Bac matematică M1 mate-info 2022, sesiunea I varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 8−66+6(6−1)=2\displaystyle 8-6\sqrt{6}+6\left(\sqrt{6}-1\right)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la membrul stâng al egalității: 8−66+6(6−1)\displaystyle 8-6\sqrt{6}+6\left(\sqrt{6}-1\right).
    8−66+6(6−1)\displaystyle 8-6\sqrt{6}+6\left(\sqrt{6}-1\right)
  2. Desfacem paranteza, înmulțind pe 6\displaystyle 6 cu fiecare termen din ea: 6(6−1)=66−6\displaystyle 6\left(\sqrt{6}-1\right)=6\sqrt{6}-6. Obținem 8−66+66−6\displaystyle 8-6\sqrt{6}+6\sqrt{6}-6.
    8−66+66−6\displaystyle 8-6\sqrt{6}+6\sqrt{6}-6
  3. Termenii −66\displaystyle -6\sqrt{6} și +66\displaystyle +6\sqrt{6} sunt opuși, deci se reduc. Rămâne 8−6=2\displaystyle 8-6=2, deci egalitatea este adevărată.
    8−6=2\displaystyle 8-6=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x+m\displaystyle f(x)=3x+m, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care (f∘f)(0)=4\displaystyle (f\circ f)(0)=4.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(0)\displaystyle f(0) înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în f(x)=3x+m\displaystyle f(x)=3x+m: f(0)=3⋅0+m\displaystyle f(0)=3\cdot 0+m.
    f(0)=m\displaystyle f(0)=m
  2. Compunerea în 0\displaystyle 0 înseamnă (f∘f)(0)=f(f(0))=f(m)\displaystyle (f\circ f)(0)=f(f(0))=f(m). Aplicăm f\displaystyle f numărului m\displaystyle m: f(m)=3m+m\displaystyle f(m)=3m+m.
    (f∘f)(0)=f(m)=3m+m=4m\displaystyle (f\circ f)(0)=f(m)=3m+m=4m
  3. Punem condiția din enunț, (f∘f)(0)=4\displaystyle (f\circ f)(0)=4, și obținem ecuația 4m=4\displaystyle 4m=4.
    4m=4\displaystyle 4m=4
  4. Împărțim ecuația la 4\displaystyle 4 și obținem valoarea lui m\displaystyle m.
    m=1\displaystyle m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3⋅22x+4x=4\displaystyle 3\cdot 2^{2x}+4^{x}=4.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 22x\displaystyle 2^{2x} se scrie ca 4x\displaystyle 4^{x}, deoarece 22x=(22)x=4x\displaystyle 2^{2x}=\left(2^{2}\right)^{x}=4^{x}.
    22x=4x\displaystyle 2^{2x}=4^{x}
  2. Înlocuim în ecuație și obținem 3⋅4x+4x=4\displaystyle 3\cdot 4^{x}+4^{x}=4.
    3⋅4x+4x=4\displaystyle 3\cdot 4^{x}+4^{x}=4
  3. Reducem termenii asemenea: 3⋅4x+4x=4⋅4x\displaystyle 3\cdot 4^{x}+4^{x}=4\cdot 4^{x}, deci ecuația devine 4⋅4x=4\displaystyle 4\cdot 4^{x}=4.
    4⋅4x=4\displaystyle 4\cdot 4^{x}=4
  4. Împărțim ecuația la 4\displaystyle 4 și obținem 4x=1\displaystyle 4^{x}=1.
    4x=1\displaystyle 4^{x}=1
  5. Scriem 1=40\displaystyle 1=4^{0}, deci 4x=40\displaystyle 4^{x}=4^{0}. Funcția exponențială de bază 4\displaystyle 4 este injectivă, deci exponenții sunt egali. Soluția ecuației este x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor divizor al numărului 6\displaystyle 6.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: numerele naturale de două cifre sunt de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99, deci sunt 99−10+1\displaystyle 99-10+1 numere.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  2. Aflăm divizorii naturali ai lui 6\displaystyle 6: 1\displaystyle 1, 2\displaystyle 2, 3\displaystyle 3 și 6\displaystyle 6. Cifra zecilor a unui număr de două cifre nu poate fi 0\displaystyle 0, dar toți acești divizori sunt nenuli și au o singură cifră, deci pot fi cifră a zecilor.
    {1,2,3,6}, adica˘ 4 valori posibile pentru \displaystyle \{1,2,3,6\}\text{, adică }4\text{ valori posibile pentru }cifra zecilor\displaystyle \text{cifra zecilor}
  3. Pentru fiecare dintre cele 4\displaystyle 4 cifre ale zecilor, cifra unităților poate fi oricare dintre cele 10\displaystyle 10 cifre, de la 0\displaystyle 0 la 9\displaystyle 9. Numărul cazurilor favorabile este produsul.
    4⋅10=40\displaystyle 4\cdot 10=40
  4. Aplicăm formula probabilității, cazuri favorabile supra cazuri posibile, și simplificăm fracția prin 10\displaystyle 10.
    p=4090=49\displaystyle p=\frac{40}{90}=\frac{4}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră dreapta d\displaystyle d de ecuație y=3x−2\displaystyle y=3x-2 și punctul A(a,a)\displaystyle A(a,a), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctul A\displaystyle A aparține dreptei d\displaystyle d.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A\displaystyle A aparține dreptei d\displaystyle d dacă coordonatele sale verifică ecuația dreptei. Înlocuim x=a\displaystyle x=a și y=a\displaystyle y=a în ecuația y=3x−2\displaystyle y=3x-2.
    a=3a−2\displaystyle a=3a-2
  2. Grupăm termenii cu a\displaystyle a în același membru: a−3a=−2\displaystyle a-3a=-2, deci −2a=−2\displaystyle -2a=-2.
    −2a=−2\displaystyle -2a=-2
  3. Împărțim ambii membri la −2\displaystyle -2 și obținem a=1\displaystyle a=1. Verificare: pentru a=1\displaystyle a=1, punctul A(1,1)\displaystyle A(1,1) verifică 1=3⋅1−2\displaystyle 1=3\cdot 1-2.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul isoscel ABC\displaystyle ABC, cu AB=10\displaystyle AB=10 și cos⁡A=0\displaystyle \cos A=0. Arătați că aria triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 50\displaystyle 50.
Vezi rezolvarea
  1. Din cos⁡A=0\displaystyle \cos A=0 și din faptul că A∈(0,π)\displaystyle A\in(0,\pi) rezultă A=π2\displaystyle A=\dfrac{\pi}{2}, deci triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A.
    A=π2\displaystyle A=\dfrac{\pi}{2}
  2. Ipotenuza BC\displaystyle BC este cea mai lungă latură a triunghiului dreptunghic, deci nu poate fi congruentă cu o catetă. Prin urmare, laturile congruente sunt catetele: AC=AB=10\displaystyle AC=AB=10.
    AC=AB=10\displaystyle AC=AB=10
  3. Aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor: AΔABC=AB⋅AC2=10⋅102=50\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{10\cdot 10}{2}=50.
    AΔABC=10⋅102=50\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{10\cdot 10}{2}=50
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1−xx201−2x001)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&-x&x^2\\0&1&-2x\\0&0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=1\displaystyle \det(A(1))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în matricea A(x)\displaystyle A(x): prima linie devine (1,−1,1)\displaystyle (1,-1,1), a doua (0,1,−2)\displaystyle (0,1,-2), a treia (0,0,1)\displaystyle (0,0,1).
    A(1)=(1−1101−2001)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1).
    det⁡(A(1))=∣1−1101−2001∣\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}1&-1&1\\0&1&-2\\0&0&1\end{vmatrix}
  3. Aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Datorită zerourilor de sub diagonală, aproape toți termenii sunt nuli.
    1⋅1⋅1+(−1)⋅(−2)⋅0+1⋅0⋅0−1⋅1⋅0−1⋅(−2)⋅0−(−1)⋅0⋅1\displaystyle 1\cdot1\cdot1+(-1)\cdot(-2)\cdot0+1\cdot0\cdot0-1\cdot1\cdot0-1\cdot(-2)\cdot0-(-1)\cdot0\cdot1
  4. Calculăm: doar produsul elementelor de pe diagonala principală este nenul, deci determinantul este 1\displaystyle 1.
    1+0+0−0−0−0=1\displaystyle 1+0+0-0-0-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1−xx201−2x001)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&-x&x^2\\0&1&-2x\\0&0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A(x)⋅A(y)=A(x+y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm prima linie a produsului, înmulțind prima linie a lui A(x)\displaystyle A(x) cu fiecare coloană a lui A(y)\displaystyle A(y). Elementul (1,1)\displaystyle (1,1) este 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1. Elementul (1,2)\displaystyle (1,2) este 1⋅(−y)+(−x)⋅1=−y−x\displaystyle 1\cdot(-y)+(-x)\cdot 1=-y-x. Elementul (1,3)\displaystyle (1,3) este 1⋅y2+(−x)⋅(−2y)+x2⋅1=y2+2xy+x2\displaystyle 1\cdot y^{2}+(-x)\cdot(-2y)+x^{2}\cdot 1=y^{2}+2xy+x^{2}.
    (1−y−xy2+2xy+x2)\displaystyle \begin{pmatrix}1&-y-x&y^{2}+2xy+x^{2}\end{pmatrix}
  2. Calculăm liniile a doua și a treia. Pe linia a doua: 0\displaystyle 0, apoi 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1, apoi 1⋅(−2y)+(−2x)⋅1=−2y−2x\displaystyle 1\cdot(-2y)+(-2x)\cdot 1=-2y-2x. Linia a treia, (0, 0, 1)\displaystyle (0,\,0,\,1), rămâne neschimbată, deoarece A(x)\displaystyle A(x) are pe ultima linie elementele 0, 0, 1\displaystyle 0,\,0,\,1, iar produsul ei cu A(y)\displaystyle A(y) este ultima linie a lui A(y)\displaystyle A(y).
    (01−2y−2x001)\displaystyle \begin{pmatrix}0&1&-2y-2x\\0&0&1\end{pmatrix}
  3. Scriem matricea produs, cu cele trei linii obținute.
    A(x)⋅A(y)=(1−y−xy2+2xy+x201−2y−2x001)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}1&-y-x&y^{2}+2xy+x^{2}\\0&1&-2y-2x\\0&0&1\end{pmatrix}
  4. Grupăm elementele: −y−x=−(x+y)\displaystyle -y-x=-(x+y), y2+2xy+x2=(x+y)2\displaystyle y^{2}+2xy+x^{2}=(x+y)^{2} și −2y−2x=−2(x+y)\displaystyle -2y-2x=-2(x+y). Obținem exact matricea A(x+y)\displaystyle A(x+y), adică A(x)⋅A(y)=A(x+y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y), pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    (1−(x+y)(x+y)201−2(x+y)001)=A(x+y)\displaystyle \begin{pmatrix}1&-(x+y)&(x+y)^{2}\\0&1&-2(x+y)\\0&0&1\end{pmatrix}=A(x+y)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1−xx201−2x001)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&-x&x^2\\0&1&-2x\\0&0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul natural n\displaystyle n pentru care A(n)⋅A(n+1)⋅A(n+2)⋅A(n+3)=A(2n2)\displaystyle A(n)\cdot A(n+1)\cdot A(n+2)\cdot A(n+3)=A\left(2n^2\right).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(x)⋅A(y)\displaystyle A(x)\cdot A(y). Pe poziția (1,2) obținem −y−x=−(x+y)\displaystyle -y-x=-(x+y). Pe poziția (1,3) obținem y2+2xy+x2=(x+y)2\displaystyle y^{2}+2xy+x^{2}=(x+y)^{2}. Pe poziția (2,3) obținem −2y−2x=−2(x+y)\displaystyle -2y-2x=-2(x+y). Celelalte elemente sunt 1 pe diagonală și 0 sub diagonală. Deci A(x)⋅A(y)=A(x+y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y).
    A(x)⋅A(y)=A(x+y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y)
  2. Aplicăm proprietatea de mai multe ori: A(n)⋅A(n+1)⋅A(n+2)⋅A(n+3)=A(n+(n+1)+(n+2)+(n+3))\displaystyle A(n)\cdot A(n+1)\cdot A(n+2)\cdot A(n+3)=A\left(n+(n+1)+(n+2)+(n+3)\right). Suma este 4n+6\displaystyle 4n+6.
    A(n)⋅A(n+1)⋅A(n+2)⋅A(n+3)=A(4n+6)\displaystyle A(n)\cdot A(n+1)\cdot A(n+2)\cdot A(n+3)=A(4n+6)
  3. Ecuația devine A(4n+6)=A(2n2)\displaystyle A(4n+6)=A\left(2n^{2}\right). Matricele A(a)\displaystyle A(a) și A(b)\displaystyle A(b) sunt egale doar dacă a=b\displaystyle a=b, deoarece elementele de pe poziția (1,2) sunt −a\displaystyle -a și −b\displaystyle -b. Deci 4n+6=2n2\displaystyle 4n+6=2n^{2}. Mutăm termenii într-o parte și împărțim la 2.
    4n+6=2n2⇔n2−2n−3=0\displaystyle 4n+6=2n^{2}\Leftrightarrow n^{2}-2n-3=0
  4. Rezolvăm ecuația n2−2n−3=0\displaystyle n^{2}-2n-3=0. Discriminantul este Δ=4+12=16\displaystyle \Delta=4+12=16. Rădăcinile sunt n=2−42=−1\displaystyle n=\dfrac{2-4}{2}=-1 și n=2+42=3\displaystyle n=\dfrac{2+4}{2}=3. Cum n\displaystyle n este număr natural, −1\displaystyle -1 nu convine. Rămâne n=3\displaystyle n=3.
    n2−2n−3=0⇒n=−1 sau n=3; cum n∈N\displaystyle n^{2}-2n-3=0\Rightarrow n=-1\text{ sau }n=3\text{; cum }n\in\mathbb{N}, n=3\displaystyle \ n=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=2xy+2+2yx+2\displaystyle x*y=\frac{2x}{y+2}+\frac{2y}{x+2}. Arătați că 1∗0=1\displaystyle 1*0=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii x∗y=2xy+2+2yx+2\displaystyle x*y=\dfrac{2x}{y+2}+\dfrac{2y}{x+2} pentru x=1\displaystyle x=1 și y=0\displaystyle y=0, ambele numere aparținând mulțimii M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty).
    1∗0=2⋅10+2+2⋅01+2\displaystyle 1*0=\frac{2\cdot 1}{0+2}+\frac{2\cdot 0}{1+2}
  2. Calculăm fiecare fracție separat: 2⋅10+2=22=1\displaystyle \dfrac{2\cdot 1}{0+2}=\dfrac{2}{2}=1, iar 2⋅01+2=03=0\displaystyle \dfrac{2\cdot 0}{1+2}=\dfrac{0}{3}=0.
    22+03=1+0\displaystyle \frac{2}{2}+\frac{0}{3}=1+0
  3. Adunăm cei doi termeni: 1+0=1\displaystyle 1+0=1, deci 1∗0=1\displaystyle 1*0=1.
    1∗0=1+0=1\displaystyle 1*0=1+0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=2xy+2+2yx+2\displaystyle x*y=\frac{2x}{y+2}+\frac{2y}{x+2}.

Arătați că e=0\displaystyle e=0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția: e=0\displaystyle e=0 este element neutru dacă pentru orice x∈M\displaystyle x\in M avem x∗0=x\displaystyle x*0=x și 0∗x=x\displaystyle 0*x=x. Verificăm separat cele două egalități, pentru x∈[0,+∞)\displaystyle x\in[0,+\infty) oarecare.
    x∗0=x și 0∗x=x\displaystyle x*0=x\text{ și }0*x=x, ∀x∈[0,+∞)\displaystyle \ \forall x\in[0,+\infty)
  2. Pentru x∗0\displaystyle x*0 punem y=0\displaystyle y=0 în definiția legii. Numitorii sunt 0+2=2\displaystyle 0+2=2 și x+2\displaystyle x+2, ambii nenuli pentru x≥0\displaystyle x\ge 0.
    x∗0=2x0+2+2⋅0x+2\displaystyle x*0=\frac{2x}{0+2}+\frac{2\cdot 0}{x+2}
  3. Simplificăm: primul termen devine 2x2=x\displaystyle \dfrac{2x}{2}=x, iar al doilea este 0\displaystyle 0, deoarece numărătorul este 0\displaystyle 0. Deci x∗0=x\displaystyle x*0=x.
    x∗0=2x2+0=x\displaystyle x*0=\frac{2x}{2}+0=x
  4. Pentru 0∗x\displaystyle 0*x punem 0\displaystyle 0 pe prima poziție și x\displaystyle x pe a doua, în definiția legii.
    0∗x=2⋅0x+2+2x0+2\displaystyle 0*x=\frac{2\cdot 0}{x+2}+\frac{2x}{0+2}
  5. Primul termen este 0\displaystyle 0, iar al doilea este 2x2=x\displaystyle \dfrac{2x}{2}=x. Deci 0∗x=x\displaystyle 0*x=x. Cum x∗0=0∗x=x\displaystyle x*0=0*x=x pentru orice x∈M\displaystyle x\in M, rezultă că e=0\displaystyle e=0 este elementul neutru al legii „∗\displaystyle *”.
    0∗x=0+x=x⇒x∗0=0∗x=x, deci e=0 este element neutru\displaystyle 0*x=0+x=x\Rightarrow x*0=0*x=x\text{, deci }e=0\text{ este element neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=2xy+2+2yx+2\displaystyle x*y=\frac{2x}{y+2}+\frac{2y}{x+2}.

Determinați x∈M\displaystyle x\in M, x\displaystyle x nenul, pentru care x∗4x=x\displaystyle x*\frac{4}{x}=x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția legii y\displaystyle y cu 4x\displaystyle \dfrac{4}{x} (pentru x≠0\displaystyle x\neq 0, 4x∈M\displaystyle \dfrac{4}{x}\in M). Obținem x∗4x=2x4x+2+2⋅4xx+2\displaystyle x*\dfrac{4}{x}=\dfrac{2x}{\frac{4}{x}+2}+\dfrac{2\cdot\frac{4}{x}}{x+2}.
    x∗4x=2x4x+2+8xx+2\displaystyle x*\dfrac{4}{x}=\dfrac{2x}{\frac{4}{x}+2}+\dfrac{\frac{8}{x}}{x+2}
  2. Simplificăm primul termen: numitorul este 4x+2=2(x+2)x\displaystyle \dfrac{4}{x}+2=\dfrac{2(x+2)}{x}, deci primul termen devine 2x⋅x2(x+2)\displaystyle 2x\cdot\dfrac{x}{2(x+2)}.
    2x4x+2=2x22(x+2)=x2x+2\displaystyle \dfrac{2x}{\frac{4}{x}+2}=\dfrac{2x^{2}}{2(x+2)}=\dfrac{x^{2}}{x+2}
  3. Al doilea termen are numărătorul 8x\displaystyle \dfrac{8}{x}, deci împărțirea la x+2\displaystyle x+2 dă 8x(x+2)\displaystyle \dfrac{8}{x(x+2)}.
    8xx+2=8x(x+2)\displaystyle \dfrac{\frac{8}{x}}{x+2}=\dfrac{8}{x(x+2)}
  4. Aducem cele două fracții la numitorul comun x(x+2)\displaystyle x(x+2): amplificăm prima fracție cu x\displaystyle x și adunăm numărătorii.
    x∗4x=x3x(x+2)+8x(x+2)=x3+8x(x+2)\displaystyle x*\dfrac{4}{x}=\dfrac{x^{3}}{x(x+2)}+\dfrac{8}{x(x+2)}=\dfrac{x^{3}+8}{x(x+2)}
  5. Ecuația x∗4x=x\displaystyle x*\dfrac{4}{x}=x devine x3+8x(x+2)=x\displaystyle \dfrac{x^{3}+8}{x(x+2)}=x. Descompunem x3+8=(x+2)(x2−2x+4)\displaystyle x^{3}+8=(x+2)(x^{2}-2x+4) și simplificăm cu x+2\displaystyle x+2, care este nenul deoarece x∈M\displaystyle x\in M.
    x2−2x+4x=x\displaystyle \dfrac{x^{2}-2x+4}{x}=x
  6. Înmulțim cu x≠0\displaystyle x\neq 0: x2−2x+4=x2\displaystyle x^{2}-2x+4=x^{2}, deci −2x+4=0\displaystyle -2x+4=0, adică x=2\displaystyle x=2. Valoarea este nenulă și aparține lui M\displaystyle M, deci convine.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2+xex−x\displaystyle f(x)=2+\frac{x}{e^x-x}.

Arătați că f′(x)=ex(1−x)(ex−x)2\displaystyle f'(x)=\frac{e^x(1-x)}{\left(e^x-x\right)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivata constantei 2\displaystyle 2 este zero, deci f′(x)\displaystyle f'(x) este derivata câtului xex−x\displaystyle \dfrac{x}{e^x-x}. Aplicăm regula de derivare a câtului (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=x\displaystyle u=x și v=ex−x\displaystyle v=e^x-x.
    f′(x)=(xex−x)′=x′(ex−x)−x(ex−x)′(ex−x)2\displaystyle f'(x)=\left(\frac{x}{e^x-x}\right)'=\frac{x'\left(e^x-x\right)-x\left(e^x-x\right)'}{\left(e^x-x\right)^2}
  2. Calculăm derivatele: u′=1\displaystyle u'=1 și v′=ex−1\displaystyle v'=e^x-1. Le înlocuim în formulă și obținem expresia din barem.
    f′(x)=ex−x−x(ex−1)(ex−x)2\displaystyle f'(x)=\frac{e^x-x-x\left(e^x-1\right)}{\left(e^x-x\right)^2}
  3. Desfacem parantezele la numărător: x(ex−1)=xex−x\displaystyle x\left(e^x-1\right)=xe^x-x. Atunci numărătorul devine ex−x−xex+x\displaystyle e^x-x-xe^x+x, iar termenii −x\displaystyle -x și +x\displaystyle +x se reduc.
    ex−x−xex+x=ex−xex\displaystyle e^x-x-xe^x+x=e^x-xe^x
  4. Dăm factor comun ex\displaystyle e^x la numărător și obținem forma cerută.
    f′(x)=ex−xex(ex−x)2=ex(1−x)(ex−x)2\displaystyle f'(x)=\frac{e^x-xe^x}{\left(e^x-x\right)^2}=\frac{e^x(1-x)}{\left(e^x-x\right)^2}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2+xex−x\displaystyle f(x)=2+\frac{x}{e^x-x}.

Determinați intervalele de monotonie ale funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Arătăm că numitorul ex−x\displaystyle e^x-x este strict pozitiv pentru orice x\displaystyle x real, deci f\displaystyle f este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Inegalitatea ex≥x+1\displaystyle e^x\ge x+1 este adevărată pentru orice x\displaystyle x real, deci ex−x≥1>0\displaystyle e^x-x\ge 1>0.
    ex−x≥1>0\displaystyle e^x-x\ge 1>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Derivăm f\displaystyle f cu formula derivatei unui cât: derivata lui 2\displaystyle 2 este 0\displaystyle 0, iar pentru fracție, numărătorul x\displaystyle x are derivata 1\displaystyle 1 și numitorul ex−x\displaystyle e^x-x are derivata ex−1\displaystyle e^x-1.
    f′(x)=1⋅(ex−x)−x (ex−1)(ex−x)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot(e^x-x)-x\,(e^x-1)}{(e^x-x)^2}
  3. Reducem termenii asemenea de la numărător: ex−x−xex+x=ex−xex=ex(1−x)\displaystyle e^x-x-xe^x+x=e^x-xe^x=e^x(1-x).
    f′(x)=ex(1−x)(ex−x)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}
  4. Numitorul (ex−x)2\displaystyle (e^x-x)^2 este strict pozitiv și ex>0\displaystyle e^x>0, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat de factorul 1−x\displaystyle 1-x. Rezultă f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 doar pentru x=1\displaystyle x=1, iar pentru x≤1\displaystyle x\le 1 avem 1−x≥0\displaystyle 1-x\ge 0, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0. Prin urmare f\displaystyle f este crescătoare pe (−∞,1]\displaystyle (-\infty,1].
    f′(x)=0⇔x=1; f′(x)≥0 pe (−∞,1]⇒f este cresca˘toare pe (−∞,1]\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1;\ f'(x)\ge 0\text{ pe }(-\infty,1]\Rightarrow f\text{ este crescătoare pe }(-\infty,1]
  5. Pentru x≥1\displaystyle x\ge 1 avem 1−x≤0\displaystyle 1-x\le 0, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0. Prin urmare f\displaystyle f este descrescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty). Răspuns: f\displaystyle f este crescătoare pe (−∞,1]\displaystyle (-\infty,1] și descrescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    f′(x)≤0⇒f este descresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle f'(x)\le 0\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }[1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2+xex−x\displaystyle f(x)=2+\frac{x}{e^x-x}.

Demonstrați că, pentru orice m∈(1,2]\displaystyle m\in(1,2], ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are soluție unică.
Vezi rezolvarea
  1. Arătăm că numitorul ex−x\displaystyle e^x-x este strict pozitiv pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci f\displaystyle f este bine definită și derivabilă. Funcția g(x)=ex−x\displaystyle g(x)=e^x-x are derivata g′(x)=ex−1\displaystyle g'(x)=e^x-1, cu minim în x=0\displaystyle x=0, iar g(0)=1>0\displaystyle g(0)=1>0.
    ex−x≥1>0\displaystyle e^x-x\geq 1>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Calculăm derivata lui f\displaystyle f cu formula pentru derivata unui cât: la numărător avem (ex−x)−x(ex−1)\displaystyle (e^x-x)-x(e^x-1), care se simplifică la ex(1−x)\displaystyle e^x(1-x).
    f′(x)=(ex−x)−x(ex−1)(ex−x)2=ex(1−x)(ex−x)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(e^x-x)-x(e^x-1)}{(e^x-x)^2}=\dfrac{e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}
  3. Studiem semnul derivatei: numitorul și ex\displaystyle e^x sunt pozitive, deci semnul este dat de 1−x\displaystyle 1-x. Rezultă că f\displaystyle f este strict crescătoare pe (−∞,1]\displaystyle (-\infty,1] și strict descrescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    f↗ pe (−∞,1]\displaystyle f\nearrow\text{ pe }(-\infty,1],f↘ pe [1,+∞)\displaystyle \quad f\searrow\text{ pe }[1,+\infty)
  4. Calculăm limitele la capete și valoarea în 1\displaystyle 1. Scriem f(x)=2+1exx−1\displaystyle f(x)=2+\dfrac{1}{\frac{e^x}{x}-1}. Pentru x→−∞\displaystyle x\to-\infty, exx→0\displaystyle \frac{e^x}{x}\to 0, deci limita este 2+1−1=1\displaystyle 2+\dfrac{1}{-1}=1. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty, exx→+∞\displaystyle \frac{e^x}{x}\to+\infty, deci limita este 2\displaystyle 2. În plus, f(1)=2+1e−1\displaystyle f(1)=2+\dfrac{1}{e-1}.
    lim⁡x→−∞f(x)=1\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=1, f(1)=2+1e−1\displaystyle \ f(1)=2+\frac{1}{e-1}, lim⁡x→+∞f(x)=2\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=2
  5. Pe (−∞,1]\displaystyle (-\infty,1], f\displaystyle f este continuă și strict crescătoare, deci este bijectivă pe imaginea ei, care este (1,f(1)]\displaystyle \left(1,f(1)\right]. Pentru m∈(1,2]\displaystyle m\in(1,2] avem m≤2<2+1e−1=f(1)\displaystyle m\le 2<2+\dfrac{1}{e-1}=f(1), deci m\displaystyle m aparține acestui interval și ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are exact o soluție pe (−∞,1]\displaystyle (-\infty,1].
    f((−∞,1])=(1, 2+1e−1]∋m\displaystyle f\big((-\infty,1]\big)=\left(1,\,2+\frac{1}{e-1}\right]\ni m
  6. Pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty), f\displaystyle f este continuă și strict descrescătoare, cu limita 2\displaystyle 2 la +∞\displaystyle +\infty, deci imaginea este (2,f(1)]\displaystyle \left(2,f(1)\right]. Cum m≤2\displaystyle m\le 2, ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m nu are soluții pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    f([1,+∞))=(2, 2+1e−1]\displaystyle f\big([1,+\infty)\big)=\left(2,\,2+\frac{1}{e-1}\right],m∉f([1,+∞))\displaystyle \quad m\notin f\big([1,+\infty)\big)
  7. Concluzie: soluția există și se află doar pe (−∞,1)\displaystyle (-\infty,1), unde f\displaystyle f este strict monotonă, deci este unică, pentru orice m∈(1,2]\displaystyle m\in(1,2].
    ecuația f(x)=m are soluție unica˘ pentru m∈(1,2]\displaystyle \text{ecuația }f(x)=m\text{ are soluție unică pentru }m\in(1,2]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3−x+x2+9\displaystyle f(x)=3-x+\sqrt{x^2+9}.

Arătați că ∫15(f(x)−x2+9)dx=0\displaystyle \int_1^5\left(f(x)-\sqrt{x^2+9}\right)dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=3−x+x2+9\displaystyle f(x)=3-x+\sqrt{x^{2}+9} în integrand: f(x)−x2+9=3−x+x2+9−x2+9=3−x\displaystyle f(x)-\sqrt{x^{2}+9}=3-x+\sqrt{x^{2}+9}-\sqrt{x^{2}+9}=3-x. Integrala devine ∫15(3−x) dx\displaystyle \int_1^5(3-x)\,dx.
    ∫15(f(x)−x2+9)dx=∫15(3−x) dx\displaystyle \int_1^5\left(f(x)-\sqrt{x^{2}+9}\right)dx=\int_1^5(3-x)\,dx
  2. O primitivă a lui 3−x\displaystyle 3-x este 3x−x22\displaystyle 3x-\dfrac{x^{2}}{2}, pentru că primitiva lui 3\displaystyle 3 este 3x\displaystyle 3x, iar a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫15(3−x) dx=(3x−x22)∣15\displaystyle \int_1^5(3-x)\,dx=\left(3x-\frac{x^{2}}{2}\right)\Big|_1^5
  3. Pentru x=5\displaystyle x=5 obținem 3⋅5−252=15−252\displaystyle 3\cdot 5-\dfrac{25}{2}=15-\dfrac{25}{2}. Pentru x=1\displaystyle x=1 obținem 3⋅1−12=3−12\displaystyle 3\cdot 1-\dfrac{1}{2}=3-\dfrac{1}{2}.
    (15−252)−(3−12)=15−252−3+12\displaystyle \left(15-\frac{25}{2}\right)-\left(3-\frac{1}{2}\right)=15-\frac{25}{2}-3+\frac{1}{2}
  4. Avem 15−3=12\displaystyle 15-3=12, iar −252+12=−242=−12\displaystyle -\dfrac{25}{2}+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{24}{2}=-12. Deci 12−12=0\displaystyle 12-12=0, adică egalitatea cerută este demonstrată.
    15−252−3+12=12−12=0\displaystyle 15-\frac{25}{2}-3+\frac{1}{2}=12-12=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3−x+x2+9\displaystyle f(x)=3-x+\sqrt{x^2+9}.

Arătați că ∫04xf(x)+x−3dx=2\displaystyle \int_0^4\frac{x}{f(x)+x-3}dx=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=3−x+x2+9\displaystyle f(x)=3-x+\sqrt{x^{2}+9} în numitor: f(x)+x−3=3−x+x2+9+x−3\displaystyle f(x)+x-3=3-x+\sqrt{x^{2}+9}+x-3. Termenii 3\displaystyle 3 și −3\displaystyle -3, respectiv −x\displaystyle -x și x\displaystyle x, se reduc, deci rămâne doar x2+9\displaystyle \sqrt{x^{2}+9}.
    f(x)+x−3=x2+9\displaystyle f(x)+x-3=\sqrt{x^{2}+9}
  2. Integrala dată devine ∫04xx2+9 dx\displaystyle \int_0^4\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}\,dx.
    ∫04xf(x)+x−3 dx=∫04xx2+9 dx\displaystyle \int_0^4\frac{x}{f(x)+x-3}\,dx=\int_0^4\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}\,dx
  3. Derivata expresiei de sub radical este (x2+9)′=2x\displaystyle (x^{2}+9)'=2x. Scriem x=(x2+9)′2\displaystyle x=\dfrac{(x^{2}+9)'}{2}, deci integrandul este (x2+9)′2x2+9\displaystyle \dfrac{(x^{2}+9)'}{2\sqrt{x^{2}+9}}. Aceasta este derivata funcției x2+9\displaystyle \sqrt{x^{2}+9}, deoarece (u)′=u′2u\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}.
    ∫04xx2+9 dx=∫04(x2+9)′2x2+9 dx=x2+9 ∣04\displaystyle \int_0^4\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}\,dx=\int_0^4\frac{\left(x^{2}+9\right)'}{2\sqrt{x^{2}+9}}\,dx=\sqrt{x^{2}+9}\,\Big|_0^4
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton. Pentru x=4\displaystyle x=4 avem 16+9=25=5\displaystyle \sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5, iar pentru x=0\displaystyle x=0 avem 9=3\displaystyle \sqrt{9}=3. Diferența este 5−3=2\displaystyle 5-3=2, deci egalitatea cerută este adevărată.
    25−9=5−3=2\displaystyle \sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3−x+x2+9\displaystyle f(x)=3-x+\sqrt{x^2+9}.

Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫01xnf(x)dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{f(x)}dx. Demonstrați că lim⁡n→+∞In=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=3−x+x2+9\displaystyle f(x)=3-x+\sqrt{x^2+9} în definiția lui In\displaystyle I_n.
    In=∫01xn3−x+x2+9 dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{3-x+\sqrt{x^2+9}}\,dx
  2. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem 3−x≥2\displaystyle 3-x\ge 2 și x2+9>0\displaystyle \sqrt{x^2+9}>0, deci numitorul verifică o minorare.
    f(x)≥2\displaystyle f(x)\ge 2, ∀x∈[0,1]\displaystyle \ \forall x\in[0,1]
  3. Pe [0,1]\displaystyle [0,1] avem xn≥0\displaystyle x^n\ge 0 și f(x)≥2>0\displaystyle f(x)\ge 2>0, deci xnf(x)≥0\displaystyle \dfrac{x^n}{f(x)}\ge 0, iar din f(x)≥2\displaystyle f(x)\ge 2 rezultă 1f(x)≤12\displaystyle \dfrac{1}{f(x)}\le\dfrac{1}{2}.
    0≤xnf(x)≤xn2\displaystyle 0\le\frac{x^n}{f(x)}\le\frac{x^n}{2}, ∀x∈[0,1]\displaystyle \ \forall x\in[0,1]
  4. Integrăm pe [0,1]\displaystyle [0,1] și calculăm ∫01xn2 dx=12⋅xn+1n+1∣01\displaystyle \int_0^1\dfrac{x^n}{2}\,dx=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_0^1.
    0≤In≤∫01xn2 dx=12(n+1)\displaystyle 0\le I_n\le\int_0^1\frac{x^n}{2}\,dx=\frac{1}{2(n+1)}
  5. Deoarece lim⁡n→+∞12(n+1)=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{2(n+1)}=0 și 0≤In≤12(n+1)\displaystyle 0\le I_n\le\dfrac{1}{2(n+1)}, din criteriul cleștelui rezultă limita cerută.
    0≤In≤12(n+1)\displaystyle 0\le I_n\le\frac{1}{2(n+1)}, lim⁡n→+∞12(n+1)=0⇒lim⁡n→+∞In=0\displaystyle \ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{2(n+1)}=0\Rightarrow\lim_{n\to+\infty}I_n=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.