Bac matematică M1 mate-info 2017, sesiunea I rezervă varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Se consideră numerele complexe

\displaystyle z_1 = 5 + 2i

și

\displaystyle z_2 = 3 - 3i

. Arătați că

\displaystyle 3z_1 + 2z_2 = 21

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle z_1=5+2i$ și $\displaystyle z_2=3-3i$ în expresia $\displaystyle 3z_1+2z_2$ .
$\displaystyle 3z_1+2z_2=3(5+2i)+2(3-3i)$
Distribuim factorii $\displaystyle 3$ și $\displaystyle 2$ în paranteze: $\displaystyle 3\cdot 5=15$ , $\displaystyle 3\cdot 2i=6i$ , $\displaystyle 2\cdot 3=6$ , $\displaystyle 2\cdot(-3i)=-6i$ .
$\displaystyle 3(5+2i)+2(3-3i)=15+6i+6-6i$
Partea imaginară se reduce, deoarece $\displaystyle 6i-6i=0$ , iar părțile reale se adună: $\displaystyle 15+6=21$ .
$\displaystyle 15+6i+6-6i=15+6=21$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcțiile

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+1

și

\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=x^2-x+2

. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.

Vezi rezolvarea

Abscisa punctului de intersecție este valoarea lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle f(x)=g(x)$ . Egalăm expresiile celor două funcții.
$\displaystyle x+1=x^{2}-x+2$
Mutăm toți termenii în membrul drept și reducem termenii asemenea: $\displaystyle x^{2}-x-x=x^{2}-2x$ , iar $\displaystyle 2-1=1$ .
$\displaystyle x+1=x^{2}-x+2\Leftrightarrow x^{2}-2x+1=0$
Recunoaștem în membrul stâng pătratul unei diferențe: $\displaystyle x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$ . Ecuația devine $\displaystyle (x-1)^{2}=0$ , deci $\displaystyle x-1=0$ .
$\displaystyle (x-1)^{2}=0\Rightarrow x-1=0$
Rezultă că ecuația are soluția unică $\displaystyle x=1$ , deci abscisa punctului de intersecție este $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 3^{x^2+3}=3\cdot 3^{3x}

.

Vezi rezolvarea

Scriem membrul drept ca o singură putere a lui $\displaystyle 3$ , folosind regula $\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$ : $\displaystyle 3\cdot 3^{3x}=3^{1}\cdot 3^{3x}=3^{1+3x}$ .
$\displaystyle 3^{x^{2}+3}=3^{1+3x}$
Funcția $\displaystyle t\mapsto 3^{t}$ este injectivă, deci puterile sunt egale doar dacă exponenții sunt egali: $\displaystyle x^{2}+3=1+3x$ .
$\displaystyle x^{2}+3=1+3x$
Mutăm toți termenii în membrul stâng: $\displaystyle x^{2}+3-1-3x=0$ , adică ecuația de gradul al doilea $\displaystyle x^{2}-3x+2=0$ .
$\displaystyle x^{2}-3x+2=0$
Calculăm discriminantul: $\displaystyle \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1$ .
$\displaystyle \Delta=1$
Aplicăm formula rădăcinilor: $\displaystyle x=\dfrac{3\pm 1}{2}$ , deci $\displaystyle x_{1}=\dfrac{3-1}{2}=1$ și $\displaystyle x_{2}=\dfrac{3+1}{2}=2$ . Ecuația exponențială nu are restricții pentru $\displaystyle x$ , deci ambele valori sunt soluții.
$\displaystyle x=1\text{ sau }x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu

\displaystyle 3

și cu

\displaystyle 5

.

Vezi rezolvarea

Numerele naturale de două cifre sunt de la $\displaystyle 10$ la $\displaystyle 99$ , deci numărul cazurilor posibile este $\displaystyle 99-10+1=90$ .
$\displaystyle 90$
Un număr divizibil cu $\displaystyle 3$ și cu $\displaystyle 5$ este divizibil cu cel mai mic multiplu comun al lor, adică cu $\displaystyle 15$ , pentru că $\displaystyle 3$ și $\displaystyle 5$ sunt prime între ele.
$\displaystyle 15\mid n$
Multiplii lui $\displaystyle 15$ de două cifre sunt $\displaystyle 15, 30, 45, 60, 75, 90$ . Sunt $\displaystyle 6$ cazuri favorabile (următorul multiplu, $\displaystyle 105$ , are trei cifre).
$\displaystyle 6$
Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și al celor posibile: $\displaystyle p=\dfrac{6}{90}$ , apoi simplificăm fracția prin $\displaystyle 6$ .
$\displaystyle p=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(0,2)

,

\displaystyle B(2,4)

și

\displaystyle C(m,0)

, unde

\displaystyle m

este număr real. Determinați numărul real

\displaystyle m

, știind că punctele

\displaystyle A

,

\displaystyle B

și

\displaystyle C

sunt coliniare.

Vezi rezolvarea

Calculăm panta dreptei $\displaystyle AB$ folosind coordonatele punctelor $\displaystyle A(0,2)$ și $\displaystyle B(2,4)$ : $\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ .
$\displaystyle m_{AB}=\dfrac{4-2}{2-0}=1$
Scriem ecuația dreptei $\displaystyle AB$ prin punctul $\displaystyle A(0,2)$ cu panta $\displaystyle 1$ : $\displaystyle y-2=1\cdot(x-0)$ . Ordonata la origine este $\displaystyle 2$ , deci dreapta are ecuația de mai jos.
$\displaystyle AB:\ y=x+2$
Punctele $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ , $\displaystyle C$ sunt coliniare dacă $\displaystyle C$ aparține dreptei $\displaystyle AB$ . Înlocuim coordonatele lui $\displaystyle C(m,0)$ în ecuația dreptei: $\displaystyle 0=m+2$ .
$\displaystyle 0=m+2$
Rezolvăm ecuația: $\displaystyle m=-2$ . Deci punctul $\displaystyle C(-2,0)$ se află pe dreapta $\displaystyle AB$ .
$\displaystyle m=-2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Calculați lungimea laturii

\displaystyle BC

a triunghiului

\displaystyle ABC

, știind că

\displaystyle AB=4

,

\displaystyle AC=8

și

\displaystyle A=\frac{\pi}{3}

.

Vezi rezolvarea

Scriem teorema cosinusului în triunghiul $\displaystyle ABC$ pentru unghiul $\displaystyle A$ , care leagă latura $\displaystyle BC$ de laturile $\displaystyle AB$ și $\displaystyle AC$ și de unghiul dintre ele.
$\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A$
Înlocuim $\displaystyle AB=4$ , $\displaystyle AC=8$ și $\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle BC^{2}=4^{2}+8^{2}-2\cdot 4\cdot 8\cdot\dfrac{1}{2}$
Calculăm: $\displaystyle 16+64=80$ , iar $\displaystyle 2\cdot 4\cdot 8\cdot\dfrac{1}{2}=32$ . Rezultă $\displaystyle BC^{2}=80-32=48$ .
$\displaystyle BC^{2}=16+64-32=48$
Extragem rădăcina pătrată, $\displaystyle BC$ fiind o lungime, deci pozitivă. Scriem $\displaystyle 48=16\cdot 3$ și scoatem $\displaystyle 16$ de sub radical.
$\displaystyle BC=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2-x & 0 & x-1\\ 0 & 1 & 0\\ 2(1-x) & 0 & 2x-1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(2))=2

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=2$ în fiecare element al matricei: prima linie devine $\displaystyle (2-2,\ 0,\ 2-1)$ , iar a treia linie devine $\displaystyle (2(1-2),\ 0,\ 2\cdot 2-1)$ .
$\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-2&0&3\end{pmatrix}$
Scriem determinantul matricei $\displaystyle A(2)$ .
$\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-2&0&3\end{vmatrix}$
Aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele pe diagonala principală și pe paralelele ei, apoi scădem produsele pe diagonala secundară și pe paralelele ei. Singurul produs nenul este cel de pe diagonala secundară: $\displaystyle 1\cdot 1\cdot(-2)=-2$ .
$\displaystyle 0\cdot 1\cdot 3+0\cdot 0\cdot(-2)+1\cdot 0\cdot 0-1\cdot 1\cdot(-2)-0\cdot 0\cdot 3-0\cdot 0\cdot 1$
Efectuăm calculele: termenii cu factor $\displaystyle 0$ dispar, iar scăderea lui $\displaystyle -2$ dă $\displaystyle +2$ . Deci determinantul este $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle 0+0+0-(-2)-0-0=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2-x & 0 & x-1\\ 0 & 1 & 0\\ 2(1-x) & 0 & 2x-1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real. Demonstrați că

\displaystyle \det(A(x)A(-x))\le 0

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -x$ în $\displaystyle A(x)$ și obținem matricea $\displaystyle A(-x)$ .
$\displaystyle A(-x)=\begin{pmatrix}2+x&0&-x-1\\0&1&0\\2(1+x)&0&-2x-1\end{pmatrix}$
Calculăm elementele produsului $\displaystyle A(x)A(-x)$ . Pe prima linie: $\displaystyle (2-x)(2+x)+(x-1)\cdot 2(1+x)=4-x^2+2x^2-2=x^2+2$ și $\displaystyle (2-x)(-x-1)+(x-1)(-2x-1)=-x^2-1$ . Pe a treia linie: $\displaystyle 2(1-x)(2+x)+(2x-1)\cdot 2(1+x)=2x^2+2$ și $\displaystyle 2(1-x)(-x-1)+(2x-1)(-2x-1)=-2x^2-1$ . A doua linie este $\displaystyle (0,1,0)$ , deoarece elementele de pe linia și coloana a doua ale celor două matrice sunt nule, în afară de 1.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x^2+2&-x^2-1\\2x^2+2&-2x^2-1\end{pmatrix}$
Scriem produsul și determinantul lui: $\displaystyle A(x)A(-x)$ are elementele calculate mai sus, iar $\displaystyle \det(A(x)A(-x))$ este determinantul acestei matrice.
$\displaystyle A(x)A(-x)=\begin{pmatrix}2+x^2&0&-x^2-1\\0&1&0\\2+2x^2&0&-2x^2-1\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A(x)A(-x))=\begin{vmatrix}2+x^2&0&-x^2-1\\0&1&0\\2+2x^2&0&-2x^2-1\end{vmatrix}$
Dezvoltăm determinantul după linia a doua, care are un singur element nenul, $\displaystyle 1$ , pe poziția $\displaystyle (2,2)$ , cu semnul $\displaystyle +$ . Rămâne un determinant de ordinul doi.
$\displaystyle \det(A(x)A(-x))=\begin{vmatrix}2+x^2&-x^2-1\\2+2x^2&-2x^2-1\end{vmatrix}$
Calculăm determinantul de ordinul doi: $\displaystyle (x^2+2)(-2x^2-1)-(-x^2-1)(2x^2+2)=-(2x^4+5x^2+2)+(2x^4+4x^2+2)=-x^2$ . Cum $\displaystyle x^2\ge 0$ pentru orice $\displaystyle x$ real, rezultă $\displaystyle -x^2\le 0$ , adică $\displaystyle \det(A(x)A(-x))\le 0$ .
$\displaystyle (x^2+2)(-2x^2-1)-(-x^2-1)(2x^2+2)=-x^2\le 0\text{, pentru orice număr real }x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2-x & 0 & x-1\\ 0 & 1 & 0\\ 2(1-x) & 0 & 2x-1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că, dacă numerele naturale

\displaystyle m

și

\displaystyle n

verifică relația

\displaystyle A(m)A(n)=A(2)

, atunci

\displaystyle m+n=3

.

Vezi rezolvarea

Calculăm elementele de pe prima linie a produsului $\displaystyle A(m)A(n)$ . Elementul de pe prima linie și prima coloană este $\displaystyle (2-m)(2-n)+(m-1)\cdot 2(1-n)$ . După desfacerea parantezelor și reducerea termenilor se obține $\displaystyle 2-mn$ .
$\displaystyle (2-m)(2-n)+2(m-1)(1-n)=2-mn$
Elementul de pe prima linie și a treia coloană este $\displaystyle (2-m)(n-1)+(m-1)(2n-1)$ . După calcul se obține $\displaystyle mn-1$ . Elementul din mijloc al primei linii este $\displaystyle 0$ , deoarece a doua coloană din $\displaystyle A(n)$ are doar elementul central nenul, iar în prima linie a lui $\displaystyle A(m)$ acesta este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle (2-m)(n-1)+(m-1)(2n-1)=mn-1$
Linia a doua a produsului este $\displaystyle (0,\ 1,\ 0)$ . Pe linia a treia, elementul de pe prima coloană este $\displaystyle 2(1-m)(2-n)+(2m-1)\cdot 2(1-n)$ , adică $\displaystyle 2(1-mn)$ . Elementul de pe a treia coloană este $\displaystyle 2(1-m)(n-1)+(2m-1)(2n-1)$ , adică $\displaystyle 2mn-1$ . Elementele din mijloc ale liniilor a doua și a treia sunt $\displaystyle 1$ , respectiv $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle 2(1-m)(2-n)+2(2m-1)(1-n)=2(1-mn)$ , $\displaystyle \quad 2(1-m)(n-1)+(2m-1)(2n-1)=2mn-1$
Adunăm rezultatele: produsul are exact forma matricei $\displaystyle A$ cu $\displaystyle x$ înlocuit prin $\displaystyle mn$ , deci $\displaystyle A(m)A(n)=A(mn)$ .
$\displaystyle A(m)A(n)=\begin{pmatrix}2-mn&0&mn-1\\0&1&0\\2(1-mn)&0&2mn-1\end{pmatrix}=A(mn)$
Relația din enunț devine $\displaystyle A(mn)=A(2)$ . Matricea $\displaystyle A(2)$ are pe prima linie și prima coloană elementul $\displaystyle 0$ . Egalând cu elementul corespunzător din $\displaystyle A(mn)$ , adică $\displaystyle 2-mn$ , obținem $\displaystyle mn=2$ .
$\displaystyle 2-mn=2-2\Rightarrow mn=2$
Numerele $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ sunt naturale cu produsul $\displaystyle 2$ , deci sunt divizori naturali ai lui $\displaystyle 2$ . Perechile posibile sunt $\displaystyle (1,2)$ și $\displaystyle (2,1)$ . În ambele cazuri suma este $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle mn=2\Rightarrow (m,n)\in\{(1,2),(2,1)\}\text{, deci }m+n=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3+2X^2+aX+1

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle a

, știind că

\displaystyle f(1)=0

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle X$ cu $\displaystyle 1$ în polinomul $\displaystyle f$ . Condiția $\displaystyle f(1)=0$ devine o ecuație în necunoscuta $\displaystyle a$ .
$\displaystyle 1^3+2\cdot 1^2+a\cdot 1+1=0$
Calculăm puterile și produsele: $\displaystyle 1^3=1$ , $\displaystyle 2\cdot 1^2=2$ , iar $\displaystyle a\cdot 1=a$ . Astfel obținem o ecuație de gradul întâi în $\displaystyle a$ .
$\displaystyle 1+2+a+1=0\Leftrightarrow a+4=0$
Scădem $\displaystyle 4$ din ambii membri ai ecuației și obținem valoarea lui $\displaystyle a$ .
$\displaystyle a=-4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3+2X^2+aX+1

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Pentru

\displaystyle a=2

, calculați câtul și restul împărțirii polinomului

\displaystyle f

la polinomul

\displaystyle X^2+X+1

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle a=2$ obținem polinomul $\displaystyle f=X^3+2X^2+2X+1$ , pe care îl împărțim la $\displaystyle X^2+X+1$ .
$\displaystyle f=X^3+2X^2+2X+1$
Împărțim $\displaystyle X^3$ la $\displaystyle X^2$ și obținem $\displaystyle X$ , primul termen al câtului.
$\displaystyle \dfrac{X^3}{X^2}=X$
Calculăm $\displaystyle X\cdot(X^2+X+1)=X^3+X^2+X$ și îl scădem din $\displaystyle f$ .
$\displaystyle (X^3+2X^2+2X+1)-(X^3+X^2+X)=X^2+X+1$
Împărțim $\displaystyle X^2$ la $\displaystyle X^2$ și obținem $\displaystyle 1$ . Deci câtul este $\displaystyle X+1$ .
$\displaystyle q=X+1$
Calculăm $\displaystyle 1\cdot(X^2+X+1)=X^2+X+1$ și îl scădem din $\displaystyle X^2+X+1$ . Se obține $\displaystyle 0$ , deci restul este $\displaystyle 0$ . Verificare: $\displaystyle (X+1)(X^2+X+1)=X^3+2X^2+2X+1=f$ .
$\displaystyle (X+1)(X^2+X+1)=X^3+2X^2+2X+1\text{, deci }q=X+1\text{ și }r=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3+2X^2+aX+1

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numerele reale

\displaystyle a

pentru care rădăcinile polinomului

\displaystyle f

au modulele egale.

Vezi rezolvarea

Notăm rădăcinile cu $\displaystyle x_1,x_2,x_3$ . Din relațiile lui Viète, produsul rădăcinilor este $\displaystyle -\dfrac{1}{1}$ , adică $\displaystyle -1$ .
$\displaystyle x_1x_2x_3=-1$
Dacă $\displaystyle |x_1|=|x_2|=|x_3|=r$ , atunci din $\displaystyle |x_1x_2x_3|=1$ obținem $\displaystyle r^{3}=1$ , deci $\displaystyle r=1$ (fiindcă $\displaystyle r\geq 0$ ). Așadar toate rădăcinile au modulul 1.
$\displaystyle |x_1|=|x_2|=|x_3|=1$
Polinomul $\displaystyle f$ are grad 3 și coeficienți reali, deci are cel puțin o rădăcină reală, fie ea $\displaystyle x_1$ . Cum $\displaystyle |x_1|=1$ , avem $\displaystyle x_1=-1$ sau $\displaystyle x_1=1$ . Analizăm cele două cazuri.
$\displaystyle x_1=-1\text{ sau }x_1=1$
Cazul $\displaystyle x_1=-1$ : calculăm $\displaystyle f(-1)=-1+2-a+1=2-a$ . Din $\displaystyle f(-1)=0$ rezultă $\displaystyle a=2$ .
$\displaystyle f(-1)=2-a=0\Rightarrow a=2$
Pentru $\displaystyle a=2$ avem $\displaystyle f=(X+1)(X^2+X+1)$ . Ecuația $\displaystyle x^2+x+1=0$ are $\displaystyle \Delta=-3<0$ , deci $\displaystyle x_2,x_3$ sunt complex conjugate, iar $\displaystyle x_2x_3=1$ . Atunci $\displaystyle |x_2|^2=x_2x_3=1$ , deci $\displaystyle |x_2|=|x_3|=1$ . Valoarea $\displaystyle a=2$ convine.
$\displaystyle a=2\text{ convine, deoarece }|x_2|=|x_3|=1=|{-1}|$
Cazul $\displaystyle x_1=1$ : calculăm $\displaystyle f(1)=1+2+a+1=a+4$ . Din $\displaystyle f(1)=0$ rezultă $\displaystyle a=-4$ . Atunci $\displaystyle f=(X-1)(X^2+3X-1)$ , iar celelalte rădăcini sunt $\displaystyle x_{2,3}=\dfrac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$ . Ele sunt reale, cu module diferite, deoarece $\displaystyle |x_2|\approx 0{,}3$ și $\displaystyle |x_3|\approx 3{,}3$ . Deci $\displaystyle a=-4$ nu convine. Singura valoare care convine este $\displaystyle a=2$ .
$\displaystyle a=-4\text{ nu convine, deoarece }|x_2|\neq|x_3|\text{; deci }a=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x-1-\ln(x+2)

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=e^x-\frac{1}{x+2}

,

\displaystyle x\in(-2,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f(x)=e^x-1-\ln(x+2)$ este definită pe $\displaystyle (-2,+\infty)$ și este o diferență de termeni, deci o derivăm termen cu termen.
$\displaystyle f'(x)=(e^x)'-1'-(\ln(x+2))'$
Folosim $\displaystyle (e^x)'=e^x$ și faptul că derivata unei constante este zero: $\displaystyle 1'=0$ .
$\displaystyle (e^x)'=e^x$ , $\displaystyle \quad 1'=0$
Pentru $\displaystyle \ln(x+2)$ folosim $\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ cu $\displaystyle u=x+2$ . Cum $\displaystyle (x+2)'=1$ , obținem rezultatul alăturat.
$\displaystyle (\ln(x+2))'=\frac{(x+2)'}{x+2}=\frac{1}{x+2}$
Înlocuim cele trei derivate în $\displaystyle f'(x)$ și obținem formula cerută, valabilă pentru $\displaystyle x\in(-2,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=e^x-0-\frac{(x+2)'}{x+2}=e^x-\frac{1}{x+2}\text{, }x\in(-2,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x-1-\ln(x+2)

.

Demonstrați că funcția

\displaystyle f

este convexă pe

\displaystyle (-2,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Pentru a arăta că funcția este convexă, studiem semnul derivatei a doua. Calculăm mai întâi derivata întâi: $\displaystyle (e^x)'=e^x$ , $\displaystyle (1)'=0$ , iar $\displaystyle (\ln(x+2))'=\dfrac{1}{x+2}$ .
$\displaystyle f'(x)=e^x-\dfrac{1}{x+2}$ , $\displaystyle \ x\in(-2,+\infty)$
Derivăm încă o dată. Avem $\displaystyle (e^x)'=e^x$ . Scriem $\displaystyle \dfrac{1}{x+2}=(x+2)^{-1}$ , a cărei derivată este $\displaystyle -(x+2)^{-2}=-\dfrac{1}{(x+2)^2}$ , deci derivata termenului cu minus este $\displaystyle +\dfrac{1}{(x+2)^2}$ .
$\displaystyle f''(x)=e^x+\dfrac{1}{(x+2)^2}$ , $\displaystyle \ x\in(-2,+\infty)$
Studiem semnul lui $\displaystyle f''$ . Exponențiala $\displaystyle e^x>0$ pentru orice $\displaystyle x$ real. Pe intervalul considerat $\displaystyle x+2>0$ , deci $\displaystyle (x+2)^2>0$ și $\displaystyle \dfrac{1}{(x+2)^2}>0$ . Suma a doi termeni pozitivi este pozitivă.
$\displaystyle e^x>0$ , $\displaystyle \ \dfrac{1}{(x+2)^2}>0\ \Rightarrow\ f''(x)>0$ , $\displaystyle \ \forall x\in(-2,+\infty)$
Deoarece $\displaystyle f''(x)\ge 0$ pe tot intervalul, funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (-2,+\infty)$ .
$\displaystyle f''(x)\ge 0\text{, deci funcția }f\text{ este convexă pe }(-2,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x-1-\ln(x+2)

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}

.

Vezi rezolvarea

Scriem raportul $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}$ înlocuind $\displaystyle f(x)=e^x-1-\ln(x+2)$ și îl despărțim în două fracții.
$\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{e^x-1}{x}-\frac{\ln(x+2)}{x}$
Pentru prima fracție, $\displaystyle e^x-1\to+\infty$ și $\displaystyle x\to+\infty$ , deci avem cazul $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ . Aplicăm regula lui L'Hôpital: derivăm separat numărătorul și numitorul, adică $\displaystyle (e^x-1)'=e^x$ și $\displaystyle x'=1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{1}=\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$
Pentru a doua fracție, $\displaystyle \ln(x+2)\to+\infty$ și $\displaystyle x\to+\infty$ , deci avem tot cazul $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ . Aplicăm L'Hôpital, cu $\displaystyle (\ln(x+2))'=\dfrac{1}{x+2}$ și $\displaystyle x'=1$ . Apoi $\displaystyle \dfrac{1}{x+2}\to 0$ când $\displaystyle x\to+\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x+2)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x+2}=0$
Primul termen tinde la $\displaystyle +\infty$ , iar al doilea la $\displaystyle 0$ , deci diferența lor tinde la $\displaystyle +\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{e^x-1}{x}-\frac{\ln(x+2)}{x}\right)=+\infty-0=+\infty$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Pentru fiecare număr natural nenul

\displaystyle n

, se consideră numărul

\displaystyle I_n=\int_1^e x\ln^n x\,dx

.

Arătați că

\displaystyle \int_1^e x\,dx=\frac{e^2-1}{2}

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle x$ este continuă pe $\displaystyle [1,e]$ , deci are primitive. O primitivă a lui $\displaystyle x$ este $\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}$ , pentru că $\displaystyle \left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)'=x$ .
$\displaystyle \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în $\displaystyle e$ minus valoarea ei în $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \int_1^e x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\Big|_1^e$
Înlocuim limitele de integrare: în $\displaystyle e$ obținem $\displaystyle \dfrac{e^{2}}{2}$ , iar în $\displaystyle 1$ obținem $\displaystyle \dfrac{1^{2}}{2}=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \frac{e^{2}}{2}-\frac{1}{2}$
Fracțiile au același numitor, deci le scriem împreună și obținem rezultatul cerut.
$\displaystyle \frac{e^{2}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{e^{2}-1}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Pentru fiecare număr natural nenul

\displaystyle n

, se consideră numărul

\displaystyle I_n=\int_1^e x\ln^n x\,dx

.

Demonstrați că

\displaystyle I_{n+1}\le I_n

, pentru orice număr natural nenul

\displaystyle n

.

Vezi rezolvarea

Scriem diferența $\displaystyle I_{n+1}-I_n$ ca o singură integrală, folosind liniaritatea integralei, pe același interval $\displaystyle [1,e]$ , și dăm factor comun $\displaystyle x\ln^n x$ .
$\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_1^e \left(x\ln^{n+1}x-x\ln^n x\right)dx=\int_1^e x\ln^n x\,(\ln x-1)\,dx$
Pentru $\displaystyle x\in[1,e]$ , funcția $\displaystyle \ln$ fiind crescătoare, avem $\displaystyle \ln 1\le \ln x\le \ln e$ , adică $\displaystyle 0\le \ln x\le 1$ . Rezultă că $\displaystyle \ln x-1\le 0$ .
$\displaystyle x\in[1,e]\Rightarrow 0\le\ln x\le 1\Rightarrow \ln x-1\le 0$
Stabilim semnul funcției de sub integrală. Pe $\displaystyle [1,e]$ avem $\displaystyle x>0$ și $\displaystyle \ln^n x\ge 0$ (deoarece $\displaystyle \ln x\ge 0$ ), iar $\displaystyle \ln x-1\le 0$ . Deci produsul este mai mic sau egal cu $\displaystyle 0$ pe tot intervalul.
$\displaystyle x\ln^n x\,(\ln x-1)\le 0$ , $\displaystyle \ \forall x\in[1,e]$
Integrala unei funcții mai mici sau egale cu $\displaystyle 0$ pe intervalul $\displaystyle [1,e]$ este mai mică sau egală cu $\displaystyle 0$ . Deci $\displaystyle I_{n+1}-I_n\le 0$ , adică $\displaystyle I_{n+1}\le I_n$ , pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$ .
$\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_1^e x\ln^n x(\ln x-1)\,dx\le 0\text{, deci }I_{n+1}\le I_n\text{, pentru orice număr }$ $\displaystyle \text{natural nenul }n$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Pentru fiecare număr natural nenul

\displaystyle n

, se consideră numărul

\displaystyle I_n=\int_1^e x\ln^n x\,dx

.

Demonstrați că

\displaystyle 2I_{n+1}+(n+1)I_n=e^2

, pentru orice număr natural nenul

\displaystyle n

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle I_{n+1}=\int_1^e x\ln^{n+1}x\,dx$ și alegem $\displaystyle u=\ln^{n+1}x$ , $\displaystyle dv=x\,dx$ .
$\displaystyle u=\ln^{n+1}x$ , $\displaystyle \quad dv=x\,dx$
Avem $\displaystyle du=(n+1)\ln^{n}x\cdot\dfrac{1}{x}\,dx$ și $\displaystyle v=\dfrac{x^2}{2}$ .
$\displaystyle du=\frac{(n+1)\ln^{n}x}{x}\,dx$ , $\displaystyle \quad v=\frac{x^{2}}{2}$
Aplicăm formula $\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du$ și simplificăm: $\displaystyle \dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{(n+1)\ln^n x}{x}=\dfrac{n+1}{2}\,x\ln^n x$ .
$\displaystyle I_{n+1}=\frac{x^2}{2}\ln^{n+1}x\Big|_1^e-\frac{n+1}{2}\int_1^e x\ln^n x\,dx$
Calculăm termenul de la limite: $\displaystyle \dfrac{e^2}{2}\ln^{n+1}e-\dfrac{1}{2}\ln^{n+1}1=\dfrac{e^2}{2}\cdot 1-0=\dfrac{e^2}{2}$ . Integrala rămasă este $\displaystyle \int_1^e x\ln^n x\,dx=I_n$ .
$\displaystyle I_{n+1}=\frac{e^2}{2}-\frac{n+1}{2}I_n$
Înmulțim egalitatea cu $\displaystyle 2$ : $\displaystyle 2I_{n+1}=e^2-(n+1)I_n$ . Mutăm termenul cu $\displaystyle I_n$ în stânga și obținem relația cerută, valabilă pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$ .
$\displaystyle 2I_{n+1}+(n+1)I_n=e^2\text{, pentru orice număr }$ $\displaystyle \text{natural nenul }n$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2017, sesiunea I rezervă varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani