Bac matematică M3 tehnologic 2017, sesiunea I rezervă varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (2−12):12=3\displaystyle \left(2-\frac{1}{2}\right):\frac{1}{2}=3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem numărul 2\displaystyle 2 ca fracție cu numitorul 2\displaystyle 2, pentru a putea face scăderea din paranteză: 2=42\displaystyle 2=\dfrac{4}{2}.
    2=42\displaystyle 2=\frac{4}{2}
  2. Calculăm paranteza: 2−12=42−12=32\displaystyle 2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}.
    2−12=42−12=32\displaystyle 2-\frac{1}{2}=\frac{4}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}
  3. Înlocuim rezultatul din paranteză în expresia dată: (2−12):12=32:12\displaystyle \left(2-\dfrac{1}{2}\right):\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}:\dfrac{1}{2}.
    (2−12):12=32:12\displaystyle \left(2-\frac{1}{2}\right):\frac{1}{2}=\frac{3}{2}:\frac{1}{2}
  4. Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversul ei. Inversul lui 12\displaystyle \dfrac{1}{2} este 21\displaystyle \dfrac{2}{1}, deci 32:12=32⋅21\displaystyle \dfrac{3}{2}:\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{1}. Simplificăm cei doi de la numitor cu cel de la numărător și obținem 3\displaystyle 3.
    32:12=32⋅21=3\displaystyle \frac{3}{2}:\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{1}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^2+1. Calculați f(−1)⋅f(1)\displaystyle f(-1)\cdot f(1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu −1\displaystyle -1 în formula funcției: f(−1)=(−1)2+1\displaystyle f(-1)=(-1)^{2}+1.
    f(−1)=(−1)2+1\displaystyle f(-1)=(-1)^{2}+1
  2. Calculăm: (−1)2=1\displaystyle (-1)^{2}=1, deci f(−1)=1+1=2\displaystyle f(-1)=1+1=2.
    f(−1)=2\displaystyle f(-1)=2
  3. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1: f(1)=12+1=1+1=2\displaystyle f(1)=1^{2}+1=1+1=2.
    f(1)=12+1=2\displaystyle f(1)=1^{2}+1=2
  4. Înmulțim cele două valori obținute: f(−1)⋅f(1)=2⋅2=4\displaystyle f(-1)\cdot f(1)=2\cdot 2=4.
    f(−1)⋅f(1)=2⋅2=4\displaystyle f(-1)\cdot f(1)=2\cdot 2=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 32x+2=9\displaystyle 3^{2x+2}=9.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem pe 9\displaystyle 9 ca putere a lui 3\displaystyle 3: 9=32\displaystyle 9=3^{2}. Astfel ecuația devine 32x+2=32\displaystyle 3^{2x+2}=3^{2}.
    32x+2=32\displaystyle 3^{2x+2}=3^{2}
  2. Funcția exponențială cu baza 3\displaystyle 3 este injectivă, deci dacă puterile lui 3\displaystyle 3 sunt egale, atunci și exponenții sunt egali. Obținem 2x+2=2\displaystyle 2x+2=2.
    2x+2=2\displaystyle 2x+2=2
  3. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri: 2x=0\displaystyle 2x=0. Împărțind la 2\displaystyle 2 obținem x=0\displaystyle x=0. Verificare: 32⋅0+2=32=9\displaystyle 3^{2\cdot 0+2}=3^{2}=9, deci soluția convine.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={11,22,33,44,55,66,77,88,99}\displaystyle A=\{11,22,33,44,55,66,77,88,99\}, acesta să fie multiplu de 2\displaystyle 2.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Cazurile posibile sunt toate elementele mulțimii A\displaystyle A. Numărăm cele 9\displaystyle 9 elemente: 11,22,33,44,55,66,77,88,99\displaystyle 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.
    nr. cazuri posibile=9\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=9
  3. Un număr este multiplu de 2\displaystyle 2 dacă este par, adică are ultima cifră pară. Dintre elementele mulțimii A\displaystyle A, sunt pare 22,44,66\displaystyle 22, 44, 66 și 88\displaystyle 88, deci avem 4\displaystyle 4 cazuri favorabile.
    nr. cazuri favorabile=4\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=4
  4. Înlocuim în formulă: p=49\displaystyle p=\dfrac{4}{9}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=49\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{4}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,1)\displaystyle A(2,1) și B(2,−1)\displaystyle B(2,-1). Arătați că AO=OB\displaystyle AO=OB.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula distanței dintre două puncte: pentru M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2) avem MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}. Originea este O(0,0)\displaystyle O(0,0).
    MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}
  2. Calculăm AO\displaystyle AO pentru A(2,1)\displaystyle A(2,1) și O(0,0)\displaystyle O(0,0): AO=(0−2)2+(0−1)2=4+1\displaystyle AO=\sqrt{(0-2)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{4+1}.
    AO=(0−2)2+(0−1)2=4+1=5\displaystyle AO=\sqrt{(0-2)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}
  3. Calculăm BO\displaystyle BO pentru B(2,−1)\displaystyle B(2,-1) și O(0,0)\displaystyle O(0,0): BO=(0−2)2+(0−(−1))2=4+1\displaystyle BO=\sqrt{(0-2)^{2}+(0-(-1))^{2}}=\sqrt{4+1}.
    BO=(0−2)2+(0+1)2=4+1=5\displaystyle BO=\sqrt{(0-2)^{2}+(0+1)^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}
  4. Cum AO=5\displaystyle AO=\sqrt{5} și BO=5\displaystyle BO=\sqrt{5}, iar BO=OB\displaystyle BO=OB, rezultă AO=OB\displaystyle AO=OB.
    AO=BO=5⇒AO=OB\displaystyle AO=BO=\sqrt{5}\Rightarrow AO=OB
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡245∘−cos⁡260∘=14\displaystyle \sin^2 45^\circ-\cos^2 60^\circ=\frac{1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de 45∘\displaystyle 45^\circ și 60∘\displaystyle 60^\circ: sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, iar cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡60∘=12\displaystyle \ \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}
  2. Înlocuim aceste valori în expresia sin⁡245∘−cos⁡260∘\displaystyle \sin^2 45^\circ-\cos^2 60^\circ, ridicând fiecare valoare la pătrat.
    sin⁡245∘−cos⁡260∘=(22)2−(12)2\displaystyle \sin^2 45^\circ-\cos^2 60^\circ=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2
  3. Calculăm pătratele: (2)2=2\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^2=2 și 22=4\displaystyle 2^2=4, deci prima fracție devine 24\displaystyle \dfrac{2}{4}; a doua fracție este 14\displaystyle \dfrac{1}{4}.
    24−14\displaystyle \dfrac{2}{4}-\dfrac{1}{4}
  4. Fracțiile au același numitor, deci scădem numărătorii: 2−1=1\displaystyle 2-1=1. Obținem 14\displaystyle \dfrac{1}{4}, adică exact valoarea cerută.
    24−14=14\displaystyle \dfrac{2}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1331)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\3&1\end{pmatrix} și B=(022x)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&2\\2&x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=−8\displaystyle \det A=-8.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea este A=(1331)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\3&1\end{pmatrix}. Pentru o matrice de ordin 2 avem formula ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c.
    ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c
  2. Înlocuim a=1\displaystyle a=1, b=3\displaystyle b=3, c=3\displaystyle c=3, d=1\displaystyle d=1. Diagonala principală dă 1⋅1\displaystyle 1\cdot 1, iar diagonala secundară dă 3⋅3\displaystyle 3\cdot 3.
    det⁡A=∣1331∣=1⋅1−3⋅3\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&3\\3&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-3\cdot 3
  3. Calculăm produsele: 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1 și 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9. Apoi scădem și obținem 1−9=−8\displaystyle 1-9=-8, deci det⁡A=−8\displaystyle \det A=-8.
