Bac matematică M1 mate-info 2014, sesiunea I rezervă varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați numărul real

\displaystyle x

știind că numerele

\displaystyle 2

,

\displaystyle 4

și

\displaystyle x+5

sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Vezi rezolvarea

Într-o progresie geometrică, pătratul unui termen este egal cu produsul termenilor vecini. Pentru termenii consecutivi $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 4$ și $\displaystyle x+5$ scriem $\displaystyle 4^{2}=2\cdot(x+5)$ .
$\displaystyle 2\cdot(x+5)=4^{2}$
Calculăm $\displaystyle 4^{2}=16$ , deci ecuația devine $\displaystyle 2(x+5)=16$ .
$\displaystyle 2(x+5)=16$
Împărțim ambii membri la $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle x+5=8$ .
$\displaystyle x+5=8$
Scădem $\displaystyle 5$ din ambii membri și obținem $\displaystyle x=3$ . Verificare: numerele $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 4$ , $\displaystyle 8$ au rația $\displaystyle 2$ , deci formează o progresie geometrică.
$\displaystyle x=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Arătați că parabola asociată funcției

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+x+4

este situată deasupra axei

\displaystyle Ox

.

Vezi rezolvarea

Identificăm coeficienții funcției $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$ : $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=1$ , $\displaystyle c=4$ . Parabola este situată deasupra axei $\displaystyle Ox$ dacă $\displaystyle f(x)>0$ pentru orice $\displaystyle x$ real, adică dacă $\displaystyle a>0$ și discriminantul este negativ.
$\displaystyle a=1$ , $\displaystyle \ b=1$ , $\displaystyle \ c=4$
Calculăm discriminantul cu formula $\displaystyle \Delta=b^2-4ac$ , înlocuind coeficienții: $\displaystyle \Delta=1^2-4\cdot 1\cdot 4=1-16=-15$ .
$\displaystyle \Delta=1-16=-15$
Deoarece $\displaystyle a=1>0$ , parabola are ramurile în sus, iar discriminantul $\displaystyle \Delta=-15<0$ , deci ecuația $\displaystyle f(x)=0$ nu are rădăcini reale și parabola nu intersectează axa $\displaystyle Ox$ . Ramurile fiind în sus, graficul este situat deasupra axei $\displaystyle Ox$ .
$\displaystyle a=1>0\text{ și }\Delta<0\Rightarrow\text{parabola asociată }$ $\displaystyle \text{funcției }f\text{ este situată deasupra }$ $\displaystyle \text{axei }Ox$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt[3]{x^2-1}=2

.

Vezi rezolvarea

Radicalul de ordin 3 este definit pentru orice număr real, deci nu avem condiții de existență. Ridicăm ambii membri ai ecuației $\displaystyle \sqrt[3]{x^2-1}=2$ la puterea a treia, operație echivalentă pentru radicali de ordin impar.
$\displaystyle x^{2}-1=2^{3}=8$
Trecem $\displaystyle 8$ în membrul stâng și obținem o ecuație de gradul al doilea incompletă.
$\displaystyle x^{2}-1=8\Leftrightarrow x^{2}-9=0$
Descompunem diferența de pătrate: $\displaystyle x^{2}-9=(x-3)(x+3)=0$ . Egalăm fiecare factor cu zero.
$\displaystyle x-3=0\text{ sau }x+3=0$
Ridicarea la puterea a treia a fost echivalență, deci ambele valori sunt soluții. Soluțiile ecuației sunt $\displaystyle -3$ și $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle x_1=-3\text{ și }x_2=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă suma cifrelor egală cu

\displaystyle 7

.

Vezi rezolvarea

Folosim formula clasică a probabilității: $\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$ .
$\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$
Numerele de două cifre $\displaystyle \overline{ab}$ cu $\displaystyle a+b=7$ sunt $\displaystyle 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70$ . Cifra zecilor $\displaystyle a$ ia valorile de la $\displaystyle 1$ la $\displaystyle 7$ , iar $\displaystyle b=7-a$ este determinată. Sunt $\displaystyle 7$ cazuri favorabile.
$\displaystyle 7$
Numerele naturale de două cifre sunt toate numerele de la $\displaystyle 10$ la $\displaystyle 99$ , deci numărul cazurilor posibile este $\displaystyle 99-10+1=90$ .
$\displaystyle 90$
Înlocuim în formulă: $\displaystyle p=\dfrac{7}{90}$ .
$\displaystyle p=\frac{7}{90}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(-1,4)

și

\displaystyle B(1,2)

. Determinați lungimea vectorului

\displaystyle \overrightarrow{OM}

, unde punctul

\displaystyle M

este mijlocul segmentului

\displaystyle AB

.

Vezi rezolvarea

Scriem formulele pentru coordonatele mijlocului unui segment: $\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}$ și $\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$ .
$\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}$ , $\displaystyle \quad y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$
Înlocuim coordonatele punctelor $\displaystyle A(-1,4)$ și $\displaystyle B(1,2)$ : $\displaystyle x_M=\dfrac{-1+1}{2}=0$ și $\displaystyle y_M=\dfrac{4+2}{2}=3$ . Deci $\displaystyle M(0,3)$ .
$\displaystyle M(0,3)$
Cum $\displaystyle O(0,0)$ este originea, lungimea vectorului este $\displaystyle OM=\sqrt{(x_M-0)^{2}+(y_M-0)^{2}}=\sqrt{0^{2}+3^{2}}$ .
$\displaystyle OM=\sqrt{0^{2}+3^{2}}=\sqrt{9}$
Deoarece $\displaystyle \sqrt{9}=3$ , obținem lungimea vectorului $\displaystyle \overrightarrow{OM}$ .
$\displaystyle OM=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Știind că

\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

și

\displaystyle \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}

, calculați

\displaystyle \sin 2x

.

Vezi rezolvarea

Avem $\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ și $\displaystyle \cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Cerem $\displaystyle \sin 2x$ .
$\displaystyle \cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\displaystyle \ x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$
Știm că $\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Cum $\displaystyle \dfrac{\pi}{6}\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ , iar cosinusul este injectiv pe acest interval, obținem $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{6}$ .
$\displaystyle x=\dfrac{\pi}{6}$
Înlocuim: $\displaystyle 2x=2\cdot\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}$ , deci $\displaystyle \sin 2x=\sin\dfrac{\pi}{3}$ .
$\displaystyle \sin 2x=\sin\dfrac{\pi}{3}$
Cum $\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , rezultă $\displaystyle \sin 2x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .
$\displaystyle \sin 2x=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&2x&0\\0&4x+1&0\\0&3x&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(0))=1

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=0$ în matricea $\displaystyle A(x)$ : elementele $\displaystyle 2x$ și $\displaystyle 3x$ devin $\displaystyle 0$ , iar $\displaystyle 4x+1$ devine $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
Scriem determinantul matricei $\displaystyle A(0)$ , adică determinantul matricei unitate de ordin $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}$
Aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Singurul produs nenul este $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1$ .
$\displaystyle \det(A(0))=1\cdot1\cdot1+0+0-0-0-0$
Efectuăm calculele și obținem valoarea determinantului, adică cea cerută.
$\displaystyle \det(A(0))=1+0+0-0-0-0=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&2x&0\\0&4x+1&0\\0&3x&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y+4xy)

pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Scriem cele două matrice care se înmulțesc: $\displaystyle A(x)$ și $\displaystyle A(y)$ , cu $\displaystyle y$ în locul lui $\displaystyle x$ în a doua matrice.
$\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}1&2x&0\\0&4x+1&0\\0&3x&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2y&0\\0&4y+1&0\\0&3y&1\end{pmatrix}$
Calculăm prima linie a produsului, înmulțind-o pe rând cu coloanele celei de-a doua matrice. Elementul din mijloc este $\displaystyle 1\cdot 2y+2x(4y+1)+0\cdot 3y$ .
$\displaystyle (1,\ 2y+8xy+2x,\ 0)=(1,\ 2x+2y+8xy,\ 0)$
Calculăm a doua linie: elementul din mijloc este $\displaystyle (4x+1)(4y+1)$ , iar celelalte două sunt $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle (0,\ 16xy+4x+4y+1,\ 0)$
Calculăm a treia linie: elementul din mijloc este $\displaystyle 3x(4y+1)+1\cdot 3y$ , iar ultimul element este $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle (0,\ 12xy+3x+3y,\ 1)$
Adunăm rezultatele celor trei linii și obținem produsul matricelor.
$\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}1&2x+2y+8xy&0\\0&4x+4y+16xy+1&0\\0&3x+3y+12xy&1\end{pmatrix}$
Dăm factor comun în fiecare element: $\displaystyle 2x+2y+8xy=2(x+y+4xy)$ , $\displaystyle 4x+4y+16xy=4(x+y+4xy)$ , iar $\displaystyle 3x+3y+12xy=3(x+y+4xy)$ .
$\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}1&2(x+y+4xy)&0\\0&4(x+y+4xy)+1&0\\0&3(x+y+4xy)&1\end{pmatrix}$
Notăm $\displaystyle t=x+y+4xy$ . Matricea obținută are forma lui $\displaystyle A(t)$ , deci produsul este $\displaystyle A(x+y+4xy)$ , pentru orice $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ reale.
$\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y+4xy)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&2x&0\\0&4x+1&0\\0&3x&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

,

\displaystyle x\neq-\frac{1}{4}

, pentru care matricea

\displaystyle A(x)

este egală cu inversa ei.

Vezi rezolvarea

Determinantul matricei este $\displaystyle \det A(x)=4x+1\neq 0$ pentru $\displaystyle x\neq-\dfrac{1}{4}$ , deci $\displaystyle A(x)$ este inversabilă. Condiția $\displaystyle A(x)=A(x)^{-1}$ este echivalentă cu $\displaystyle A(x)\cdot A(x)=I_3$ .
$\displaystyle A(x)\cdot A(x)=I_3$
Calculăm $\displaystyle A(x)\cdot A(x)$ prin înmulțirea liniilor cu coloanele. Prima linie este $\displaystyle (1,\ 2x+2x(4x+1),\ 0)=(1,\ 8x^2+4x,\ 0)$ , a doua este $\displaystyle (0,\ (4x+1)^2,\ 0)$ , a treia este $\displaystyle (0,\ 3x(4x+1)+3x,\ 1)=(0,\ 12x^2+6x,\ 1)$ .
$\displaystyle A(x)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}1&8x^2+4x&0\\0&16x^2+8x+1&0\\0&12x^2+6x&1\end{pmatrix}$
Notăm $\displaystyle s=2x+4x^2$ . Atunci $\displaystyle 2s=8x^2+4x$ , $\displaystyle 4s+1=16x^2+8x+1$ și $\displaystyle 3s=12x^2+6x$ , deci produsul este exact $\displaystyle A(s)$ . Cum $\displaystyle A(0)=I_3$ , ecuația $\displaystyle A(x)\cdot A(x)=I_3$ devine $\displaystyle A(s)=A(0)$ , adică $\displaystyle s=0$ .
$\displaystyle A(x)\cdot A(x)=A(2x+4x^2)=A(0)\Rightarrow 2x+4x^2=0$
Rezolvăm ecuația de gradul II prin scoaterea factorului comun: $\displaystyle 2x(1+2x)=0$ . Produsul este zero dacă $\displaystyle x=0$ sau $\displaystyle 1+2x=0$ , adică $\displaystyle x=-\dfrac{1}{2}$ . Ambele valori sunt diferite de $\displaystyle -\dfrac{1}{4}$ , deci convin.
$\displaystyle x_1=0\text{ și }x_2=-\dfrac{1}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3+X^2-4X+2a

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Calculați

\displaystyle f(0)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim pe $\displaystyle X$ cu $\displaystyle 0$ în expresia polinomului $\displaystyle f=X^3+X^2-4X+2a$ .
$\displaystyle f(0)=0^3+0^2-4\cdot 0+2a$
Calculăm puterile și produsul: $\displaystyle 0^3=0$ , $\displaystyle 0^2=0$ , iar $\displaystyle 4\cdot 0=0$ . Rămâne doar termenul liber.
$\displaystyle f(0)=0+0-0+2a$
Prin urmare, $\displaystyle f(0)$ este egal cu termenul liber al polinomului, adică $\displaystyle 2a$ .
$\displaystyle f(0)=2a$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3+X^2-4X+2a

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle a

știind că

\displaystyle 1+i

este rădăcină a polinomului

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Polinomul $\displaystyle f$ are coeficienți reali, deci dacă $\displaystyle 1+i$ este rădăcină, atunci și conjugatul ei, $\displaystyle 1-i$ , este rădăcină. Notăm $\displaystyle x_1=1+i$ și $\displaystyle x_2=1-i$ .
$\displaystyle x_1=1+i\Rightarrow x_2=1-i$
Polinomul are gradul 3, deci mai are o rădăcină $\displaystyle x_3$ . Scriem relațiile lui Viète pentru $\displaystyle f=X^3+X^2-4X+2a$ : suma rădăcinilor este $\displaystyle -\dfrac{1}{1}=-1$ , iar produsul rădăcinilor este $\displaystyle -2a$ .
$\displaystyle x_1+x_2+x_3=-1$ , $\displaystyle \quad x_1x_2x_3=-2a$
Calculăm suma primelor două rădăcini: $\displaystyle (1+i)+(1-i)=2$ . Din suma rădăcinilor obținem $\displaystyle 2+x_3=-1$ , deci $\displaystyle x_3=-3$ .
$\displaystyle 2+x_3=-1\Rightarrow x_3=-3$
Calculăm produsul primelor două rădăcini: $\displaystyle (1+i)(1-i)=1-i^{2}=2$ . Apoi produsul celor trei rădăcini este $\displaystyle 2\cdot(-3)=-6$ .
$\displaystyle x_1x_2x_3=2\cdot(-3)=-6$
Din relația produsului, $\displaystyle x_1x_2x_3=-2a$ , obținem $\displaystyle -2a=-6$ , deci $\displaystyle a=3$ .
$\displaystyle -2a=-6\Rightarrow a=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3+X^2-4X+2a

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Pentru

\displaystyle a=3

, arătați că

\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=-31

, unde

\displaystyle x_1

,

\displaystyle x_2

și

\displaystyle x_3

sunt rădăcinile polinomului

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle a=3$ polinomul devine $\displaystyle f=X^3+X^2-4X+6$ .
$\displaystyle f=X^3+X^2-4X+6$
Căutăm o rădăcină întreagă printre divizorii lui $\displaystyle 6$ . Pentru $\displaystyle X=-3$ obținem $\displaystyle f(-3)=-27+9+12+6=0$ , deci $\displaystyle -3$ este rădăcină.
$\displaystyle f(-3)=-27+9+12+6=0$
Împărțim $\displaystyle f$ la $\displaystyle X+3$ (de exemplu cu schema lui Horner) și obținem câtul $\displaystyle X^2-2X+2$ , deci $\displaystyle f=(X+3)(X^2-2X+2)$ .
$\displaystyle f=(X+3)(X^2-2X+2)$
Rezolvăm $\displaystyle X^2-2X+2=0$ . Discriminantul este $\displaystyle \Delta=4-8=-4$ , deci rădăcinile sunt $\displaystyle \dfrac{2\pm 2i}{2}$ , adică $\displaystyle 1+i$ și $\displaystyle 1-i$ . Rădăcinile lui $\displaystyle f$ sunt $\displaystyle -3$ , $\displaystyle 1+i$ și $\displaystyle 1-i$ .
$\displaystyle x_1=1+i$ , $\displaystyle \ x_2=1-i$ , $\displaystyle \ x_3=-3$
Scriem suma cuburilor folosind aceste rădăcini.
$\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=(1+i)^3+(1-i)^3+(-3)^3$
Calculăm cuburile. $\displaystyle (1+i)^2=2i$ , deci $\displaystyle (1+i)^3=2i(1+i)=2i-2$ . Analog, $\displaystyle (1-i)^2=-2i$ , deci $\displaystyle (1-i)^3=-2i(1-i)=-2i-2$ . De asemenea, $\displaystyle (-3)^3=-27$ .
$\displaystyle (1+i)^3=2i-2$ , $\displaystyle \ (1-i)^3=-2i-2$ , $\displaystyle \ (-3)^3=-27$
Adunăm: $\displaystyle (2i-2)+(-2i-2)-27=-4-27=-31$ , ceea ce trebuia demonstrat.
$\displaystyle (2i-2)+(-2i-2)-27=-31$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x-2}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{x(x-4)}{(x-2)^2}

,

\displaystyle x\in(2,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Funcția este un raport de două funcții derivabile pe $\displaystyle (2,+\infty)$ , iar numitorul $\displaystyle x-2$ este nenul acolo. Folosim formula de derivare a câtului: $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , cu $\displaystyle u(x)=x^{2}$ și $\displaystyle v(x)=x-2$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x^{2})'\cdot(x-2)-x^{2}\cdot(x-2)'}{(x-2)^{2}}$
Calculăm derivatele: $\displaystyle (x^{2})'=2x$ , iar $\displaystyle (x-2)'=1$ . Le înlocuim în formulă.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x(x-2)-x^{2}\cdot 1}{(x-2)^{2}}$
Desfacem parantezele de la numărător: $\displaystyle 2x(x-2)=2x^{2}-4x$ , apoi scădem $\displaystyle x^{2}$ și reducem termenii asemenea.
$\displaystyle 2x^{2}-4x-x^{2}=x^{2}-4x$
Dăm factor comun $\displaystyle x$ la numărător și obținem forma cerută, pentru orice $\displaystyle x\in(2,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-4x}{(x-2)^{2}}=\dfrac{x(x-4)}{(x-2)^{2}}$ , $\displaystyle \ x\in(2,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x-2}

.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

\displaystyle f

în punctul de abscisă

\displaystyle x_0=4

, situat pe graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Scriem formula ecuației tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=4$ : $\displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$ , adică $\displaystyle y-f(4)=f'(4)(x-4)$ .
$\displaystyle y-f(4)=f'(4)(x-4)$
Calculăm $\displaystyle f(4)$ înlocuind $\displaystyle x=4$ în expresia funcției: $\displaystyle f(4)=\dfrac{4^{2}}{4-2}=\dfrac{16}{2}$ .
$\displaystyle f(4)=\dfrac{16}{2}=8$
Derivăm funcția cu formula derivatei unui cât, $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , cu $\displaystyle u=x^{2}$ și $\displaystyle v=x-2$ : $\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x(x-2)-x^{2}\cdot 1}{(x-2)^{2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x(x-2)-x^{2}}{(x-2)^{2}}$
Simplificăm numărătorul: $\displaystyle 2x(x-2)-x^{2}=2x^{2}-4x-x^{2}=x^{2}-4x$ , deci $\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-4x}{(x-2)^{2}}=\dfrac{x(x-4)}{(x-2)^{2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-4x}{(x-2)^{2}}$
Calculăm $\displaystyle f'(4)$ : $\displaystyle f'(4)=\dfrac{4^{2}-4\cdot 4}{(4-2)^{2}}=\dfrac{16-16}{4}=0$ .
$\displaystyle f'(4)=0$
Înlocuim $\displaystyle f(4)=8$ și $\displaystyle f'(4)=0$ în formula tangentei: $\displaystyle y-8=0\cdot(x-4)=0$ , deci tangenta este dreapta orizontală $\displaystyle y=8$ .
$\displaystyle f(4)=8$ , $\displaystyle \ f'(4)=0\text{, deci ecuația tangentei }$ $\displaystyle \text{este }y=8$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x-2}

.

Determinați intervalele de monotonie ale funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Derivăm funcția $\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}}{x-2}$ cu formula câtului: $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , unde $\displaystyle u=x^{2}$ și $\displaystyle v=x-2$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x(x-2)-x^{2}\cdot 1}{(x-2)^{2}}$
Efectuăm calculele la numărător: $\displaystyle 2x(x-2)-x^{2}=2x^{2}-4x-x^{2}=x^{2}-4x$ , deci numărătorul se scrie $\displaystyle x(x-4)$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-4x}{(x-2)^{2}}=\dfrac{x(x-4)}{(x-2)^{2}}$
Rezolvăm $\displaystyle f'(x)=0$ , adică $\displaystyle x(x-4)=0$ , deci $\displaystyle x=0$ sau $\displaystyle x=4$ . Doar $\displaystyle x=4$ aparține domeniului $\displaystyle (2,+\infty)$ , pentru că $\displaystyle 0\notin(2,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=4$
Pentru $\displaystyle x\in(2,4]$ avem $\displaystyle x>0$ și $\displaystyle (x-2)^{2}>0$ , iar $\displaystyle x-4\leq 0$ . Rezultă că fracția $\displaystyle \dfrac{x(x-4)}{(x-2)^{2}}$ este negativă sau nulă, deci funcția este descrescătoare pe $\displaystyle (2,4]$ .
$\displaystyle f'(x)\leq0\text{ pentru orice }x\in(2,4]\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }(2,4]$
Pentru $\displaystyle x\in[4,+\infty)$ avem $\displaystyle x>0$ , $\displaystyle x-4\geq 0$ și $\displaystyle (x-2)^{2}>0$ . Rezultă că $\displaystyle f'(x)\geq 0$ , deci funcția este crescătoare pe $\displaystyle [4,+\infty)$ . Așadar $\displaystyle f$ este descrescătoare pe $\displaystyle (2,4]$ și crescătoare pe $\displaystyle [4,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)\geq0\text{ pentru orice }x\in[4,+\infty)\Rightarrow f\text{ este crescătoare pe }[4,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Pentru fiecare număr natural nenul

\displaystyle n

se consideră numărul

\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{x^3+1}\,dx

.

Arătați că

\displaystyle I_2=\frac{1}{3}\ln 2

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle n=2$ avem integrala $\displaystyle I_2=\int_0^1\dfrac{x^{2}}{x^{3}+1}\,dx$ .
$\displaystyle I_2=\int_0^1\frac{x^{2}}{x^{3}+1}\,dx$
Observăm că $\displaystyle (x^{3}+1)'=3x^{2}$ , deci numărătorul $\displaystyle x^{2}$ este derivata numitorului până la factorul $\displaystyle 3$ . Scriem $\displaystyle x^{2}=\dfrac{1}{3}\cdot 3x^{2}$ și scoatem constanta $\displaystyle \dfrac{1}{3}$ în fața integralei.
$\displaystyle I_2=\frac{1}{3}\int_0^1\frac{3x^{2}}{x^{3}+1}\,dx$
Deoarece numărătorul este derivata numitorului, o primitivă a funcției $\displaystyle \dfrac{3x^{2}}{x^{3}+1}$ este $\displaystyle \ln(x^{3}+1)$ . Numitorul $\displaystyle x^{3}+1$ este pozitiv pe $\displaystyle [0,1]$ , deci nu apare modul.
$\displaystyle I_2=\frac{1}{3}\ln(x^{3}+1)\Big|_0^1$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: pentru $\displaystyle x=1$ obținem $\displaystyle \ln(1+1)=\ln 2$ , iar pentru $\displaystyle x=0$ obținem $\displaystyle \ln 1=0$ . Rezultă $\displaystyle I_2=\dfrac{1}{3}(\ln 2-\ln 1)=\dfrac{1}{3}\ln 2$ .
$\displaystyle I_2=\frac{1}{3}(\ln 2-\ln 1)=\frac{1}{3}\ln 2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Pentru fiecare număr natural nenul

\displaystyle n

se consideră numărul

\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{x^3+1}\,dx

.

Arătați că

\displaystyle I_{n+3}+I_n=\frac{1}{n+1}

pentru orice număr natural nenul

\displaystyle n

.

Vezi rezolvarea

Scriem suma $\displaystyle I_{n+3}+I_n$ folosind definiția: în $\displaystyle I_{n+3}$ exponentul de la numărător este $\displaystyle n+3$ .
$\displaystyle I_{n+3}+I_n=\int_0^1\frac{x^{n+3}}{x^3+1}\,dx+\int_0^1\frac{x^n}{x^3+1}\,dx$
Cele două integrale au același numitor $\displaystyle x^3+1$ și aceleași limite de integrare, deci le adunăm sub o singură integrală.
$\displaystyle \int_0^1\frac{x^{n+3}+x^n}{x^3+1}\,dx$
La numărător dăm factor comun $\displaystyle x^n$ , folosind $\displaystyle x^{n+3}=x^n\cdot x^3$ . Apare factorul $\displaystyle x^3+1$ , care se simplifică cu numitorul.
$\displaystyle \int_0^1\frac{x^n(x^3+1)}{x^3+1}\,dx=\int_0^1 x^n\,dx$
Calculăm integrala lui $\displaystyle x^n$ cu o primitivă a lui $\displaystyle x^n$ și formula Leibniz-Newton, apoi înlocuim limitele $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 1$ . Cum $\displaystyle n$ este natural nenul, $\displaystyle n+1\neq 0$ și în $\displaystyle 0$ se obține $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \left.\frac{x^{n+1}}{n+1}\right|_0^1=\frac{1}{n+1}-0=\frac{1}{n+1}\text{, deci }I_{n+3}+I_n=\frac{1}{n+1}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Pentru fiecare număr natural nenul

\displaystyle n

se consideră numărul

\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{x^3+1}\,dx

. Calculați

\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle x\in[0,1]$ avem $\displaystyle x^{n}\geq 0$ și $\displaystyle x^{3}+1>0$ , deci funcția $\displaystyle \dfrac{x^{n}}{x^{3}+1}$ este nenegativă pe $\displaystyle [0,1]$ . Integrala unei funcții nenegative este nenegativă, deci $\displaystyle I_n\geq 0$ .
$\displaystyle I_n\geq 0$
Relația care ne ajută este $\displaystyle I_{n+3}+I_n=\dfrac{1}{n+1}$ . O justificăm: $\displaystyle I_{n+3}+I_n=\int_0^1\dfrac{x^{n+3}+x^{n}}{x^{3}+1}\,dx=\int_0^1\dfrac{x^{n}(x^{3}+1)}{x^{3}+1}\,dx=\int_0^1 x^{n}\,dx$ , care este $\displaystyle \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_0^1$ .
$\displaystyle I_{n+3}+I_n=\frac{1}{n+1}$
Aplicând pasul 1 pentru indicele $\displaystyle n+3$ obținem $\displaystyle I_{n+3}\geq 0$ . Atunci $\displaystyle I_n=\dfrac{1}{n+1}-I_{n+3}\leq\dfrac{1}{n+1}$ . Împreună cu $\displaystyle I_n\geq 0$ obținem dubla inegalitate.
$\displaystyle 0\leq I_n\leq\frac{1}{n+1}$
Deoarece $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n+1}=0$ și limita șirului constant $\displaystyle 0$ este $\displaystyle 0$ , iar $\displaystyle I_n$ este încadrat între ele, criteriul cleștelui dă răspunsul final.
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2014, sesiunea I rezervă varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani