Bac matematică M3 tehnologic 2014, sesiunea I varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 5(2+3)−53=10\displaystyle 5\left(2+\sqrt{3}\right)-5\sqrt{3}=10.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la expresia din membrul stâng: 5(2+3)−53\displaystyle 5\left(2+\sqrt{3}\right)-5\sqrt{3}.
    5(2+3)−53\displaystyle 5\left(2+\sqrt{3}\right)-5\sqrt{3}
  2. Aplicăm distributivitatea: 5(2+3)=5⋅2+5⋅3\displaystyle 5\left(2+\sqrt{3}\right)=5\cdot 2+5\cdot\sqrt{3}, deci obținem 10+53\displaystyle 10+5\sqrt{3}.
    5(2+3)=10+53\displaystyle 5\left(2+\sqrt{3}\right)=10+5\sqrt{3}
  3. Înlocuim în expresie: 10+53−53\displaystyle 10+5\sqrt{3}-5\sqrt{3}. Termenii 53\displaystyle 5\sqrt{3} și −53\displaystyle -5\sqrt{3} se reduc, deci rămâne 10\displaystyle 10, adică exact membrul drept.
    5(2+3)−53=10+53−53=10\displaystyle 5\left(2+\sqrt{3}\right)-5\sqrt{3}=10+5\sqrt{3}-5\sqrt{3}=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a știind că f(1)=a\displaystyle f(1)=a, unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+3\displaystyle f(x)=x+3.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim condiția dată: f(1)=a\displaystyle f(1)=a. Funcția este f(x)=x+3\displaystyle f(x)=x+3, deci în locul lui x\displaystyle x punem 1\displaystyle 1.
    f(1)=1+3\displaystyle f(1)=1+3
  2. Egalăm valoarea lui f(1)\displaystyle f(1) cu a\displaystyle a, conform ipotezei.
    f(1)=a⇒1+3=a\displaystyle f(1)=a\Rightarrow 1+3=a
  3. Calculăm suma 1+3\displaystyle 1+3 și obținem valoarea lui a\displaystyle a.
    a=4\displaystyle a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(2x+1)=log⁡25\displaystyle \log_{2}(2x+1)=\log_{2}5.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci 2x+1>0\displaystyle 2x+1>0, adică x>−12\displaystyle x>-\dfrac{1}{2}.
    x>−12\displaystyle x>-\dfrac{1}{2}
  2. Logaritmii au aceeași bază, 2\displaystyle 2, iar funcția logaritmică este injectivă, deci egalăm argumentele: 2x+1=5\displaystyle 2x+1=5.
    2x+1=5\displaystyle 2x+1=5
  3. Rezolvăm ecuația de gradul I: 2x=5−1=4\displaystyle 2x=5-1=4, deci x=2\displaystyle x=2.
    2x=4⇒x=2\displaystyle 2x=4\Rightarrow x=2
  4. Verificăm condiția de existență: 2>−12\displaystyle 2>-\dfrac{1}{2}, deci x=2\displaystyle x=2 convine. Într-adevăr, log⁡2(2⋅2+1)=log⁡25\displaystyle \log_{2}(2\cdot 2+1)=\log_{2}5. Soluția ecuației este x=2\displaystyle x=2.
    x=2 care verifica˘ ecuația\displaystyle x=2\text{ care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 10\displaystyle 10.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99. Cazurile favorabile sunt multiplii de 10\displaystyle 10 din acest interval: 10,20,…,90\displaystyle 10, 20, \ldots, 90. Sunt 9\displaystyle 9 astfel de numere.
    nr. cazuri favorabile=9\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=9
  2. Numărul cazurilor posibile este numărul de elemente ale mulțimii {10,11,…,99}\displaystyle \{10, 11, \ldots, 99\}, adică 99−10+1\displaystyle 99-10+1.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  3. Aplicăm definiția clasică a probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, apoi simplificăm fracția prin 9\displaystyle 9.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=990=110\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,5)\displaystyle A(2,5) și B(3,5)\displaystyle B(3,5). Calculați distanța de la punctul A\displaystyle A la punctul B\displaystyle B.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula distanței dintre punctele A(xA,yA)\displaystyle A(x_A,y_A) și B(xB,yB)\displaystyle B(x_B,y_B): AB=(xA−xB)2+(yA−yB)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_A-x_B)^{2}+(y_A-y_B)^{2}}.
    AB=(xA−xB)2+(yA−yB)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_A-x_B)^{2}+(y_A-y_B)^{2}}
  2. Înlocuim coordonatele A(2,5)\displaystyle A(2,5) și B(3,5)\displaystyle B(3,5) în formulă, adică xA=2\displaystyle x_A=2, yA=5\displaystyle y_A=5, xB=3\displaystyle x_B=3, yB=5\displaystyle y_B=5.
    AB=(2−3)2+(5−5)2\displaystyle AB=\sqrt{(2-3)^{2}+(5-5)^{2}}
  3. Calculăm diferențele: 2−3=−1\displaystyle 2-3=-1, deci (−1)2=1\displaystyle (-1)^{2}=1, iar 5−5=0\displaystyle 5-5=0, deci 02=0\displaystyle 0^{2}=0.
    AB=1+0=1\displaystyle AB=\sqrt{1+0}=\sqrt{1}
  4. Cum 1=1\displaystyle \sqrt{1}=1, distanța de la A\displaystyle A la B\displaystyle B este 1\displaystyle 1.
    AB=1\displaystyle AB=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡230∘+cos⁡245∘=34\displaystyle \sin^2 30^\circ+\cos^2 45^\circ=\frac{3}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim valorile cunoscute pentru unghiurile remarcabile: sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2} și cos⁡45∘=22\displaystyle \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, cos⁡45∘=22\displaystyle \ \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  2. Ridicăm la pătrat fiecare valoare: sin⁡230∘=(12)2=14\displaystyle \sin^2 30^\circ=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4} și cos⁡245∘=(22)2=24\displaystyle \cos^2 45^\circ=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\dfrac{2}{4}.
    sin⁡230∘=14\displaystyle \sin^2 30^\circ=\dfrac{1}{4}, cos⁡245∘=24\displaystyle \ \cos^2 45^\circ=\dfrac{2}{4}
  3. Adunăm fracțiile, care au același numitor: 14+24=34\displaystyle \dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{4}, deci egalitatea cerută este adevărată.
    sin⁡230∘+cos⁡245∘=14+24=34\displaystyle \sin^2 30^\circ+\cos^2 45^\circ=\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(4812)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&8\\1&2\end{pmatrix}, B=(12−1−2)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix} și C=(3x24)\displaystyle C=\begin{pmatrix}3&x\\2&4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, adică determinantul de ordin 2 format cu elementele ei: 4,8\displaystyle 4, 8 pe prima linie și 1,2\displaystyle 1, 2 pe a doua linie.
    det⁡A=∣4812∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}4&8\\1&2\end{vmatrix}
  2. Amintim regula: determinantul de ordin 2 este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aici diagonala principală are elementele 4\displaystyle 4 și 2\displaystyle 2, iar cea secundară are elementele 8\displaystyle 8 și 1\displaystyle 1.
    det⁡A=4⋅2−1⋅8\displaystyle \det A=4\cdot 2-1\cdot 8
  3. Efectuăm înmulțirile: 4⋅2=8\displaystyle 4\cdot 2=8, iar 1⋅8=8\displaystyle 1\cdot 8=8. Scăzând, obținem 8−8=0\displaystyle 8-8=0, deci determinantul este nul, ceea ce trebuia arătat.
    4⋅2−1⋅8=8−8=0, deci det⁡A=0\displaystyle 4\cdot 2-1\cdot 8=8-8=0\text{, deci }\det A=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(4812)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&8\\1&2\end{pmatrix}, B=(12−1−2)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix} și C=(3x24)\displaystyle C=\begin{pmatrix}3&x\\2&4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x știind că B+C=A\displaystyle B+C=A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem suma B+C\displaystyle B+C, adunând elementele de pe aceleași poziții: B+C=(12−1−2)+(3x24)\displaystyle B+C=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3&x\\2&4\end{pmatrix}.
    B+C=(1+32+x−1+2−2+4)\displaystyle B+C=\begin{pmatrix}1+3&2+x\\-1+2&-2+4\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementele: 1+3=4\displaystyle 1+3=4, −1+2=1\displaystyle -1+2=1, −2+4=2\displaystyle -2+4=2, iar elementul de pe prima linie, a doua coloană rămâne 2+x\displaystyle 2+x.
    B+C=(42+x12)\displaystyle B+C=\begin{pmatrix}4&2+x\\1&2\end{pmatrix}
  3. Egalăm B+C=A\displaystyle B+C=A. Două matrice sunt egale când elementele de pe aceleași poziții sunt egale; celelalte elemente coincid deja, iar din prima linie, a doua coloană, obținem 2+x=8\displaystyle 2+x=8.
    (42+x12)=(4812)⇒2+x=8\displaystyle \begin{pmatrix}4&2+x\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&8\\1&2\end{pmatrix}\Rightarrow 2+x=8
  4. Rezolvăm ecuația 2+x=8\displaystyle 2+x=8, deci x=8−2=6\displaystyle x=8-2=6.
    x=6\displaystyle x=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(4812)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&8\\1&2\end{pmatrix}, B=(12−1−2)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix} și C=(3x24)\displaystyle C=\begin{pmatrix}3&x\\2&4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că B⋅B+B=O2\displaystyle B\cdot B+B=O_2, unde O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul B⋅B\displaystyle B\cdot B, cu matricea B\displaystyle B de două ori, și calculăm fiecare element al produsului, linie pe coloană.
    B⋅B=(12−1−2)(12−1−2)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix}
  2. Elementele primei linii: 1⋅1+2⋅(−1)=−1\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot(-1)=-1 și 1⋅2+2⋅(−2)=−2\displaystyle 1\cdot 2+2\cdot(-2)=-2.
    (1⋅1+2⋅(−1)1⋅2+2⋅(−2))=(−1−2)\displaystyle \begin{pmatrix}1\cdot 1+2\cdot(-1)&1\cdot 2+2\cdot(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-2\end{pmatrix}
  3. Elementele celei de-a doua linii: (−1)⋅1+(−2)⋅(−1)=1\displaystyle (-1)\cdot 1+(-2)\cdot(-1)=1 și (−1)⋅2+(−2)⋅(−2)=2\displaystyle (-1)\cdot 2+(-2)\cdot(-2)=2. Obținem produsul B⋅B\displaystyle B\cdot B.
    B⋅B=(−1−212)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}-1&-2\\1&2\end{pmatrix}
  4. Adunăm matricea B\displaystyle B la B⋅B\displaystyle B\cdot B, element cu element: −1+1=0\displaystyle -1+1=0, −2+2=0\displaystyle -2+2=0, 1+(−1)=0\displaystyle 1+(-1)=0, 2+(−2)=0\displaystyle 2+(-2)=0. Rezultatul este matricea nulă, deci B⋅B+B=O2\displaystyle B\cdot B+B=O_2.
    B⋅B+B=(−1−212)+(12−1−2)=(0000)=O2\displaystyle B\cdot B+B=\begin{pmatrix}-1&-2\\1&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+4x+4y+12\displaystyle x\circ y=xy+4x+4y+12.

Arătați că 0∘(−4)=−4\displaystyle 0\circ(-4)=-4.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∘y=xy+4x+4y+12\displaystyle x\circ y=xy+4x+4y+12. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 și y=−4\displaystyle y=-4.
    0∘(−4)=0⋅(−4)+4⋅0+4⋅(−4)+12\displaystyle 0\circ(-4)=0\cdot(-4)+4\cdot 0+4\cdot(-4)+12
  2. Calculăm fiecare termen: 0⋅(−4)=0\displaystyle 0\cdot(-4)=0, 4⋅0=0\displaystyle 4\cdot 0=0 și 4⋅(−4)=−16\displaystyle 4\cdot(-4)=-16.
    0∘(−4)=0+0−16+12\displaystyle 0\circ(-4)=0+0-16+12
  3. Adunăm termenii: −16+12=−4\displaystyle -16+12=-4. Deci 0∘(−4)=−4\displaystyle 0\circ(-4)=-4, ceea ce trebuia arătat.
    0∘(−4)=−16+12=−4\displaystyle 0\circ(-4)=-16+12=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+4x+4y+12\displaystyle x\circ y=xy+4x+4y+12.

Arătați că x∘y=(x+4)(y+4)−4\displaystyle x\circ y=(x+4)(y+4)-4 pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y: x∘y=xy+4x+4y+12\displaystyle x\circ y=xy+4x+4y+12.
    x∘y=xy+4x+4y+12\displaystyle x\circ y=xy+4x+4y+12
  2. Scriem termenul liber ca 12=16−4\displaystyle 12=16-4, pentru a obține 16\displaystyle 16, care apare în dezvoltarea produsului (x+4)(y+4)\displaystyle (x+4)(y+4).
    x∘y=xy+4x+4y+16−4\displaystyle x\circ y=xy+4x+4y+16-4
  3. Grupăm xy+4x\displaystyle xy+4x și dăm factor comun pe x\displaystyle x, apoi grupăm 4y+16\displaystyle 4y+16 și dăm factor comun pe 4\displaystyle 4.
    x∘y=x(y+4)+4(y+4)−4\displaystyle x\circ y=x(y+4)+4(y+4)-4
  4. Acum y+4\displaystyle y+4 este factor comun al primilor doi termeni. Îl scoatem în față și obținem egalitatea cerută, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∘y=(x+4)(y+4)−4\displaystyle x\circ y=(x+4)(y+4)-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+4x+4y+12\displaystyle x\circ y=xy+4x+4y+12.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∘x=12\displaystyle x\circ x=12.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție sub forma factorizată. Observăm că (x+4)(y+4)=xy+4x+4y+16\displaystyle (x+4)(y+4)=xy+4x+4y+16, deci x∘y=(x+4)(y+4)−4\displaystyle x\circ y=(x+4)(y+4)-4.
    x∘y=(x+4)(y+4)−4\displaystyle x\circ y=(x+4)(y+4)-4
  2. Luăm y=x\displaystyle y=x și înlocuim în ecuația x∘x=12\displaystyle x\circ x=12. Obținem (x+4)2−4=12\displaystyle (x+4)^{2}-4=12.
    (x+4)2−4=12\displaystyle (x+4)^{2}-4=12
  3. Dezvoltăm pătratul: x2+8x+16−4=12\displaystyle x^{2}+8x+16-4=12. Reducem termenii și obținem x2+8x=0\displaystyle x^{2}+8x=0.
    x2+8x=0\displaystyle x^{2}+8x=0
  4. Dăm factor comun pe x\displaystyle x: x(x+8)=0\displaystyle x(x+8)=0. Un produs este nul când un factor este nul, deci x=0\displaystyle x=0 sau x=−8\displaystyle x=-8. Ambele sunt numere reale, deci sunt soluții.
    x1=−8 și x2=0\displaystyle x_1=-8\text{ și }x_2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x−1x\displaystyle f(x)=\ln x-\frac{1}{x}.

Arătați că f′(x)=x+1x2\displaystyle f'(x)=\frac{x+1}{x^2}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm separat cei doi termeni ai funcției: (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, iar 1x=x−1\displaystyle \dfrac{1}{x}=x^{-1}.
    (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\frac{1}{x},(1x)′=(x−1)′\displaystyle \quad \left(\frac{1}{x}\right)'=(x^{-1})'
  2. Derivata lui x−1\displaystyle x^{-1} este −x−2=−1x2\displaystyle -x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}. Cum derivata unei diferențe este diferența derivatelor, obținem expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x).
    f′(x)=1x−(−1x2)\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}-\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)
  3. Eliminăm parantezele: −(−1x2)=+1x2\displaystyle -\left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right)=+\dfrac{1}{x^{2}}, deci avem o sumă de două fracții.
    f′(x)=1x+1x2\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}
  4. Aducem fracțiile la același numitor x2\displaystyle x^{2}: amplificăm prima fracție cu x\displaystyle x, deci 1x=xx2\displaystyle \dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{x^{2}}. Adunăm numărătorii și obținem rezultatul cerut, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=xx2+1x2=x+1x2\displaystyle f'(x)=\frac{x}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{x+1}{x^{2}}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x−1x\displaystyle f(x)=\ln x-\frac{1}{x}.

Arătați că lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=34\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{3}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2} este chiar definiția derivatei funcției f\displaystyle f în punctul 2\displaystyle 2. Funcția f\displaystyle f este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci limita este egală cu f′(2)\displaystyle f'(2).
    lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=f′(2)\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f'(2)
  2. Derivăm funcția f(x)=ln⁡x−1x\displaystyle f(x)=\ln x-\dfrac{1}{x}. Derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}, iar derivata lui −1x\displaystyle -\dfrac{1}{x} este 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}.
    f′(x)=1x+1x2=x+1x2\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{x+1}{x^{2}}
  3. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în f′(x)\displaystyle f'(x): f′(2)=2+122=34\displaystyle f'(2)=\dfrac{2+1}{2^{2}}=\dfrac{3}{4}. Deci limita cerută este 34\displaystyle \dfrac{3}{4}.
    f′(2)=2+122=34\displaystyle f'(2)=\frac{2+1}{2^{2}}=\frac{3}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x−1x\displaystyle f(x)=\ln x-\frac{1}{x}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=1\displaystyle x_0=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=1\displaystyle x_0=1: y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)=ln⁡1−11=0−1\displaystyle f(1)=\ln 1-\dfrac{1}{1}=0-1.
    f(1)=−1\displaystyle f(1)=-1
  3. Derivăm funcția: f′(x)=1x−(−1x2)=1x+1x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x}-\left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}.
    f′(x)=1x+1x2\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}
  4. Înlocuim x=1\displaystyle x=1: f′(1)=11+112=1+1\displaystyle f'(1)=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1^{2}}=1+1.
    f′(1)=2\displaystyle f'(1)=2
  5. Înlocuim în formulă: y−(−1)=2(x−1)\displaystyle y-(-1)=2(x-1), deci y+1=2x−2\displaystyle y+1=2x-2, de unde y=2x−3\displaystyle y=2x-3.
    y=2x−3\displaystyle y=2x-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−x\displaystyle f(x)=e^x-x și F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=ex−x22−1\displaystyle F(x)=e^x-\frac{x^2}{2}-1.

Arătați că ∫01ex dx=e−1\displaystyle \int_0^1 e^x\,dx=e-1.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția x↦ex\displaystyle x\mapsto e^x este continuă pe [0,1]\displaystyle [0,1], deci putem aplica formula Leibniz-Newton. O primitivă a ei este chiar ex\displaystyle e^x, deoarece (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x.
    ∫ex dx=ex+C\displaystyle \int e^x\,dx=e^x+C
  2. Scriem integrala definită folosind primitiva ex\displaystyle e^x, evaluată între limitele 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    ∫01ex dx=ex∣01\displaystyle \int_0^1 e^x\,dx=e^x\Big|_0^1
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în 1\displaystyle 1 minus valoarea ei în 0\displaystyle 0. Folosim e0=1\displaystyle e^0=1. Obținem e−1\displaystyle e-1, adică exact ce trebuia arătat.
    e1−e0=e−1\displaystyle e^1-e^0=e-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−x\displaystyle f(x)=e^x-x și F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=ex−x22−1\displaystyle F(x)=e^x-\frac{x^2}{2}-1.

Arătați că funcția F\displaystyle F este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R} dacă F\displaystyle F este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R} și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Calculăm derivata lui F\displaystyle F.
    F′(x)=(ex−x22−1)′\displaystyle F'(x)=\left(e^x-\frac{x^2}{2}-1\right)'
  2. Derivăm termen cu termen: (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, (x22)′=2x2=x\displaystyle \left(\dfrac{x^2}{2}\right)'=\dfrac{2x}{2}=x și (1)′=0\displaystyle (1)'=0.
    F′(x)=ex−x−0=ex−x\displaystyle F'(x)=e^x-x-0=e^x-x
  3. Am obținut F′(x)=ex−x=f(x)\displaystyle F'(x)=e^x-x=f(x) pentru orice număr real x\displaystyle x, deci F\displaystyle F este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x) pentru orice x∈R, deci F este o primitiva˘ a lui f\displaystyle F'(x)=f(x)\text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}\text{, deci }F\text{ este o primitivă a lui }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−x\displaystyle f(x)=e^x-x și F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=ex−x22−1\displaystyle F(x)=e^x-\frac{x^2}{2}-1.

Calculați ∫01F(x) dx\displaystyle \int_0^1 F(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrala cerută, înlocuind F(x)\displaystyle F(x) cu expresia dată: ∫01F(x) dx=∫01(ex−x22−1)dx\displaystyle \int_0^1 F(x)\,dx=\int_0^1\left(e^x-\dfrac{x^2}{2}-1\right)dx.
    ∫01F(x) dx=∫01(ex−x22−1)dx\displaystyle \int_0^1 F(x)\,dx=\int_0^1\left(e^x-\frac{x^2}{2}-1\right)dx
  2. Integrala unei diferențe este diferența integralelor, deci descompunem pe termeni: ∫01ex dx−∫01x22 dx−∫01dx\displaystyle \int_0^1 e^x\,dx-\int_0^1\dfrac{x^2}{2}\,dx-\int_0^1 dx.
    ∫01ex dx−∫01x22 dx−∫01dx\displaystyle \int_0^1 e^x\,dx-\int_0^1\frac{x^2}{2}\,dx-\int_0^1 dx
  3. Determinăm câte o primitivă pentru fiecare termen: pentru ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x, pentru x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2} este x36\displaystyle \dfrac{x^3}{6}, iar pentru 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ex∣01−x36∣01−x∣01\displaystyle e^x\Big|_0^1-\frac{x^3}{6}\Big|_0^1-x\Big|_0^1
  4. Calculăm fiecare termen între limitele 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1: ex∣01=e−1\displaystyle e^x\Big|_0^1=e-1, x36∣01=16\displaystyle \dfrac{x^3}{6}\Big|_0^1=\dfrac{1}{6}, x∣01=1\displaystyle x\Big|_0^1=1.
    (e−1)−16−1\displaystyle (e-1)-\frac{1}{6}-1
  5. Reducem termenii: −1−1=−2\displaystyle -1-1=-2, iar −2−16=−136\displaystyle -2-\dfrac{1}{6}=-\dfrac{13}{6}. Rezultatul final este e−136\displaystyle e-\dfrac{13}{6}.
    e−136\displaystyle e-\frac{13}{6}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.