3+(−3)\displaystyle f(1)+g(1)=3+(-3). Suma este 0\displaystyle 0, deci egalitatea cerută este adevărată.
    f(1)+g(1)=3+(−3)=0\displaystyle f(1)+g(1)=3+(-3)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 24−x=4\displaystyle 2^{4-x}=4.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că numărul 4\displaystyle 4 din membrul drept se poate scrie ca putere a lui 2\displaystyle 2: 4=22\displaystyle 4=2^{2}.
    4=22\displaystyle 4=2^{2}
  2. Înlocuim în ecuație și obținem ambii membri cu aceeași bază, 2\displaystyle 2: 24−x=22\displaystyle 2^{4-x}=2^{2}.
    24−x=22\displaystyle 2^{4-x}=2^{2}
  3. Funcția exponențială de bază 2\displaystyle 2 este injectivă, deci din egalitatea puterilor rezultă egalitatea exponenților: 4−x=2\displaystyle 4-x=2.
    24−x=22⇔4−x=2\displaystyle 2^{4-x}=2^{2}\Leftrightarrow 4-x=2
  4. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: x=4−2=2\displaystyle x=4-2=2. Verificare: 24−2=22=4\displaystyle 2^{4-2}=2^{2}=4.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Un produs costă 70\displaystyle 70 de lei. Determinați prețul produsului după o scumpire cu 30%\displaystyle 30\%.
Vezi rezolvarea
  1. Scumpirea cu 30%\displaystyle 30\% înseamnă că prețul crește cu 30%\displaystyle 30\% din prețul inițial. Scriem procentul ca fracție: 30%=30100\displaystyle 30\% = \dfrac{30}{100}, apoi îl aplicăm la 70\displaystyle 70 de lei.
    30100⋅70\displaystyle \frac{30}{100}\cdot 70
  2. Calculăm valoarea scumpirii: 30100=310\displaystyle \dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{10}, deci 310⋅70=3⋅7=21\displaystyle \dfrac{3}{10}\cdot 70 = 3\cdot 7 = 21. Scumpirea este de 21\displaystyle 21 de lei.
    30100⋅70=21 de lei\displaystyle \frac{30}{100}\cdot 70=21\text{ de lei}
  3. Adăugăm scumpirea la prețul inițial: 70+21=91\displaystyle 70+21=91. Prețul produsului după scumpire este 91\displaystyle 91 de lei.
    70+21=91 de lei\displaystyle 70+21=91\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−3,4)\displaystyle A(-3,4), B(−3,0)\displaystyle B(-3,0) și C(0,4)\displaystyle C(0,4). Calculați perimetrul triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula distanței dintre două puncte: pentru M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2) avem MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
    MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
  2. Calculăm AB\displaystyle AB pentru A(−3,4)\displaystyle A(-3,4) și B(−3,0)\displaystyle B(-3,0): AB=(−3+3)2+(0−4)2=16=4\displaystyle AB=\sqrt{(-3+3)^2+(0-4)^2}=\sqrt{16}=4.
    AB=4\displaystyle AB=4
  3. Calculăm AC\displaystyle AC pentru A(−3,4)\displaystyle A(-3,4) și C(0,4)\displaystyle C(0,4): AC=(0+3)2+(4−4)2=9=3\displaystyle AC=\sqrt{(0+3)^2+(4-4)^2}=\sqrt{9}=3.
    AB=4\displaystyle AB=4, AC=3\displaystyle \ AC=3
  4. Calculăm BC\displaystyle BC pentru B(−3,0)\displaystyle B(-3,0) și C(0,4)\displaystyle C(0,4): BC=(0+3)2+(4−0)2=9+16=25=5\displaystyle BC=\sqrt{(0+3)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
    BC=5\displaystyle BC=5
  5. Adunăm lungimile laturilor: PΔABC=AB+BC+AC=4+5+3=12\displaystyle P_{\Delta ABC}=AB+BC+AC=4+5+3=12.
    BC=5\displaystyle BC=5, PΔABC=AB+BC+AC=12\displaystyle \ P_{\Delta ABC}=AB+BC+AC=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, în care AC=2\displaystyle AC=2, BC=4\displaystyle BC=4 și unghiul A\displaystyle A are măsura egală cu 30∘\displaystyle 30^\circ. Arătați că sin⁡B=14\displaystyle \sin B=\frac{1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Latura AC\displaystyle AC este opusă unghiului B\displaystyle B, iar latura BC\displaystyle BC este opusă unghiului A\displaystyle A. Avem AC=2\displaystyle AC=2, BC=4\displaystyle BC=4 și A=30∘\displaystyle A=30^\circ, deci putem aplica teorema sinusurilor.
    AC=2\displaystyle AC=2, BC=4\displaystyle \ BC=4, A=30∘\displaystyle \ A=30^\circ
  2. Teorema sinusurilor spune că ACsin⁡B=BCsin⁡A\displaystyle \dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{BC}{\sin A}.
    ACsin⁡B=BCsin⁡A\displaystyle \frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}
  3. Înlocuim AC=2\displaystyle AC=2, BC=4\displaystyle BC=4 și sin⁡A=sin⁡30∘=12\displaystyle \sin A=\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}.
    2sin⁡B=412\displaystyle \frac{2}{\sin B}=\frac{4}{\frac{1}{2}}
  4. Calculăm membrul drept: 412=4⋅2=8\displaystyle \dfrac{4}{\frac{1}{2}}=4\cdot 2=8. Obținem ecuația 2sin⁡B=8\displaystyle \dfrac{2}{\sin B}=8.
    2sin⁡B=8\displaystyle \frac{2}{\sin B}=8
  5. Din 2sin⁡B=8\displaystyle \dfrac{2}{\sin B}=8 obținem sin⁡B=28=14\displaystyle \sin B=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}, ceea ce trebuia arătat.
    sin⁡B=14\displaystyle \sin B=\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3−221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-2\\2&1\end{pmatrix}, B=(4−331)\displaystyle B=\begin{pmatrix}4&-3\\3&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=7\displaystyle \det A=7.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, adică determinantul de ordin 2 cu elementele ei: det⁡A=∣3−221∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3&-2\\2&1\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣3−221∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3&-2\\2&1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Pe diagonala principală sunt 3\displaystyle 3 și 1\displaystyle 1, iar pe cea secundară sunt −2\displaystyle -2 și 2\displaystyle 2.
    det⁡A=3⋅1−(−2)⋅2\displaystyle \det A=3\cdot 1-(-2)\cdot 2
  3. Calculăm produsele: 3⋅1=3\displaystyle 3\cdot 1=3, iar (−2)⋅2=−4\displaystyle (-2)\cdot 2=-4. Scăderea lui −4\displaystyle -4 înseamnă adunarea lui 4\displaystyle 4, deci det⁡A=3+4\displaystyle \det A=3+4.
    det⁡A=3+4\displaystyle \det A=3+4
  4. Efectuăm adunarea și obținem valoarea cerută: det⁡A=7\displaystyle \det A=7.
    det⁡A=7\displaystyle \det A=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3−221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-2\\2&1\end{pmatrix}, B=(4−331)\displaystyle B=\begin{pmatrix}4&-3\\3&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că 2B+I2=3A\displaystyle 2B+I_2=3A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm 2B\displaystyle 2B, înmulțind fiecare element al matricei B\displaystyle B cu 2\displaystyle 2.
    2B=(8−662)\displaystyle 2B=\begin{pmatrix}8&-6\\6&2\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricea unitate I2\displaystyle I_2, element cu element, la matricea 2B\displaystyle 2B. Se modifică doar elementele de pe diagonala principală.
    2B+I2=(8+1−6+06+02+1)=(9−663)\displaystyle 2B+I_2=\begin{pmatrix}8+1&-6+0\\6+0&2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9&-6\\6&3\end{pmatrix}
  3. Calculăm 3A\displaystyle 3A, înmulțind fiecare element al matricei A\displaystyle A cu 3\displaystyle 3.
    3A=3(3−221)=(9−663)\displaystyle 3A=3\begin{pmatrix}3&-2\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9&-6\\6&3\end{pmatrix}
  4. Cele două matrice sunt egale, deci egalitatea cerută este adevărată.
    2B+I2=(9−663)=3A\displaystyle 2B+I_2=\begin{pmatrix}9&-6\\6&3\end{pmatrix}=3A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3−221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-2\\2&1\end{pmatrix}, B=(4−331)\displaystyle B=\begin{pmatrix}4&-3\\3&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care A⋅X−B⋅X=I2−X\displaystyle A\cdot X-B\cdot X=I_2-X.
Vezi rezolvarea
  1. Mutăm toți termenii care îl conțin pe X\displaystyle X în partea stângă: A⋅X−B⋅X+X=I2\displaystyle A\cdot X-B\cdot X+X=I_2. Dăm X\displaystyle X factor comun la dreapta, scriind X=I2⋅X\displaystyle X=I_2\cdot X, și obținem (A−B+I2)⋅X=I2\displaystyle (A-B+I_2)\cdot X=I_2.
    (A−B+I2)⋅X=I2\displaystyle (A-B+I_2)\cdot X=I_2
  2. Calculăm A−B\displaystyle A-B, scăzând elementele de pe aceleași poziții: 3−4=−1\displaystyle 3-4=-1, −2−(−3)=1\displaystyle -2-(-3)=1, 2−3=−1\displaystyle 2-3=-1, 1−1=0\displaystyle 1-1=0.
    A−B=(−11−10)\displaystyle A-B=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}
  3. Adunăm I2\displaystyle I_2 la A−B\displaystyle A-B și notăm M=A−B+I2\displaystyle M=A-B+I_2. Se modifică doar elementele de pe diagonala principală: −1+1=0\displaystyle -1+1=0 și 0+1=1\displaystyle 0+1=1.
    M=A−B+I2=(01−11)\displaystyle M=A-B+I_2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&1\end{pmatrix}
  4. Verificăm dacă M\displaystyle M este inversabilă, calculând determinantul: 0⋅1−1⋅(−1)=1\displaystyle 0\cdot 1-1\cdot(-1)=1. Fiindcă det⁡M≠0\displaystyle \det M\neq 0, matricea M\displaystyle M este inversabilă.
    det⁡M=∣01−11∣=1≠0\displaystyle \det M=\begin{vmatrix}0&1\\-1&1\end{vmatrix}=1\neq 0
  5. Înmulțim egalitatea M⋅X=I2\displaystyle M\cdot X=I_2 la stânga cu M−1\displaystyle M^{-1}. Obținem M−1⋅M⋅X=M−1\displaystyle M^{-1}\cdot M\cdot X=M^{-1}, deci X=M−1\displaystyle X=M^{-1}.
    X=M−1=(A−B+I2)−1\displaystyle X=M^{-1}=(A-B+I_2)^{-1}
  6. Pentru M=(abcd)\displaystyle M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} avem M−1=1det⁡M(d−b−ca)\displaystyle M^{-1}=\dfrac{1}{\det M}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. Aici a=0\displaystyle a=0, b=1\displaystyle b=1, c=−1\displaystyle c=-1, d=1\displaystyle d=1 și det⁡M=1\displaystyle \det M=1, deci X=(1−110)\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}.
    X=(1−110)\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3−(x−3)(y−3)\displaystyle x*y=3-(x-3)(y-3).

Arătați că 1∗3=3\displaystyle 1*3=3.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∗y=3−(x−3)(y−3)\displaystyle x*y=3-(x-3)(y-3). Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=3\displaystyle y=3.
    1∗3=3−(1−3)(3−3)\displaystyle 1*3=3-(1-3)(3-3)
  2. Calculăm parantezele: 1−3=−2\displaystyle 1-3=-2 și 3−3=0\displaystyle 3-3=0.
    1∗3=3−(−2)⋅0\displaystyle 1*3=3-(-2)\cdot 0
  3. Produsul cu 0\displaystyle 0 este 0\displaystyle 0, deci 1∗3=3−0=3\displaystyle 1*3=3-0=3. Am arătat că 1∗3=3\displaystyle 1*3=3.
    1∗3=3−0=3\displaystyle 1*3=3-0=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3−(x−3)(y−3)\displaystyle x*y=3-(x-3)(y-3).

Arătați că e=2\displaystyle e=2 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul neutru trebuie să verifice x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Verificăm pentru e=2\displaystyle e=2, mai întâi x∗2\displaystyle x*2, înlocuind y=2\displaystyle y=2 în definiția legii.
    x∗2=3−(x−3)(2−3)\displaystyle x*2=3-(x-3)(2-3)
  2. Calculăm 2−3=−1\displaystyle 2-3=-1, deci produsul (x−3)(−1)\displaystyle (x-3)(-1) este −(x−3)\displaystyle -(x-3), iar minusul din fața lui îl transformă în +(x−3)\displaystyle +(x-3). Apoi reducem termenii.
    x∗2=3+(x−3)=3+x−3=x\displaystyle x*2=3+(x-3)=3+x-3=x
  3. Nu presupunem că legea este comutativă, ci verificăm direct și 2∗x\displaystyle 2*x, înlocuind primul element cu 2\displaystyle 2 în definiția legii.
    2∗x=3−(2−3)(x−3)\displaystyle 2*x=3-(2-3)(x-3)
  4. Calculăm 2−3=−1\displaystyle 2-3=-1, deci −(−1)(x−3)=x−3\displaystyle -(-1)(x-3)=x-3. Reducem termenii și obținem x\displaystyle x. Cum x∗2=2∗x=x\displaystyle x*2=2*x=x pentru orice x\displaystyle x real, 2\displaystyle 2 este elementul neutru.
    2∗x=3+(x−3)=x, deci e=2 este elementul neutru\displaystyle 2*x=3+(x-3)=x\text{, deci }e=2\text{ este elementul neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3−(x−3)(y−3)\displaystyle x*y=3-(x-3)(y-3).

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x\displaystyle x pentru care x∗(x+6)≥3\displaystyle x*(x+6)\ge 3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția legii pe y\displaystyle y cu x+6\displaystyle x+6. Obținem y−3=x+6−3=x+3\displaystyle y-3=x+6-3=x+3.
    y−3=x+3\displaystyle y-3=x+3
  2. Scriem expresia lui x∗(x+6)\displaystyle x*(x+6) folosind definiția legii: x∗(x+6)=3−(x−3)(x+3)\displaystyle x*(x+6)=3-(x-3)(x+3).
    x∗(x+6)=3−(x−3)(x+3)\displaystyle x*(x+6)=3-(x-3)(x+3)
  3. Punem condiția din enunț: 3−(x−3)(x+3)≥3\displaystyle 3-(x-3)(x+3)\ge 3.
    3−(x−3)(x+3)≥3\displaystyle 3-(x-3)(x+3)\ge 3
  4. Scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri și obținem −(x−3)(x+3)≥0\displaystyle -(x-3)(x+3)\ge 0. Înmulțim cu −1\displaystyle -1, ceea ce schimbă sensul inegalității: (x−3)(x+3)≤0\displaystyle (x-3)(x+3)\le 0.
    (x−3)(x+3)≤0\displaystyle (x-3)(x+3)\le 0
  5. Produsul are rădăcinile −3\displaystyle -3 și 3\displaystyle 3. Expresia x2−9\displaystyle x^{2}-9 are coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} pozitiv, deci este negativă între rădăcini și nulă în rădăcini. Deci x∈[−3,3]\displaystyle x\in[-3,3].
    x∈[−3,3]\displaystyle x\in[-3,3]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4x+ln⁡x−5\displaystyle f(x)=\frac{4}{x}+\ln x-5.

Arătați că f′(x)=x−4x2\displaystyle f'(x)=\frac{x-4}{x^2}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=4x+ln⁡x−5\displaystyle f(x)=\dfrac{4}{x}+\ln x-5 termen cu termen. Scriem 4x=4x−1\displaystyle \dfrac{4}{x}=4x^{-1}.
    f(x)=4x−1+ln⁡x−5\displaystyle f(x)=4x^{-1}+\ln x-5
  2. Folosim (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}, (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x} și (c)′=0\displaystyle (c)'=0. Avem (4x)′=4⋅(−1)x−2=−4x2\displaystyle \left(\dfrac{4}{x}\right)'=4\cdot(-1)x^{-2}=-\dfrac{4}{x^{2}}.
    f′(x)=−4x2+1x−0\displaystyle f'(x)=-\dfrac{4}{x^{2}}+\dfrac{1}{x}-0
  3. Numitorul comun este x2\displaystyle x^{2}. Amplificăm fracția 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} cu x\displaystyle x și obținem 1x=xx2\displaystyle \dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{x^{2}}.
    f′(x)=−4x2+xx2=−4+xx2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-4}{x^{2}}+\dfrac{x}{x^{2}}=\dfrac{-4+x}{x^{2}}
  4. Rearanjăm numărătorul: −4+x=x−4\displaystyle -4+x=x-4. Deci f′(x)=x−4x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x-4}{x^{2}} pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=x−4x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x-4}{x^{2}}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4x+ln⁡x−5\displaystyle f(x)=\frac{4}{x}+\ln x-5.

Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Derivata lui 4x\displaystyle \dfrac{4}{x} este −4x2\displaystyle -\dfrac{4}{x^{2}}, derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}, iar derivata constantei −5\displaystyle -5 este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=−4x2+1x\displaystyle f'(x)=-\dfrac{4}{x^{2}}+\dfrac{1}{x}
  2. Aducem derivata la același numitor x2\displaystyle x^{2}, pentru x>0\displaystyle x>0.
    f′(x)=x−4x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x-4}{x^{2}}
  3. Aflăm punctul critic: fracția este zero când numărătorul este zero, iar x2≠0\displaystyle x^{2}\neq 0 pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Rezolvăm x−4=0\displaystyle x-4=0.
    f′(x)=0⇔x=4\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=4
  4. Studiem semnul derivatei. Cum x2>0\displaystyle x^{2}>0 pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este semnul lui x−4\displaystyle x-4. Pentru x∈(0,4]\displaystyle x\in(0,4] avem x−4≤0\displaystyle x-4\le 0, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0. Pentru x∈[4,+∞)\displaystyle x\in[4,+\infty) avem x−4≥0\displaystyle x-4\ge 0, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0.
    f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0, x∈(0,4];f′(x)≥0\displaystyle \ x\in(0,4];\quad f'(x)\ge 0, x∈[4,+∞)\displaystyle \ x\in[4,+\infty)
  5. Concluzie: unde f′≤0\displaystyle f'\le 0 funcția scade, iar unde f′≥0\displaystyle f'\ge 0 funcția crește. Deci f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,4]\displaystyle (0,4] și crescătoare pe [4,+∞)\displaystyle [4,+\infty).
    f descresca˘toare pe (0,4]; f cresca˘toare pe [4,+∞)\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }(0,4];\ f\text{ crescătoare pe }[4,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4x+ln⁡x−5\displaystyle f(x)=\frac{4}{x}+\ln x-5. Arătați că nu există asimptotă spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Cercetăm existența unei asimptote oblice spre +∞\displaystyle +\infty de forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n, unde m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}. Scriem raportul:
    f(x)x=4x+ln⁡x−5x=4x2+ln⁡xx−5x\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{\frac{4}{x}+\ln x-5}{x}=\frac{4}{x^{2}}+\frac{\ln x}{x}-\frac{5}{x}
  2. Termenii 4x2\displaystyle \dfrac{4}{x^{2}} și −5x\displaystyle -\dfrac{5}{x} tind la 0\displaystyle 0. Din lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0 (logaritmul crește mai încet decât x\displaystyle x) obținem m=0\displaystyle m=0. Prin urmare:
    lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞(4x2+ln⁡xx−5x)=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{4}{x^{2}}+\frac{\ln x}{x}-\frac{5}{x}\right)=0
  3. Cum m=0\displaystyle m=0, o asimptotă spre +∞\displaystyle +\infty ar putea exista doar dacă lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x) ar fi finită. Dar 4x→0\displaystyle \dfrac{4}{x}\to 0, ln⁡x→+∞\displaystyle \ln x\to+\infty, iar −5\displaystyle -5 este constant, deci limita este infinită. Prin urmare graficul funcției f\displaystyle f nu are asimptotă spre +∞\displaystyle +\infty:
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞(4x+ln⁡x−5)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{4}{x}+\ln x-5\right)=+\infty
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+3x2+3\displaystyle f(x)=e^x+3x^2+3.

Arătați că ∫12(f(x)−ex−3)dx=7\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-e^x-3\right)dx=7.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=ex+3x2+3\displaystyle f(x)=e^x+3x^2+3 în integrand: f(x)−ex−3=ex+3x2+3−ex−3\displaystyle f(x)-e^x-3=e^x+3x^2+3-e^x-3. Termenii ex\displaystyle e^x și 3\displaystyle 3 se reduc, deci rămâne 3x2\displaystyle 3x^2.
    f(x)−ex−3=3x2\displaystyle f(x)-e^x-3=3x^2
  2. Integrala devine ∫123x2 dx\displaystyle \int_1^2 3x^2\,dx. O primitivă a funcției 3x2\displaystyle 3x^2 este x3\displaystyle x^3, deci după formula Leibniz-Newton obținem x3∣12\displaystyle x^3\Big|_1^2.
    ∫12(f(x)−ex−3)dx=∫123x2 dx=x3∣12\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-e^x-3\right)dx=\int_1^2 3x^2\,dx=x^3\Big|_1^2
  3. Calculăm x3∣12=23−13=8−1=7\displaystyle x^3\Big|_1^2=2^3-1^3=8-1=7, ceea ce trebuia demonstrat.
    23−13=8−1=7\displaystyle 2^3-1^3=8-1=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+3x2+3\displaystyle f(x)=e^x+3x^2+3.

Arătați că ∫01x(f(x)−3x2)dx=52\displaystyle \int_0^1 x\left(f(x)-3x^2\right)dx=\frac{5}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Din f(x)=ex+3x2+3\displaystyle f(x)=e^x+3x^2+3 obținem f(x)−3x2=ex+3\displaystyle f(x)-3x^2=e^x+3.
    f(x)−3x2=ex+3\displaystyle f(x)-3x^2=e^x+3
  2. Integrandul devine x(ex+3)=xex+3x\displaystyle x\left(e^x+3\right)=xe^x+3x, deci integrala se scrie ca o sumă de două integrale.
    ∫01x(f(x)−3x2)dx=∫01(xex+3x)dx=∫01xex dx+∫013x dx\displaystyle \int_0^1 x\left(f(x)-3x^2\right)dx=\int_0^1\left(xe^x+3x\right)dx=\int_0^1 xe^x\,dx+\int_0^1 3x\,dx
  3. Pentru ∫01xex dx\displaystyle \int_0^1 xe^x\,dx alegem u=x\displaystyle u=x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x. Rezultă ∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex\displaystyle \int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x.
    ∫01xex dx=(xex−ex)∣01\displaystyle \int_0^1 xe^x\,dx=\left(xe^x-e^x\right)\Big|_0^1
  4. Pentru a doua integrală, o primitivă a lui 3x\displaystyle 3x este 3x22\displaystyle \dfrac{3x^2}{2}. Astfel, folosind formula Leibniz-Newton, obținem expresia de mai jos.
    ∫01(xex+3x)dx=(xex−ex)∣01+3x22∣01\displaystyle \int_0^1\left(xe^x+3x\right)dx=\left(xe^x-e^x\right)\Big|_0^1+\frac{3x^2}{2}\Big|_0^1
  5. Prima parte: (xex−ex)∣01=(e−e)−(0−1)=0+1=1\displaystyle \left(xe^x-e^x\right)\Big|_0^1=(e-e)-(0-1)=0+1=1.
    (xex−ex)∣01=(e−e)−(0−1)=1\displaystyle \left(xe^x-e^x\right)\Big|_0^1=(e-e)-(0-1)=1
  6. A doua parte: 3x22∣01=32−0=32\displaystyle \dfrac{3x^2}{2}\Big|_0^1=\dfrac{3}{2}-0=\dfrac{3}{2}. Adunăm: 1+32=52\displaystyle 1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}, ceea ce trebuia arătat.
    1+32=52\displaystyle 1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+3x2+3\displaystyle f(x)=e^x+3x^2+3.

Determinați a∈(0,1)\displaystyle a\in(0,1), știind că ∫0a1f(x)−f′(x)dx=16\displaystyle \int_0^a\frac{1}{f(x)-f'(x)}dx=\frac{1}{6}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f: (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, (3x2)′=6x\displaystyle (3x^2)'=6x, iar derivata constantei este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=ex+6x\displaystyle f'(x)=e^x+6x
  2. Scădem: f(x)−f′(x)=ex+3x2+3−ex−6x=3x2−6x+3\displaystyle f(x)-f'(x)=e^x+3x^2+3-e^x-6x=3x^2-6x+3. Dăm factor comun 3\displaystyle 3 și folosim formula pătratului diferenței.
    f(x)−f′(x)=3(x2−2x+1)=3(x−1)2\displaystyle f(x)-f'(x)=3(x^2-2x+1)=3(x-1)^2
  3. Înlocuim în integrală și scoatem constanta 13\displaystyle \dfrac{1}{3} în fața integralei.
    ∫0a1f(x)−f′(x)dx=13∫0a1(x−1)2dx\displaystyle \int_0^a\frac{1}{f(x)-f'(x)}dx=\frac{1}{3}\int_0^a\frac{1}{(x-1)^2}dx
  4. O primitivă a lui 1(x−1)2\displaystyle \dfrac{1}{(x-1)^2} este −1x−1\displaystyle -\dfrac{1}{x-1}. Aplicăm formula Leibniz-Newton între 0\displaystyle 0 și a\displaystyle a; pentru a∈(0,1)\displaystyle a\in(0,1) funcția este continuă pe [0,a]\displaystyle [0,a], deoarece x−1≠0\displaystyle x-1\neq 0. Avem −13⋅1x−1∣0a=−13(1a−1−10−1)\displaystyle -\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{x-1}\Big|_0^a=-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a-1}-\dfrac{1}{0-1}\right), iar −10−1=1\displaystyle -\dfrac{1}{0-1}=1.
    ∫0a1f(x)−f′(x)dx=−13⋅(1a−1+1)\displaystyle \int_0^a\frac{1}{f(x)-f'(x)}dx=-\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{a-1}+1\right)
  5. Egalăm rezultatul cu 16\displaystyle \dfrac{1}{6}: −13(1a−1+1)=16\displaystyle -\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a-1}+1\right)=\dfrac{1}{6}. Înmulțim ambii membri cu −3\displaystyle -3 și obținem 1a−1+1=−12\displaystyle \dfrac{1}{a-1}+1=-\dfrac{1}{2}.
    1a−1+1=−12\displaystyle \frac{1}{a-1}+1=-\frac{1}{2}
  6. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri: 1a−1=−32\displaystyle \dfrac{1}{a-1}=-\dfrac{3}{2}. Rezultă a−1=−23\displaystyle a-1=-\dfrac{2}{3}, deci a=13\displaystyle a=\dfrac{1}{3}. Deoarece 13∈(0,1)\displaystyle \dfrac{1}{3}\in(0,1), valoarea convine.
    a=13, care convine\displaystyle a=\frac{1}{3}\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.