Bac matematică M3 tehnologic 2025, sesiunea I varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 110+3⋅(12−15)=1.\frac{1}{10}+3\cdot\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se aduc fracțiile din paranteză la același numitor comun, care este 10\displaystyle 10, pentru a putea efectua scăderea.
    12−15=510−210\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{5}{10}-\frac{2}{10}
  2. Se efectuează scăderea fracțiilor cu același numitor, obținând valoarea parantezei.
    510−210=310\displaystyle \frac{5}{10}-\frac{2}{10}=\frac{3}{10}
  3. Se înlocuiește paranteza cu rezultatul obținut și se înmulțește cu 3\displaystyle 3, obținând expresia sub formă de sumă de fracții cu numitor 10\displaystyle 10.
    110+3⋅(12−15)=110+3⋅310=\displaystyle \frac{1}{10}+3\cdot\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{10}+3\cdot\frac{3}{10}=
  4. Se efectuează înmulțirea 3\displaystyle 3 cu 310\displaystyle \dfrac{3}{10}, obținând fracția 910\displaystyle \dfrac{9}{10}, ca pas intermediar înainte de adunare.
    3⋅310=910\displaystyle 3\cdot\frac{3}{10}=\frac{9}{10}
  5. Se adună cele două fracții cu același numitor, obținând rezultatul final egal cu 1\displaystyle 1, ceea ce trebuia demonstrat.
    =110+910=1\displaystyle =\frac{1}{10}+\frac{9}{10}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=6x−3\displaystyle f(x)=6x-3. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(2)=a+f(0)\displaystyle f(2)=a+f(0).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează valoarea funcției în x=2\displaystyle x=2, înlocuind în f(x)=6x−3\displaystyle f(x)=6x-3.
    f(2)=6⋅2−3=12−3=9\displaystyle f(2)=6\cdot 2-3=12-3=9
  2. Se calculează valoarea funcției în x=0\displaystyle x=0, înlocuind în f(x)=6x−3\displaystyle f(x)=6x-3.
    f(0)=6⋅0−3=0−3=−3\displaystyle f(0)=6\cdot 0-3=0-3=-3
  3. Se centralizează cele două valori obținute ale funcției.
    f(2)=9\displaystyle f(2)=9, f(0)=−3\displaystyle \ f(0)=-3
  4. Se înlocuiește f(2)\displaystyle f(2) și f(0)\displaystyle f(0) în ecuația dată f(2)=a+f(0)\displaystyle f(2)=a+f(0), obținând ecuația în a\displaystyle a.
    9=a+(−3)\displaystyle 9=a+(-3)
  5. Se simplifică ecuația și se rezolvă pentru a\displaystyle a, izolând necunoscuta.
    9=a−3, de unde obținem a=12\displaystyle 9=a-3\text{, de unde obținem }a=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 52x=53−x.5^{2x}=5^{3-x}.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că ambii membri ai ecuației au aceeași bază, 5\displaystyle 5, deci ecuația este de forma 5a=5b\displaystyle 5^{a}=5^{b}.
    52x=53−x\displaystyle 5^{2x}=5^{3-x}
  2. Deoarece funcția exponențială cu baza 5\displaystyle 5 este injectivă (bazele fiind egale), exponenții trebuie să fie egali între ei.
    2x=3−x\displaystyle 2x=3-x
  3. Se trece termenul −x\displaystyle -x din dreapta în stânga, adunând x\displaystyle x la ambii membri ai ecuației.
    2x+x=3\displaystyle 2x+x=3
  4. Se adună termenii asemenea din stânga.
    3x=3\displaystyle 3x=3
  5. Se împarte ecuația prin 3\displaystyle 3 pentru a obține valoarea lui x\displaystyle x.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\displaystyle A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, acesta să verifice inegalitatea 6n>25\displaystyle 6n>25.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică mulțimea totală de numere din care se alege n\displaystyle n și se numără elementele acesteia.
