Bac matematică M1 mate-info 2026, sesiunea I rezervă varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 3i(2+i)+2(2−3i)=1\displaystyle 3i(2+i)+2(2-3i)=1, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Se desface prima paranteză, înmulțind 3i\displaystyle 3i cu fiecare termen din (2+i)\displaystyle (2+i).
    3i(2+i)=3i⋅2+3i⋅i=6i+3i2\displaystyle 3i(2+i)=3i\cdot 2+3i\cdot i=6i+3i^2
  2. Se desface a doua paranteză, înmulțind 2\displaystyle 2 cu fiecare termen din (2−3i)\displaystyle (2-3i).
    2(2−3i)=2⋅2−2⋅3i=4−6i\displaystyle 2(2-3i)=2\cdot 2-2\cdot 3i=4-6i
  3. Se adună cele două rezultate obținute, scriind expresia completă dezvoltată.
    3i(2+i)+2(2−3i)=6i+3i2+4−6i\displaystyle 3i(2+i)+2(2-3i)=6i+3i^2+4-6i
  4. Se înlocuiește i2=−1\displaystyle i^2=-1 în expresie, obținând 3i2=3⋅(−1)=−3\displaystyle 3i^2=3\cdot(-1)=-3.
    6i+3i2+4−6i=6i−3+4−6i\displaystyle 6i+3i^2+4-6i=6i-3+4-6i
  5. Se reduc termenii asemenea: 6i−6i\displaystyle 6i-6i se anulează, iar −3+4\displaystyle -3+4 rămân, obținându-se rezultatul final.
    −3+4=1\displaystyle -3+4=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−5\displaystyle f(x)=2x-5. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care a+f(a−1)+f(a+1)=0\displaystyle a+f(a-1)+f(a+1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu expresiile lui f(a−1)\displaystyle f(a-1) și f(a+1)\displaystyle f(a+1) folosind definiția funcției f(x)=2x−5\displaystyle f(x)=2x-5.
    f(a−1)=2(a−1)−5\displaystyle f(a-1)=2(a-1)-5,f(a+1)=2(a+1)−5\displaystyle \quad f(a+1)=2(a+1)-5
  2. Se efectuează calculele și se simplifică cele două expresii obținute.
    f(a−1)=2a−7\displaystyle f(a-1)=2a-7,f(a+1)=2a−3\displaystyle \quad f(a+1)=2a-3
  3. Se înlocuiesc valorile obținute în ecuația dată.
    a+(2a−7)+(2a−3)=0\displaystyle a+(2a-7)+(2a-3)=0
  4. Se reduc termenii asemenea și se obține ecuația liniară în a, care se rezolvă.
    5a−10=0⇒a=2\displaystyle 5a-10=0\Rightarrow a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 12log⁡2(6x−8)=log⁡2x\displaystyle \frac{1}{2}\log_2(6x-8)=\log_2 x.
Vezi rezolvarea
  1. Se stabilesc condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive.
    6x−8>0 și x>0⇒x>43\displaystyle 6x-8>0\text{ și }x>0\Rightarrow x>\frac{4}{3}
  2. Se scrie coeficientul 12\displaystyle \dfrac{1}{2} ca exponent al argumentului, folosind proprietatea alog⁡2b=log⁡2ba\displaystyle a\log_2 b=\log_2 b^a.
    log⁡26x−8=log⁡2x\displaystyle \log_2\sqrt{6x-8}=\log_2 x
  3. Cum funcția logaritmică este injectivă, se elimină logaritmul, obținând o ecuație echivalentă între argumente.
    6x−8=x\displaystyle \sqrt{6x-8}=x
  4. Se ridică la pătrat ambii membri (valabil deoarece x>0\displaystyle x>0 conform condiției de existență) și se aduce ecuația la forma standard de gradul al doilea.
    6x−8=x2⇒x2−6x+8=0\displaystyle 6x-8=x^2\Rightarrow x^2-6x+8=0
  5. Se calculează discriminantul ecuației de gradul al doilea.
    Δ=(−6)2−4⋅1⋅8=36−32=4\displaystyle \Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot8=36-32=4
  6. Se determină rădăcinile ecuației folosind formula de rezolvare a ecuației de gradul al doilea.
    x1,2=6±42=6±22\displaystyle x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{4}}{2}=\frac{6\pm2}{2}
  7. Se verifică dacă soluțiile obținute respectă condiția de existență x>43\displaystyle x>\frac{4}{3}: ambele valori sunt acceptate.
    x=2>43 și x=4>43, ambele convin\displaystyle x=2>\frac{4}{3}\text{ și }x=4>\frac{4}{3}\text{, ambele convin}
  8. Se scrie soluția finală a ecuației.
    x=2 sau x=4\displaystyle x=2\text{ sau }x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră mulțimea A={3,6,9,…,60}\displaystyle A=\{3,6,9,\ldots,60\}. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A\displaystyle A, acesta să fie divizibil cu 5\displaystyle 5.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică structura mulțimii A\displaystyle A: elementele sunt multiplii lui 3\displaystyle 3, de la 3\displaystyle 3 până la 60\displaystyle 60, adică o progresie aritmetică cu rația 3\displaystyle 3.
    A={3,6,9,…,60}\displaystyle A=\{3,6,9,\ldots,60\}, an=3n\displaystyle \ a_n=3n
  2. Se determină numărul total de elemente ale mulțimii A\displaystyle A, rezolvând ecuația 3n=60\displaystyle 3n=60, unde n\displaystyle n este numărul de termeni.
    3n=60⇒n=20\displaystyle 3n=60\Rightarrow n=20
  3. Se stabilește numărul de cazuri posibile, adică numărul total de elemente ale mulțimii A\displaystyle A.
    20 de cazuri posibile\displaystyle 20\text{ de cazuri posibile}
  4. Se identifică elementele din A\displaystyle A care sunt divizibile cu 5\displaystyle 5, adică acele elemente care sunt și multipli de 3\displaystyle 3, și multipli de 5\displaystyle 5, deci multipli de 15\displaystyle 15, cuprinse între 3\displaystyle 3 și 60\displaystyle 60.
    15\displaystyle 15,30\displaystyle 30,45\displaystyle 45,60∈A, divizibile cu 5\displaystyle 60\in A\text{, divizibile cu }5
  5. Se numără cazurile favorabile: elementele lui A\displaystyle A divizibile cu 5\displaystyle 5.
    4 cazuri favorabile\displaystyle 4\text{ cazuri favorabile}
  6. Se aplică formula probabilității ca raport dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, apoi se simplifică fracția obținută.
    p=420=15\displaystyle p=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,2)\displaystyle A(2,2), B(a,0)\displaystyle B(a,0) și C(1,b)\displaystyle C(1,b), unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale. Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b pentru care OB→+OC→=2OA→\displaystyle \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu coordonatele vectorilor de poziție ai punctelor A, B și C, folosind faptul că pentru un punct P(x,y)\displaystyle P(x,y), vectorul de poziție OP→\displaystyle \overrightarrow{OP} are coordonatele (x,y)\displaystyle (x,y).
    OA→=(2,2)\displaystyle \overrightarrow{OA}=(2,2), OB→=(a,0)\displaystyle \ \overrightarrow{OB}=(a,0), OC→=(1,b)\displaystyle \ \overrightarrow{OC}=(1,b)
  2. Se pornește de la relația vectorială dată în enunț și se împarte prin 2\displaystyle 2 pentru a izola vectorul OA→\displaystyle \overrightarrow{OA}, obținând că A este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC.
    OA→=12(OB→+OC→)\displaystyle \overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})
  3. Se înlocuiesc coordonatele vectorilor OA→\displaystyle \overrightarrow{OA}, OB→\displaystyle \overrightarrow{OB} și OC→\displaystyle \overrightarrow{OC} în relația obținută, scriind egalitatea pe componente (coordonatele x\displaystyle x și y\displaystyle y separat).
    (2,2)=12((a,0)+(1,b))=(a+12,0+b2)\displaystyle (2,2)=\frac{1}{2}\left((a,0)+(1,b)\right)=\left(\frac{a+1}{2},\frac{0+b}{2}\right)
  4. Se egalează separat coordonatele corespunzătoare (abscisele, respectiv ordonatele) și se rezolvă sistemul de ecuații obținut pentru a determina valorile lui a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    a+12=2\displaystyle \frac{a+1}{2}=2, 0+b2=2⇒a=3\displaystyle \ \frac{0+b}{2}=2 \Rightarrow a=3, b=4\displaystyle \ b=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AC=6\displaystyle AC=6 și B=π3\displaystyle B=\frac{\pi}{3}. Arătați că aria triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 63\displaystyle 6\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică elementele triunghiului dreptunghic: unghiul drept este în A\displaystyle A, deci catetele sunt AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC, iar unghiul B\displaystyle B are măsura π3\displaystyle \dfrac{\pi}{3}.
    ∠A=π2\displaystyle \angle A=\frac{\pi}{2}, AC=6\displaystyle \ AC=6, ∠B=π3\displaystyle \ \angle B=\frac{\pi}{3}
  2. Se scrie relația trigonometrică pentru tangenta unghiului B\displaystyle B în triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC, unde cateta opusă este AC\displaystyle AC, iar cateta alăturată este AB\displaystyle AB.
    tan⁡B=ACAB\displaystyle \tan B=\frac{AC}{AB}
  3. Se înlocuiește tan⁡(π3)\displaystyle \tan(\dfrac{\pi}{3}) cu valoarea sa exactă și se determină lungimea catetei AB\displaystyle AB.
    3=6AB⇒AB=63=23\displaystyle \sqrt{3}=\frac{6}{AB}\Rightarrow AB=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}
  4. Se aplică formula ariei triunghiului dreptunghic, ca semiprodusul celor două catete AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC.
    A△ABC=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}_{\triangle ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}
  5. Se înlocuiesc valorile catetelor AB=23\displaystyle AB=2\sqrt{3} și AC=6\displaystyle AC=6 și se calculează aria triunghiului.
    A△ABC=23⋅62=63\displaystyle \mathcal{A}_{\triangle ABC}=\frac{2\sqrt{3}\cdot 6}{2}=6\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(a)=(2a−1210−1−a022a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2a-1&2&1\\0&-1&-a\\0&2&2a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(3))=0\displaystyle \det(A(3))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=3\displaystyle a=3 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și se scrie determinantul corespunzător.
    A(3)=(5210−1−3026)⇒det⁡(A(3))=∣5210−1−3026∣\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}5&2&1\\0&-1&-3\\0&2&6\end{pmatrix}\Rightarrow \det(A(3))=\begin{vmatrix}5&2&1\\0&-1&-3\\0&2&6\end{vmatrix}
  2. Se aplică regula lui Sarrus pentru determinantul de ordin 3, scriind cei șase termeni ai formulei generale.
    det⁡(A(3))=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33\displaystyle \det(A(3))=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}
  3. Se înlocuiesc valorile elementelor matricei A(3)\displaystyle A(3) în formula lui Sarrus, obținându-se termenii numerici.
    det⁡(A(3))=5⋅(−1)⋅6+2⋅(−3)⋅0+1⋅0⋅2−1⋅(−1)⋅0−5⋅(−3)⋅2−2⋅0⋅6\displaystyle \det(A(3))=5\cdot(-1)\cdot6+2\cdot(-3)\cdot0+1\cdot0\cdot2-1\cdot(-1)\cdot0-5\cdot(-3)\cdot2-2\cdot0\cdot6
  4. Se efectuează calculele și se însumează termenii pentru a obține valoarea determinantului.
    =−30+0+0−0+30−0=0\displaystyle =-30+0+0-0+30-0=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(a)=(2a−1210−1−a022a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2a-1&2&1\\0&-1&-a\\0&2&2a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(a)⋅A(a)=(2a−1)A(a)\displaystyle A(a)\cdot A(a)=(2a-1)A(a), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează fiecare element al produsului A(a)⋅A(a)\displaystyle A(a)\cdot A(a), înmulțind liniile lui A(a)\displaystyle A(a) cu coloanele lui A(a)\displaystyle A(a).
    a11=(2a−1)2\displaystyle a_{11}=(2a-1)^2, a12=(2a−1)⋅2+2⋅(−1)+1⋅2=4a−2\displaystyle \ a_{12}=(2a-1)\cdot2+2\cdot(-1)+1\cdot2=4a-2, a13=(2a−1)⋅1+2⋅(−a)+1⋅2a=2a−1\displaystyle \ a_{13}=(2a-1)\cdot1+2\cdot(-a)+1\cdot2a=2a-1
  2. Se calculează și elementele rămase, de pe liniile a doua și a treia ale produsului.
    a21=0\displaystyle a_{21}=0, a22=0⋅2+(−1)(−1)+(−a)⋅2=1−2a\displaystyle \ a_{22}=0\cdot2+(-1)(-1)+(-a)\cdot2=1-2a, a23=0⋅1+(−1)(−a)+(−a)(2a)=a−2a2\displaystyle \ a_{23}=0\cdot1+(-1)(-a)+(-a)(2a)=a-2a^2, a31=0\displaystyle \ a_{31}=0, a32=0⋅2+2⋅(−1)+2a⋅2=4a−2\displaystyle \ a_{32}=0\cdot2+2\cdot(-1)+2a\cdot2=4a-2, a33=0⋅1+2⋅(−a)+2a⋅2a=4a2−2a\displaystyle \ a_{33}=0\cdot1+2\cdot(-a)+2a\cdot2a=4a^2-2a
  3. Se asamblează matricea produs A(a)⋅A(a)\displaystyle A(a)\cdot A(a) folosind elementele calculate anterior.
    A(a)⋅A(a)=((2a−1)24a−22a−101−2aa−2a20−2+4a−2a+4a2)\displaystyle A(a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}(2a-1)^2&4a-2&2a-1\\0&1-2a&a-2a^2\\0&-2+4a&-2a+4a^2\end{pmatrix}
  4. Se observă că fiecare element al matricei obținute conține factorul comun (2a−1)\displaystyle (2a-1) și se scoate acest factor în evidență pentru fiecare poziție.
    (2a−1)2=(2a−1)⋅(2a−1)\displaystyle (2a-1)^2=(2a-1)\cdot(2a-1), 4a−2=2(2a−1)\displaystyle \ 4a-2=2(2a-1), 2a−1=1⋅(2a−1)\displaystyle \ 2a-1=1\cdot(2a-1), 1−2a=−(2a−1)\displaystyle \ 1-2a=-(2a-1), a−2a2=−a(2a−1)\displaystyle \ a-2a^2=-a(2a-1), −2+4a=2(2a−1)\displaystyle \ -2+4a=2(2a-1), −2a+4a2=2a(2a−1)\displaystyle \ -2a+4a^2=2a(2a-1)
  5. Se rescrie matricea produs punând în evidență factorul comun (2a−1)\displaystyle (2a-1) pe fiecare linie, obținându-se astfel exact matricea (2a−1)A(a)\displaystyle (2a-1)A(a).
    =((2a−1)22(2a−1)2a−10−(2a−1)−a(2a−1)02(2a−1)2a(2a−1))=(2a−1)A(a)\displaystyle =\begin{pmatrix}(2a-1)^2&2(2a-1)&2a-1\\0&-(2a-1)&-a(2a-1)\\0&2(2a-1)&2a(2a-1)\end{pmatrix}=(2a-1)A(a)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(a)=(2a−1210−1−a022a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2a-1&2&1\\0&-1&-a\\0&2&2a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Se consideră matricea B(n)=A(n)+nI3\displaystyle B(n)=A(n)+nI_3, unde n\displaystyle n este număr natural. Determinați numărul natural n\displaystyle n pentru care A(n)⋅B(n)=2n2A(n)\displaystyle A(n)\cdot B(n)=2n^2A(n).
Vezi rezolvarea
  1. Se reamintește rezultatul stabilit anterior (din subpunctul b): calculând produsul A(a)⋅A(a)\displaystyle A(a)\cdot A(a), se obține că pătratul matricei A(a)\displaystyle A(a) este proporțional cu A(a)\displaystyle A(a) însuși.
    A(a)2=(2a−1)⋅A(a)\displaystyle A(a)^2=(2a-1)\cdot A(a), pentru orice a∈R\displaystyle \ \text{pentru orice } a\in\mathbb{R}
  2. Se scrie matricea B(n)\displaystyle B(n), definită în enunț ca B(n)=A(n)+nI3\displaystyle B(n)=A(n)+nI_{3}, și se calculează produsul A(n)⋅B(n)\displaystyle A(n)\cdot B(n) folosind proprietatea de distributivitate a înmulțirii matricelor.
    A(n)⋅B(n)=A(n)⋅(A(n)+nI3)=A(n)⋅A(n)+n⋅A(n)⋅I3=A(n)2+nA(n)\displaystyle A(n)\cdot B(n)=A(n)\cdot\big(A(n)+nI_3\big)=A(n)\cdot A(n)+n\cdot A(n)\cdot I_3=A(n)^2+nA(n)
  3. Se înlocuiește A(n)2\displaystyle A(n)^{2} cu (2n−1)A(n)\displaystyle (2n-1)A(n), rezultatul obținut la subpunctul anterior, și se grupează termenii care conțin A(n)\displaystyle A(n).
    A(n)2+nA(n)=(2n−1)A(n)+nA(n)=(2n−1+n)A(n)=(3n−1)A(n)\displaystyle A(n)^2+nA(n)=(2n-1)A(n)+nA(n)=(2n-1+n)A(n)=(3n-1)A(n)
  4. Se scrie ecuația din enunț care trebuie rezolvată pentru n număr natural, folosind egalitatea A(n)⋅B(n)=2n2⋅A(n)\displaystyle A(n)\cdot B(n)=2n^{2}\cdot A(n), și se înlocuiește A(n)⋅B(n)\displaystyle A(n)\cdot B(n) cu expresia găsită mai sus.
    (3n−1)A(n)=2n2A(n)\displaystyle (3n-1)A(n)=2n^2A(n)
  5. Se observă că matricea A(n)\displaystyle A(n) nu este matricea nulă pentru niciun n (de exemplu, elementul de pe poziția (1,2)\displaystyle (1,2) este întotdeauna egal cu 2), deci putem scrie egalitatea sub forma (2n2−3n+1)A(n)=O3\displaystyle (2n^{2}-3n+1)A(n)=O_{3}, ceea ce implică anularea scalarului.
    (2n2−3n+1)A(n)=O3  și A(n)≠O3⇒2n2−3n+1=0\displaystyle (2n^2-3n+1)A(n)=O_3\ \text{ și } A(n)\neq O_3 \Rightarrow 2n^2-3n+1=0
  6. Se rezolvă ecuația de gradul al doilea în n, obținându-se rădăcinile posibile, apoi se reține doar soluția care este număr natural.
    2n2−3n+1=0⇒n=1 sau n=12⇒n∈N⇒n=1\displaystyle 2n^2-3n+1=0\Rightarrow n=1\text{ sau }n=\frac{1}{2}\Rightarrow n\in\mathbb{N}\Rightarrow n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X4−X3+aX2+bX−6\displaystyle f=X^4-X^3+aX^2+bX-6, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Pentru a=4\displaystyle a=4 și b=0\displaystyle b=0, arătați că f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la valorile determinate anterior pentru parametrii reali a\displaystyle a și b\displaystyle b (a=4\displaystyle a=4, b=0\displaystyle b=0) și se înlocuiesc în expresia polinomului f\displaystyle f.
    f=X4−X3+aX2+bX−6, cu a=4 și b=0⇒f=X4−X3+4X2−6\displaystyle f=X^4-X^3+aX^2+bX-6\text{, cu }a=4\text{ și }b=0\Rightarrow f=X^4-X^3+4X^2-6
  2. Se scrie polinomul f\displaystyle f cu valorile lui a\displaystyle a și b\displaystyle b substituite, apoi se calculează valoarea polinomului în x=−1\displaystyle x=-1, înlocuind X\displaystyle X cu −1\displaystyle -1 în fiecare termen.
    f=X4−X3+4X2−6⇒f(−1)=(−1)4−(−1)3+4(−1)2−6\displaystyle f=X^4-X^3+4X^2-6 \Rightarrow f(-1)=(-1)^4-(-1)^3+4(-1)^2-6
  3. Se calculează separat fiecare putere a lui −1\displaystyle -1 pentru a evita erorile de semn.
    (−1)4=1, (−1)3=−1, (−1)2=1\displaystyle (-1)^4=1\text{, }(-1)^3=-1\text{, }(-1)^2=1
  4. Se înlocuiesc valorile puterilor obținute în expresia lui f(−1)\displaystyle f(-1), obținându-se o sumă de numere.
    f(−1)=1−(−1)+4⋅1−6=1+1+4−6\displaystyle f(-1)=1-(-1)+4\cdot 1-6=1+1+4-6
  5. Se efectuează adunările și scăderile pentru a obține valoarea finală a lui f(−1)\displaystyle f(-1), confirmând că x=−1\displaystyle x=-1 este rădăcină a polinomului.
    f(−1)=1+1+4−6=0\displaystyle f(-1)=1+1+4-6=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X4−X3+aX2+bX−6\displaystyle f=X^4-X^3+aX^2+bX-6, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Pentru a=b=1\displaystyle a=b=1, determinați câtul și restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la polinomul g=X2−X+1\displaystyle g=X^2-X+1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie polinomul f pentru valorile particulare a=1\displaystyle a=1, b=1\displaystyle b=1, indicate de barem: f=X4−X3+X2+X−6\displaystyle f=X^{4}-X^{3}+X^{2}+X-6. Se alege împărțitorul X2−X+1\displaystyle X^{2}-X+1 și se pornește împărțirea polinoamelor, comparând termenul de grad maxim al lui f cu cel al împărțitorului.
    f=X4−X3+X2+X−6\displaystyle f=X^4-X^3+X^2+X-6, ıˆmpa˘rțitor: X2−X+1\displaystyle \ \text{împărțitor: } X^2-X+1
  2. Se împarte termenul de grad 4 al lui f, X4\displaystyle X^{4}, la termenul de grad 2 al împărțitorului, X2\displaystyle X^{2}, obținându-se primul termen al câtului, X2\displaystyle X^{2}.
    X4X2=X2\displaystyle \frac{X^4}{X^2}=X^2
  3. Se înmulțește împărțitorul X2−X+1\displaystyle X^{2}-X+1 cu termenul obținut, X2\displaystyle X^{2}, și se scade rezultatul din f, pentru a obține restul parțial.
    (X2−X+1)⋅X2=X4−X3+X2\displaystyle (X^2-X+1)\cdot X^2=X^4-X^3+X^2
  4. Se efectuează scăderea: f−(X4−X3+X2)=(X4−X3+X2+X−6)−(X4−X3+X2)=X−6\displaystyle f-(X^{4}-X^{3}+X^{2})=(X^{4}-X^{3}+X^{2}+X-6)-(X^{4}-X^{3}+X^{2})=X-6. Deoarece gradul acestui rest (1) este mai mic decât gradul împărțitorului (2), împărțirea se oprește aici. Astfel, câtul este X2\displaystyle X^{2}, iar scrierea completă a împărțirii este cea de mai jos.
    f=X4−X3+X2+X−6=(X2−X+1)X2+X−6\displaystyle f=X^4-X^3+X^2+X-6=(X^2-X+1)X^2+X-6, caˆtul este X2\displaystyle \ \text{câtul este } X^2
  5. Se identifică restul împărțirii, care este partea rămasă după scădere, de grad mai mic decât împărțitorul.
    Restul este X−6\displaystyle \text{Restul este } X-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X4−X3+aX2+bX−6\displaystyle f=X^4-X^3+aX^2+bX-6, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Determinați perechile (a,b)\displaystyle (a,b) de numere naturale pentru care două dintre rădăcinile polinomului f\displaystyle f sunt numere opuse.
Vezi rezolvarea
  1. Presupunem că polinomul f\displaystyle f are două rădăcini opuse, notate x1\displaystyle x_1 și −x1\displaystyle -x_1, iar celelalte două rădăcini fie x3\displaystyle x_3 și x4\displaystyle x_4. Scriem condițiile ca x1\displaystyle x_1 și −x1\displaystyle -x_1 să fie rădăcini ale lui f\displaystyle f, adică f(x1)=0\displaystyle f(x_1)=0 și f(−x1)=0\displaystyle f(-x_1)=0.
    f(x1)=x14−x13+ax12+bx1−6=0\displaystyle f(x_1)=x_1^4-x_1^3+ax_1^2+bx_1-6=0, f(−x1)=x14+x13+ax12−bx1−6=0\displaystyle \ f(-x_1)=x_1^4+x_1^3+ax_1^2-bx_1-6=0
  2. Adunăm cele două relații (termenii cu puteri impare ale lui x1\displaystyle x_1 se elimină) și, separat, le scădem (termenii cu puteri pare se elimină). Obținem cele două ecuații fundamentale.
    x14+ax12−6=0 și x13−bx1=0\displaystyle x_1^4+ax_1^2-6=0\text{ și }x_1^3-bx_1=0
  3. Din a doua ecuație scoatem factor comun x1\displaystyle x_1: x1(x12−b)=0\displaystyle x_1(x_1^{2}-b)=0. Cum f(0)=−6≠0\displaystyle f(0)=-6\neq 0, valoarea x1=0\displaystyle x_1=0 nu poate fi rădăcină, deci x1≠0\displaystyle x_1\neq 0, ceea ce implică x12=b\displaystyle x_1^{2}=b.
    x1(x12−b)=0\displaystyle x_1(x_1^2-b)=0, x1≠0⇒b=x12\displaystyle \ x_1\neq 0\Rightarrow b=x_1^2
  4. Aplicăm relațiile lui Viète pentru cele patru rădăcini x1,−x1,x3,x4\displaystyle x_1,-x_1,x_3,x_4 ale polinomului monic X4−X3+aX2+bX−6\displaystyle X^{4}-X^{3}+aX^{2}+bX-6: suma rădăcinilor este 1\displaystyle 1, iar produsul lor este −6\displaystyle -6. Cum x1+(−x1)=0\displaystyle x_1+(-x_1)=0, obținem suma și produsul celorlalte două rădăcini.
    x3+x4=1\displaystyle x_3+x_4=1,(−x12)⋅x3x4=−6⇒x3x4=6x12=6b\displaystyle \quad (-x_1^2)\cdot x_3x_4=-6\Rightarrow x_3x_4=\dfrac{6}{x_1^2}=\dfrac{6}{b}
  5. Calculăm suma produselor rădăcinilor luate câte două (egală cu coeficientul a\displaystyle a al lui X2\displaystyle X^{2}): perechile care conțin atât x1\displaystyle x_1 cât și −x1\displaystyle -x_1 se anulează reciproc, rămânând doar produsul x1⋅(−x1)\displaystyle x_1\cdot(-x_1) și produsul x3x4\displaystyle x_3x_4.
    a=−x12+x3x4=−b+6b\displaystyle a=-x_1^2+x_3x_4=-b+\dfrac{6}{b}
  6. Rearanjăm egalitatea obținută pentru a elimina fracția, înmulțind cu b\displaystyle b (b≠0\displaystyle b\neq 0, deoarece x1≠0\displaystyle x_1\neq 0).
    a+b=6b⇒b(a+b)=6\displaystyle a+b=\dfrac{6}{b}\Rightarrow b(a+b)=6
  7. Căutăm soluțiile naturale (a,b)\displaystyle (a,b) ale ecuației b(a+b)=6\displaystyle b(a+b)=6, cu b≥1\displaystyle b\geq 1 divizor al lui 6\displaystyle 6. Pentru b=1\displaystyle b=1 obținem a=5\displaystyle a=5; pentru b=2\displaystyle b=2 obținem a=1\displaystyle a=1; pentru b=3\displaystyle b=3 sau b=6\displaystyle b=6 rezultă valori negative pentru a\displaystyle a, care nu sunt naturale, deci se resping. Concluzia finală, folosind și relația b=x12\displaystyle b=x_1^{2}, este:
    b=x12\displaystyle b=x_1^2, b(a+b)=6⇒(a,b)∈{(1,2),(5,1)}\displaystyle \ b(a+b)=6\Rightarrow (a,b)\in\{(1,2),(5,1)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=22x2+1−3ln⁡(2x2+1)\displaystyle f(x)=2\sqrt{2x^2+1}-3\ln(2x^2+1).

Arătați că f′(x)=4x(2x2+1−3)2x2+1\displaystyle f'(x)=\frac{4x\left(\sqrt{2x^2+1}-3\right)}{2x^2+1}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Se derivează primul termen, 22x2+1\displaystyle 2\sqrt{2x^{2}+1}, folosind regula de derivare a funcției compuse: (u)′=u′2u\displaystyle (\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}, cu u=2x2+1\displaystyle u=2x^{2}+1, u′=4x\displaystyle u'=4x.
    (22x2+1)′=2⋅4x22x2+1=4x2x2+1\displaystyle \left(2\sqrt{2x^2+1}\right)'=2\cdot\frac{4x}{2\sqrt{2x^2+1}}=\frac{4x}{\sqrt{2x^2+1}}
  2. Se derivează al doilea termen, 3ln⁡(2x2+1)\displaystyle 3\ln(2x^{2}+1), folosind regula (ln⁡u)′=u′u\displaystyle (\ln u)' = \dfrac{u'}{u}, cu u=2x2+1\displaystyle u=2x^{2}+1, u′=4x\displaystyle u'=4x.
    (3ln⁡(2x2+1))′=3⋅4x2x2+1\displaystyle \left(3\ln(2x^2+1)\right)'=3\cdot\frac{4x}{2x^2+1}
  3. Se scade derivata celui de-al doilea termen din derivata primului termen, obținând expresia derivatei funcției f\displaystyle f.
    f′(x)=4x2x2+1−3⋅4x2x2+1\displaystyle f'(x)=\frac{4x}{\sqrt{2x^2+1}}-3\cdot\frac{4x}{2x^2+1}
  4. Se aduce expresia la același numitor, 2x2+1\displaystyle 2x^{2}+1, amplificând prima fracție cu 2x2+1\displaystyle \sqrt{2x^{2}+1}.
    f′(x)=4x2x2+12x2+1−12x2x2+1=4x2x2+1−12x2x2+1\displaystyle f'(x)=\frac{4x\sqrt{2x^2+1}}{2x^2+1}-\frac{12x}{2x^2+1}=\frac{4x\sqrt{2x^2+1}-12x}{2x^2+1}
  5. Se factorizează termenul comun 4x\displaystyle 4x la numărător, obținând forma finală cerută a derivatei, valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    =4x2x2+1−12x2x2+1=4x(2x2+1−3)2x2+1\displaystyle =\frac{4x\sqrt{2x^2+1}-12x}{2x^2+1}=\frac{4x\left(\sqrt{2x^2+1}-3\right)}{2x^2+1}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=22x2+1−3ln⁡(2x2+1)\displaystyle f(x)=2\sqrt{2x^2+1}-3\ln(2x^2+1).

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează valoarea funcției în punctul x=0\displaystyle x=0, înlocuind direct în expresia lui f\displaystyle f.
    f(0)=22⋅02+1−3ln⁡(2⋅02+1)=21−3ln⁡(1)=2⋅1−3⋅0=2\displaystyle f(0)=2\sqrt{2\cdot0^2+1}-3\ln(2\cdot0^2+1)=2\sqrt{1}-3\ln(1)=2\cdot1-3\cdot0=2
  2. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f, folosind regula de derivare a compunerii pentru radical și logaritm.
    f′(x)=2⋅4x22x2+1−3⋅4x2x2+1=4x2x2+1−12x2x2+1\displaystyle f'(x)=2\cdot\frac{4x}{2\sqrt{2x^2+1}}-3\cdot\frac{4x}{2x^2+1}=\frac{4x}{\sqrt{2x^2+1}}-\frac{12x}{2x^2+1}
  3. Se calculează valoarea derivatei în x=0\displaystyle x=0, înlocuind direct în expresia lui f′\displaystyle f'.
    f′(0)=4⋅02⋅02+1−12⋅02⋅02+1=0−0=0\displaystyle f'(0)=\frac{4\cdot0}{\sqrt{2\cdot0^2+1}}-\frac{12\cdot0}{2\cdot0^2+1}=0-0=0
  4. Se centralizează rezultatele obținute pentru valoarea funcției și a derivatei în punctul x=0\displaystyle x=0.
    f(0)=2\displaystyle f(0)=2, f′(0)=0\displaystyle \ f'(0)=0
  5. Se aplică formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0.
    y−f(0)=f′(0)⋅(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)\cdot(x-0)
  6. Se înlocuiesc valorile calculate f(0)=2\displaystyle f(0)=2 și f′(0)=0\displaystyle f'(0)=0 în ecuația tangentei și se simplifică, obținând ecuația finală a tangentei.
    y−2=0⋅(x−0)⇒y=2\displaystyle y-2=0\cdot(x-0)\Rightarrow y=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=22x2+1−3ln⁡(2x2+1)\displaystyle f(x)=2\sqrt{2x^2+1}-3\ln(2x^2+1).

Demonstrați că ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are exact două soluții, pentru orice m∈(2,+∞)\displaystyle m\in(2,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata funcției f, scriind-o sub o formă convenabilă pentru studiul semnului.
    f′(x)=4x2x2+1−12x2x2+1=4x(2x2+1−3)2x2+1\displaystyle f'(x)=\frac{4x}{\sqrt{2x^2+1}}-\frac{12x}{2x^2+1}=\frac{4x\left(\sqrt{2x^2+1}-3\right)}{2x^2+1}
  2. Se rezolvă ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0: cum numitorul 2x2+1>0\displaystyle 2x^2+1>0, rezultă x=0\displaystyle x=0 sau 2x2+1=3\displaystyle \sqrt{2x^2+1}=3, adică x=±2\displaystyle x=\pm 2.
    f′(x)=0⇔x=0 sau 2x2+1=3⇔x∈{−2,0,2}\displaystyle f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0 \text{ sau } \sqrt{2x^2+1}=3 \Leftrightarrow x\in\{-2,0,2\}
  3. Se studiază semnul lui f′(x)=4x(2x2+1−3)2x2+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x(\sqrt{2x^2+1}-3)}{2x^2+1} pe fiecare interval determinat de punctele critice, ținând cont că 2x2+1−3<0\displaystyle \sqrt{2x^2+1}-3<0 pentru ∣x∣<2\displaystyle |x|<2 și >0\displaystyle >0 pentru ∣x∣>2\displaystyle |x|>2, iar semnul lui x\displaystyle x se combină cu acesta.
    f′(x)<0 pe (−∞,−2); f′(x)>0 pe (−2,0); f′(x)<0 pe (0,2); f′(x)>0 pe (2,+∞)\displaystyle f'(x)<0\text{ pe }(-\infty,-2);\ f'(x)>0\text{ pe }(-2,0);\ f'(x)<0\text{ pe }(0,2);\ f'(x)>0\text{ pe }(2,+\infty)
  4. Din semnul derivatei rezultă monotonia funcției pe fiecare interval, conform pasului de control din barem.
    f′(x)=0⇔x∈{−2,0,2}; f strict descresca˘toare pe (−∞,−2)\displaystyle f'(x)=0 \Leftrightarrow x\in\{-2,0,2\};\ f \text{ strict descrescătoare pe }(-\infty,-2), cresca˘toare pe [−2,0]\displaystyle \text{ crescătoare pe }[-2,0], descresca˘toare pe [0,2]\displaystyle \text{ descrescătoare pe }[0,2], strict cresca˘toare pe (2,+∞)\displaystyle \text{ strict crescătoare pe }(2,+\infty)
  5. Se calculează limitele funcției la ±∞\displaystyle \pm\infty: termenul 22x2+1\displaystyle 2\sqrt{2x^2+1} crește mai repede decât 3ln⁡(2x2+1)\displaystyle 3\ln(2x^2+1), deci diferența tinde la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
  6. Se calculează valoarea funcției în punctul critic x=0\displaystyle x=0, care este maxim local.
    f(0)=22⋅02+1−3ln⁡(2⋅02+1)=2⋅1−3⋅0=2\displaystyle f(0)=2\sqrt{2\cdot 0^2+1}-3\ln(2\cdot 0^2+1)=2\cdot 1-3\cdot 0=2
  7. Se calculează valorile minimelor locale în x=−2\displaystyle x=-2 și x=2\displaystyle x=2 (funcția fiind pară, cele două minime sunt egale), pentru a stabili forma completă a graficului.
    f(−2)=f(2)=29−3ln⁡9=6−6ln⁡3≈−0,59\displaystyle f(-2)=f(2)=2\sqrt{9}-3\ln 9=6-6\ln 3\approx -0{,}59
  8. Pe baza monotoniei și a acestor valori, graficul lui f coboară de la +∞\displaystyle +\infty la minimul local f(−2)≈−0,59\displaystyle f(-2)\approx -0{,}59, urcă la maximul local f(0)=2\displaystyle f(0)=2, coboară din nou la minimul local f(2)=f(−2)\displaystyle f(2)=f(-2), apoi urcă spre +∞\displaystyle +\infty. Pentru m>2\displaystyle m>2, dreapta y=m\displaystyle y=m este situată deasupra maximului local f(0)=2\displaystyle f(0)=2, deci nu poate intersecta porțiunea centrală (crescătoare pe [−2,0]\displaystyle [-2,0] și descrescătoare pe [0,2]\displaystyle [0,2], ambele mărginite superior de valoarea 2). Rămân doar cele două ramuri exterioare, strict descrescătoare respectiv strict crescătoare, fiecare surjectivă pe (f(−2),+∞)⊃(2,+∞)\displaystyle (f(-2),+\infty)\supset(2,+\infty), deci fiecare intersectează o singură dată dreapta y=m\displaystyle y=m (prin continuitate și monotonie strictă, teorema lui Darboux garantează existența, iar stricta monotonie garantează unicitatea).
    lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, f(0)=2⇒f(x)=m are exact doua˘ soluții \displaystyle \ f(0)=2 \Rightarrow f(x)=m \text{ are exact două soluții }pentru orice m∈(2,+∞)\displaystyle \text{pentru orice } m\in(2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4x3+1x+2\displaystyle f(x)=4x^3+\frac{1}{x+2}.

Arătați că ∫12(f(x)−1x+2)dx=15\displaystyle \int_{1}^{2}\left(f(x)-\frac{1}{x+2}\right)dx=15.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem expresia de integrat, pornind de la funcția dată, și simplificăm termenul comun.
    f(x)−1x+2=4x3+1x+2−1x+2=4x3\displaystyle f(x)-\frac{1}{x+2}=4x^3+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+2}=4x^3
  2. Înlocuim în integrală expresia simplificată, obținând o integrală mai simplă de calculat.
    ∫12(f(x)−1x+2)dx=∫124x3 dx\displaystyle \int_{1}^{2}\left(f(x)-\frac{1}{x+2}\right)dx=\int_{1}^{2}4x^3\,dx
  3. Determinăm o primitivă a funcției 4x3\displaystyle 4x^3, folosind formula de derivare a puterilor.
    ∫4x3 dx=x4+C\displaystyle \int 4x^3\,dx=x^4+C
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton, scriind integrala ca diferența primitivei evaluate la capetele intervalului.
    ∫12(f(x)−1x+2)dx=∫124x3dx=x4∣12\displaystyle \int_{1}^{2}\left(f(x)-\frac{1}{x+2}\right)dx=\int_{1}^{2}4x^3dx=x^4\Big|_{1}^{2}
  5. Calculăm valorile primitivei la capetele intervalului, ridicând 2\displaystyle 2 și 1\displaystyle 1 la puterea a patra.
    x4∣12=24−14\displaystyle x^4\Big|_{1}^{2}=2^4-1^4
  6. Efectuăm calculul final, obținând rezultatul integralei.
    =16−1=15\displaystyle =16-1=15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4x3+1x+2\displaystyle f(x)=4x^3+\frac{1}{x+2}.

Arătați că ∫1e4ln⁡xf(x)−4x3dx=e2+9\displaystyle \int_{1}^{e}\frac{4\ln x}{f(x)-4x^3}dx=e^2+9.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează diferența f(x)−4x3\displaystyle f(x)-4x^{3}, eliminând termenul 4x3\displaystyle 4x^{3} din expresia funcției f\displaystyle f.
    f(x)−4x3=4x3+1x+2−4x3=1x+2\displaystyle f(x)-4x^3=4x^3+\frac{1}{x+2}-4x^3=\frac{1}{x+2}
  2. Se scrie integrandul inițial și se împarte 4ln⁡x\displaystyle 4\ln x la fracția 1x+2\displaystyle \frac{1}{x+2}, ceea ce echivalează cu înmulțirea cu (x+2)\displaystyle (x+2).
    4ln⁡xf(x)−4x3=4ln⁡x1x+2=4ln⁡x (x+2)=(4x+8)ln⁡x\displaystyle \frac{4\ln x}{f(x)-4x^3}=\frac{4\ln x}{\frac{1}{x+2}}=4\ln x\,(x+2)=(4x+8)\ln x
  3. Se observă că expresia (4x+8)\displaystyle (4x+8) este derivata funcției 2x2+8x\displaystyle 2x^{2}+8x, pentru a putea aplica metoda integrării prin părți.
    (2x2+8x)′=4x+8⇒(4x+8)ln⁡x=(2x2+8x)′ln⁡x\displaystyle (2x^2+8x)'=4x+8\quad\Rightarrow\quad (4x+8)\ln x=(2x^2+8x)'\ln x
  4. Se rescrie integrala folosind observația anterioară și se aplică formula integrării prin părți: ∫u′v=uv−∫uv′\displaystyle \int u'v = uv - \int uv'.
    ∫1e4ln⁡xf(x)−4x3dx=∫1e(4x+8)ln⁡x dx=∫1e(2x2+8x)′ln⁡x dx=(2x2+8x)ln⁡x∣1e−∫1e(2x2+8x)⋅1xdx\displaystyle \int_{1}^{e}\frac{4\ln x}{f(x)-4x^3}dx=\int_{1}^{e}(4x+8)\ln x\,dx=\int_{1}^{e}(2x^2+8x)'\ln x\,dx=(2x^2+8x)\ln x\Big|_{1}^{e}-\int_{1}^{e}(2x^2+8x)\cdot\frac{1}{x}dx
  5. Se simplifică termenul 2x2+8xx=2x+8\displaystyle \frac{2x^{2}+8x}{x} = 2x+8, iar apoi se calculează primitiva acestuia, obținându-se forma completă din barem.
    (2x2+8x)ln⁡x∣1e−∫1e(2x+8)dx=(2x2+8x)ln⁡x∣1e−(x2+8x)∣1e\displaystyle (2x^2+8x)\ln x\Big|_{1}^{e}-\int_{1}^{e}(2x+8)dx=(2x^2+8x)\ln x\Big|_{1}^{e}-\left(x^2+8x\right)\Big|_{1}^{e}
  6. Se evaluează expresiile obținute la capetele intervalului [1,e]\displaystyle [1,e]: la x=e\displaystyle x=e se folosește ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1, iar la x=1\displaystyle x=1 se folosește ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    [(2e2+8e)⋅1−(e2+8e)]−[(2+8)⋅0−(1+8)]=2e2+8e−e2−8e+9\displaystyle \left[(2e^2+8e)\cdot1-(e^2+8e)\right]-\left[(2+8)\cdot0-(1+8)\right]=2e^2+8e-e^2-8e+9
  7. Se efectuează calculele finale, reducând termenii asemenea, pentru a obține rezultatul final al integralei.
    =2e2+8e−e2−8e+9=e2+9\displaystyle =2e^2+8e-e^2-8e+9=e^2+9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4x3+1x+2\displaystyle f(x)=4x^3+\frac{1}{x+2}.

Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:(−2,+∞)→R\displaystyle g:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=f(ex)−4e3x\displaystyle g(x)=f(e^x)-4e^{3x}, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=1\displaystyle x=1 este egală cu 12ln⁡3ee+2\displaystyle \frac{1}{2}\ln\frac{3e}{e+2}.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină funcția g(x)\displaystyle g(x) plecând de la f\displaystyle f, calculând f(ex)\displaystyle f(e^x) și eliminând termenul 4e3x\displaystyle 4e^{3x} care nu ține de partea fracționară.
    g(x)=f(ex)−4e3x=4e3x+1ex+2−4e3x=1ex+2\displaystyle g(x)=f(e^x)-4e^{3x}=4e^{3x}+\frac{1}{e^x+2}-4e^{3x}=\frac{1}{e^x+2}
  2. Se observă că ex+2>0\displaystyle e^x+2>0 pentru orice x real, deci g(x)>0\displaystyle g(x)>0 pe [0,1]\displaystyle [0,1], ceea ce înseamnă că ∣g(x)∣=g(x)\displaystyle |g(x)|=g(x) și modulul poate fi eliminat din integrală.
    g(x)=1ex+2>0\displaystyle g(x)=\frac{1}{e^x+2}>0, ∀x∈[0,1]⇒∣g(x)∣=g(x)\displaystyle \ \forall x\in[0,1]\Rightarrow |g(x)|=g(x)
  3. Se scrie aria cerută ca integrala funcției g pe [0,1]\displaystyle [0,1] și se rescrie integrandul astfel încât să apară fracția exex+2\displaystyle \frac{e^x}{e^x+2}, a cărei primitivă este cunoscută (logaritm).
    A=∫01g(x) dx=∫011ex+2dx=12∫01(1−exex+2)dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_{0}^{1} g(x)\,dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{e^x+2}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left(1-\frac{e^x}{e^x+2}\right)dx
  4. Se calculează separat primitivele celor doi termeni: primitiva lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, iar primitiva lui exex+2\displaystyle \frac{e^x}{e^x+2} se obține prin substituția u=ex+2\displaystyle u=e^x+2, du=exdx\displaystyle du=e^x dx, ceea ce dă ln⁡(ex+2)\displaystyle \ln(e^x+2).
    ∫011 dx=x∣01;∫01exex+2dx=ln⁡(ex+2)∣01 (u=ex+2, du=exdx)\displaystyle \int_{0}^{1}1\,dx=x\Big|_{0}^{1};\quad \int_{0}^{1}\frac{e^x}{e^x+2}dx=\ln(e^x+2)\Big|_{0}^{1}\ (u=e^x+2,\ du=e^x dx)
  5. Se combină cele două primitive calculate pentru a obține expresia completă a ariei sub formă de diferență evaluată pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1].
    g(x)=1ex+2\displaystyle g(x)=\frac{1}{e^x+2},x∈(−2,+∞)⇒A=∫01∣g(x)∣dx=12∫01(1−exex+2)dx=12(x∣01−ln⁡(ex+2)∣01)\displaystyle x\in(-2,+\infty) \Rightarrow \mathcal{A}=\int_{0}^{1}|g(x)|dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left(1-\frac{e^x}{e^x+2}\right)dx=\frac{1}{2}\left(x\Big|_{0}^{1}-\ln(e^x+2)\Big|_{0}^{1}\right)
  6. Se înlocuiesc limitele de integrare (x=1\displaystyle x=1 și x=0\displaystyle x=0), se folosesc proprietățile logaritmilor pentru a simplifica diferența de logaritmi, iar apoi se scrie 1\displaystyle 1 ca ln⁡(e)\displaystyle \ln(e) pentru a obține forma finală compactă a ariei.
    =12(1−ln⁡e+23)=12ln⁡3ee+2\displaystyle =\frac{1}{2}\left(1-\ln\frac{e+2}{3}\right)=\frac{1}{2}\ln\frac{3e}{e+2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.