    1−9=−8\displaystyle 1-9=-8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1331)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\3&1\end{pmatrix} și B=(022x)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&2\\2&x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A⋅A−2A=8I2\displaystyle A\cdot A-2A=8I_2, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este 1⋅1+3⋅3=10\displaystyle 1\cdot 1+3\cdot 3=10.
    a11=1⋅1+3⋅3=10\displaystyle a_{11}=1\cdot 1+3\cdot 3=10
  2. Elementul de pe linia 1, coloana 2 este 1⋅3+3⋅1=6\displaystyle 1\cdot 3+3\cdot 1=6. Din simetrie, elementul de pe linia 2, coloana 1 este tot 6\displaystyle 6, iar cel de pe linia 2, coloana 2 este 3⋅3+1⋅1=10\displaystyle 3\cdot 3+1\cdot 1=10. Rezultă A⋅A\displaystyle A\cdot A.
    A⋅A=(106610)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}10&6\\6&10\end{pmatrix}
  3. Calculăm 2A\displaystyle 2A, înmulțind fiecare element al matricei A\displaystyle A cu 2\displaystyle 2.
    2A=(2662)\displaystyle 2A=\begin{pmatrix}2&6\\6&2\end{pmatrix}
  4. Scădem matricele element cu element: 10−2=8\displaystyle 10-2=8, 6−6=0\displaystyle 6-6=0, 6−6=0\displaystyle 6-6=0, 10−2=8\displaystyle 10-2=8.
    A⋅A−2A=(106610)−(2662)=(8008)\displaystyle A\cdot A-2A=\begin{pmatrix}10&6\\6&10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&6\\6&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&0\\0&8\end{pmatrix}
  5. Scoatem factorul 8\displaystyle 8 în fața matricei și recunoaștem matricea unitate I2\displaystyle I_2. Astfel egalitatea cerută este demonstrată.
    (8008)=8⋅(1001)=8I2\displaystyle \begin{pmatrix}8&0\\0&8\end{pmatrix}=8\cdot\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=8I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1331)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\3&1\end{pmatrix} și B=(022x)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&2\\2&x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că det⁡(A⋅B−B⋅A)≥0\displaystyle \det(A\cdot B-B\cdot A)\ge 0, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui B\displaystyle B: (1331)⋅(022x)\displaystyle \begin{pmatrix}1&3\\3&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&2\\2&x\end{pmatrix}. Elementele sunt 1⋅0+3⋅2=6\displaystyle 1\cdot 0+3\cdot 2=6, 1⋅2+3⋅x=2+3x\displaystyle 1\cdot 2+3\cdot x=2+3x, 3⋅0+1⋅2=2\displaystyle 3\cdot 0+1\cdot 2=2 și 3⋅2+1⋅x=6+x\displaystyle 3\cdot 2+1\cdot x=6+x.
    A⋅B=(62+3x26+x)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}6&2+3x\\2&6+x\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul B⋅A\displaystyle B\cdot A, înmulțind liniile lui B\displaystyle B cu coloanele lui A\displaystyle A: (022x)⋅(1331)\displaystyle \begin{pmatrix}0&2\\2&x\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&3\\3&1\end{pmatrix}. Elementele sunt 0⋅1+2⋅3=6\displaystyle 0\cdot 1+2\cdot 3=6, 0⋅3+2⋅1=2\displaystyle 0\cdot 3+2\cdot 1=2, 2⋅1+x⋅3=2+3x\displaystyle 2\cdot 1+x\cdot 3=2+3x și 2⋅3+x⋅1=6+x\displaystyle 2\cdot 3+x\cdot 1=6+x.
    B⋅A=(622+3x6+x)\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}6&2\\2+3x&6+x\end{pmatrix}
  3. Scădem cele două matrice element cu element. Pe diagonală obținem 6−6=0\displaystyle 6-6=0 și (6+x)−(6+x)=0\displaystyle (6+x)-(6+x)=0. În colțul din dreapta sus avem (2+3x)−2=3x\displaystyle (2+3x)-2=3x, iar în colțul din stânga jos 2−(2+3x)=−3x\displaystyle 2-(2+3x)=-3x.
    A⋅B−B⋅A=(03x−3x0)\displaystyle A\cdot B-B\cdot A=\begin{pmatrix}0&3x\\-3x&0\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică 0⋅0−3x⋅(−3x)=9x2\displaystyle 0\cdot 0-3x\cdot(-3x)=9x^{2}. Cum x2≥0\displaystyle x^{2}\ge 0 pentru orice număr real x\displaystyle x, rezultă 9x2≥0\displaystyle 9x^{2}\ge 0, deci inegalitatea cerută este demonstrată.
    det⁡(A⋅B−B⋅A)=∣03x−3x0∣=9x2≥0, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \det(A\cdot B-B\cdot A)=\begin{vmatrix}0&3x\\-3x&0\end{vmatrix}=9x^{2}\ge 0\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=2X3+3X2−X−2\displaystyle f=2X^3+3X^2-X-2.

Arătați că f(1)=2\displaystyle f(1)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în expresia polinomului f=2X3+3X2−X−2\displaystyle f=2X^3+3X^2-X-2.
    f(1)=2⋅13+3⋅12−1−2\displaystyle f(1)=2\cdot 1^3+3\cdot 1^2-1-2
  2. Calculăm puterile lui 1\displaystyle 1: 13=1\displaystyle 1^3=1 și 12=1\displaystyle 1^2=1, deci 2⋅13=2\displaystyle 2\cdot 1^3=2 și 3⋅12=3\displaystyle 3\cdot 1^2=3.
    f(1)=2+3−1−2\displaystyle f(1)=2+3-1-2
  3. Efectuăm adunările și scăderile: 2+3=5\displaystyle 2+3=5, apoi 5−1=4\displaystyle 5-1=4, apoi 4−2=2\displaystyle 4-2=2. Am obținut valoarea cerută.
    f(1)=2+3−1−2=2\displaystyle f(1)=2+3-1-2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=2X3+3X2−X−2\displaystyle f=2X^3+3X^2-X-2.

Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la polinomul X+1\displaystyle X+1.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim polinomul f\displaystyle f la X+1=X−(−1)\displaystyle X+1=X-(-1), deci folosim valoarea −1\displaystyle -1 în schema lui Horner. Coeficienții lui f\displaystyle f sunt 2, 3, −1, −2\displaystyle 2,\ 3,\ -1,\ -2.
    2\displaystyle 2, 3\displaystyle \ 3, −1\displaystyle \ -1, −2 și a=−1\displaystyle \ -2\text{ și }a=-1
  2. Coborâm primul coeficient: 2\displaystyle 2. Apoi calculăm 3+(−1)⋅2=1\displaystyle 3+(-1)\cdot 2=1. Apoi −1+(−1)⋅1=−2\displaystyle -1+(-1)\cdot 1=-2.
    2\displaystyle 2, 1\displaystyle \ 1, −2\displaystyle \ -2
  3. Aceste trei numere sunt coeficienții câtului, care are gradul cu 1\displaystyle 1 mai mic decât f\displaystyle f. Deci câtul este 2X2+X−2\displaystyle 2X^2+X-2.
    q=2X2+X−2\displaystyle q=2X^{2}+X-2
  4. Ultimul pas din schema lui Horner dă restul: −2+(−1)⋅(−2)=0\displaystyle -2+(-1)\cdot(-2)=0. Verificare: f(−1)=−2+3+1−2=0\displaystyle f(-1)=-2+3+1-2=0, deci restul este 0\displaystyle 0.
    r=0\displaystyle r=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=2X3+3X2−X−2\displaystyle f=2X^3+3X^2-X-2.

Determinați rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Căutăm o rădăcină întreagă a lui f\displaystyle f printre divizorii termenului liber, adică ±1\displaystyle \pm 1 și ±2\displaystyle \pm 2. Verificăm x=−1\displaystyle x=-1: f(−1)=2⋅(−1)3+3⋅(−1)2−(−1)−2=−2+3+1−2=0\displaystyle f(-1)=2\cdot(-1)^3+3\cdot(-1)^2-(-1)-2=-2+3+1-2=0, deci −1\displaystyle -1 este rădăcină.
    f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0
  2. Cum −1\displaystyle -1 este rădăcină, f\displaystyle f se împarte exact la X+1\displaystyle X+1. Împărțim: 2X3:X=2X2\displaystyle 2X^3:X=2X^2; scădem 2X2(X+1)\displaystyle 2X^2(X+1) și rămâne X2−X−2\displaystyle X^2-X-2. Apoi X2:X=X\displaystyle X^2:X=X; scădem X(X+1)\displaystyle X(X+1) și rămâne −2X−2=−2(X+1)\displaystyle -2X-2=-2(X+1). Câtul este 2X2+X−2\displaystyle 2X^2+X-2, iar restul este 0\displaystyle 0.
    (2X3+3X2−X−2):(X+1)=2X2+X−2\displaystyle (2X^3+3X^2-X-2):(X+1)=2X^2+X-2
  3. Scriem factorizarea polinomului f\displaystyle f cu ajutorul câtului.
    f=(X+1)(2X2+X−2)\displaystyle f=(X+1)(2X^2+X-2)
  4. Rădăcinile lui f\displaystyle f sunt rădăcinile factorilor. Din X+1=0\displaystyle X+1=0 obținem x=−1\displaystyle x=-1. Pentru factorul de gradul II rezolvăm ecuația 2x2+x−2=0\displaystyle 2x^2+x-2=0 și calculăm discriminantul: Δ=12−4⋅2⋅(−2)=1+16=17\displaystyle \Delta=1^2-4\cdot 2\cdot(-2)=1+16=17.
    Δ=17\displaystyle \Delta=17
  5. Aplicăm formula rădăcinilor ecuației de gradul II: x=−1±172⋅2=−1±174\displaystyle x=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{2\cdot 2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{4}. Împreună cu x=−1\displaystyle x=-1 obținem toate cele trei rădăcini ale lui f\displaystyle f.
    x1=−1\displaystyle x_1=-1, x2=−1−174 și x3=−1+174\displaystyle \ x_2=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}\text{ și }x_3=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x4−2x2+12\displaystyle f(x)=x^4-2x^2+12. Arătați că f′(x)=4x(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=4x(x-1)(x+1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen, folosind formula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^{n})'=n\cdot x^{n-1}, iar derivata unei constante este 0\displaystyle 0:  (x4)′=4x3\displaystyle \ (x^4)'=4x^3, (2x2)′=4x\displaystyle (2x^2)'=4x, 12′=0\displaystyle 12'=0.
    f′(x)=(x4)′−(2x2)′+12′\displaystyle f'(x)=(x^4)'-(2x^2)'+12'
  2. Adunăm derivatele termenilor și obținem derivata funcției f\displaystyle f.
    f′(x)=4x3−4x\displaystyle f'(x)=4x^3-4x
  3. Dăm factor comun pe 4x\displaystyle 4x în expresia 4x3−4x\displaystyle 4x^3-4x.
    f′(x)=4x(x2−1)\displaystyle f'(x)=4x(x^2-1)
  4. Folosim diferența de pătrate a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b), adică x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1). Obținem forma cerută, pentru orice x\displaystyle x real.
    f′(x)=4x(x−1)(x+1), x∈R\displaystyle f'(x)=4x(x-1)(x+1)\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x4−2x2+12\displaystyle f(x)=x^4-2x^2+12.

Arătați că lim⁡x→+∞x2+1f(x)−x4=−12\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+1}{f(x)-x^4}=-\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x4−2x2+12\displaystyle f(x)=x^4-2x^2+12 în numitor: f(x)−x4=x4−2x2+12−x4\displaystyle f(x)-x^4=x^4-2x^2+12-x^4.
    f(x)−x4=x4−2x2+12−x4\displaystyle f(x)-x^4=x^4-2x^2+12-x^4
  2. Termenii x4\displaystyle x^4 și −x4\displaystyle -x^4 se reduc, deci f(x)−x4=−2x2+12\displaystyle f(x)-x^4=-2x^2+12, iar limita devine o fracție de polinoame de gradul al doilea.
    lim⁡x→+∞x2+1f(x)−x4=lim⁡x→+∞x2+1−2x2+12\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+1}{f(x)-x^4}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+1}{-2x^2+12}
  3. Cea mai mare putere a lui x\displaystyle x este x2\displaystyle x^2. Împărțim numărătorul și numitorul la x2\displaystyle x^2 (pentru x≠0\displaystyle x\neq 0).
    x2+1−2x2+12=1+1x2−2+12x2\displaystyle \frac{x^2+1}{-2x^2+12}=\frac{1+\frac{1}{x^2}}{-2+\frac{12}{x^2}}
  4. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty avem 1x2→0\displaystyle \dfrac{1}{x^2}\to 0 și 12x2→0\displaystyle \dfrac{12}{x^2}\to 0, deci limita este 1+0−2+0=−12\displaystyle \dfrac{1+0}{-2+0}=-\dfrac{1}{2}.
    lim⁡x→+∞1+1x2−2+12x2=−12\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac{1}{x^2}}{-2+\frac{12}{x^2}}=-\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x4−2x2+12\displaystyle f(x)=x^4-2x^2+12.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1 este y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)=14−2⋅12+12=1−2+12\displaystyle f(1)=1^4-2\cdot 1^2+12=1-2+12.
    f(1)=11\displaystyle f(1)=11
  3. Derivăm funcția: f′(x)=4x3−4x\displaystyle f'(x)=4x^3-4x.
    f′(x)=4x3−4x\displaystyle f'(x)=4x^{3}-4x
  4. Calculăm f′(1)=4⋅13−4⋅1=4−4\displaystyle f'(1)=4\cdot 1^3-4\cdot 1=4-4.
    f(1)=11\displaystyle f(1)=11, f′(1)=0\displaystyle \ f'(1)=0
  5. Înlocuim în formulă: y−11=0⋅(x−1)\displaystyle y-11=0\cdot(x-1), deci tangenta este dreapta orizontală y=11\displaystyle y=11.
    y−f(1)=f′(1)(x−1), adica˘ y=11\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)\text{, adică }y=11
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+2x−4\displaystyle f(x)=3x^2+2x-4.

Arătați că ∫12(f(x)−2x+4)dx=7\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-2x+4\right)dx=7.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=3x2+2x−4\displaystyle f(x)=3x^2+2x-4 în integrand și obținem integrala de calculat.
    ∫12(3x2+2x−4−2x+4)dx\displaystyle \int_1^2\left(3x^2+2x-4-2x+4\right)dx
  2. Reducem termenii asemenea: 2x−2x=0\displaystyle 2x-2x=0 și −4+4=0\displaystyle -4+4=0, deci în integrand rămâne doar 3x2\displaystyle 3x^2.
    ∫12(3x2+2x−4−2x+4)dx=∫123x2 dx\displaystyle \int_1^2\left(3x^2+2x-4-2x+4\right)dx=\int_1^2 3x^2\,dx
  3. O primitivă a funcției 3x2\displaystyle 3x^2 este x3\displaystyle x^3, deoarece (x3)′=3x2\displaystyle \left(x^3\right)'=3x^2.
    ∫123x2 dx=x3∣12\displaystyle \int_1^2 3x^2\,dx=x^3\Big|_1^2
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: x3∣12=23−13=8−1\displaystyle x^3\Big|_1^2=2^3-1^3=8-1, deci integrala este egală cu 7.
    x3∣12=8−1=7\displaystyle x^3\Big|_1^2=8-1=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+2x−4\displaystyle f(x)=3x^2+2x-4.

Determinați primitiva F\displaystyle F a funcției f\displaystyle f pentru care F(1)=2017\displaystyle F(1)=2017.
Vezi rezolvarea
  1. Primitivele funcției f\displaystyle f se obțin integrând termen cu termen: primitiva lui 3x2\displaystyle 3x^{2} este x3\displaystyle x^{3}, a lui 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^{2}, iar a lui −4\displaystyle -4 este −4x\displaystyle -4x.
    ∫(3x2+2x−4) dx=x3+x2−4x+c\displaystyle \int (3x^{2}+2x-4)\,dx=x^{3}+x^{2}-4x+c
  2. Deci primitivele lui f\displaystyle f sunt funcțiile F\displaystyle F de forma x3+x2−4x+c\displaystyle x^{3}+x^{2}-4x+c, cu c\displaystyle c număr real oarecare.
    F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=x3+x2−4x+c, unde c∈R\displaystyle \ F(x)=x^{3}+x^{2}-4x+c\text{, unde }c\in\mathbb{R}
  3. Punem condiția F(1)=2017\displaystyle F(1)=2017: calculăm F(1)=1+1−4+c=c−2\displaystyle F(1)=1+1-4+c=c-2.
    F(1)=c−2\displaystyle F(1)=c-2
  4. Din c−2=2017\displaystyle c-2=2017 obținem c=2019\displaystyle c=2019, deci primitiva căutată este F(x)=x3+x2−4x+2019\displaystyle F(x)=x^{3}+x^{2}-4x+2019.
    c=2019, deci F(x)=x3+x2−4x+2019\displaystyle c=2019\text{, deci }F(x)=x^{3}+x^{2}-4x+2019
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+2x−4\displaystyle f(x)=3x^2+2x-4.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care ∫1af(x) dx=a3−2\displaystyle \int_1^a f(x)\,dx=a^3-2.
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm o primitivă a funcției f\displaystyle f, integrând fiecare termen: pentru 3x2\displaystyle 3x^2 obținem x3\displaystyle x^3, pentru 2x\displaystyle 2x obținem x2\displaystyle x^2, iar pentru −4\displaystyle -4 obținem −4x\displaystyle -4x.
    F(x)=x3+x2−4x\displaystyle F(x)=x^{3}+x^{2}-4x
  2. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm F(a)−F(1)\displaystyle F(a)-F(1). Valoarea F(1)\displaystyle F(1) este 1+1−4=−2\displaystyle 1+1-4=-2, deci scăzând −2\displaystyle -2 obținem +2\displaystyle +2.
    ∫1af(x) dx=(x3+x2−4x)∣1a=a3+a2−4a+2\displaystyle \int_1^a f(x)\,dx=\left(x^{3}+x^{2}-4x\right)\Big|_1^a=a^{3}+a^{2}-4a+2
  3. Egalăm integrala calculată cu expresia dată în enunț: a3+a2−4a+2=a3−2\displaystyle a^{3}+a^{2}-4a+2=a^{3}-2.
    a3+a2−4a+2=a3−2\displaystyle a^{3}+a^{2}-4a+2=a^{3}-2
  4. Reducem termenii a3\displaystyle a^{3} din ambele părți și mutăm totul în membrul stâng: a2−4a+4=0\displaystyle a^{2}-4a+4=0.
    a2−4a+4=0\displaystyle a^{2}-4a+4=0
  5. Recunoaștem pătratul unei diferențe: (a−2)2=0\displaystyle (a-2)^{2}=0, deci a−2=0\displaystyle a-2=0, adică a=2\displaystyle a=2.
    (a−2)2=0, deci a=2\displaystyle (a-2)^{2}=0\text{, deci }a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.