Bac matematică M1 mate-info 2015, sesiunea I varianta 08: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (5+1)2+(5−1)2=12\displaystyle (\sqrt{5}+1)^2+(\sqrt{5}-1)^2=12.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm primul pătrat cu formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, unde a=5\displaystyle a=\sqrt{5} și b=1\displaystyle b=1.
    (5+1)2=(5)2+2⋅5⋅1+12\displaystyle (\sqrt{5}+1)^2=(\sqrt{5})^2+2\cdot\sqrt{5}\cdot 1+1^2
  2. Calculăm: (5)2=5\displaystyle (\sqrt{5})^2=5, iar 5+1=6\displaystyle 5+1=6.
    (5+1)2=5+25+1=6+25\displaystyle (\sqrt{5}+1)^2=5+2\sqrt{5}+1=6+2\sqrt{5}
  3. Dezvoltăm al doilea pătrat cu formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, cu a=5\displaystyle a=\sqrt{5} și b=1\displaystyle b=1.
    (5−1)2=5−25+1=6−25\displaystyle (\sqrt{5}-1)^2=5-2\sqrt{5}+1=6-2\sqrt{5}
  4. Adunăm cele două rezultate: termenii cu radical se reduc, iar 6+6=12\displaystyle 6+6=12.
    (6+25)+(6−25)=12\displaystyle (6+2\sqrt{5})+(6-2\sqrt{5})=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați produsul f(1)f(2)f(3)f(4)\displaystyle f(1)f(2)f(3)f(4), unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−3\displaystyle f(x)=x-3.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm valorile funcției în punctele 1\displaystyle 1, 2\displaystyle 2 și 4\displaystyle 4, înlocuind x\displaystyle x în formula f(x)=x−3\displaystyle f(x)=x-3. Obținem f(1)=1−3=−2\displaystyle f(1)=1-3=-2, f(2)=2−3=−1\displaystyle f(2)=2-3=-1 și f(4)=4−3=1\displaystyle f(4)=4-3=1.
    f(1)=−2\displaystyle f(1)=-2, f(2)=−1\displaystyle \ f(2)=-1, f(4)=1\displaystyle \ f(4)=1
  2. Calculăm f(3)\displaystyle f(3), valoarea care face produsul ușor de determinat: f(3)=3−3=0\displaystyle f(3)=3-3=0.
    f(3)=3−3=0\displaystyle f(3)=3-3=0
  3. Produsul conține factorul f(3)=0\displaystyle f(3)=0, iar un produs în care un factor este zero este egal cu zero. Verificăm: (−2)⋅(−1)⋅0⋅1=0\displaystyle (-2)\cdot(-1)\cdot 0\cdot 1=0.
    f(1)f(2)f(3)f(4)=(−2)⋅(−1)⋅0⋅1=0\displaystyle f(1)f(2)f(3)f(4)=(-2)\cdot(-1)\cdot 0\cdot 1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x2−4x+4)=0\displaystyle \log_2\left(x^2-4x+4\right)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Condiția de existență a logaritmului este x2−4x+4>0\displaystyle x^2-4x+4>0. Deoarece x2−4x+4=(x−2)2\displaystyle x^2-4x+4=(x-2)^2, condiția devine x≠2\displaystyle x\neq 2.
    (x−2)2>0⇔x∈R∖{2}\displaystyle (x-2)^2>0\Leftrightarrow x\in\mathbb{R}\setminus\{2\}
  2. Deoarece log⁡2a=0\displaystyle \log_2 a=0 este echivalent cu a=20=1\displaystyle a=2^0=1, obținem x2−4x+4=1\displaystyle x^2-4x+4=1.
    x2−4x+4=1\displaystyle x^2-4x+4=1
  3. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri și obținem x2−4x+3=0\displaystyle x^2-4x+3=0.
    x2−4x+4=1⇔x2−4x+3=0\displaystyle x^2-4x+4=1\Leftrightarrow x^2-4x+3=0
  4. Pentru a=1\displaystyle a=1, b=−4\displaystyle b=-4, c=3\displaystyle c=3 avem Δ=b2−4ac=16−12=4\displaystyle \Delta=b^2-4ac=16-12=4.
    Δ=(−4)2−4⋅1⋅3=4\displaystyle \Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=4
  5. Rădăcinile sunt x1,2=4±22\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{4\pm 2}{2}, adică x1=1\displaystyle x_1=1 și x2=3\displaystyle x_2=3. Ambele sunt diferite de 2\displaystyle 2, deci verifică condiția de existență; într-adevăr, pentru ambele valori argumentul este 1\displaystyle 1, iar log⁡21=0\displaystyle \log_2 1=0.
    x1=1 și x2=3, care verifica˘ ecuația \displaystyle x_1=1\text{ și }x_2=3\text{, care verifică ecuația }data˘\displaystyle \text{dată}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifrele 2\displaystyle 2, 3\displaystyle 3 și 4\displaystyle 4.
Vezi rezolvarea
  1. Un număr este impar dacă ultima cifră (cifra unităților) este impară. Dintre cifrele 2\displaystyle 2, 3\displaystyle 3 și 4\displaystyle 4, singura cifră impară este 3\displaystyle 3, deci cifra unităților trebuie să fie 3\displaystyle 3.
    Cifra unita˘ților este 3\displaystyle \text{Cifra unităților este }3
  2. Numerele au trei cifre distincte, deci folosim fiecare cifră o singură dată. După ce 3\displaystyle 3 este pe ultimul loc, cifrele 2\displaystyle 2 și 4\displaystyle 4 se așază pe primele două locuri (sutele și zecile) în două moduri: 2\displaystyle 2 apoi 4\displaystyle 4, sau 4\displaystyle 4 apoi 2\displaystyle 2.
    2!=2 moduri de aranjare\displaystyle 2!=2\text{ moduri de aranjare}
  3. Obținem numerele 243\displaystyle 243 și 423\displaystyle 423, ambele impare, cu cifre distincte. Deci se pot forma două numere.
    243 și 423, deci doua˘ numere\displaystyle 243\text{ și }423\text{, deci două numere}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,2)\displaystyle A(1,2) și B(2,3)\displaystyle B(2,3). Determinați ecuația dreptei d\displaystyle d care trece prin punctul A\displaystyle A și este perpendiculară pe dreapta AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu formula mAB=yB−yAxB−xA\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}, unde A(1,2)\displaystyle A(1,2) și B(2,3)\displaystyle B(2,3).
    mAB=3−22−1=1\displaystyle m_{AB}=\dfrac{3-2}{2-1}=1
  2. Dreapta d\displaystyle d este perpendiculară pe AB\displaystyle AB, deci md⋅mAB=−1\displaystyle m_d\cdot m_{AB}=-1. Cum mAB=1\displaystyle m_{AB}=1, obținem md⋅1=−1\displaystyle m_d\cdot 1=-1.
    mAB=1 și md⋅mAB=−1⇒md=−1\displaystyle m_{AB}=1\text{ și }m_d\cdot m_{AB}=-1\Rightarrow m_d=-1
  3. Dreapta d\displaystyle d trece prin A(1,2)\displaystyle A(1,2) și are panta md=−1\displaystyle m_d=-1, deci ecuația ei este y−yA=md(x−xA)\displaystyle y-y_A=m_d(x-x_A), adică y−2=−(x−1)\displaystyle y-2=-(x-1).
    y−2=−(x−1)\displaystyle y-2=-(x-1)
  4. Desfacem parantezele: y−2=−x+1\displaystyle y-2=-x+1, deci y=−x+3\displaystyle y=-x+3. Aceasta este ecuația dreptei d\displaystyle d.
    y=−x+3\displaystyle y=-x+3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡(π−x)+sin⁡(π+x)=0\displaystyle \sin(\pi-x)+\sin(\pi+x)=0, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula de reducere pentru unghiuri suplementare: sin⁡(π−x)=sin⁡x\displaystyle \sin(\pi-x)=\sin x, pentru orice x\displaystyle x real.
    sin⁡(π−x)=sin⁡x\displaystyle \sin(\pi-x)=\sin x
  2. Folosim formula de reducere pentru π+x\displaystyle \pi+x: adăugarea lui π\displaystyle \pi duce punctul de pe cercul trigonometric în punctul diametral opus, deci ordonata își schimbă semnul și sin⁡(π+x)=−sin⁡x\displaystyle \sin(\pi+x)=-\sin x.
    sin⁡(π+x)=−sin⁡x\displaystyle \sin(\pi+x)=-\sin x
  3. Înlocuim în suma din enunț: sin⁡(π−x)+sin⁡(π+x)=sin⁡x−sin⁡x=0\displaystyle \sin(\pi-x)+\sin(\pi+x)=\sin x-\sin x=0, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    sin⁡(π−x)+sin⁡(π+x)=sin⁡x−sin⁡x=0, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \sin(\pi-x)+\sin(\pi+x)=\sin x-\sin x=0\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea B(x)=(10x0103x01)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&0&x\\0&1&0\\3x&0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(B(0))=1\displaystyle \det(B(0))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în matricea B(x)\displaystyle B(x): elementele x\displaystyle x și 3x\displaystyle 3x devin 0\displaystyle 0, deci obținem matricea unitate de ordin 3\displaystyle 3.
    B(0)=(100010001)\displaystyle B(0)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei B(0)\displaystyle B(0).
    det⁡(B(0))=∣100010001∣\displaystyle \det(B(0))=\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}
  3. Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus: suma produselor de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, minus suma produselor de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Singurul produs nenul este 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1, restul conțin factori 0\displaystyle 0.
    det⁡(B(0))=1⋅1⋅1+0+0−0−0−0=1\displaystyle \det(B(0))=1\cdot1\cdot1+0+0-0-0-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea B(x)=(10x0103x01)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&0&x\\0&1&0\\3x&0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că B(x)+B(y)=2B(x+y2)\displaystyle B(x)+B(y)=2B\left(\frac{x+y}{2}\right), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem explicit matricele B(x)\displaystyle B(x) și B(y)\displaystyle B(y) conform definiției: B(x)\displaystyle B(x) are pe poziția (1,3) elementul x\displaystyle x și pe poziția (3,1) elementul 3x\displaystyle 3x, iar B(y)\displaystyle B(y) are y\displaystyle y și 3y\displaystyle 3y pe aceleași poziții.
    B(x)=(10x0103x01)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&0&x\\0&1&0\\3x&0&1\end{pmatrix},B(y)=(10y0103y01)\displaystyle \quad B(y)=\begin{pmatrix}1&0&y\\0&1&0\\3y&0&1\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele element cu element: pe diagonală 1+1=2\displaystyle 1+1=2, pe poziția (1,3) avem x+y\displaystyle x+y, pe poziția (3,1) avem 3x+3y\displaystyle 3x+3y, iar restul elementelor rămân 0\displaystyle 0.
    B(x)+B(y)=(20x+y0203x+3y02)\displaystyle B(x)+B(y)=\begin{pmatrix}2&0&x+y\\0&2&0\\3x+3y&0&2\end{pmatrix}
  3. Scoatem factor comun 2\displaystyle 2 din toate elementele matricei: x+y=2⋅x+y2\displaystyle x+y=2\cdot\dfrac{x+y}{2} și 3x+3y=2⋅3⋅x+y2\displaystyle 3x+3y=2\cdot 3\cdot\dfrac{x+y}{2}, iar 2=2⋅1\displaystyle 2=2\cdot 1.
    B(x)+B(y)=2(10x+y20103⋅x+y201)\displaystyle B(x)+B(y)=2\begin{pmatrix}1&0&\frac{x+y}{2}\\0&1&0\\3\cdot\frac{x+y}{2}&0&1\end{pmatrix}
  4. Matricea din paranteză are forma lui B(t)\displaystyle B(t) cu t=x+y2\displaystyle t=\dfrac{x+y}{2}, deci este B(x+y2)\displaystyle B\left(\dfrac{x+y}{2}\right). Relația are loc pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    B(x)+B(y)=2B(x+y2), pentru orice numere \displaystyle B(x)+B(y)=2B\left(\frac{x+y}{2}\right)\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea B(x)=(10x0103x01)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&0&x\\0&1&0\\3x&0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care B(x2+1)B(x)=B(x2+x+1)\displaystyle B\left(x^2+1\right)B(x)=B\left(x^2+x+1\right).
Vezi rezolvarea
  1. Notăm a=x2+1\displaystyle a=x^{2}+1 și înmulțim matricele B(a)\displaystyle B(a) și B(x)\displaystyle B(x), linie cu coloană. Prima linie a produsului este (1+3ax, 0, x+a)\displaystyle (1+3ax,\ 0,\ x+a), a doua este (0, 1, 0)\displaystyle (0,\ 1,\ 0), iar a treia este (3a+3x, 0, 3ax+1)\displaystyle (3a+3x,\ 0,\ 3ax+1).
    B(a)B(x)=(1+3ax0x+a0103a+3x03ax+1)\displaystyle B(a)B(x)=\begin{pmatrix}1+3ax&0&x+a\\0&1&0\\3a+3x&0&3ax+1\end{pmatrix}
  2. Înlocuim a=x2+1\displaystyle a=x^{2}+1 în elementele produsului. Obținem 1+3x(x2+1)=3x3+3x+1\displaystyle 1+3x(x^{2}+1)=3x^{3}+3x+1, apoi x+a=x2+x+1\displaystyle x+a=x^{2}+x+1 și 3a+3x=3(x2+x+1)\displaystyle 3a+3x=3(x^{2}+x+1). Matricea din dreapta, B(x2+x+1)\displaystyle B(x^{2}+x+1), are pe diagonală 1\displaystyle 1, iar în colțuri x2+x+1\displaystyle x^{2}+x+1 și 3(x2+x+1)\displaystyle 3(x^{2}+x+1).
    B(x2+1)B(x)=(3x3+3x+10x2+x+10103(x2+x+1)03x3+3x+1)\displaystyle B(x^{2}+1)B(x)=\begin{pmatrix}3x^{3}+3x+1&0&x^{2}+x+1\\0&1&0\\3(x^{2}+x+1)&0&3x^{3}+3x+1\end{pmatrix}, B(x2+x+1)=(10x2+x+10103(x2+x+1)01)\displaystyle \ B(x^{2}+x+1)=\begin{pmatrix}1&0&x^{2}+x+1\\0&1&0\\3(x^{2}+x+1)&0&1\end{pmatrix}
  3. Comparăm cele două matrice element cu element. Toate elementele coincid, cu excepția celor de pe diagonala principală, din colțurile stânga sus și dreapta jos. Egalitatea matricelor revine deci la ecuația 3x3+3x+1=1\displaystyle 3x^{3}+3x+1=1.
    3x3+3x+1=1\displaystyle 3x^{3}+3x+1=1
  4. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri și dăm factor comun 3x\displaystyle 3x: 3x(x2+1)=0\displaystyle 3x(x^{2}+1)=0. Cum x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0 pentru orice x\displaystyle x real, factorul x2+1\displaystyle x^{2}+1 nu se anulează, deci rămâne x=0\displaystyle x=0.
    3x3+3x+1=1⇔3x(x2+1)=0⇔x=0\displaystyle 3x^{3}+3x+1=1\Leftrightarrow 3x(x^{2}+1)=0\Leftrightarrow x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=12(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=\frac{1}{2}(x-3)(y-3)+3.

Arătați că (−3)∘3=3\displaystyle (-3)\circ3=3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii x∘y=12(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{2}(x-3)(y-3)+3 pentru x=−3\displaystyle x=-3 și y=3\displaystyle y=3.
    (−3)∘3=12(−3−3)(3−3)+3\displaystyle (-3)\circ 3=\dfrac{1}{2}(-3-3)(3-3)+3
  2. Calculăm parantezele: −3−3=−6\displaystyle -3-3=-6 și 3−3=0\displaystyle 3-3=0.
    12⋅(−6)⋅0+3\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot(-6)\cdot 0+3
  3. Produsul care conține factorul 0\displaystyle 0 este 0\displaystyle 0, deci rămâne doar termenul 3\displaystyle 3. Obținem egalitatea cerută.
    (−3)∘3=0+3=3\displaystyle (-3)\circ 3=0+3=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=12(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=\frac{1}{2}(x-3)(y-3)+3.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care n∘n=11\displaystyle n\circ n=11.
Vezi rezolvarea
  1. Din definiția legii, cu x=n\displaystyle x=n și y=n\displaystyle y=n, obținem n∘n=12(n−3)(n−3)+3\displaystyle n\circ n=\dfrac{1}{2}(n-3)(n-3)+3.
    n∘n=12(n−3)2+3\displaystyle n\circ n=\frac{1}{2}(n-3)^{2}+3
  2. Din condiția n∘n=11\displaystyle n\circ n=11 rezultă ecuația 12(n−3)2+3=11\displaystyle \dfrac{1}{2}(n-3)^{2}+3=11.
    12(n−3)2+3=11\displaystyle \frac{1}{2}(n-3)^{2}+3=11
  3. Scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri și obținem 12(n−3)2=8\displaystyle \dfrac{1}{2}(n-3)^{2}=8. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 și rezultă (n−3)2=16\displaystyle (n-3)^{2}=16.
    (n−3)2=16\displaystyle (n-3)^{2}=16
  4. Din (n−3)2=16\displaystyle (n-3)^{2}=16 rezultă n−3=4\displaystyle n-3=4 sau n−3=−4\displaystyle n-3=-4, deci n=7\displaystyle n=7 sau n=−1\displaystyle n=-1.
    n1=−1 sau n2=7\displaystyle n_1=-1\text{ sau }n_2=7
  5. Deoarece n\displaystyle n trebuie să fie număr natural, n=−1\displaystyle n=-1 nu convine, iar n=7\displaystyle n=7 convine.
    n1=−1, care nu convine, și n2=7, care convine\displaystyle n_1=-1\text{, care nu convine, și }n_2=7\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=12(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=\frac{1}{2}(x-3)(y-3)+3.

Calculați 1∘2∘3∘…∘2015\displaystyle 1\circ2\circ3\circ\ldots\circ2015.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∘3\displaystyle x\circ 3 înlocuind y=3\displaystyle y=3 în definiția legii: x∘3=12(x−3)(3−3)+3\displaystyle x\circ 3=\dfrac{1}{2}(x-3)(3-3)+3. Factorul 3−3\displaystyle 3-3 este 0\displaystyle 0, deci produsul este 0\displaystyle 0 și rămâne doar termenul 3\displaystyle 3.
    x∘3=12(x−3)⋅0+3=3\displaystyle x\circ 3=\frac{1}{2}(x-3)\cdot 0+3=3
  2. La fel, pentru 3∘y\displaystyle 3\circ y avem x=3\displaystyle x=3, deci factorul x−3\displaystyle x-3 este 0\displaystyle 0. Rezultă că 3\displaystyle 3 este element absorbant al legii, oricare ar fi numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘3=3 și 3∘y=3, pentru orice x\displaystyle x\circ 3=3\text{ și }3\circ y=3\text{, pentru orice }x,y∈R\displaystyle y\in\mathbb{R}
  3. Legea este asociativă, deci putem pune parantezele oricum în expresia 1∘2∘3∘…∘2015\displaystyle 1\circ2\circ3\circ\ldots\circ2015. Grupăm astfel încât numărul 3\displaystyle 3 să apară între doi factori: 1∘2\displaystyle 1\circ2 în stânga și 4∘5∘…∘2015\displaystyle 4\circ5\circ\ldots\circ2015 în dreapta.
    1∘2∘3∘…∘2015=(1∘2)∘3∘(4∘5∘…∘2015)\displaystyle 1\circ2\circ3\circ\ldots\circ2015=(1\circ2)\circ3\circ(4\circ5\circ\ldots\circ2015)
  4. Notăm a=1∘2\displaystyle a=1\circ2, număr real. Din a∘3=3\displaystyle a\circ3=3 obținem 3∘(4∘5∘…∘2015)\displaystyle 3\circ(4\circ5\circ\ldots\circ2015). Notăm b=4∘5∘…∘2015\displaystyle b=4\circ5\circ\ldots\circ2015, tot număr real. Din 3∘b=3\displaystyle 3\circ b=3 rezultă valoarea expresiei.
    (1∘2)∘3∘(4∘5∘…∘2015)=3∘(4∘5∘…∘2015)=3\displaystyle (1\circ2)\circ3\circ(4\circ5\circ\ldots\circ2015)=3\circ(4\circ5\circ\ldots\circ2015)=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2x−1\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x-1}.

Arătați că f′(x)=−3(x−1)2\displaystyle f'(x)=-\frac{3}{(x-1)^2}, x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât de două funcții derivabile, u(x)=x+2\displaystyle u(x)=x+2 și v(x)=x−1\displaystyle v(x)=x-1, cu v(x)≠0\displaystyle v(x)\neq 0 pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty). Folosim formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
    f′(x)=(x+2)′(x−1)−(x+2)(x−1)′(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x+2)'(x-1)-(x+2)(x-1)'}{(x-1)^{2}}
  2. Calculăm derivatele: (x+2)′=1\displaystyle (x+2)'=1 și (x−1)′=1\displaystyle (x-1)'=1. Le înlocuim în formulă.
    f′(x)=1⋅(x−1)−(x+2)⋅1(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot(x-1)-(x+2)\cdot 1}{(x-1)^{2}}
  3. Desfacem parantezele de la numărător, ținând cont de semnul minus din fața lui x+2\displaystyle x+2.
    f′(x)=x−1−x−2(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x-1-x-2}{(x-1)^{2}}
  4. Reducem termenii: x−x=0\displaystyle x-x=0, iar −1−2=−3\displaystyle -1-2=-3. Obținem rezultatul cerut, pentru x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
    f′(x)=−3(x−1)2, x∈(1,+∞)\displaystyle f'(x)=-\dfrac{3}{(x-1)^{2}}\text{, }x\in(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2x−1\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x-1}.

Arătați că funcția f\displaystyle f este convexă pe intervalul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că f\displaystyle f este convexă, calculăm derivata a doua și studiem semnul ei. Mai întâi scriem funcția sub o formă mai comodă: x+2=(x−1)+3\displaystyle x+2=(x-1)+3, deci f(x)=(x−1)+3x−1\displaystyle f(x)=\dfrac{(x-1)+3}{x-1}.
    f(x)=1+3x−1\displaystyle f(x)=1+\dfrac{3}{x-1}
  2. Calculăm derivata întâi. Scriem f(x)=1+3(x−1)−1\displaystyle f(x)=1+3(x-1)^{-1}, iar derivata constantei 1\displaystyle 1 este 0\displaystyle 0. Obținem f′(x)=3⋅(−1)(x−1)−2\displaystyle f'(x)=3\cdot(-1)(x-1)^{-2}.
    f′(x)=−3(x−1)2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{3}{(x-1)^{2}}
  3. Derivăm încă o dată, scriind f′(x)=−3(x−1)−2\displaystyle f'(x)=-3(x-1)^{-2}. Atunci f′′(x)=−3⋅(−2)(x−1)−3=6(x−1)−3\displaystyle f''(x)=-3\cdot(-2)(x-1)^{-3}=6(x-1)^{-3}, pentru x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
    f′′(x)=6(x−1)3, x∈(1,+∞)\displaystyle f''(x)=\dfrac{6}{(x-1)^{3}}\text{, }x\in(1,+\infty)
  4. Studiem semnul derivatei a doua. Pentru x>1\displaystyle x>1 avem x−1>0\displaystyle x-1>0, deci (x−1)3>0\displaystyle (x-1)^{3}>0. Cum 6>0\displaystyle 6>0, fracția 6(x−1)3\displaystyle \dfrac{6}{(x-1)^{3}} este pozitivă.
    f′′(x)>0, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle f''(x)>0\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)
  5. Deoarece f′′(x)>0\displaystyle f''(x)>0 pe tot intervalul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), funcția f\displaystyle f este convexă pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty).
    f′′(x)>0, pentru orice x∈(1,+∞), deci f este convexa˘ pe (1,+∞)\displaystyle f''(x)>0\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)\text{, deci }f\text{ este convexă pe }(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2x−1\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x-1}.

Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției f\displaystyle f, în care tangenta la graficul funcției f\displaystyle f este paralelă cu dreapta de ecuație y=−3x\displaystyle y=-3x.
Vezi rezolvarea
  1. Tangenta este paralelă cu dreapta y=−3x\displaystyle y=-3x, deci panta ei este egală cu panta dreptei, adică −3\displaystyle -3. Panta tangentei în punctul de abscisă x\displaystyle x este f′(x)\displaystyle f'(x), deci trebuie rezolvată ecuația f′(x)=−3\displaystyle f'(x)=-3 pe intervalul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty).
    f′(x)=−3\displaystyle f'(x)=-3, x∈(1,+∞)\displaystyle \ x\in(1,+\infty)
  2. Derivăm funcția folosind formula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=x+2\displaystyle u=x+2 și v=x−1\displaystyle v=x-1.
    f′(x)=1⋅(x−1)−(x+2)⋅1(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot(x-1)-(x+2)\cdot 1}{(x-1)^{2}}
  3. Simplificăm numărătorul: (x−1)−(x+2)=−3\displaystyle (x-1)-(x+2)=-3.
    f′(x)=−3(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-3}{(x-1)^{2}}
  4. Punem condiția f′(x)=−3\displaystyle f'(x)=-3. Deoarece x>1\displaystyle x>1, numitorul este nenul, deci putem amplifica cu (x−1)2\displaystyle (x-1)^{2} și împărți la −3\displaystyle -3.
    −3(x−1)2=−3⇔(x−1)2=1\displaystyle \dfrac{-3}{(x-1)^{2}}=-3\Leftrightarrow (x-1)^{2}=1
  5. Din (x−1)2=1\displaystyle (x-1)^{2}=1 obținem x−1=1\displaystyle x-1=1 sau x−1=−1\displaystyle x-1=-1, adică x=2\displaystyle x=2 sau x=0\displaystyle x=0. Cum x\displaystyle x trebuie să fie în (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), convine doar x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
  6. Calculăm ordonata punctului: y=f(2)=2+22−1=4\displaystyle y=f(2)=\dfrac{2+2}{2-1}=4. Punctul căutat are coordonatele (2,4)\displaystyle (2,4).
    x=2 și y=4\displaystyle x=2\text{ și }y=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x.

Arătați că ∫121xf(x) dx=e(e−1)\displaystyle \int_1^2\frac{1}{x}f(x)\,dx=e(e-1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x în integrală: ∫121xf(x) dx=∫121x⋅xex dx\displaystyle \int_1^2\frac{1}{x}f(x)\,dx=\int_1^2\frac{1}{x}\cdot xe^x\,dx.
    ∫121x⋅xex dx\displaystyle \int_1^2\frac{1}{x}\cdot xe^x\,dx
  2. Simplificăm prin x\displaystyle x, care este nenul pe [1,2]\displaystyle [1,2]: 1x⋅xex=ex\displaystyle \frac{1}{x}\cdot xe^x=e^x, deci integrala devine ∫12ex dx\displaystyle \int_1^2 e^x\,dx.
    ∫12ex dx\displaystyle \int_1^2 e^x\,dx
  3. O primitivă a lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x, deci aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫12ex dx=ex∣12\displaystyle \int_1^2 e^x\,dx=e^x\Big|_1^2.
    ∫121xf(x) dx=∫12ex dx=ex∣12\displaystyle \int_1^2\frac{1}{x}f(x)\,dx=\int_1^2e^x\,dx=e^x\Big|_1^2
  4. Calculăm diferența valorilor în capete: e2−e\displaystyle e^2-e. Dăm factor comun pe e\displaystyle e: e2−e=e(e−1)\displaystyle e^2-e=e(e-1).
    e2−e=e(e−1)\displaystyle e^2-e=e(e-1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x.

Determinați primitiva F\displaystyle F a funcției f\displaystyle f pentru care F(1)=0\displaystyle F(1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Primitivele lui f\displaystyle f se obțin din integrala nedefinită ∫xex dx\displaystyle \int xe^x\,dx, pe care o calculăm prin părți.
    ∫xex dx\displaystyle \int xe^x\,dx
  2. Alegem u=x\displaystyle u=x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx. Atunci du=dx\displaystyle du=dx, iar v=ex\displaystyle v=e^x.
    u=x\displaystyle u=x, dv=ex dx⇒du=dx\displaystyle \ dv=e^x\,dx\Rightarrow du=dx, v=ex\displaystyle \ v=e^x
  3. Aplicăm formula ∫u dv=uv−∫v du\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.
    ∫xex dx=xex−∫ex dx\displaystyle \int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx
  4. Cum ∫ex dx=ex+c\displaystyle \int e^x\,dx=e^x+c, scoatem ex\displaystyle e^x factor comun și obținem forma generală a primitivelor lui f\displaystyle f.
    F(x)=xex−ex+c=(x−1)ex+c\displaystyle F(x)=xe^x-e^x+c=(x-1)e^x+c, c∈R\displaystyle \ c\in\mathbb{R}
  5. Punem condiția F(1)=0\displaystyle F(1)=0. Pentru x=1\displaystyle x=1 avem x−1=0\displaystyle x-1=0, deci F(1)=(1−1)e+c=c\displaystyle F(1)=(1-1)e+c=c.
    F(1)=(1−1)e1+c=c=0\displaystyle F(1)=(1-1)e^1+c=c=0
  6. Din c=0\displaystyle c=0 rezultă primitiva căutată.
    c=0, deci F(x)=(x−1)ex\displaystyle c=0\text{, deci }F(x)=(x-1)e^x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x.

Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫01xnf(x) dx\displaystyle I_n=\int_0^1x^nf(x)\,dx. Arătați că In+(n+1)In−1=e\displaystyle I_n+(n+1)I_{n-1}=e, pentru orice număr natural n\displaystyle n, n≥2\displaystyle n\geq2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x în definiția lui In\displaystyle I_n. Avem xn⋅xex=xn+1ex\displaystyle x^n\cdot xe^x=x^{n+1}e^x.
    In=∫01xn+1ex dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x^{n+1}e^x\,dx
  2. Integrăm prin părți, cu u=xn+1\displaystyle u=x^{n+1} și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx. Atunci du=(n+1)xn dx\displaystyle du=(n+1)x^{n}\,dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    u=xn+1\displaystyle u=x^{n+1}, v=ex\displaystyle \ v=e^x, du=(n+1)xn dx\displaystyle \ du=(n+1)x^n\,dx
  3. Aplicăm formula ∫01u dv=uv∣01−∫01v du\displaystyle \int_0^1 u\,dv=uv\Big|_0^1-\int_0^1 v\,du.
    In=(xn+1ex)∣01−(n+1)∫01xnex dx\displaystyle I_n=\left(x^{n+1}e^x\right)\Big|_0^1-(n+1)\int_0^1 x^ne^x\,dx
  4. Calculăm termenul tabelar: 1n+1e1−0n+1e0=e−0\displaystyle 1^{n+1}e^1-0^{n+1}e^0=e-0, deoarece n+1>0\displaystyle n+1>0.
    (xn+1ex)∣01=e\displaystyle \left(x^{n+1}e^x\right)\Big|_0^1=e
  5. Observăm că xnex=xn−1⋅xex=xn−1f(x)\displaystyle x^ne^x=x^{n-1}\cdot xe^x=x^{n-1}f(x), deci ∫01xnex dx=In−1\displaystyle \int_0^1 x^ne^x\,dx=I_{n-1}. Definiția lui In−1\displaystyle I_{n-1} are sens, deoarece n≥2\displaystyle n\geq2.
    ∫01xnex dx=In−1\displaystyle \int_0^1 x^ne^x\,dx=I_{n-1}
  6. Înlocuim în relația obținută: In=e−(n+1)In−1\displaystyle I_n=e-(n+1)I_{n-1}. Mutăm termenul cu In−1\displaystyle I_{n-1} în membrul stâng și obținem relația cerută, pentru orice n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}, n≥2\displaystyle n\geq2.
    In=e−(n+1)In−1, deci In+(n+1)In−1=e, pentru orice numa˘r \displaystyle I_n=e-(n+1)I_{n-1}\text{, deci }I_n+(n+1)I_{n-1}=e\text{, pentru orice număr }natural n, n≥2\displaystyle \text{natural }n\text{, }n\geq2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.