    A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, deci ∣A∣=10\displaystyle A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\text{, deci }|A|=10
  2. Se stabilește numărul total de cazuri posibile, egal cu numărul elementelor mulțimii A\displaystyle A.
    Numa˘rul de cazuri \displaystyle \text{Numărul de cazuri }posibile este 10\displaystyle \text{posibile este }10
  3. Se rezolvă inegalitatea 6n>25\displaystyle 6n>25 pentru a determina valorile lui n\displaystyle n care o verifică.
    6n>25⇒n>256≈4,16‾\displaystyle 6n>25\Rightarrow n>\dfrac{25}{6}\approx4{,}1\overline{6}
  4. Se determină elementele din A care sunt mai mari decât 256\displaystyle \dfrac{25}{6}, deci verifică inegalitatea.
    n∈{5,6,7,8,9}\displaystyle n\in\{5,6,7,8,9\}
  5. Se numără cazurile favorabile și se calculează probabilitatea ca raport între numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile.
    Iˆn mulțimea A sunt 5 numere n pentru care 6n>25, deci sunt 5 cazuri favorabile, de \displaystyle \text{În mulțimea }A\text{ sunt }5\text{ numere }n\text{ pentru care }6n>25\text{, deci sunt }5\text{ cazuri favorabile, de }unde obținem p=510=12\displaystyle \text{unde obținem }p=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,0)\displaystyle A(2,0), B(2,1)\displaystyle B(2,1) și C(6,4)\displaystyle C(6,4). Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care BC=a⋅AB\displaystyle BC=a\cdot AB.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula distanței dintre două puncte în plan, pentru a calcula lungimea segmentului BC, folosind coordonatele B(2,1)\displaystyle B(2,1) și C(6,4)\displaystyle C(6,4).
    BC=(xC−xB)2+(yC−yB)2\displaystyle BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}
  2. Se înlocuiesc coordonatele punctelor B și C în formulă.
    BC=(6−2)2+(4−1)2=42+32\displaystyle BC=\sqrt{(6-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{4^2+3^2}
  3. Se calculează sub radical și se obține lungimea segmentului BC.
    BC=16+9=25=5\displaystyle BC=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5
  4. Se scrie formula distanței dintre două puncte pentru a calcula lungimea segmentului AB, folosind coordonatele A(2,0)\displaystyle A(2,0) și B(2,1)\displaystyle B(2,1).
    AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
  5. Se înlocuiesc coordonatele punctelor A și B în formulă și se calculează sub radical.
    AB=(2−2)2+(1−0)2=0+1\displaystyle AB=\sqrt{(2-2)^2+(1-0)^2}=\sqrt{0+1}
  6. Se obține lungimea segmentului AB.
    AB=1=1\displaystyle AB=\sqrt{1}=1
  7. Se folosește relația dată în enunț, BC=a⋅AB\displaystyle BC = a\cdot AB, și se înlocuiesc valorile găsite pentru BC și AB, apoi se determină a.
    AB=1 și, cum BC=5⋅AB, obținem a=5\displaystyle AB=1\text{ și, cum }BC=5\cdot AB\text{, obținem }a=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul MNP\displaystyle MNP, dreptunghic în M\displaystyle M, cu MN=4⋅MP\displaystyle MN=4\cdot MP și MN=8\displaystyle MN=8. Arătați că aria triunghiului MNP\displaystyle MNP este egală cu 8\displaystyle 8.
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu datele problemei: triunghiul MNP este dreptunghic în M, deci catetele sunt MN și MP, iar relația dintre ele este dată de MN=4⋅MP\displaystyle MN=4\cdot MP, cu MN=8\displaystyle MN=8.
    MN=4⋅MP\displaystyle MN=4\cdot MP, MN=8\displaystyle \ MN=8
  2. Se înlocuiește valoarea MN=8\displaystyle MN=8 în relația MN=4⋅MP\displaystyle MN=4\cdot MP pentru a obține o ecuație în MP.
    8=4⋅MP\displaystyle 8=4\cdot MP
  3. Se rezolvă ecuația obținută, împărțind ambii membri la 4, pentru a afla lungimea catetei MP.
    MP=84=2\displaystyle MP=\frac{8}{4}=2
  4. Se aplică formula ariei triunghiului dreptunghic, unde cele două catete sunt MN și MP, iar aria este jumătate din produsul catetelor.
    AMNP=MN⋅MP2\displaystyle \mathcal{A}_{MNP}=\frac{MN\cdot MP}{2}
  5. Se înlocuiesc valorile MN=8\displaystyle MN=8 și MP=2\displaystyle MP=2 în formula ariei și se efectuează calculul pentru a obține rezultatul final.
    AMNP=MN⋅MP2=8⋅22=8\displaystyle \mathcal{A}_{MNP}=\frac{MN\cdot MP}{2}=\frac{8\cdot 2}{2}=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(5221), B=(533−1) și I2=(1001).A=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}5&3\\3&-1\end{pmatrix}\text{ și }I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=1\displaystyle \det A=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică elementele matricei A\displaystyle A, care este o matrice pătratică de ordinul 2\displaystyle 2, cu elementele a11=5\displaystyle a_{11}=5, a12=2\displaystyle a_{12}=2, a21=2\displaystyle a_{21}=2, a22=1\displaystyle a_{22}=1.
    A=(5221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}
  2. Se aplică formula determinantului unei matrice de ordinul 2\displaystyle 2: pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, determinantul este ad−bc\displaystyle ad-bc. Se scrie determinantul matricei A\displaystyle A și se identifică produsele de pe cele două diagonale.
    det⁡A=∣5221∣=5⋅1−2⋅2=\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}5&2\\2&1\end{vmatrix}=5\cdot 1-2\cdot 2=
  3. Se efectuează înmulțirile: produsul elementelor de pe diagonala principală este 5\displaystyle 5 înmulțit cu 1\displaystyle 1, iar produsul elementelor de pe diagonala secundară este 2\displaystyle 2 înmulțit cu 2\displaystyle 2.
    5⋅1=5 și 2⋅2=4\displaystyle 5\cdot 1=5\text{ și }2\cdot 2=4
  4. Se scade produsul diagonalei secundare din produsul diagonalei principale pentru a obține valoarea finală a determinantului.
    =5−4=1\displaystyle =5-4=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(5221), B=(533−1) și I2=(1001).A=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}5&3\\3&-1\end{pmatrix}\text{ și }I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care 3A−5I2=xB\displaystyle 3A-5I_2=xB.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează matricea 3A\displaystyle 3A, înmulțind fiecare element al matricei A\displaystyle A cu 3\displaystyle 3.
    3A=3(5221)=(15663)\displaystyle 3A=3\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15&6\\6&3\end{pmatrix}
  2. Se calculează matricea 5I2\displaystyle 5I_2, înmulțind matricea unitate cu 5\displaystyle 5.
    5I2=5(1001)=(5005)\displaystyle 5I_2=5\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}
  3. Se scade matricea 5I2\displaystyle 5I_2 din 3A\displaystyle 3A, element cu element, și se observă că rezultatul este multiplu de B\displaystyle B.
    3A−5I2=(15663)−(5005)=(1066−2)=2(533−1)=2B\displaystyle 3A-5I_2=\begin{pmatrix}15&6\\6&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&6\\6&-2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}5&3\\3&-1\end{pmatrix}=2B
  4. Se compară rezultatul obținut cu forma xB\displaystyle xB din ecuația inițială, obținând valoarea lui x\displaystyle x.
    2B=xB, de unde obținem x=2\displaystyle 2B=xB\text{, de unde obținem }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(5221), B=(533−1) și I2=(1001).A=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}5&3\\3&-1\end{pmatrix}\text{ și }I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați mulțimea numerelor reale x\displaystyle x pentru care det⁡(A⋅(B−A)+xI2)≤2\displaystyle \det\left(A\cdot(B-A)+xI_2\right)\le 2.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează diferența matricelor B\displaystyle B și A\displaystyle A, scăzând element cu element.
    B−A=(5−53−23−2−1−1)=(011−2)\displaystyle B-A=\begin{pmatrix}5-5&3-2\\3-2&-1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&-2\end{pmatrix}
  2. Se calculează produsul A⋅(B−A)\displaystyle A\cdot(B-A) folosind regula de înmulțire a matricelor.
    A⋅(B−A)=(5221)(011−2)=(5⋅0+2⋅15⋅1+2⋅(−2)2⋅0+1⋅12⋅1+1⋅(−2))=(2110)\displaystyle A\cdot(B-A)=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\cdot0+2\cdot1&5\cdot1+2\cdot(-2)\\2\cdot0+1\cdot1&2\cdot1+1\cdot(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}
  3. Se adaugă matricea xI2\displaystyle xI_2 la produsul obținut, pentru a forma matricea din interiorul determinantului.
    A⋅(B−A)+xI2=(2110)+(x00x)=(2+x11x)\displaystyle A\cdot(B-A)+xI_2=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+x&1\\1&x\end{pmatrix}
  4. Se calculează determinantul matricei obținute, folosind formula determinantului de ordinul doi (produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare), obținând o expresie de gradul al doilea în x\displaystyle x.
    det⁡(A⋅(B−A)+xI2)=(2+x)⋅x−1⋅1=x2+2x−1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \det\left(A\cdot(B-A)+xI_2\right)=(2+x)\cdot x-1\cdot1=x^2+2x-1\text{, pentru orice număr real }x
  5. Se pune condiția ca determinantul să fie cel mult egal cu 2\displaystyle 2, obținându-se o inecuație de gradul al doilea.
    x2+2x−1≤2  ⟺  x2+2x−3≤0\displaystyle x^2+2x-1\le 2\iff x^2+2x-3\le 0
  6. Se rezolvă inecuația de gradul al doilea, determinând rădăcinile trinomului și semnul acestuia, apoi se scrie mulțimea soluțiilor.
    x2+2x−3=0⇒x1=−3\displaystyle x^2+2x-3=0\Rightarrow x_1=-3, x2=1, deci x2+2x−3≤0 pentru x∈[−3,1]\displaystyle \ x_2=1\text{, deci }x^2+2x-3\le 0\text{ pentru }x\in[-3,1]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−3X2+X+m,f=X^3-3X^2+X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=1\displaystyle m=1, arătați că f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie polinomul dat pentru valoarea particulară m=1\displaystyle m=1, obținându-se forma concretă a acestuia.
    f=X3−3X2+X+1\displaystyle f=X^3-3X^2+X+1
  2. Se calculează valoarea polinomului în x=1\displaystyle x=1, înlocuind X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în expresia obținută.
    f(1)=13−3⋅12+1+1\displaystyle f(1)=1^3-3\cdot 1^2+1+1
  3. Se calculează puterile și produsul din expresie: 1\displaystyle 1 la puterea a treia rămâne 1\displaystyle 1, iar 3\displaystyle 3 înmulțit cu 1\displaystyle 1 la pătrat rămâne 3\displaystyle 3.
    f(1)=1−3+1+1\displaystyle f(1)=1-3+1+1
  4. Se efectuează adunările și scăderile în ordine, obținându-se valoarea finală a expresiei.
    f(1)=1−3+1+1=0\displaystyle f(1)=1-3+1+1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−3X2+X+m,f=X^3-3X^2+X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care 2x1+2x2+2x3=1+x1x2x3\displaystyle 2x_1+2x_2+2x_3=1+x_1x_2x_3, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x1,x2,x3\displaystyle x_1, x_2, x_3 rădăcinile polinomului f=X3−3X2+X+m\displaystyle f=X^3-3X^2+X+m și scriem relațiile lui Viète corespunzătoare unui polinom de gradul 3 de forma X3+aX2+bX+c\displaystyle X^3+aX^2+bX+c, unde a=−3\displaystyle a=-3, b=1\displaystyle b=1, c=m\displaystyle c=m.
    x1+x2+x3=−a\displaystyle x_1+x_2+x_3=-a,x1x2+x1x3+x2x3=b\displaystyle \quad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=b,x1x2x3=−c\displaystyle \quad x_1x_2x_3=-c
  2. Înlocuim valorile coeficienților a=−3\displaystyle a=-3, b=1\displaystyle b=1, c=m\displaystyle c=m în relațiile lui Viète pentru a obține suma, suma produselor și produsul rădăcinilor.
    x1+x2+x3=3\displaystyle x_1+x_2+x_3=3,x1x2+x1x3+x2x3=1\displaystyle \quad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=1,x1x2x3=−m\displaystyle \quad x_1x_2x_3=-m
  3. Folosim condiția din enunț, care leagă suma rădăcinilor de produsul lor, anume 2(x1+x2+x3)=1+x1x2x3\displaystyle 2(x_1+x_2+x_3)=1+x_1x_2x_3, și înlocuim în ea valorile obținute din relațiile lui Viète.
    2⋅3=1+(−m)\displaystyle 2\cdot 3=1+(-m)
  4. Rescriem egalitatea obținută, punând în evidență suma rădăcinilor calculată (x1+x2+x3=3\displaystyle x_1+x_2+x_3=3) și produsul rădăcinilor exprimat în funcție de m\displaystyle m (x1x2x3=−m\displaystyle x_1x_2x_3=-m), obținând forma cerută de barem.
    x1+x2+x3=3\displaystyle x_1+x_2+x_3=3, x1x2x3=−m, deci 2⋅3=1−m\displaystyle \ x_1x_2x_3=-m\text{, deci }2\cdot 3=1-m
  5. Rezolvăm ecuația liniară în m\displaystyle m obținută la pasul anterior: 6=1−m\displaystyle 6=1-m, deci −m=6−1=5\displaystyle -m=6-1=5, de unde m=−5\displaystyle m=-5.
