Bac matematică M3 tehnologic 2016, sesiunea I rezervă varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (13−14):112=1\displaystyle \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right):\frac{1}{12}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Numitorii sunt 3\displaystyle 3 și 4\displaystyle 4, iar cel mai mic multiplu comun al lor este 12\displaystyle 12. Amplificăm prima fracție cu 4\displaystyle 4 și a doua cu 3\displaystyle 3, ca să ajungă amândouă la numitorul 12\displaystyle 12.
    13=412 și 14=312\displaystyle \frac{1}{3}=\frac{4}{12}\text{ și }\frac{1}{4}=\frac{3}{12}
  2. Scădem fracțiile cu același numitor: se scad numărătorii, iar numitorul rămâne 12\displaystyle 12.
    13−14=412−312=112\displaystyle \frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{1}{12}
  3. Înlocuim rezultatul din paranteză în expresia dată. Împărțim fracția 112\displaystyle \dfrac{1}{12} la 112\displaystyle \dfrac{1}{12}, adică două numere egale și nenule, deci câtul este 1\displaystyle 1. Așadar egalitatea din enunț este adevărată.
    (13−14):112=112:112=1\displaystyle \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right):\frac{1}{12}=\frac{1}{12}:\frac{1}{12}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Arătați că 4(x1+x2)−3x1x2=2\displaystyle 4(x_1+x_2)-3x_1x_2=2, unde x1\displaystyle x_1 și x2\displaystyle x_2 sunt soluțiile ecuației x2−5x+6=0\displaystyle x^2-5x+6=0.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația x2−5x+6=0\displaystyle x^2-5x+6=0 este de gradul al doilea, cu coeficienții a=1\displaystyle a=1, b=−5\displaystyle b=-5, c=6\displaystyle c=6. Relațiile lui Viète spun că suma rădăcinilor este −ba\displaystyle -\dfrac{b}{a}, iar produsul este ca\displaystyle \dfrac{c}{a}.
    a=1\displaystyle a=1, b=−5\displaystyle \ b=-5, c=6\displaystyle \ c=6
  2. Aplicăm relațiile lui Viète: x1+x2=−−51=5\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{-5}{1}=5 și x1x2=61=6\displaystyle x_1x_2=\dfrac{6}{1}=6.
    x1+x2=5\displaystyle x_1+x_2=5, x1x2=6\displaystyle \ x_1x_2=6
  3. Înlocuim în expresie: 4(x1+x2)−3x1x2=4⋅5−3⋅6=20−18=2\displaystyle 4(x_1+x_2)-3x_1x_2=4\cdot 5-3\cdot 6=20-18=2. Egalitatea este demonstrată.
    4(x1+x2)−3x1x2=4⋅5−3⋅6=20−18=2\displaystyle 4(x_1+x_2)-3x_1x_2=4\cdot 5-3\cdot 6=20-18=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x−1=2\displaystyle \sqrt{x-1}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul există doar dacă expresia de sub el este pozitivă sau nulă: x−1≥0\displaystyle x-1\geq 0, adică x≥1\displaystyle x\geq 1.
    x≥1\displaystyle x\geq 1
  2. Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației x−1=2\displaystyle \sqrt{x-1}=2. Obținem (x−1)2=22\displaystyle \left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=2^{2}, deci x−1=4\displaystyle x-1=4.
    x−1=4\displaystyle x-1=4
  3. Adunăm 1\displaystyle 1 la ambii membri: x=4+1\displaystyle x=4+1, deci x=5\displaystyle x=5.
    x=5\displaystyle x=5
  4. Ridicarea la pătrat poate introduce soluții străine, deci verificăm. Pentru x=5\displaystyle x=5 avem 5≥1\displaystyle 5\geq 1 și 5−1=4=2\displaystyle \sqrt{5-1}=\sqrt{4}=2, deci egalitatea este adevărată.
    x=5, care verifica˘ ecuația\displaystyle x=5\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o ieftinire cu 10%\displaystyle 10\%, prețul unui obiect este 90\displaystyle 90 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu p\displaystyle p prețul obiectului înainte de ieftinire, în lei. Ieftinirea cu 10%\displaystyle 10\% înseamnă că se scade din preț 10%\displaystyle 10\% din p\displaystyle p, iar prețul rezultat este 90\displaystyle 90 de lei.
    p−10%⋅p=90\displaystyle p-10\%\cdot p=90
  2. Scriem 10%\displaystyle 10\% ca fracție zecimală, 0,1\displaystyle 0{,}1, și dăm factor comun pe p\displaystyle p. Ecuația devine 0,9⋅p=90\displaystyle 0{,}9\cdot p=90.
    p (1−0,1)=90⇒0,9⋅p=90\displaystyle p\,(1-0{,}1)=90\Rightarrow 0{,}9\cdot p=90
  3. Împărțim ambii membri la 0,9\displaystyle 0{,}9 și obținem prețul inițial. Obiectul costa 100\displaystyle 100 de lei înainte de ieftinire.
    p=900,9=100 de lei\displaystyle p=\dfrac{90}{0{,}9}=100\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(5,1)\displaystyle A(5,1) și B(3,1)\displaystyle B(3,1). Calculați lungimea segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula distanței dintre două puncte din plan: pentru A(xA,yA)\displaystyle A(x_A,y_A) și B(xB,yB)\displaystyle B(x_B,y_B) avem AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}.
    AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor A(5,1)\displaystyle A(5,1) și B(3,1)\displaystyle B(3,1) în formulă.
    AB=(3−5)2+(1−1)2\displaystyle AB=\sqrt{(3-5)^{2}+(1-1)^{2}}
  3. Calculăm diferențele: 3−5=−2\displaystyle 3-5=-2, iar 1−1=0\displaystyle 1-1=0. Pătratul lui −2\displaystyle -2 este 4\displaystyle 4, iar pătratul lui 0\displaystyle 0 este 0\displaystyle 0.
    AB=(−2)2+02=4+0=4\displaystyle AB=\sqrt{(-2)^{2}+0^{2}}=\sqrt{4+0}=\sqrt{4}
  4. Rădăcina pătrată din 4\displaystyle 4 este 2\displaystyle 2. Observăm că cele două puncte au aceeași ordonată, deci segmentul este orizontal, iar lungimea lui este modulul diferenței absciselor: ∣5−3∣=2\displaystyle |5-3|=2.
    AB=2\displaystyle AB=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Dacă x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) și cos⁡x=45\displaystyle \cos x=\frac{4}{5}, arătați că sin⁡x=35\displaystyle \sin x=\frac{3}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim identitatea fundamentală sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, din care sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x.
    sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x
  2. Înlocuim cos⁡x=45\displaystyle \cos x=\dfrac{4}{5}: sin⁡2x=1−(45)2=1−1625=25−1625\displaystyle \sin^{2}x=1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^{2}=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{25-16}{25}.
    sin⁡2x=1−(45)2=925\displaystyle \sin^{2}x=1-\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}
  3. Din sin⁡2x=925\displaystyle \sin^{2}x=\dfrac{9}{25} rezultă sin⁡x=±35\displaystyle \sin x=\pm\dfrac{3}{5}. Cum x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), adică x este în primul cadran, avem sin⁡x>0\displaystyle \sin x>0, deci îl alegem pe cel pozitiv.
    sin⁡x=35\displaystyle \sin x=\frac{3}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2332)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&3\\3&2\end{pmatrix} și B=(x11x)\displaystyle B=\begin{pmatrix}x&1\\1&x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=−5\displaystyle \det A=-5.
Vezi rezolvarea
  1. Avem matricea A=(2332)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&3\\3&2\end{pmatrix}. Pentru o matrice de ordin 2, det⁡(abcd)=ad−bc\displaystyle \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc, adică produsul de pe diagonala principală minus produsul de pe diagonala secundară.
    det⁡(abcd)=ad−bc\displaystyle \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc
  2. Aplicăm formula pentru A\displaystyle A: pe diagonala principală sunt 2\displaystyle 2 și 2\displaystyle 2, iar pe cea secundară sunt 3\displaystyle 3 și 3\displaystyle 3.
    det⁡A=∣2332∣=2⋅2−3⋅3\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&3\\3&2\end{vmatrix}=2\cdot 2-3\cdot 3
  3. Calculăm produsele: 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4 și 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9. Apoi scădem: 4−9=−5\displaystyle 4-9=-5, deci det⁡A=−5\displaystyle \det A=-5, așa cum se cerea.
    4−9=−5\displaystyle 4-9=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2332)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&3\\3&2\end{pmatrix} și B=(x11x)\displaystyle B=\begin{pmatrix}x&1\\1&x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A⋅B=B⋅A\displaystyle A\cdot B=B\cdot A, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B folosind regula de înmulțire a matricelor: elementul de pe linia i\displaystyle i și coloana j\displaystyle j este suma produselor elementelor liniei i\displaystyle i din prima matrice cu cele ale coloanei j\displaystyle j din a doua matrice.
    A⋅B=(2⋅x+3⋅12⋅1+3⋅x3⋅x+2⋅13⋅1+2⋅x)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}2\cdot x+3\cdot 1&2\cdot 1+3\cdot x\\3\cdot x+2\cdot 1&3\cdot 1+2\cdot x\end{pmatrix}
  2. Rescriem elementele lui A⋅B\displaystyle A\cdot B în forma simplificată.
    A⋅B=(2x+32+3x3x+23+2x)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}2x+3&2+3x\\3x+2&3+2x\end{pmatrix}
  3. Calculăm acum produsul B⋅A\displaystyle B\cdot A, cu aceeași regulă, dar în ordine inversată: liniile lui B\displaystyle B se înmulțesc cu coloanele lui A\displaystyle A.
    B⋅A=(x⋅2+1⋅3x⋅3+1⋅21⋅2+x⋅31⋅3+x⋅2)=(2x+33x+22+3x3+2x)\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}x\cdot 2+1\cdot 3&x\cdot 3+1\cdot 2\\1\cdot 2+x\cdot 3&1\cdot 3+x\cdot 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x+3&3x+2\\2+3x&3+2x\end{pmatrix}
  4. Comparăm element cu element cele două matrice. Pe diagonală avem 2x+3\displaystyle 2x+3 și 3+2x\displaystyle 3+2x, iar în afara diagonalei 2+3x\displaystyle 2+3x și 3x+2\displaystyle 3x+2, care sunt egale pentru că adunarea numerelor reale este comutativă. Deci cele două produse coincid pentru orice x\displaystyle x real.
    B⋅A=(2x+33x+22+3x3+2x)=A⋅B, pentru orice numa˘r real x\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}2x+3&3x+2\\2+3x&3+2x\end{pmatrix}=A\cdot B\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2332)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&3\\3&2\end{pmatrix} și B=(x11x)\displaystyle B=\begin{pmatrix}x&1\\1&x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x, pentru care A⋅A−3(A+B)=I2\displaystyle A\cdot A-3(A+B)=I_2, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind linie cu coloană: 2⋅2+3⋅3=13\displaystyle 2\cdot 2+3\cdot 3=13 pe diagonală și 2⋅3+3⋅2=12\displaystyle 2\cdot 3+3\cdot 2=12 în afara diagonalei.
    A⋅A=(13121213)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}13&12\\12&13\end{pmatrix}
  2. Calculăm suma A+B\displaystyle A+B, adunând elementele de pe aceleași poziții: 2+x\displaystyle 2+x pe diagonală și 3+1=4\displaystyle 3+1=4 în afara diagonalei.
    A⋅A=(13121213)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}13&12\\12&13\end{pmatrix}, A+B=(2+x442+x)\displaystyle \ A+B=\begin{pmatrix}2+x&4\\4&2+x\end{pmatrix}
  3. Înmulțim suma A+B\displaystyle A+B cu 3\displaystyle 3 și scădem rezultatul din A⋅A\displaystyle A\cdot A, element cu element: în afara diagonalei obținem 12−3⋅4=0\displaystyle 12-3\cdot 4=0.
    A⋅A−3(A+B)=(13−3(2+x)12−1212−1213−3(2+x))\displaystyle A\cdot A-3(A+B)=\begin{pmatrix}13-3(2+x)&12-12\\12-12&13-3(2+x)\end{pmatrix}
  4. Egalăm cu I2\displaystyle I_2. Elementele din afara diagonalei sunt deja egale cu 0\displaystyle 0, deci rămâne ecuația 13−3(2+x)=1\displaystyle 13-3(2+x)=1.
    13−3(2+x)=1\displaystyle 13-3(2+x)=1
  5. Rezolvăm ecuația: 13−6−3x=1\displaystyle 13-6-3x=1, deci 7−3x=1\displaystyle 7-3x=1, adică 3x=6\displaystyle 3x=6, de unde x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=13xy+x+y\displaystyle x*y=\frac{1}{3}xy+x+y.

Arătați că 1∗(−3)=−3\displaystyle 1*(-3)=-3.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∗y=13xy+x+y\displaystyle x*y=\dfrac{1}{3}xy+x+y. Pentru 1∗(−3)\displaystyle 1*(-3) avem x=1\displaystyle x=1 și y=−3\displaystyle y=-3.
    x=1\displaystyle x=1, y=−3\displaystyle \ y=-3
  2. Înlocuim în definiție: 1∗(−3)=13⋅1⋅(−3)+1+(−3)\displaystyle 1*(-3)=\dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot(-3)+1+(-3).
    1∗(−3)=13⋅1⋅(−3)+1+(−3)\displaystyle 1*(-3)=\frac{1}{3}\cdot 1\cdot(-3)+1+(-3)
  3. Calculăm primul termen: 13⋅1⋅(−3)=−1\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot(-3)=-1.
    13⋅1⋅(−3)=−1\displaystyle \frac{1}{3}\cdot 1\cdot(-3)=-1
  4. Adunăm termenii: −1+1+(−3)=0−3=−3\displaystyle -1+1+(-3)=0-3=-3. Deci 1∗(−3)=−3\displaystyle 1*(-3)=-3, ceea ce trebuia arătat.
    −1+1+(−3)=−3\displaystyle -1+1+(-3)=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=13xy+x+y\displaystyle x*y=\frac{1}{3}xy+x+y.

Demonstrați că x∗y=13(x+3)(y+3)−3\displaystyle x*y=\frac{1}{3}(x+3)(y+3)-3, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∗y=13xy+x+y\displaystyle x*y=\dfrac{1}{3}xy+x+y și adăugăm și scădem 3\displaystyle 3, fără să schimbăm valoarea expresiei.
    x∗y=13xy+x+y+3−3\displaystyle x*y=\frac{1}{3}xy+x+y+3-3
  2. Scoatem factorul 13\displaystyle \dfrac{1}{3} în fața parantezei: x=13⋅3x\displaystyle x=\dfrac{1}{3}\cdot 3x, y=13⋅3y\displaystyle y=\dfrac{1}{3}\cdot 3y și 3=13⋅9\displaystyle 3=\dfrac{1}{3}\cdot 9. Astfel obținem în paranteză xy+3x+3y+9\displaystyle xy+3x+3y+9, iar −3\displaystyle -3 rămâne în afară.
    x∗y=13(xy+3x+3y+9)−3\displaystyle x*y=\frac{1}{3}(xy+3x+3y+9)-3
  3. Grupăm termenii din paranteză doi câte doi și dăm factor comun: xy+3x=x(y+3)\displaystyle xy+3x=x(y+3), iar 3y+9=3(y+3)\displaystyle 3y+9=3(y+3).
    x∗y=13(x(y+3)+3(y+3))−3\displaystyle x*y=\frac{1}{3}\left(x(y+3)+3(y+3)\right)-3
  4. Dăm factor comun pe y+3\displaystyle y+3 și obținem produsul (x+3)(y+3)\displaystyle (x+3)(y+3). Egalitatea este adevărată pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=13(x+3)(y+3)−3, pentru orice numere \displaystyle x*y=\frac{1}{3}(x+3)(y+3)-3\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=13xy+x+y\displaystyle x*y=\frac{1}{3}xy+x+y.

Determinați numerele reale nenule x\displaystyle x, pentru care x∗1x=−3\displaystyle x*\frac{1}{x}=-3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție sub formă factorizată. Dezvoltăm 13(x+3)(y+3)−3=13xy+x+y+3−3\displaystyle \dfrac{1}{3}(x+3)(y+3)-3=\dfrac{1}{3}xy+x+y+3-3, deci x∗y=13(x+3)(y+3)−3\displaystyle x*y=\dfrac{1}{3}(x+3)(y+3)-3.
    x∗y=13(x+3)(y+3)−3\displaystyle x*y=\dfrac{1}{3}(x+3)(y+3)-3
  2. Înlocuim y=1x\displaystyle y=\dfrac{1}{x} în forma factorizată și scriem ecuația x∗1x=−3\displaystyle x*\dfrac{1}{x}=-3.
    13(x+3)(1x+3)−3=−3\displaystyle \dfrac{1}{3}(x+3)\left(\dfrac{1}{x}+3\right)-3=-3
  3. Adunăm 3\displaystyle 3 în ambii membri și înmulțim cu 3\displaystyle 3: rămâne un produs egal cu zero.
    (x+3)(1x+3)=0\displaystyle (x+3)\left(\dfrac{1}{x}+3\right)=0
  4. Un produs este zero când un factor este zero. Din x+3=0\displaystyle x+3=0 obținem x=−3\displaystyle x=-3, iar din 1x+3=0\displaystyle \dfrac{1}{x}+3=0 obținem 1x=−3\displaystyle \dfrac{1}{x}=-3, deci x=−13\displaystyle x=-\dfrac{1}{3}.
    x=−3 sau x=−13\displaystyle x=-3\text{ sau }x=-\dfrac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x\displaystyle f(x)=x^3-3x.

Arătați că f′(x)=3(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x+1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen, folosind formula (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}: (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}, iar (3x)′=3\displaystyle (3x)'=3.
    f′(x)=(x3)′−(3x)′=3x2−3\displaystyle f'(x)=(x^{3})'-(3x)'=3x^{2}-3
  2. Scoatem factor comun pe 3\displaystyle 3 din expresia 3x2−3\displaystyle 3x^{2}-3.
    3x2−3=3(x2−1)\displaystyle 3x^{2}-3=3(x^{2}-1)
  3. Descompunem diferența de pătrate x2−1\displaystyle x^{2}-1 cu formula a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b), unde a=x\displaystyle a=x și b=1\displaystyle b=1. Obținem egalitatea cerută, pentru orice x\displaystyle x real.
    f′(x)=3(x2−1)=3(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=3(x^{2}-1)=3(x-1)(x+1), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x\displaystyle f(x)=x^3-3x.

Arătați că lim⁡x→0f(x)+3xx=0\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)+3x}{x}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x3−3x\displaystyle f(x)=x^{3}-3x în numărătorul fracției: f(x)+3x=x3−3x+3x\displaystyle f(x)+3x=x^{3}-3x+3x.
    f(x)+3x=x3−3x+3x\displaystyle f(x)+3x=x^{3}-3x+3x
  2. Termenii −3x\displaystyle -3x și 3x\displaystyle 3x se reduc, deci numărătorul devine x3\displaystyle x^{3}. Limita se scrie lim⁡x→0f(x)+3xx=lim⁡x→0x3x\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)+3x}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{x^{3}}{x}.
    lim⁡x→0f(x)+3xx=lim⁡x→0x3x\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)+3x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x^{3}}{x}
  3. Pentru x≠0\displaystyle x\neq 0 simplificăm fracția cu x\displaystyle x: x3x=x2\displaystyle \dfrac{x^{3}}{x}=x^{2}. Limita în 0\displaystyle 0 se calculează pentru x≠0\displaystyle x\neq 0, deci simplificarea este permisă.
    x3x=x2\displaystyle \frac{x^{3}}{x}=x^{2}
  4. Funcția x2\displaystyle x^{2} este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci limita ei în 0\displaystyle 0 se obține înlocuind x=0\displaystyle x=0: lim⁡x→0x2=02=0\displaystyle \lim_{x\to 0}x^{2}=0^{2}=0. Am arătat că limita cerută este 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→0x2=0\displaystyle \lim_{x\to 0}x^{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x\displaystyle f(x)=x^3-3x.

Demonstrați că f(x)≥−2\displaystyle f(x)\ge -2, pentru orice x∈[−1,+∞)\displaystyle x\in[-1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f(x)=x3−3x\displaystyle f(x)=x^3-3x, derivând termen cu termen: (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)'=3x^2 și (3x)′=3\displaystyle (3x)'=3.
    f′(x)=3x2−3\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3
  2. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Dăm factor comun 3\displaystyle 3 și apoi aplicăm diferența de pătrate: 3x2−3=3(x−1)(x+1)\displaystyle 3x^2-3=3(x-1)(x+1).
    f′(x)=0⇔x=−1 sau x=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1\text{ sau }x=1
  3. Studiem semnul derivatei pe [−1,1]\displaystyle [-1,1]. În f′(x)=3(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x+1) avem x+1≥0\displaystyle x+1\ge 0 și x−1≤0\displaystyle x-1\le 0, deci produsul este negativ sau nul. Rezultă că f\displaystyle f este descrescătoare pe [−1,1]\displaystyle [-1,1].
    x∈[−1,1]⇒f′(x)≤0, deci f este descresca˘toare pe [−1,1]\displaystyle x\in[-1,1]\Rightarrow f'(x)\le 0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }[-1,1]
  4. Studiem semnul derivatei pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty). Aici x−1≥0\displaystyle x-1\ge 0 și x+1≥0\displaystyle x+1\ge 0, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0. Rezultă că f\displaystyle f este crescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    x∈[1,+∞)⇒f′(x)≥0, deci f este cresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty)\Rightarrow f'(x)\ge 0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[1,+\infty)
  5. Funcția scade pe [−1,1]\displaystyle [-1,1] și crește pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty), deci pe [−1,+∞)\displaystyle [-1,+\infty) cea mai mică valoare se atinge în x=1\displaystyle x=1. Calculăm: f(1)=13−3⋅1\displaystyle f(1)=1^3-3\cdot 1.
    f(1)=1−3=−2\displaystyle f(1)=1-3=-2
  6. Deoarece valoarea minimă a lui f\displaystyle f pe [−1,+∞)\displaystyle [-1,+\infty) este f(1)=−2\displaystyle f(1)=-2, obținem inegalitatea cerută.
    f(1)=−2, obținem f(x)≥−2, pentru orice x∈[−1,+∞)\displaystyle f(1)=-2\text{, obținem }f(x)\ge -2\text{, pentru orice }x\in[-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x4+x+1\displaystyle f(x)=x^4+x+1.

Arătați că ∫01(f(x)−x−1) dx=15\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x-1)\,dx=\frac{1}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x4+x+1\displaystyle f(x)=x^{4}+x+1 în integrand: f(x)−x−1=x4+x+1−x−1\displaystyle f(x)-x-1=x^{4}+x+1-x-1.
    ∫01(f(x)−x−1) dx=∫01(x4+x+1−x−1) dx\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x-1)\,dx=\int_0^1 (x^{4}+x+1-x-1)\,dx
  2. Reducem termenii opuși: x−x=0\displaystyle x-x=0 și 1−1=0\displaystyle 1-1=0. Rămâne doar x4\displaystyle x^{4}, deci integrala devine integrala lui x4\displaystyle x^{4} de la 0 la 1.
    ∫01(x4+x+1−x−1) dx=∫01x4 dx\displaystyle \int_0^1 (x^{4}+x+1-x-1)\,dx=\int_0^1 x^{4}\,dx
  3. O primitivă a lui x4\displaystyle x^{4} este x55\displaystyle \dfrac{x^{5}}{5}, deoarece (x55)′=x4\displaystyle \left(\dfrac{x^{5}}{5}\right)'=x^{4}. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫01x4 dx=x55∣01\displaystyle \int_0^1 x^{4}\,dx=\dfrac{x^{5}}{5}\Big|_0^1
  4. Calculăm valorile în limitele de integrare: în 1\displaystyle 1 obținem 155=15\displaystyle \dfrac{1^{5}}{5}=\dfrac{1}{5}, iar în 0\displaystyle 0 obținem 0\displaystyle 0. Scădem cele două valori, deci integrala este 15\displaystyle \dfrac{1}{5}.
    x55∣01=15−0=15\displaystyle \dfrac{x^{5}}{5}\Big|_0^1=\dfrac{1}{5}-0=\dfrac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x4+x+1\displaystyle f(x)=x^4+x+1.

Arătați că ∫1e(f(x)−x4−1)ln⁡x dx=e2+14\displaystyle \int_1^e (f(x)-x^4-1)\ln x\,dx=\frac{e^2+1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x4+x+1\displaystyle f(x)=x^4+x+1 în paranteză: f(x)−x4−1=x4+x+1−x4−1=x\displaystyle f(x)-x^4-1=x^4+x+1-x^4-1=x.
    f(x)−x4−1=x\displaystyle f(x)-x^4-1=x
  2. Integrala de calculat devine ∫1exln⁡x dx\displaystyle \int_1^e x\ln x\,dx.
    ∫1exln⁡x dx\displaystyle \int_1^e x\ln x\,dx
  3. Integrăm prin părți. Alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=x dx\displaystyle dv=x\,dx, deci du=1x dx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}\,dx și v=x22\displaystyle v=\dfrac{x^{2}}{2}.
    u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x, dv=x dx\displaystyle \ dv=x\,dx, du=1x dx\displaystyle \ du=\frac{1}{x}\,dx, v=x22\displaystyle \ v=\frac{x^{2}}{2}
  4. Aplicăm formula ∫abu dv=uv∣ab−∫abv du\displaystyle \int_a^b u\,dv=uv\Big|_a^b-\int_a^b v\,du și obținem integrala prin părți.
    ∫1exln⁡x dx=x22ln⁡x∣1e−∫1ex22⋅1x dx\displaystyle \int_1^e x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x\Big|_1^e-\int_1^e\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx
  5. Calculăm primul termen: e22ln⁡e−12ln⁡1=e22\displaystyle \dfrac{e^{2}}{2}\ln e-\dfrac{1}{2}\ln 1=\dfrac{e^{2}}{2}, deoarece ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0. În integrala rămasă, x22⋅1x=x2\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{2}.
    e22−12∫1ex dx\displaystyle \frac{e^{2}}{2}-\frac{1}{2}\int_1^e x\,dx
  6. Avem ∫1ex dx=x22∣1e=e2−12\displaystyle \int_1^e x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}\Big|_1^e=\dfrac{e^{2}-1}{2}. Deci rezultatul este e22−12⋅e2−12=e22−e24+14\displaystyle \dfrac{e^{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{e^{2}-1}{2}=\dfrac{e^{2}}{2}-\dfrac{e^{2}}{4}+\dfrac{1}{4}.
    e22−e24+14\displaystyle \frac{e^{2}}{2}-\frac{e^{2}}{4}+\frac{1}{4}
  7. Reducem termenii: e22−e24=e24\displaystyle \dfrac{e^{2}}{2}-\dfrac{e^{2}}{4}=\dfrac{e^{2}}{4}, deci integrala este e2+14\displaystyle \dfrac{e^{2}+1}{4}, ceea ce trebuia arătat.
    ∫1e(f(x)−x4−1)ln⁡x dx=e2+14\displaystyle \int_1^e (f(x)-x^4-1)\ln x\,dx=\frac{e^{2}+1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x4+x+1\displaystyle f(x)=x^4+x+1.

Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=1\displaystyle x=1.
Vezi rezolvarea
  1. Aria suprafeței delimitate de graficul lui f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele x=0\displaystyle x=0, x=1\displaystyle x=1 este A=∫01∣f(x)∣ dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^1 |f(x)|\,dx.
    A=∫01∣f(x)∣ dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^1 |f(x)|\,dx
  2. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem x4≥0\displaystyle x^4\ge 0 și x≥0\displaystyle x\ge 0, deci f(x)=x4+x+1≥1>0\displaystyle f(x)=x^4+x+1\ge 1>0. Rezultă ∣f(x)∣=f(x)\displaystyle |f(x)|=f(x) și A=∫01(x4+x+1) dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^1 (x^4+x+1)\,dx.
    A=∫01(x4+x+1) dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^1 (x^4+x+1)\,dx
  3. Integrala unei sume este suma integralelor, iar primitivele sunt x55\displaystyle \dfrac{x^5}{5}, x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2} și x\displaystyle x. Obținem A=x55∣01+x22∣01+x∣01\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{x^5}{5}\Big|_0^1+\dfrac{x^2}{2}\Big|_0^1+x\Big|_0^1.
    A=x55∣01+x22∣01+x∣01\displaystyle \mathcal{A}=\frac{x^5}{5}\Big|_0^1+\frac{x^2}{2}\Big|_0^1+x\Big|_0^1
  4. Calculăm fiecare termen ca diferență între valoarea în 1\displaystyle 1 și valoarea în 0\displaystyle 0: 15−0\displaystyle \dfrac{1}{5}-0, 12−0\displaystyle \dfrac{1}{2}-0 și 1−0\displaystyle 1-0.
    A=15+12+1\displaystyle \mathcal{A}=\frac{1}{5}+\frac{1}{2}+1
  5. Aducem la numitorul 10\displaystyle 10: 210+510+1010=1710\displaystyle \dfrac{2}{10}+\dfrac{5}{10}+\dfrac{10}{10}=\dfrac{17}{10}. Deci aria este 1710\displaystyle \dfrac{17}{10}.
    A=15+12+1=1710\displaystyle \mathcal{A}=\frac{1}{5}+\frac{1}{2}+1=\frac{17}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.