Bac matematică M1 mate-info 2012, sesiunea I rezervă varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați partea reală a numărului complex (1+2i)2\displaystyle (1+2i)^2.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm formula pătratului unei sume (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a=1\displaystyle a=1 și b=2i\displaystyle b=2i.
    (1+2i)2=12+2⋅1⋅2i+(2i)2\displaystyle (1+2i)^{2}=1^{2}+2\cdot 1\cdot 2i+(2i)^{2}
  2. Avem (2i)2=4i2\displaystyle (2i)^{2}=4i^{2} și, cum i2=−1\displaystyle i^{2}=-1, obținem (2i)2=−4\displaystyle (2i)^{2}=-4. Deci suma devine 1+4i−4\displaystyle 1+4i-4.
    1+4i+4i2=1+4i−4\displaystyle 1+4i+4i^{2}=1+4i-4
  3. Adunăm părțile reale: 1−4=−3\displaystyle 1-4=-3. Rămâne partea imaginară 4i\displaystyle 4i.
    (1+2i)2=−3+4i\displaystyle (1+2i)^{2}=-3+4i
  4. Numărul −3+4i\displaystyle -3+4i are forma a+bi\displaystyle a+bi cu a=−3\displaystyle a=-3 și b=4\displaystyle b=4, deci partea reală este a=−3\displaystyle a=-3.
    Re⁡((1+2i)2)=−3\displaystyle \operatorname{Re}\left((1+2i)^{2}\right)=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se notează cu x1,x2\displaystyle x_1, x_2 soluțiile ecuației x2−3x+a=0\displaystyle x^2-3x+a=0, unde a\displaystyle a este un număr real. Determinați a\displaystyle a pentru care x1+x2+x1x2=5\displaystyle x_1+x_2+x_1x_2=5.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația x2−3x+a=0\displaystyle x^{2}-3x+a=0 are coeficienții 1\displaystyle 1, −3\displaystyle -3 și a\displaystyle a. Aplicăm relațiile lui Viète: suma soluțiilor este x1+x2=−ba2\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{b}{a_2}, unde b=−3\displaystyle b=-3 este coeficientul lui x\displaystyle x și a2=1\displaystyle a_2=1 este coeficientul lui x2\displaystyle x^{2}.
    x1+x2=−−31=3\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{-3}{1}=3
  2. Produsul soluțiilor este x1x2=ca2\displaystyle x_1x_2=\dfrac{c}{a_2}, unde c=a\displaystyle c=a este termenul liber și a2=1\displaystyle a_2=1.
    x1x2=a1=a\displaystyle x_1x_2=\dfrac{a}{1}=a
  3. Înlocuim x1+x2=3\displaystyle x_1+x_2=3 și x1x2=a\displaystyle x_1x_2=a în relația x1+x2+x1x2=5\displaystyle x_1+x_2+x_1x_2=5.
    3+a=5\displaystyle 3+a=5
  4. Rezolvăm ecuația 3+a=5\displaystyle 3+a=5: scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri și obținem a=5−3\displaystyle a=5-3.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Se notează cu g\displaystyle g inversa funcției bijective f:(0,+∞)→(4,+∞)\displaystyle f:(0,+\infty)\to(4,+\infty), f(x)=2x+3\displaystyle f(x)=2^x+3. Determinați g(5)\displaystyle g(5).
Vezi rezolvarea
  1. Deoarece g\displaystyle g este inversa lui f\displaystyle f, egalitatea g(5)=x\displaystyle g(5)=x este echivalentă cu f(x)=5\displaystyle f(x)=5. Notăm deci x=g(5)\displaystyle x=g(5) și avem de rezolvat ecuația f(x)=5\displaystyle f(x)=5, cu x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    x=g(5)⇒f(x)=5\displaystyle x=g(5)\Rightarrow f(x)=5
  2. Înlocuim expresia f(x)=2x+3\displaystyle f(x)=2^x+3 în ecuația f(x)=5\displaystyle f(x)=5 și obținem ecuația exponențială de mai jos.
    2x+3=5\displaystyle 2^x+3=5
  3. Scădem 3 din ambii membri și obținem 2x=2\displaystyle 2^x=2. Cum 2=21\displaystyle 2=2^1 și funcția exponențială de bază 2\displaystyle 2 este injectivă, rezultă x=1\displaystyle x=1.
    2x=21⇒x=1\displaystyle 2^x=2^1\Rightarrow x=1
  4. Verificăm: 1∈(0,+∞)\displaystyle 1\in(0,+\infty), iar f(1)=21+3=5∈(4,+∞)\displaystyle f(1)=2^1+3=5\in(4,+\infty). Prin urmare g(5)=1\displaystyle g(5)=1.
    g(5)=1\displaystyle g(5)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră mulțimea A={1,2,3,4,5}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\}. Determinați probabilitatea ca, alegând la întâmplare una dintre submulțimile lui A\displaystyle A, aceasta să conțină exact trei elemente.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}. Cazurile posibile sunt toate submulțimile lui A\displaystyle A, iar cele favorabile sunt submulțimile cu exact trei elemente.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. O mulțime cu 5\displaystyle 5 elemente are 25\displaystyle 2^{5} submulțimi, pentru că fiecare element poate fi sau nu în submulțime. Deci numărul cazurilor posibile este 32\displaystyle 32.
    25=32\displaystyle 2^{5}=32
  3. Submulțimile cu exact trei elemente se obțin alegând 3\displaystyle 3 elemente din cele 5\displaystyle 5, fără a conta ordinea. Numărul lor este C53=5!3!⋅2!=5⋅42\displaystyle C_5^3=\dfrac{5!}{3!\cdot 2!}=\dfrac{5\cdot 4}{2}.
    C53=5!3!⋅2!=10\displaystyle C_5^3=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10
  4. Înlocuim în formulă: p=1032\displaystyle p=\dfrac{10}{32}. Simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2 și obținem p=516\displaystyle p=\dfrac{5}{16}.
    p=1032=516\displaystyle p=\frac{10}{32}=\frac{5}{16}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,3)\displaystyle A(1,3) și B(7,12)\displaystyle B(7,12). Determinați coordonatele punctului M\displaystyle M, știind că AM→=13AB→\displaystyle \overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm coordonatele vectorului AB→\displaystyle \overrightarrow{AB} scăzând coordonatele lui A\displaystyle A din cele ale lui B\displaystyle B: 7−1=6\displaystyle 7-1=6 și 12−3=9\displaystyle 12-3=9.
    AB→=6i⃗+9j⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=6\vec{i}+9\vec{j}
  2. Notăm M(xM,yM)\displaystyle M(x_M,y_M) și scriem vectorul AM→\displaystyle \overrightarrow{AM} prin diferențele coordonatelor lui M\displaystyle M și A\displaystyle A.
    AB→=6i⃗+9j⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=6\vec{i}+9\vec{j}, AM→=(xM−1)i⃗+(yM−3)j⃗\displaystyle \ \overrightarrow{AM}=(x_M-1)\vec{i}+(y_M-3)\vec{j}
  3. Calculăm 13AB→\displaystyle \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}, înmulțind fiecare coordonată cu 13\displaystyle \dfrac{1}{3}.
    13AB→=2i⃗+3j⃗\displaystyle \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}=2\vec{i}+3\vec{j}
  4. Din AM→=13AB→\displaystyle \overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} egalăm coordonatele corespunzătoare și obținem sistemul de mai jos.
    {xM−1=2yM−3=3\displaystyle \begin{cases}x_M-1=2\\y_M-3=3\end{cases}
  5. Rezolvăm ecuațiile: xM=2+1=3\displaystyle x_M=2+1=3 și yM=3+3=6\displaystyle y_M=3+3=6. Punctul căutat este M(3,6)\displaystyle M(3,6).
    M(3,6)\displaystyle M(3,6)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right), știind că sin⁡x+2cos⁡xcos⁡x=3\displaystyle \frac{\sin x+2\cos x}{\cos x}=3.
Vezi rezolvarea
  1. Pe intervalul (0,π2)\displaystyle \left(0,\frac{\pi}{2}\right) avem cos⁡x>0\displaystyle \cos x>0, deci fracția are sens. Înmulțim ecuația cu cos⁡x\displaystyle \cos x și obținem sin⁡x+2cos⁡x=3cos⁡x\displaystyle \sin x+2\cos x=3\cos x.
    sin⁡x+2cos⁡x=3cos⁡x\displaystyle \sin x+2\cos x=3\cos x
  2. Mutăm 2cos⁡x\displaystyle 2\cos x în membrul drept: sin⁡x=3cos⁡x−2cos⁡x\displaystyle \sin x=3\cos x-2\cos x, adică sin⁡x=cos⁡x\displaystyle \sin x=\cos x.
    sin⁡x=cos⁡x\displaystyle \sin x=\cos x
  3. Împărțim la cos⁡x≠0\displaystyle \cos x\neq 0 și obținem tg⁡x=1\displaystyle \operatorname{tg}x=1.
    tg⁡x=1\displaystyle \operatorname{tg}x=1
  4. Pe intervalul (0,π2)\displaystyle \left(0,\frac{\pi}{2}\right) singura soluție a ecuației tg⁡x=1\displaystyle \operatorname{tg}x=1 este x=π4\displaystyle x=\dfrac{\pi}{4}.
    x=π4\displaystyle x=\frac{\pi}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se notează cu D(a,b,c)\displaystyle D(a,b,c) determinantul matricei A(a,b,c)=(1112a2b2c3a23b23c2)∈M3(R)\displaystyle A(a,b,c)=\begin{pmatrix}1&1&1\\2a&2b&2c\\3a^2&3b^2&3c^2\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}).

Calculați D(0,1,−1)\displaystyle D(0,1,-1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0, b=1\displaystyle b=1, c=−1\displaystyle c=-1 în matricea A(a,b,c)\displaystyle A(a,b,c). Prima linie rămâne formată din 1\displaystyle 1. A doua linie 2a, 2b, 2c\displaystyle 2a,\ 2b,\ 2c devine 0, 2, −2\displaystyle 0,\ 2,\ -2. A treia linie 3a2, 3b2, 3c2\displaystyle 3a^{2},\ 3b^{2},\ 3c^{2} devine 0, 3, 3\displaystyle 0,\ 3,\ 3, deoarece (−1)2=1\displaystyle (-1)^{2}=1.
    D(0,1,−1)=∣11102−2033∣\displaystyle D(0,1,-1)=\begin{vmatrix}1&1&1\\0&2&-2\\0&3&3\end{vmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după prima coloană, care are un singur element nenul, 1\displaystyle 1 pe poziția (1,1)\displaystyle (1,1). Rămâne minorul de ordin 2 format din liniile 2 și 3 și coloanele 2 și 3.
    D(0,1,−1)=1⋅∣2−233∣\displaystyle D(0,1,-1)=1\cdot\begin{vmatrix}2&-2\\3&3\end{vmatrix}
  3. Calculăm determinantul de ordin 2 ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: 2⋅3−(−2)⋅3=6+6=12\displaystyle 2\cdot 3-(-2)\cdot 3=6+6=12.
    D(0,1,−1)=2⋅3−(−2)⋅3=12\displaystyle D(0,1,-1)=2\cdot 3-(-2)\cdot 3=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se notează cu D(a,b,c)\displaystyle D(a,b,c) determinantul matricei A(a,b,c)=(1112a2b2c3a23b23c2)∈M3(R)\displaystyle A(a,b,c)=\begin{pmatrix}1&1&1\\2a&2b&2c\\3a^2&3b^2&3c^2\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}).

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care matricea A(0,1,x)\displaystyle A(0,1,x) are rangul egal cu 2\displaystyle 2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0, b=1\displaystyle b=1, c=x\displaystyle c=x în matricea A(a,b,c)\displaystyle A(a,b,c). Prima linie rămâne 1,1,1\displaystyle 1,1,1, a doua devine 0,2,2x\displaystyle 0,2,2x, iar a treia devine 0,3,3x2\displaystyle 0,3,3x^{2}.
    A(0,1,x)=(111022x033x2)\displaystyle A(0,1,x)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&2&2x\\0&3&3x^{2}\end{pmatrix}
  2. Alegem minorul de ordin 2\displaystyle 2 format din primele două linii și primele două coloane și îl calculăm. Fiind nenul, rangul matricei este cel puțin 2\displaystyle 2, oricare ar fi x\displaystyle x.
    d=∣1102∣=2≠0⇒rang⁡A(0,1,x)≥2\displaystyle d=\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}=2\neq0\Rightarrow\operatorname{rang}A(0,1,x)\geq2
  3. Matricea este pătratică de ordin 3\displaystyle 3, deci rangul ei este 2\displaystyle 2 exact când nu are rang 3\displaystyle 3, adică când determinantul ei este nul (rangul fiind deja cel puțin 2\displaystyle 2).
    rang⁡A(0,1,x)=2⇔D(0,1,x)=0\displaystyle \operatorname{rang}A(0,1,x)=2\Leftrightarrow D(0,1,x)=0
  4. Calculăm determinantul dezvoltând după prima coloană, în care singurul element nenul este 1\displaystyle 1 de pe prima linie. Rămâne ∣22x33x2∣=2⋅3x2−2x⋅3=6x2−6x\displaystyle \begin{vmatrix}2&2x\\3&3x^{2}\end{vmatrix}=2\cdot3x^{2}-2x\cdot3=6x^{2}-6x.
    D(0,1,x)=∣22x33x2∣=6x2−6x=6x(x−1)\displaystyle D(0,1,x)=\begin{vmatrix}2&2x\\3&3x^{2}\end{vmatrix}=6x^{2}-6x=6x(x-1)
  5. Punem condiția D(0,1,x)=0\displaystyle D(0,1,x)=0, adică 6x(x−1)=0\displaystyle 6x(x-1)=0. Produsul este zero când un factor este zero, deci x=0\displaystyle x=0 sau x=1\displaystyle x=1.
    6x(x−1)=0⇒x=0 sau x=1\displaystyle 6x(x-1)=0\Rightarrow x=0\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se notează cu D(a,b,c)\displaystyle D(a,b,c) determinantul matricei A(a,b,c)=(1112a2b2c3a23b23c2)∈M3(R)\displaystyle A(a,b,c)=\begin{pmatrix}1&1&1\\2a&2b&2c\\3a^2&3b^2&3c^2\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}).

Arătați că dacă a,b,c\displaystyle a,b,c sunt lungimile laturilor unui triunghi și D(a,b,c)=0\displaystyle D(a,b,c)=0, atunci triunghiul este isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Scoatem factorul 2\displaystyle 2 de pe linia a doua și factorul 3\displaystyle 3 de pe linia a treia: D(a,b,c)=2⋅3⋅∣111abca2b2c2∣\displaystyle D(a,b,c)=2\cdot 3\cdot\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{vmatrix}. Rămâne determinantul Vandermonde înmulțit cu 6\displaystyle 6.
    D(a,b,c)=6⋅∣111abca2b2c2∣\displaystyle D(a,b,c)=6\cdot\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{vmatrix}
  2. Facem operațiile C2→C2−C1\displaystyle C_2\to C_2-C_1 și C3→C3−C1\displaystyle C_3\to C_3-C_1. Determinantul nu se schimbă, iar pe prima linie apar zerouri.
    ∣100ab−ac−aa2b2−a2c2−a2∣\displaystyle \begin{vmatrix}1&0&0\\a&b-a&c-a\\a^2&b^2-a^2&c^2-a^2\end{vmatrix}
  3. Dezvoltăm după prima linie și folosim b2−a2=(b−a)(b+a)\displaystyle b^2-a^2=(b-a)(b+a) și c2−a2=(c−a)(c+a)\displaystyle c^2-a^2=(c-a)(c+a). Scoatem factorii b−a\displaystyle b-a și c−a\displaystyle c-a: (b−a)(c−a)∣11b+ac+a∣\displaystyle (b-a)(c-a)\begin{vmatrix}1&1\\b+a&c+a\end{vmatrix}.
    (b−a)(c−a)∣11b+ac+a∣\displaystyle (b-a)(c-a)\begin{vmatrix}1&1\\b+a&c+a\end{vmatrix}
  4. Avem ∣11b+ac+a∣=(c+a)−(b+a)=c−b\displaystyle \begin{vmatrix}1&1\\b+a&c+a\end{vmatrix}=(c+a)-(b+a)=c-b. Înmulțind cu 6\displaystyle 6 obținem produsul celor trei diferențe.
    D(a,b,c)=6(b−a)(c−a)(c−b)\displaystyle D(a,b,c)=6(b-a)(c-a)(c-b)
  5. Din D(a,b,c)=0\displaystyle D(a,b,c)=0 rezultă 6(b−a)(c−a)(c−b)=0\displaystyle 6(b-a)(c-a)(c-b)=0. Cum 6≠0\displaystyle 6\neq 0, un factor este nul: b−a=0\displaystyle b-a=0, c−a=0\displaystyle c-a=0 sau c−b=0\displaystyle c-b=0. Deci două laturi sunt egale și triunghiul este isoscel.
    D(a,b,c)=0⇒a=b sau b=c sau c=a, deci triunghiul este \displaystyle D(a,b,c)=0\Rightarrow a=b\text{ sau }b=c\text{ sau }c=a\text{, deci triunghiul este }isoscel\displaystyle \text{isoscel}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră inelul (Z5,+,⋅)\displaystyle (\mathbb{Z}_5,+,\cdot) și funcția f:Z5→Z5\displaystyle f:\mathbb{Z}_5\to\mathbb{Z}_5, f(x)=x3+2^x2+4^x+3^\displaystyle f(x)=x^3+\hat{2}x^2+\hat{4}x+\hat{3}.

Calculați f(1^)+f(3^)\displaystyle f(\hat{1})+f(\hat{3}).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 1^\displaystyle \hat{1} în expresia funcției. Toate puterile lui 1^\displaystyle \hat{1} sunt egale cu 1^\displaystyle \hat{1}, deci f(1^)=1^+2^+4^+3^\displaystyle f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{2}+\hat{4}+\hat{3}.
    f(1^)=1^+2^+4^+3^=10^\displaystyle f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{2}+\hat{4}+\hat{3}=\hat{10}
  2. Reducem modulo 5\displaystyle 5: 10\displaystyle 10 este multiplu de 5\displaystyle 5, deci 10^=0^\displaystyle \hat{10}=\hat{0}.
    f(1^)=0^\displaystyle f(\hat{1})=\hat{0}
  3. Calculăm puterile lui 3^\displaystyle \hat{3} în Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5: 3^2=9^=4^\displaystyle \hat{3}^2=\hat{9}=\hat{4}, iar 3^3=27^=2^\displaystyle \hat{3}^3=\hat{27}=\hat{2}.
    3^2=4^\displaystyle \hat{3}^2=\hat{4},3^3=2^\displaystyle \quad \hat{3}^3=\hat{2}
  4. Calculăm termenii cu coeficienți: 2^⋅4^=8^=3^\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{4}=\hat{8}=\hat{3} și 4^⋅3^=12^=2^\displaystyle \hat{4}\cdot\hat{3}=\hat{12}=\hat{2}.
    2^⋅3^2=3^\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{3}^2=\hat{3},4^⋅3^=2^\displaystyle \quad \hat{4}\cdot\hat{3}=\hat{2}
  5. Adunăm termenii: f(3^)=2^+3^+2^+3^=10^=0^\displaystyle f(\hat{3})=\hat{2}+\hat{3}+\hat{2}+\hat{3}=\hat{10}=\hat{0}.
    f(3^)=2^+3^+2^+3^=0^\displaystyle f(\hat{3})=\hat{2}+\hat{3}+\hat{2}+\hat{3}=\hat{0}
  6. Adunăm cele două valori obținute: f(1^)+f(3^)=0^+0^=0^\displaystyle f(\hat{1})+f(\hat{3})=\hat{0}+\hat{0}=\hat{0}.
    f(1^)+f(3^)=0^\displaystyle f(\hat{1})+f(\hat{3})=\hat{0}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră inelul (Z5,+,⋅)\displaystyle (\mathbb{Z}_5,+,\cdot) și funcția f:Z5→Z5\displaystyle f:\mathbb{Z}_5\to\mathbb{Z}_5, f(x)=x3+2^x2+4^x+3^\displaystyle f(x)=x^3+\hat{2}x^2+\hat{4}x+\hat{3}.

Descompuneți în factori ireductibili peste Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5 polinomul P=X3+2^X2+4^X+3^∈Z5[X]\displaystyle P=X^3+\hat{2}X^2+\hat{4}X+\hat{3}\in\mathbb{Z}_5[X].
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul P\displaystyle P are gradul 3\displaystyle 3, deci are cel mult trei rădăcini în Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5. Le căutăm printre elementele 0^,1^,2^,3^,4^\displaystyle \hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}, calculând valoarea lui P\displaystyle P în fiecare. Pentru 0^\displaystyle \hat{0} obținem termenul liber.
    P(0^)=3^≠0^\displaystyle P(\hat{0})=\hat{3}\neq\hat{0}
  2. Calculăm P(1^)=1^+2^+4^+3^=10^\displaystyle P(\hat{1})=\hat{1}+\hat{2}+\hat{4}+\hat{3}=\hat{10}, iar 10^=0^\displaystyle \hat{10}=\hat{0} în Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5. Deci 1^\displaystyle \hat{1} este rădăcină.
    P(1^)=0^\displaystyle P(\hat{1})=\hat{0}
  3. Calculăm P(2^)=8^+2^⋅4^+4^⋅2^+3^=3^+3^+3^+3^=12^=2^\displaystyle P(\hat{2})=\hat{8}+\hat{2}\cdot\hat{4}+\hat{4}\cdot\hat{2}+\hat{3}=\hat{3}+\hat{3}+\hat{3}+\hat{3}=\hat{12}=\hat{2}, deci 2^\displaystyle \hat{2} nu este rădăcină.
    P(2^)=2^≠0^\displaystyle P(\hat{2})=\hat{2}\neq\hat{0}
  4. Calculăm P(3^)=27^+2^⋅9^+4^⋅3^+3^=2^+3^+2^+3^=10^=0^\displaystyle P(\hat{3})=\hat{27}+\hat{2}\cdot\hat{9}+\hat{4}\cdot\hat{3}+\hat{3}=\hat{2}+\hat{3}+\hat{2}+\hat{3}=\hat{10}=\hat{0}, deci 3^\displaystyle \hat{3} este rădăcină.
    P(3^)=0^\displaystyle P(\hat{3})=\hat{0}
  5. Calculăm P(4^)=64^+2^⋅16^+4^⋅4^+3^=4^+2^+1^+3^=10^=0^\displaystyle P(\hat{4})=\hat{64}+\hat{2}\cdot\hat{16}+\hat{4}\cdot\hat{4}+\hat{3}=\hat{4}+\hat{2}+\hat{1}+\hat{3}=\hat{10}=\hat{0}, deci 4^\displaystyle \hat{4} este rădăcină. Rădăcinile lui P\displaystyle P sunt 1^\displaystyle \hat{1}, 3^\displaystyle \hat{3} și 4^\displaystyle \hat{4}.
    1^\displaystyle \hat{1}, 3^ și 4^\displaystyle \ \hat{3}\text{ și }\hat{4}
  6. P\displaystyle P are gradul 3\displaystyle 3 și coeficientul dominant 1^\displaystyle \hat{1}, iar cele trei rădăcini distincte dau trei factori liniari, deci P=(X−1^)(X−3^)(X−4^)\displaystyle P=(X-\hat{1})(X-\hat{3})(X-\hat{4}). Cum −1^=4^\displaystyle -\hat{1}=\hat{4}, −3^=2^\displaystyle -\hat{3}=\hat{2} și −4^=1^\displaystyle -\hat{4}=\hat{1} în Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5, scriem factorii cu coeficienți pozitivi. Factorii de gradul întâi sunt ireductibili, deci aceasta este descompunerea în factori ireductibili.
    P=(X−1^)(X−3^)(X−4^)=(X+4^)(X+2^)(X+1^)\displaystyle P=(X-\hat{1})(X-\hat{3})(X-\hat{4})=(X+\hat{4})(X+\hat{2})(X+\hat{1})
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră inelul (Z5,+,⋅)\displaystyle (\mathbb{Z}_5,+,\cdot) și funcția f:Z5→Z5\displaystyle f:\mathbb{Z}_5\to\mathbb{Z}_5, f(x)=x3+2^x2+4^x+3^\displaystyle f(x)=x^3+\hat{2}x^2+\hat{4}x+\hat{3}.

Arătați că funcția f\displaystyle f nu este surjectivă.
Vezi rezolvarea
  1. Domeniul și codomeniul sunt aceeași mulțime finită, cu 5\displaystyle 5 elemente. Dacă arătăm că f\displaystyle f nu este injectivă, atunci imaginea ei are mai puțin de 5\displaystyle 5 elemente, deci f\displaystyle f nu poate fi surjectivă. Calculăm valorile lui f\displaystyle f pe toate elementele lui Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5, cu calculul făcut modulo 5\displaystyle 5.
    Z5={0^,1^,2^,3^,4^}\displaystyle \mathbb{Z}_5=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}\}
  2. Pentru 0^\displaystyle \hat{0} și 1^\displaystyle \hat{1} obținem: f(0^)=3^\displaystyle f(\hat{0})=\hat{3}, iar f(1^)=1^+2^+4^+3^=10^=0^\displaystyle f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{2}+\hat{4}+\hat{3}=\hat{10}=\hat{0}.
    f(0^)=3^\displaystyle f(\hat{0})=\hat{3},f(1^)=0^\displaystyle \quad f(\hat{1})=\hat{0}
  3. Pentru 2^\displaystyle \hat{2}: f(2^)=8^+2^⋅4^+4^⋅2^+3^=27^=2^\displaystyle f(\hat{2})=\hat{8}+\hat{2}\cdot\hat{4}+\hat{4}\cdot\hat{2}+\hat{3}=\hat{27}=\hat{2}.
    f(2^)=2^\displaystyle f(\hat{2})=\hat{2}
  4. Pentru 3^\displaystyle \hat{3}: f(3^)=27^+2^⋅9^+12^+3^=60^=0^\displaystyle f(\hat{3})=\hat{27}+\hat{2}\cdot\hat{9}+\hat{12}+\hat{3}=\hat{60}=\hat{0}. Pentru 4^\displaystyle \hat{4}: f(4^)=64^+2^⋅16^+16^+3^=115^=0^\displaystyle f(\hat{4})=\hat{64}+\hat{2}\cdot\hat{16}+\hat{16}+\hat{3}=\hat{115}=\hat{0}.
    f(3^)=0^\displaystyle f(\hat{3})=\hat{0},f(4^)=0^\displaystyle \quad f(\hat{4})=\hat{0}
  5. Avem f(1^)=f(3^)=0^\displaystyle f(\hat{1})=f(\hat{3})=\hat{0}, deși 1^≠3^\displaystyle \hat{1}\neq\hat{3}. Deci f\displaystyle f nu este injectivă.
    f(1^)=f(3^), deci f nu este injectiva˘\displaystyle f(\hat{1})=f(\hat{3})\text{, deci }f\text{ nu este injectivă}
  6. Imaginea lui f\displaystyle f este formată din valorile 0^\displaystyle \hat{0}, 2^\displaystyle \hat{2} și 3^\displaystyle \hat{3}, deci are doar 3\displaystyle 3 elemente, iar Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5 are 5\displaystyle 5 elemente. Așadar imaginea nu poate avea 5\displaystyle 5 elemente și f\displaystyle f nu este surjectivă.
    Im⁡f={0^,2^,3^}≠Z5, deci f nu este surjectiva˘\displaystyle \operatorname{Im}f=\{\hat{0},\hat{2},\hat{3}\}\neq\mathbb{Z}_5\text{, deci }f\text{ nu este surjectivă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+9x2+3\displaystyle f(x)=\frac{x+9}{\sqrt{x^2+3}}.

Arătați că f′(x)x2+3=3−9xx2+3\displaystyle f'(x)\sqrt{x^2+3}=\frac{3-9x}{x^2+3}, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, unde u=x+9\displaystyle u=x+9 și v=x2+3\displaystyle v=\sqrt{x^2+3}.
    f′(x)=(x+9)′x2+3−(x+9)(x2+3)′(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x+9)'\sqrt{x^2+3}-(x+9)\left(\sqrt{x^2+3}\right)'}{\left(\sqrt{x^2+3}\right)^{2}}
  2. Calculăm derivatele: u′=1\displaystyle u'=1 și v′=2x2x2+3=xx2+3\displaystyle v'=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+3}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}.
    u′=1\displaystyle u'=1,v′=xx2+3\displaystyle \quad v'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}
  3. Înlocuim în formulă; numitorul este (x2+3)2=x2+3\displaystyle \left(\sqrt{x^2+3}\right)^{2}=x^2+3.
    f′(x)=x2+3−x(x+9)x2+3x2+3\displaystyle f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+3}-\dfrac{x(x+9)}{\sqrt{x^2+3}}}{x^2+3}
  4. Aducem numărătorul la același numitor: x2+3=x2+3x2+3\displaystyle \sqrt{x^2+3}=\dfrac{x^2+3}{\sqrt{x^2+3}}.
    f′(x)=x2+3−x2−9xx2+3x2+3\displaystyle f'(x)=\dfrac{\dfrac{x^2+3-x^2-9x}{\sqrt{x^2+3}}}{x^2+3}
  5. Reducem termenii asemenea: x2+3−x2−9x=3−9x\displaystyle x^2+3-x^2-9x=3-9x. Obținem derivata funcției.
    f′(x)=3−9x(x2+3)x2+3\displaystyle f'(x)=\dfrac{3-9x}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3}}
  6. Înmulțim cu x2+3\displaystyle \sqrt{x^2+3}; radicalul se simplifică cu cel de la numitor, deci rezultă egalitatea cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)x2+3=3−9xx2+3\displaystyle f'(x)\sqrt{x^2+3}=\dfrac{3-9x}{x^2+3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+9x2+3\displaystyle f(x)=\frac{x+9}{\sqrt{x^2+3}}.

Determinați asimptota spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty există dacă limita funcției la +∞\displaystyle +\infty este un număr real. Calculăm lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x+9x2+3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+9}{\sqrt{x^{2}+3}}, o nedeterminare de forma ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}.
    lim⁡x→+∞x+9x2+3 de forma ∞∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+9}{\sqrt{x^{2}+3}}\ \text{de forma}\ \dfrac{\infty}{\infty}
  2. Scoatem factor comun pe x\displaystyle x la numărător și la numitor. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x2=x\displaystyle \sqrt{x^{2}}=x, deci x2+3=x1+3x2\displaystyle \sqrt{x^{2}+3}=x\sqrt{1+\dfrac{3}{x^{2}}}, iar x+9=x(1+9x)\displaystyle x+9=x\left(1+\dfrac{9}{x}\right).
    f(x)=x(1+9x)x1+3x2=1+9x1+3x2\displaystyle f(x)=\dfrac{x\left(1+\dfrac{9}{x}\right)}{x\sqrt{1+\dfrac{3}{x^{2}}}}=\dfrac{1+\dfrac{9}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{3}{x^{2}}}}
  3. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, fracțiile 9x\displaystyle \dfrac{9}{x} și 3x2\displaystyle \dfrac{3}{x^{2}} tind la 0\displaystyle 0, deci limita este 1+01+0=1\displaystyle \dfrac{1+0}{\sqrt{1+0}}=1.
    lim⁡x→+∞f(x)=1+01+0=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\dfrac{1+0}{\sqrt{1+0}}=1
  4. Deoarece limita la +∞\displaystyle +\infty este finită și egală cu 1\displaystyle 1, graficul funcției are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty dreapta y=1\displaystyle y=1.
    y=1\displaystyle y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+9x2+3\displaystyle f(x)=\frac{x+9}{\sqrt{x^2+3}}.

Determinați imaginea funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Scriem f(x)=(x+9)(x2+3)−12\displaystyle f(x)=(x+9)(x^2+3)^{-\frac{1}{2}} și derivăm: f′(x)=(x2+3)−12−x(x+9)(x2+3)−32\displaystyle f'(x)=(x^2+3)^{-\frac{1}{2}}-x(x+9)(x^2+3)^{-\frac{3}{2}}.
    f′(x)=(x2+3)−x(x+9)(x2+3)x2+3\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x^2+3)-x(x+9)}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3}}
  2. Simplificăm numărătorul: x2+3−x2−9x=3−9x\displaystyle x^2+3-x^2-9x=3-9x. Numitorul este mereu pozitiv, deci semnul derivatei este dat de 3−9x\displaystyle 3-9x.
    f′(x)=3−9x(x2+3)x2+3\displaystyle f'(x)=\dfrac{3-9x}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3}}
  3. Rezolvăm f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0, adică 3−9x=0\displaystyle 3-9x=0, deci x=13\displaystyle x=\dfrac{1}{3}. Pentru x<13\displaystyle x<\dfrac{1}{3} avem f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, deci f\displaystyle f este strict crescătoare pe (−∞,13]\displaystyle \left(-\infty,\dfrac{1}{3}\right]. Pentru x>13\displaystyle x>\dfrac{1}{3} avem f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0, deci f\displaystyle f este strict descrescătoare pe [13,+∞)\displaystyle \left[\dfrac{1}{3},+\infty\right). Așadar x=13\displaystyle x=\dfrac{1}{3} este punct de maxim.
    f↗ pe (−∞,13]\displaystyle f\nearrow\text{ pe }\left(-\infty,\tfrac{1}{3}\right],f↘ pe [13,+∞)\displaystyle \quad f\searrow\text{ pe }\left[\tfrac{1}{3},+\infty\right)
  4. Calculăm limitele la capete. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty avem x2+3=x1+3x2\displaystyle \sqrt{x^2+3}=x\sqrt{1+\dfrac{3}{x^2}}, deci f(x)=1+9x1+3x2→1\displaystyle f(x)=\dfrac{1+\frac{9}{x}}{\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}}\to 1. Pentru x→−∞\displaystyle x\to-\infty avem x2+3=−x1+3x2\displaystyle \sqrt{x^2+3}=-x\sqrt{1+\dfrac{3}{x^2}}, deci f(x)=−1+9x1+3x2→−1\displaystyle f(x)=-\dfrac{1+\frac{9}{x}}{\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}}\to -1.
    lim⁡x→+∞f(x)=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=1, lim⁡x→−∞f(x)=−1\displaystyle \ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-1
  5. Calculăm valoarea maximă, în x=13\displaystyle x=\dfrac{1}{3}. Avem 13+9=283\displaystyle \dfrac{1}{3}+9=\dfrac{28}{3} și 19+3=289\displaystyle \dfrac{1}{9}+3=\dfrac{28}{9}, deci radicalul este 273\displaystyle \dfrac{2\sqrt{7}}{3}. Atunci f(13)=28/327/3=147=27\displaystyle f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{28/3}{2\sqrt{7}/3}=\dfrac{14}{\sqrt{7}}=2\sqrt{7}.
    f(13)=27\displaystyle f\left(\dfrac{1}{3}\right)=2\sqrt{7}
  6. Funcția f\displaystyle f este continuă. Pe (−∞,13]\displaystyle \left(-\infty,\dfrac{1}{3}\right] este strict crescătoare, de la limita −1\displaystyle -1 (neatinsă) la 27\displaystyle 2\sqrt{7}, deci ia toate valorile din (−1,27]\displaystyle \left(-1,2\sqrt{7}\right]. Pe [13,+∞)\displaystyle \left[\dfrac{1}{3},+\infty\right) este strict descrescătoare, de la 27\displaystyle 2\sqrt{7} la limita 1\displaystyle 1 (neatinsă), deci ia valorile din (1,27]\displaystyle \left(1,2\sqrt{7}\right], conținute în primul interval. Reunind, imaginea funcției este intervalul (−1,27]\displaystyle \left(-1,2\sqrt{7}\right].
    Im⁡f=(−1,27]\displaystyle \operatorname{Im}f=\left(-1,2\sqrt{7}\right]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln x.

Arătați că funcția F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=xln⁡x−x\displaystyle F(x)=x\ln x-x este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim definiția: F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f dacă F\displaystyle F este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x>0\displaystyle x>0. Deci derivăm F(x)=xln⁡x−x\displaystyle F(x)=x\ln x-x.
    F′(x)=(xln⁡x−x)′\displaystyle F'(x)=(x\ln x-x)'
  2. Derivăm produsul cu formula (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v', unde u=x\displaystyle u=x și v=ln⁡x\displaystyle v=\ln x. Avem (xln⁡x)′=1⋅ln⁡x+x⋅1x\displaystyle (x\ln x)'=1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}, iar (x)′=1\displaystyle (x)'=1.
    (xln⁡x)′=ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1\displaystyle (x\ln x)'=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+1
  3. Scădem derivata lui x\displaystyle x și reducem termenii: F′(x)=ln⁡x+1−1\displaystyle F'(x)=\ln x+1-1, pentru orice x>0\displaystyle x>0.
    F′(x)=ln⁡x\displaystyle F'(x)=\ln x, ∀x>0\displaystyle \ \forall x>0
  4. Deoarece F′(x)=ln⁡x=f(x)\displaystyle F'(x)=\ln x=f(x) pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), funcția F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f.
    F′=f\displaystyle F'=f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln x.

Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=1\displaystyle x=1 și x=e\displaystyle x=e.
Vezi rezolvarea
  1. Aria suprafeței delimitate de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele x=1\displaystyle x=1 și x=e\displaystyle x=e se calculează cu integrala modulului funcției pe intervalul [1,e]\displaystyle [1,e].
    A=∫1e∣ln⁡x∣ dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^e|\ln x|\,dx
  2. Pentru x∈[1,e]\displaystyle x\in[1,e] avem ln⁡x≥0\displaystyle \ln x\ge 0, deoarece x≥1\displaystyle x\ge 1. Deci modulul dispare.
    ∣ln⁡x∣=ln⁡x ⇒ A=∫1eln⁡x dx\displaystyle |\ln x|=\ln x\ \Rightarrow\ \mathcal{A}=\int_1^e\ln x\,dx
  3. Calculăm integrala prin părți. Alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=dx\displaystyle dv=dx, deci du=1x dx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}\,dx și v=x\displaystyle v=x.
    ∫ln⁡x dx=xln⁡x−∫x⋅1x dx\displaystyle \int\ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\dfrac{1}{x}\,dx
  4. Simplificăm și obținem o primitivă a lui ln⁡x\displaystyle \ln x.
    F(x)=xln⁡x−x\displaystyle F(x)=x\ln x-x
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm F(e)−F(1)\displaystyle F(e)-F(1). Avem F(e)=e⋅1−e=0\displaystyle F(e)=e\cdot 1-e=0 și F(1)=1⋅0−1=−1\displaystyle F(1)=1\cdot 0-1=-1. Aria este 0−(−1)=1\displaystyle 0-(-1)=1.
    A=F(x)∣1e=0−(−1)=1\displaystyle \mathcal{A}=F(x)\Big|_1^e=0-(-1)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln x.

Arătați că (p+1)∫1xfp(t) dt+∫1xfp+1(t) dt=xfp+1(x)\displaystyle (p+1)\int_1^x f^p(t)\,dt+\int_1^x f^{p+1}(t)\,dt=xf^{p+1}(x), pentru orice x≥1\displaystyle x\geq1 și orice p>0\displaystyle p>0.
Vezi rezolvarea
  1. Interpretăm notația: fp(t)=ln⁡pt\displaystyle f^{p}(t)=\ln^{p}t. Observăm că (ln⁡t)′=1t\displaystyle (\ln t)'=\dfrac{1}{t}, deci putem scrie fp(t)=t⋅fp(t)⋅1t\displaystyle f^p(t)=t\cdot f^p(t)\cdot\dfrac{1}{t}, fără a schimba integrandul.
    (p+1)∫1xfp(t) dt=∫1xt⋅(p+1)⋅fp(t)⋅1t dt\displaystyle (p+1)\int_1^x f^p(t)\,dt=\int_1^x t\cdot(p+1)\cdot f^p(t)\cdot\frac{1}{t}\,dt
  2. Recunoaștem o derivată: (ln⁡p+1t)′=(p+1)ln⁡pt⋅1t\displaystyle \left(\ln^{p+1}t\right)'=(p+1)\ln^{p}t\cdot\dfrac{1}{t}. Deci integrala devine ∫1xt⋅(ln⁡p+1t)′ dt\displaystyle \int_1^x t\cdot\left(\ln^{p+1}t\right)'\,dt.
    ∫1xt⋅(ln⁡p+1t)′ dt\displaystyle \int_1^x t\cdot\left(\ln^{p+1}t\right)'\,dt
  3. Aplicăm integrarea prin părți cu u=t\displaystyle u=t și v=ln⁡p+1t\displaystyle v=\ln^{p+1}t, deci u′=1\displaystyle u'=1: ∫1xuv′ dt=uv∣1x−∫1xu′v dt\displaystyle \int_1^x u v'\,dt=uv\Big|_1^x-\int_1^x u'v\,dt.
    t⋅ln⁡p+1t∣1x−∫1xln⁡p+1t dt\displaystyle t\cdot\ln^{p+1}t\Big|_1^x-\int_1^x\ln^{p+1}t\,dt
  4. Calculăm termenul la limite: pentru t=x\displaystyle t=x obținem xln⁡p+1x\displaystyle x\ln^{p+1}x, iar pentru t=1\displaystyle t=1 obținem 1⋅ln⁡p+11=0\displaystyle 1\cdot\ln^{p+1}1=0, deoarece ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0 și p+1>0\displaystyle p+1>0.
    (p+1)∫1xfp(t) dt=xln⁡p+1x−∫1xln⁡p+1t dt\displaystyle (p+1)\int_1^x f^p(t)\,dt=x\ln^{p+1}x-\int_1^x\ln^{p+1}t\,dt
  5. Adunăm ∫1xfp+1(t) dt=∫1xln⁡p+1t dt\displaystyle \int_1^x f^{p+1}(t)\,dt=\int_1^x\ln^{p+1}t\,dt în ambii membri. Integralele se reduc și, cum f(x)=ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln x, rămâne xln⁡p+1x=xfp+1(x)\displaystyle x\ln^{p+1}x=xf^{p+1}(x).
    (p+1)∫1xfp(t) dt+∫1xfp+1(t) dt=xfp+1(x)\displaystyle (p+1)\int_1^x f^p(t)\,dt+\int_1^x f^{p+1}(t)\,dt=xf^{p+1}(x)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.