Bac matematică M1 mate-info 2019, sesiunea I varianta 06: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul n=(3−i2)(3+i2)\displaystyle n=(3-i\sqrt{2})(3+i\sqrt{2}) este întreg, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că produsul are forma (a−b)(a+b)\displaystyle (a-b)(a+b), cu a=3\displaystyle a=3 și b=i2\displaystyle b=i\sqrt{2}. Aplicăm formula diferenței de pătrate: (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
    n=32−(i2)2\displaystyle n=3^{2}-\left(i\sqrt{2}\right)^{2}
  2. Calculăm pătratul lui i2\displaystyle i\sqrt{2}: ridicăm la pătrat fiecare factor, deci (i2)2=i2⋅(2)2=2i2\displaystyle \left(i\sqrt{2}\right)^{2}=i^{2}\cdot\left(\sqrt{2}\right)^{2}=2i^{2}.
    (i2)2=2i2\displaystyle \left(i\sqrt{2}\right)^{2}=2i^{2}
  3. Înlocuim în expresia lui n\displaystyle n: 32=9\displaystyle 3^{2}=9, deci n=9−2i2\displaystyle n=9-2i^{2}. Folosim i2=−1\displaystyle i^{2}=-1 și obținem n=9−2⋅(−1)=9+2=11\displaystyle n=9-2\cdot(-1)=9+2=11, care este număr întreg.
    n=9−2i2=9+2=11∈Z\displaystyle n=9-2i^{2}=9+2=11\in\mathbb{Z}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctul A(a,3)\displaystyle A(a,3) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+a\displaystyle f(x)=2x+a.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(a,3)\displaystyle A(a,3) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(a)=3\displaystyle f(a)=3, adică ordonata punctului este valoarea funcției în abscisa a\displaystyle a.
    f(a)=3\displaystyle f(a)=3
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle a în f(x)=2x+a\displaystyle f(x)=2x+a și obținem f(a)=2a+a\displaystyle f(a)=2a+a. Egalăm cu 3\displaystyle 3.
    2a+a=3\displaystyle 2a+a=3
  3. Reducem termenii asemenea: 3a=3\displaystyle 3a=3. Împărțim ambii membri la 3\displaystyle 3 și obținem a=1\displaystyle a=1.
    3a=3⇒a=1\displaystyle 3a=3\Rightarrow a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2019x+2019−x=2\displaystyle 2019^x+2019^{-x}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm t=2019x\displaystyle t=2019^x. Cum 2019x>0\displaystyle 2019^x>0, avem t>0\displaystyle t>0, iar 2019−x=1t\displaystyle 2019^{-x}=\dfrac{1}{t}.
    t=2019x>0\displaystyle t=2019^x>0,2019−x=1t\displaystyle \quad 2019^{-x}=\dfrac{1}{t}
  2. Înlocuim în ecuație și obținem t+1t=2\displaystyle t+\dfrac{1}{t}=2.
    t+1t=2\displaystyle t+\dfrac{1}{t}=2
  3. Înmulțim cu t≠0\displaystyle t\neq 0 și mutăm tot în membrul stâng. Obținem t2−2t+1=0\displaystyle t^{2}-2t+1=0.
    t2−2t+1=0\displaystyle t^{2}-2t+1=0
  4. Expresia din stânga este pătratul perfect (t−1)2\displaystyle (t-1)^2. Revenind la notația inițială, ecuația se scrie (2019x−1)2=0\displaystyle \left(2019^x-1\right)^2=0.
    2019x+2019−x−2=0⇔(2019x−1)2=0\displaystyle 2019^x+2019^{-x}-2=0\Leftrightarrow\left(2019^x-1\right)^2=0
  5. Un pătrat este zero doar când baza este zero, deci 2019x=1\displaystyle 2019^x=1. Cum 1=20190\displaystyle 1=2019^0, iar funcția exponențială este injectivă, rezultă x=0\displaystyle x=0. Verificare: 20190+20190=1+1=2\displaystyle 2019^0+2019^0=1+1=2.
    2019x=1, deci x=0\displaystyle 2019^x=1\text{, deci }x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra unităților impară.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10, 11, \ldots, 99. Numărul cazurilor posibile este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90.
    90\displaystyle 90
  2. Cifra unităților este impară: 1,3,5,7,9\displaystyle 1, 3, 5, 7, 9, deci are 5\displaystyle 5 variante. Cifra zecilor este una dintre cifrele 1,2,…,9\displaystyle 1, 2, \ldots, 9, deci are 9\displaystyle 9 variante.
    5 variante pentru unita˘ți\displaystyle 5\text{ variante pentru unități}, 9 variante pentru zeci\displaystyle \ 9\text{ variante pentru zeci}
  3. Numărul cazurilor favorabile este 9⋅5=45\displaystyle 9\cdot 5=45.
    9⋅5=45\displaystyle 9\cdot 5=45
  4. Probabilitatea este raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile: p=4590=12\displaystyle p=\dfrac{45}{90}=\dfrac{1}{2}.
    p=4590=12\displaystyle p=\frac{45}{90}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,−3)\displaystyle A(3,-3) și B(2,−2)\displaystyle B(2,-2). Determinați ecuația dreptei d\displaystyle d care trece prin A\displaystyle A și este perpendiculară pe AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu formula mAB=yB−yAxB−xA\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}, folosind A(3,−3)\displaystyle A(3,-3) și B(2,−2)\displaystyle B(2,-2).
    mAB=−2−(−3)2−3=1−1=−1\displaystyle m_{AB}=\dfrac{-2-(-3)}{2-3}=\dfrac{1}{-1}=-1
  2. Două drepte perpendiculare (cu pante definite și nenule) au produsul pantelor egal cu −1\displaystyle -1: mAB⋅md=−1\displaystyle m_{AB}\cdot m_d=-1. Cum mAB=−1\displaystyle m_{AB}=-1, rezultă md=1\displaystyle m_d=1.
    mAB=−1⇒md=1\displaystyle m_{AB}=-1\Rightarrow m_d=1
  3. Scriem ecuația dreptei prin A(3,−3)\displaystyle A(3,-3) cu panta md=1\displaystyle m_d=1: y−yA=md(x−xA)\displaystyle y-y_A=m_d(x-x_A).
    y−(−3)=1⋅(x−3)\displaystyle y-(-3)=1\cdot(x-3)
  4. Desfacem parantezele: y+3=x−3\displaystyle y+3=x-3, deci obținem ecuația dreptei d\displaystyle d.
    y=x−6\displaystyle y=x-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡(a−b)sin⁡(a+b)=(sin⁡a−sin⁡b)(sin⁡a+sin⁡b)\displaystyle \sin(a-b)\sin(a+b)=(\sin a-\sin b)(\sin a+\sin b), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formulele de adunare: sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−sin⁡bcos⁡a\displaystyle \sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a și sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+sin⁡bcos⁡a\displaystyle \sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a.
    sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−sin⁡bcos⁡a\displaystyle \sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a,sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+sin⁡bcos⁡a\displaystyle \quad \sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a
  2. Produsul are forma (X−Y)(X+Y)=X2−Y2\displaystyle (X-Y)(X+Y)=X^{2}-Y^{2}, unde X=sin⁡acos⁡b\displaystyle X=\sin a\cos b și Y=sin⁡bcos⁡a\displaystyle Y=\sin b\cos a. Obținem expresia din barem.
    sin⁡(a−b)sin⁡(a+b)=sin⁡2a⋅cos⁡2b−sin⁡2b⋅cos⁡2a\displaystyle \sin(a-b)\sin(a+b)=\sin^2 a\cdot\cos^2 b-\sin^2 b\cdot\cos^2 a
  3. Din sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1 avem cos⁡2x=1−sin⁡2x\displaystyle \cos^2 x=1-\sin^2 x. Înlocuim pentru x=b\displaystyle x=b și x=a\displaystyle x=a.
    sin⁡2a(1−sin⁡2b)−sin⁡2b(1−sin⁡2a)\displaystyle \sin^2 a(1-\sin^2 b)-\sin^2 b(1-\sin^2 a)
  4. Desfacem parantezele: sin⁡2a−sin⁡2asin⁡2b−sin⁡2b+sin⁡2bsin⁡2a\displaystyle \sin^2 a-\sin^2 a\sin^2 b-\sin^2 b+\sin^2 b\sin^2 a. Termenii sin⁡2asin⁡2b\displaystyle \sin^2 a\sin^2 b se reduc.
    sin⁡2a−sin⁡2b\displaystyle \sin^2 a-\sin^2 b
  5. Aplicăm diferența de pătrate x2−y2=(x−y)(x+y)\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y) cu x=sin⁡a\displaystyle x=\sin a și y=sin⁡b\displaystyle y=\sin b. Egalitatea este demonstrată pentru orice a,b∈R\displaystyle a,b\in\mathbb{R}.
    sin⁡2a(1−sin⁡2b)−sin⁡2b(1−sin⁡2a)=sin⁡2a−sin⁡2b=(sin⁡a−sin⁡b)(sin⁡a+sin⁡b)\displaystyle \sin^2 a(1-\sin^2 b)-\sin^2 b(1-\sin^2 a)=\sin^2 a-\sin^2 b=(\sin a-\sin b)(\sin a+\sin b)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a0−a020−a0a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 0 & -a \\ 0 & 2 & 0 \\ -a & 0 & a \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a) cu elementele date: det⁡(A(a))=∣a0−a020−a0a∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix} a & 0 & -a \\ 0 & 2 & 0 \\ -a & 0 & a \end{vmatrix}.
    det⁡(A(a))=∣a0−a020−a0a∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix} a & 0 & -a \\ 0 & 2 & 0 \\ -a & 0 & a \end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Termenii cu plus sunt a⋅2⋅a\displaystyle a\cdot 2\cdot a, 0⋅0⋅(−a)\displaystyle 0\cdot 0\cdot(-a) și (−a)⋅0⋅0\displaystyle (-a)\cdot 0\cdot 0.
    a⋅2⋅a+0⋅0⋅(−a)+(−a)⋅0⋅0=2a2+0+0\displaystyle a\cdot 2\cdot a+0\cdot 0\cdot(-a)+(-a)\cdot 0\cdot 0=2a^{2}+0+0
  3. Termenii cu minus sunt (−a)⋅2⋅(−a)\displaystyle (-a)\cdot 2\cdot(-a), 0⋅0⋅a\displaystyle 0\cdot 0\cdot a și a⋅0⋅0\displaystyle a\cdot 0\cdot 0. Primul este (−a)⋅2⋅(−a)=2a2\displaystyle (-a)\cdot 2\cdot(-a)=2a^{2}, iar ceilalți doi sunt 0\displaystyle 0.
    (−a)⋅2⋅(−a)+0⋅0⋅a+a⋅0⋅0=2a2+0+0\displaystyle (-a)\cdot 2\cdot(-a)+0\cdot 0\cdot a+a\cdot 0\cdot 0=2a^{2}+0+0
  4. Scădem cele două sume: det⁡(A(a))=2a2+0+0−2a2−0−0=0\displaystyle \det(A(a))=2a^{2}+0+0-2a^{2}-0-0=0, pentru orice număr real a\displaystyle a.
    det⁡(A(a))=2a2+0+0−2a2−0−0=0\displaystyle \det(A(a))=2a^{2}+0+0-2a^{2}-0-0=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a0−a020−a0a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 0 & -a \\ 0 & 2 & 0 \\ -a & 0 & a \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că A(a)A(b)=2A(ab)\displaystyle A(a)A(b)=2A(ab), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A(a)A(b)\displaystyle A(a)A(b) explicit, înlocuind cele două matrice.
    A(a)A(b)=(a0−a020−a0a)(b0−b020−b0b)\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix} a & 0 & -a \\ 0 & 2 & 0 \\ -a & 0 & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b & 0 & -b \\ 0 & 2 & 0 \\ -b & 0 & b \end{pmatrix}
  2. Calculăm prima linie a produsului. Elementul din stânga sus este a⋅b+(−a)(−b)=2ab\displaystyle a\cdot b+(-a)(-b)=2ab, cel din mijloc este 0\displaystyle 0, iar cel din dreapta este a⋅(−b)+(−a)⋅b=−2ab\displaystyle a\cdot(-b)+(-a)\cdot b=-2ab.
    (2ab0−2ab)\displaystyle \begin{pmatrix} 2ab & 0 & -2ab \end{pmatrix}
  3. Calculăm linia a doua. Singurul element nenul al liniei a doua din A(a)\displaystyle A(a) este 2\displaystyle 2, în mijloc, deci obținem 2⋅(0, 2, 0)\displaystyle 2\cdot(0,\,2,\,0).
    (040)\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 4 & 0 \end{pmatrix}
  4. Calculăm linia a treia. Elementul din stânga jos este (−a)b+a(−b)=−2ab\displaystyle (-a)b+a(-b)=-2ab, cel din mijloc este 0\displaystyle 0, iar cel din dreapta este (−a)(−b)+ab=2ab\displaystyle (-a)(-b)+ab=2ab.
    (−2ab02ab)\displaystyle \begin{pmatrix} -2ab & 0 & 2ab \end{pmatrix}
  5. Reunind cele trei linii, obținem matricea produs A(a)A(b)\displaystyle A(a)A(b).
    A(a)A(b)=(2ab0−2ab040−2ab02ab)\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix} 2ab & 0 & -2ab \\ 0 & 4 & 0 \\ -2ab & 0 & 2ab \end{pmatrix}
  6. Dăm factor comun 2\displaystyle 2 în fața matricei. Matricea rămasă are exact forma lui A(ab)\displaystyle A(ab), obținută înlocuind a\displaystyle a cu ab\displaystyle ab în definiția lui A(a)\displaystyle A(a). Deci A(a)A(b)=2A(ab)\displaystyle A(a)A(b)=2A(ab), pentru orice a,b∈R\displaystyle a,b\in\mathbb{R}.
    A(a)A(b)=2(ab0−ab020−ab0ab)=2A(ab)\displaystyle A(a)A(b)=2\begin{pmatrix} ab & 0 & -ab \\ 0 & 2 & 0 \\ -ab & 0 & ab \end{pmatrix}=2A(ab)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a0−a020−a0a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 0 & -a \\ 0 & 2 & 0 \\ -a & 0 & a \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că matricea B=A(log⁡23)⋅A(log⁡34)⋅A(log⁡45)⋅…⋅A(log⁡1516)\displaystyle B=A(\log_2 3)\cdot A(\log_3 4)\cdot A(\log_4 5)\cdot\ldots\cdot A(\log_{15}16) are toate elementele numere întregi.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b). Elementul de pe poziția (1,1)\displaystyle (1,1) este ab+(−a)(−b)=2ab\displaystyle ab+(-a)(-b)=2ab, cel de pe poziția (1,3)\displaystyle (1,3) este −ab−ab=−2ab\displaystyle -ab-ab=-2ab, elementul din mijloc este 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4, iar celelalte sunt 0\displaystyle 0. Deci matricea obținută este 2A(ab)\displaystyle 2A(ab).
    A(a)⋅A(b)=(2ab0−2ab040−2ab02ab)=2A(ab)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix} 2ab & 0 & -2ab \\ 0 & 4 & 0 \\ -2ab & 0 & 2ab \end{pmatrix}=2A(ab)
  2. În produsul B\displaystyle B sunt 14\displaystyle 14 factori, cu bazele 2,3,…,15\displaystyle 2,3,\ldots,15. Prin 13\displaystyle 13 aplicări ale relației A(a)A(b)=2A(ab)\displaystyle A(a)A(b)=2A(ab) apare factorul 2\displaystyle 2 de 13\displaystyle 13 ori, iar argumentele se înmulțesc: A(a1)A(a2)⋯A(a14)=213A(a1a2⋯a14)\displaystyle A(a_1)A(a_2)\cdots A(a_{14})=2^{13}A(a_1a_2\cdots a_{14}).
    A(a1)A(a2)⋯A(a14)=213A(a1a2⋯a14)\displaystyle A(a_1)A(a_2)\cdots A(a_{14})=2^{13}A(a_1a_2\cdots a_{14})
  3. Calculăm produsul logaritmilor. Scriem fiecare logaritm ca raport de logaritmi în baza 2\displaystyle 2, adică log⁡k(k+1)=log⁡2(k+1)log⁡2k\displaystyle \log_k(k+1)=\dfrac{\log_2(k+1)}{\log_2 k}, și simplificăm în lanț. Rămâne log⁡216=4\displaystyle \log_2 16=4.
    log⁡23⋅log⁡34⋅…⋅log⁡1516=log⁡23log⁡22⋅log⁡24log⁡23⋅…⋅log⁡216log⁡215=log⁡216=4\displaystyle \log_2 3\cdot\log_3 4\cdot\ldots\cdot\log_{15}16=\dfrac{\log_2 3}{\log_2 2}\cdot\dfrac{\log_2 4}{\log_2 3}\cdot\ldots\cdot\dfrac{\log_2 16}{\log_2 15}=\log_2 16=4
  4. Înlocuim produsul logaritmilor, care este 4\displaystyle 4, în formula de la pasul 2\displaystyle 2 și obținem B\displaystyle B în funcție de A(4)\displaystyle A(4).
    B=213A(log⁡23⋅log⁡34⋅…⋅log⁡1516)=213A(log⁡216)=213A(4)\displaystyle B=2^{13}A(\log_2 3\cdot\log_3 4\cdot\ldots\cdot\log_{15}16)=2^{13}A(\log_2 16)=2^{13}A(4)
  5. Scriem explicit A(4)\displaystyle A(4) și o înmulțim cu 213\displaystyle 2^{13}. Obținem 213⋅4=215\displaystyle 2^{13}\cdot 4=2^{15} și 213⋅2=214\displaystyle 2^{13}\cdot 2=2^{14}. Toate elementele lui B\displaystyle B sunt numere întregi, deci cerința este demonstrată.
    B=213(40−4020−404)=(2150−21502140−2150215), care are toate \displaystyle B=2^{13}\begin{pmatrix} 4 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2^{15} & 0 & -2^{15} \\ 0 & 2^{14} & 0 \\ -2^{15} & 0 & 2^{15} \end{pmatrix}\text{, care are toate }elementele numere ıˆntregi\displaystyle \text{elementele numere întregi}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+X2+mX+n\displaystyle f=X^3+X^2+mX+n, unde m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt numere reale.

Arătați că f(−1)−2f(0)+f(1)=2\displaystyle f(-1)-2f(0)+f(1)=2, pentru orice numere reale m\displaystyle m și n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(−1)\displaystyle f(-1) înlocuind X\displaystyle X cu −1\displaystyle -1: (−1)3=−1\displaystyle (-1)^3=-1, (−1)2=1\displaystyle (-1)^2=1, iar termenul mX\displaystyle mX devine −m\displaystyle -m. Deci f(−1)=−1+1−m+n\displaystyle f(-1)=-1+1-m+n, adică −m+n\displaystyle -m+n.
    f(−1)=−1+1−m+n=−m+n\displaystyle f(-1)=-1+1-m+n=-m+n
  2. Calculăm f(0)\displaystyle f(0): toți termenii care conțin X\displaystyle X dispar, deci rămâne termenul liber n\displaystyle n.
    f(0)=n\displaystyle f(0)=n
  3. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1: f(1)=1+1+m+n\displaystyle f(1)=1+1+m+n, adică 2+m+n\displaystyle 2+m+n.
    f(1)=2+m+n\displaystyle f(1)=2+m+n
  4. Înlocuim cele trei valori în expresia f(−1)−2f(0)+f(1)\displaystyle f(-1)-2f(0)+f(1).
    f(−1)−2f(0)+f(1)=(−m+n)−2n+(2+m+n)\displaystyle f(-1)-2f(0)+f(1)=(-m+n)-2n+(2+m+n)
  5. Reducem termenii asemenea: −m\displaystyle -m și m\displaystyle m se anulează, iar n−2n+n=0\displaystyle n-2n+n=0. Rămâne 2\displaystyle 2, pentru orice numere reale m\displaystyle m și n\displaystyle n.
    −m+n−2n+2+m+n=2\displaystyle -m+n-2n+2+m+n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+X2+mX+n\displaystyle f=X^3+X^2+mX+n, unde m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt numere reale.

Determinați numerele reale m\displaystyle m și n\displaystyle n, știind că polinomul f\displaystyle f este divizibil cu polinomul X2−1\displaystyle X^2-1.
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul X2−1\displaystyle X^2-1 se descompune în (X−1)(X+1)\displaystyle (X-1)(X+1), cu rădăcinile 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1. Dacă f\displaystyle f este divizibil cu X2−1\displaystyle X^2-1, atunci 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1 sunt rădăcini ale lui f\displaystyle f, deci f(1)=0\displaystyle f(1)=0 și f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0.
    f(−1)=0 și f(1)=0\displaystyle f(-1)=0\text{ și }f(1)=0
  2. Calculăm f(1)=13+12+m⋅1+n=2+m+n\displaystyle f(1)=1^3+1^2+m\cdot 1+n=2+m+n. Din f(1)=0\displaystyle f(1)=0 obținem m+n=−2\displaystyle m+n=-2.
    m+n=−2\displaystyle m+n=-2
  3. Calculăm f(−1)=(−1)3+(−1)2+m⋅(−1)+n=−1+1−m+n=n−m\displaystyle f(-1)=(-1)^3+(-1)^2+m\cdot(-1)+n=-1+1-m+n=n-m. Din f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0 obținem n=m\displaystyle n=m.
    n=m\displaystyle n=m
  4. Înlocuim n=m\displaystyle n=m în m+n=−2\displaystyle m+n=-2 și obținem 2m=−2\displaystyle 2m=-2, deci m=−1\displaystyle m=-1. Atunci n=m=−1\displaystyle n=m=-1.
    m=−1\displaystyle m=-1, n=−1\displaystyle \ n=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+X2+mX+n\displaystyle f=X^3+X^2+mX+n, unde m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt numere reale.

Demonstrați că 3(x1x2+x1x3+x2x3+x1x2x3)−(x13+x23+x33)=1\displaystyle 3(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3+x_1x_2x_3)-(x_1^3+x_2^3+x_3^3)=1, pentru orice numere reale m\displaystyle m și n\displaystyle n, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru f=X3+X2+mX+n\displaystyle f=X^3+X^2+mX+n relațiile lui Viète dau: x1+x2+x3=−1\displaystyle x_1+x_2+x_3=-1, x1x2+x1x3+x2x3=m\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m și x1x2x3=−n\displaystyle x_1x_2x_3=-n.
    x1+x2+x3=−1\displaystyle x_1+x_2+x_3=-1, x1x2+x1x3+x2x3=m\displaystyle \ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m, x1x2x3=−n\displaystyle \ x_1x_2x_3=-n
  2. Folosim identitatea x13+x23+x33=(x1+x2+x3)3−3(x1+x2+x3)(x1x2+x1x3+x2x3)+3x1x2x3\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=(x_1+x_2+x_3)^3-3(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)+3x_1x_2x_3.
    x13+x23+x33=(x1+x2+x3)3−3(x1+x2+x3)(x1x2+x1x3+x2x3)+3x1x2x3\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=(x_1+x_2+x_3)^3-3(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)+3x_1x_2x_3
  3. Înlocuim: x13+x23+x33=(−1)3−3⋅(−1)⋅m+3⋅(−n)\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=(-1)^3-3\cdot(-1)\cdot m+3\cdot(-n), adică −1+3m−3n\displaystyle -1+3m-3n.
    x13+x23+x33=−1+3m−3n\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=-1+3m-3n
  4. Avem x1x2+x1x3+x2x3+x1x2x3=m+(−n)\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3+x_1x_2x_3=m+(-n), deci 3(x1x2+x1x3+x2x3+x1x2x3)=3(m−n)\displaystyle 3(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3+x_1x_2x_3)=3(m-n).
    3(x1x2+x1x3+x2x3+x1x2x3)=3(m−n)\displaystyle 3(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3+x_1x_2x_3)=3(m-n)
  5. Expresia devine 3(m−n)−(−1+3m−3n)=3m−3n+1−3m+3n=1\displaystyle 3(m-n)-(-1+3m-3n)=3m-3n+1-3m+3n=1, pentru orice m\displaystyle m și n\displaystyle n reale.
    3(m−n)−(−1+3m−3n)=1\displaystyle 3(m-n)-(-1+3m-3n)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2e−x\displaystyle f(x)=x^2e^{-x}.

Arătați că f′(x)=x(2−x)e−x\displaystyle f'(x)=x(2-x)e^{-x}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x2e−x\displaystyle f(x)=x^{2}e^{-x} este un produs, deci aplicăm formula (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v', cu u=x2\displaystyle u=x^{2} și v=e−x\displaystyle v=e^{-x}.
    f′(x)=(x2)′e−x+x2(e−x)′\displaystyle f'(x)=\left(x^{2}\right)'e^{-x}+x^{2}\left(e^{-x}\right)'
  2. Avem (x2)′=2x\displaystyle \left(x^{2}\right)'=2x și (e−x)′=e−x⋅(−x)′=−e−x\displaystyle \left(e^{-x}\right)'=e^{-x}\cdot(-x)'=-e^{-x}.
    (x2)′=2x\displaystyle \left(x^{2}\right)'=2x,(e−x)′=−e−x\displaystyle \quad \left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}
  3. Înlocuim în formula produsului și obținem expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x).
    f′(x)=2xe−x−x2e−x\displaystyle f'(x)=2xe^{-x}-x^{2}e^{-x}
  4. Dăm factor comun xe−x\displaystyle xe^{-x}: din 2xe−x\displaystyle 2xe^{-x} rămâne 2\displaystyle 2, iar din x2e−x\displaystyle x^{2}e^{-x} rămâne x\displaystyle x. Obținem forma cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=(2x−x2)e−x=x(2−x)e−x\displaystyle f'(x)=\left(2x-x^{2}\right)e^{-x}=x(2-x)e^{-x}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2e−x\displaystyle f(x)=x^2e^{-x}.

Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției folosind regula de derivare a produsului: (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x și (e−x)′=−e−x\displaystyle \left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}.
    f′(x)=2xe−x+x2⋅(−e−x)\displaystyle f'(x)=2xe^{-x}+x^{2}\cdot\left(-e^{-x}\right)
  2. Dăm factor comun xe−x\displaystyle xe^{-x} și obținem forma factorizată a derivatei.
    f′(x)=x(2−x)e−x\displaystyle f'(x)=x(2-x)e^{-x}
  3. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Deoarece e−x>0\displaystyle e^{-x}>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, derivata se anulează doar când x=0\displaystyle x=0 sau 2−x=0\displaystyle 2-x=0.
    f′(x)=0⇔x=0 sau x=2\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=0\text{ sau }x=2
  4. Studiem semnul derivatei. Factorul e−x\displaystyle e^{-x} este pozitiv, deci semnul lui f′\displaystyle f' este semnul produsului x(2−x)\displaystyle x(2-x). Acesta este negativ pentru x<0\displaystyle x<0, pozitiv pentru x∈(0,2)\displaystyle x\in(0,2) și negativ pentru x>2\displaystyle x>2.
    f′(x)<0 pe (−∞,0)\displaystyle f'(x)<0\text{ pe }(-\infty,0), f′(x)>0 pe (0,2)\displaystyle \ f'(x)>0\text{ pe }(0,2), f′(x)<0 pe (2,+∞)\displaystyle \ f'(x)<0\text{ pe }(2,+\infty)
  5. Din semnul derivatei deducem monotonia: f\displaystyle f descrește acolo unde f′<0\displaystyle f'<0 și crește acolo unde f′>0\displaystyle f'>0. Funcția fiind continuă, includem capetele intervalelor.
    f descresca˘toare pe (−∞,0]\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }(-\infty,0], f cresca˘toare pe [0,2]\displaystyle \ f\text{ crescătoare pe }[0,2], f descresca˘toare pe [2,+∞)\displaystyle \ f\text{ descrescătoare pe }[2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2e−x\displaystyle f(x)=x^2e^{-x}.

Demonstrați că, pentru orice a∈(0,4e−2)\displaystyle a\in\left(0,4e^{-2}\right), ecuația f(x)=a\displaystyle f(x)=a are exact trei soluții reale.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f(x)=x2e−x\displaystyle f(x)=x^2e^{-x} cu formula derivatei produsului: f′(x)=2xe−x−x2e−x\displaystyle f'(x)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}. Dăm factor comun xe−x\displaystyle xe^{-x}.
    f′(x)=x(2−x)e−x\displaystyle f'(x)=x(2-x)e^{-x}
  2. Cum e−x>0\displaystyle e^{-x}>0, semnul lui f′\displaystyle f' este semnul produsului x(2−x)\displaystyle x(2-x). Pentru x<0\displaystyle x<0 avem f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0, pentru x∈(0,2)\displaystyle x\in(0,2) avem f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, iar pentru x>2\displaystyle x>2 avem f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0. Deci f\displaystyle f este strict descrescătoare pe (−∞,0)\displaystyle (-\infty,0), strict crescătoare pe (0,2)\displaystyle (0,2) și strict descrescătoare pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty).
    f↘ pe (−∞,0]\displaystyle f\searrow\text{ pe }(-\infty,0], f↗ pe [0,2]\displaystyle \ f\nearrow\text{ pe }[0,2], f↘ pe [2,+∞)\displaystyle \ f\searrow\text{ pe }[2,+\infty)
  3. Calculăm f(0)=0\displaystyle f(0)=0 și f(2)=4e−2\displaystyle f(2)=4e^{-2}. Pentru limita la +∞\displaystyle +\infty avem lim⁡x→+∞x2e−x=lim⁡x→+∞x2ex=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x^2e^{-x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{e^{x}}=0, folosind regula lui L'Hôpital de două ori sau faptul că exponențiala crește mai repede decât puterea. Pentru a∈(0,4e−2)\displaystyle a\in\left(0,4e^{-2}\right) obținem f(0)<a<f(2)\displaystyle f(0)<a<f(2) și lim⁡x→+∞f(x)<a\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)<a.
    f(0)=0<a\displaystyle f(0)=0<a, f(2)=4e−2>a\displaystyle \ f(2)=4e^{-2}>a, lim⁡x→+∞f(x)=0<a\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0<a
  4. Pe (0,2)\displaystyle (0,2) funcția f\displaystyle f este continuă și strict crescătoare, de la f(0)=0\displaystyle f(0)=0 la f(2)=4e−2\displaystyle f(2)=4e^{-2}, iar a\displaystyle a este între aceste valori, deci ecuația f(x)=a\displaystyle f(x)=a are exact o soluție aici. Pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty) funcția este continuă și strict descrescătoare, de la 4e−2\displaystyle 4e^{-2} spre limita 0\displaystyle 0, iar a\displaystyle a este între aceste valori, deci avem tot exact o soluție.
    caˆte o soluție ıˆn (0,2) și ıˆn (2,+∞)\displaystyle \text{câte o soluție în }(0,2)\text{ și în }(2,+\infty)
  5. Avem lim⁡x→−∞x2e−x=+∞⋅+∞=+∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}x^2e^{-x}=+\infty\cdot+\infty=+\infty. Pe (−∞,0)\displaystyle (-\infty,0) funcția f\displaystyle f este continuă și strict descrescătoare, de la +∞\displaystyle +\infty la f(0)=0\displaystyle f(0)=0, iar 0<a<+∞\displaystyle 0<a<+\infty, deci ecuația f(x)=a\displaystyle f(x)=a are exact o soluție în (−∞,0)\displaystyle (-\infty,0). Cum f(0)=0≠a\displaystyle f(0)=0\ne a și f(2)≠a\displaystyle f(2)\ne a, soluțiile de pe cele trei intervale sunt distincte și nu există altele, deci ecuația are exact trei soluții reale.
    lim⁡x→−∞f(x)=+∞, deci ecuația f(x)=a are exact trei soluții \displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\text{, deci ecuația }f(x)=a\text{ are exact trei soluții }reale\displaystyle \text{reale}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2+\ln x.

Arătați că ∫12(f(x)−ln⁡x)dx=73\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-\ln x\right)dx=\frac{7}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2+ln⁡x\displaystyle f(x)=x^{2}+\ln x în expresia de sub integrală și reducem termenii ln⁡x\displaystyle \ln x: f(x)−ln⁡x=x2+ln⁡x−ln⁡x=x2\displaystyle f(x)-\ln x=x^{2}+\ln x-\ln x=x^{2}.
    f(x)−ln⁡x=x2\displaystyle f(x)-\ln x=x^{2}
  2. Integrala devine ∫12x2 dx\displaystyle \int_1^2 x^{2}\,dx. O primitivă a lui x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫12(f(x)−ln⁡x)dx=∫12x2dx=x33∣12\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-\ln x\right)dx=\int_1^2 x^{2}dx=\frac{x^{3}}{3}\Big|_1^2
  3. Calculăm primitiva în limitele de integrare: pentru x=2\displaystyle x=2 obținem 233=83\displaystyle \dfrac{2^{3}}{3}=\dfrac{8}{3}, iar pentru x=1\displaystyle x=1 obținem 133=13\displaystyle \dfrac{1^{3}}{3}=\dfrac{1}{3}. Scădem cele două valori.
    83−13=73\displaystyle \frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2+\ln x.

Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=2x−x2+f(x)\displaystyle g(x)=2x-x^2+f(x), axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=1\displaystyle x=1 și x=e\displaystyle x=e are aria egală cu e2\displaystyle e^2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2+ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2+\ln x în g(x)=2x−x2+f(x)\displaystyle g(x)=2x-x^2+f(x). Termenii −x2\displaystyle -x^2 și x2\displaystyle x^2 se reduc.
    g(x)=2x−x2+x2+ln⁡x=2x+ln⁡x\displaystyle g(x)=2x-x^2+x^2+\ln x=2x+\ln x
  2. Pentru x∈[1,e]\displaystyle x\in[1,e] avem 2x>0\displaystyle 2x>0 și ln⁡x≥0\displaystyle \ln x\ge 0, deci g(x)>0\displaystyle g(x)>0. Prin urmare ∣g(x)∣=g(x)\displaystyle |g(x)|=g(x) și aria este integrala lui g\displaystyle g pe [1,e]\displaystyle [1,e].
    A=∫1e∣g(x)∣ dx=∫1e(2x+ln⁡x) dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^e|g(x)|\,dx=\int_1^e(2x+\ln x)\,dx
  3. Separăm integrala în două: ∫1e2x dx+∫1eln⁡x dx\displaystyle \int_1^e 2x\,dx+\int_1^e\ln x\,dx. Pentru a doua alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=dx\displaystyle dv=dx, deci du=1xdx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}dx și v=x\displaystyle v=x. Obținem ∫1eln⁡x dx=xln⁡x∣1e−∫1ex⋅1x dx\displaystyle \int_1^e\ln x\,dx=x\ln x\Big|_1^e-\int_1^e x\cdot\dfrac{1}{x}\,dx.
    A=x2∣1e+xln⁡x∣1e−∫1ex⋅1x dx\displaystyle \mathcal{A}=x^2\Big|_1^e+x\ln x\Big|_1^e-\int_1^e x\cdot\frac{1}{x}\,dx
  4. Calculăm pe rând: x2∣1e=e2−1\displaystyle x^2\Big|_1^e=e^2-1, xln⁡x∣1e=eln⁡e−1⋅ln⁡1=e−0=e\displaystyle x\ln x\Big|_1^e=e\ln e-1\cdot\ln 1=e-0=e și ∫1e1 dx=x∣1e=e−1\displaystyle \int_1^e 1\,dx=x\Big|_1^e=e-1.
    A=e2−1+e−0−(e−1)\displaystyle \mathcal{A}=e^2-1+e-0-(e-1)
  5. Desfacem parantezele: e2−1+e−e+1\displaystyle e^2-1+e-e+1. Termenii −1\displaystyle -1 și 1\displaystyle 1, respectiv e\displaystyle e și −e\displaystyle -e se reduc, deci aria este e2\displaystyle e^2, ceea ce trebuia demonstrat.
    A=e2\displaystyle \mathcal{A}=e^2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2+\ln x.

Demonstrați că lim⁡n→+∞∫e−11xn(f(x)−x2)dx=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\int_{e^{-1}}^1 x^n\left(f(x)-x^2\right)dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm integrandul: f(x)−x2=ln⁡x\displaystyle f(x)-x^{2}=\ln x, deci integrala devine In=∫e−11xnln⁡x dx\displaystyle I_n=\int_{e^{-1}}^{1}x^{n}\ln x\,dx.
    In=∫e−11xnln⁡x dx\displaystyle I_n=\int_{e^{-1}}^{1}x^{n}\ln x\,dx
  2. Integrăm prin părți: alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=xndx\displaystyle dv=x^{n}dx, deci du=1xdx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}dx și v=xn+1n+1\displaystyle v=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}.
    In=xn+1n+1ln⁡x∣e−11−∫e−11xnn+1 dx\displaystyle I_n=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\ln x\Big|_{e^{-1}}^{1}-\int_{e^{-1}}^{1}\dfrac{x^{n}}{n+1}\,dx
  3. Calculăm integrala rămasă: o primitivă a lui xnn+1\displaystyle \dfrac{x^{n}}{n+1} este xn+1(n+1)2\displaystyle \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)^{2}}.
    In=(xn+1n+1ln⁡x−xn+1(n+1)2)∣e−11\displaystyle I_n=\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\ln x-\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)^{2}}\right)\Big|_{e^{-1}}^{1}
  4. Evaluăm la limite. La x=1\displaystyle x=1, ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, deci rămâne −1(n+1)2\displaystyle -\dfrac{1}{(n+1)^{2}}. La x=e−1\displaystyle x=e^{-1}, ln⁡x=−1\displaystyle \ln x=-1 și xn+1=1en+1\displaystyle x^{n+1}=\dfrac{1}{e^{n+1}}, deci valoarea este −1(n+1)en+1−1(n+1)2en+1\displaystyle -\dfrac{1}{(n+1)e^{n+1}}-\dfrac{1}{(n+1)^{2}e^{n+1}}. Scădem valoarea de la limita inferioară din cea de la limita superioară.
    In=−1(n+1)2−(−1(n+1)en+1−1(n+1)2en+1)=1(n+1)en+1−1(n+1)2+1(n+1)2en+1\displaystyle I_n=-\dfrac{1}{(n+1)^{2}}-\left(-\dfrac{1}{(n+1)e^{n+1}}-\dfrac{1}{(n+1)^{2}e^{n+1}}\right)=\dfrac{1}{(n+1)e^{n+1}}-\dfrac{1}{(n+1)^{2}}+\dfrac{1}{(n+1)^{2}e^{n+1}}
  5. Trecem la limită când n→+∞\displaystyle n\to+\infty. Fiecare dintre cei trei termeni tinde la 0\displaystyle 0, deoarece numitorii (n+1)en+1\displaystyle (n+1)e^{n+1}, (n+1)2\displaystyle (n+1)^{2} și (n+1)2en+1\displaystyle (n+1)^{2}e^{n+1} tind la +∞\displaystyle +\infty. Deci limita este 0\displaystyle 0.
    lim⁡n→+∞In=0+0+0=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n=0+0+0=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.