Bac matematică M1 mate-info 2020, sesiunea I varianta 06: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că numărul

\displaystyle z=\left(1-i\sqrt{2}\right)\left(1+i\sqrt{2}\right)

este natural, unde

\displaystyle i^2=-1

.

Vezi rezolvarea

Observăm că produsul are forma $\displaystyle (a-b)(a+b)$ , cu $\displaystyle a=1$ și $\displaystyle b=i\sqrt{2}$ . Aplicăm formula diferenței de pătrate: $\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ .
$\displaystyle z=1^{2}-\left(i\sqrt{2}\right)^{2}$
Calculăm pătratul produsului: $\displaystyle \left(i\sqrt{2}\right)^{2}=i^{2}\cdot\left(\sqrt{2}\right)^{2}=2i^{2}$ . Deci avem $\displaystyle z=1-2i^{2}$ .
$\displaystyle z=1-2i^{2}$
Înlocuim $\displaystyle i^{2}$ cu $\displaystyle -1$ , conform enunțului.
$\displaystyle z=1-2\cdot(-1)$
Efectuăm calculul: $\displaystyle 1+2=3$ , iar 3 este număr natural.
$\displaystyle z=1+2=3\text{, care este număr natural}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=3x+a

, unde

\displaystyle a

este număr real. Determinați numărul real

\displaystyle a

, știind că

\displaystyle f(x)+f(1-x)=7

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim pe $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 1-x$ în formula funcției: $\displaystyle f(1-x)=3(1-x)+a$ .
$\displaystyle f(1-x)=3(1-x)+a=3-3x+a$
Adunăm: $\displaystyle f(x)+f(1-x)=3x+a+3-3x+a$ . Termenii cu $\displaystyle x$ se anulează, deci suma nu depinde de $\displaystyle x$ .
$\displaystyle f(x)+f(1-x)=3x+a+3-3x+a=2a+3$
Relația din enunț devine $\displaystyle 2a+3=7$ , de unde $\displaystyle 2a=4$ .
$\displaystyle 2a+3=7\Rightarrow 2a=4\Rightarrow a=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 5^x+5^{-x}=2

.

Vezi rezolvarea

Mutăm termenul $\displaystyle 2$ în membrul stâng: $\displaystyle 5^x+5^{-x}-2=0$ .
$\displaystyle 5^x+5^{-x}-2=0$
Observăm că $\displaystyle 5^x=\left(5^{\frac{x}{2}}\right)^2$ și $\displaystyle 5^{-x}=\left(5^{-\frac{x}{2}}\right)^2$ . Produsul bazelor este $\displaystyle 5^{\frac{x}{2}}\cdot 5^{-\frac{x}{2}}=5^0=1$ , deci $\displaystyle 2=2\cdot 5^{\frac{x}{2}}\cdot 5^{-\frac{x}{2}}$ .
$\displaystyle 2=2\cdot 5^{\frac{x}{2}}\cdot 5^{-\frac{x}{2}}$
Folosim formula $\displaystyle a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ cu $\displaystyle a=5^{\frac{x}{2}}$ și $\displaystyle b=5^{-\frac{x}{2}}$ . Ecuația devine pătrat perfect egal cu zero.
$\displaystyle 5^x+5^{-x}-2=0\Leftrightarrow\left(5^{\frac{x}{2}}-5^{-\frac{x}{2}}\right)^2=0$
Pătratul este zero doar dacă $\displaystyle 5^{\frac{x}{2}}-5^{-\frac{x}{2}}=0$ , adică $\displaystyle 5^{\frac{x}{2}}=5^{-\frac{x}{2}}$ . Înmulțim cu $\displaystyle 5^{\frac{x}{2}}>0$ și obținem $\displaystyle 5^x=1$ .
$\displaystyle 5^x=1$
Deoarece $\displaystyle 1=5^0$ și funcția exponențială este injectivă, din $\displaystyle 5^x=1$ rezultă $\displaystyle x=0$ . Verificare: $\displaystyle 5^0+5^0=2$ .
$\displaystyle 5^x=1\text{, deci }x=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Se consideră mulțimea

\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\}

. Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale lui

\displaystyle A

, care îl conțin pe

\displaystyle 1

.