    6=1−m⇒−m=5⇒m=−5\displaystyle 6=1-m\Rightarrow -m=5\Rightarrow m=-5
  6. Scriem răspunsul final: valoarea lui m\displaystyle m care satisface condiția dată este m=−5\displaystyle m=-5.
    m=−5\displaystyle m=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−3X2+X+m,f=X^3-3X^2+X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Știind că restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la polinomul X−2\displaystyle X-2 este −5\displaystyle -5, arătați că f\displaystyle f este divizibil cu polinomul X2+1\displaystyle X^2+1.
Vezi rezolvarea
  1. Conform teoremei restului, restul împărțirii lui f\displaystyle f la X−2\displaystyle X-2 este f(2)\displaystyle f(2). Înlocuim X\displaystyle X cu 2\displaystyle 2.
    f(2)=23−3⋅22+2+m\displaystyle f(2)=2^3-3\cdot 2^2+2+m
  2. Efectuăm calculele: 8−12+2=−2\displaystyle 8-12+2=-2, deci f(2)=−2+m\displaystyle f(2)=-2+m.
    f(2)=−2+m\displaystyle f(2)=-2+m
  3. Restul este −5\displaystyle -5, deci f(2)=−5\displaystyle f(2)=-5. Rezolvăm ecuația: −2+m=−5\displaystyle -2+m=-5.
    −2+m=−5⇒m=−3\displaystyle -2+m=-5\Rightarrow m=-3
  4. Cu m=−3\displaystyle m=-3 avem f=X3−3X2+X−3\displaystyle f=X^3-3X^2+X-3. Grupăm termenii: X2(X−3)+(X−3)\displaystyle X^2(X-3)+(X-3).
    f=X2(X−3)+(X−3)\displaystyle f=X^2(X-3)+(X-3)
  5. Dăm factor comun pe X−3\displaystyle X-3. Rezultă că f\displaystyle f este produs între X2+1\displaystyle X^2+1 și un alt polinom, deci f\displaystyle f este divizibil cu X2+1\displaystyle X^2+1.
    f=(X−3)(X2+1), deci f este divizibil cu X2+1\displaystyle f=(X-3)(X^2+1)\text{, deci }f\text{ este divizibil cu }X^2+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−2ex.f(x)=\frac{x-2}{e^x}.

Arătați că f′(x)=3−xex\displaystyle f'(x)=\dfrac{3-x}{e^x}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică funcțiile u\displaystyle u și v\displaystyle v din scrierea f(x)=u(x)v(x)\displaystyle f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, unde u(x)=x−2\displaystyle u(x)=x-2 și v(x)=ex\displaystyle v(x)=e^x, și se reamintește formula de derivare a câtului.
    f(x)=u(x)v(x)\displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, u(x)=x−2\displaystyle \ u(x)=x-2, v(x)=ex\displaystyle \ v(x)=e^x, f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v(x)2\displaystyle \ f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}
  2. Se calculează derivatele funcțiilor u\displaystyle u și v\displaystyle v.
    u′(x)=1\displaystyle u'(x)=1, v′(x)=ex\displaystyle \ v'(x)=e^x
  3. Se aplică formula de derivare a câtului, înlocuind u\displaystyle u, u′\displaystyle u', v\displaystyle v, v′\displaystyle v'.
    f′(x)=ex−(x−2)ex(ex)2=\displaystyle f'(x)=\frac{e^x-(x-2)e^x}{(e^x)^2}=
  4. Se dă factor comun ex\displaystyle e^x la numărător, pentru a simplifica expresia.
    f′(x)=ex(1−(x−2))(ex)2=ex(1−x+2)(ex)2\displaystyle f'(x)=\frac{e^x\left(1-(x-2)\right)}{(e^x)^2}=\frac{e^x(1-x+2)}{(e^x)^2}
  5. Se simplifică fracția prin ex\displaystyle e^x și se reduc termenii asemenea din numărător, obținând forma finală a derivatei.
    =ex(1−x+2)(ex)2=3−xex\displaystyle =\frac{e^x(1-x+2)}{(e^x)^2}=\frac{3-x}{e^x}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−2ex.f(x)=\frac{x-2}{e^x}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se rescrie funcția sub formă de produs, pentru a putea deriva ușor: f(x)=(x−2)⋅e−x\displaystyle f(x) = (x-2)\cdot e^{-x}.
    f(x)=(x−2)⋅e−x\displaystyle f(x)=(x-2)\cdot e^{-x}
  2. Se calculează valoarea funcției în punctul x=0\displaystyle x=0, înlocuind direct în expresia inițială.
    f(0)=0−2e0=−21=−2\displaystyle f(0)=\frac{0-2}{e^{0}}=\frac{-2}{1}=-2
  3. Se derivează funcția folosind regula produsului: (u⋅v)′=u′v+uv′\displaystyle (u\cdot v)' = u'v + uv', cu u=x−2\displaystyle u=x-2 și v=e−x\displaystyle v=e^{-x}.
    f′(x)=1⋅e−x+(x−2)⋅(−e−x)=e−x[1−(x−2)]\displaystyle f'(x)=1\cdot e^{-x}+(x-2)\cdot(-e^{-x})=e^{-x}\left[1-(x-2)\right]
  4. Se simplifică expresia derivatei, obținând forma finală a lui f′(x)\displaystyle f'(x).
    f′(x)=(3−x)e−x=3−xex\displaystyle f'(x)=(3-x)e^{-x}=\frac{3-x}{e^{x}}
  5. Se calculează valoarea derivatei în punctul x=0\displaystyle x=0, prin înlocuire directă în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x).
    f′(0)=3−0e0=31=3\displaystyle f'(0)=\frac{3-0}{e^{0}}=\frac{3}{1}=3
  6. Se centralizează cele două valori obținute, necesare pentru scrierea ecuației tangentei.
    f(0)=−2\displaystyle f(0)=-2, f′(0)=3\displaystyle \ f'(0)=3
  7. Se scrie formula generală a ecuației tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0.
    y−f(0)=f′(0)⋅(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)\cdot(x-0)
  8. Se înlocuiesc valorile f(0)=−2\displaystyle f(0)=-2 și f′(0)=3\displaystyle f'(0)=3 în formula tangentei și se simplifică pentru a obține ecuația finală.
    Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0), adica˘ y=3x−2\displaystyle \text{Ecuația tangentei este }y-f(0)=f'(0)(x-0)\text{, adică }y=3x-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−2ex.f(x)=\frac{x-2}{e^x}.

Demonstrați că −ex−1≤x−2≤ex−3,-e^{x-1}\le x-2\le e^{x-3}, pentru orice x∈[1,4]\displaystyle x\in[1,4].
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f, scriind f(x)\displaystyle f(x) ca produs (x−2)⋅e−x\displaystyle (x-2)\cdot e^{-x} și aplicând regula de derivare a produsului.
    f′(x)=e−x−(x−2)e−x=e−x[1−(x−2)]=3−xex\displaystyle f'(x)=e^{-x}-(x-2)e^{-x}=e^{-x}\left[1-(x-2)\right]=\frac{3-x}{e^x}
  2. Se rezolvă ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 și se stabilește semnul derivatei pe subintervalele [1,3]\displaystyle [1,3] și [3,4]\displaystyle [3,4], ținând cont că ex>0\displaystyle e^x>0 pentru orice x\displaystyle x real, deci semnul lui f′\displaystyle f' este dat de semnul lui (3−x)\displaystyle (3-x).
    f′(x)=0⇔x=3; pentru orice x∈[1,3]\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=3\text{; pentru orice }x\in[1,3], f′(x)≥0, deci f este cresca˘toare pe [1,3] și, pentru orice x∈[3,4]\displaystyle \ f'(x)\ge 0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[1,3]\text{ și, pentru orice }x\in[3,4], f′(x)≤0, deci f este descresca˘toare pe [3,4]\displaystyle \ f'(x)\le 0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }[3,4]
  3. Deoarece f\displaystyle f este crescătoare pe [1,3]\displaystyle [1,3] și descrescătoare pe [3,4]\displaystyle [3,4], valorile extreme ale funcției pe intervalul [1,4]\displaystyle [1,4] se ating în punctele x=1\displaystyle x=1, x=3\displaystyle x=3 și x=4\displaystyle x=4. Se calculează valorile funcției în aceste puncte.
    f(1)=1−2e1=−1e\displaystyle f(1)=\frac{1-2}{e^1}=-\frac{1}{e},f(3)=3−2e3=1e3\displaystyle \quad f(3)=\frac{3-2}{e^3}=\frac{1}{e^3},f(4)=4−2e4=2e4\displaystyle \quad f(4)=\frac{4-2}{e^4}=\frac{2}{e^4}
  4. Se compară valorile obținute pentru a identifica minimul și maximul funcției pe [1,4]\displaystyle [1,4]: f(1)=−1e\displaystyle f(1)=-\dfrac{1}{e} este cea mai mică valoare (fiind negativă), iar f(3)=1e3\displaystyle f(3)=\dfrac{1}{e^3} este cea mai mare, deoarece funcția crește pe [1,3]\displaystyle [1,3] de la f(1)\displaystyle f(1) la f(3)\displaystyle f(3) și apoi descrește pe [3,4]\displaystyle [3,4] de la f(3)\displaystyle f(3) la f(4)\displaystyle f(4), fără a coborî sub f(1)\displaystyle f(1).
    −1e=f(1)≤f(x)≤f(3)=1e3, pentru orice x∈[1,4]\displaystyle -\frac{1}{e}=f(1)\le f(x)\le f(3)=\frac{1}{e^3}\text{, pentru orice }x\in[1,4]
  5. Se scrie inegalitatea dublă obținută pentru f(x)\displaystyle f(x), se înlocuiește f(x)\displaystyle f(x) cu expresia sa x−2ex\displaystyle \dfrac{x-2}{e^x} și se înmulțește inegalitatea cu ex>0\displaystyle e^x>0, obținând forma cerută a inegalității pe intervalul [1,4]\displaystyle [1,4].
    f(1)=−1e\displaystyle f(1)=-\frac{1}{e}, f(3)=1e3 și f(4)=2e4, deci −1e≤f(x)≤1e3, pentru orice x∈[1,4], de unde obținem −ex−1≤x−2≤ex−3, pentru orice x∈[1,4]\displaystyle \ f(3)=\frac{1}{e^3}\text{ și }f(4)=\frac{2}{e^4}\text{, deci }-\frac{1}{e}\le f(x)\le \frac{1}{e^3}\text{, pentru orice }x\in[1,4]\text{, de unde obținem }-e^{x-1}\le x-2\le e^{x-3}\text{, pentru orice }x\in[1,4]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+4x+8.f(x)=x^2+4x+8.

Arătați că ∫01(f(x)−x2−8)dx=2.\int_{0}^{1}\left(f(x)-x^2-8\right)dx=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției date și se simplifică expresia de sub integrală, eliminând termenii care se reduc.
    f(x)−x2−8=(x2+4x+8)−x2−8=4x\displaystyle f(x)-x^2-8=(x^2+4x+8)-x^2-8=4x
  2. Se înlocuiește expresia simplificată în integrală, obținându-se o integrală mai simplă de calculat.
    ∫01(f(x)−x2−8)dx=∫014x dx\displaystyle \int_{0}^{1}\left(f(x)-x^2-8\right)dx=\int_{0}^{1}4x\,dx
  3. Se determină o primitivă a funcției 4x\displaystyle 4x, folosind formula ∫x dx=x22+C\displaystyle \int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}+C.
    ∫4x dx=4⋅x22+C=2x2+C\displaystyle \int 4x\,dx=4\cdot\dfrac{x^2}{2}+C=2x^2+C
  4. Se aplică formula Leibniz-Newton, evaluând primitiva 2x2\displaystyle 2x^2 la capetele intervalului [0,1]\displaystyle [0,1].
    ∫014x dx=2x2∣01=\displaystyle \int_{0}^{1}4x\,dx=2x^2\Big|_{0}^{1}=
  5. Se calculează valorile primitivei în x=1\displaystyle x=1 și x=0\displaystyle x=0 și se face diferența pentru a obține rezultatul final al integralei.
    =2⋅12−2⋅02=2−0=2\displaystyle =2\cdot1^2-2\cdot0^2=2-0=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+4x+8.f(x)=x^2+4x+8.

Arătați că ∫08xf(x)−4x dx=ln⁡3.\int_{0}^{8}\frac{x}{f(x)-4x}\,dx=\ln 3.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează expresia de sub integrală, simplificând f(x)−4x\displaystyle f(x)-4x.
    f(x)−4x=x2+4x+8−4x=x2+8\displaystyle f(x)-4x=x^2+4x+8-4x=x^2+8
  2. Se scrie integrala cu expresia simplificată la numitor.
    ∫08xf(x)−4xdx=∫08xx2+8dx\displaystyle \int_{0}^{8}\frac{x}{f(x)-4x}dx=\int_{0}^{8}\frac{x}{x^2+8}dx
  3. Se observă că derivata numitorului este 2x\displaystyle 2x, deci numărătorul x\displaystyle x poate fi scris ca jumătate din derivata numitorului.
    (x2+8)′=2x⇒x=12(x2+8)′\displaystyle (x^2+8)'=2x\Rightarrow x=\frac{1}{2}(x^2+8)'
  4. Se rescrie integrala în forma f′f\displaystyle \dfrac{f'}{f}, se identifică primitiva logaritmică și se aplică formula Leibniz-Newton, obținând expresia evaluată la capete.
    ∫08xx2+8dx=12∫08(x2+8)′x2+8dx=12ln⁡(x2+8)∣08=\displaystyle \int_{0}^{8}\frac{x}{x^2+8}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{8}\frac{(x^2+8)'}{x^2+8}dx=\frac{1}{2}\ln(x^2+8)\Big|_{0}^{8}=
  5. Se înlocuiesc limitele de integrare în primitivă.
    12ln⁡(82+8)−12ln⁡(02+8)=12ln⁡72−12ln⁡8\displaystyle \frac{1}{2}\ln(8^2+8)-\frac{1}{2}\ln(0^2+8)=\frac{1}{2}\ln 72-\frac{1}{2}\ln 8
  6. Se simplifică diferența de logaritmi folosind proprietățile logaritmilor, obținând rezultatul final.
    ln⁡722−ln⁡82=ln⁡3\displaystyle \frac{\ln 72}{2}-\frac{\ln 8}{2}=\ln 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+4x+8.f(x)=x^2+4x+8.

Determinați a∈(0,+∞)\displaystyle a\in(0,+\infty) pentru care ∫0a1f(x)−4dx=14.\int_{0}^{a}\frac{1}{f(x)-4}dx=\frac{1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm expresia f(x)−4\displaystyle f(x)-4, pornind de la forma dată a funcției f\displaystyle f.
    f(x)−4=x2+4x+8−4=x2+4x+4\displaystyle f(x)-4=x^2+4x+8-4=x^2+4x+4
  2. Observăm că expresia obținută este un pătrat perfect, ceea ce simplifică integrandul.
    x2+4x+4=(x+2)2, deci f(x)−4=(x+2)2\displaystyle x^2+4x+4=(x+2)^2\text{, deci }f(x)-4=(x+2)^2
  3. Scriem integrala cerută folosind noua formă a numitorului și determinăm o primitivă a funcției de sub integrală.
    ∫0a1f(x)−4dx=∫0a1(x+2)2dx, unde o primitiva˘ este −1x+2\displaystyle \int_{0}^{a}\frac{1}{f(x)-4}dx=\int_{0}^{a}\frac{1}{(x+2)^2}dx\text{, unde o primitivă este }-\frac{1}{x+2}
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton, evaluând primitiva la capetele 0\displaystyle 0 și a\displaystyle a, pentru a\displaystyle a în intervalul (0,+∞)\displaystyle (0, +\infty).
    ∫0a1f(x)−4dx=−1x+2∣0a=−1a+2+12, pentru orice a∈(0,+∞)\displaystyle \int_{0}^{a}\frac{1}{f(x)-4}dx=-\frac{1}{x+2}\Big|_{0}^{a}=-\frac{1}{a+2}+\frac{1}{2}\text{, pentru orice }a\in(0,+\infty)
  5. Punem condiția ca integrala calculată să fie egală cu valoarea dată, 14\displaystyle \dfrac{1}{4}, obținând o ecuație în necunoscuta a\displaystyle a.
    −1a+2+12=14\displaystyle -\frac{1}{a+2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}
  6. Rezolvăm ecuația obținută: aducem termenii la un numitor comun, izolăm fracția și determinăm valoarea lui a\displaystyle a, verificând că aparține intervalului (0,+∞)\displaystyle (0, +\infty).
    −1a+2+12=14, de unde obținem a=2\displaystyle -\frac{1}{a+2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\text{, de unde obținem }a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.