Bac matematică M3 tehnologic 2022, sesiunea I varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 5−3⋅(1+13)=1\displaystyle 5-3\cdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm mai întâi paranteza. Scriem 1=33\displaystyle 1=\dfrac{3}{3}, ca să aducem termenii la același numitor.
    1+13=33+13\displaystyle 1+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}+\frac{1}{3}
  2. Adunăm fracțiile cu același numitor: 33+13=43\displaystyle \dfrac{3}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}. Expresia devine 5−3⋅43\displaystyle 5-3\cdot\dfrac{4}{3}.
    5−3⋅(1+13)=5−3⋅43\displaystyle 5-3\cdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=5-3\cdot\frac{4}{3}
  3. Efectuăm înmulțirea: 3⋅43=4\displaystyle 3\cdot\dfrac{4}{3}=4, deoarece 3 se simplifică cu numitorul. Expresia devine 5−4\displaystyle 5-4.
    5−3⋅43=5−4\displaystyle 5-3\cdot\frac{4}{3}=5-4
  4. Scădem: 5−4=1\displaystyle 5-4=1. Am obținut exact valoarea cerută în enunț, deci egalitatea este demonstrată.
    5−4=1\displaystyle 5-4=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−4\displaystyle f(x)=x-4. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=2\displaystyle f(a)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim variabila x\displaystyle x cu a\displaystyle a în formula funcției f(x)=x−4\displaystyle f(x)=x-4, deci f(a)=a−4\displaystyle f(a)=a-4.
    f(a)=a−4\displaystyle f(a)=a-4
  2. Punem condiția din enunț, f(a)=2\displaystyle f(a)=2, și obținem ecuația a−4=2\displaystyle a-4=2.
    a−4=2\displaystyle a-4=2
  3. Adunăm 4\displaystyle 4 în ambii membri ai ecuației: a=2+4\displaystyle a=2+4, deci a=6\displaystyle a=6.
    a−4=2, de unde obținem a=6\displaystyle a-4=2\text{, de unde obținem }a=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4+2x=2\displaystyle \sqrt{4+2x}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condiția de existență a radicalului: expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă sau nulă, adică 4+2x≥0\displaystyle 4+2x\ge 0, deci x≥−2\displaystyle x\ge -2.
    x∈[−2,+∞)\displaystyle x\in[-2,+\infty)
  2. Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației 4+2x=2\displaystyle \sqrt{4+2x}=2. Obținem (4+2x)2=22\displaystyle \left(\sqrt{4+2x}\right)^{2}=2^{2}, adică 4+2x=4\displaystyle 4+2x=4.
    4+2x=4\displaystyle 4+2x=4
  3. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: scădem 4 din ambii membri și obținem 2x=0\displaystyle 2x=0, deci x=0\displaystyle x=0.
    2x=0⇒x=0\displaystyle 2x=0\Rightarrow x=0
  4. Verificăm soluția: pentru x=0\displaystyle x=0 avem 4+2⋅0=4=2\displaystyle \sqrt{4+2\cdot 0}=\sqrt{4}=2, deci egalitatea este adevărată și x=0\displaystyle x=0 convine. Soluția ecuației este x=0\displaystyle x=0.
    x=0, care convine\displaystyle x=0\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Un produs costă 90 de lei. Determinați prețul produsului după o scumpire cu 10%\displaystyle 10\%.
Vezi rezolvarea
  1. Scumpirea cu 10%\displaystyle 10\% înseamnă că prețul crește cu 10%\displaystyle 10\% din prețul inițial. Scriem procentul ca fracție: 10%=10100\displaystyle 10\%=\dfrac{10}{100}.
    10%=10100\displaystyle 10\%=\dfrac{10}{100}
  2. Calculăm cât reprezintă 10%\displaystyle 10\% din 90\displaystyle 90 de lei, adică mărimea scumpirii: 10100⋅90=900100=9\displaystyle \dfrac{10}{100}\cdot 90=\dfrac{900}{100}=9.
    10100⋅90=9 lei\displaystyle \dfrac{10}{100}\cdot 90=9\text{ lei}
  3. Adunăm scumpirea la prețul inițial: 90+9=99\displaystyle 90+9=99. Deci produsul costă după scumpire 99\displaystyle 99 de lei.
    90+9=99 de lei\displaystyle 90+9=99\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,4)\displaystyle A(1,4), B(5,0)\displaystyle B(5,0) și M(a,b)\displaystyle M(a,b), unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale. Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, știind că punctul M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Dacă M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB, atunci xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yM=yA+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}, yM=yA+yB2\displaystyle \ y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  2. Avem xA=1\displaystyle x_A=1, yA=4\displaystyle y_A=4, xB=5\displaystyle x_B=5, yB=0\displaystyle y_B=0, iar xM=a\displaystyle x_M=a, yM=b\displaystyle y_M=b. Obținem a=1+52\displaystyle a=\dfrac{1+5}{2} și b=4+02\displaystyle b=\dfrac{4+0}{2}.
    a=1+52\displaystyle a=\dfrac{1+5}{2}, b=4+02\displaystyle \ b=\dfrac{4+0}{2}
  3. Calculăm: a=62=3\displaystyle a=\dfrac{6}{2}=3 și b=42=2\displaystyle b=\dfrac{4}{2}=2. Deci M(3,2)\displaystyle M(3,2).
    a=3\displaystyle a=3, b=2\displaystyle \ b=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, în care măsura unghiului C\displaystyle C este egală cu 30∘\displaystyle 30^\circ și AB=3\displaystyle AB=3. Arătați că BC=6\displaystyle BC=6.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC\displaystyle BC. Latura AB\displaystyle AB este cateta opusă unghiului C\displaystyle C.
    ipotenuza BC, cateta opusa˘ lui C: AB\displaystyle \text{ipotenuza }BC\text{, cateta opusă lui }C\text{: }AB
  2. În triunghiul dreptunghic, sinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză. Scriem sinusul unghiului C\displaystyle C.
    sin⁡C=ABBC\displaystyle \sin C=\frac{AB}{BC}
  3. Înlocuim valoarea sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2} și lungimea AB=3\displaystyle AB=3.
    12=3BC\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{3}{BC}
  4. Din proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: BC=2⋅3\displaystyle BC=2\cdot 3, adică BC=6\displaystyle BC=6.
    BC=2⋅3=6\displaystyle BC=2\cdot 3=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2143)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}, B=(2−213)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&-2\\1&3\end{pmatrix} și C=(2−123)\displaystyle C=\begin{pmatrix}2&-1\\2&3\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=2\displaystyle \det A=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, cu elementele de pe linii: prima linie 2\displaystyle 2 și 1\displaystyle 1, a doua linie 4\displaystyle 4 și 3\displaystyle 3.
    det⁡A=∣2143∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&1\\4&3\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c.
    det⁡A=2⋅3−1⋅4\displaystyle \det A=2\cdot 3-1\cdot 4
  3. Efectuăm înmulțirile și scădem: 6−4=2\displaystyle 6-4=2. Deci determinantul este 2\displaystyle 2, ceea ce trebuia arătat.
    6−4=2\displaystyle 6-4=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2143)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}, B=(2−213)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&-2\\1&3\end{pmatrix} și C=(2−123)\displaystyle C=\begin{pmatrix}2&-1\\2&3\end{pmatrix}.

Arătați că A+2B=3C\displaystyle A+2B=3C.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm 2B\displaystyle 2B înmulțind fiecare element al matricei B\displaystyle B cu 2\displaystyle 2.
    2B=(4−426)\displaystyle 2B=\begin{pmatrix}4&-4\\2&6\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricea A\displaystyle A cu 2B\displaystyle 2B, element cu element: 2+4=6\displaystyle 2+4=6, 1+(−4)=−3\displaystyle 1+(-4)=-3, 4+2=6\displaystyle 4+2=6, 3+6=9\displaystyle 3+6=9.
    A+2B=(6−369)\displaystyle A+2B=\begin{pmatrix}6&-3\\6&9\end{pmatrix}
  3. Calculăm 3C\displaystyle 3C înmulțind fiecare element al matricei C\displaystyle C cu 3\displaystyle 3 și observăm că se obține aceeași matrice ca la A+2B\displaystyle A+2B, deci egalitatea este demonstrată.
    3C=(6−369)=A+2B\displaystyle 3C=\begin{pmatrix}6&-3\\6&9\end{pmatrix}=A+2B
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2143)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}, B=(2−213)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&-2\\1&3\end{pmatrix} și C=(2−123)\displaystyle C=\begin{pmatrix}2&-1\\2&3\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(B⋅C+x(A−C))=0\displaystyle \det\left(B\cdot C+x(A-C)\right)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul B⋅C\displaystyle B\cdot C, înmulțind liniile lui B\displaystyle B cu coloanele lui C\displaystyle C. Prima linie: 2⋅2+(−2)⋅2=0\displaystyle 2\cdot 2+(-2)\cdot 2=0 și 2⋅(−1)+(−2)⋅3=−8\displaystyle 2\cdot(-1)+(-2)\cdot 3=-8. A doua linie: 1⋅2+3⋅2=8\displaystyle 1\cdot 2+3\cdot 2=8 și 1⋅(−1)+3⋅3=8\displaystyle 1\cdot(-1)+3\cdot 3=8.
    B⋅C=(0−888)\displaystyle B\cdot C=\begin{pmatrix}0&-8\\8&8\end{pmatrix}
  2. Calculăm diferența A−C\displaystyle A-C scăzând elementele corespunzătoare.
    A−C=(2−21−(−1)4−23−3)=(0220)\displaystyle A-C=\begin{pmatrix}2-2&1-(-1)\\4-2&3-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}
  3. Înmulțim matricea A−C\displaystyle A-C cu x\displaystyle x și o adunăm la B⋅C\displaystyle B\cdot C, element cu element.
    B⋅C+x(A−C)=(0−8+2x8+2x8)\displaystyle B\cdot C+x(A-C)=\begin{pmatrix}0&-8+2x\\8+2x&8\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Prima diagonală dă 0⋅8=0\displaystyle 0\cdot 8=0, deci determinantul este −(−8+2x)(8+2x)=(8−2x)(8+2x)\displaystyle -(-8+2x)(8+2x)=(8-2x)(8+2x), pentru orice număr real x\displaystyle x.
    det⁡(B⋅C+x(A−C))=0⋅8−(−8+2x)(8+2x)=(8+2x)(8−2x)\displaystyle \det\left(B\cdot C+x(A-C)\right)=0\cdot 8-(-8+2x)(8+2x)=(8+2x)(8-2x)
  5. Punem condiția ca determinantul să fie zero. Un produs este nul când unul dintre factori este nul: 8+2x=0\displaystyle 8+2x=0 dă x=−4\displaystyle x=-4, iar 8−2x=0\displaystyle 8-2x=0 dă x=4\displaystyle x=4.
    (8+2x)(8−2x)=0⇒x=−4 sau x=4\displaystyle (8+2x)(8-2x)=0\Rightarrow x=-4\text{ sau }x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x+2y)(y+2x)+2\displaystyle x*y=(x+2y)(y+2x)+2.

Arătați că 1∗1=11\displaystyle 1*1=11.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: x∗y=(x+2y)(y+2x)+2\displaystyle x*y=(x+2y)(y+2x)+2, pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    x∗y=(x+2y)(y+2x)+2\displaystyle x*y=(x+2y)(y+2x)+2
  2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=1\displaystyle y=1 în definiție.
    1∗1=(1+2⋅1)(1+2⋅1)+2\displaystyle 1*1=(1+2\cdot 1)(1+2\cdot 1)+2
  3. Calculăm fiecare paranteză: 1+2⋅1=3\displaystyle 1+2\cdot 1=3. Apoi calculăm produsul 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9 și adunăm 2\displaystyle 2, deci obținem 11\displaystyle 11, adică exact valoarea cerută.
    3⋅3+2=11\displaystyle 3\cdot 3+2=11
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x+2y)(y+2x)+2\displaystyle x*y=(x+2y)(y+2x)+2.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗0=4\displaystyle x*0=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y=0\displaystyle y=0 în definiția legii: x∗0=(x+2⋅0)(0+2x)+2\displaystyle x*0=(x+2\cdot 0)(0+2x)+2.
    x∗0=(x+0)(0+2x)+2\displaystyle x*0=(x+0)(0+2x)+2
  2. Efectuăm calculele: x⋅2x=2x2\displaystyle x\cdot 2x=2x^{2}, deci x∗0=2x2+2\displaystyle x*0=2x^{2}+2 pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x∗0=2x2+2\displaystyle x*0=2x^{2}+2
  3. Punem condiția x∗0=4\displaystyle x*0=4 și obținem ecuația 2x2+2=4\displaystyle 2x^{2}+2=4.
    2x2+2=4\displaystyle 2x^{2}+2=4
  4. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri: 2x2=2\displaystyle 2x^{2}=2, apoi împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem x2−1=0\displaystyle x^{2}-1=0.
    x2−1=0\displaystyle x^{2}-1=0
  5. Descompunem (x−1)(x+1)=0\displaystyle (x-1)(x+1)=0, deci x=−1\displaystyle x=-1 sau x=1\displaystyle x=1. Ambele valori sunt numere reale, deci convin.
    x=−1 sau x=1\displaystyle x=-1\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x+2y)(y+2x)+2\displaystyle x*y=(x+2y)(y+2x)+2.

Demonstrați că x∗1x>7\displaystyle x*\frac{1}{x}>7, pentru orice număr real nenul x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția legii pe y\displaystyle y cu 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}: x∗1x=(x+2⋅1x)(1x+2x)+2\displaystyle x*\dfrac{1}{x}=\left(x+2\cdot\dfrac{1}{x}\right)\left(\dfrac{1}{x}+2x\right)+2.
    x∗1x=(x+2x)(1x+2x)+2\displaystyle x*\frac{1}{x}=\left(x+\frac{2}{x}\right)\left(\frac{1}{x}+2x\right)+2
  2. Înmulțim cele două paranteze termen cu termen: x⋅1x=1\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1, x⋅2x=2x2\displaystyle x\cdot 2x=2x^{2}, 2x⋅1x=2x2\displaystyle \dfrac{2}{x}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{x^{2}}, 2x⋅2x=4\displaystyle \dfrac{2}{x}\cdot 2x=4. Adăugăm și termenul 2\displaystyle 2 de la final.
    x∗1x=1+2x2+2x2+4+2\displaystyle x*\frac{1}{x}=1+2x^2+\frac{2}{x^2}+4+2
  3. Reducem termenii constanți, 1+4+2=7\displaystyle 1+4+2=7, și dăm factor comun 2\displaystyle 2 la termenii cu x2\displaystyle x^{2} și 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}.
    x∗1x=2(x2+1x2)+7\displaystyle x*\frac{1}{x}=2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+7
  4. Pentru x≠0\displaystyle x\neq 0 avem x2>0\displaystyle x^{2}>0 și 1x2>0\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}>0, deci 2(x2+1x2)>0\displaystyle 2\left(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)>0. Adăugând 7\displaystyle 7, obținem rezultatul cerut.
    2(x2+1x2)+7>7, pentru orice numa˘r real \displaystyle 2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+7>7\text{, pentru orice număr real }nenul x\displaystyle \text{nenul }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x5+5x4−10x3+1\displaystyle f(x)=2x^5+5x^4-10x^3+1.

Arătați că f′(x)=10x2(x2+2x−3)\displaystyle f'(x)=10x^2\left(x^2+2x-3\right), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este o sumă de termeni de tip putere, deci o derivăm termen cu termen, folosind formula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^{n})'=n\cdot x^{n-1}. Derivata constantei 1\displaystyle 1 este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=2⋅5x4+5⋅4x3−10⋅3x2+0\displaystyle f'(x)=2\cdot 5x^4+5\cdot 4x^3-10\cdot 3x^2+0
  2. Efectuăm înmulțirile dintre coeficienți și obținem forma dezvoltată a derivatei.
    f′(x)=10x4+20x3−30x2\displaystyle f'(x)=10x^4+20x^3-30x^2
  3. Observăm că toți termenii au factorul comun 10x2\displaystyle 10x^2, pe care îl scoatem în față: 10x4:10x2=x2\displaystyle 10x^4:10x^2=x^2, 20x3:10x2=2x\displaystyle 20x^3:10x^2=2x, iar 30x2:10x2=3\displaystyle 30x^2:10x^2=3.
    f′(x)=10x2(x2+2x−3)\displaystyle f'(x)=10x^2\left(x^2+2x-3\right), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x5+5x4−10x3+1\displaystyle f(x)=2x^5+5x^4-10x^3+1.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0: y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0).
    y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)
  2. Calculăm f(0)\displaystyle f(0), înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în expresia funcției: f(0)=2⋅05+5⋅04−10⋅03+1\displaystyle f(0)=2\cdot 0^5+5\cdot 0^4-10\cdot 0^3+1. Toți termenii care conțin pe x\displaystyle x devin 0\displaystyle 0, deci rămâne doar termenul liber.
    f(0)=1\displaystyle f(0)=1
  3. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f, derivând fiecare termen cu formula (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^n)'=nx^{n-1}: f′(x)=2⋅5x4+5⋅4x3−10⋅3x2\displaystyle f'(x)=2\cdot 5x^4+5\cdot 4x^3-10\cdot 3x^2.
    f′(x)=10x4+20x3−30x2\displaystyle f'(x)=10x^{4}+20x^{3}-30x^{2}
  4. Calculăm f′(0)\displaystyle f'(0), înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în derivată. Fiecare termen conține o putere a lui x\displaystyle x, deci se anulează.
    f(0)=1\displaystyle f(0)=1, f′(0)=0\displaystyle \ f'(0)=0
  5. Înlocuim valorile f(0)=1\displaystyle f(0)=1 și f′(0)=0\displaystyle f'(0)=0 în formula tangentei: y−1=0⋅(x−0)\displaystyle y-1=0\cdot(x-0), deci y−1=0\displaystyle y-1=0. Tangenta este o dreaptă orizontală.
    y−f(0)=f′(0)(x−0), adica˘ y=1\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)\text{, adică }y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x5+5x4−10x3+1\displaystyle f(x)=2x^5+5x^4-10x^3+1.

Demonstrați că 2x5+5x4−10x3+3≥0\displaystyle 2x^5+5x^4-10x^3+3\geq 0, pentru orice x∈[−3,+∞)\displaystyle x\in[-3,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f(x)=2x5+5x4−10x3+1\displaystyle f(x)=2x^5+5x^4-10x^3+1, derivând fiecare termen: f′(x)=10x4+20x3−30x2\displaystyle f'(x)=10x^4+20x^3-30x^2.
    f′(x)=10x4+20x3−30x2\displaystyle f'(x)=10x^{4}+20x^{3}-30x^{2}
  2. Dăm factor comun 10x2\displaystyle 10x^2: f′(x)=10x2(x2+2x−3)\displaystyle f'(x)=10x^2(x^2+2x-3). Trinomul x2+2x−3\displaystyle x^2+2x-3 are rădăcinile −3\displaystyle -3 și 1\displaystyle 1, deci x2+2x−3=(x+3)(x−1)\displaystyle x^2+2x-3=(x+3)(x-1). Obținem f′(x)=10x2(x+3)(x−1)\displaystyle f'(x)=10x^2(x+3)(x-1), iar f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 pentru x=−3\displaystyle x=-3, x=0\displaystyle x=0 sau x=1\displaystyle x=1.
    f′(x)=10x2(x+3)(x−1); f′(x)=0⇔x=−3 sau x=0 sau x=1\displaystyle f'(x)=10x^{2}(x+3)(x-1);\ f'(x)=0\Leftrightarrow x=-3\text{ sau }x=0\text{ sau }x=1
  3. Pe [−3,1]\displaystyle [-3,1] avem 10x2≥0\displaystyle 10x^2\geq 0, x+3≥0\displaystyle x+3\geq 0 și x−1≤0\displaystyle x-1\leq 0, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\leq 0. Prin urmare f\displaystyle f este descrescătoare pe [−3,1]\displaystyle [-3,1].
    f′(x)≤0 pe [−3,1]⇒f este descresca˘toare pe [−3,1]\displaystyle f'(x)\leq 0\text{ pe }[-3,1]\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }[-3,1]
  4. Pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty) avem 10x2≥0\displaystyle 10x^2\geq 0, x+3>0\displaystyle x+3>0 și x−1≥0\displaystyle x-1\geq 0, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\geq 0 și f\displaystyle f este crescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty). Deoarece f\displaystyle f scade pe [−3,1]\displaystyle [-3,1] și crește pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty), minimul pe [−3,+∞)\displaystyle [-3,+\infty) se atinge în x=1\displaystyle x=1, adică f(x)≥f(1)\displaystyle f(x)\geq f(1).
    f descresca˘toare pe [−3,1]\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }[-3,1], f cresca˘toare pe [1,+∞)⇒f(x)≥f(1), pentru orice x∈[−3,+∞)\displaystyle \ f\text{ crescătoare pe }[1,+\infty)\Rightarrow f(x)\geq f(1)\text{, pentru orice }x\in[-3,+\infty)
  5. Calculăm f(1)=2⋅15+5⋅14−10⋅13+1=2+5−10+1=−2\displaystyle f(1)=2\cdot 1^5+5\cdot 1^4-10\cdot 1^3+1=2+5-10+1=-2.
    f(1)=2+5−10+1=−2\displaystyle f(1)=2+5-10+1=-2
  6. Din f(x)≥f(1)\displaystyle f(x)\geq f(1) obținem 2x5+5x4−10x3+1≥−2\displaystyle 2x^5+5x^4-10x^3+1\geq -2. Adunând 2\displaystyle 2 în ambii membri, rezultă 2x5+5x4−10x3+3≥0\displaystyle 2x^5+5x^4-10x^3+3\geq 0, pentru orice x∈[−3,+∞)\displaystyle x\in[-3,+\infty).
    2x5+5x4−10x3+1≥−2⇒2x5+5x4−10x3+3≥0, pentru orice x∈[−3,+∞)\displaystyle 2x^{5}+5x^{4}-10x^{3}+1\geq -2\Rightarrow 2x^{5}+5x^{4}-10x^{3}+3\geq 0\text{, pentru orice }x\in[-3,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=6x+2x+1\displaystyle f(x)=6x+\frac{2}{x+1}.

Arătați că ∫02(f(x)−2x+1)dx=12\displaystyle \int_0^2\left(f(x)-\frac{2}{x+1}\right)dx=12.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=6x+2x+1\displaystyle f(x)=6x+\dfrac{2}{x+1} în integrandul f(x)−2x+1\displaystyle f(x)-\dfrac{2}{x+1}.
    f(x)−2x+1=6x+2x+1−2x+1\displaystyle f(x)-\frac{2}{x+1}=6x+\frac{2}{x+1}-\frac{2}{x+1}
  2. Termenii 2x+1\displaystyle \dfrac{2}{x+1} și −2x+1\displaystyle -\dfrac{2}{x+1} se reduc, deci integrandul este 6x\displaystyle 6x.
    ∫02(f(x)−2x+1)dx=∫026x dx\displaystyle \int_0^2\left(f(x)-\frac{2}{x+1}\right)dx=\int_0^2 6x\,dx
  3. Scoatem constanta 6\displaystyle 6 în fața integralei și folosim primitiva x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2} a funcției x\displaystyle x, apoi aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫026x dx=6⋅x22∣02\displaystyle \int_0^2 6x\,dx=6\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_0^2
  4. Calculăm valorile la limite: la 2\displaystyle 2 avem 6⋅222=6⋅2=12\displaystyle 6\cdot\dfrac{2^{2}}{2}=6\cdot 2=12, iar la 0\displaystyle 0 avem 0\displaystyle 0.
    6⋅222−6⋅022=12−0\displaystyle 6\cdot\frac{2^{2}}{2}-6\cdot\frac{0^{2}}{2}=12-0
  5. Scăzând, obținem 12−0=12\displaystyle 12-0=12, deci egalitatea cerută este adevărată.
    12−0=12\displaystyle 12-0=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=6x+2x+1\displaystyle f(x)=6x+\frac{2}{x+1}.

Arătați că ∫01(f(x)−6x)dx=2ln⁡2\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-6x\right)dx=2\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=6x+2x+1\displaystyle f(x)=6x+\dfrac{2}{x+1} în integrand: f(x)−6x=6x+2x+1−6x\displaystyle f(x)-6x=6x+\dfrac{2}{x+1}-6x. Termenii 6x\displaystyle 6x se reduc, deci rămâne f(x)−6x=2x+1\displaystyle f(x)-6x=\dfrac{2}{x+1}.
    f(x)−6x=2x+1\displaystyle f(x)-6x=\frac{2}{x+1}
  2. Integrala devine ∫01(f(x)−6x)dx=∫012x+1dx=2∫011x+1dx\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-6x\right)dx=\int_0^1\dfrac{2}{x+1}dx=2\int_0^1\dfrac{1}{x+1}dx.
    ∫01(f(x)−6x)dx=∫012x+1dx=2∫011x+1dx\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-6x\right)dx=\int_0^1\frac{2}{x+1}dx=2\int_0^1\frac{1}{x+1}dx
  3. O primitivă a lui 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1} pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty) este ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1), pentru că x+1>0\displaystyle x+1>0 și (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1. Obținem 2ln⁡(x+1)∣01\displaystyle 2\ln(x+1)\Big|_0^1.
    ∫012x+1dx=2ln⁡(x+1)∣01\displaystyle \int_0^1\frac{2}{x+1}dx=2\ln(x+1)\Big|_0^1
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: 2ln⁡(1+1)−2ln⁡(0+1)=2ln⁡2−2ln⁡1\displaystyle 2\ln(1+1)-2\ln(0+1)=2\ln 2-2\ln 1. Cum ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, rezultă 2ln⁡2\displaystyle 2\ln 2, adică exact valoarea cerută.
    2ln⁡2−2ln⁡1=2ln⁡2\displaystyle 2\ln 2-2\ln 1=2\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=6x+2x+1\displaystyle f(x)=6x+\frac{2}{x+1}.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care ∫1e(f(x)−2x+1)⋅ln⁡2x dx=a(e2−1)2\displaystyle \int_1^e\left(f(x)-\frac{2}{x+1}\right)\cdot\ln^2 x\,dx=\frac{a\left(e^2-1\right)}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm integrandul: f(x)−2x+1=6x\displaystyle f(x)-\dfrac{2}{x+1}=6x, deci integrala devine ∫1e6xln⁡2x dx\displaystyle \displaystyle\int_1^e 6x\ln^2 x\,dx.
    ∫1e(f(x)−2x+1)ln⁡2x dx=∫1e6xln⁡2x dx\displaystyle \int_1^e\left(f(x)-\frac{2}{x+1}\right)\ln^2 x\,dx=\int_1^e 6x\ln^2 x\,dx
  2. Integrăm prin părți, cu 6x=(3x2)′\displaystyle 6x=\left(3x^{2}\right)', adică alegem u=ln⁡2x\displaystyle u=\ln^2 x și v=3x2\displaystyle v=3x^{2}. Derivata lui ln⁡2x\displaystyle \ln^2 x este 2ln⁡xx\displaystyle \dfrac{2\ln x}{x}, deci în integrala nouă rămâne 6xln⁡x\displaystyle 6x\ln x. Termenul integrat, calculat între 1\displaystyle 1 și e\displaystyle e, dă 3e2\displaystyle 3e^{2}.
    ∫1e6xln⁡2x dx=3x2ln⁡2x∣1e−∫1e6xln⁡x dx=3e2−∫1e6xln⁡x dx\displaystyle \int_1^e 6x\ln^2 x\,dx=3x^2\ln^2 x\Big|_1^e-\int_1^e 6x\ln x\,dx=3e^2-\int_1^e 6x\ln x\,dx
  3. Calculăm integrala rămasă tot prin părți, cu 6x=(3x2)′\displaystyle 6x=\left(3x^{2}\right)', adică u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x. Obținem 3x2ln⁡x∣1e\displaystyle 3x^2\ln x\Big|_1^e minus integrala lui 3x\displaystyle 3x, care este 3x22\displaystyle \dfrac{3x^{2}}{2}.
    ∫1e6xln⁡x dx=3x2ln⁡x∣1e−∫1e3x dx=3e2−3(e2−1)2\displaystyle \int_1^e 6x\ln x\,dx=3x^2\ln x\Big|_1^e-\int_1^e 3x\,dx=3e^2-\frac{3\left(e^2-1\right)}{2}
  4. Înlocuim rezultatul în expresia de la pasul 2. Termenii 3e2\displaystyle 3e^{2} se reduc și rămâne 3(e2−1)2\displaystyle \dfrac{3\left(e^2-1\right)}{2}.
    ∫1e6xln⁡2x dx=3e2−(3e2−3(e2−1)2)=3(e2−1)2\displaystyle \int_1^e 6x\ln^2 x\,dx=3e^2-\left(3e^2-\frac{3\left(e^2-1\right)}{2}\right)=\frac{3\left(e^2-1\right)}{2}
  5. Egalăm valoarea integralei cu a(e2−1)2\displaystyle \dfrac{a\left(e^2-1\right)}{2}. Cum e2−1≠0\displaystyle e^2-1\neq 0, simplificăm și obținem a=3\displaystyle a=3.
    3(e2−1)2=a(e2−1)2, de unde a=3\displaystyle \frac{3\left(e^2-1\right)}{2}=\frac{a\left(e^2-1\right)}{2}\text{, de unde }a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.