Vezi rezolvarea

O submulțime cu trei elemente care îl conține pe $\displaystyle 1$ are elementul $\displaystyle 1$ fixat, deci mai trebuie alese două elemente. Ele se aleg dintre celelalte patru elemente ale lui $\displaystyle A$ : $\displaystyle 2, 3, 4, 5$ . Ordinea elementelor nu contează, deci numărul de alegeri este o combinare.
$\displaystyle C_{4}^{2}$
Scriem combinarea cu formula factorialelor: $\displaystyle C_{4}^{2}=\dfrac{4!}{2!\,(4-2)!}$ .
$\displaystyle C_{4}^{2}=\dfrac{4!}{2!\,(4-2)!}=\dfrac{4!}{2!\cdot 2!}$
Calculăm: $\displaystyle 4!=24$ , iar $\displaystyle 2!=2$ , deci obținem $\displaystyle \dfrac{24}{2\cdot 2}=6$ . Există $\displaystyle 6$ submulțimi cu trei elemente care îl conțin pe $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \dfrac{4!}{2!\cdot 2!}=\dfrac{24}{4}=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctul

\displaystyle M(-4,4)

. Determinați ecuația dreptei

\displaystyle d

care trece prin punctul

\displaystyle M

și este perpendiculară pe dreapta

\displaystyle OM

.

Vezi rezolvarea

Calculăm panta dreptei $\displaystyle OM$ , folosind punctele $\displaystyle O(0,0)$ și $\displaystyle M(-4,4)$ : $\displaystyle m_{OM}=\dfrac{y_M-y_O}{x_M-x_O}=\dfrac{4-0}{-4-0}$ .
$\displaystyle m_{OM}=\dfrac{4}{-4}=-1$
Dreptele $\displaystyle d$ și $\displaystyle OM$ sunt perpendiculare, deci $\displaystyle m_{OM}\cdot m_d=-1$ . Înlocuim $\displaystyle m_{OM}=-1$ și obținem $\displaystyle (-1)\cdot m_d=-1$ .
$\displaystyle m_{OM}=-1\text{ și }m_{OM}\cdot m_d=-1\Rightarrow m_d=1$
Scriem ecuația dreptei prin $\displaystyle M(-4,4)$ cu panta $\displaystyle m_d=1$ : $\displaystyle y-y_M=m_d(x-x_M)$ , adică $\displaystyle y-4=1\cdot(x-(-4))$ , deci $\displaystyle y-4=x+4$ .
$\displaystyle y-4=x+4$
Adunăm $\displaystyle 4$ în ambii membri și obținem ecuația dreptei $\displaystyle d$ : $\displaystyle y=x+8$ .
$\displaystyle y=x+8$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Triunghiul

\displaystyle ABC

este dreptunghic în

\displaystyle A

și

\displaystyle \sin B=\cos B

. Arătați că triunghiul

\displaystyle ABC

este isoscel.

Vezi rezolvarea

Triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic în $\displaystyle A$ , deci ipotenuza este $\displaystyle BC$ . Pentru unghiul $\displaystyle B$ , latura opusă este $\displaystyle AC$ , iar latura alăturată este $\displaystyle AB$ . Scriem sinusul ca raport dintre cateta opusă și ipotenuză: $\displaystyle \sin B=\dfrac{AC}{BC}$ .
$\displaystyle \sin B=\dfrac{AC}{BC}$
Scriem cosinusul ca raport dintre cateta alăturată și ipotenuză: $\displaystyle \cos B=\dfrac{AB}{BC}$ .
$\displaystyle \cos B=\dfrac{AB}{BC}$
Folosim ipoteza $\displaystyle \sin B=\cos B$ și înlocuim cele două rapoarte: $\displaystyle \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AB}{BC}$ .
$\displaystyle \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AB}{BC}$
Înmulțim egalitatea cu $\displaystyle BC$ , care este nenul, și obținem că cele două catete sunt egale. Deci triunghiul are două laturi congruente, adică este isoscel.
$\displaystyle AB=AC\text{, deci triunghiul }ABC\text{ este isoscel}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & a+1 & a+2\\ a^2+1 & a^2+2 & a^2+3\\ 1 & 2 & 4\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(0))=-1

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=0$ în matricea $\displaystyle A(a)$ . Prima linie devine $\displaystyle 0,\ 1,\ 2$ , a doua linie devine $\displaystyle 0^2+1,\ 0^2+2,\ 0^2+3$ , adică $\displaystyle 1,\ 2,\ 3$ , iar a treia linie rămâne $\displaystyle 1,\ 2,\ 4$ .
$\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0&1&2\\1&2&3\\1&2&4\end{pmatrix}$
Scriem determinantul matricei $\displaystyle A(0)$ , pe care îl calculăm cu regula lui Sarrus.
$\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}0&1&2\\1&2&3\\1&2&4\end{vmatrix}$
Aplicăm regula lui Sarrus. Adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: $\displaystyle 0\cdot 2\cdot 4$ , $\displaystyle 1\cdot 3\cdot 1$ , $\displaystyle 2\cdot 1\cdot 2$ . Scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: $\displaystyle 2\cdot 2\cdot 1$ , $\displaystyle 0\cdot 3\cdot 2$ , $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 4$ .
$\displaystyle \det(A(0))=0\cdot 2\cdot 4+1\cdot 3\cdot 1+2\cdot 1\cdot 2-2\cdot 2\cdot 1-0\cdot 3\cdot 2-1\cdot 1\cdot 4$
Calculăm produsele: $\displaystyle 0+3+4-4-0-4$ . Rezultatul este $\displaystyle -1$ , deci $\displaystyle \det(A(0))=-1$ .
$\displaystyle \det(A(0))=0+3+4-4-0-4=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & a+1 & a+2\\ a^2+1 & a^2+2 & a^2+3\\ 1 & 2 & 4\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Demonstrați că, pentru orice număr real

\displaystyle a

, matricea

\displaystyle A(a)

este inversabilă.

Vezi rezolvarea

Matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă exact când $\displaystyle \det(A(a))\neq0$ , deci calculăm determinantul. Scădem coloana 1 din coloanele 2 și 3 ( $\displaystyle C_2\to C_2-C_1$ , $\displaystyle C_3\to C_3-C_1$ ), ceea ce nu modifică determinantul.
$\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}a & 1 & 2\\ a^2+1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 3\end{vmatrix}$
Efectuăm $\displaystyle C_3\to C_3-2C_2$ , ca să apară zerouri pe primele două linii ale coloanei a treia.
$\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}a & 1 & 0\\ a^2+1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\end{vmatrix}$
Dezvoltăm după coloana a treia, în care singurul element nenul este $\displaystyle 1$ , aflat pe poziția $\displaystyle (3,3)$ , deci cu semn plus. Rămâne un determinant de ordin 2, pe care îl calculăm: $\displaystyle a\cdot1-1\cdot(a^2+1)$ .
$\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}a & 1\\ a^2+1 & 1\end{vmatrix}=a-(a^2+1)=-\left(a^2-a+1\right)$
Studiem trinomul $\displaystyle a^2-a+1$ . Discriminantul este $\displaystyle \Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot1=-3<0$ , iar coeficientul lui $\displaystyle a^2$ este pozitiv, deci trinomul nu are rădăcini reale și este strict pozitiv pentru orice $\displaystyle a$ real.
$\displaystyle \Delta=-3<0\Rightarrow a^2-a+1>0\text{ pentru orice }a\in\mathbb{R}$
Rezultă $\displaystyle \det(A(a))=-\left(a^2-a+1\right)<0$ , deci determinantul este nenul pentru orice $\displaystyle a$ real. Prin urmare, matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă pentru orice $\displaystyle a\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle a^2-a+1\neq0\text{ pentru orice }a\in\mathbb{R}\Rightarrow\det(A(a))\neq0\Rightarrow A(a)\text{ este inversabilă}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & a+1 & a+2\\ a^2+1 & a^2+2 & a^2+3\\ 1 & 2 & 4\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numerele întregi

\displaystyle a

pentru care inversa matricei

\displaystyle A(a)

are toate elementele numere întregi.

Vezi rezolvarea

Inversa lui $\displaystyle A(a)$ are elemente întregi doar dacă $\displaystyle \det(A(a))=\pm1$ . Calculăm determinantul: scădem prima coloană din coloanele a doua și a treia ( $\displaystyle C_2-C_1$ , $\displaystyle C_3-C_1$ ), apoi scădem prima linie din a doua ( $\displaystyle L_2-L_1$ ).
$\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}a & 1 & 2\\ a^2-a+1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 3\end{vmatrix}$
Dezvoltăm după linia a doua, care are un singur element nenul. Semnul este $\displaystyle (-1)^{2+1}=-1$ , iar minorul este $\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 2\\ 1 & 3\end{vmatrix}=3-2=1$ .
$\displaystyle \det(A(a))=-(a^2-a+1)\cdot 1=-(a^2-a+1)$
Expresia $\displaystyle a^2-a+1$ este strict pozitivă pentru orice $\displaystyle a$ real, deoarece discriminantul $\displaystyle 1-4=-3$ este negativ. Deci $\displaystyle \det(A(a))<0$ și nu poate fi $\displaystyle 1$ . Rămâne doar cazul $\displaystyle \det(A(a))=-1$ .
$\displaystyle \det(A(a))=-1\ \Leftrightarrow\ a^2-a+1=1$
Rezolvăm ecuația: $\displaystyle a^2-a=0$ , adică $\displaystyle a(a-1)=0$ . Ambele soluții sunt numere întregi, deci convin. Pentru ele determinantul este $\displaystyle -1$ , iar inversa are elemente întregi.
$\displaystyle a=0\text{ sau }a=1\text{, care convin}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle A=[1,+\infty)

se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=\frac{1}{2}\sqrt[3]{x^3y^3-x^3-y^3+9}

.

Arătați că

\displaystyle 1*2020=1

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim în formula $\displaystyle x*y=\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{x^3y^3-x^3-y^3+9}$ valorile $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=2020$ .
$\displaystyle 1*2020=\frac{1}{2}\sqrt[3]{1^3\cdot 2020^3-1^3-2020^3+9}$
Deoarece $\displaystyle 1^3=1$ , expresia de sub radical devine $\displaystyle 2020^3-1-2020^3+9$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt[3]{2020^3-1-2020^3+9}$
Termenii $\displaystyle 2020^3$ și $\displaystyle -2020^3$ se reduc, deci sub radical rămâne $\displaystyle -1+9=8$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt[3]{-1+9}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{8}$
Cum $\displaystyle 2^3=8$ , avem $\displaystyle \sqrt[3]{8}=2$ , deci rezultatul este $\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot 2=1$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 2=1\text{, deci }1*2020=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle A=[1,+\infty)

se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=\frac{1}{2}\sqrt[3]{x^3y^3-x^3-y^3+9}

.

Demonstrați că

\displaystyle x*y=\sqrt[3]{\frac{1}{8}\left(x^3-1\right)\left(y^3-1\right)+1}

, pentru orice

\displaystyle x,y\in A

.

Vezi rezolvarea

Pornim de la definiția legii: $\displaystyle x*y=\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{x^3y^3-x^3-y^3+9}$ .
$\displaystyle x*y=\frac{1}{2}\sqrt[3]{x^3y^3-x^3-y^3+9}$
Scriem $\displaystyle 9=8+1$ și grupăm: $\displaystyle x^3y^3-x^3=x^3\left(y^3-1\right)$ , iar $\displaystyle -y^3+1=-\left(y^3-1\right)$ .
$\displaystyle x^3y^3-x^3-y^3+9=x^3\left(y^3-1\right)-\left(y^3-1\right)+8$
Înlocuim în definiție și obținem prima formă a lui $\displaystyle x*y$ .
$\displaystyle x*y=\frac{1}{2}\sqrt[3]{x^3\left(y^3-1\right)-\left(y^3-1\right)+8}$
Dăm factor comun $\displaystyle y^3-1$ între primii doi termeni de sub radical.
$\displaystyle x*y=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\left(x^3-1\right)\left(y^3-1\right)+8}$
Introducem $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ sub radical de ordin 3, unde devine $\displaystyle \dfrac{1}{8}$ , pentru că $\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{8}$ . Atunci $\displaystyle \dfrac{1}{2}\sqrt[3]{E}=\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}E}$ .
$\displaystyle x*y=\sqrt[3]{\frac{1}{8}\left(x^3-1\right)\left(y^3-1\right)+\frac{1}{8}\cdot 8}$
Simplificăm $\displaystyle \dfrac{1}{8}\cdot 8=1$ și obținem egalitatea cerută, pentru orice $\displaystyle x,y\in A$ .
$\displaystyle x*y=\sqrt[3]{\frac{1}{8}\left(x^3-1\right)\left(y^3-1\right)+1}\text{, pentru orice }x$ , $\displaystyle y\in A$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle A=[1,+\infty)

se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=\frac{1}{2}\sqrt[3]{x^3y^3-x^3-y^3+9}

.

Determinați

\displaystyle x\in A

pentru care

\displaystyle x*x=x

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle y$ cu $\displaystyle x$ în definiția legii: $\displaystyle x*x=\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{x^{6}-2x^{3}+9}$ .
$\displaystyle x*x=\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{x^{6}-2x^{3}+9}$
Scriem expresia de sub radical ca pătrat perfect plus $\displaystyle 8$ : $\displaystyle x^{6}-2x^{3}+9=\left(x^{3}-1\right)^{2}+8$ .
$\displaystyle x*x=\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{\left(x^{3}-1\right)^{2}+8}$
Introducem factorul $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ sub radical, ca $\displaystyle \dfrac{1}{8}$ , pentru că $\displaystyle \dfrac{1}{2}=\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}$ . Obținem $\displaystyle x*x=\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}\left(x^{3}-1\right)^{2}+1}$ . Ecuația $\displaystyle x*x=x$ , ridicată la cub, devine $\displaystyle \dfrac{1}{8}\left(x^{3}-1\right)^{2}+1=x^{3}$ .
$\displaystyle x*x=\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}\left(x^{3}-1\right)^{2}+1}\text{, deci }\dfrac{1}{8}\left(x^{3}-1\right)^{2}+1=x^{3}$
Înmulțim ecuația cu $\displaystyle 8$ și obținem $\displaystyle \left(x^{3}-1\right)^{2}+8=8x^{3}$ . Mutăm termenii: $\displaystyle 8x^{3}-8=8\left(x^{3}-1\right)$ , deci $\displaystyle \left(x^{3}-1\right)^{2}=8\left(x^{3}-1\right)$ .
$\displaystyle \left(x^{3}-1\right)^{2}=8\left(x^{3}-1\right)$
Notăm $\displaystyle t=x^{3}-1$ . Ecuația devine $\displaystyle t^{2}-8t=0$ , adică $\displaystyle t(t-8)=0$ , deci $\displaystyle t=0$ sau $\displaystyle t=8$ .
$\displaystyle x^{3}-1=0\text{ sau }x^{3}-1=8$
Din $\displaystyle x^{3}=1$ obținem $\displaystyle x=1$ , iar din $\displaystyle x^{3}=9$ obținem $\displaystyle x=\sqrt[3]{9}$ . Ambele valori sunt mai mari sau egale cu $\displaystyle 1$ , deci aparțin lui $\displaystyle A$ și convin.
$\displaystyle x=1\text{ sau }x=\sqrt[3]{9}\text{, care convin}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-2}+\ln\frac{x-1}{x}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{-3x+4}{x(x-1)(x-2)^2}

,

\displaystyle x\in(2,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Derivăm separat primul termen: $\displaystyle \left(\dfrac{1}{x-2}\right)'=\left((x-2)^{-1}\right)'$ , deci derivata este $\displaystyle -\dfrac{1}{(x-2)^{2}}$ .
$\displaystyle \left(\dfrac{1}{x-2}\right)'=-\dfrac{1}{(x-2)^{2}}$
Derivăm logaritmul cu formula $\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ , unde $\displaystyle u=\dfrac{x-1}{x}$ . Avem $\displaystyle u'=\dfrac{x-(x-1)}{x^{2}}=\dfrac{1}{x^{2}}$ , iar $\displaystyle \dfrac{1}{u}=\dfrac{x}{x-1}$ .
$\displaystyle \left(\ln\dfrac{x-1}{x}\right)'=\dfrac{x}{x-1}\cdot\dfrac{x-(x-1)}{x^{2}}=\dfrac{1}{x(x-1)}$
Adunăm cele două derivate: $\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{(x-2)^{2}}+\dfrac{1}{x(x-1)}$ . Aducem la numitorul comun $\displaystyle x(x-1)(x-2)^{2}$ , amplificând prima fracție cu $\displaystyle x(x-1)$ și a doua cu $\displaystyle (x-2)^{2}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{-x(x-1)+(x-2)^{2}}{x(x-1)(x-2)^{2}}$
Desfacem parantezele la numărător: $\displaystyle -x(x-1)+(x-2)^{2}=-x^{2}+x+x^{2}-4x+4$ . Reducem termenii asemenea și obținem $\displaystyle -3x+4$ , deci formula cerută, pentru $\displaystyle x\in(2,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{-x^{2}+x+x^{2}-4x+4}{x(x-1)(x-2)^{2}}=\dfrac{-3x+4}{x(x-1)(x-2)^{2}}\text{, }x\in(2,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-2}+\ln\frac{x-1}{x}

.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre

\displaystyle +\infty

la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Asimptota orizontală spre $\displaystyle +\infty$ există dacă $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)$ este un număr real $\displaystyle \ell$ , iar ecuația ei este $\displaystyle y=\ell$ . Calculăm această limită.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{x-2}+\ln\frac{x-1}{x}\right)$
Scriem fracția din logaritm sub forma $\displaystyle \dfrac{x-1}{x}=1-\dfrac{1}{x}$ .
$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-2}+\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)$
Când $\displaystyle x\to+\infty$ , avem $\displaystyle \dfrac{1}{x-2}\to 0$ și $\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0$ , deci $\displaystyle 1-\dfrac{1}{x}\to 1$ , iar $\displaystyle \ln 1=0$ (funcția $\displaystyle \ln$ este continuă în $\displaystyle 1$ ).
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x-2}=0$ , $\displaystyle \quad \lim_{x\to+\infty}\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)=\ln 1=0$
Adunăm limitele celor doi termeni: limita lui $\displaystyle f$ la $\displaystyle +\infty$ este $\displaystyle 0+0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0+0=0$
Limita este finită și egală cu $\displaystyle 0$ , deci graficul lui $\displaystyle f$ admite asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ , anume dreapta de ecuație $\displaystyle y=0$ .
$\displaystyle y=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-2}+\ln\frac{x-1}{x}

.

Demonstrați că

\displaystyle \frac{1}{x-2}>\ln\frac{x}{x-1}

, pentru orice

\displaystyle x\in(2,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Scriem logaritmul ca diferență, $\displaystyle \ln\dfrac{x-1}{x}=\ln(x-1)-\ln x$ , și derivăm funcția $\displaystyle f$ . Derivata lui $\displaystyle \dfrac{1}{x-2}$ este $\displaystyle -\dfrac{1}{(x-2)^{2}}$ , iar derivata lui $\displaystyle \ln(x-1)-\ln x$ este $\displaystyle \dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x(x-1)}$ .
$\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{(x-2)^{2}}+\dfrac{1}{x(x-1)}$
Aducem fracțiile la numitor comun $\displaystyle x(x-1)(x-2)^{2}$ . La numărător obținem $\displaystyle -x(x-1)+(x-2)^{2}=-x^{2}+x+x^{2}-4x+4=-3x+4$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{-3x+4}{x(x-1)(x-2)^{2}}$
Pentru $\displaystyle x>2$ numitorul este pozitiv, deoarece $\displaystyle x$ , $\displaystyle x-1$ și $\displaystyle (x-2)^{2}$ sunt pozitive. Numărătorul este negativ, pentru că $\displaystyle -3x+4<-6+4=-2<0$ . Deci $\displaystyle f'(x)<0$ pe $\displaystyle (2,+\infty)$ , iar $\displaystyle f$ este strict descrescătoare.
$\displaystyle f'(x)<0\text{ pentru orice }x\in(2,+\infty)\Rightarrow f\text{ strict descrescătoare}$
Calculăm limita la infinit. Pentru $\displaystyle x\to+\infty$ , $\displaystyle \dfrac{1}{x-2}\to0$ , iar $\displaystyle \dfrac{x-1}{x}\to1$ , deci $\displaystyle \ln\dfrac{x-1}{x}\to\ln 1=0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0+\ln 1=0$
O funcție strict descrescătoare, care are limita $\displaystyle 0$ la $\displaystyle +\infty$ , ia valori strict mai mari decât $\displaystyle 0$ . Într-adevăr, pentru orice $\displaystyle x>2$ avem $\displaystyle f(x)>f(x+1)\ge\lim_{t\to+\infty}f(t)=0$ . Deci $\displaystyle f(x)>0$ pentru orice $\displaystyle x\in(2,+\infty)$ .
$\displaystyle f(x)>0\text{ pentru orice }x\in(2,+\infty)$
Scriem inegalitatea $\displaystyle f(x)>0$ explicit: $\displaystyle \dfrac{1}{x-2}+\ln\dfrac{x-1}{x}>0$ . Mutăm logaritmul în dreapta și folosim $\displaystyle -\ln\dfrac{x-1}{x}=\ln\dfrac{x}{x-1}$ , pentru că $\displaystyle \ln\dfrac{1}{a}=-\ln a$ . Obținem inegalitatea cerută.
$\displaystyle \dfrac{1}{x-2}>-\ln\dfrac{x-1}{x}=\ln\dfrac{x}{x-1}\text{, pentru orice }x\in(2,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^3+1}}

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^1\left(x^3+1\right)f^2(x)\,dx=\frac{1}{3}

.

Vezi rezolvarea

Scriem integrala și înlocuim pe $\displaystyle f(x)$ cu expresia ei. Pe intervalul $\displaystyle (-1,+\infty)$ avem $\displaystyle x^3+1>0$ , deci $\displaystyle f$ este bine definită: $\displaystyle \int_0^1\left(x^3+1\right)f^2(x)\,dx=\int_0^1\left(x^3+1\right)\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^3+1}}\right)^2dx$ .
$\displaystyle \int_0^1\left(x^3+1\right)\left(\frac{x}{\sqrt{x^3+1}}\right)^2dx$
Ridicăm fracția la pătrat. Pătratul radicalului este $\displaystyle \left(\sqrt{x^3+1}\right)^2=x^3+1$ , deci $\displaystyle f^2(x)=\dfrac{x^2}{x^3+1}$ .
$\displaystyle f^2(x)=\frac{x^2}{x^3+1}$
Înmulțim cu $\displaystyle x^3+1$ și simplificăm: $\displaystyle \left(x^3+1\right)\cdot\dfrac{x^2}{x^3+1}=x^2$ . Integrala devine $\displaystyle \int_0^1 x^2\,dx$ .
$\displaystyle \int_0^1\left(x^3+1\right)f^2(x)\,dx=\int_0^1 x^2\,dx$
O primitivă a lui $\displaystyle x^2$ este $\displaystyle \dfrac{x^3}{3}$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle \int_0^1 x^2\,dx=\dfrac{x^3}{3}\Big|_0^1=\dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3}=\dfrac{1}{3}$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle \frac{x^3}{3}\Big|_0^1=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^3+1}}

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^1f^2(x)\,dx=\frac{1}{3}\ln2

.

Vezi rezolvarea

Ridicăm funcția la pătrat: $\displaystyle f^2(x)=\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^3+1}}\right)^2$ . Pătratul radicalului este expresia de sub radical, deoarece $\displaystyle x^3+1>0$ pe $\displaystyle (-1,+\infty)$ .
$\displaystyle f^2(x)=\frac{x^2}{x^3+1}$
Integrala devine $\displaystyle \displaystyle\int_0^1 f^2(x)\,dx=\int_0^1\dfrac{x^2}{x^3+1}\,dx$ .
$\displaystyle \int_0^1 f^2(x)\,dx=\int_0^1\frac{x^2}{x^3+1}\,dx$
Derivata numitorului este $\displaystyle \left(x^3+1\right)'=3x^2$ . Scriem $\displaystyle x^2=\dfrac{1}{3}\cdot 3x^2$ și scoatem factorul $\displaystyle \dfrac{1}{3}$ în fața integralei. Obținem forma $\displaystyle \dfrac{u'}{u}$ cu $\displaystyle u=x^3+1$ .
$\displaystyle \frac{1}{3}\int_0^1\frac{\left(x^3+1\right)'}{x^3+1}\,dx$
O primitivă a lui $\displaystyle \dfrac{u'}{u}$ este $\displaystyle \ln u$ . Cum $\displaystyle x^3+1>0$ pe $\displaystyle [0,1]$ , nu avem nevoie de modul. Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle \dfrac{1}{3}\ln\left(x^3+1\right)\Big|_0^1$ .
$\displaystyle \frac{1}{3}\ln\left(x^3+1\right)\Big|_0^1$
Calculăm la capete: pentru $\displaystyle x=1$ avem $\displaystyle \ln 2$ , iar pentru $\displaystyle x=0$ avem $\displaystyle \ln 1=0$ . Rezultă $\displaystyle \dfrac{1}{3}\left(\ln 2-\ln 1\right)=\dfrac{1}{3}\ln 2$ .
$\displaystyle \frac{1}{3}\left(\ln 2-\ln 1\right)=\frac{1}{3}\ln 2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^3+1}}

.

Pentru fiecare număr natural nenul

\displaystyle n

, se consideră numărul

\displaystyle I_n=\int_0^1f\left(x^n\right)dx

. Demonstrați că

\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n=0

.

Vezi rezolvarea

Scriem funcția $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle x^{n}$ . Pentru $\displaystyle x\in[0,1]$ avem $\displaystyle x^{n}\in[0,1]$ , deci $\displaystyle x^{n}$ este în domeniul lui $\displaystyle f$ . Înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle x^{n}$ în formula lui $\displaystyle f$ , obținem expresia de sub integrală.
$\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{\sqrt{(x^n)^3+1}}\,dx=\int_0^1\frac{x^n}{\sqrt{x^{3n}+1}}\,dx$
Evaluăm fracția de sub integrală. Numărătorul $\displaystyle x^{n}$ este $\displaystyle \geq 0$ pe $\displaystyle [0,1]$ , deci fracția este $\displaystyle \geq 0$ . Cum $\displaystyle x^{3n}\geq 0$ , avem $\displaystyle \sqrt{x^{3n}+1}\geq 1$ . Împărțind la un număr mai mare sau egal cu $\displaystyle 1$ , fracția nu depășește numărătorul $\displaystyle x^{n}$ .
$\displaystyle 0\leq\frac{x^n}{\sqrt{x^{3n}+1}}\leq x^n$ , $\displaystyle \ \forall x\in[0,1]$
Integrăm inegalitatea pe intervalul $\displaystyle [0,1]$ . Integrala păstrează inegalitățile, deci $\displaystyle I_n$ este cuprins între $\displaystyle 0$ și integrala lui $\displaystyle x^{n}$ .
$\displaystyle 0\leq I_n\leq\int_0^1x^n\,dx$
Calculăm integrala lui $\displaystyle x^{n}$ cu ajutorul primitivei $\displaystyle \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ , evaluată între $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \int_0^1x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_0^1=\frac{1}{n+1}$
Înlocuim în dubla inegalitate: $\displaystyle 0\leq I_n\leq\dfrac{1}{n+1}$ . Cum $\displaystyle \dfrac{1}{n+1}\to 0$ când $\displaystyle n\to+\infty$ , iar $\displaystyle 0$ este constant, criteriul cleștelui dă limita lui $\displaystyle I_n$ .
$\displaystyle 0\leq I_n\leq\frac{1}{n+1}\text{ și }\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n+1}=0\Rightarrow\lim_{n\to+\infty}I_n=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2020, sesiunea I varianta 06: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani