Bac matematică M1 mate-info 2013, sesiunea I rezervă varianta 06: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul n=(3−1)2+23\displaystyle n=(\sqrt{3}-1)^2+2\sqrt{3} este natural.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, cu a=3\displaystyle a=\sqrt{3} și b=1\displaystyle b=1.
    (3−1)2=(3)2−2⋅3⋅1+12\displaystyle (\sqrt{3}-1)^2=(\sqrt{3})^2-2\cdot\sqrt{3}\cdot 1+1^2
  2. Calculăm: (3)2=3\displaystyle (\sqrt{3})^2=3 și 12=1\displaystyle 1^2=1. Obținem 3+1−23\displaystyle 3+1-2\sqrt{3}.
    (3−1)2=4−23\displaystyle (\sqrt{3}-1)^2=4-2\sqrt{3}
  3. Înlocuim rezultatul în expresia lui n\displaystyle n.
    n=4−23+23\displaystyle n=4-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}
  4. Termenii cu radical se reduc, deoarece −23+23=0\displaystyle -2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=0. Rămâne n=4\displaystyle n=4, deci n\displaystyle n este număr natural.
    n=4∈N\displaystyle n=4\in\mathbb{N}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+1\displaystyle f(x)=x+1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=2x−1\displaystyle g(x)=2x-1.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție aparține ambelor grafice, deci abscisa lui verifică egalitatea f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x). Scriem ecuația: x+1=2x−1\displaystyle x+1=2x-1.
    x+1=2x−1\displaystyle x+1=2x-1
  2. Mutăm termenii cu x\displaystyle x într-o parte și numerele în cealaltă parte: 1+1=2x−x\displaystyle 1+1=2x-x.
    1+1=2x−x\displaystyle 1+1=2x-x
  3. Reducem termenii și obținem abscisa punctului de intersecție: x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
  4. Aflăm ordonata înlocuind x=2\displaystyle x=2 în f(x)=x+1\displaystyle f(x)=x+1: y=f(2)=2+1=3\displaystyle y=f(2)=2+1=3. Verificăm cu g\displaystyle g: g(2)=2⋅2−1=3\displaystyle g(2)=2\cdot 2-1=3, același rezultat. Deci punctul de intersecție este (2,3)\displaystyle (2,3).
    x=2⇒y=3\displaystyle x=2\Rightarrow y=3,punctul de intersecție \displaystyle \quad \text{punctul de intersecție }este (2,3)\displaystyle \text{este }(2,3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 26−x2=2x\displaystyle 2^{6-x^2}=2^x.
Vezi rezolvarea
  1. Cele două puteri au aceeași bază, 2\displaystyle 2, care este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1. Funcția exponențială este injectivă, deci putem egala exponenții: 26−x2=2x⇒6−x2=x\displaystyle 2^{6-x^2}=2^x \Rightarrow 6-x^2=x.
    6−x2=x\displaystyle 6-x^{2}=x
  2. Mutăm toți termenii în partea stângă și ordonăm după puterile lui x\displaystyle x: 6−x2−x=0\displaystyle 6-x^2-x=0, apoi înmulțim cu −1\displaystyle -1.
    x2+x−6=0\displaystyle x^{2}+x-6=0
  3. Calculăm discriminantul pentru a=1\displaystyle a=1, b=1\displaystyle b=1, c=−6\displaystyle c=-6: Δ=b2−4ac=1+24=25\displaystyle \Delta=b^2-4ac=1+24=25.
    Δ=25\displaystyle \Delta=25
  4. Aplicăm formula x=−b±Δ2a=−1±52\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1\pm 5}{2}. Obținem x1=−1−52=−3\displaystyle x_1=\dfrac{-1-5}{2}=-3 și x2=−1+52=2\displaystyle x_2=\dfrac{-1+5}{2}=2. Ambele sunt soluții, pentru că ecuația exponențială nu impune restricții asupra lui x\displaystyle x.
    x=−3 sau x=2\displaystyle x=-3\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, suma cifrelor acestuia să fie egală cu 2\displaystyle 2.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de trei cifre sunt de la 100\displaystyle 100 la 999\displaystyle 999. Cifra sutelor este cel puțin 1\displaystyle 1, deci suma cifrelor egală cu 2\displaystyle 2 se obține fie cu cifra sutelor 2\displaystyle 2 și celelalte două cifre 0\displaystyle 0, fie cu cifra sutelor 1\displaystyle 1 și suma celorlalte două cifre egală cu 1\displaystyle 1.
    a∈{1,2}\displaystyle a\in\{1,2\}, a+b+c=2\displaystyle \ a+b+c=2
  2. Dacă cifra sutelor este 2\displaystyle 2, atunci celelalte cifre sunt 0\displaystyle 0, deci obținem 200\displaystyle 200. Dacă cifra sutelor este 1\displaystyle 1, una dintre celelalte două cifre este 1\displaystyle 1 și cealaltă este 0\displaystyle 0, deci obținem 101\displaystyle 101 și 110\displaystyle 110. Avem 3\displaystyle 3 cazuri favorabile.
    101\displaystyle 101, 110\displaystyle \ 110, 200⇒3 cazuri favorabile\displaystyle \ 200\Rightarrow 3\text{ cazuri favorabile}
  3. Numărul cazurilor posibile este numărul numerelor de la 100\displaystyle 100 la 999\displaystyle 999: 999−100+1=900\displaystyle 999-100+1=900.
    900 de cazuri posibile\displaystyle 900\text{ de cazuri posibile}
  4. Aplicăm definiția clasică a probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, apoi simplificăm prin 3\displaystyle 3: p=3900=1300\displaystyle p=\dfrac{3}{900}=\dfrac{1}{300}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=3900=1300\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{3}{900}=\frac{1}{300}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,3)\displaystyle A(1,3) și B(3,1)\displaystyle B(3,1). Determinați ecuația mediatoarei segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Mediatoarea unui segment trece prin mijlocul lui și este perpendiculară pe el. Calculăm mai întâi coordonatele mijlocului M\displaystyle M al segmentului AB\displaystyle AB, ca medie a coordonatelor capetelor: xM=xA+xB2=1+32\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{1+3}{2}, yM=yA+yB2=3+12\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{3+1}{2}.
    M(2,2)\displaystyle M(2,2)
  2. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu formula pantei dintre două puncte: mAB=yB−yAxB−xA=1−33−1\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{1-3}{3-1}.
    mAB=1−33−1=−1\displaystyle m_{AB}=\dfrac{1-3}{3-1}=-1
  3. Mediatoarea este perpendiculară pe AB\displaystyle AB, deci produsul pantelor este −1\displaystyle -1: m⋅mAB=−1\displaystyle m\cdot m_{AB}=-1. Cum mAB=−1\displaystyle m_{AB}=-1, obținem m=−1−1\displaystyle m=\dfrac{-1}{-1}.
    m=1\displaystyle m=1
  4. Scriem ecuația dreptei prin punctul M(2,2)\displaystyle M(2,2) cu panta 1\displaystyle 1: y−yM=m(x−xM)\displaystyle y-y_M=m(x-x_M), adică y−2=1⋅(x−2)\displaystyle y-2=1\cdot(x-2). După reducere obținem y=x\displaystyle y=x.
    y=x\displaystyle y=x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați raza cercului circumscris triunghiului ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, știind că BC=8\displaystyle BC=8.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este latura BC\displaystyle BC. Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este mijlocul ipotenuzei, deci BC\displaystyle BC este diametru al cercului circumscris.
    BC=2R\displaystyle BC=2R
  2. Din relația diametrului obținem că raza este jumătate din ipotenuză: R=BC2\displaystyle R=\dfrac{BC}{2}.
    R=BC2\displaystyle R=\frac{BC}{2}
  3. Înlocuim BC=8\displaystyle BC=8 și calculăm: R=82=4\displaystyle R=\dfrac{8}{2}=4.
    R=82=4\displaystyle R=\frac{8}{2}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr real x\displaystyle x se consideră matricea A(x)=(1x11−11x−11).A(x)=\begin{pmatrix}1 & x & 1\\ 1 & -1 & 1\\ x & -1 & 1\end{pmatrix}.

Calculați A(0)⋅A(1)\displaystyle A(0)\cdot A(1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0, apoi x=1\displaystyle x=1, în matricea A(x)\displaystyle A(x) și scriem produsul celor două matrici.
    A(0)⋅A(1)=(1011−110−11)⋅(1111−111−11)\displaystyle A(0)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix}
  2. Calculăm prima linie a produsului: înmulțim prima linie a lui A(0)\displaystyle A(0), adică (1, 0, 1)\displaystyle (1,\ 0,\ 1), cu fiecare coloană a lui A(1)\displaystyle A(1) și adunăm produsele elementelor corespunzătoare.
    (1⋅1+0⋅1+1⋅11⋅1+0⋅(−1)+1⋅(−1)1⋅1+0⋅1+1⋅1)=(202)\displaystyle \begin{pmatrix}1\cdot1+0\cdot1+1\cdot1 & 1\cdot1+0\cdot(-1)+1\cdot(-1) & 1\cdot1+0\cdot1+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0 & 2\end{pmatrix}
  3. Calculăm a doua linie a produsului, folosind a doua linie a lui A(0)\displaystyle A(0), adică (1, −1, 1)\displaystyle (1,\ -1,\ 1).
    (1−1+11+1−11−1+1)=(111)\displaystyle \begin{pmatrix}1-1+1 & 1+1-1 & 1-1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\end{pmatrix}
  4. Calculăm a treia linie a produsului, folosind a treia linie a lui A(0)\displaystyle A(0), adică (0, −1, 1)\displaystyle (0,\ -1,\ 1).
    (0−1+10+1−10−1+1)=(000)\displaystyle \begin{pmatrix}0-1+1 & 0+1-1 & 0-1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}
  5. Scriem matricea produs, formată din cele trei linii calculate.
    A(0)⋅A(1)=(202111000)\displaystyle A(0)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}2 & 0 & 2\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr real x\displaystyle x se consideră matricea A(x)=(1x11−11x−11).A(x)=\begin{pmatrix}1 & x & 1\\ 1 & -1 & 1\\ x & -1 & 1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡(A(x))=x2−1\displaystyle \det(A(x))=x^2-1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm regula lui Sarrus: det⁡(A(x))=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33\displaystyle \det(A(x))=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}, unde aij\displaystyle a_{ij} sunt elementele matricei A(x)\displaystyle A(x).
    det⁡(A(x))=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33\displaystyle \det(A(x))=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}
  2. Calculăm produsele cu semnul plus, folosind a11=1\displaystyle a_{11}=1, a12=x\displaystyle a_{12}=x, a13=1\displaystyle a_{13}=1, a21=1\displaystyle a_{21}=1, a22=−1\displaystyle a_{22}=-1, a23=1\displaystyle a_{23}=1, a31=x\displaystyle a_{31}=x, a32=−1\displaystyle a_{32}=-1, a33=1\displaystyle a_{33}=1. Avem 1⋅(−1)⋅1=−1\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 1=-1, x⋅1⋅x=x2\displaystyle x\cdot 1\cdot x=x^2 și 1⋅1⋅(−1)=−1\displaystyle 1\cdot 1\cdot(-1)=-1.
    −1+x2−1\displaystyle -1+x^2-1
  3. Calculăm produsele care se scad. Primul este 1⋅(−1)⋅x=−x\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot x=-x, deci scăzut dă +x\displaystyle +x. Al doilea este 1⋅1⋅(−1)=−1\displaystyle 1\cdot 1\cdot(-1)=-1, deci scăzut dă +1\displaystyle +1. Al treilea este x⋅1⋅1=x\displaystyle x\cdot 1\cdot 1=x, deci scăzut dă −x\displaystyle -x.
    +x+1−x\displaystyle +x+1-x
  4. Adunăm cele două grupe de termeni și obținem determinantul scris dezvoltat.
    det⁡(A(x))=−1−1+x2+x−x+1\displaystyle \det(A(x))=-1-1+x^2+x-x+1
  5. Reducem termenii asemenea: x−x=0\displaystyle x-x=0, iar −1−1+1=−1\displaystyle -1-1+1=-1. Rămâne det⁡(A(x))=x2−1\displaystyle \det(A(x))=x^2-1, pentru orice număr real x\displaystyle x, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡(A(x))=x2−1\displaystyle \det(A(x))=x^2-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr real x\displaystyle x se consideră matricea A(x)=(1x11−11x−11).A(x)=\begin{pmatrix}1 & x & 1\\ 1 & -1 & 1\\ x & -1 & 1\end{pmatrix}.

Determinați numerele întregi x\displaystyle x pentru care inversa matricei A(x)\displaystyle A(x) are elementele numere întregi.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A(x)\displaystyle A(x) prin dezvoltare după prima linie: det⁡(A(x))=1⋅(−1+1)−x⋅(1−x)+(−1+x)\displaystyle \det(A(x))=1\cdot(-1+1)-x\cdot(1-x)+(-1+x). Simplificăm: −x+x2−1+x=x2−1\displaystyle -x+x^{2}-1+x=x^{2}-1.
    det⁡(A(x))=x2−1\displaystyle \det(A(x))=x^{2}-1
  2. Dacă inversa există, atunci A(x)⋅(A(x))−1=I3\displaystyle A(x)\cdot (A(x))^{-1}=I_3. Trecând la determinanți, det⁡(A(x))⋅det⁡((A(x))−1)=det⁡(I3)=1\displaystyle \det(A(x))\cdot\det\left((A(x))^{-1}\right)=\det(I_3)=1.
    det⁡(A(x))⋅det⁡((A(x))−1)=1\displaystyle \det(A(x))\cdot\det\left((A(x))^{-1}\right)=1
  3. Pentru x∈Z\displaystyle x\in\mathbb{Z}, numărul x2−1\displaystyle x^{2}-1 este întreg, deci det⁡(A(x))\displaystyle \det(A(x)) este întreg.
    x∈Z⇒det⁡(A(x))∈Z\displaystyle x\in\mathbb{Z}\Rightarrow\det(A(x))\in\mathbb{Z}
  4. Dacă (A(x))−1\displaystyle (A(x))^{-1} are toate elementele întregi, determinantul ei se calculează cu sume și produse de numere întregi, deci este întreg.
    det⁡((A(x))−1)∈Z\displaystyle \det\left((A(x))^{-1}\right)\in\mathbb{Z}
  5. Două numere întregi cu produsul 1\displaystyle 1 sunt ambele 1\displaystyle 1 sau ambele −1\displaystyle -1. Deci det⁡(A(x))=±1\displaystyle \det(A(x))=\pm 1, adică x2−1=1\displaystyle x^{2}-1=1 sau x2−1=−1\displaystyle x^{2}-1=-1.
    x2−1=1 sau x2−1=−1\displaystyle x^{2}-1=1\text{ sau }x^{2}-1=-1
  6. Rezolvăm cele două ecuații. Din x2=2\displaystyle x^{2}=2 nu rezultă niciun x\displaystyle x întreg, deoarece 2∉Z\displaystyle \sqrt{2}\notin\mathbb{Z}. Din x2=0\displaystyle x^{2}=0 rezultă x=0\displaystyle x=0.
    x2=2 (nu convine), x2=0⇒x=0\displaystyle x^{2}=2\text{ (nu convine)}\text{, }x^{2}=0\Rightarrow x=0
  7. Verificăm: pentru x=0\displaystyle x=0 avem det⁡(A(0))=−1\displaystyle \det(A(0))=-1, iar (A(0))−1=1−1 A∗\displaystyle (A(0))^{-1}=\dfrac{1}{-1}\,A^{*}, unde adjuncta A∗\displaystyle A^{*} are elemente întregi. Deci inversa are elemente întregi.
    det⁡(A(0))=−1⇒(A(0))−1∈M3(Z)\displaystyle \det(A(0))=-1\Rightarrow (A(0))^{-1}\in M_3(\mathbb{Z})
  8. Singura valoare întreagă a lui x\displaystyle x pentru care inversa matricei A(x)\displaystyle A(x) are elementele întregi este x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de x∘y=x2y2+x2+y2\displaystyle x\circ y=\sqrt{x^2y^2+x^2+y^2}.

Calculați 2∘3\displaystyle 2\circ 3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula legii de compoziție x∘y=x2y2+x2+y2\displaystyle x\circ y=\sqrt{x^2y^2+x^2+y^2} și înlocuim x=2\displaystyle x=2, y=3\displaystyle y=3. Obținem 2∘3=22⋅32+22+32\displaystyle 2\circ 3=\sqrt{2^2\cdot 3^2+2^2+3^2}.
    2∘3=22⋅32+22+32\displaystyle 2\circ 3=\sqrt{2^2\cdot 3^2+2^2+3^2}
  2. Calculăm pătratele: 22=4\displaystyle 2^2=4 și 32=9\displaystyle 3^2=9. Expresia de sub radical devine 4⋅9+4+9\displaystyle 4\cdot 9+4+9.
    2∘3=4⋅9+4+9\displaystyle 2\circ 3=\sqrt{4\cdot 9+4+9}
  3. Efectuăm calculele de sub radical: 4⋅9=36\displaystyle 4\cdot 9=36, apoi 36+4+9=49\displaystyle 36+4+9=49.
    2∘3=49\displaystyle 2\circ 3=\sqrt{49}
  4. Cum 49=7\displaystyle \sqrt{49}=7, obținem 2∘3=7\displaystyle 2\circ 3=7.
    2∘3=7\displaystyle 2\circ 3=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de x∘y=x2y2+x2+y2\displaystyle x\circ y=\sqrt{x^2y^2+x^2+y^2}.

Arătați că x∘y=(x2+1)(y2+1)−1\displaystyle x\circ y=\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)-1}, pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y numere reale.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii: x∘y=x2y2+x2+y2\displaystyle x\circ y=\sqrt{x^2y^2+x^2+y^2}. Scoatem x2\displaystyle x^2 factor comun din primii doi termeni de sub radical.
    x∘y=x2(y2+1)+y2\displaystyle x\circ y=\sqrt{x^{2}(y^{2}+1)+y^{2}}
  2. Adăugăm și scădem 1\displaystyle 1 sub radical, ca să apară din nou factorul y2+1\displaystyle y^2+1, fără să schimbăm valoarea expresiei: y2=(y2+1)−1\displaystyle y^2=(y^2+1)-1.
    x∘y=x2(y2+1)+(y2+1)−1\displaystyle x\circ y=\sqrt{x^{2}(y^{2}+1)+(y^{2}+1)-1}
  3. Dăm factor comun y2+1\displaystyle y^2+1 din primii doi termeni de sub radical: x2(y2+1)+(y2+1)=(x2+1)(y2+1)\displaystyle x^2(y^2+1)+(y^2+1)=(x^2+1)(y^2+1).
    x2(y2+1)+(y2+1)=(x2+1)(y2+1)\displaystyle x^{2}(y^{2}+1)+(y^{2}+1)=(x^{2}+1)(y^{2}+1)
  4. Înlocuim în expresia de sub radical și obținem egalitatea cerută, valabilă pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y numere reale.
    x∘y=(x2+1)(y2+1)−1\displaystyle x\circ y=\sqrt{(x^{2}+1)(y^{2}+1)-1}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de x∘y=x2y2+x2+y2\displaystyle x\circ y=\sqrt{x^2y^2+x^2+y^2}.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∘x∘x=x\displaystyle x\circ x\circ x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x2y2+x2+y2=(x2+1)(y2+1)−1\displaystyle x^2y^2+x^2+y^2=(x^2+1)(y^2+1)-1, deci x∘y=(x2+1)(y2+1)−1\displaystyle x\circ y=\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)-1}.
    x∘y=(x2+1)(y2+1)−1\displaystyle x\circ y=\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)-1}
  2. Calculăm x∘x\displaystyle x\circ x, luând y=x\displaystyle y=x în formula de mai sus.
    x∘x=(x2+1)2−1\displaystyle x\circ x=\sqrt{(x^2+1)^2-1}
  3. Legea este asociativă, deci x∘x∘x=(x∘x)∘x\displaystyle x\circ x\circ x=(x\circ x)\circ x. Avem (x∘x)2+1=(x2+1)2\displaystyle (x\circ x)^2+1=(x^2+1)^2, deci x∘x∘x=(x2+1)2(x2+1)−1\displaystyle x\circ x\circ x=\sqrt{(x^2+1)^2(x^2+1)-1}.
    x∘x∘x=(x2+1)3−1\displaystyle x\circ x\circ x=\sqrt{(x^2+1)^3-1}
  4. Ecuația devine (x2+1)3−1=x\displaystyle \sqrt{(x^2+1)^3-1}=x. Radicalul este mai mare sau egal cu 0, deci trebuie x≥0\displaystyle x\ge 0.
    (x2+1)3−1=x\displaystyle \sqrt{(x^2+1)^3-1}=x,x≥0\displaystyle \quad x\ge 0
  5. Ridicăm la pătrat: (x2+1)3−1=x2\displaystyle (x^2+1)^3-1=x^2. Notăm t=x2≥0\displaystyle t=x^2\ge 0 și obținem (t+1)3−1=t\displaystyle (t+1)^3-1=t, adică t3+3t2+3t−t=0\displaystyle t^3+3t^2+3t-t=0.
    t3+3t2+2t=0\displaystyle t^3+3t^2+2t=0
  6. Descompunem: t(t+1)(t+2)=0\displaystyle t(t+1)(t+2)=0. Cum t≥0\displaystyle t\ge 0, factorii t+1\displaystyle t+1 și t+2\displaystyle t+2 sunt strict pozitivi, deci t=0\displaystyle t=0, adică x2=0\displaystyle x^2=0.
    t(t+1)(t+2)=0⇒t=0⇒x=0\displaystyle t(t+1)(t+2)=0\Rightarrow t=0\Rightarrow x=0
  7. Verificăm: pentru x=0\displaystyle x=0 avem 13−1=0=x\displaystyle \sqrt{1^3-1}=0=x, iar condiția x≥0\displaystyle x\ge 0 este îndeplinită. Deci ecuația are unica soluție x=0\displaystyle x=0.
    (x2+1)3−1=x⇒x=0\displaystyle \sqrt{(x^2+1)^3-1}=x\Rightarrow x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex\displaystyle f(x)=e^x și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x2+2x+2\displaystyle g(x)=x^2+2x+2.

Calculați g′(2)\displaystyle g'(2).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția g(x)=x2+2x+2\displaystyle g(x)=x^{2}+2x+2 și observăm că este o funcție polinomială de gradul al doilea, pe care o derivăm termen cu termen.
    g(x)=x2+2x+2\displaystyle g(x)=x^{2}+2x+2
  2. Folosim formulele de derivare: (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x, (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2, iar derivata unei constante este 0\displaystyle 0.
    (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x, (2x)′=2\displaystyle \ (2x)'=2, (2)′=0\displaystyle \ (2)'=0
  3. Adunăm derivatele termenilor și obținem derivata funcției g\displaystyle g.
    g′(x)=2x+2\displaystyle g'(x)=2x+2
  4. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în expresia derivatei: g′(2)=2⋅2+2\displaystyle g'(2)=2\cdot 2+2.
    g′(2)=2⋅2+2=4+2=6\displaystyle g'(2)=2\cdot 2+2=4+2=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex\displaystyle f(x)=e^x și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x2+2x+2\displaystyle g(x)=x^2+2x+2.

Arătați că lim⁡x→02f(x)−g(x)2x3=16\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2f(x)-g(x)}{2x^3}=\frac{1}{6}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem limita cu f(x)=ex\displaystyle f(x)=e^x și g(x)=x2+2x+2\displaystyle g(x)=x^2+2x+2. Pentru x→0\displaystyle x\to 0, numărătorul tinde la 2−2=0\displaystyle 2-2=0, iar numitorul tinde la 0\displaystyle 0, deci avem nedeterminarea 00\displaystyle \dfrac{0}{0} și putem aplica regula lui l'Hospital.
    lim⁡x→02ex−x2−2x−22x3\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2e^x-x^2-2x-2}{2x^3}
  2. Derivăm numărătorul și numitorul. Derivata numărătorului este 2ex−2x−2\displaystyle 2e^x-2x-2, iar derivata numitorului 2x3\displaystyle 2x^3 este 6x2\displaystyle 6x^2. Obținem limita următoare.
    lim⁡x→02ex−x2−2x−22x3=lim⁡x→02ex−2x−26x2\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2e^x-x^2-2x-2}{2x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{2e^x-2x-2}{6x^2}
  3. Și această limită este de forma 00\displaystyle \dfrac{0}{0}, deoarece 2e0−0−2=0\displaystyle 2e^0-0-2=0. Aplicăm din nou regula lui l'Hospital: derivata numărătorului este 2ex−2\displaystyle 2e^x-2, iar derivata numitorului 6x2\displaystyle 6x^2 este 12x\displaystyle 12x.
    lim⁡x→02ex−2x−26x2=lim⁡x→02ex−212x\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2e^x-2x-2}{6x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{2e^x-2}{12x}
  4. Simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2: scoatem factorul comun 2\displaystyle 2 la numărător și îl simplificăm cu 12\displaystyle 12.
    lim⁡x→02ex−212x=lim⁡x→0ex−16x\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2e^x-2}{12x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{6x}
  5. Scoatem factorul 16\displaystyle \dfrac{1}{6} în fața limitei și folosim limita remarcabilă lim⁡x→0ex−1x=1\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1. Rezultă că limita cerută este 16\displaystyle \dfrac{1}{6}.
    lim⁡x→0ex−16x=16⋅1=16\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{6x}=\frac{1}{6}\cdot 1=\frac{1}{6}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex\displaystyle f(x)=e^x și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x2+2x+2\displaystyle g(x)=x^2+2x+2.

Demonstrați că 2f(x)≥g(x)\displaystyle 2f(x)\ge g(x), pentru orice x∈[0,+∞)\displaystyle x\in[0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Definim funcția auxiliară h:[0,+∞)→R\displaystyle h:[0,+\infty)\to\mathbb{R}, h(x)=2f(x)−g(x)\displaystyle h(x)=2f(x)-g(x). Inegalitatea cerută devine h(x)≥0\displaystyle h(x)\ge 0 pentru orice x≥0\displaystyle x\ge 0.
    h(x)=2ex−x2−2x−2\displaystyle h(x)=2e^{x}-x^{2}-2x-2
  2. Calculăm prima derivată a lui h\displaystyle h, apoi derivata a doua. Derivata lui ex\displaystyle e^{x} este tot ex\displaystyle e^{x}, iar derivata lui x2\displaystyle x^{2} este 2x\displaystyle 2x.
    h′(x)=2ex−2x−2\displaystyle h'(x)=2e^{x}-2x-2,h′′(x)=2ex−2\displaystyle \quad h''(x)=2e^{x}-2
  3. Pentru x≥0\displaystyle x\ge 0 avem ex≥e0=1\displaystyle e^{x}\ge e^{0}=1, deci h′′(x)=2ex−2≥0\displaystyle h''(x)=2e^{x}-2\ge 0. Prin urmare h′\displaystyle h' este crescătoare pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty).
    h′′(x)=2ex−2≥0\displaystyle h''(x)=2e^{x}-2\ge 0, ∀x≥0\displaystyle \ \forall x\ge 0
  4. Calculăm h′(0)=2e0−0−2=0\displaystyle h'(0)=2e^{0}-0-2=0. Cum h′\displaystyle h' este crescătoare, pentru x≥0\displaystyle x\ge 0 rezultă h′(x)≥h′(0)=0\displaystyle h'(x)\ge h'(0)=0. Deci h\displaystyle h este crescătoare pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty).
    h′(x)≥h′(0)=0\displaystyle h'(x)\ge h'(0)=0
  5. Calculăm h(0)=2e0−0−0−2=0\displaystyle h(0)=2e^{0}-0-0-2=0. Cum h\displaystyle h este crescătoare pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty), avem h(x)≥h(0)=0\displaystyle h(x)\ge h(0)=0. Deci 2f(x)≥g(x)\displaystyle 2f(x)\ge g(x) pentru orice x∈[0,+∞)\displaystyle x\in[0,+\infty).
    h(x)≥h(0)=0 ⇒ 2f(x)≥g(x)\displaystyle h(x)\ge h(0)=0\ \Rightarrow\ 2f(x)\ge g(x), ∀x∈[0,+∞)\displaystyle \ \forall x\in[0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2+1x+2\displaystyle f(x)=x+2+\frac{1}{x+2} și F:(−2,+∞)→R\displaystyle F:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=x22+2x+ln⁡(x+2)\displaystyle F(x)=\frac{x^2}{2}+2x+\ln(x+2).

Calculați ∫01(x+2)f(x) dx\displaystyle \int_0^1 (x+2)f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul: (x+2)f(x)=(x+2)(x+2+1x+2)\displaystyle (x+2)f(x)=(x+2)\left(x+2+\dfrac{1}{x+2}\right).
    (x+2)f(x)=(x+2)(x+2+1x+2)\displaystyle (x+2)f(x)=(x+2)\left(x+2+\dfrac{1}{x+2}\right)
  2. Distribuim factorul x+2\displaystyle x+2: (x+2)(x+2)+(x+2)⋅1x+2=(x+2)2+1\displaystyle (x+2)(x+2)+(x+2)\cdot\dfrac{1}{x+2}=(x+2)^{2}+1, deoarece x+2≠0\displaystyle x+2\neq 0 pe (−2,+∞)\displaystyle (-2,+\infty).
    (x+2)f(x)=(x+2)2+1\displaystyle (x+2)f(x)=(x+2)^{2}+1
  3. Desfacem pătratul: (x+2)2+1=x2+4x+4+1=x2+4x+5\displaystyle (x+2)^{2}+1=x^{2}+4x+4+1=x^{2}+4x+5.
    (x+2)f(x)=x2+4x+5\displaystyle (x+2)f(x)=x^{2}+4x+5
  4. Integrăm termen cu termen: ∫x2 dx=x33\displaystyle \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}, ∫4x dx=2x2\displaystyle \int 4x\,dx=2x^{2}, ∫5 dx=5x\displaystyle \int 5\,dx=5x. Obținem integrala cu limitele 0 și 1.
    ∫01(x2+4x+5) dx=(x33+2x2+5x)∣01\displaystyle \int_0^1(x^2+4x+5)\,dx=\left(\dfrac{x^3}{3}+2x^2+5x\right)\Big|_0^1
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: în x=1\displaystyle x=1 primitiva are valoarea 13+2+5=13+7\displaystyle \dfrac{1}{3}+2+5=\dfrac{1}{3}+7, iar în x=0\displaystyle x=0 are valoarea 0\displaystyle 0. Deci rezultatul este 13+7=223\displaystyle \dfrac{1}{3}+7=\dfrac{22}{3}.
    (13+2+5)−0=223\displaystyle \left(\dfrac{1}{3}+2+5\right)-0=\dfrac{22}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2+1x+2\displaystyle f(x)=x+2+\frac{1}{x+2} și F:(−2,+∞)→R\displaystyle F:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=x22+2x+ln⁡(x+2)\displaystyle F(x)=\frac{x^2}{2}+2x+\ln(x+2).

Verificați dacă funcția F\displaystyle F este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f pe intervalul (−2,+∞)\displaystyle (-2,+\infty) dacă F\displaystyle F este derivabilă și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈(−2,+∞)\displaystyle x\in(-2,+\infty). Calculăm deci derivata lui F\displaystyle F.
    F′(x)=(x22+2x+ln⁡(x+2))′\displaystyle F'(x)=\left(\dfrac{x^{2}}{2}+2x+\ln(x+2)\right)'
  2. Derivăm fiecare termen separat: (x22)′=x\displaystyle \left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)'=x, (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2, iar (ln⁡(x+2))′=1x+2⋅(x+2)′=1x+2\displaystyle (\ln(x+2))'=\dfrac{1}{x+2}\cdot(x+2)'=\dfrac{1}{x+2}.
    F′(x)=x+2+1x+2\displaystyle F'(x)=x+2+\dfrac{1}{x+2}
  3. Comparăm cu f\displaystyle f: expresia obținută pentru F′(x)\displaystyle F'(x) este exact f(x)=x+2+1x+2\displaystyle f(x)=x+2+\dfrac{1}{x+2}, pentru orice x∈(−2,+∞)\displaystyle x\in(-2,+\infty). Deci F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x)⇒F este o primitiva˘ a \displaystyle F'(x)=f(x)\Rightarrow F\text{ este o primitivă a }funcției f\displaystyle \text{funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2+1x+2\displaystyle f(x)=x+2+\frac{1}{x+2} și F:(−2,+∞)→R\displaystyle F:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=x22+2x+ln⁡(x+2)\displaystyle F(x)=\frac{x^2}{2}+2x+\ln(x+2).

Calculați ∫−10F(x)f(x) dx\displaystyle \int_{-1}^{0}F(x)f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata lui F\displaystyle F: (x22)′=x\displaystyle \left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)'=x, (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2, (ln⁡(x+2))′=1x+2\displaystyle (\ln(x+2))'=\dfrac{1}{x+2}. Obținem că F′\displaystyle F' este egală cu f\displaystyle f.
    F′(x)=x+2+1x+2=f(x)\displaystyle F'(x)=x+2+\dfrac{1}{x+2}=f(x)
  2. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu F′(x)\displaystyle F'(x) în integrală, deoarece F′=f\displaystyle F'=f.
    ∫−10F(x)f(x) dx=∫−10F(x)⋅F′(x) dx\displaystyle \int_{-1}^{0}F(x)f(x)\,dx=\int_{-1}^{0}F(x)\cdot F'(x)\,dx
  3. Observăm că (F2(x)2)′=F(x)⋅F′(x)\displaystyle \left(\dfrac{F^{2}(x)}{2}\right)'=F(x)\cdot F'(x), deci F22\displaystyle \dfrac{F^{2}}{2} este o primitivă a lui F⋅F′\displaystyle F\cdot F'. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫−10F(x)F′(x) dx=F2(x)2∣−10=F2(0)−F2(−1)2\displaystyle \int_{-1}^{0}F(x)F'(x)\,dx=\dfrac{F^{2}(x)}{2}\Big|_{-1}^{0}=\dfrac{F^{2}(0)-F^{2}(-1)}{2}
  4. Calculăm F(0)\displaystyle F(0): primii doi termeni se anulează, iar ln⁡(0+2)=ln⁡2\displaystyle \ln(0+2)=\ln 2.
    F(0)=02+0+ln⁡2=ln⁡2\displaystyle F(0)=\dfrac{0}{2}+0+\ln 2=\ln 2
  5. Calculăm F(−1)\displaystyle F(-1): ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, iar 12−2=−32\displaystyle \dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{3}{2}. Ridicăm la pătrat.
    F(−1)=12−2+ln⁡1=−32\displaystyle F(-1)=\dfrac{1}{2}-2+\ln 1=-\dfrac{3}{2},F2(−1)=94\displaystyle \quad F^{2}(-1)=\dfrac{9}{4}
  6. Înlocuim în rezultatul de la pasul 3 valorile F2(0)=ln⁡22\displaystyle F^{2}(0)=\ln^{2}2 și F2(−1)=94\displaystyle F^{2}(-1)=\dfrac{9}{4} și obținem răspunsul final.
    F2(0)−F2(−1)2=12(ln⁡22−94)\displaystyle \dfrac{F^{2}(0)-F^{2}(-1)}{2}=\dfrac{1}{2}\left(\ln^{2}2-\dfrac{9}{4}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.