Bac matematică M3 tehnologic 2026, sesiunea I rezervă varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle 3\cdot(2,9-1,7)+0,4=4

.

Vezi rezolvarea

Se calculează paranteza: $\displaystyle 2,9-1,7$
$\displaystyle 2$ , $\displaystyle 9-1$ , $\displaystyle 7=1$ , $\displaystyle 2$
Se înlocuiește rezultatul parantezei în expresie
$\displaystyle 3\cdot(2,9-1,7)+0$ , $\displaystyle 4=3\cdot1$ , $\displaystyle 2+0$ , $\displaystyle 4$
Se efectuează înmulțirea
$\displaystyle 3\cdot1$ , $\displaystyle 2+0$ , $\displaystyle 4=3$ , $\displaystyle 6+0$ , $\displaystyle 4$
Se efectuează adunarea finală
$\displaystyle 3$ , $\displaystyle 6+0$ , $\displaystyle 4=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x-1

. Determinați numărul real

\displaystyle m

pentru care

\displaystyle f(0)+f(m)=0

.

Vezi rezolvarea

Se calculează valoarea funcției în punctul $\displaystyle x=0$ , înlocuind în expresia $\displaystyle f(x)=2x-1$
$\displaystyle f(0)=2\cdot 0-1=-1$
Se calculează valoarea funcției în punctul $\displaystyle x=m$ , înlocuind în expresia $\displaystyle f(x)=2x-1$
$\displaystyle f(m)=2m-1$
Se scrie ecuația $\displaystyle f(0)+f(m)=0$ folosind valorile obținute anterior
$\displaystyle -1+2m-1=0$
Se rezolvă ecuația obținută pentru a determina valoarea lui $\displaystyle m$
$\displaystyle m=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt{3x+6}=6

.

Vezi rezolvarea

Se pune condiția de existență a radicalului: expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă.
$\displaystyle 3x+6\geq 0$
Se ridică ambii membri ai ecuației la pătrat pentru a elimina radicalul.
$\displaystyle (\sqrt{3x+6})^2=6^2$
Se efectuează calculele: pătratul radicalului dă expresia de sub radical, iar $\displaystyle 6$ la pătrat este $\displaystyle 36$ .
$\displaystyle 3x+6=36$
Se izolează termenul cu $\displaystyle x$ , mutând $\displaystyle 6$ în membrul drept.
$\displaystyle 3x=36-6$
Se simplifică membrul drept al ecuației.
$\displaystyle 3x=30$
Se împarte ecuația la $\displaystyle 3$ pentru a afla valoarea lui $\displaystyle x$ .
$\displaystyle x=10$
Se verifică soluția obținută în ecuația inițială, înlocuind $\displaystyle x=10$ .
$\displaystyle \sqrt{3\cdot 10+6}=\sqrt{36}=6$
Deoarece condiția de existență este îndeplinită și verificarea este corectă, soluția finală a ecuației este $\displaystyle x=10$ .
$\displaystyle x=10$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Prețul unui obiect este de 500 de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu

\displaystyle 30\%

.

Vezi rezolvarea

Se identifică prețul inițial al obiectului și procentul de scumpire.
$\displaystyle P=500\text{ lei}$ , $\displaystyle \ p=30\%$
Se calculează suma corespunzătoare procentului de scumpire, adică $\displaystyle 30\%$ din prețul inițial.
$\displaystyle \dfrac{30}{100}\cdot500=150$
Se adaugă suma obținută la prețul inițial pentru a afla noul preț, după scumpire.
$\displaystyle 500+150=650$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle M(0,4)

,

\displaystyle N(2,8)

și

\displaystyle P(4,0)

. Determinați distanța dintre mijlocul segmentului

\displaystyle MP

și punctul

\displaystyle N

.

Vezi rezolvarea

Se scrie formula de calcul a coordonatelor mijlocului unui segment, aplicată pentru segmentul $\displaystyle MP$ , unde $\displaystyle M(0,4)$ și $\displaystyle P(4,0)$ .
$\displaystyle Q\left(\dfrac{0+4}{2},\dfrac{4+0}{2}\right)$
Se efectuează calculele pentru a obține coordonatele mijlocului $\displaystyle Q$ al segmentului $\displaystyle MP$ .
$\displaystyle Q(2,2)$
Se scrie formula distanței dintre două puncte, aplicată pentru punctele $\displaystyle Q(2,2)$ și $\displaystyle N(2,8)$ .
$\displaystyle QN=\sqrt{(2-2)^2+(8-2)^2}$
Se calculează sub radical suma pătratelor diferențelor coordonatelor.
$\displaystyle QN=\sqrt{0^2+6^2}=\sqrt{36}$
Se extrage radicalul și se obține distanța finală dintre mijlocul segmentului $\displaystyle MP$ și punctul $\displaystyle N$ .
$\displaystyle QN=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

, dreptunghic în

\displaystyle A

, cu

\displaystyle BC=10

și

\displaystyle 2BC=5AB

. Arătați că

\displaystyle AC=2\sqrt{21}

.

Vezi rezolvarea

Se scrie relația dată în enunț între $\displaystyle BC$ și $\displaystyle AB$ .
$\displaystyle 2BC=5AB$
Se înlocuiește valoarea $\displaystyle BC=10$ în relație.
$\displaystyle 2\cdot 10=5AB\Rightarrow 20=5AB$
Se rezolvă ecuația pentru a afla $\displaystyle AB$ .
$\displaystyle AB=4$
Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $\displaystyle ABC$ , cu ipotenuza $\displaystyle BC$ .
$\displaystyle BC^2=AB^2+AC^2$
Se izolează $\displaystyle AC^{2}$ și se înlocuiesc valorile cunoscute $\displaystyle BC=10$ și $\displaystyle AB=4$ .
$\displaystyle AC^2=BC^2-AB^2=10^2-4^2$
Se efectuează calculele numerice pentru a obține valoarea lui $\displaystyle AC^{2}$ .
$\displaystyle AC^2=100-16=84$
Se extrage radical din $\displaystyle AC^{2}$ și se descompune $\displaystyle 84$ pentru a simplifica radicalul, obținând rezultatul final.
$\displaystyle AC=\sqrt{84}=\sqrt{4\cdot 21}=2\sqrt{21}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&x-1\\x+1&x+1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(1))=2

.

Vezi rezolvarea

Se scrie matricea $\displaystyle A(x)$ și se înlocuiește $\displaystyle x=1$ în fiecare element pentru a obține matricea $\displaystyle A(1)$ .
$\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&x-1\\x+1&x+1\end{pmatrix}\Rightarrow A(1)=\begin{pmatrix}1&1-1\\1+1&1+1\end{pmatrix}$
Se efectuează calculele din fiecare element al matricei $\displaystyle A(1)$ , obținându-se forma finală a matricei, apoi se scrie determinantul asociat folosind formula pentru matrice $\displaystyle 2\times 2$ .
$\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&0\\2&2\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A(1))=\begin{vmatrix}1&0\\2&2\end{vmatrix} = 1\cdot2-0\cdot2$
Se efectuează înmulțirile și scăderea pentru a obține valoarea finală a determinantului.
$\displaystyle \det(A(1))=2-0=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&x-1\\x+1&x+1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle 2A(1)+A(7)=3A(3)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=1$ în $\displaystyle A(x)$ : elementele sunt $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 1-1=0$ , $\displaystyle 1+1=2$ și $\displaystyle 1+1=2$ .
$\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&0\\2&2\end{pmatrix}$
Înlocuim $\displaystyle x=7$ în $\displaystyle A(x)$ : elementele sunt $\displaystyle 7$ , $\displaystyle 7-1=6$ , $\displaystyle 7+1=8$ și $\displaystyle 7+1=8$ .
$\displaystyle A(7)=\begin{pmatrix}7&6\\8&8\end{pmatrix}$
Avem $\displaystyle 2A(1)=\begin{pmatrix}2&0\\4&4\end{pmatrix}$ . Adunăm matricea $\displaystyle A(7)$ element cu element: $\displaystyle 2+7=9$ , $\displaystyle 0+6=6$ , $\displaystyle 4+8=12$ , $\displaystyle 4+8=12$ .
$\displaystyle 2A(1)+A(7)=\begin{pmatrix}9&6\\12&12\end{pmatrix}$
Înlocuim $\displaystyle x=3$ în $\displaystyle A(x)$ : elementele sunt $\displaystyle 3$ , $\displaystyle 3-1=2$ , $\displaystyle 3+1=4$ și $\displaystyle 3+1=4$ .
$\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}3&2\\4&4\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle 3A(3)=\begin{pmatrix}9&6\\12&12\end{pmatrix}$ , care coincide cu $\displaystyle 2A(1)+A(7)$ . Deci $\displaystyle 2A(1)+A(7)=3A(3)$ .
$\displaystyle 3\begin{pmatrix}3&2\\4&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9&6\\12&12\end{pmatrix}=2A(1)+A(7)=3A(3)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&x-1\\x+1&x+1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

pentru care

\displaystyle \left(A(x)-(2x+1)I_2\right)\cdot A(2)=yI_2

.

Vezi rezolvarea

Scădem din $\displaystyle A(x)$ matricea $\displaystyle (2x+1)I_2$ , adică scădem $\displaystyle 2x+1$ de pe diagonala principală. Elementele de pe diagonală devin $\displaystyle x-(2x+1)=-x-1$ și $\displaystyle (x+1)-(2x+1)=-x$ .
$\displaystyle A(x)-(2x+1)I_2=\begin{pmatrix}-x-1&x-1\\x+1&-x\end{pmatrix}$
Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 2$ în $\displaystyle A(x)$ și obținem matricea $\displaystyle A(2)$ .
$\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2&1\\3&3\end{pmatrix}$
Înmulțim cele două matrice, linie cu coloană. Primul rând: $\displaystyle (-x-1)\cdot 2+(x-1)\cdot 3=x-5$ și $\displaystyle (-x-1)\cdot 1+(x-1)\cdot 3=2x-4$ . Al doilea rând: $\displaystyle (x+1)\cdot 2+(-x)\cdot 3=-x+2$ și $\displaystyle (x+1)\cdot 1+(-x)\cdot 3=-2x+1$ .
$\displaystyle \left(A(x)-(2x+1)I_2\right)\cdot A(2)=\begin{pmatrix}x-5&2x-4\\-x+2&-2x+1\end{pmatrix}$
Scriem $\displaystyle yI_2$ ca matrice, cu $\displaystyle y$ pe diagonală și $\displaystyle 0$ în rest, și identificăm elementele corespunzătoare. Din elementele de pe diagonala secundară obținem $\displaystyle 2x-4=0$ și $\displaystyle -x+2=0$ . Din diagonala principală obținem $\displaystyle x-5=y$ și $\displaystyle -2x+1=y$ .
$\displaystyle \begin{cases}x-5=y\\2x-4=0\\-x+2=0\\-2x+1=y\end{cases}$
Din $\displaystyle 2x-4=0$ rezultă $\displaystyle x=2$ . Atunci $\displaystyle y=x-5=-3$ . Verificăm cu ultima ecuație: $\displaystyle -2\cdot 2+1=-3$ , deci sistemul este compatibil. Soluția este $\displaystyle x=2$ și $\displaystyle y=-3$ .
$\displaystyle x=2\text{ și }y=-3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y-xy+1

.

Arătați că

\displaystyle 2*3=0

.

Vezi rezolvarea

Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile care trebuie substituite: $\displaystyle x=2$ și $\displaystyle y=3$ .
$\displaystyle x*y=x+y-xy+1$ , $\displaystyle \text{ unde }x=2$ , $\displaystyle \ y=3$
Se înlocuiește direct în formula legii de compoziție valorile $\displaystyle x=2$ și $\displaystyle y=3$ .
$\displaystyle 2*3=2+3-2\cdot3+1$
Se efectuează înmulțirea din expresie: $\displaystyle 2$ ori $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle 2\cdot3=6$
Se calculează suma și diferența termenilor rămași pentru a obține rezultatul final.
$\displaystyle 2+3-6+1=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y-xy+1

.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle x*5=10

.

Vezi rezolvarea

Se scrie definiția legii de compoziție date: $\displaystyle x*y=x+y-xy+1$ .
$\displaystyle x*y=x+y-xy+1$
Se înlocuiește $\displaystyle y=5$ în definiția legii de compoziție pentru a obține expresia lui $\displaystyle x*5$ .
$\displaystyle x*5=x+5-x\cdot 5+1$
Se reduc termenii asemenea: se grupează termenii care conțin $\displaystyle x$ și termenii liberi.
$\displaystyle x*5=x-5x+5+1=-4x+6$
Se pune condiția ca $\displaystyle x*5$ să fie egal cu valoarea dată ( $\displaystyle 10$ ), obținându-se ecuația liniară în $\displaystyle x$ .
$\displaystyle -4x+6=10$
Se rezolvă ecuația liniară: se trece $\displaystyle 6$ în membrul drept și se împarte prin $\displaystyle -4$ .
$\displaystyle -4x=10-6\Rightarrow -4x=4\Rightarrow x=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y-xy+1

.

Determinați numerele naturale nenule

\displaystyle n

pentru care numărul

\displaystyle N=\dfrac{3}{n}*(3+n)

este natural.

Vezi rezolvarea

Se scrie expresia lui $\displaystyle N$ folosind definiția legii de compoziție $\displaystyle x*y=x+y-xy+1$ , înlocuind $\displaystyle x=\dfrac{3}{n}$ și $\displaystyle y=3+n$ .
$\displaystyle N=\dfrac{3}{n}+(3+n)-\dfrac{3}{n}\cdot(3+n)+1$
Se efectuează înmulțirea din ultimul termen: $\displaystyle \dfrac{3}{n}\cdot(3+n)=\dfrac{9}{n}+3$ , apoi se înlocuiește în expresia lui $\displaystyle N$ .
$\displaystyle N=\dfrac{3}{n}+3+n-\left(\dfrac{9}{n}+3\right)+1$
Se reduc termenii asemenea (constantele $\displaystyle 3$ se anulează, iar fracțiile $\displaystyle \dfrac{3}{n}$ și $\displaystyle \dfrac{9}{n}$ se combină), obținându-se forma finală a lui $\displaystyle N$ în funcție de $\displaystyle n$ .
$\displaystyle N=-\dfrac{6}{n}+n+1$
Deoarece $\displaystyle n$ este natural nenul, termenul $\displaystyle n+1$ este natural, deci $\displaystyle N$ este natural exact atunci când $\displaystyle \dfrac{6}{n}$ este număr întreg, adică $\displaystyle n$ trebuie să fie un divizor natural al lui $\displaystyle 6$ .
$\displaystyle n\in\{1,2,3,6\}$
Se verifică fiecare divizor găsit, calculând valoarea lui $\displaystyle N$ : pentru $\displaystyle n=1$ se obține $\displaystyle N=-4$ , care nu este număr natural (fiind negativ), deci această valoare se exclude; pentru $\displaystyle n=2$ , $\displaystyle n=3$ și $\displaystyle n=6$ se obțin valorile $\displaystyle N=0$ , $\displaystyle N=2$ și, respectiv, $\displaystyle N=6$ , toate numere naturale.
$\displaystyle N(1)=-4\text{ (nu convine)}$ , $\displaystyle \ N(2)=0$ , $\displaystyle \ N(3)=2$ , $\displaystyle \ N(6)=6$
Se concluzionează care sunt valorile lui $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle N$ este natural.
$\displaystyle n=2$ , $\displaystyle \ n=3$ , $\displaystyle \ n=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\dfrac{3}{x}-1+3\ln x

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\dfrac{3(x-1)}{x^2}

,

\displaystyle x\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Se rescrie funcția pentru a evidenția termenii ce urmează a fi derivați, scriind $\displaystyle \dfrac{3}{x}$ ca $\displaystyle 3x^{-1}$ pentru a aplica regula de derivare a puterilor.
$\displaystyle f(x)=3x^{-1}-1+3\ln x$
Se derivează fiecare termen separat: derivata lui $\displaystyle 3x^{-1}$ folosind regula $\displaystyle (x^n)'=nx^{n-1}$ , derivata constantei $\displaystyle -1$ este $\displaystyle 0$ , iar derivata lui $\displaystyle 3\ln x$ folosind $\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ .
$\displaystyle (3x^{-1})'=-3x^{-2}$ , $\displaystyle \ (-1)'=0$ , $\displaystyle \ (3\ln x)'=\dfrac{3}{x}$
Se adună derivatele termenilor pentru a obține derivata funcției $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f'(x)=3\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)+3\cdot\dfrac{1}{x}$
Se aduce expresia la același numitor comun $\displaystyle x^2$ , scriind $\displaystyle 3\cdot\dfrac{1}{x}$ ca $\displaystyle \dfrac{3x}{x^2}$ .
$\displaystyle f'(x)=-\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{3x}{x^2}$
Se combină fracțiile și se dă factor comun $\displaystyle 3$ la numărător, obținând forma finală simplificată a derivatei.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{3x-3}{x^2}=\dfrac{3(x-1)}{x^2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\dfrac{3}{x}-1+3\ln x

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0

.

Vezi rezolvarea

Se scrie limita cerută și se observă forma de nedeterminare la infinit, deoarece atât numărătorul cât și numitorul tind la infinit.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\dfrac{3}{x}-1+3\ln x}{x}=\dfrac{\infty}{\infty}$
Se calculează derivatele numărătorului și numitorului, pentru a aplica regula lui l'Hôpital.
$\displaystyle f'(x)=-\dfrac{3}{x^2}-0+\dfrac{3}{x}=\dfrac{3}{x}-\dfrac{3}{x^2}$ , $\displaystyle \quad x'=1$
Se aplică regula lui l'Hôpital, înlocuind raportul funcțiilor cu raportul derivatelor, și se aduce expresia la un numitor comun.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f'(x)}{x'}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3(x-1)}{x^2}$
Se descompune fracția obținută în două fracții mai simple, separând termenii, pentru a calcula limita fiecăruia.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{3(x-1)}{x^2}=\lim_{x\to+\infty}3\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}\right)$
Se calculează limita fiecărui termen: atât $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ cât și $\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}$ tind la $\displaystyle 0$ când $\displaystyle x$ tinde la infinit, deci limita totală este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}3\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}\right)=3(0-0)=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\dfrac{3}{x}-1+3\ln x

.

Demonstrați că

\displaystyle \ln x\ge 1-\dfrac{1}{x}

, pentru orice

\displaystyle x\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Se calculează derivata funcției $\displaystyle f$ , aducând-o la același numitor pentru a-i studia semnul.
$\displaystyle f'(x)=-\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{3}{x}=\dfrac{3(x-1)}{x^2}$ , $\displaystyle \quad x>0$
Se observă că numitorul $\displaystyle x^2$ este strict pozitiv pe domeniul de definiție, deci semnul lui $\displaystyle f'(x)$ este dat de semnul factorului $\displaystyle (x-1)$ .
$\displaystyle x^2>0\Rightarrow \text{semnul lui } f'(x) \text{ este semnul lui } (x-1)$
Se analizează semnul lui $\displaystyle (x-1)$ pe cele două subintervale ale domeniului: pentru $\displaystyle x \in (0,1)$ avem $\displaystyle x-1<0$ , iar pentru $\displaystyle x \in (1,+\infty)$ avem $\displaystyle x-1>0$ .
$\displaystyle x\in(0,1)\Rightarrow f'(x)<0;\qquad x\in(1,+\infty)\Rightarrow f'(x)>0$
Din semnul derivatei se deduce monotonia funcției $\displaystyle f$ pe cele două intervale: $\displaystyle f$ este descrescătoare pe $\displaystyle (0,1]$ și crescătoare pe $\displaystyle [1,+\infty)$ .
$\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }(0,1]\text{, crescătoare pe }[1,+\infty)$
Deoarece $\displaystyle f$ este descrescătoare pe $\displaystyle (0,1]$ și crescătoare pe $\displaystyle [1,+\infty)$ , rezultă că $\displaystyle x=1$ este punct de minim absolut al funcției $\displaystyle f$ pe $\displaystyle (0,+\infty)$ .
$\displaystyle x=1\text{ este punct de minim al }$ $\displaystyle \text{lui } f$
Se calculează valoarea funcției în punctul de minim $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle f(1)=\dfrac{3}{1}-1+3\ln1=3-1+0=2$
Fiind punct de minim absolut, valoarea funcției în orice alt punct al domeniului este mai mare sau egală decât valoarea din minim, adică $\displaystyle f(x)\geq f(1)=2$ pentru orice $\displaystyle x>0$ .
$\displaystyle f(x)\ge f(1)=2$ , $\displaystyle \quad \forall x>0$
Se înlocuiește expresia lui $\displaystyle f(x)$ în inegalitatea $\displaystyle f(x)\geq 2$ și se izolează termenul cu logaritm, obținând inegalitatea cerută.
$\displaystyle f(x)\ge f(1)=2\Rightarrow \dfrac{3}{x}-1+3\ln x\ge 2\Rightarrow 3\ln x\ge 3-\dfrac{3}{x}\Rightarrow \ln x\ge1-\dfrac{1}{x}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=4x+3-6\sqrt{x}

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{2}\left(f(x)-3+6\sqrt{x}\right)dx=6

.

Vezi rezolvarea

Se scrie expresia de sub integrală, folosind funcția dată $\displaystyle f(x)=4x+3-6\sqrt{x}$ , presupunând enunțul $\displaystyle \int_{1}^{2}\left(f(x)+6\sqrt{x}-3\right)dx$
$\displaystyle \int_{1}^{2}\left(4x+3-6\sqrt{x}+6\sqrt{x}-3\right)dx$
Se simplifică expresia de sub integrală, reducând termenii asemenea (termenii cu radical și termenii constanți se anulează reciproc)
$\displaystyle \int_{1}^{2}4x\,dx$
Se determină o primitivă a funcției $\displaystyle 4x$ , folosind formula $\displaystyle \int x^n dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
$\displaystyle \int 4x\,dx=4\cdot\dfrac{x^2}{2}=2x^2$
Se scrie integrala definită folosind primitiva găsită, evaluată între limitele de integrare
$\displaystyle \int_{1}^{2}4x\,dx=2x^2\Big|_{1}^{2}$
Se calculează valorile primitivei la limitele de integrare, înlocuind $\displaystyle x=2$ și $\displaystyle x=1$
$\displaystyle 2\cdot 2^2-2\cdot 1^2=8-2$
Se efectuează scăderea și se obține rezultatul final al integralei
$\displaystyle 8-2=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=4x+3-6\sqrt{x}

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{4}\dfrac{4x-f(x)}{\sqrt{x}}dx=12

.

Vezi rezolvarea

Pornim de la funcția dată și construim expresia $\displaystyle 4x-f(x)$ , care apare sub integrală: înlocuim $\displaystyle f(x)=4x+3-6\sqrt{x}$ și reducem termenii asemenea.
$\displaystyle 4x-f(x)=4x-(4x+3-6\sqrt{x})=6\sqrt{x}-3$
Împărțim expresia obținută la $\displaystyle \sqrt{x}$ pentru a aduce integrandul la o formă mai simplă, separând cei doi termeni ai fracției.
$\displaystyle \dfrac{6\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}=6-\dfrac{3}{\sqrt{x}}=\dfrac{-3}{\sqrt{x}}+6$
Scriem integrala definită cu integrandul simplificat și determinăm o primitivă termen cu termen: pentru $\displaystyle \frac{-3}{\sqrt{x}}$ folosim $\displaystyle \int x^{-1/2}dx=2\sqrt{x}$ , obținând $\displaystyle -6\sqrt{x}$ , iar pentru constanta $\displaystyle 6$ primitiva este $\displaystyle 6x$ .
$\displaystyle \int_{1}^{4}\left(\dfrac{-3}{\sqrt{x}}+6\right)dx=-6\sqrt{x}\Big|_{1}^{4}+6x\Big|_{1}^{4}$
Evaluăm fiecare primitivă la capetele intervalului: $\displaystyle -6\sqrt{x}$ între $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 4$ dă $\displaystyle -6\cdot2-(-6\cdot1)=-12+6=-6$ , iar $\displaystyle 6x$ între $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 4$ dă $\displaystyle 6\cdot4-6\cdot1=24-6=18$ . Adunând cele două rezultate obținem valoarea integralei.
$\displaystyle -6+18=12$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=4x+3-6\sqrt{x}

.

Demonstrați că orice primitivă

\displaystyle G:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

a funcției

\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=f(x)\cdot\sqrt{x}

este convexă.

Vezi rezolvarea

Se pornește de la funcția dată $\displaystyle f(x)=4x+3-6\sqrt{x}$ și se definește funcția $\displaystyle g(x)=\sqrt{x}\cdot f(x)$ , care apare în enunțul complet al problemei, aducând-o la forma convenabilă pentru derivare.
$\displaystyle g(x)=\sqrt{x}\cdot f(x)=(4x+3)\sqrt{x}-6x$
Deoarece $\displaystyle G$ este o primitivă a lui $\displaystyle g$ pe $\displaystyle (0,+\infty)$ , avem $\displaystyle G'(x)=g(x)$ , deci $\displaystyle G''(x)=g'(x)$ . Se derivează $\displaystyle g$ scriind produsul $\displaystyle (4x+3)\sqrt{x}$ cu regula derivării unui produs, $\displaystyle u'v+uv'$ , unde $\displaystyle u=4x+3$ și $\displaystyle v=\sqrt{x}$ , apoi se scade derivata lui $\displaystyle 6x$ .
$\displaystyle G''(x)=g'(x)=\left[(4x+3)'\cdot\sqrt{x}+(4x+3)\cdot(\sqrt{x})'\right]-(6x)'$
Se calculează efectiv derivatele: $\displaystyle (4x+3)'=4$ , $\displaystyle (\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , $\displaystyle (6x)'=6$ , obținându-se expresia lui $\displaystyle G''(x)$ .
$\displaystyle G''(x)=g'(x)=4\sqrt{x}+(4x+3)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-6$
Se aduc toți termenii la același numitor $\displaystyle 2\sqrt{x}$ , folosind $\displaystyle 4\sqrt{x}=\dfrac{8x}{2\sqrt{x}}$ și $\displaystyle -6=\dfrac{-12\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$ , pentru a obține o singură fracție.
$\displaystyle G''(x)=\dfrac{8x+(4x+3)-12\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\dfrac{12x-12\sqrt{x}+3}{2\sqrt{x}}$
Se factorizează numărătorul: $\displaystyle 12x-12\sqrt{x}+3=3(4x-4\sqrt{x}+1)=3(2\sqrt{x}-1)^2$ , obținându-se forma finală a lui $\displaystyle G''(x)$ , care este nenegativă pe $\displaystyle (0,+\infty)$ deoarece numărătorul este un pătrat înmulțit cu $\displaystyle 3$ , iar numitorul $\displaystyle 2\sqrt{x}$ este strict pozitiv. Rezultă că $\displaystyle G$ este convexă.
$\displaystyle G''(x)=\dfrac{3(2\sqrt{x}-1)^2}{2\sqrt{x}}\ge0\text{, deci }G\text{ este convexă}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M3 tehnologic 2026, sesiunea I rezervă varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani