Bac matematică M1 mate-info 2010, sesiunea I rezervă varianta 10: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul i2−1\displaystyle i\sqrt{2}-1 este soluție a ecuației z2+2z+3=0\displaystyle z^2+2z+3=0.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că numărul este soluție, îl înlocuim pe z\displaystyle z în ecuație cu i2−1\displaystyle i\sqrt{2}-1 și verificăm că se obține 0\displaystyle 0.
    (i2−1)2+2(i2−1)+3\displaystyle \left(i\sqrt{2}-1\right)^2+2\left(i\sqrt{2}-1\right)+3
  2. Dezvoltăm pătratul cu formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, unde a=i2\displaystyle a=i\sqrt{2} și b=1\displaystyle b=1. Distribuim și factorul 2\displaystyle 2 în a doua paranteză.
    2i2−2i2+1+2i2−2+3\displaystyle 2i^2-2i\sqrt{2}+1+2i\sqrt{2}-2+3
  3. Folosim i2=−1\displaystyle i^2=-1, deci 2i2=−2\displaystyle 2i^2=-2.
    −2−2i2+1+2i2−2+3\displaystyle -2-2i\sqrt{2}+1+2i\sqrt{2}-2+3
  4. Termenii cu i2\displaystyle i\sqrt{2} se reduc: −2i2+2i2=0\displaystyle -2i\sqrt{2}+2i\sqrt{2}=0. Rămân numerele reale: −2+1−2+3=0\displaystyle -2+1-2+3=0. Deci numărul este soluție a ecuației.
    0\displaystyle 0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Fie funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+a\displaystyle f(x)=2x+a și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x2−a\displaystyle g(x)=x^2-a. Determinați a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R} pentru care (f∘g)(x)>0\displaystyle (f\circ g)(x)>0, oricare ar fi x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm compunerea: în f(x)=2x+a\displaystyle f(x)=2x+a înlocuim pe x\displaystyle x cu g(x)=x2−a\displaystyle g(x)=x^2-a, deci (f∘g)(x)=2g(x)+a\displaystyle (f\circ g)(x)=2g(x)+a.
    (f∘g)(x)=2(x2−a)+a\displaystyle (f\circ g)(x)=2\left(x^2-a\right)+a
  2. Desfacem parantezele: 2(x2−a)+a=2x2−2a+a\displaystyle 2\left(x^2-a\right)+a=2x^2-2a+a. Reducem termenii asemenea: −2a+a=−a\displaystyle -2a+a=-a.
    (f∘g)(x)=2x2−a\displaystyle (f\circ g)(x)=2x^2-a
  3. Cerem ca 2x2−a>0\displaystyle 2x^2-a>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Cum x2≥0\displaystyle x^2\ge 0, avem 2x2−a≥−a\displaystyle 2x^2-a\ge -a, iar egalitatea se atinge pentru x=0\displaystyle x=0. Valoarea minimă a expresiei este deci −a\displaystyle -a.
    min⁡x∈R(2x2−a)=−a\displaystyle \min_{x\in\mathbb{R}}\left(2x^2-a\right)=-a
  4. Inegalitatea are loc pentru orice x\displaystyle x real exact când minimul este strict pozitiv: −a>0\displaystyle -a>0, adică a<0\displaystyle a<0. Deci a∈(−∞,0)\displaystyle a\in(-\infty,0).
    2x2−a>0\displaystyle 2x^2-a>0, ∀x∈R⇔a<0\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow a<0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−2x+1=x+1\displaystyle \sqrt{x^2-2x+1}=x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că expresia de sub radical este un pătrat perfect: x2−2x+1=(x−1)2\displaystyle x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}. Ecuația devine (x−1)2=x+1\displaystyle \sqrt{(x-1)^{2}}=x+1.
    (x−1)2=x+1\displaystyle \sqrt{(x-1)^{2}}=x+1
  2. Folosim formula a2=∣a∣\displaystyle \sqrt{a^{2}}=|a|. Obținem ∣x−1∣=x+1\displaystyle |x-1|=x+1.
    ∣x−1∣=x+1\displaystyle |x-1|=x+1
  3. Deoarece modulul este nenegativ, trebuie ca x+1≥0\displaystyle x+1\ge 0, adică x≥−1\displaystyle x\ge -1.
    x≥−1\displaystyle x\ge -1
  4. Cazul 1: x≥1\displaystyle x\ge 1. Atunci ∣x−1∣=x−1\displaystyle |x-1|=x-1, deci x−1=x+1\displaystyle x-1=x+1, adică −1=1\displaystyle -1=1, fals. Nu avem soluții.
    x−1=x+1⇒−1=1, fals\displaystyle x-1=x+1\Rightarrow -1=1\text{, fals}
  5. Cazul 2: x<1\displaystyle x<1. Atunci ∣x−1∣=1−x\displaystyle |x-1|=1-x, deci 1−x=x+1\displaystyle 1-x=x+1. Rezultă −2x=0\displaystyle -2x=0, deci x=0\displaystyle x=0.
    1−x=x+1⇒x=0\displaystyle 1-x=x+1\Rightarrow x=0
  6. Verificăm: x=0\displaystyle x=0 satisface condițiile x<1\displaystyle x<1 și x≥−1\displaystyle x\ge -1. Într-adevăr, 1=1=0+1\displaystyle \sqrt{1}=1=0+1. Soluția ecuației este x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul elementelor mulțimii A={1,33,36,39,…,32010}\displaystyle A=\{1,3^3,3^6,3^9,\ldots,3^{2010}\}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem 1=30\displaystyle 1=3^{0}. Astfel toate elementele mulțimii sunt puteri ale lui 3\displaystyle 3, iar exponenții sunt 0,3,6,9,…,2010\displaystyle 0,3,6,9,\ldots,2010.
    0\displaystyle 0,3\displaystyle 3,6\displaystyle 6,9\displaystyle 9,…\displaystyle \ldots,2010\displaystyle 2010
  2. Exponenții formează o progresie aritmetică cu primul termen a1=0\displaystyle a_1=0 și rația r=3\displaystyle r=3. Termenul general este an=a1+(n−1)r=3(n−1)\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r=3(n-1). Impunem an=2010\displaystyle a_n=2010.
    3(n−1)=2010\displaystyle 3(n-1)=2010
  3. Împărțim la 3\displaystyle 3: n−1=670\displaystyle n-1=670, deci n=671\displaystyle n=671.
    n−1=670⇒n=671\displaystyle n-1=670\Rightarrow n=671
  4. Puterile lui 3\displaystyle 3 cu exponenți diferiți sunt distincte, deci mulțimea A\displaystyle A are tot atâtea elemente câți termeni are progresia: 671\displaystyle 671.
    671\displaystyle 671
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În sistemul de coordonate xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,5)\displaystyle A(3,5), B(−2,5)\displaystyle B(-2,5) și C(6,−3)\displaystyle C(6,-3). Scrieți ecuația medianei corespunzătoare laturii [BC]\displaystyle [BC], în triunghiul ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Mediana corespunzătoare laturii [BC]\displaystyle [BC] unește vârful A\displaystyle A cu mijlocul M\displaystyle M al laturii [BC]\displaystyle [BC]. Calculăm coordonatele lui M\displaystyle M ca medie aritmetică a coordonatelor punctelor B\displaystyle B și C\displaystyle C: xM=−2+62\displaystyle x_M=\dfrac{-2+6}{2} și yM=5+(−3)2\displaystyle y_M=\dfrac{5+(-3)}{2}.
    xM=−2+62=2\displaystyle x_M=\dfrac{-2+6}{2}=2,yM=5−32=1\displaystyle \quad y_M=\dfrac{5-3}{2}=1
  2. Rezultă că mijlocul laturii [BC]\displaystyle [BC] este punctul M(2,1)\displaystyle M(2,1).
    M(2,1)\displaystyle M(2,1)
  3. Calculăm panta dreptei AM\displaystyle AM cu formula m=yM−yAxM−xA\displaystyle m=\dfrac{y_M-y_A}{x_M-x_A}, unde A(3,5)\displaystyle A(3,5) și M(2,1)\displaystyle M(2,1).
    mAM=1−52−3=−4−1=4\displaystyle m_{AM}=\dfrac{1-5}{2-3}=\dfrac{-4}{-1}=4
  4. Scriem ecuația dreptei care trece prin M(2,1)\displaystyle M(2,1) și are panta 4\displaystyle 4: y−yM=m(x−xM)\displaystyle y-y_M=m(x-x_M), adică y−1=4(x−2)\displaystyle y-1=4(x-2). Desfacem parantezele: y=4x−8+1\displaystyle y=4x-8+1. Verificare: pentru A(3,5)\displaystyle A(3,5) avem 4⋅3−7=5\displaystyle 4\cdot 3-7=5, deci A\displaystyle A se află pe dreaptă.
    y−1=4(x−2)⇒y=4x−7\displaystyle y-1=4(x-2)\Rightarrow y=4x-7
  5. Ecuația medianei corespunzătoare laturii [BC]\displaystyle [BC] este y=4x−7\displaystyle y=4x-7.
    y=4x−7\displaystyle y=4x-7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați sin⁡π12\displaystyle \sin\frac{\pi}{12}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem unghiul π12\displaystyle \dfrac{\pi}{12} ca diferență între π3\displaystyle \dfrac{\pi}{3} și π4\displaystyle \dfrac{\pi}{4}, pentru că π3−π4=4π12−3π12=π12\displaystyle \dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{4\pi}{12}-\dfrac{3\pi}{12}=\dfrac{\pi}{12}. Pentru aceste unghiuri cunoaștem valorile funcțiilor trigonometrice.
    sin⁡π12=sin⁡(π3−π4)\displaystyle \sin\frac{\pi}{12}=\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)
  2. Aplicăm formula sinusului diferenței, sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\displaystyle \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b, cu a=π3\displaystyle a=\dfrac{\pi}{3} și b=π4\displaystyle b=\dfrac{\pi}{4}.
    sin⁡π3cos⁡π4−cos⁡π3sin⁡π4\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}-\cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}
  3. Înlocuim valorile cunoscute: sin⁡π3=32\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡π4=22\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡π3=12\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2} și sin⁡π4=22\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    32⋅22−12⋅22\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}
  4. Efectuăm înmulțirile: 3⋅2=6\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{6}. Apoi scădem fracțiile, care au același numitor 4\displaystyle 4.
    64−24=6−24\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Fie sistemul {x+y+az=1x+2ay+z=−12ax+y+(a+1)z=0\begin{cases} x+y+az=1\\ x+2ay+z=-1\\ 2ax+y+(a+1)z=0 \end{cases} unde x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R} și a\displaystyle a este parametru real.

Rezolvați sistemul pentru a=0\displaystyle a=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în fiecare ecuație a sistemului. Termenii cu a\displaystyle a dispar, iar în a treia ecuație coeficientul lui z\displaystyle z devine a+1=1\displaystyle a+1=1.
    {x+y=1x+z=−1y+z=0\displaystyle \begin{cases} x+y=1\\ x+z=-1\\ y+z=0 \end{cases}
  2. Din a treia ecuație, y+z=0\displaystyle y+z=0, exprimăm y\displaystyle y în funcție de z\displaystyle z.
    y=−z\displaystyle y=-z
  3. Înlocuim y=−z\displaystyle y=-z în prima ecuație și obținem x−z=1\displaystyle x-z=1. Adunăm această relație cu a doua ecuație, x+z=−1\displaystyle x+z=-1, ca să eliminăm z\displaystyle z.
    (x−z)+(x+z)=1+(−1)⇒2x=0\displaystyle (x-z)+(x+z)=1+(-1)\Rightarrow 2x=0
  4. Din 2x=0\displaystyle 2x=0 obținem x=0\displaystyle x=0. Apoi din x+z=−1\displaystyle x+z=-1 rezultă z=−1\displaystyle z=-1, iar din y=−z\displaystyle y=-z rezultă y=1\displaystyle y=1.
    x=0\displaystyle x=0, y=1\displaystyle \ y=1, z=−1\displaystyle \ z=-1
  5. Verificăm în sistem: 0+1=1\displaystyle 0+1=1, 0+(−1)=−1\displaystyle 0+(-1)=-1, 1+(−1)=0\displaystyle 1+(-1)=0, deci toate ecuațiile sunt satisfăcute. Sistemul are soluție unică.
    S={(0,1,−1)}\displaystyle S=\{(0,1,-1)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Fie sistemul {x+y+az=1x+2ay+z=−12ax+y+(a+1)z=0\begin{cases} x+y+az=1\\ x+2ay+z=-1\\ 2ax+y+(a+1)z=0 \end{cases} unde x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R} și a\displaystyle a este parametru real.

Verificați dacă pentru a=−1\displaystyle a=-1 sistemul este compatibil.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=−1\displaystyle a=-1 în sistem și obținem x+y−z=1\displaystyle x+y-z=1, x−2y+z=−1\displaystyle x-2y+z=-1, −2x+y=0\displaystyle -2x+y=0. Matricea sistemului este A\displaystyle A, iar matricea extinsă este A‾\displaystyle \overline{A}.
    A=(11−11−21−210)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&-2&1\\-2&1&0\end{pmatrix}, A‾=(11−111−21−1−2100)\displaystyle \ \overline{A}=\begin{pmatrix}1&1&-1&1\\1&-2&1&-1\\-2&1&0&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul matricei A\displaystyle A, dezvoltând după ultima linie: det⁡A=−2⋅∣1−1−21∣−1⋅∣1−111∣\displaystyle \det A=-2\cdot\begin{vmatrix}1&-1\\-2&1\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}, adică −2⋅(−1)−1⋅2\displaystyle -2\cdot(-1)-1\cdot 2.
    ∣11−11−21−210∣=2−2=0\displaystyle \begin{vmatrix}1&1&-1\\1&-2&1\\-2&1&0\end{vmatrix}=2-2=0
  3. Deoarece det⁡A=0\displaystyle \det A=0, avem rang A<3\displaystyle \text{rang }A<3. Minorul format din primele două linii și primele două coloane este nenul, deci rang A=2\displaystyle \text{rang }A=2.
    ∣111−2∣=−3≠0 ⇒ rang A=2\displaystyle \begin{vmatrix}1&1\\1&-2\end{vmatrix}=-3\neq 0\ \Rightarrow\ \text{rang }A=2
  4. Adunând primele două ecuații obținem 2x−y=0\displaystyle 2x-y=0, adică −2x+y=0\displaystyle -2x+y=0 înmulțită cu −1\displaystyle -1. Termenii liberi respectă aceeași relație: 1+(−1)=0\displaystyle 1+(-1)=0. Deci linia a treia a lui A‾\displaystyle \overline{A} este −(L1+L2)\displaystyle -(L_1+L_2), iar rang A‾=2\displaystyle \text{rang }\overline{A}=2.
    L3=−(L1+L2) ⇒ rang A‾=2\displaystyle L_3=-(L_1+L_2)\ \Rightarrow\ \text{rang }\overline{A}=2
  5. Cum rang A=rang A‾=2\displaystyle \text{rang }A=\text{rang }\overline{A}=2, conform teoremei Kronecker–Capelli sistemul este compatibil.
    Sistemul este compatibil, \displaystyle \text{Sistemul este compatibil, }deoarece rang A‾=2\displaystyle \text{deoarece rang }\overline{A}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Fie sistemul {x+y+az=1x+2ay+z=−12ax+y+(a+1)z=0\begin{cases} x+y+az=1\\ x+2ay+z=-1\\ 2ax+y+(a+1)z=0 \end{cases} unde x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R} și a\displaystyle a este parametru real.

Determinați a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R} pentru care sistemul are soluție unică.
Vezi rezolvarea
  1. Sistemul are trei ecuații și trei necunoscute, deci are soluție unică exact când determinantul matricei sistemului este nenul. Scriem matricea coeficienților: A=(11a12a12a1a+1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&a\\1&2a&1\\2a&1&a+1\end{pmatrix}.
    det⁡A=∣11a12a12a1a+1∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&1&a\\1&2a&1\\2a&1&a+1\end{vmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după prima linie: det⁡A=1⋅∣2a11a+1∣−1⋅∣112aa+1∣+a⋅∣12a2a1∣\displaystyle \det A=1\cdot\begin{vmatrix}2a&1\\1&a+1\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\2a&a+1\end{vmatrix}+a\cdot\begin{vmatrix}1&2a\\2a&1\end{vmatrix}.
    det⁡A=(2a2+2a−1)−(1−a)+a(1−4a2)\displaystyle \det A=(2a^{2}+2a-1)-(1-a)+a(1-4a^{2})
  3. Efectuăm calculele și reducem termenii asemenea: 2a2+2a−1−1+a+a−4a3\displaystyle 2a^{2}+2a-1-1+a+a-4a^{3}.
    det⁡A=−4a3+2a2+4a−2\displaystyle \det A=-4a^{3}+2a^{2}+4a-2
  4. Scoatem factor comun −2\displaystyle -2: −2(2a3−a2−2a+1)\displaystyle -2(2a^{3}-a^{2}-2a+1). Grupăm: a2(2a−1)−(2a−1)=(2a−1)(a2−1)\displaystyle a^{2}(2a-1)-(2a-1)=(2a-1)(a^{2}-1), iar a2−1=(a−1)(a+1)\displaystyle a^{2}-1=(a-1)(a+1).
    det⁡A=−2(2a−1)(a−1)(a+1)\displaystyle \det A=-2(2a-1)(a-1)(a+1)
  5. Sistemul are soluție unică când det⁡A≠0\displaystyle \det A\neq0, deci fiecare factor trebuie să fie nenul: 2a−1≠0\displaystyle 2a-1\neq0, a−1≠0\displaystyle a-1\neq0, a+1≠0\displaystyle a+1\neq0. Determinantul se anulează pentru a=12\displaystyle a=\dfrac{1}{2}, a=1\displaystyle a=1 și a=−1\displaystyle a=-1.
    a≠12\displaystyle a\neq\dfrac{1}{2},a≠1\displaystyle \quad a\neq1,a≠−1\displaystyle \quad a\neq-1
  6. Prin urmare, sistemul are soluție unică pentru toate valorile reale ale lui a\displaystyle a, cu excepția valorilor −1\displaystyle -1, 12\displaystyle \dfrac{1}{2} și 1\displaystyle 1.
    a∈R∖{±1,12}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\left\{\pm1,\frac{1}{2}\right\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Fie m,n∈R\displaystyle m,n\in\mathbb{R} și polinomul f=X3−3X2+mX−n\displaystyle f=X^3-3X^2+mX-n care are rădăcinile x1,x2,x3∈C\displaystyle x_1,x_2,x_3\in\mathbb{C}.

Determinați valorile reale m\displaystyle m și n\displaystyle n pentru care x1=2+i\displaystyle x_1=2+i.
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul f\displaystyle f are coeficienți reali, iar x1=2+i\displaystyle x_1=2+i este rădăcină nereală. Atunci și conjugata sa este rădăcină, deci x2=2−i\displaystyle x_2=2-i.
    x2=2−i\displaystyle x_2=2-i
  2. Scriem prima relație Viète: suma rădăcinilor este opusul coeficientului lui X2\displaystyle X^2, adică x1+x2+x3=3\displaystyle x_1+x_2+x_3=3.
    x1+x2+x3=3\displaystyle x_1+x_2+x_3=3
  3. Calculăm x1+x2=(2+i)+(2−i)=4\displaystyle x_1+x_2=(2+i)+(2-i)=4, apoi x3=3−4=−1\displaystyle x_3=3-4=-1.
    x3=3−x1−x2=−1\displaystyle x_3=3-x_1-x_2=-1
  4. Calculăm produsul x1x2=(2+i)(2−i)=4−i2=5\displaystyle x_1x_2=(2+i)(2-i)=4-i^{2}=5.
    x1x2=5\displaystyle x_1x_2=5
  5. A doua relație Viète: m=x1x2+x1x3+x2x3\displaystyle m=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3. Avem x1x3+x2x3=x3(x1+x2)=(−1)⋅4=−4\displaystyle x_1x_3+x_2x_3=x_3(x_1+x_2)=(-1)\cdot 4=-4, deci m=5−4=1\displaystyle m=5-4=1.
    m=5+(−1)⋅4=1\displaystyle m=5+(-1)\cdot 4=1
  6. A treia relație Viète: produsul rădăcinilor este n\displaystyle n, deoarece termenul liber al lui f\displaystyle f este −n\displaystyle -n. Deci n=x1x2x3=5⋅(−1)=−5\displaystyle n=x_1x_2x_3=5\cdot(-1)=-5. Răspuns: m=1\displaystyle m=1 și n=−5\displaystyle n=-5.
    m=1\displaystyle m=1, n=−5\displaystyle \ n=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Fie m,n∈R\displaystyle m,n\in\mathbb{R} și polinomul f=X3−3X2+mX−n\displaystyle f=X^3-3X^2+mX-n care are rădăcinile x1,x2,x3∈C\displaystyle x_1,x_2,x_3\in\mathbb{C}.

Determinați valorile reale m\displaystyle m și n\displaystyle n pentru care restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la polinomul (X−1)2\displaystyle (X-1)^2 este egal cu 0\displaystyle 0.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm împărțitorul: (X−1)2=X2−2X+1\displaystyle (X-1)^2=X^2-2X+1. Este de gradul 2\displaystyle 2, deci restul va avea gradul cel mult 1\displaystyle 1.
    (X−1)2=X2−2X+1\displaystyle (X-1)^2=X^2-2X+1
  2. Primul termen al câtului este X\displaystyle X, pentru că X3:X2=X\displaystyle X^3:X^2=X. Scădem din f\displaystyle f produsul X⋅(X2−2X+1)\displaystyle X\cdot(X^2-2X+1) și obținem −X2+(m−1)X−n\displaystyle -X^2+(m-1)X-n.
    f−X(X2−2X+1)=−X2+(m−1)X−n\displaystyle f-X(X^2-2X+1)=-X^2+(m-1)X-n
  3. Al doilea termen al câtului este −1\displaystyle -1, pentru că −X2:X2=−1\displaystyle -X^2:X^2=-1. Scădem produsul −1⋅(X2−2X+1)\displaystyle -1\cdot(X^2-2X+1), adică adunăm X2−2X+1\displaystyle X^2-2X+1: −X2+(m−1)X−n+X2−2X+1=(m−3)X+1−n\displaystyle -X^2+(m-1)X-n+X^2-2X+1=(m-3)X+1-n. Gradul este cel mult 1\displaystyle 1, deci împărțirea se oprește. Câtul este X−1\displaystyle X-1, iar restul este cel de mai jos.
    r=X(m−3)+1−n\displaystyle r=X(m-3)+1-n
  4. Restul este polinomul nul dacă ambii coeficienți ai lui sunt 0\displaystyle 0: m−3=0\displaystyle m-3=0 și 1−n=0\displaystyle 1-n=0. Obținem m=3\displaystyle m=3 și n=1\displaystyle n=1.
    m=3 și n=1\displaystyle m=3\text{ și }n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Fie m,n∈R\displaystyle m,n\in\mathbb{R} și polinomul f=X3−3X2+mX−n\displaystyle f=X^3-3X^2+mX-n care are rădăcinile x1,x2,x3∈C\displaystyle x_1,x_2,x_3\in\mathbb{C}.

Arătați că, dacă toate rădăcinile polinomului f\displaystyle f sunt reale și m>0\displaystyle m>0, n>0\displaystyle n>0, atunci x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 sunt strict pozitive.
Vezi rezolvarea
  1. Presupunem prin reducere la absurd că una dintre rădăcini, de exemplu x1\displaystyle x_1, este nepozitivă: x1≤0\displaystyle x_1\leq 0. Rădăcinile sunt reale, deci putem compara x1\displaystyle x_1 cu 0\displaystyle 0. Cum x1\displaystyle x_1 este rădăcină, f(x1)=0\displaystyle f(x_1)=0.
    x1≤0\displaystyle x_1\leq 0,f(x1)=x13−3x12+mx1−n=0\displaystyle \quad f(x_1)=x_1^3-3x_1^2+mx_1-n=0
  2. Studiem semnul fiecărui termen din f(x1)\displaystyle f(x_1). Cubul unui număr nepozitiv este nepozitiv: x13≤0\displaystyle x_1^3\leq 0. Cum x12≥0\displaystyle x_1^2\geq 0, avem −3x12≤0\displaystyle -3x_1^2\leq 0. Deoarece m>0\displaystyle m>0 și x1≤0\displaystyle x_1\leq 0, avem mx1≤0\displaystyle mx_1\leq 0. Din n>0\displaystyle n>0 rezultă −n<0\displaystyle -n<0.
    x13≤0\displaystyle x_1^3\leq 0, −3x12≤0\displaystyle \ -3x_1^2\leq 0, mx1≤0\displaystyle \ mx_1\leq 0, −n<0\displaystyle \ -n<0
  3. Adunăm cele patru relații. Trei termeni sunt nepozitivi și unul este strict negativ, deci suma lor este strict negativă: f(x1)<0\displaystyle f(x_1)<0. Dar f(x1)=0\displaystyle f(x_1)=0, deci obținem o contradicție. Prin urmare presupunerea este falsă și x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 sunt strict pozitive.
    0=f(x1)<0, contradicție\displaystyle 0=f(x_1)<0\text{, contradicție}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Fie funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x+23\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x+2}.

Arătați că dreapta de ecuație y=x\displaystyle y=x este asimptotă oblică pentru graficul funcției f\displaystyle f spre +∞\displaystyle +\infty.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty are forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n, unde m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} și n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right). Calculăm mai întâi m\displaystyle m.
    m=lim⁡x→+∞x3−3x+23x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[3]{x^3-3x+2}}{x}
  2. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x=x33\displaystyle x=\sqrt[3]{x^3}, deci raportul se scrie sub un singur radical de ordin 3. Termenii cu x\displaystyle x la numitor tind la 0\displaystyle 0.
    m=lim⁡x→+∞x3−3x+2x33=lim⁡x→+∞1−3x2+2x33=13=1\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{\frac{x^3-3x+2}{x^3}}=\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{1-\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x^3}}=\sqrt[3]{1}=1
  3. Acum calculăm n=lim⁡x→+∞(f(x)−x)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-x\right). Este o nedeterminare de tipul ∞−∞\displaystyle \infty-\infty. Folosim a−b=a3−b3a2+ab+b2\displaystyle a-b=\dfrac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}, cu a=x3−3x+23\displaystyle a=\sqrt[3]{x^3-3x+2} și b=x\displaystyle b=x.
    n=lim⁡x→+∞(x3−3x+2)−x3(x3−3x+2)23+xx3−3x+23+x2\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\frac{(x^3-3x+2)-x^3}{\sqrt[3]{(x^3-3x+2)^2}+x\sqrt[3]{x^3-3x+2}+x^2}
  4. Simplificăm numărătorul: (x3−3x+2)−x3=−3x+2\displaystyle (x^3-3x+2)-x^3=-3x+2. La numitor, fiecare dintre cei trei termeni are ordinul x2\displaystyle x^2, deci numitorul se comportă ca 3x2\displaystyle 3x^2.
    n=lim⁡x→+∞−3x+2(x3−3x+2)23+xx3−3x+23+x2\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\frac{-3x+2}{\sqrt[3]{(x^3-3x+2)^2}+x\sqrt[3]{x^3-3x+2}+x^2}
  5. Împărțim numărătorul și numitorul la x2\displaystyle x^2. Numărătorul devine −3x+2x2→0\displaystyle -\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^2}\to 0, iar numitorul tinde la 1+1+1=3\displaystyle 1+1+1=3. Deci n=0\displaystyle n=0.
    n=lim⁡x→+∞−3x+2x2(1−3x2+2x3)23+1−3x2+2x33+1=03=0\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\frac{-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{\sqrt[3]{\left(1-\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x^3}\right)^2}+\sqrt[3]{1-\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x^3}}+1}=\frac{0}{3}=0
  6. Cu m=1\displaystyle m=1 și n=0\displaystyle n=0, asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=mx+n=x\displaystyle y=mx+n=x, ceea ce trebuia arătat.
    y=x\displaystyle y=x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Fie funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x+23\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x+2}.

Studiați derivabilitatea funcției f\displaystyle f în punctul x=−2\displaystyle x=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(−2)\displaystyle f(-2). Înlocuim x=−2\displaystyle x=-2 în expresia de sub radical: (−2)3−3⋅(−2)+2=−8+6+2=0\displaystyle (-2)^3-3\cdot(-2)+2=-8+6+2=0, deci f(−2)=0\displaystyle f(-2)=0.
    f(−2)=03=0\displaystyle f(-2)=\sqrt[3]{0}=0
  2. Factorizăm expresia de sub radical. Observăm că x=1\displaystyle x=1 și x=−2\displaystyle x=-2 sunt rădăcini; x=1\displaystyle x=1 este rădăcină dublă, deoarece și derivata 3x2−3\displaystyle 3x^2-3 se anulează în 1\displaystyle 1. Verificăm prin dezvoltare: (x−1)2(x+2)=(x2−2x+1)(x+2)=x3−3x+2\displaystyle (x-1)^2(x+2)=(x^2-2x+1)(x+2)=x^3-3x+2.
    x3−3x+2=(x−1)2(x+2)\displaystyle x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)
  3. Scriem raportul incrementelor în punctul −2\displaystyle -2, folosind f(−2)=0\displaystyle f(-2)=0 și factorizarea: f(x)−f(−2)x+2=(x−1)2(x+2)3x+2\displaystyle \dfrac{f(x)-f(-2)}{x+2}=\dfrac{\sqrt[3]{(x-1)^2(x+2)}}{x+2}. Cum x+2=(x+2)33\displaystyle x+2=\sqrt[3]{(x+2)^3}, grupăm sub același radical și simplificăm cu x+2\displaystyle x+2.
    f(x)−f(−2)x+2=(x−1)2(x+2)(x+2)33=(x−1)2(x+2)23\displaystyle \frac{f(x)-f(-2)}{x+2}=\sqrt[3]{\frac{(x-1)^2(x+2)}{(x+2)^3}}=\sqrt[3]{\frac{(x-1)^2}{(x+2)^2}}
  4. Calculăm limita pentru x→−2\displaystyle x\to-2. Numărătorul (x−1)2\displaystyle (x-1)^2 tinde la (−3)2=9>0\displaystyle (-3)^2=9>0, iar numitorul (x+2)2\displaystyle (x+2)^2 tinde la 0\displaystyle 0 cu valori pozitive. Deci fracția tinde la +∞\displaystyle +\infty, iar radicalul de ordin 3 păstrează această limită. Limita este aceeași și la stânga, și la dreapta lui −2\displaystyle -2.
    lim⁡x→−2f(x)−f(−2)x+2=lim⁡x→−2(x−1)2(x+2)23=+∞\displaystyle \lim_{x\to-2}\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}=\lim_{x\to-2}\sqrt[3]{\frac{(x-1)^2}{(x+2)^2}}=+\infty
  5. Limita raportului incrementelor este infinită, deci nu este finită. Prin urmare funcția f\displaystyle f nu este derivabilă în x=−2\displaystyle x=-2 (graficul are tangentă verticală în acest punct).
    f nu e derivabila˘ ıˆn −2\displaystyle f\text{ nu e derivabilă în }-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Fie funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x+23\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x+2}.

Calculați lim⁡x→+∞ln⁡f(x)ln⁡x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln f(x)}{\ln x}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem f(x)=(x3−3x+2)13\displaystyle f(x)=\left(x^{3}-3x+2\right)^{\frac{1}{3}} și folosim proprietatea ln⁡ak=kln⁡a\displaystyle \ln a^{k}=k\ln a, deci ln⁡f(x)=13ln⁡(x3−3x+2)\displaystyle \ln f(x)=\dfrac{1}{3}\ln\left(x^{3}-3x+2\right).
    ln⁡f(x)=13ln⁡(x3−3x+2)\displaystyle \ln f(x)=\dfrac{1}{3}\ln\left(x^{3}-3x+2\right)
  2. Scriem ln⁡x=13ln⁡x3\displaystyle \ln x=\dfrac{1}{3}\ln x^{3}. Factorul 13\displaystyle \dfrac{1}{3} apare și la numărător, și la numitor, deci se simplifică.
    lim⁡x→+∞ln⁡f(x)ln⁡x=lim⁡x→+∞ln⁡(x3−3x+2)ln⁡x3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln f(x)}{\ln x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(x^{3}-3x+2\right)}{\ln x^{3}}
  3. Scriem x3−3x+2=x3(1−3x2+2x3)\displaystyle x^{3}-3x+2=x^{3}\left(1-\dfrac{3}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{3}}\right), deci ln⁡(x3−3x+2)=ln⁡x3+ln⁡(1−3x2+2x3)\displaystyle \ln\left(x^{3}-3x+2\right)=\ln x^{3}+\ln\left(1-\dfrac{3}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{3}}\right).
    ln⁡(x3−3x+2)ln⁡x3=1+ln⁡(1−3x2+2x3)ln⁡x3\displaystyle \frac{\ln\left(x^{3}-3x+2\right)}{\ln x^{3}}=1+\frac{\ln\left(1-\frac{3}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}\right)}{\ln x^{3}}
  4. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, 3x2→0\displaystyle \dfrac{3}{x^{2}}\to 0 și 2x3→0\displaystyle \dfrac{2}{x^{3}}\to 0, deci ln⁡(1−3x2+2x3)→ln⁡1=0\displaystyle \ln\left(1-\dfrac{3}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{3}}\right)\to\ln 1=0, iar ln⁡x3→+∞\displaystyle \ln x^{3}\to+\infty. Prin urmare fracția tinde la 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞ln⁡(1−3x2+2x3)ln⁡x3=0+∞=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(1-\frac{3}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}\right)}{\ln x^{3}}=\frac{0}{+\infty}=0
  5. Limita cerută este 1+0=1\displaystyle 1+0=1.
    lim⁡x→+∞ln⁡f(x)ln⁡x=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln f(x)}{\ln x}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=cos⁡x2−cos⁡2x\displaystyle f(x)=\frac{\cos x}{2-\cos^2 x}.

Calculați ∫0π2f(x) dx\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrala cerută: ∫0π2f(x) dx=∫0π2cos⁡x2−cos⁡2x dx\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{2-\cos^2 x}\,dx.
    ∫0π2cos⁡x2−cos⁡2x dx\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{2-\cos^2 x}\,dx
  2. Exprimăm numitorul cu ajutorul lui sin⁡x\displaystyle \sin x, folosind cos⁡2x=1−sin⁡2x\displaystyle \cos^2 x=1-\sin^2 x. Obținem 2−cos⁡2x=2−(1−sin⁡2x)=1+sin⁡2x\displaystyle 2-\cos^2 x=2-(1-\sin^2 x)=1+\sin^2 x.
    2−cos⁡2x=1+sin⁡2x\displaystyle 2-\cos^2 x=1+\sin^2 x
  3. Facem substituția sin⁡x=t\displaystyle \sin x=t. Atunci cos⁡x dx=dt\displaystyle \cos x\,dx=dt. Pentru limite: la x=0\displaystyle x=0 avem t=0\displaystyle t=0, iar la x=π2\displaystyle x=\dfrac{\pi}{2} avem t=1\displaystyle t=1. Integrala devine ∫01dt1+t2\displaystyle \int_0^1\dfrac{dt}{1+t^2}.
    ∫01dt1+t2\displaystyle \int_0^1\dfrac{dt}{1+t^2}
  4. Primitiva lui 11+t2\displaystyle \dfrac{1}{1+t^2} este arctg⁡t\displaystyle \operatorname{arctg}t. Aplicăm formula Leibniz-Newton: arctg⁡1−arctg⁡0=π4−0\displaystyle \operatorname{arctg}1-\operatorname{arctg}0=\dfrac{\pi}{4}-0.
    arctg⁡t∣01=π4\displaystyle \left.\operatorname{arctg}t\right|_0^1=\dfrac{\pi}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=cos⁡x2−cos⁡2x\displaystyle f(x)=\frac{\cos x}{2-\cos^2 x}.

Arătați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f este strict crescătoare pe intervalul [0;π2]\displaystyle \left[0;\frac{\pi}{2}\right].
Vezi rezolvarea
  1. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a funcției f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R}. Atunci F\displaystyle F este derivabilă și F′=f\displaystyle F'=f. Deci F′(x)=cos⁡x2−cos⁡2x\displaystyle F'(x)=\dfrac{\cos x}{2-\cos^{2} x}, pentru orice x∈[0,π2]\displaystyle x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right].
    F′(x)=cos⁡x2−cos⁡2x\displaystyle F'(x)=\frac{\cos x}{2-\cos^{2} x}, ∀x∈[0,π2]\displaystyle \ \forall x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]
  2. Studiem semnul numărătorului. Pentru x∈[0,π2]\displaystyle x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right] avem cos⁡x≥0\displaystyle \cos x\geq 0.
    cos⁡x≥0\displaystyle \cos x\geq 0, ∀x∈[0,π2]\displaystyle \ \forall x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]
  3. Studiem semnul numitorului. Deoarece 0≤cos⁡2x≤1\displaystyle 0\leq\cos^{2}x\leq 1, avem 2−cos⁡2x≥1>0\displaystyle 2-\cos^{2}x\geq 1>0.
    2−cos⁡2x≥1>0\displaystyle 2-\cos^{2}x\geq 1>0
  4. Fracția are numărătorul ≥0\displaystyle \geq 0 și numitorul strict pozitiv, deci F′(x)≥0\displaystyle F'(x)\geq 0 pe interval. Ea se anulează doar în x=π2\displaystyle x=\dfrac{\pi}{2}, unde cos⁡x=0\displaystyle \cos x=0.
    F′(x)≥0\displaystyle F'(x)\geq 0, ∀x∈[0,π2], cu egalitate doar \displaystyle \ \forall x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\text{, cu egalitate doar }pentru x=π2\displaystyle \text{pentru }x=\frac{\pi}{2}
  5. Derivata F′\displaystyle F' este strict pozitivă pe (0,π2)\displaystyle \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) și se anulează doar într-un capăt al intervalului. Rezultă că F\displaystyle F este strict crescătoare pe [0,π2]\displaystyle \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right], oricare ar fi primitiva aleasă.
    F este strict cresca˘toare \displaystyle F\text{ este strict crescătoare }pe [0,π2]\displaystyle \text{pe }\left[0,\frac{\pi}{2}\right]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=cos⁡x2−cos⁡2x\displaystyle f(x)=\frac{\cos x}{2-\cos^2 x}.

Calculați ∫02πx⋅f(x) dx\displaystyle \int_0^{2\pi} x\cdot f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm I=∫02πxf(x) dx\displaystyle I=\int_0^{2\pi} x f(x)\,dx. Facem substituția x=2π−y\displaystyle x=2\pi-y, deci dx=−dy\displaystyle dx=-dy. Pentru x=0\displaystyle x=0 obținem y=2π\displaystyle y=2\pi, iar pentru x=2π\displaystyle x=2\pi obținem y=0\displaystyle y=0. Inversând limitele, semnul minus dispare.
    I=∫02π(2π−y) f(2π−y) dy\displaystyle I=\int_0^{2\pi}(2\pi-y)\,f(2\pi-y)\,dy
  2. Arătăm că f(2π−y)=f(y)\displaystyle f(2\pi-y)=f(y). Funcția cosinus are perioada 2π\displaystyle 2\pi și este pară, deci cos⁡(2π−y)=cos⁡y\displaystyle \cos(2\pi-y)=\cos y. Atunci cos⁡2(2π−y)=cos⁡2y\displaystyle \cos^2(2\pi-y)=\cos^2 y, iar numitorul rămâne același.
    f(2π−y)=cos⁡(2π−y)2−cos⁡2(2π−y)=cos⁡y2−cos⁡2y=f(y)\displaystyle f(2\pi-y)=\dfrac{\cos(2\pi-y)}{2-\cos^2(2\pi-y)}=\dfrac{\cos y}{2-\cos^2 y}=f(y)
  3. Înlocuim f(2π−y)\displaystyle f(2\pi-y) cu f(y)\displaystyle f(y) în integrala obținută la substituție.
    I=∫02π(2π−y) f(y) dy\displaystyle I=\int_0^{2\pi}(2\pi-y)\,f(y)\,dy
  4. Desfacem parantezul și separăm integrala în două. Variabila de integrare este muta, deci a doua integrală, cu y\displaystyle y în loc de x\displaystyle x, este chiar I\displaystyle I.
    I=2π∫02πf(y) dy−∫02πy f(y) dy=2π∫02πf(y) dy−I\displaystyle I=2\pi\int_0^{2\pi}f(y)\,dy-\int_0^{2\pi}y\,f(y)\,dy=2\pi\int_0^{2\pi}f(y)\,dy-I
  5. Mutăm I\displaystyle I în partea stângă și împărțim la 2\displaystyle 2. Rămâne de calculat integrala lui f\displaystyle f pe [0,2π]\displaystyle [0,2\pi].
    2I=2π∫02πf(y) dy ⇒ I=π∫02πf(y) dy\displaystyle 2I=2\pi\int_0^{2\pi}f(y)\,dy\ \Rightarrow\ I=\pi\int_0^{2\pi}f(y)\,dy
  6. Calculăm integrala lui f\displaystyle f. Scriem 2−cos⁡2x=1+sin⁡2x\displaystyle 2-\cos^2 x=1+\sin^2 x, deoarece cos⁡2x=1−sin⁡2x\displaystyle \cos^2 x=1-\sin^2 x. Apoi substituim t=sin⁡x\displaystyle t=\sin x, cu dt=cos⁡x dx\displaystyle dt=\cos x\,dx. Pentru x=0\displaystyle x=0 avem t=0\displaystyle t=0, iar pentru x=2π\displaystyle x=2\pi avem tot t=0\displaystyle t=0, deci limitele coincid și integrala este 0\displaystyle 0. Același rezultat iese din arctg⁡0−arctg⁡0=0\displaystyle \operatorname{arctg}0-\operatorname{arctg}0=0.
    ∫02πf(y) dy=∫02πcos⁡y1+sin⁡2y dy=∫00dt1+t2=arctg⁡t∣00=0\displaystyle \int_0^{2\pi}f(y)\,dy=\int_0^{2\pi}\dfrac{\cos y}{1+\sin^2 y}\,dy=\int_0^0\dfrac{dt}{1+t^2}=\operatorname{arctg}t\Big|_0^0=0
  7. Înlocuim ∫02πf(y) dy=0\displaystyle \int_0^{2\pi}f(y)\,dy=0 în relația I=π∫02πf(y) dy\displaystyle I=\pi\int_0^{2\pi}f(y)\,dy.
    I=π⋅0=0\displaystyle I=\pi\cdot 0=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.