Bac matematică M1 mate-info 2012, sesiunea I varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Calculați modulul numărului complex

\displaystyle (1+i)^2

.

Vezi rezolvarea

Dezvoltăm pătratul folosind formula $\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ , cu $\displaystyle a=1$ și $\displaystyle b=i$ : $\displaystyle (1+i)^2=1^2+2\cdot 1\cdot i+i^2$ .
$\displaystyle (1+i)^2=1+2i+i^2$
Folosim faptul că $\displaystyle i^2=-1$ și reducem termenii: $\displaystyle 1+2i-1=2i$ .
$\displaystyle (1+i)^2=2i$
Modulul unui număr complex $\displaystyle a+bi$ este $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}$ . Pentru $\displaystyle 2i$ avem $\displaystyle a=0$ și $\displaystyle b=2$ , deci modulul este $\displaystyle \sqrt{0^2+2^2}=\sqrt{4}=2$ .
$\displaystyle |(1+i)^2|=|2i|=\sqrt{0^2+2^2}=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați coordonatele punctelor de intersecție a graficelor funcțiilor

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+2x

și

\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=-x-2

.

Vezi rezolvarea

Abscisele punctelor de intersecție verifică egalitatea $\displaystyle f(x)=g(x)$ , adică $\displaystyle x^{2}+2x=-x-2$ .
$\displaystyle x^{2}+2x=-x-2$
Mutăm termenii din dreapta în stânga: $\displaystyle x^{2}+2x+x+2=0$ , deci $\displaystyle x^{2}+3x+2=0$ .
$\displaystyle x^{2}+3x+2=0$
Avem $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=3$ , $\displaystyle c=2$ , deci $\displaystyle \Delta=3^{2}-4\cdot 1\cdot 2=1$ . Rădăcinile sunt $\displaystyle x=\dfrac{-3\pm 1}{2}$ , adică $\displaystyle x_1=-1$ și $\displaystyle x_2=-2$ .
$\displaystyle \Delta=1$ , $\displaystyle \quad x_1=-1$ , $\displaystyle \quad x_2=-2$
Pentru $\displaystyle x_1=-1$ : $\displaystyle g(-1)=-(-1)-2=-1$ . Verificare cu $\displaystyle f$ : $\displaystyle f(-1)=(-1)^{2}+2\cdot(-1)=1-2=-1$ . Deci $\displaystyle y_1=-1$ .
$\displaystyle x_1=-1\Rightarrow y_1=-1$ , $\displaystyle \quad A(-1,-1)$
Pentru $\displaystyle x_2=-2$ : $\displaystyle g(-2)=-(-2)-2=0$ . Verificare cu $\displaystyle f$ : $\displaystyle f(-2)=(-2)^{2}+2\cdot(-2)=4-4=0$ . Deci $\displaystyle y_2=0$ , iar punctele de intersecție sunt $\displaystyle A(-1,-1)$ și $\displaystyle B(-2,0)$ .
$\displaystyle x_2=-2\Rightarrow y_2=0$ , $\displaystyle \quad B(-2,0)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația

\displaystyle 2^{x+1}\le 4

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle 4=2^{2}$ , deci aducem ambii membri ai inecuației la baza $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle 4=2^{2}$
Înlocuim $\displaystyle 4$ cu $\displaystyle 2^{2}$ și obținem inecuația cu aceeași bază în ambii membri.
$\displaystyle 2^{x+1}\le 2^{2}$
Baza $\displaystyle 2$ este mai mare decât $\displaystyle 1$ , deci funcția $\displaystyle f(t)=2^{t}$ este strict crescătoare și păstrează sensul inegalității. Comparăm direct exponenții.
$\displaystyle x+1\le 2$
Scădem $\displaystyle 1$ din ambii membri și obținem $\displaystyle x\le 1$ . Mulțimea soluțiilor este intervalul închis la dreapta în $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle S=(-\infty,1]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare una dintre submulțimile cu trei elemente ale mulțimii

\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\}

, elementele submulțimii alese să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Vezi rezolvarea

Folosim formula probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, $\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$ .
$\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$
Cazurile posibile sunt submulțimile cu trei elemente ale unei mulțimi cu cinci elemente, deci numărul lor este $\displaystyle C_5^3$ .
$\displaystyle C_5^3=\frac{5!}{3!\cdot 2!}$
Calculăm: $\displaystyle C_5^3=\dfrac{5\cdot 4}{2}=10$ , deci avem 10 cazuri posibile.
$\displaystyle C_5^3=10\Rightarrow 10\text{ cazuri posibile}$
Căutăm submulțimile $\displaystyle \{a,b,c\}$ cu $\displaystyle a<b<c$ și $\displaystyle 2b=a+c$ . Pentru rația $\displaystyle 1$ obținem $\displaystyle \{1,2,3\}$ , $\displaystyle \{2,3,4\}$ , $\displaystyle \{3,4,5\}$ . Pentru rația $\displaystyle 2$ obținem doar $\displaystyle \{1,3,5\}$ . Rația $\displaystyle 3$ sau mai mare nu se poate, deoarece $\displaystyle 1+2\cdot 3=7>5$ .
$\displaystyle \{1,2,3\}$ , $\displaystyle \{2,3,4\}$ , $\displaystyle \{3,4,5\}\text{ și }\{1,3,5\}$
Numărăm submulțimile găsite, deci avem $\displaystyle 4$ cazuri favorabile.
$\displaystyle \{1,2,3\}$ , $\displaystyle \{2,3,4\}$ , $\displaystyle \{3,4,5\}\text{ și }\{1,3,5\}\Rightarrow 4\text{ cazuri favorabile}$
Înlocuim în formulă: $\displaystyle p=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$ .
$\displaystyle p=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Se consideră vectorii

\displaystyle \vec{u}=\vec{i}-2\vec{j}

și

\displaystyle \vec{v}=a\vec{i}-\vec{j}

. Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}=3

.

Vezi rezolvarea

Scriem coordonatele vectorilor în baza $\displaystyle \vec{i},\vec{j}$ : $\displaystyle \vec{u}=(1,-2)$ și $\displaystyle \vec{v}=(a,-1)$ .
$\displaystyle \vec{u}=(1,-2)$ , $\displaystyle \ \vec{v}=(a,-1)$
Produsul scalar în coordonate este suma produselor coordonatelor corespunzătoare: $\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot a+(-2)\cdot(-1)$ .
$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot a+(-2)\cdot(-1)$
Calculăm: $\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}=a+2$ . Condiția $\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}=3$ devine $\displaystyle a+2=3$ .
$\displaystyle a+2=3$
Scădem $\displaystyle 2$ din ambii membri: $\displaystyle a=3-2$ , deci $\displaystyle a=1$ .
$\displaystyle a=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Calculați cosinusul unghiului

\displaystyle A

al triunghiului

\displaystyle ABC

în care

\displaystyle AB=4

,

\displaystyle AC=5

și

\displaystyle BC=7

.

Vezi rezolvarea

Unghiul $\displaystyle A$ se află în fața laturii $\displaystyle BC$ , deci scriem teorema cosinusului pentru latura $\displaystyle BC$ : $\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A$ .
$\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A$
Izolăm $\displaystyle \cos A$ din relația de mai sus.
$\displaystyle \cos A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\cdot AB\cdot AC}$
Înlocuim $\displaystyle AB=4$ , $\displaystyle AC=5$ și $\displaystyle BC=7$ în formulă.
$\displaystyle \cos A=\frac{4^{2}+5^{2}-7^{2}}{2\cdot 4\cdot 5}$
Calculăm numărătorul: $\displaystyle 16+25-49=-8$ , iar numitorul este $\displaystyle 2\cdot 4\cdot 5=40$ .
$\displaystyle \cos A=\frac{-8}{40}$
Simplificăm fracția prin $\displaystyle 8$ și obținem răspunsul final.
$\displaystyle \cos A=-\frac{1}{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră sistemul

\begin{cases}2x+y+3z=0\\x+2y+3z=0\\x+y+mz=0\end{cases}

unde

\displaystyle m\in\mathbb{R}

.

Calculați determinantul matricei sistemului.

Vezi rezolvarea

Matricea sistemului are pe linii coeficienții lui $\displaystyle x$ , $\displaystyle y$ , $\displaystyle z$ din fiecare ecuație: prima linie $\displaystyle 2,\ 1,\ 3$ , a doua linie $\displaystyle 1,\ 2,\ 3$ , a treia linie $\displaystyle 1,\ 1,\ m$ .
$\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1&3\\1&2&3\\1&1&m\end{pmatrix}$
Dezvoltăm determinantul după prima linie, cu semnele $\displaystyle +,-,+$ , și scriem minorii de ordin 2.
$\displaystyle \det A=2\begin{vmatrix}2&3\\1&m\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1&3\\1&m\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}$
Calculăm fiecare minor de ordin 2 ca diferența produselor de pe diagonale.
$\displaystyle \begin{vmatrix}2&3\\1&m\end{vmatrix}=2m-3$ , $\displaystyle \quad \begin{vmatrix}1&3\\1&m\end{vmatrix}=m-3$ , $\displaystyle \quad \begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}=-1$
Înlocuim minorii în dezvoltare, efectuăm înmulțirile și reducem termenii asemenea. Obținem $\displaystyle \det A=2(2m-3)-(m-3)+3\cdot(-1)=4m-6-m+3-3$ .
$\displaystyle \det A=3m-6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră sistemul

\begin{cases}2x+y+3z=0\\x+2y+3z=0\\x+y+mz=0\end{cases}

unde

\displaystyle m\in\mathbb{R}

.

Determinați valorile reale ale lui

\displaystyle m

pentru care sistemul are soluție unică.

Vezi rezolvarea

Sistemul este omogen, deci are mereu soluția nulă $\displaystyle (0,0,0)$ . Soluția este unică exact atunci când determinantul matricei sistemului este nenul. Matricea coeficienților este $\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1&3\\1&2&3\\1&1&m\end{pmatrix}$ , iar condiția este $\displaystyle \det A\neq 0$ .
$\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&1&3\\1&2&3\\1&1&m\end{vmatrix}\neq 0$
Calculăm determinantul prin dezvoltare după prima linie: $\displaystyle \det A=2(2m-3)-1\cdot(m-3)+3(1-2)$ .
$\displaystyle \det A=4m-6-m+3-3$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle 4m-m=3m$ și $\displaystyle -6+3-3=-6$ .
$\displaystyle \det A=3m-6$
Impunem $\displaystyle 3m-6\neq 0$ , adică $\displaystyle m\neq 2$ . Deci sistemul are soluție unică pentru orice $\displaystyle m$ real diferit de $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle m\in\mathbb{R}\setminus\{2\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră sistemul

\begin{cases}2x+y+3z=0\\x+2y+3z=0\\x+y+mz=0\end{cases}

unde

\displaystyle m\in\mathbb{R}

.

În cazul

\displaystyle m=2

, determinați soluția

\displaystyle (x_0,y_0,z_0)

a sistemului pentru care

\displaystyle x_0>0

și

\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=3

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle m=2$ sistemul este omogen, cu matricea $\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1&3\\1&2&3\\1&1&2\end{pmatrix}$ . Calculăm determinantul: $\displaystyle \det A=2(4-3)-1(2-3)+3(1-2)=2+1-3=0$ .
$\displaystyle \det A=0$
Cum $\displaystyle \det A=0$ , sistemul este compatibil nedeterminat. Minorul $\displaystyle \begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}=4-1=3\neq 0$ , deci rangul este 2, iar $\displaystyle z$ este necunoscută secundară.
$\displaystyle \det A=0\text{ și }\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}=3\neq 0$
Notăm $\displaystyle z=\alpha$ și trecem termenii cu $\displaystyle z$ în membrul drept, obținând sistemul în $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ .
$\displaystyle \begin{cases}2x+y=-3\alpha\\x+2y=-3\alpha\end{cases}$
Scădem a doua ecuație din prima: $\displaystyle x-y=0$ , deci $\displaystyle x=y$ . Din prima ecuație, $\displaystyle 3x=-3\alpha$ , deci $\displaystyle x=-\alpha$ și $\displaystyle y=-\alpha$ . A treia ecuație este verificată: $\displaystyle -\alpha-\alpha+2\alpha=0$ .
$\displaystyle x=-\alpha$ , $\displaystyle \ y=-\alpha$ , $\displaystyle \ z=\alpha$
Impunem $\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=3$ : $\displaystyle (-\alpha)^2+(-\alpha)^2+\alpha^2=3$ , deci $\displaystyle 3\alpha^2=3$ , adică $\displaystyle \alpha^2=1$ .
$\displaystyle \alpha\in\{-1,1\}$
Condiția $\displaystyle x_0>0$ înseamnă $\displaystyle -\alpha>0$ , deci $\displaystyle \alpha<0$ , adică $\displaystyle \alpha=-1$ . Atunci $\displaystyle x_0=1$ , $\displaystyle y_0=1$ , $\displaystyle z_0=-1$ .
$\displaystyle (x_0,y_0,z_0)=(1,1,-1)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-2\\3&-2\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})

și mulțimea

\displaystyle G=\{X(p)=I_2+pA\mid p\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}\}

.

Arătați că

\displaystyle X(p)\cdot X(q)\in G

, pentru orice

\displaystyle X(p),X(q)\in G

.

Vezi rezolvarea

Calculăm pătratul matricei $\displaystyle A$ : $\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}3&-2\\3&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-2\\3&-2\end{pmatrix}$ . Prima linie dă $\displaystyle 3\cdot 3+(-2)\cdot 3=3$ și $\displaystyle 3\cdot(-2)+(-2)(-2)=-2$ , la fel și linia a doua. Deci $\displaystyle A^{2}=A$ .
$\displaystyle A^{2}=A$
Scriem produsul folosind definiția și îl desfacem: $\displaystyle X(p)\cdot X(q)=(I_2+pA)(I_2+qA)=I_2+qA+pA+pqA^{2}$ .
$\displaystyle X(p)X(q)=I_2+(p+q)A+pqA^{2}$
Înlocuim $\displaystyle A^{2}=A$ și grupăm termenii care conțin $\displaystyle A$ : $\displaystyle X(p)\cdot X(q)=I_2+(p+q+pq)A=X(p+q+pq)$ .
$\displaystyle X(p)\cdot X(q)=X(p+q+pq)$
Pentru ca produsul să fie în $\displaystyle G$ , parametrul $\displaystyle p+q+pq$ trebuie să fie real și diferit de $\displaystyle -1$ . Este real, deoarece $\displaystyle p,q\in\mathbb{R}$ . Observăm că $\displaystyle p+q+pq+1=(p+1)(q+1)$ .
$\displaystyle p+q+pq+1=(p+1)(q+1)$
Cum $\displaystyle p\neq -1$ și $\displaystyle q\neq -1$ , avem $\displaystyle p+1\neq 0$ și $\displaystyle q+1\neq 0$ , deci $\displaystyle (p+1)(q+1)\neq 0$ . Rezultă $\displaystyle p+q+pq\neq -1$ , deci $\displaystyle X(p+q+pq)\in G$ și astfel $\displaystyle X(p)\cdot X(q)\in G$ .
$\displaystyle (p+1)(q+1)\neq 0\Rightarrow p+q+pq\neq -1\text{, deci }X(p+q+pq)\in G$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-2\\3&-2\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})

și mulțimea

\displaystyle G=\{X(p)=I_2+pA\mid p\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}\}

.

Admitem că

\displaystyle (G,\cdot)

este grup comutativ având elementul neutru

\displaystyle X(0)

. Determinați inversul elementului

\displaystyle X(p)

în acest grup.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle A^{2}$ : $\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}3&-2\\3&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-2\\3&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9-6&-6+4\\9-6&-6+4\end{pmatrix}$ , deci $\displaystyle A^{2}=A$ .
$\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}3&-2\\3&-2\end{pmatrix}=A$
Pentru $\displaystyle p,q\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ avem $\displaystyle X(p)X(q)=(I_2+pA)(I_2+qA)=I_2+(p+q)A+pqA^{2}$ . Cum $\displaystyle A^{2}=A$ , rezultă $\displaystyle X(p)X(q)=X(p+q+pq)$ .
$\displaystyle X(p)\cdot X(q)=X(p+q+pq)$
Căutăm $\displaystyle q$ astfel încât $\displaystyle X(p)X(q)=X(0)$ , adică $\displaystyle p+q+pq=0$ . Atunci $\displaystyle q(1+p)=-p$ , iar cum $\displaystyle p\neq -1$ putem împărți cu $\displaystyle 1+p$ .
$\displaystyle q=-\dfrac{p}{1+p}$
Verificăm: $\displaystyle p-\dfrac{p}{1+p}-\dfrac{p^{2}}{1+p}=\dfrac{p(1+p)-p-p^{2}}{1+p}=\dfrac{p+p^{2}-p-p^{2}}{1+p}=0$ . Deci $\displaystyle X(p)\cdot X\left(-\dfrac{p}{1+p}\right)=X(0)$ .
$\displaystyle X(p)\cdot X\left(-\dfrac{p}{1+p}\right)=X(0)$
Dacă $\displaystyle -\dfrac{p}{1+p}=-1$ , atunci $\displaystyle p=1+p$ , adică $\displaystyle 0=1$ , fals. Deci $\displaystyle -\dfrac{p}{1+p}\neq -1$ și $\displaystyle X\left(-\dfrac{p}{1+p}\right)\in G$ . Grupul fiind comutativ, acesta este inversul lui $\displaystyle X(p)$ .
$\displaystyle -\dfrac{p}{1+p}\neq -1\Rightarrow X\left(-\dfrac{p}{1+p}\right)\in G\text{ și }X(p)^{-1}=X\left(-\dfrac{p}{1+p}\right)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-2\\3&-2\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})

și mulțimea

\displaystyle G=\{X(p)=I_2+pA\mid p\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}\}

.

Rezolvați ecuația

\displaystyle (X(p))^3=I_2+7A

, unde

\displaystyle X(p)\in G

.

Vezi rezolvarea

Calculăm pătratul matricei $\displaystyle A$ . Înmulțind linie cu coloană, obținem $\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}9-6&-6+4\\9-6&-6+4\end{pmatrix}=A$ .
$\displaystyle A^{2}=A$
Deducem regula de compunere. Dezvoltăm $\displaystyle X(p)X(q)=(I_2+pA)(I_2+qA)=I_2+(p+q)A+pqA^{2}$ și folosim $\displaystyle A^{2}=A$ .
$\displaystyle X(p)X(q)=X(p+q+pq)$
Scriem membrul drept al ecuației ca element al lui $\displaystyle G$ : $\displaystyle I_2+7A=X(7)$ . Cum $\displaystyle 7\neq -1$ , avem $\displaystyle X(7)\in G$ .
$\displaystyle I_2+7A=X(7)$
Calculăm pătratul lui $\displaystyle X(p)$ , aplicând regula de compunere cu $\displaystyle q=p$ : $\displaystyle X(p)^{2}=X(2p+p^{2})$ , adică $\displaystyle X\left((p+1)^{2}-1\right)$ .
$\displaystyle (X(p))^{2}=X\left((p+1)^{2}-1\right)$
Calculăm puterea a treia: $\displaystyle (X(p))^{3}=X\left((p+1)^{2}-1\right)X(p)$ . Parametrul rezultat este $\displaystyle (p+1)^{2}-1+p+p\left((p+1)^{2}-1\right)=(p+1)^{2}(p+1)-1=(p+1)^{3}-1$ .
$\displaystyle (X(p))^{3}=X\left((p+1)^{3}-1\right)$
Înlocuim în ecuație: $\displaystyle X\left((p+1)^{3}-1\right)=X(7)$ . Cum $\displaystyle A\neq O_2$ , egalitatea $\displaystyle I_2+aA=I_2+bA$ implică $\displaystyle a=b$ , deci parametrii sunt egali.
$\displaystyle (p+1)^{3}-1=7$
Rezolvăm ecuația: $\displaystyle (p+1)^{3}=8$ , deci $\displaystyle p+1=2$ , adică $\displaystyle p=1$ . Cum $\displaystyle 1\neq -1$ , valoarea convine. Soluția este $\displaystyle X(1)=I_2+A$ .
$\displaystyle (p+1)^{3}=8\text{, deci }p=1\text{ și soluția este }X(1)=\begin{pmatrix}4&-2\\3&-1\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^3-12x

.

Arătați că funcția este crescătoare pe intervalul

\displaystyle [2,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f$ este polinomială, deci derivabilă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ . Pentru a studia monotonia, calculăm derivata, folosind $\displaystyle (x^{n})'=n\cdot x^{n-1}$ și $\displaystyle (ax)'=a$ .
$\displaystyle f'(x)=(x^{3})'-(12x)'=3x^{2}-12$
Descompunem derivata în factori: scoatem factor comun $\displaystyle 3$ și apoi folosim diferența de pătrate $\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ .
$\displaystyle f'(x)=3(x^{2}-4)=3(x-2)(x+2)$
Pentru $\displaystyle x\in[2,+\infty)$ avem $\displaystyle x\ge 2$ , deci $\displaystyle x-2\ge 0$ , iar $\displaystyle x+2\ge 4>0$ . Cum $\displaystyle 3>0$ , produsul celor trei factori este mai mare sau egal cu zero.
$\displaystyle x\ge 2\Rightarrow 3(x-2)(x+2)\ge 0$
Derivata este pozitivă sau nulă pe tot intervalul (se anulează doar în $\displaystyle x=2$ ), deci $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle [2,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)\ge 0\text{ pentru orice }x\in[2,+\infty)\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[2,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^3-12x

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{f(x)}

.

Vezi rezolvarea

Avem de calculat $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{f(x)}$ , unde $\displaystyle f(x)=x^3-12x$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^3-12x}$
Scoatem factor comun: $\displaystyle f(x)=x^3\left(1-\dfrac{12}{x^2}\right)$ . Când $\displaystyle x\to+\infty$ , $\displaystyle x^3\to+\infty$ și $\displaystyle 1-\dfrac{12}{x^2}\to 1$ , deci limita lui $\displaystyle f$ este $\displaystyle +\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$
Cum $\displaystyle e^x\to+\infty$ și $\displaystyle f(x)\to+\infty$ , avem nedeterminarea $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ și aplicăm regula lui l'Hospital: derivăm separat numărătorul și numitorul.
$\displaystyle \left(e^x\right)'=e^x$ , $\displaystyle \quad f'(x)=3x^2-12$
Primim $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{3x^2-12}$ , tot de forma $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ . Aplicăm din nou l'Hospital, cu $\displaystyle \left(3x^2-12\right)'=6x$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{3x^2-12}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{6x}$
Limita $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{6x}$ este tot de forma $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ . Aplicăm încă o dată l'Hospital, cu $\displaystyle (6x)'=6$ , și obținem $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{6}$ . Cum $\displaystyle e^x\to+\infty$ , limita este $\displaystyle +\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{f(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{3x^2-12}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{6x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{6}=+\infty$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^3-12x

.

Determinați mulțimea numerelor reale

\displaystyle a

pentru care ecuația

\displaystyle f(x)=a

are trei soluții reale distincte.

Vezi rezolvarea

Notăm $\displaystyle g(x)=f(x)-a=x^3-12x-a$ . Ecuația $\displaystyle f(x)=a$ este echivalentă cu $\displaystyle g(x)=0$ . Derivata este $\displaystyle g'(x)=3x^{2}-12$ .
$\displaystyle g'(x)=3x^{2}-12$
Rezolvăm $\displaystyle 3x^{2}-12=0$ , deci $\displaystyle x^{2}=4$ . Punctele critice sunt $\displaystyle x=-2$ și $\displaystyle x=2$ .
$\displaystyle x=-2\text{ și }x=2$
Calculăm $\displaystyle g(-2)=(-2)^3-12\cdot(-2)-a=-8+24-a=16-a$ și $\displaystyle g(2)=2^3-12\cdot 2-a=8-24-a=-16-a$ .
$\displaystyle g(-2)=16-a$ , $\displaystyle \quad g(2)=-16-a$
Deoarece $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty$ și $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$ , șirul lui Rolle pentru $\displaystyle g$ este format din valorile din tabel, în ordinea punctelor $\displaystyle -\infty,-2,2,+\infty$ .
$\displaystyle -\infty$ , $\displaystyle \ 16-a$ , $\displaystyle \ -16-a$ , $\displaystyle \ +\infty$
Ecuația $\displaystyle g(x)=0$ are trei soluții reale distincte exact când semnele șirului alternează: $\displaystyle -,+,-,+$ . Deci trebuie $\displaystyle 16-a>0$ și $\displaystyle -16-a<0$ .
$\displaystyle 16-a>0\text{ și }-16-a<0$
Din $\displaystyle 16-a>0$ rezultă $\displaystyle a<16$ , iar din $\displaystyle -16-a<0$ rezultă $\displaystyle a>-16$ . Deci ecuația are trei soluții reale distincte exact pentru $\displaystyle a\in(-16,16)$ .
$\displaystyle a\in(-16,16)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{x+2}

.

Arătați că orice primitivă a lui

\displaystyle f

este strict crescătoare pe

\displaystyle (-1,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Fie $\displaystyle F$ o primitivă oarecare a lui $\displaystyle f$ pe intervalul $\displaystyle (-1,+\infty)$ . Din definiția primitivei, $\displaystyle F$ este derivabilă și derivata ei este $\displaystyle f$ .
$\displaystyle F'(x)=f(x)=\dfrac{2x+3}{x+2}\text{, pentru orice }x\in(-1,+\infty)$
Studiem semnul numărătorului: pentru $\displaystyle x>-1$ avem $\displaystyle 2x>-2$ , deci $\displaystyle 2x+3>1$ , adică numărătorul este pozitiv.
$\displaystyle 2x+3>1>0$
Studiem semnul numitorului: pentru $\displaystyle x>-1$ avem $\displaystyle x+2>1$ , deci numitorul este pozitiv.
$\displaystyle x+2>1>0$
Un raport între două numere pozitive este pozitiv, deci $\displaystyle f(x)$ este strict pozitivă pe tot intervalul.
$\displaystyle f(x)=\dfrac{2x+3}{x+2}>0\text{ pentru orice }x\in(-1,+\infty)$
Deoarece $\displaystyle F'(x)=f(x)>0$ pe intervalul $\displaystyle (-1,+\infty)$ , funcția $\displaystyle F$ este strict crescătoare pe acest interval. Cum $\displaystyle F$ a fost o primitivă oarecare, afirmația este valabilă pentru orice primitivă a lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle F\text{ este strict crescătoare }$ $\displaystyle \text{pe }(-1,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{x+2}

.

Calculați

\displaystyle \int_0^1\frac{f(x)}{x+1}\,dx

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=\dfrac{2x+3}{x+2}$ în integrală. Numitorul devine produsul $\displaystyle (x+1)(x+2)$ .
$\displaystyle \int_0^1\frac{f(x)}{x+1}\,dx=\int_0^1\frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\,dx$
Căutăm constantele $\displaystyle A$ și $\displaystyle B$ astfel încât $\displaystyle \dfrac{2x+3}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x+2}$ .
$\displaystyle \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}$
Aducem la același numitor și obținem $\displaystyle 2x+3=A(x+2)+B(x+1)$ . Pentru $\displaystyle x=-1$ rezultă $\displaystyle 1=A$ , iar pentru $\displaystyle x=-2$ rezultă $\displaystyle -1=-B$ , deci $\displaystyle B=1$ .
$\displaystyle A=1$ , $\displaystyle \ B=1$
Cu $\displaystyle A=B=1$ , integrala se scrie ca suma a două integrale simple.
$\displaystyle \int_0^1\frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\,dx=\int_0^1\frac{dx}{x+1}+\int_0^1\frac{dx}{x+2}$
Primitivele sunt $\displaystyle \ln(x+1)$ și $\displaystyle \ln(x+2)$ , iar $\displaystyle x+1>0$ și $\displaystyle x+2>0$ pe $\displaystyle [0,1]$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton.
$\displaystyle \ln(x+1)\Big|_0^1+\ln(x+2)\Big|_0^1=(\ln 2-\ln 1)+(\ln 3-\ln 2)$
Folosim $\displaystyle \ln 1=0$ , iar termenii $\displaystyle \ln 2$ se reduc. Rămâne $\displaystyle \ln 3$ .
$\displaystyle \ln 3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{x+2}

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\int_x^{2x}f(t)\,dt}{x}

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle 2x+3=2(x+2)-1$ , deci $\displaystyle f(t)=\dfrac{2(t+2)-1}{t+2}$ , adică funcția devine o sumă de două termeni simpli.
$\displaystyle f(t)=2-\frac{1}{t+2}$
Pentru $\displaystyle t>-1$ avem $\displaystyle t+2>0$ , deci o primitivă a lui $\displaystyle f$ este $\displaystyle F(t)=2t-\ln(t+2)$ .
$\displaystyle F(t)=2t-\ln(t+2)$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle \int_x^{2x}f(t)\,dt=F(2x)-F(x)=\left(4x-\ln(2x+2)\right)-\left(2x-\ln(x+2)\right)$ .
$\displaystyle \int_x^{2x}f(t)\,dt=2x-\ln(2x+2)+\ln(x+2)$
Cum $\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}$ , obținem $\displaystyle \int_x^{2x}f(t)\,dt=2x-\ln\dfrac{2x+2}{x+2}$ .
$\displaystyle \int_x^{2x}f(t)\,dt=2x-\ln\frac{2x+2}{x+2}$
Raportul este $\displaystyle \dfrac{2x-\ln\frac{2x+2}{x+2}}{x}=2-\dfrac{1}{x}\ln\dfrac{2x+2}{x+2}$ .
$\displaystyle 2-\frac{1}{x}\ln\frac{2x+2}{x+2}$
Avem $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x+2}{x+2}=2$ , deci $\displaystyle \ln\dfrac{2x+2}{x+2}\to\ln 2$ , iar $\displaystyle \dfrac{1}{x}\cdot\ln\dfrac{2x+2}{x+2}\to 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\ln\frac{2x+2}{x+2}=0$
Limita cerută este $\displaystyle 2-0=2$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\int_x^{2x}f(t)\,dt}{x}=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2012, sesiunea I varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani